Strona główna › Równania i nierówności › Równania liniowe

Równania liniowe

Q: Ile rozwiązań może mieć równanie liniowe?

Jedno, żadnego albo nieskończenie wiele. Wszystko rozstrzyga postać ax = b: przy niezerowym a rozwiązanie jest jedno, przy a = 0 decyduje b — niezerowe daje sprzeczność, zerowe tożsamość.

Q: Czy wolno mnożyć obie strony przez liczbę ujemną?

Tak, przy równaniach jest to całkowicie bezpieczne — znak równości nie ma kierunku. Odwracanie znaku dotyczy wyłącznie nierówności.

Q: Po co sprawdzać wynik, skoro rachunek był prosty?

Bo pomyłka znaku daje zwykle wynik wyglądający równie wiarygodnie jak poprawny. Podstawienie do pierwotnego równania zajmuje kilkanaście sekund i wyłapuje wszystkie błędy przekształceń.

Q: Czym różni się równanie sprzeczne od tożsamościowego?

W obu niewiadoma znika, ale zostaje co innego: przy sprzecznym zdanie fałszywe i zbiór pusty, przy tożsamościowym zdanie prawdziwe i wszystkie liczby rzeczywiste.

Q: Czy sposób rozwiązywania równań i nierówności liniowych jest taki sam?

Prawie. Ciąg przekształceń jest identyczny, ale przy nierówności mnożenie lub dzielenie przez liczbę ujemną odwraca znak. Przy równaniu taki problem nie występuje.

Równanie liniowe rozwiązuje się przez upraszczanie obu stron tak długo, aż zostanie sama niewiadoma. Technika jest znana ze szkoły podstawowej i w liceum się nie zmienia — zmienia się to, o co pyta zadanie. Zamiast „oblicz $x$ ” pojawia się „ile rozwiązań ma to równanie” albo „dla jakiej wartości parametru”, a wtedy trzeba rozumieć, dlaczego wolno robić to, co się robi.

Dział: Równania i nierównościPoziom: liceum — zakres podstawowyZadań z matury: 6

Przejdź od razu do zadań (6) ↓

1Przekształcenia równoważne

Przekształcenie jest równoważne, gdy nie zmienia zbioru rozwiązań — nowe równanie ma dokładnie te same rozwiązania co poprzednie. Wolno:

dodać lub odjąć tę samą liczbę albo to samo wyrażenie po obu stronach,
pomnożyć lub podzielić obie strony przez tę samą liczbę różną od zera,
uporządkować każdą ze stron z osobna (rozwinąć nawiasy, zredukować wyrazy podobne).

Zastrzeżenie „różną od zera” jest jedynym prawdziwym ograniczeniem. Mnożenie obu stron przez zero zamienia każde równanie w prawdziwe $0 = 0$ i gubi całą informację.

Co mówi podstawa programowa — i czego w niej nie ma

Dział III. Równania i nierówności, zakres podstawowy, punkt 1: „przekształca równania i nierówności w sposób równoważny […]” — punkt biegnie dalej i podaje przykład takiego przekształcenia.

Punkt 2: „interpretuje równania i nierówności liniowe sprzeczne oraz tożsamościowe”.

Warto zauważyć, czego tam nie ma: osobnego punktu „rozwiązuje równania liniowe”. Punkt 3 dotyczy wyłącznie nierówności. Sama technika rozwiązywania jest więc traktowana jako umiejętność wniesiona wcześniej, a liceum dokłada do niej język równoważności i interpretację przypadków szczególnych.

To nie jest ciekawostka formalna: właśnie dlatego zadania maturalne z tej grupy rzadko każą policzyć $x$ , a często pytają o liczbę rozwiązań.

Przy nierównościach lista przekształceń wygląda prawie tak samo, ale ma jeden wyjątek, którego przy równaniach nie ma — mnożenie przez liczbę ujemną odwraca znak. Opisuje to strona o nierównościach liniowych; tutaj mnożenie przez liczbę ujemną jest całkowicie bezpieczne.

2Niewiadoma po obu stronach i ułamki

Dwie sytuacje, które w praktyce sprawiają najwięcej kłopotu, mają ten sam schemat: najpierw uprość, potem zbieraj.

Gdy niewiadoma stoi po obu stronach, przenosimy wszystkie jej wystąpienia na jedną stronę, a liczby na drugą. Którą stronę wybrać — bez znaczenia dla wyniku, ale wygodniej zostawić niewiadomą tam, gdzie jej współczynnik jest większy: unika się wtedy dzielenia przez liczbę ujemną.

