Procenty — co to znaczy „na sto”

Odpowiedź: A

1. Można to policzyć wprost, ale najpierw warto spojrzeć na strukturę — bo widać ją bez rachunku.
2. $\textcolor{#16A06A}{17\%}$ liczby $\textcolor{#16A06A}{21}$ to $\dfrac{17}{100} \cdot 21 = \dfrac{17 \cdot 21}{100}$
3. $\textcolor{#16A06A}{21\%}$ liczby $\textcolor{#16A06A}{17}$ to $\dfrac{21}{100} \cdot 17 = \dfrac{21 \cdot 17}{100}$
4. W obu ułamkach w liczniku stoi ten sam iloczyn, tylko czynniki są zapisane w innej kolejności — a mnożenie jest przemienne. Obie liczby są więc równe, a ich różnica wynosi $\textcolor{#E0453A}{0}$.
5. Odpowiedź: A.
6. Kontrola rachunkiem: $\tfrac{17}{100} \cdot 21 = \tfrac{357}{100} = 3{,}57$ oraz $\tfrac{21}{100} \cdot 17 = \tfrac{357}{100} = 3{,}57$. Różnica: $3{,}57 - 3{,}57 = 0$ ✓. Zwróć uwagę, że liczba $3{,}57$ jest wśród odpowiedzi — to wartość każdego ze składników z osobna, przygotowana dla tych, którzy policzą tylko jeden z nich.
7. Ta własność jest ogólna: $p$ procent liczby $q$ zawsze równa się $q$ procent liczby $p$. Warto ją zapamiętać, bo bywa użyteczna w rachunku pamięciowym — na przykład $4\%$ z $50$ liczy się gorzej niż $50\%$ z $4$, a to ta sama liczba.

💡 Wskazówka: Zanim zaczniesz liczyć, sprawdź, czy w obu wyrażeniach nie występują te same liczby zamienione miejscami. Procent z liczby to zwykłe mnożenie, a mnożenie jest przemienne — więc takie dwa wyrażenia są równe i różnica wynosi zero. To zadanie sprawdza właśnie tę obserwację, a nie sprawność rachunkową.

⚠ Odpowiedź $C$, czyli $3{,}57$ — policzenie jednego ze składników i zapomnienie o odjęciu drugiego. Drugi błąd: odpowiedź $D$, czyli $4$ — z odjęcia $21 - 17$, czyli z potraktowania samych liczb zamiast procentów z nich. Kontrola: wynik odejmowania dwóch liczb dodatnich, z których każda jest mniejsza od czterech, nie może wynosić czterech.

Odpowiedź: C

1. Zapisujemy zdanie z treści jako równanie. „$x$ stanowi $\textcolor{#16A06A}{70\%}$ liczby $y$” znaczy: $x$ powstaje przez wzięcie siedemdziesięciu procent z $y$.
2. $x = \textcolor{#16A06A}{0{,}7} \cdot y \quad\text{czyli}\quad x = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{7}}{\textcolor{#16A06A}{10}} \cdot y$
3. Pytanie dotyczy $y$, więc wyznaczamy je — mnożymy obie strony przez odwrotność ułamka:
4. $y = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{10}}{\textcolor{#E0453A}{7}} \cdot x$
5. Odpowiedź: C.
6. Kontrola kierunkiem, bez rachunku: skoro $x$ to tylko $70\%$ liczby $y$, to $x$ jest mniejsze od $y$ — a więc $y$ musi być od $x$ większe. Współczynnik przy $x$ musi zatem przekraczać jedynkę. To od razu odrzuca odpowiedzi $B$ ($\tfrac{7}{10} < 1$) i $D$ ($\tfrac{10}{13} < 1$).
7. Kontrola liczbowa: weźmy $y = 100$. Wtedy $x = 70$, a sprawdzana zależność daje $y = \tfrac{10}{7} \cdot 70 = 100$ ✓. Odpowiedź $A$ dałaby $y = \tfrac{13}{10} \cdot 70 = 91$ ✗.

💡 Wskazówka: Uważaj, która litera jest całością: „$x$ stanowi $70\%$ liczby $y$” oznacza, że stoma procentami jest $y$, a nie $x$. Najprościej sprawdzić to podstawieniem $y = 100$ — wtedy $x$ wychodzi liczbą, którą widać, i od razu wiadomo, która jest większa.

⚠ Odpowiedź $B$, czyli $y = \tfrac{7}{10}x$ — z przepisania równania bez wyznaczania $y$, czyli z zamiany ról obu liter. Drugi błąd: odpowiedź $A$ — z potraktowania „$70\%$” jako „o $30\%$ mniej” i doliczenia tych trzydziestu procent z powrotem: $1 + 0{,}3 = 1{,}3$. To nie działa, bo trzydzieści procent liczy się tam od innej liczby; odwrotnością mnożenia przez $0{,}7$ jest dzielenie przez $0{,}7$, czyli mnożenie przez $\tfrac{10}{7} \approx 1{,}43$.

