Strona główna › Geometria przestrzenna › Kula

Kula

Q: Czy da się policzyć objętość kuli, znając pole sfery?

Tak. Z pola wyznacza się promień, dzieląc przez 4 i pierwiastkując, a potem podstawia do wzoru na objętość. Kula jest opisana jedną liczbą, więc każda wielkość wyznacza wszystkie pozostałe.

Kula jest jedyną bryłą opisaną jedną liczbą — promieniem. Nie ma wysokości, tworzącej ani krawędzi, więc każde zadanie sprowadza się do wyznaczenia $r$ i podstawienia. Cała trudność leży gdzie indziej: w rozróżnieniu kuli od sfery, w przekrojach, które nie przechodzą przez środek, oraz w tym, że przy zmianie promienia objętość i pole rosną w różnym tempie.

Dział: Geometria przestrzennaPoziom: liceum — zakres podstawowy

1Kula, sfera i dwa wzory

Rozróżnienie, od którego zaczyna się każde zadanie:

Sfera — sama powierzchnia, czyli zbiór punktów odległych od środka o $r$ . Jak powłoka balonu.
Kula — powierzchnia razem z wnętrzem, czyli zbiór punktów odległych co najwyżej o $r$ . Jak piłka wypełniona.

Stąd bierze się nazewnictwo wzorów: mówimy o objętości kuli i o polu sfery, choć w zadaniach szkolnych oba bywają przypisywane „kuli” i nie jest to uznawane za błąd.

V = \frac{4}{3}\pi r^3, \qquad P = 4\pi r^2

Podstawa programowa dla liceum (wersja od 2025) wymienia kulę w dziale X, zakres podstawowy, punkt 5, razem z pozostałymi bryłami: „oblicza objętości i pola powierzchni graniastosłupów, ostrosłupów, walca, stożka i kuli, również z wykorzystaniem trygonometrii”. Obu wzorów nie trzeba zresztą pamiętać — stoją w karcie wzorów CKE, na stronie 28.

Jak zapamiętać, gdzie jest kwadrat, a gdzie sześcian

Pole jest wielkością dwuwymiarową, więc promień stoi w kwadracie: $4\pi r^2$ .

Objętość jest trójwymiarowa, więc promień stoi w sześcianie: $\frac43\pi r^3$ .

Ta sama zasada działa przy każdej bryle i jest najszybszą kontrolą wzoru: jeśli w polu pojawił się $r^3$ , coś jest nie tak.

Wyniki zapisujemy z $\pi$ . Objętość kuli o promieniu $5$ to $\frac{500\pi}{3}$ — postać dokładna, której nie zamieniamy na liczbę dziesiętną bez polecenia.

2Przekroje kuli

Każdy przekrój kuli płaszczyzną, która ją przecina, jest kołem — niezależnie od tego, pod jakim kątem i w jakiej odległości od środka płaszczyzna przebiega. (Graniczne przypadki opisuje tabela niżej: płaszczyzna styczna daje sam punkt, a rozłączna — nic.) To odróżnia kulę od wszystkich pozostałych brył, w których kształt przekroju zależy od cięcia.

Jeżeli płaszczyzna przechodzi w odległości $d$ od środka, promień przekroju $\varrho$ liczy się z twierdzenia Pitagorasa:

\varrho^2 + d^2 = r^2

Trójkąt prostokątny tworzą tu: promień kuli (przeciwprostokątna), odległość płaszczyzny od środka i promień przekroju. To jedyny rysunek pomocniczy potrzebny w tym temacie.

gdzie tnie płaszczyzna	promień przekroju	nazwa
przez środek ( $d = 0$ )	$\varrho = r$ — największy możliwy	koło wielkie
$0 < d < r$	$\varrho = \sqrt{r^2 - d^2}$	koło mniejsze
stycznie ( $d = r$ )	$\varrho = 0$ — punkt	płaszczyzna styczna
$d > r$	brak przekroju	płaszczyzna rozłączna

Pierwszy wiersz wyjaśnia, dlaczego koło wielkie ma szczególną nazwę: jego promień równa się promieniowi kuli, więc to największy przekrój, jaki da się uzyskać. Przy zadaniach o kuli ziemskiej odpowiada mu równik albo dowolne południkowe koło.

Uwaga na kierunek rachunku. Zadanie podaje zwykle dwie z trzech wielkości $r$ , $d$ , $\varrho$ i pyta o trzecią — a wzór jest ten sam, tylko przekształcany inaczej.

3Co się dzieje przy zmianie promienia

To najczęstsze pytanie „na rozumienie” w tym temacie i wynika wprost z wykładników.