Gdy w równaniu są ułamki, mnożymy obie strony przez wspólny mianownik. To najbardziej opłacalny ruch w całym temacie: jedno mnożenie usuwa wszystkie ułamki naraz.

\frac{x}{3} - \frac{x-2}{4} = 1 \quad \Big| \cdot 12

Przy tym mnożeniu trzeba pomnożyć każdy składnik obu stron, łącznie z tymi, które ułamka nie zawierają. Pominięcie prawej strony jest tu najczęstszą pomyłką — i, podobnie jak opisany niżej błąd znaku, taką, której nie widać po samym zapisie: równanie po niej nadal wygląda sensownie. Dlatego przy ułamkach kontrola przez podstawienie do pierwotnego równania jest ważniejsza niż zwykle — obie te pomyłki wychodzą dopiero tam.

Nawias przy odejmowaniu ułamka

Wyrażenie $-\frac{x-2}{4}$ po pomnożeniu przez $12$ daje $-3(x-2)$ , czyli $-3x + 6$ .

Minus dotyczy całego licznika, więc po rozwinięciu zmieniają znak oba składniki.

Zapisanie $-3x - 6$ jest tu najczęstszym błędem znaku w całym dziale i zwykle prowadzi do wyniku, który wygląda wiarygodnie.

3Równania sprzeczne i tożsamościowe

Zdarza się, że w trakcie rozwiązywania niewiadoma znika z obu stron. To nie jest błąd rachunkowy — to wynik, tylko innego rodzaju. Rozstrzyga to, co zostało:

Zanim przejdę do dwóch nietypowych przypadków, warto nazwać ten zwyczajny. Równanie mające dokładnie jedno rozwiązanie nazywa się oznaczonym — i to właśnie z nim ma się do czynienia w większości zadań. Pełny podział jest więc trójdzielny: równanie oznaczone (jedno rozwiązanie), tożsamościowe (każda liczba jest rozwiązaniem) i sprzeczne (żadna). Nazwa oznaczone bywa w szkole pomijana — mówi się po prostu „ma jedno rozwiązanie” — ale pojawia się w poleceniach typu „określ, czy równanie jest oznaczone”.

co zostało po redukcji	jak się nazywa	zbiór rozwiązań
zdanie fałszywe, np. $\textcolor{#9b1c14}{6 = 5}$	równanie sprzeczne	zbiór pusty
zdanie prawdziwe, np. $0 = 0$	równanie tożsamościowe	wszystkie liczby rzeczywiste

Warto rozumieć, skąd się to bierze. Równanie liniowe sprowadza się ostatecznie do postaci $ax = b$ . Gdy $a \neq 0$ , jest dokładnie jedno rozwiązanie. Gdy $a = 0$ , niewiadoma znika i wszystko zależy od $b$ : dla $b \neq 0$ zostaje sprzeczność, dla $b = 0$ — tożsamość.

ax = b \quad \Longrightarrow \quad \begin{cases} a \neq 0 & \text{jedno rozwiązanie } x = \frac{b}{a} \\ a = 0,\ b \neq 0 & \text{brak rozwiązań} \\ a = 0,\ b = 0 & \text{każda liczba} \end{cases}

Ten sam trójpodział wraca w zadaniach o parametrze: pytanie „dla jakiej wartości $m$ równanie nie ma rozwiązań” sprowadza się do wyzerowania współczynnika przy $x$ przy jednoczesnym sprawdzeniu, że wyraz wolny zerem nie jest.

To bliski krewny warunku z monotoniczności funkcji liniowej i z miejsca zerowego: w każdym z tych trzech tematów decyduje pytanie „czy współczynnik przy $x$ jest zerem”. Warto zauważyć, że to za każdym razem ten sam warunek oglądany z innej strony.

4Od treści do równania

W zadaniach tekstowych całą trudnością jest zapis, nie rachunek. Kolejność, która się sprawdza:

Nazwij niewiadomą jednym zdaniem: „niech $x$ oznacza…”. Zapisz to, nawet jeśli wydaje się oczywiste — bez tego zdania rozwiązanie bywa uznane za niepełne.
Przetłumacz warunek z treści na równanie, wyrażenie po wyrażeniu.
Rozwiąż i wróć do treści — sprawdź, czy odpowiadasz na zadane pytanie, a nie na wartość $x$ .

Punkt trzeci bywa pułapką celowo: jeśli $x$ oznacza liczbę mniejszą, a pytanie dotyczy większej, samo $x$ nie jest odpowiedzią. To najczęstszy sposób tracenia punktu przy poprawnym rachunku.