Odpowiedź: A

1. Zapisujemy zdanie jako równanie. „$30\%$ liczby $x$ jest o $2730$ mniejsze od $x$” znaczy, że różnica między $x$ a jego trzydziestoma procentami wynosi $2730$:
2. $\textcolor{#16A06A}{x} - \textcolor{#16A06A}{0{,}3} \cdot x = \textcolor{#16A06A}{2730}$
3. Po lewej stronie wyłączamy $x$ przed nawias:
4. $\textcolor{#E0453A}{0{,}7} \cdot x = \textcolor{#16A06A}{2730}$
5. $x = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{2730}}{\textcolor{#E0453A}{0{,}7}} = \textcolor{#E0453A}{3900}$
6. Odpowiedź: A.
7. Kontrola w przód: $30\%$ z $3900$ to $1170$, a $3900 - 1170 = 2730$ ✓ dokładnie liczba z treści.
8. Warto zauważyć, skąd bierze się odpowiedź $C$: $\tfrac{2730}{0{,}3} = 9100$, czyli wynik podzielenia przez trzydzieści procent zamiast przez siedemdziesiąt. Liczba $2730$ jest tu różnicą, a nie trzydziestoma procentami — i to jest jedyna trudność tego zadania.

💡 Wskazówka: Nie licz nic, dopóki nie ustalisz, jakim procentem liczby $x$ jest podana różnica. Skoro odejmujemy trzydzieści procent, zostaje siedemdziesiąt — i to właśnie te siedemdziesiąt procent wynosi $2730$. Zapisanie równania $x - 0{,}3x = 2730$ robi całą robotę; reszta to jedno dzielenie.

⚠ Odpowiedź $C$, czyli $9100$ — z podzielenia $2730$ przez $0{,}3$, czyli z potraktowania podanej różnicy jako trzydziestu procent liczby $x$. Drugi błąd: odpowiedź $B$, czyli $1911$ — z policzenia $70\%$ z $2730$, a więc z pomnożenia zamiast podzielenia. Obie pomyłki wychwytuje jedno sprawdzenie w przód.

Odpowiedź: A

1. Dwa warunki i trzy litery — ale pytanie dotyczy tylko związku między $a$ i $c$, więc $b$ będzie tym, co je połączy.
2. Zapisujemy oba warunki osobno:
3. $b = \textcolor{#16A06A}{0{,}48} \cdot a \qquad\text{oraz}\qquad b = \textcolor{#16A06A}{0{,}32} \cdot c$
4. Skoro obie prawe strony równają się temu samemu $b$, to równają się sobie nawzajem:
5. $\textcolor{#16A06A}{0{,}48} \cdot a = \textcolor{#16A06A}{0{,}32} \cdot c$
6. Wyznaczamy $c$:
7. $c = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{0{,}48}}{\textcolor{#16A06A}{0{,}32}} \cdot a = \textcolor{#E0453A}{1{,}5} \cdot a$
8. Odpowiedź: A.
9. Kontrola liczbowa — najpewniejszy sposób sprawdzenia takiej zależności. Weźmy $a = 100$. Wtedy $b = 48$. Skoro $48$ ma stanowić $32\%$ liczby $c$, to $c = \tfrac{48}{0{,}32} = 150$. Rzeczywiście $150 = 1{,}5 \cdot 100$ ✓.
10. Kontrola kierunkiem, bez rachunku: ta sama liczba $b$ jest większym procentem liczby $a$ niż liczby $c$ ($48\%$ kontra $32\%$). Żeby mniejszy procent dał tę samą wartość, liczba $c$ musi być większa od $a$ — a więc współczynnik przekracza jedynkę. To od razu odrzuca odpowiedzi $C$ i $D$.

💡 Wskazówka: Gdy jedna wielkość jest opisana dwoma warunkami, zapisz oba i przyrównaj ich prawe strony — to standardowy sposób na wyeliminowanie wspólnej niewiadomej. Nie próbuj wyliczać $a$, $b$ ani $c$ osobno: nie da się, bo danych jest za mało, a pytanie i tak dotyczy tylko ich stosunku.