Promień rośnie $k$ razy → pole rośnie $k^2$ razy.
Promień rośnie $k$ razy → objętość rośnie $k^3$ razy.

Podwojenie promienia daje więc czterokrotne pole i ośmiokrotną objętość. Ta rozbieżność jest treścią wielu zadań praktycznych: dwa razy większa kula potrzebuje czterokrotnie więcej materiału na powłokę, ale mieści osiem razy więcej.

Podstawa nazywa to osobnym punktem (X pkt 6: „wykorzystuje zależność między objętościami brył podobnych”), więc warto wiedzieć, że reguła $k^3$ nie dotyczy tylko kuli — obowiązuje dla każdych dwóch brył podobnych. Przy figurach płaskich analogicznie działa $k^2$ , co opisuję przy podobieństwie figur.

Kula wpisana w walec — twierdzenie Archimedesa

Kula wpisana w walec dotyka obu podstaw i powierzchni bocznej, więc walec ma $H = 2r$ .

Objętość walca wynosi wtedy $\pi r^2 \cdot 2r = 2\pi r^3$ , a kuli $\frac43\pi r^3$ .

Stosunek to dokładnie $\frac23$ — i ta sama proporcja zachodzi między polami powierzchni. Archimedes uznał ten wynik za swoje największe odkrycie i kazał wyryć go na swoim grobie.

4Kula wśród brył obrotowych

Trzy bryły obrotowe różnią się figurą, którą obracamy — a wzory na objętość układają się w czytelny ciąg.

bryła	co obracamy	objętość
walec	prostokąt wokół boku	$\pi r^2 H$
stożek	trójkąt prostokątny wokół przyprostokątnej	$\frac{1}{3}\pi r^2 H$
kula	półkole wokół średnicy	$\frac{4}{3}\pi r^3$

Kula jest jedyną z nich, w której nie występuje osobna wysokość — bo obrót półkola daje bryłę symetryczną we wszystkich kierunkach. Dlatego też jako jedyna nie ma przekroju osiowego w sensie „szczególnego” przekroju: każdy przekrój przez środek wygląda tak samo.

Warto zauważyć, że wśród brył o tym samym polu powierzchni kula ma największą objętość. To tłumaczy, dlaczego krople i bańki mydlane przyjmują kształt kulisty — napięcie powierzchniowe minimalizuje powierzchnię przy zadanej objętości.

Przy zadaniach mieszanych (kula w walcu, kula w sześcianie, stożek z kulą wpisaną) obowiązuje jedna zasada: najpierw ustal, co dotyka czego, i dopiero z tego wyprowadź związek między promieniem a wymiarami drugiej bryły. Gotowe związki dla najczęstszych par zebrałem w następnej sekcji.

5Kula wpisana i kula opisana — gotowe związki

To jedyne wzory kuli, których nie da się odczytać z $V$ i $P$ — a wracają w zadaniach maturalnych regularnie. Wszystkie wyprowadza się jednym pytaniem: co dokładnie dotyka czego.

sytuacja	co się styka	promień kuli	przykład liczbowy
kula wpisana w sześcian o krawędzi $a$	sześć ścian	$r = \dfrac{a}{2}$	$a = 6 \Rightarrow r = 3$
kula opisana na sześcianie o krawędzi $a$	osiem wierzchołków	$R = \dfrac{a\sqrt3}{2}$	$a = 6 \Rightarrow R = 3\sqrt3$
kula wpisana w walec o promieniu $r$	obie podstawy i pobocznica	$R = r$ , ale tylko gdy $H = 2r$	$r = 3,\ H = 6 \Rightarrow R = 3$
kula opisana na walcu o promieniu $r$ i wysokości $H$	oba brzegi podstaw	$R = \sqrt{r^2 + \left(\dfrac{H}{2}\right)^2}$	$r = 3,\ H = 8 \Rightarrow R = 5$
kula wpisana w stożek o promieniu $r$ , wysokości $h$ , tworzącej $l$	podstawa i pobocznica	$\varrho = \dfrac{r h}{r + l}$	$r = 3,\ h = 4,\ l = 5 \Rightarrow \varrho = 1{,}5$
kula opisana na stożku	wierzchołek i brzeg podstawy	$R = \dfrac{l^2}{2h}$	$r = 3,\ h = 4,\ l = 5 \Rightarrow R = 3{,}125$

Dwa wiersze o sześcianie warto zapamiętać jako parę, bo różnią się dokładnie o $\sqrt3$ : kula wpisana ma średnicę równą krawędzi, a opisana — równą przekątnej przestrzennej $a\sqrt3$ . Stąd $R : r = \sqrt3$ , niezależnie od wielkości sześcianu.