Warto też sprawdzić, czy wynik ma sens w kontekście zadania. Ujemna liczba osób, ułamkowa liczba autobusów albo wiek $-4$ lata oznaczają, że równanie zostało zapisane błędnie — sam rachunek może być bez zarzutu.

5Przykłady krok po kroku

Cztery zadania: niewiadoma po obu stronach, ułamki, przypadki szczególne i zadanie tekstowe.

Przykład 1 Niewiadoma po obu stronach

Rozwiąż równanie $4x - 7 = 2x + 11$ .

Przenoszę wyrazy z $x$ na lewą stronę, liczby na prawą: $4x - 2x = 11 + 7$ .
$2x = 18$ .
$x = 9$ .
Kontrola: lewa strona $4 \cdot 9 - 7 = 29$ , prawa $2 \cdot 9 + 11 = 29$ ✓

Odpowiedź: $x = 9$

Zostawienie niewiadomej po stronie z większym współczynnikiem ( $4x$ , nie $2x$ ) sprawiło, że po redukcji współczynnik wyszedł dodatni. To drobiazg, ale oszczędza dzielenia przez liczbę ujemną.

Przykład 2 Równanie z ułamkami

Rozwiąż równanie $\frac{x}{3} - \frac{x-2}{4} = 1$ .

Wspólny mianownik to $12$ — mnożę przez niego obie strony, łącznie z jedynką.
$\frac{12x}{3} - \frac{12(x-2)}{4} = 12$ , czyli $4x - 3(x-2) = 12$ .
Rozwijam nawias, pilnując znaku: $4x - 3x + 6 = 12$ .
$x + 6 = 12$ , czyli $x = 6$ .
Kontrola: $\frac{6}{3} - \frac{6-2}{4} = 2 - 1 = 1$ ✓

Odpowiedź: $x = 6$

Gdyby minus przed ułamkiem zastosować tylko do pierwszego składnika licznika, wyszłoby $4x - 3x - 6 = 12$ i wynik $x = 18$ — liczba równie „ładna”, więc sam wygląd wyniku niczego nie ostrzega. Sprawdzenie w oryginalnym równaniu ostrzega.

Przykład 3 Równanie sprzeczne i tożsamościowe

Rozwiąż równania: (a) $3(x + 2) = 3x + 5$ , (b) $2(3x - 1) = 6x - 2$ .

(a) Rozwijam: $3x + 6 = 3x + 5$ .
Odejmuję $3x$ od obu stron: zostaje $\textcolor{#9b1c14}{6 = 5}$ — zdanie fałszywe, więc równanie jest sprzeczne.
(b) Rozwijam: $6x - 2 = 6x - 2$ .
Obie strony są identyczne, więc po redukcji zostaje $0 = 0$ — równanie tożsamościowe.
Kontrola (a): dla $x = 0$ mamy $6$ i $5$ ; dla $x = 100$ mamy $306$ i $305$ — różnica jedności utrzymuje się zawsze ✓
Kontrola (b): dla $x = 7$ obie strony dają $40$ ✓

Odpowiedź: (a) brak rozwiązań; (b) każda liczba rzeczywista

Odpowiedź „ $x$ się skrócił, więc nie da się rozwiązać” jest błędna w obu przypadkach. Zniknięcie niewiadomej jest rozwiązaniem — tylko trzeba przeczytać, co zostało.

Przykład 4 Zadanie tekstowe

Trzykrotność pewnej liczby zmniejszona o $8$ jest równa $25$ . Jaka to liczba i jaka jest jej połowa?

Niech $x$ oznacza szukaną liczbę.
Trzykrotność zmniejszona o osiem: $3x - 8$ . Warunek: $3x - 8 = 25$ .
$3x = 33$ , czyli $x = 11$ .
Pytanie jest podwójne — połowa liczby to $\frac{11}{2} = 5{,}5$ .
Kontrola w treści: $3 \cdot 11 - 8 = 33 - 8 = 25$ ✓

Odpowiedź: Liczba to $11$ , jej połowa to $5{,}5$ .

Zadanie ma dwa pytania, a rachunek jedno. Zatrzymanie się na $x = 11$ dałoby odpowiedź niepełną mimo bezbłędnego rozwiązania równania.

6Najczęstsze błędy

Pierwsze trzy błędy dotyczą przekształceń, dwa ostatnie — czytania wyniku.

Pominięcie prawej strony przy mnożeniu przez wspólny mianownik.