⚠ Odpowiedź $D$, czyli $c = 0{,}16a$ — z odjęcia procentów $(48\% \text{- } 32\% = 16\%)$ i potraktowania różnicy jako współczynnika. Procentów opisujących różne całości nie wolno odejmować. Drugi błąd: podzielenie w odwrotną stronę, $c = \tfrac{0{,}32}{0{,}48}a = \tfrac23 a \approx 0{,}67a$ — takiej liczby nie ma wśród odpowiedzi, więc ten błąd sam się ujawnia. Dystraktor $0{,}8a$ ma inne źródło. Kontrola liczbowa na $a = 100$ rozstrzyga to w kilkanaście sekund.

Odpowiedź: C

1. Dwa warunki, dwie niewiadome — tym razem da się wyliczyć obie liczby. Zaczynamy od warunku procentowego, bo to on wiąże $a$ z $b$.
2. $\textcolor{#16A06A}{0{,}15} \cdot a = \textcolor{#16A06A}{0{,}10} \cdot b$
3. Mnożymy obie strony przez sto, żeby pozbyć się ułamków:
4. $15a = 10b \quad\Longrightarrow\quad b = \textcolor{#E0453A}{1{,}5} \cdot a$
5. Podstawiamy do drugiego warunku, $a \cdot b = \textcolor{#16A06A}{1350}$:
6. $a \cdot \textcolor{#E0453A}{1{,}5}a = \textcolor{#16A06A}{1350} \quad\Longrightarrow\quad \textcolor{#E0453A}{1{,}5}a^2 = \textcolor{#16A06A}{1350} \quad\Longrightarrow\quad a^2 = \textcolor{#E0453A}{900}$
7. Liczby są dodatnie, więc bierzemy pierwiastek dodatni: $a = \textcolor{#E0453A}{30}$, a stąd $b = 1{,}5 \cdot 30 = \textcolor{#E0453A}{45}$.
8. Odpowiedź: C.
9. Kontrola obu warunków naraz — przy dwóch warunkach trzeba sprawdzić oba. Iloczyn: $30 \cdot 45 = 1350$ ✓. Warunek procentowy: $15\%$ z $30$ to $4{,}5$, a $10\%$ z $45$ to też $4{,}5$ ✓.
10. Warto zauważyć, że informacja „liczby dodatnie” nie jest ozdobnikiem: równanie $a^2 = 900$ ma dwa rozwiązania, $30$ i $-30$, a treść pozwala odrzucić ujemne.

💡 Wskazówka: Zacznij od warunku, który zawiera procenty, bo daje najprostszą zależność między literami — tutaj $b = 1{,}5a$. Dopiero potem podstaw ją do drugiego warunku. Odwrotna kolejność też działa, ale prowadzi do brzydszego równania. I sprawdź na końcu oba warunki, nie tylko ten, do którego podstawiałeś.

⚠ Odpowiedź $D$, czyli $50$ — to dystraktor, do którego nie prowadzi żaden typowy rachunek (zamiana $a$ i $b$ miejscami daje $b = 30$, a nie 50). Odrzuca go sprawdzenie warunku procentowego: dla $b = 50$ jest $a = 1350 : 50 = 27$, a wtedy $15\%$ z $27 = 4{,}05$, zaś $10\%$ z $50 = 5$. Drugi błąd: odpowiedź $B$, czyli $18$ — do tej liczby nie prowadzi żaden naturalny rachunek. Odwrócenie zależności ($b = \tfrac23 a$ zamiast $\tfrac32 a$) daje $a = 45$ i $b = 30$, czyli liczbę spoza zestawu odpowiedzi. Warunku procentowego nie spełnia też $b = 18$: wtedy $a = 1350 : 18 = 75$, a $15\%$ z $75 = 11{,}25$, zaś $10\%$ z $18 = 1{,}8$.

Odpowiedź: B

1. Dwa warunki, ale — inaczej niż w poprzednich zadaniach — nie łączy ich wspólna niewiadoma, tylko wspólna wartość: ta sama liczba $\textcolor{#16A06A}{177}$.
2. Zanim policzysz cokolwiek, warto ustalić kierunek. Ta sama liczba $\textcolor{#16A06A}{177}$ jest większym procentem liczby $a$ niż liczby $b$ ($\textcolor{#16A06A}{75\%}$ kontra $\textcolor{#16A06A}{59\%}$), więc $a$ musi być mniejsze od $b$. To od razu wyklucza odpowiedzi C i D, bo w nich różnica $a - b$ miałaby być dodatnia.
3. Pierwszy warunek: $\tfrac{\textcolor{#16A06A}{75}}{100} \cdot a = \textcolor{#16A06A}{177}$, czyli $a = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{177}}{0{,}75} = \textcolor{#E0453A}{236}$.
4. Drugi warunek: $\tfrac{\textcolor{#16A06A}{59}}{100} \cdot b = \textcolor{#16A06A}{177}$, czyli $b = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{177}}{0{,}59} = \textcolor{#E0453A}{300}$.
5. Różnica: $\textcolor{#E0453A}{300} - \textcolor{#E0453A}{236} = \textcolor{#E0453A}{64}$.
6. Odpowiedź: B.
7. Kontrola obu warunków osobno: $75\%$ z $236$ to $177$ ✓, a $59\%$ z $300$ to $177$ ✓.
8. Liczby są dobrane tak, że dzielenie wychodzi równo, bo $177 = 3 \cdot 59$. Stąd $b = \tfrac{177}{0{,}59} = \tfrac{100 \cdot 3 \cdot 59}{59} = 300$ bez żadnego rachunku pisemnego — a i $a = \tfrac{177 \cdot 4}{3} = 236$ liczy się w pamięci.