Trzeci wiersz kryje warunek, o którym łatwo zapomnieć: w walec da się wpisać kulę tylko wtedy, gdy jest on „kwadratowy w przekroju”, czyli $H = 2r$ . Przy innej wysokości kula albo nie dosięgnie podstaw, albo nie dotknie pobocznicy — i wtedy zadanie mówi zwykle o kuli największej mieszczącej się w walcu, co jest czym innym.

Dwa ostatnie wiersze to po prostu okrąg wpisany i opisany trójkąta równoramiennego, którym jest przekrój osiowy stożka: o bokach $l$ , $l$ i $2r$ oraz wysokości $h$ . Nie trzeba ich pamiętać — wystarczy narysować ten trójkąt i zastosować znane wzory na promienie okręgów. Kontrola na przykładzie z tabeli: przekrój ma boki $5$ , $5$ , $6$ i pole $12$ , więc promień wpisanego to $\tfrac{12}{8} = 1{,}5$ ✓, a opisanego $\tfrac{5 \cdot 5 \cdot 6}{4 \cdot 12} = 3{,}125$ ✓ — te same liczby co ze wzorów.

Zadania z tej rodziny prawie zawsze kończą się porównaniem objętości albo pól: ile procent sześcianu wypełnia kula wpisana, ile materiału zostaje po wytoczeniu kuli z walca. Rachunek jest wtedy zwykły — cała trudność siedzi w pierwszym kroku, czyli w wyznaczeniu promienia z tabeli wyżej.

6Przykłady krok po kroku

Cztery zadania: wzory wprost, promień z pola, przekrój poza środkiem i porównanie dwóch kul.

Przykład 1 Objętość i pole z promienia

Oblicz objętość kuli i pole sfery o promieniu $3$ .

$V = \frac{4}{3}\pi \cdot 3^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 27 = 36\pi$ .
$P = 4\pi \cdot 3^2 = 4\pi \cdot 9 = 36\pi$ .
Kontrola wykładników: w objętości $r^3$ , w polu $r^2$ ✓
Kontrola rachunku: $\frac{4}{3} \cdot 27 = 4 \cdot 9 = 36$ ✓

Odpowiedź: $V = 36\pi$ , $P = 36\pi$

Równość liczb to przypadek zachodzący tylko dla $r = 3$ — bo wtedy $\frac43 r^3 = 4r^2$ sprowadza się do $r = 3$ . Dla każdego innego promienia wartości się rozjeżdżają, więc nie warto z tego robić reguły.

Przykład 2 Promień z pola sfery

Pole sfery wynosi $100\pi$ . Oblicz promień kuli i jej objętość.

$4\pi r^2 = 100\pi$ , więc $r^2 = 25$ .
$r = 5$ — biorę pierwiastek dodatni, bo promień jest długością.
$V = \frac{4}{3}\pi \cdot 125 = \frac{500\pi}{3}$ .
Kontrola wsteczna: $4\pi \cdot 25 = 100\pi$ ✓
Kontrola postaci: $\frac{500}{3}$ nie skraca się, więc zostawiam ułamek — to wynik dokładny ✓

Odpowiedź: $r = 5$ , $V = \frac{500\pi}{3}$

Podzielenie obu stron przez $\pi$ w pierwszym kroku upraszcza rachunek i jest zawsze bezpieczne, bo $\pi \neq 0$ . Wynik zostaje z $\pi$ , mimo że w danych też ono było.

Przykład 3 Przekrój poza środkiem

Kulę o promieniu $25$ przecięto płaszczyzną odległą od środka o $7$ . Oblicz promień i pole otrzymanego koła.

Trójkąt prostokątny: promień kuli jest przeciwprostokątną, a $d$ i $\varrho$ przyprostokątnymi.
$\varrho^2 = 25^2 - 7^2 = 625 - 49 = 576$ .
$\varrho = \sqrt{576} = 24$ .
Pole przekroju: $\pi \cdot 24^2 = 576\pi$ .
Kontrola trójki: $7, 24, 25$ spełnia twierdzenie Pitagorasa, bo $49 + 576 = 625$ ✓
Kontrola sensu: przekrój jest mniejszy od koła wielkiego — $24 < 25$ ✓

Odpowiedź: $\varrho = 24$ , pole przekroju $576\pi$

Im dalej od środka tnie płaszczyzna, tym mniejszy przekrój. Dla $d = 25$ zostałby sam punkt, a dla $d > 25$ płaszczyzna minęłaby kulę bez przecięcia.

Przykład 4 Dwie kule podobne

Promień pierwszej kuli wynosi $2$ , drugiej $6$ . Ile razy większe jest pole drugiej sfery, a ile razy jej objętość?