Skąd się bierze: Wzrok skupia się na ułamkach, a strona bez ułamka wygląda na „gotową”.

Jak zrobić dobrze: Mnożymy każdy składnik obu stron. Jedynka po pomnożeniu przez $12$ staje się dwunastką.

Zgubienie znaku przy odejmowaniu ułamka z dwuwyrazowym licznikiem.

Skąd się bierze: Minus odnosi się do całego licznika, ale zapisany jest przed kreską ułamkową.

Jak zrobić dobrze: Traktuj licznik jak nawias: $-\frac{x-2}{4}$ po pomnożeniu daje $-3(x-2) = -3x + 6$ .

Mnożenie obu stron przez wyrażenie, które może być zerem.

Skąd się bierze: Przekształcenie wygląda tak samo jak mnożenie przez liczbę.

Jak zrobić dobrze: Mnożyć wolno przez liczbę różną od zera. Przy mnożeniu przez wyrażenie z niewiadomą trzeba osobno rozważyć przypadek, w którym się ono zeruje.

Uznanie zniknięcia niewiadomej za brak rozwiązania — także wtedy, gdy zostało zdanie prawdziwe.

Skąd się bierze: Brak $x$ w wyniku wygląda jak sytuacja bez odpowiedzi.

Jak zrobić dobrze: Przeczytaj, co zostało. Zdanie fałszywe oznacza zbiór pusty, prawdziwe — wszystkie liczby rzeczywiste.

Podanie wartości $x$ zamiast odpowiedzi na pytanie z treści.

Skąd się bierze: Rozwiązanie równania czuje się jak koniec pracy.

Jak zrobić dobrze: Wróć do treści i sprawdź, o co pytano. Jeśli $x$ oznaczało liczbę mniejszą, a pytanie dotyczy większej, trzeba wykonać jeszcze jedno działanie.

Zadania maturalne — równania liniowe z jedną niewiadomą

Prawdziwe zadania z arkuszy matury z matematyki (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem.

Zielone jest to, co dane w treści. Czerwone — to, co policzone po drodze. Schemat jest zawsze ten sam: rozwiń nawiasy, zbierz niewiadome po jednej stronie, liczby po drugiej, podziel. Uwaga na dwie rzeczy, które w tych zadaniach decydują o wyniku: minus przed nawiasem zmienia znak każdego składnika w środku, a gdy niewiadoma stoi w mianowniku albo równanie jest zapisane w postaci iloczynu, schemat wygląda inaczej — i te przypadki są tu osobno omówione.

Sprawdź się bez zaglądania do odpowiedzi. Wylosuję 6 zadań zamkniętych z tego zestawu — klucz i rozwiązania schowam do czasu sprawdzenia. Pula liczy 6 zadań, więc za każdym razem dostaniesz inny zestaw.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (sierpień 2011)1 pktłatwe

Rozwiązaniem równania

3(2 - 3x) = x - 4

jest

A. $x = 1$
B. $x = 2$
C. $x = 3$
D. $x = 4$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Rozwijamy nawias. Mnożymy $3$ przez oba składniki:
$\textcolor{#16A06A}{3} \cdot \textcolor{#16A06A}{2} - \textcolor{#16A06A}{3} \cdot \textcolor{#16A06A}{3}x = \textcolor{#16A06A}{x} - \textcolor{#16A06A}{4} \qquad \Longrightarrow \qquad \textcolor{#E0453A}{6} - \textcolor{#E0453A}{9}x = \textcolor{#16A06A}{x} - \textcolor{#16A06A}{4}$
Zbieramy. Niewiadome na prawo, liczby na lewo:
$\textcolor{#E0453A}{6} + \textcolor{#16A06A}{4} = \textcolor{#16A06A}{x} + \textcolor{#E0453A}{9}x$
$\textcolor{#E0453A}{10} = \textcolor{#E0453A}{10}x \qquad \Longrightarrow \qquad x = \textcolor{#E0453A}{1}$
Odpowiedź: A.
Sprawdzenie: lewa strona $3(2 - 3) = 3 \cdot (-1) = -3$ , prawa $1 - 4 = -3$ ✓

💡 Wskazówka: Przy równaniach zamkniętych zawsze warto zrobić sprawdzenie — podstawienie wyniku zajmuje kilka sekund i wyłapuje każdy błąd rachunkowy. Tu wystarczyło jedno mnożenie po każdej stronie.