💡 Wskazówka: Najpierw ustal, która liczba jest większa — wystarczy porównać procenty, bez liczenia. Im mniejszy procent daje tę samą wartość, tym większa musi być liczba. Ta jedna obserwacja odsiewa połowę odpowiedzi, a jeśli potem pomylisz się w dzieleniu, i tak nie wybierzesz odpowiedzi z odwróconym znakiem.

⚠ Odpowiedzi C i D odwracają kolejność odejmowania — to najczęstsza pomyłka w tym zadaniu, bo litera $a$ pojawia się w treści pierwsza i odruchowo trafia na początek różnicy. Drugi błąd to mnożenie zamiast dzielenia: $0{,}75 \cdot 177 = 132{,}75$ i $0{,}59 \cdot 177 = 104{,}43$, co daje różnicę $28{,}32$ — liczbę bliską $26$, więc kuszącą, żeby wybrać C (przy tym błędzie a wychodzi większe od b). Kontrola „czy $75\%$ z mojego $a$ naprawdę daje $177$” wykrywa to natychmiast.

Odpowiedź: D

1. Obniżka o $p$ procent oznacza, że zostaje $(100-p)\%$ ceny — czyli mnożymy przez ułamek. Robimy to dwa razy, po kolei.
2. Po pierwszej obniżce o $\textcolor{#16A06A}{30\%}$ zostaje $\textcolor{#16A06A}{70\%}$ ceny:
3. $x \cdot \textcolor{#E0453A}{0{,}7}$
4. Po drugiej obniżce o $\textcolor{#16A06A}{20\%}$ zostaje $\textcolor{#16A06A}{80\%}$ tej nowej ceny — bo treść mówi wprost: „w odniesieniu do ceny obowiązującej w danym momencie”:
5. $x \cdot \textcolor{#E0453A}{0{,}7} \cdot \textcolor{#E0453A}{0{,}8} = \textcolor{#E0453A}{0{,}56} \cdot x$
6. Odpowiedź: D.
7. Kontrola na konkretnej kwocie — najprostszy sposób sprawdzenia takiego zadania. Weźmy $x = 100$ zł. Po pierwszej obniżce: $100 - 30 = 70\ \text{zł}$. Po drugiej: $20\%$ z siedemdziesięciu to $14\ \text{zł}$, więc zostaje $70 - 14 = 56\ \text{zł}$ ✓, czyli $0{,}56$ ceny początkowej. Warto zauważyć, że gdyby obie obniżki liczyć od ceny początkowej, wyszłoby $100 - 30 - 20 = 50\ \text{zł}$ — i to jest dokładnie odpowiedź $C$.

💡 Wskazówka: Podstaw $x = 100$ zł i policz zwykłymi liczbami — to szybsze niż operowanie literami i praktycznie nie da się przy tym pomylić. Wynik w złotych od razu mówi, jaki to procent ceny początkowej. Ta sztuczka działa we wszystkich zadaniach tego typu i warto ją stosować także do sprawdzenia odpowiedzi wyliczonej wzorem.

⚠ Odpowiedź $C$, czyli $0{,}50 \cdot x$ — z dodania procentów: $30\% + 20\% = 50\%$ obniżki. To działałoby tylko wtedy, gdyby obie obniżki liczono od ceny początkowej, a treść mówi coś innego. Druga obniżka jest liczona od kwoty już obniżonej, więc „zabiera” mniej złotówek. Drugi błąd: odpowiedź $A$, czyli $0{,}36$ — do tej liczby nie prowadzi żaden typowy rachunek. Pomylenie ułamka, który zostaje, z ułamkiem, który odpada, daje $1 - 0{,}56 = 0{,}44$, czyli odpowiedź B.

