Strona główna › Ciągi › Ciąg geometryczny

Ciąg geometryczny

Q: Czy ciąg może być jednocześnie arytmetyczny i geometryczny?

Tak — dokładnie wtedy, gdy jest stały i niezerowy, na przykład 7, 7, 7, Ma wtedy różnicę 0 i iloraz 1. Innych takich ciągów nie ma.

Q: Czy iloraz może być ułamkiem?

Tak, i to częsty przypadek. Dla q między zerem a jedynką wyrazy zbliżają się do zera — przy dodatnim a_1 ciąg maleje, jak 81, 27, 9, 3 przy q = 1/3, a przy ujemnym rośnie, jak -81, -27, -9, -3 przy tym samym ilorazie.

Q: Dlaczego wyraz ciągu geometrycznego nie może być zerem?

Bo iloraz definiuje się jako dzielenie kolejnego wyrazu przez poprzedni. Gdyby któryś wyraz był zerem, kolejnego ilorazu nie dałoby się obliczyć.

Q: Jak odróżnić ciąg geometryczny od arytmetycznego, patrząc na wyrazy?

Sprawdź, czy przechodzi się do następnego wyrazu przez dodawanie, czy przez mnożenie. Praktycznie: policz różnice i ilorazy sąsiednich par. Poza ciągiem stałym stała może być co najwyżej jedna z tych dwóch wielkości — obie naraz są stałe wyłącznie w ciągu stałym, jak 7, 7, 7, , który należy do obu rodzajów. Uwaga na trzecią możliwość, o której łatwo zapomnieć: bardzo często żadna z nich stała nie jest i wtedy ciąg nie jest ani arytmetyczny, ani geometryczny — jak a_n = 2^n + 1 z ramki wyżej.

Q: Ile rozwiązań ma warunek na trzy kolejne wyrazy?

Dwa, gdy iloczyn skrajnych wyrazów jest dodatni, i żadnego w liczbach rzeczywistych, gdy jest ujemny — bo kwadrat nie bywa ujemny. Rozwiązania zerowego nie przyjmujemy nigdy.

Q: Czy procent składany to ciąg geometryczny?

Tak, i to najczęstszy jego przykład w zadaniach. Przy kapitalizacji odsetek kwota mnoży się co okres przez ten sam czynnik q = 1 + r, gdzie r to stopa procentowa. Przy procencie prostym odsetki liczy się zawsze od kwoty początkowej, więc kapitał rośnie o stałą liczbę złotych i ciąg jest arytmetyczny, a nie geometryczny.

Ciąg geometryczny rozpoznaje się po jednej rzeczy: kolejny wyraz powstaje przez pomnożenie poprzedniego przez stałą liczbę. Nie przez dodanie — to byłby ciąg arytmetyczny — tylko przez pomnożenie. Ta strona jest o rozpoznawaniu i badaniu takich ciągów: jak sprawdzić, czy dany ciąg jest geometryczny, co wolno przyjąć za iloraz, i skąd bierze się warunek, którym w zadaniach sprawdza się trzy kolejne wyrazy.

Dział: CiągiPoziom: liceum — zakres podstawowyZadań z matury: 33

Przejdź od razu do zadań (33) ↓

1Definicja i iloraz

Ciąg jest geometryczny, jeżeli iloraz każdego wyrazu przez poprzedni jest stały. Tę stałą oznaczamy $q$ i nazywamy ilorazem ciągu:

q = \frac{a_{n+1}}{a_n} \qquad \text{dla każdego } n

Słowo „każdego” jest tu istotne. Sprawdzenie jednej pary wyrazów niczego nie dowodzi — trzy liczby mogą przypadkiem mieć wspólny iloraz, a czwarta go zepsuć.

Czego iloraz być nie może

$q \neq 0$ — gdyby iloraz wynosił zero, drugi wyraz byłby zerem, a wtedy nie dałoby się przez niego dzielić przy wyznaczaniu kolejnego ilorazu.

Żaden wyraz nie może być zerem — z tego samego powodu. Ciąg $4, 0, 0, 0, \ldots$ nie jest geometryczny, choć wygląda regularnie.

$q = 1$ jest dozwolone — daje ciąg stały, na przykład $5, 5, 5, \ldots$ , który jest jednocześnie arytmetyczny (o różnicy zero). To jedyne ciągi należące do obu rodzajów.