Skala podobieństwa: $k = \frac{6}{2} = 3$ .
Pola są w stosunku $k^2 = 9$ .
Objętości w stosunku $k^3 = 27$ .
Kontrola rachunkiem: $P_1 = 16\pi$ , $P_2 = 144\pi$ , a $\frac{144}{16} = 9$ ✓
Kontrola objętością: $V_1 = \frac{32\pi}{3}$ , $V_2 = 288\pi$ , a $288 : \frac{32}{3} = 27$ ✓

Odpowiedź: Pole $9$ razy większe, objętość $27$ razy większa.

Trzykrotny promień daje dwudziestosiedmiokrotną objętość — i to jest powód, dla którego duże zwierzęta mają nieproporcjonalnie grube kości. Masa rośnie jak $k^3$ , a przekrój kości, który ją utrzymuje, tylko jak $k^2$ .

7Najczęstsze błędy

Pierwsze dwa błędy dotyczą wzorów, trzy kolejne — przekrojów i skali.

Zamiana wykładników we wzorach.

Skąd się bierze: Oba wzory są krótkie i różnią się tylko potęgą oraz współczynnikiem.

Jak zrobić dobrze: Pole jest dwuwymiarowe, więc $r^2$ ; objętość trójwymiarowa, więc $r^3$ . Współczynnik $\frac43$ idzie zawsze z sześcianem.

Wstawienie średnicy zamiast promienia.

Skąd się bierze: Zadania często podają średnicę, a wzory wyglądają tak samo.

Jak zrobić dobrze: Podziel przez dwa, zanim podstawisz. Pomyłka daje objętość ośmiokrotnie za dużą, bo promień występuje w sześcianie.

Uznanie każdego przekroju kuli za koło wielkie.

Skąd się bierze: Każdy przekrój jest kołem, więc różnica bywa pomijana.

Jak zrobić dobrze: Koło wielkie powstaje tylko wtedy, gdy płaszczyzna przechodzi przez środek. W pozostałych przypadkach promień przekroju jest mniejszy i liczy się go z twierdzenia Pitagorasa.

Przyjęcie, że dwukrotny promień daje dwukrotną objętość.

Skąd się bierze: Intuicja podpowiada proporcjonalność prostą.

Jak zrobić dobrze: Objętość rośnie jak trzecia potęga skali, więc dwukrotny promień daje ośmiokrotną objętość. Pole rośnie jak kwadrat, czyli czterokrotnie.

Mylenie kuli ze sferą w zadaniach o polu.

Skąd się bierze: W mowie potocznej oba słowa znaczą to samo.

Jak zrobić dobrze: Sfera to sama powierzchnia, kula to powierzchnia z wnętrzem. Pole dotyczy sfery, objętość kuli — choć w zadaniach szkolnych używa się zwykle jednego słowa.

8Pytania i odpowiedzi

Czym różni się kula od sfery?

Sfera to sama powierzchnia, czyli zbiór punktów odległych od środka dokładnie o promień. Kula to ta powierzchnia razem z wnętrzem. Dlatego mówi się o polu sfery i o objętości kuli.

Jaki kształt ma przekrój kuli?

Zawsze koło, niezależnie od położenia płaszczyzny. Największe jest koło wielkie, powstające przy cięciu przez środek — jego promień równa się promieniowi kuli.

Ile razy wzrośnie objętość, gdy promień się podwoi?

Ośmiokrotnie, bo promień występuje w sześcianie. Pole powierzchni wzrośnie tylko czterokrotnie, ponieważ tam promień stoi w kwadracie. Ta różnica jest treścią wielu zadań praktycznych.

Jaki jest stosunek objętości kuli do walca, w który jest wpisana?

Dokładnie dwie trzecie. Walec opisany na kuli ma wysokość równą średnicy, więc jego objętość wynosi $2\pi r^3$ , a kuli $\frac43\pi r^3$ . Ta sama proporcja zachodzi między polami powierzchni.

Czy da się policzyć objętość kuli, znając pole sfery?

Tak. Z pola wyznacza się promień, dzieląc przez $4\pi$ i pierwiastkując, a potem podstawia do wzoru na objętość. Kula jest opisana jedną liczbą, więc każda wielkość wyznacza wszystkie pozostałe.

Czytaj dalej

WalecBryła opisana na kuli — stąd stosunek dwóch trzecich odkryty przez Archimedesa.StożekTrzecia bryła obrotowa; tam obracamy trójkąt, tu półkole.Podobieństwo figurSkąd biorą się współczynniki $k^2$ i $k^3$ przy porównywaniu pól i objętości.

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-07-31. Tekst redakcji „Nie każ mu liczyć”.