Odpowiedź: B

1. Najpierw liczymy, ile zostaje, a dopiero na końcu zamieniamy to na „o ile spadła”.
2. Po obniżce o $\textcolor{#16A06A}{20\%}$ zostaje $\textcolor{#16A06A}{0{,}8}$ ceny. Po obniżce o $\textcolor{#16A06A}{10\%}$ zostaje $\textcolor{#16A06A}{0{,}9}$ tego, co było:
3. $\textcolor{#E0453A}{0{,}8} \cdot \textcolor{#E0453A}{0{,}9} = \textcolor{#E0453A}{0{,}72}$
4. Zostało więc $\textcolor{#E0453A}{72\%}$ ceny początkowej. Pytanie jest jednak o to, o ile cena spadła, a nie ile zostało:
5. $100\% - \textcolor{#E0453A}{72\%} = \textcolor{#E0453A}{28\%}$
6. Odpowiedź: B.
7. Kontrola na stu złotych: $100 \to 80 \to 80 - 8 = 72$ zł. Cena spadła o $28\ \text{zł}$ ze stu, czyli o $28\%$ ✓. Zwróć uwagę, że odpowiedź $D$ $(72\%)$ to to, co zostało, a nie to, o ile spadło — jest przygotowana dokładnie na tę pomyłkę i wygląda przy tym bardzo przekonująco, bo ta liczba naprawdę pojawia się w rachunku.

💡 Wskazówka: Rozdziel dwa pytania, które łatwo pomylić: ile zostało (iloczyn ułamków) i o ile spadło (sto procent minus to, co zostało). Rachunek daje najpierw pierwsze, a zadania pytają zwykle o drugie. Warto po policzeniu iloczynu zapisać sobie obie liczby obok siebie, żeby wybrać właściwą.

⚠ Odpowiedź $D$, czyli $72\%$ — podanie tego, ile zostało, zamiast tego, o ile spadło. Drugi błąd: odpowiedź $C$, czyli $30\%$ — z dodania obu procentów. Różnica między $28\%$ a $30\%$ jest niewielka i właśnie dlatego ten błąd bywa niezauważony; warto zapamiętać, że przy dwóch obniżkach łączny spadek jest zawsze mniejszy od sumy procentów, bo druga zmiana działa na mniejszą kwotę.

Odpowiedź: B

1. Ten sam mechanizm, tylko w drugą stronę: podwyżka o $p$ procent to mnożenie przez $\left(1 + \tfrac{p}{100}\right)$.
2. Po podwyżce o $\textcolor{#16A06A}{20\%}$ cena to $\textcolor{#16A06A}{1{,}2}$ ceny wyjściowej. Po podwyżce o $\textcolor{#16A06A}{30\%}$ — $\textcolor{#16A06A}{1{,}3}$ tego, co było:
3. $\textcolor{#E0453A}{1{,}2} \cdot \textcolor{#E0453A}{1{,}3} = \textcolor{#E0453A}{1{,}56}$
4. Cena wynosi teraz $\textcolor{#E0453A}{156\%}$ wyjściowej, czyli wzrosła o:
5. $\textcolor{#E0453A}{156\%} - 100\% = \textcolor{#E0453A}{56\%}$
6. Odpowiedź: B.
7. Kontrola na stu złotych: $100 \to 120 \to 120 + 36 = 156$ zł, czyli wzrost o $56\ \text{zł}$, a więc o $56\%$ ✓. Warto porównać to z poprzednim zadaniem: przy obniżkach łączny spadek był mniejszy od sumy procentów ($28\%$ zamiast $30\%$), a przy podwyżkach łączny wzrost jest większy od sumy ($56\%$ zamiast $50\%$). Powód jest ten sam w obu przypadkach: druga zmiana działa na kwotę już zmienioną.

💡 Wskazówka: Zapamiętaj kierunek odchylenia: dwie podwyżki dają więcej niż suma procentów, dwie obniżki mniej. To pozwala natychmiast odrzucić odpowiedź równą sumie — tutaj $50\%$ — i zwykle zostawia tylko jedną sensowną. Sam rachunek to jedno mnożenie: $1{,}2 \cdot 1{,}3$.

⚠ Odpowiedź $A$, czyli $50\%$ — z dodania procentów. Drugi błąd: odpowiedź $D$, czyli $66\%$ — z pomnożenia $1{,}2 \cdot 1{,}3$ w pamięci z pomyłką albo z dodania $20\% + 30\% + 16\%$ „na oko”. Warto policzyć iloczyn pisemnie: $12 \cdot 13 = 156$, a przecinek stawia się na końcu.