Zauważ różnicę w konstrukcji: w ciągu arytmetycznym przechodzimy do następnego wyrazu dodając $r$ , w geometrycznym — mnożąc przez $q$ . Stąd bierze się cała odmienność ich zachowania: arytmetyczny rośnie miarowo, geometryczny coraz gwałtowniej albo coraz wolniej.

Wzór pozwalający wyliczyć dowolny wyraz, $a_n = a_1 \cdot q^{\,n-1}$ , omawiam osobno. Tutaj potrzebny jest głównie jako narzędzie do sprawdzania.

2Jak sprawdzić, czy ciąg jest geometryczny

Podstawa programowa wymienia to jako osobną umiejętność (dział VI, punkt 4 zakresu podstawowego: „sprawdza, czy dany ciąg jest arytmetyczny lub geometryczny”). Sposób zależy od tego, jak ciąg jest podany.

Ciąg podany wypisanymi wyrazami — policz iloraz drugiego przez pierwszy, trzeciego przez drugi, czwartego przez trzeci. Jeśli któryś się różni, ciąg nie jest geometryczny i sprawa jest zamknięta.
Ciąg podany wzorem ogólnym — oblicz $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ na literach i sprawdź, czy $n$ się skróci. Jeśli wynik zależy od $n$ , ciąg geometryczny nie jest.
Ciąg podany rekurencyjnie — jeśli reguła ma postać „mnożę poprzedni przez stałą różną od zera”, a pierwszy wyraz też jest niezerowy, ciąg jest geometryczny wprost z definicji. Obu zastrzeżeń pominąć się nie da: reguła „mnożę przez $0$ ” startująca od czwórki daje $4, 0, 0, 0, \ldots$ , a start od zera daje ciąg zerowy — i żaden z nich geometryczny nie jest.

Drugi przypadek jest tym, na którym najczęściej się przegrywa. Wypisanie trzech początkowych wyrazów i sprawdzenie ich ilorazu nie jest dowodem — to tylko sprawdzenie trzech pierwszych przypadków. Rachunek na literach obejmuje wszystkie naraz.

Ciąg, który udaje geometryczny

Weźmy $a_n = 2^n + 1$ . Pierwsze wyrazy to $3, 5, 9, 17$ — rosną coraz szybciej, więc wyglądają na geometryczne.

Ale ilorazy wynoszą kolejno $\frac{5}{3} \approx 1{,}67$ , $\frac{9}{5} = 1{,}8$ , $\frac{17}{9} \approx 1{,}89$ — rosną, zamiast być stałe.

Ten ciąg nie jest geometryczny, choć zbliża się do zachowania ciągu o ilorazie $2$ . Sama „coraz szybsza” regularność niczego nie przesądza.

3Warunek na trzy kolejne wyrazy

Bardzo częsty typ zadania brzmi: *dla jakiej wartości $x$ liczby $a$ , $x$ , $b$ tworzą ciąg geometryczny?* Warunek wygląda tak:

x^2 = a \cdot b

Wyprowadzenie zajmuje jedną linijkę. Skoro iloraz jest stały, to $\frac{x}{a} = \frac{b}{x}$ . Mnożąc na krzyż, dostajemy $x^2 = ab$ .

Ta postać jest wygodniejsza od zapisu z ułamkami, bo nie wymaga zakładania, że $a \neq 0$ przy samym przekształcaniu — warunek niezerowości sprawdzamy dopiero na końcu, przy wyborze rozwiązań.

Gdy $a$ i $b$ są dodatnie, dodatnie z dwóch rozwiązań nazywa się średnią geometryczną liczb $a$ i $b$ ; rozwiązanie ujemne tej nazwy nie nosi, choć w zadaniu jest równie dobre. Zastrzeżenie o dodatnich $a$ i $b$ nie jest formalnością: średnią geometryczną definiuje się wyłącznie dla liczb nieujemnych, więc dla $a = -2$ i $b = -18$ warunek $x^2 = 36$ nadal daje $x = \pm 6$ , ale nazywanie szóstki „średnią geometryczną liczb $-2$ i $-18$ ” byłoby nadużyciem. Analogicznie w ciągu arytmetycznym środkowy wyraz jest ich zwykłą średnią: $x = \frac{a+b}{2}$ — i ta działa dla wszystkich liczb bez wyjątku. Warto widzieć te dwa warunki obok siebie: różnią się dokładnie tym, czym różnią się oba rodzaje ciągów.