⚠ Pomnożenie $3$ tylko przez pierwszy składnik nawiasu, czyli zapis $6 - 3x$ zamiast $6 - 9x$ . Wtedy z równania $6 - 3x = x - 4$ wychodzi $10 = 4x$ , czyli $x = 2{,}5$ — liczba spoza podanych odpowiedzi, więc błąd sam się ujawnia. Drugi błąd: przeniesienie $-9x$ na prawą stronę jako $-9x$ zamiast $+9x$ ; wtedy zostaje $10 = x - 9x = -8x$ i wynik jest ujemny.

Zadanie 2 (informator CKE)1 pktśrednie

Która z liczb jest rozwiązaniem równania

2(x - 1) + x = x - 3(2 - 3x)

A. $\dfrac{8}{11}$
B. $-\dfrac{4}{11}$
C. $\dfrac{4}{7}$
D. $-1$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Nawiasy są po obu stronach, więc porządkujemy najpierw każdą stronę osobno.
Lewa strona: $\textcolor{#16A06A}{2}(x - \textcolor{#16A06A}{1}) + x = \textcolor{#E0453A}{2}x - \textcolor{#E0453A}{2} + x = \textcolor{#E0453A}{3}x - \textcolor{#E0453A}{2}$
Prawa strona. Tu jest sedno zadania: przed nawiasem stoi $\textcolor{#16A06A}{-3}$ , więc mnożymy je przez oba składniki i oba zmieniają znak: $-3 \cdot 2 = \textcolor{#E0453A}{-6}$ oraz $-3 \cdot (-3x) = \textcolor{#E0453A}{+9x}$ .
$x - \textcolor{#16A06A}{3}(2 - 3x) = x \textcolor{#E0453A}{- 6} \textcolor{#E0453A}{+ 9}x = \textcolor{#E0453A}{10}x - \textcolor{#E0453A}{6}$
Równanie po uporządkowaniu:
$\textcolor{#E0453A}{3}x - \textcolor{#E0453A}{2} = \textcolor{#E0453A}{10}x - \textcolor{#E0453A}{6}$
$\textcolor{#E0453A}{6} - \textcolor{#E0453A}{2} = \textcolor{#E0453A}{10}x - \textcolor{#E0453A}{3}x \qquad \Longrightarrow \qquad \textcolor{#E0453A}{4} = \textcolor{#E0453A}{7}x \qquad \Longrightarrow \qquad x = \textcolor{#E0453A}{\dfrac47}$
Odpowiedź: C.
Sprawdzenie: lewa strona $2\left(\tfrac47 - 1\right) + \tfrac47 = 2 \cdot \left(-\tfrac37\right) + \tfrac47 = -\tfrac67 + \tfrac47 = -\tfrac27$ . Prawa: $\tfrac47 - 3\left(2 - \tfrac{12}{7}\right) = \tfrac47 - 3 \cdot \tfrac27 = \tfrac47 - \tfrac67 = -\tfrac27$ ✓

💡 Wskazówka: Zapisz osobno „lewa strona = …” i „prawa strona = …”, zanim zaczniesz przenosić cokolwiek między stronami. Przy dwóch nawiasach i minusie przed jednym z nich próba robienia wszystkiego naraz to najkrótsza droga do zgubienia znaku.

⚠ Dwa błędne wyniki w odpowiedziach są policzone dokładnie pod pomyłkę w znaku drugiego nawiasu. Jeśli zapiszesz $-3(2-3x)$ jako $-6 - 9x$ , prawa strona staje się $-8x - 6$ i wychodzi $x = -\tfrac{4}{11}$ — odpowiedź B. Jeśli zapiszesz $+6 - 9x$ , prawa strona to $-8x + 6$ i wychodzi $x = \tfrac{8}{11}$ — odpowiedź A. Mianownik $11$ w obu tych odpowiedziach jest sygnałem: poprawny rachunek daje mianownik $7$ .

Zadanie 3 (maj 2011)1 pktśrednie

Rozwiązanie równania

x(x + 3) - 49 = x(x - 4)