Odpowiedź: D

1. $\textcolor{#16A06A}{1{,}3} \cdot \textcolor{#16A06A}{1{,}1} = \textcolor{#E0453A}{1{,}43}$, czyli cena wynosi $\textcolor{#E0453A}{143\%}$ wyjściowej.
2. Wzrost to nadwyżka ponad sto procent:
3. $\textcolor{#E0453A}{143\%} - 100\% = \textcolor{#E0453A}{43\%}$
4. Odpowiedź: D.
5. Kontrola na stu złotych: $100 \to 130 \to 130 + 13 = 143$ zł ✓. Kontrola kierunkiem: suma procentów to $40\%$, a wynik musi być większy — bo druga podwyżka liczy się od kwoty już podniesionej. Ta jedna obserwacja wyklucza trzy odpowiedzi naraz: $A$, $B$ i $C$ są wszystkie mniejsze lub równe czterdziestu procentom.
6. Warto też zobaczyć, skąd bierze się dokładnie ta różnica. $1{,}3 \cdot 1{,}1 = 1{,}3 + 0{,}1 \cdot 1{,}3 = 1{,}3 + 0{,}13$ — te dodatkowe trzy punkty procentowe to $10\%$ z już doliczonych trzydziestu procent.

💡 Wskazówka: Zanim policzysz, oszacuj: wynik ma być tuż powyżej sumy procentów, czyli trochę więcej niż $40\%$. W tym zadaniu tylko jedna odpowiedź spełnia ten warunek, więc szacowanie wystarcza do wskazania jej, a rachunek służy już tylko potwierdzeniu.

⚠ Odpowiedź $C$, czyli $40\%$ — z dodania procentów, czyli z pominięcia tego, że druga podwyżka działa na wyższą kwotę. Drugi błąd: odpowiedź $B$, czyli $20\%$ — z uśrednienia obu podwyżek, $\tfrac{30+10}{2} = 20$. Zmian procentowych nie uśrednia się ani nie dodaje — mnoży się czynniki.

Odpowiedź: C

1. Tym razem cena jest podana liczbą, więc liczymy wprost w złotych — krok po kroku.
2. Po pierwszej obniżce o $\textcolor{#16A06A}{10\%}$:
3. $\textcolor{#16A06A}{3500} \cdot \textcolor{#E0453A}{0{,}9} = \textcolor{#E0453A}{3150}$ zł
4. Po drugiej obniżce o $\textcolor{#16A06A}{15\%}$, liczonej od nowej ceny:
5. $\textcolor{#E0453A}{3150} \cdot \textcolor{#E0453A}{0{,}85} = \textcolor{#E0453A}{2677{,}50}$ zł
6. Odpowiedź: C.
7. Kontrola jednym mnożeniem: $3500 \cdot 0{,}9 \cdot 0{,}85 = 3500 \cdot 0{,}765 = 2677{,}50\ \text{zł}$ ✓ — ten sam wynik niezależnie od kolejności działań. Kontrola oszacowaniem: gdyby obie obniżki liczyć od ceny początkowej, byłoby $25\%$ z $3500$, czyli $875\ \text{zł}$, i zostałoby $2625\ \text{zł}$. Prawdziwy wynik musi być odrobinę wyższy — i jest, o $52{,}50\ \text{zł}$. Liczba $2625\ \text{zł}$ to odpowiedź $B$, przygotowana właśnie na ten błąd.

💡 Wskazówka: Licz w złotych, a nie w procentach — masz podaną kwotę, więc nie ma powodu przechodzić na ułamki ceny. Drugą obniżkę licz od wyniku pierwszej, nie od trzech i pół tysiąca. Sprawdzenie zajmuje sekundę: obie obniżki razem muszą zabrać trochę mniej niż $25\%$ ceny początkowej.

⚠ Odpowiedź $B$, czyli $2625\ \text{zł}$ — z odjęcia $25\%$ od ceny początkowej, czyli z dodania procentów. Drugi błąd: odpowiedź $A$, czyli $3272{,}50\ \text{zł}$ — z potraktowania pierwszej zmiany jako podwyżki o $10\%$: $3500 \cdot 1{,}1 = 3850\ \text{zł}$, a potem $3850 \cdot 0{,}85 = 3272{,}50\ \text{zł}$. Warto sprawdzić rząd wielkości: dwie obniżki muszą zabrać w sumie około jednej czwartej ceny, więc wynik ma być bliżej $2700$ niż $3300\ \text{zł}$.