rodzaj ciągu	warunek na trzy kolejne wyrazy	liczba rozwiązań
arytmetyczny	$2x = a + b$	zawsze dokładnie jedno
geometryczny	$x^2 = a \cdot b$	dwa albo żadne

Prawa kolumna jest sednem różnicy i źródłem punktów. Równanie kwadratowe daje dwa rozwiązania, gdy $ab > 0$ , i żadnego w liczbach rzeczywistych, gdy $ab < 0$ . Trzeciej możliwości nie ma: przy $ab = 0$ równanie ma wprawdzie jeden pierwiastek $x = 0$ , ale zadanie nie ma wtedy rozwiązania w ogóle — zerem jest już któraś z danych liczb $a$ , $b$ , a wyraz ciągu geometrycznego zerem być nie może.

Dlatego przy tym typie zadania odpowiedź „ $x = 6$ ” bywa niepełna. Jeśli oba rozwiązania są dopuszczalne, oba są odpowiedzią.

4Znak ilorazu i zachowanie ciągu

Iloraz decyduje o wszystkim, co widać w ciągu na pierwszy rzut oka. Warto mieć w głowie cztery przypadki:

iloraz	jak zachowuje się ciąg	przykład
$q > 1$	rośnie coraz szybciej (przy dodatnim $a_1$ )	$5, 15, 45, 135$
$0 < q < 1$	maleje, zbliżając się do zera (przy dodatnim $a_1$ )	$81, 27, 9, 3$
$q < 0$	skacze — znaki na przemian	$4, -12, 36, -108$
$q = 1$	jest stały	$7, 7, 7, 7$

Zastrzeżenie „przy dodatnim $a_1$ ” dotyczy obu pierwszych wierszy: ciąg $-81, -27, -9, -3$ ma iloraz $\frac{1}{3}$ , a rośnie — do zera zbliża się od dołu. Trzeci wiersz jest tym, który psuje najwięcej zadań. Przy ujemnym ilorazie ciąg nie jest ani rosnący, ani malejący — mimo że wartości bezwzględne wyrazów mogą rosnąć bardzo regularnie. Monotoniczność wymaga stałego kierunku, a tu kierunek zmienia się z kroku na krok.

Znak samych wyrazów wynika z parzystości: przy $q < 0$ wyrazy o numerach nieparzystych mają znak $a_1$ , a o parzystych — znak przeciwny. Nie trzeba tego pamiętać jako reguły, wystarczy zauważyć, że mnożąc przez liczbę ujemną, za każdym razem zmieniamy znak.

Ostatni wiersz tabeli ma jeszcze jedną konsekwencję: wzór na sumę wygląda dla $q = 1$ inaczej niż dla pozostałych ilorazów. Piszę o tym na stronie o sumie ciągu geometrycznego.

5Ciąg geometryczny w praktyce

Dział VI podstawy programowej, punkt 7 zakresu podstawowego: „wykorzystuje własności ciągów, w tym arytmetycznych i geometrycznych, do rozwiązywania zadań, również osadzonych w kontekście praktycznym” — i akurat ciąg geometryczny jest tu najczęstszym gościem. Wszędzie tam, gdzie wielkość zmienia się o stały procent, a nie o stałą liczbę, mamy do czynienia z ciągiem geometrycznym.

Reguła przekładu jest krótka: iloraz to $1$ plus stopa zmiany.

sytuacja	zmiana	iloraz $q$
lokata na $4\%$ rocznie	wzrost o $4\%$	$1{,}04$
bakterie podwajające się co $20$ minut	wzrost o $100\%$	$2$
samochód tracący $15\%$ wartości rocznie	spadek o $15\%$	$0{,}85$
substancja o okresie połowicznego rozpadu	spadek o $50\%$	$0{,}5$

Zwróć uwagę na trzeci wiersz: przy spadku iloraz nie jest ujemny, tylko mniejszy od jedynki. Ujemny iloraz oznaczałby zmianę znaku, a wartość samochodu nie staje się przecież ujemna.

Stąd bierze się też różnica między procentem prostym a składanym. Przy prostym odsetki dolicza się od początkowej kwoty, więc kapitał rośnie o stałą liczbę złotych i ciąg jest arytmetyczny. Przy składanym — od aktualnej, więc ciąg jest geometryczny.