należy do przedziału

A. $(-\infty,\, 3)$
B. $(10,\, +\infty)$
C. $(-5,\, -1)$
D. $(2,\, +\infty)$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Równanie wygląda na kwadratowe — po obu stronach stoi iloczyn z $x$ . Ale to pozory: po rozwinięciu nawiasów składniki z $x^2$ pojawią się po obu stronach i się skrócą.
$\textcolor{#E0453A}{x^2} + \textcolor{#16A06A}{3}x - \textcolor{#16A06A}{49} = \textcolor{#E0453A}{x^2} - \textcolor{#16A06A}{4}x$
Odejmujemy $x^2$ od obu stron — zostaje równanie liniowe:
$\textcolor{#16A06A}{3}x - \textcolor{#16A06A}{49} = -\textcolor{#16A06A}{4}x$
$\textcolor{#16A06A}{3}x + \textcolor{#16A06A}{4}x = \textcolor{#16A06A}{49} \qquad \Longrightarrow \qquad \textcolor{#E0453A}{7}x = \textcolor{#16A06A}{49} \qquad \Longrightarrow \qquad x = \textcolor{#E0453A}{7}$
Teraz drugie pytanie zadania: do którego przedziału należy $7$ ?
$(-\infty, 3)$ — nie, bo $7 > 3$ . · $(10, +\infty)$ — nie, bo $7 < 10$ . · $(-5, -1)$ — nie, liczba jest dodatnia. · $(2, +\infty)$ — tak, bo $7 > 2$ .
Odpowiedź: D.
Sprawdzenie w wyjściowym równaniu: lewa strona $7 \cdot 10 - 49 = 21$ , prawa $7 \cdot 3 = 21$ ✓

💡 Wskazówka: Nie sięgaj po deltę tylko dlatego, że widzisz iloczyn z $x$ . Najpierw rozwiń nawiasy i sprawdź, czy $x^2$ nie występuje po obu stronach — jeśli tak, skróci się i zostanie zwykłe równanie liniowe. Ta konstrukcja pojawia się w arkuszach regularnie i cała jej trudność polega właśnie na tym, żeby się nie przestraszyć.

⚠ Zabranie się do rozwiązywania równania kwadratowego: przeniesienie wszystkiego na jedną stronę, policzenie delty i zdziwienie, że przy $x^2$ zostało zero. To nie błąd rachunkowy, tylko zmarnowane dwie minuty. Drugi błąd dotyczy drugiej części zadania: samo wyliczenie $x = 7$ to jeszcze nie odpowiedź. Przedział $(2, +\infty)$ zawiera siódemkę, choć nie jest „najciaśniejszy” — a zadanie nie pyta o najciaśniejszy, tylko o taki, do którego rozwiązanie należy.

Zadanie 4 (maj 2020)1 pktśrednie

Suma wszystkich rozwiązań równania

x(x - 3)(x + 2) = 0

jest równa

A. $0$
B. $1$
C. $2$
D. $3$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Równanie jest zapisane w postaci iloczynu, i to jest najwygodniejsza możliwa postać — nie wolno jej rozwijać. Korzystamy z zasady: iloczyn jest równy zero dokładnie wtedy, gdy przynajmniej jeden z czynników jest równy zero.
Mamy trzy czynniki, więc trzy osobne równania:
$\textcolor{#16A06A}{x} = 0 \qquad \Longrightarrow \qquad x = \textcolor{#E0453A}{0}$
$\textcolor{#16A06A}{x - 3} = 0 \qquad \Longrightarrow \qquad x = \textcolor{#E0453A}{3}$
$\textcolor{#16A06A}{x + 2} = 0 \qquad \Longrightarrow \qquad x = \textcolor{#E0453A}{-2}$
Równanie ma więc trzy rozwiązania: $\textcolor{#E0453A}{0}$ , $\textcolor{#E0453A}{3}$ i $\textcolor{#E0453A}{-2}$ . Zadanie pyta o ich sumę:
$\textcolor{#E0453A}{0} + \textcolor{#E0453A}{3} + (\textcolor{#E0453A}{-2}) = 1$
Odpowiedź: B.
Sprawdzenie każdego rozwiązania osobno: $0 \cdot (-3) \cdot 2 = 0$ ✓, $3 \cdot 0 \cdot 5 = 0$ ✓, $(-2) \cdot (-5) \cdot 0 = 0$ ✓ — w każdym przypadku jeden czynnik zeruje cały iloczyn.

💡 Wskazówka: Znak w nawiasie i znak rozwiązania są przeciwne: z $x - 3 = 0$ wychodzi $+3$ , a z $x + 2 = 0$ wychodzi $-2$ . To jedyne miejsce w tym zadaniu, gdzie można się pomylić — i dlatego warto przepisać trzy rozwiązania obok siebie, zanim się je zsumuje.

⚠ Zatrzymanie się na pierwszym czynniku i odpowiedź $0$ — czyli przeczytanie równania jako „ $x = 0$ ”. Pierwszy czynnik faktycznie daje rozwiązanie $0$ , ale nie jest ono jedynym; do sumy trzeba dodać jeszcze dwa. Drugi błąd: przepisanie znaków z nawiasów bez zmiany, czyli rozwiązania $0$ , $3$ i $2$ . Ich suma to $5$ — liczba, której nie ma wśród odpowiedzi, więc taka pomyłka sama się ujawnia.