Odpowiedź: C

1. To ten sam schemat co przy obniżkach cen, tylko opowiedziany słowami: dwie kolejne zmiany, druga liczona od tego, co zostało po pierwszej.
2. Pierwszy wydatek. Połowa oszczędności to $\textcolor{#16A06A}{50\%}$, więc zostaje $\textcolor{#E0453A}{50\%}$.
3. Drugi wydatek. Julia wydaje $\textcolor{#16A06A}{10\%}$ tego, co jej zostało — a nie dziesięć procent całości. Zostaje jej więc $\textcolor{#E0453A}{90\%}$ z tej połowy:
4. $\textcolor{#E0453A}{50\%} \cdot \textcolor{#E0453A}{0{,}9} = \textcolor{#E0453A}{45\%}$
5. Odpowiedź: C.
6. Kontrola na stu złotych: Julia ma $100\ \text{zł}$. Na prezent dla Maćka wydaje $50\ \text{zł}$, zostaje jej $50\ \text{zł}$. Na prezent dla Dominiki wydaje $10\%$ z pięćdziesięciu, czyli $5\ \text{zł}$. Zostaje $50 - 5 = 45\ \text{zł}$ ✓, a więc $45\%$ początkowej kwoty.
7. Warto zobaczyć, skąd bierze się odpowiedź $B$ $(40)$: tyle zostałoby, gdyby drugi wydatek liczyć od całości — $100 - 50 - 10 = 40\ \text{zł}$. Różnica to dokładnie te $5\ \text{zł}$, o które dziesięć procent z połowy jest mniejsze niż dziesięć procent z całości.

💡 Wskazówka: Kluczowe są trzy słowa w treści: „tego, co jej zostało”. Dokładnie tak samo jak w zadaniach o cenach mówi się „w odniesieniu do ceny obowiązującej w danym momencie” — to sygnał, że drugi procent liczy się od nowej, mniejszej kwoty, a nie od początkowej. Podstaw $100\ \text{zł}$ i policz zwykłymi liczbami.

⚠ Odpowiedź $B$, czyli $40$ — z odjęcia obu procentów od całości: $100 - 50 - 10$. Drugi błąd: odpowiedź $A$, czyli $25$ — z potraktowania drugiego wydatku jako kolejnej połowy: $50 \cdot 0{,}5 = 25$. Kontrola na stu złotych rozstrzyga to w kilka sekund.

Odpowiedź: C

1. Ten sam schemat co poprzednio, tylko z mniejszymi liczbami — i z odpowiedziami tak dobranymi, że da się je sprawdzić w drugą stronę szybciej, niż rozwiązać równanie.
2. Zależność: $c \cdot \textcolor{#16A06A}{0{,}9} \cdot \textcolor{#16A06A}{0{,}9} = c \cdot \textcolor{#E0453A}{0{,}81} = \textcolor{#16A06A}{1944}$
3. $c = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{1944}}{\textcolor{#E0453A}{0{,}81}} = \textcolor{#E0453A}{2400}$ złotych
4. Odpowiedź: C.
5. Kontrola w przód: $2400 \cdot 0{,}9 = 2160\ \text{zł}$, a potem $2160 \cdot 0{,}9 = 1944\ \text{zł}$ ✓.
6. Drugi sposób, często szybszy na maturze: sprawdź odpowiedzi. Wystarczy pomnożyć każdą przez $0{,}81$ i zobaczyć, która daje $1944$. Dla $2400$ liczy się to w pamięci: $0{,}81 \cdot 2400 = 81 \cdot 24 = 1944$ ✓. Przy czterech odpowiedziach ta metoda jest niezawodna i nie wymaga dzielenia przez ułamek.

💡 Wskazówka: Zauważ, że dwie obniżki po $10\%$ zawsze dają czynnik $0{,}81$ — niezależnie od kwoty. Warto go zapamiętać, bo ten układ wraca w arkuszach regularnie. Wtedy zadanie sprowadza się do jednego dzielenia albo, jeszcze prościej, do jednego mnożenia w drugą stronę: sprawdzasz po kolei odpowiedzi, aż któraś po pomnożeniu przez $0{,}81$ da podaną kwotę.

⚠ Odpowiedź $A$, czyli $2200\ \text{zł}$ — do tej liczby nie prowadzi żaden prosty rachunek procentowy. Drugi błąd: odpowiedź $D$, czyli $3000\ \text{zł}$ — z podzielenia przez $0{,}648$. Sprawdzenie w przód wychwytuje obie pomyłki w kilka sekund: $2200 \cdot 0{,}81 = 1782\ \text{zł}$, a $3000 \cdot 0{,}81 = 2430\ \text{zł}$ — żadna nie daje $1944\ \text{zł}$.