Dlaczego to nie jest to samo co mnożenie przez trzy

Trzykrotny spadek o $15\%$ to nie spadek o $45\%$ . Samochód wart $40\,000$ zł po trzech latach kosztuje $40\,000 \cdot 0{,}85^3 = 24\,565$ zł, a nie $22\,000$ zł. Procenty liczy się za każdym razem od nowej wartości, więc czynniki się mnożą, a nie dodają.

6Przykłady krok po kroku

Pięć zadań: sprawdzenie ciągu z wypisanych wyrazów, sprawdzenie ciągu ze wzoru ogólnego, klasyczne trzy kolejne wyrazy, wyznaczanie ilorazu z dwóch odległych wyrazów i lokata na procent składany.

Przykład 1 Czy to ciąg geometryczny

Sprawdź, czy ciąg $5, 15, 45, 135$ jest geometryczny, i podaj jego iloraz.

Liczę kolejne ilorazy: $\frac{15}{5} = 3$ .
$\frac{45}{15} = 3$ .
$\frac{135}{45} = 3$ .
Wszystkie trzy są równe, więc ciąg jest geometryczny o ilorazie $q = 3$ .
Kontrola wzorem ogólnym: $a_4 = 5 \cdot 3^3 = 5 \cdot 27 = 135$ ✓

Odpowiedź: Tak, ciąg jest geometryczny o ilorazie $q = 3$ .

Przy wypisanych wyrazach trzeba sprawdzić wszystkie sąsiednie pary, nie pierwszą. Gdyby ostatni wyraz wynosił $130$ , dwa pierwsze ilorazy nadal dawałyby $3$ , a ciąg nie byłby geometryczny.

Przykład 2 Ciąg zadany wzorem ogólnym

Sprawdź, czy ciąg $a_n = 4 \cdot 3^{\,n}$ jest geometryczny.

Wyznaczam kolejny wyraz: $a_{n+1} = 4 \cdot 3^{\,n+1}$ .
Dzielę: $\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{4 \cdot 3^{\,n+1}}{4 \cdot 3^{\,n}}$ .
Czwórki się skracają, a przy potęgach o tej samej podstawie wykładniki odejmujemy: $3^{\,n+1-n} = 3^1 = 3$ .
Iloraz wyszedł liczbą niezależną od $n$ , więc ciąg jest geometryczny o $q = 3$ .
Kontrola liczbowa: $a_1 = 12$ , $a_2 = 36$ , $a_3 = 108$ , a $\frac{36}{12} = \frac{108}{36} = 3$ ✓

Odpowiedź: Tak, $q = 3$ .

Rachunek na literach jest tu dowodem, a kontrola liczbowa tylko potwierdzeniem. Gdyby zrobić wyłącznie tę drugą, wykazalibyśmy jedynie, że pierwsze trzy wyrazy pasują.

Przykład 3 Trzy kolejne wyrazy

Dla jakich wartości $x$ liczby $2$ , $x$ , $18$ tworzą w tej kolejności ciąg geometryczny?

Stosuję warunek: $x^2 = 2 \cdot 18 = 36$ .
Stąd $x = 6$ albo $x = -6$ — równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania.
Sprawdzam pierwsze: $2, 6, 18$ ma ilorazy $\frac{6}{2} = 3$ oraz $\frac{18}{6} = 3$ ✓
Sprawdzam drugie: $2, -6, 18$ ma ilorazy $\frac{-6}{2} = -3$ oraz $\frac{18}{-6} = -3$ ✓
Żaden z wyrazów nie jest zerem, więc oba rozwiązania są poprawne.

Odpowiedź: $x = 6$ lub $x = -6$

Podanie samego $x = 6$ jest odpowiedzią niepełną. Ujemne rozwiązanie daje ciąg o ilorazie $-3$ — wyrazy skaczą między znakami, ale definicja jest spełniona równie dobrze.

Przykład 4 Iloraz z dwóch odległych wyrazów

W ciągu geometrycznym $a_2 = 12$ oraz $a_5 = 96$ . Wyznacz iloraz i pierwszy wyraz.