Zadanie 5 (maj 2019)1 pktśrednie

Równość

\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{a} = 1

jest prawdziwa dla

A. $a = \dfrac{11}{20}$
B. $a = \dfrac{8}{9}$
C. $a = \dfrac{9}{8}$
D. $a = \dfrac{20}{11}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Niewiadoma stoi w mianowniku, więc rozwiązanie ma dwa etapy: najpierw wyznaczamy $\tfrac1a$ , a potem — i to jest krok, o którym najłatwiej zapomnieć — przechodzimy od $\tfrac1a$ do samego $a$ .
Etap 1 — wyznaczamy $\tfrac1a$ . Przenosimy dwa znane ułamki na prawą stronę:
$\dfrac{1}{a} = 1 - \textcolor{#16A06A}{\dfrac14} - \textcolor{#16A06A}{\dfrac15}$
Wspólny mianownik $\textcolor{#16A06A}{4}$ i $\textcolor{#16A06A}{5}$ to $\textcolor{#E0453A}{20}$ :
$\dfrac{1}{a} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{20}{20}} - \textcolor{#E0453A}{\dfrac{5}{20}} - \textcolor{#E0453A}{\dfrac{4}{20}} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{11}{20}}$
Etap 2 — od $\tfrac1a$ do $a$ . Skoro $\tfrac1a = \tfrac{11}{20}$ , to $a$ jest odwrotnością tej liczby:
$a = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{20}{11}}$
Odpowiedź: D.
Sprawdzenie: $\tfrac14 + \tfrac15 + \tfrac{11}{20} = \tfrac{5}{20} + \tfrac{4}{20} + \tfrac{11}{20} = \tfrac{20}{20} = 1$ ✓

💡 Wskazówka: Zauważ, że $\tfrac1a$ zachowuje się w tym równaniu jak zwykła niewiadoma — można je nawet podstawić jako $t$ i rozwiązać $\tfrac14 + \tfrac15 + t = 1$ . Wtedy widać wyraźnie, że wynik $t = \tfrac{11}{20}$ to nie jest jeszcze odpowiedź: pytanie dotyczy $a$ , a $a = \tfrac1t$ .

⚠ Podanie $\tfrac{11}{20}$ jako odpowiedzi — czyli pominięcie drugiego etapu. Odpowiedź A jest podstawiona dokładnie na tę pomyłkę i jest to najczęstszy błąd w tym zadaniu, bo $\tfrac{11}{20}$ naprawdę wychodzi z rachunku, tylko nie jest tym, o co pytano. Prosta kontrola sensowności: trzy dodawane ułamki mają dać $1$ , a $\tfrac14 + \tfrac15$ to już około $0{,}45$ , więc brakujący ułamek $\tfrac1a$ musi być większy od $\tfrac12$ . Skoro $\tfrac1a > \tfrac12$ , to $a < 2$ — i faktycznie $\tfrac{20}{11} \approx 1{,}82$ .

Zadanie 6 (czerwiec 2021)1 pkttrudniejsze

Rozwiązaniem równania

x\sqrt{3} + 2 = 2x - 8

jest liczba

A. $10\left(2 + \sqrt{3}\right)$
B. $\dfrac{10}{\sqrt{3} - 2}$
C. $10\left(\sqrt{3} - 2\right)$
D. $\dfrac{\sqrt{3} + 10}{2}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Pierwiastek $\sqrt3$ jest tu zwykłą liczbą stojącą przy $x$ — równanie jest liniowe i rozwiązujemy je normalnie.
Iksy na jedną stronę, liczby na drugą:
$x\textcolor{#16A06A}{\sqrt3} - \textcolor{#16A06A}{2}x = -\textcolor{#16A06A}{8} - \textcolor{#16A06A}{2} \qquad \Longrightarrow \qquad x\left(\textcolor{#16A06A}{\sqrt3} - \textcolor{#16A06A}{2}\right) = \textcolor{#E0453A}{-10}$
Warto teraz zmienić znaki w obu miejscach naraz — nawias razy $-1$ i prawa strona razy $-1$ — żeby pozbyć się minusa:
$x\left(\textcolor{#E0453A}{2 - \sqrt3}\right) = \textcolor{#E0453A}{10} \qquad \Longrightarrow \qquad x = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{10}}{\textcolor{#E0453A}{2 - \sqrt3}}$
Usuwamy niewymierność z mianownika. Mnożymy licznik i mianownik przez wyrażenie sprzężone $\left(2 + \sqrt3\right)$ ; w mianowniku powstaje różnica kwadratów:
$x = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{10}\left(2 + \sqrt3\right)}{\left(2 - \sqrt3\right)\left(2 + \sqrt3\right)} = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{10}\left(2 + \sqrt3\right)}{\textcolor{#E0453A}{4} - \textcolor{#E0453A}{3}} = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{10}\left(2 + \sqrt3\right)}{\textcolor{#E0453A}{1}}$
$x = 10\left(2 + \sqrt3\right)$
Odpowiedź: A.
Mianownik wyszedł równy $1$ — to nie przypadek, tylko cała konstrukcja zadania: $2^2 - \left(\sqrt3\right)^2 = 4 - 3 = 1$ . Kontrola przybliżeniem: $x \approx 10 \cdot 3{,}73 = 37{,}3$ ; lewa strona $37{,}3 \cdot 1{,}73 + 2 \approx 66{,}6$ , prawa $2 \cdot 37{,}3 - 8 \approx 66{,}6$ ✓