Odpowiedź: A

1. To najciekawsze zadanie w całym zestawie, bo pokazuje, że obniżka i podwyżka o tyle samo procent nie znoszą się nawzajem.
2. Zapisujemy, ile wynosi cena po obniżce:
3. $y = \textcolor{#16A06A}{x} \cdot \textcolor{#E0453A}{0{,}8}$
4. Szukamy takiego procentu $p$, żeby podniesienie $y$ o $p$ dało z powrotem $x$. Najprościej policzyć, ile razy $x$ jest większe od $y$:
5. $\dfrac{\textcolor{#16A06A}{x}}{y} = \dfrac{x}{\textcolor{#E0453A}{0{,}8} \cdot x} = \dfrac{1}{\textcolor{#E0453A}{0{,}8}} = \textcolor{#E0453A}{1{,}25}$
6. Cena musi więc wzrosnąć do $\textcolor{#E0453A}{125\%}$ ceny $y$, czyli o $\textcolor{#E0453A}{25\%}$.
7. Odpowiedź: A.
8. Kontrola na stu złotych: $x = 100$ zł, po obniżce $y = 80$ zł. Żeby wrócić do stu, trzeba dodać $20\ \text{zł}$ — ale liczone od osiemdziesięciu, a $\tfrac{20}{80} = 0{,}25$, czyli $25\%$ ✓. Sedno jest w tym, że te same $20\ \text{zł}$ to $20\%$ ze stu, ale aż $25\%$ z osiemdziesięciu — procent zawsze odnosi się do innej kwoty po każdej zmianie.

💡 Wskazówka: Podwyżka przywracająca cenę jest zawsze większa niż wcześniejsza obniżka, bo liczy się od mniejszej kwoty. To pozwala od razu odrzucić odpowiedzi $B$, $C$ i $D$, wszystkie nie większe od dwudziestu procent. Jeśli chcesz sprawdzić rachunkiem, podstaw $x = 100$ zł — na konkretnych liczbach widać wszystko od razu.

⚠ Odpowiedź $B$, czyli $20\%$ — z przekonania, że podwyżka o tyle samo procent odwraca obniżkę. Nie odwraca: $100 \to 80 \to 96$ zł, czyli brakuje czterech złotych. Ten sam mechanizm sprawia, że po obniżce o $50\%$ trzeba podnieść cenę aż o $100\%$, żeby wrócić do punktu wyjścia.

Odpowiedź: B

1. To dokładnie to samo zadanie co numer $7$ — dwie obniżki po $\textcolor{#16A06A}{10\%}$, szukamy ceny sprzed nich — tylko z innymi liczbami i z innego arkusza. Warto to zobaczyć, bo pokazuje, jak dosłownie schematy się powtarzają.
2. Obniżka o $\textcolor{#16A06A}{10\%}$ to mnożenie przez $\textcolor{#E0453A}{0{,}9}$, więc dwie obniżki to mnożenie przez $\textcolor{#E0453A}{0{,}81}$:
3. $x \cdot \textcolor{#E0453A}{0{,}81} = \textcolor{#16A06A}{78\,732}$
4. $x = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{78\,732}}{\textcolor{#E0453A}{0{,}81}} = \textcolor{#E0453A}{97\,200}$ zł
5. Odpowiedź: B.
6. Kontrola „do przodu”, krok po kroku: $97\,200 \cdot 0{,}9 = 87\,480$ zł po pierwszej obniżce, $87\,480 \cdot 0{,}9 = 78\,732$ zł po drugiej ✓.
7. Ciekawostka, która sama w sobie jest kontrolą: zadanie mówi „w zaokrągleniu do $1\ \text{zł}$”, ale poprawna odpowiedź nie wymaga żadnego zaokrąglenia — $78\,732$ dzieli się przez $0{,}81$ równo. Zaokrąglenia potrzebują za to odpowiedzi C i D, bo wychodzą z rachunków z groszami. Jeśli twój wynik ma końcówkę, to znak, że pomnożyłeś zamiast podzielić.

💡 Wskazówka: Zapisz równanie w kierunku, w którym działy się obniżki — od ceny wyjściowej do końcowej — i dopiero potem je odwróć. Dwie obniżki po $10\%$ to jeden mnożnik $0{,}81$, a nie $0{,}8$: gdybyś potraktował je jak jedną obniżkę o $20\%$, wyszłoby $78\,732 : 0{,}8 = 98\,415$ zł — o ponad tysiąc złotych za dużo.

⚠ Mnożenie zamiast dzielenia — czyli potraktowanie $78\,732$ zł jako ceny przed obniżkami. Przy dwóch podwyżkach po $10\%$ daje to $78\,732 \cdot 1{,}21 = 95\,265{,}72$ zł, czyli po zaokrągleniu odpowiedź C. Przy „obniżce o $20\%$” liczonej w tę samą złą stronę wychodzi $78\,732 \cdot 1{,}2 = 94\,478{,}40$ zł, czyli odpowiedź D. Odpowiedź A nie pochodzi z żadnego rachunku procentowego — to po prostu $78\,732 + 20\,000$.