💡 Wskazówka: Zanim zaczniesz usuwać niewymierność, zamień znak nawiasu tak, żeby był dodatni: z $\sqrt3 - 2$ na $2 - \sqrt3$ , zmieniając jednocześnie znak prawej strony. Wyrażenie sprzężone do $2 - \sqrt3$ to $2 + \sqrt3$ , a ich iloczyn daje $4 - 3 = 1$ — mianownik znika całkowicie i nie ma czego skracać.

⚠ Zgubienie minusa przy prawej stronie. Poprawnie jest $x = \tfrac{-10}{\sqrt3 - 2}$ , czyli $\tfrac{10}{2 - \sqrt3}$ — a odpowiedź B podaje $\tfrac{10}{\sqrt3 - 2}$ , czyli liczbę przeciwną. Warto to sprawdzić na przybliżeniu: $\sqrt3 - 2 \approx -0{,}27$ , więc odpowiedź B jest ujemna i bliska $-37$ , a z równania widać, że rozwiązanie musi być dodatnie (przy $x$ ujemnym lewa strona byłaby dużo mniejsza od prawej). Drugi błąd: pozostawienie odpowiedzi w postaci z pierwiastkiem w mianowniku i szukanie jej wśród odpowiedzi — w arkuszu wszystkie warianty są już doprowadzone do postaci bez niewymierności.

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. A

2. C

3. D

4. B

5. D

6. A

Treści zadań pochodzą z arkuszy matury z matematyki (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

7Pytania i odpowiedzi

Ile rozwiązań może mieć równanie liniowe?

Jedno, żadnego albo nieskończenie wiele. Wszystko rozstrzyga postać $ax = b$ : przy niezerowym $a$ rozwiązanie jest jedno, przy $a = 0$ decyduje $b$ — niezerowe daje sprzeczność, zerowe tożsamość.

Czy wolno mnożyć obie strony przez liczbę ujemną?

Tak, przy równaniach jest to całkowicie bezpieczne — znak równości nie ma kierunku. Odwracanie znaku dotyczy wyłącznie nierówności.

Po co sprawdzać wynik, skoro rachunek był prosty?

Bo pomyłka znaku daje zwykle wynik wyglądający równie wiarygodnie jak poprawny. Podstawienie do pierwotnego równania zajmuje kilkanaście sekund i wyłapuje wszystkie błędy przekształceń.

Czym różni się równanie sprzeczne od tożsamościowego?

W obu niewiadoma znika, ale zostaje co innego: przy sprzecznym zdanie fałszywe i zbiór pusty, przy tożsamościowym zdanie prawdziwe i wszystkie liczby rzeczywiste.

Czy sposób rozwiązywania równań i nierówności liniowych jest taki sam?

Prawie. Ciąg przekształceń jest identyczny, ale przy nierówności mnożenie lub dzielenie przez liczbę ujemną odwraca znak. Przy równaniu taki problem nie występuje.

Czytaj dalej

Nierówności linioweTen sam ciąg przekształceń z jednym wyjątkiem: mnożenie przez liczbę ujemną odwraca znak.Miejsce zerowe funkcji liniowejTo samo równanie $ax + b = 0$ widziane jako pytanie o wykres.Monotoniczność funkcji liniowejTrzeci temat, w którym decyduje pytanie „czy współczynnik przy x jest zerem”.

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-07-31. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.