Od drugiego do piątego wyrazu są trzy mnożenia przez $q$ , więc $a_5 = a_2 \cdot q^3$ .
$96 = 12 \cdot q^3$ , czyli $q^3 = 8$ .
Pierwiastek stopnia trzeciego z ósemki to $2$ , i jest to jedyne rozwiązanie rzeczywiste — więc $q = 2$ .
Pierwszy wyraz: $a_2 = a_1 \cdot q$ , czyli $12 = a_1 \cdot 2$ , stąd $a_1 = 6$ .
Kontrola: $6, 12, 24, 48, 96$ — piąty wyraz zgadza się z treścią ✓

Odpowiedź: $q = 2$ , $a_1 = 6$

Zwróć uwagę na wykładnik $3$ , a nie $4$ : liczy się liczba kroków między wyrazami, czyli różnica numerów. Gdyby zamiast potęgi trzeciej wyszła parzysta, trzeba by rozważyć dwa znaki ilorazu.

Przykład 5 Lokata na procent składany

Na lokatę wpłacono $5000$ zł przy oprocentowaniu $4\%$ w skali roku, z kapitalizacją roczną. Ile będzie na niej po trzech latach?

Co roku kwota rośnie o $\textcolor{#16A06A}{4\%}$ , czyli mnoży się przez $1 + 0{,}04$ :
$q = \textcolor{#E0453A}{1{,}04}$
To ciąg geometryczny o pierwszym wyrazie $a_1 = \textcolor{#16A06A}{5000}$ . Liczymy rok po roku:
$5000 \to 5200 \to 5408 \to \textcolor{#E0453A}{5624{,}32}$
Albo od razu wzorem na wyraz po trzech okresach:
$5000 \cdot 1{,}04^3 = 5000 \cdot 1{,}124864 = \textcolor{#E0453A}{5624{,}32}$

Odpowiedź: $5624{,}32$ zł

Obie drogi dają ten sam wynik — i to jest kontrola za darmo. Procent prosty dałby $5600$ zł, czyli o $24{,}32$ zł mniej; ta różnica to właśnie odsetki naliczone od odsetek.

7Najczęstsze błędy

Błędy pierwszy, drugi i piąty dotyczą rozpoznawania ciągu, trzeci — warunku na trzy kolejne wyrazy, czwarty — wniosków wyciąganych ze znaku ilorazu.

Uznanie ciągu za geometryczny po sprawdzeniu jednej pary wyrazów.

Skąd się bierze: Pierwszy iloraz zawsze „wychodzi” — bo jest po prostu ilorazem dwóch liczb.

Jak zrobić dobrze: Sprawdź wszystkie sąsiednie pary, a przy wzorze ogólnym policz $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ na literach. Dopiero brak $n$ w wyniku jest dowodem.

Dopuszczenie zera jako wyrazu ciągu.

Skąd się bierze: Ciąg $3, 0, 0, 0$ wygląda na stały i regularny.

Jak zrobić dobrze: Żaden wyraz nie może być zerem, bo przez zero nie da się dzielić przy wyznaczaniu ilorazu. Ta sama zasada odrzuca rozwiązanie $x = 0$ w zadaniach o trzech wyrazach.

Podanie tylko dodatniego rozwiązania warunku $x^2 = ab$ .

Skąd się bierze: Ujemny środkowy wyraz wygląda „nienaturalnie”, więc bywa odrzucany bez sprawdzenia.

Jak zrobić dobrze: Sprawdź oba pierwiastki. Odrzucamy tylko te, które dają zero w ciągu albo są sprzeczne z dodatkowym warunkiem z treści.

Nazywanie ciągu o ujemnym ilorazie rosnącym lub malejącym.

Skąd się bierze: Wartości bezwzględne wyrazów rosną regularnie, więc ciąg sprawia wrażenie monotonicznego.

Jak zrobić dobrze: Przy $q < 0$ ciąg nie jest monotoniczny — wyrazy skaczą między znakami. Monotoniczność wymaga stałego kierunku zmian.

Mylenie ilorazu z różnicą przy sprawdzaniu rodzaju ciągu.

Skąd się bierze: Oba pytania brzmią podobnie i pojawiają się w tym samym zadaniu.

Jak zrobić dobrze: Arytmetyczny sprawdzamy odejmowaniem sąsiednich wyrazów, geometryczny — dzieleniem. Ciąg $2, 4, 8$ ma stały iloraz, ale różnice $2$ i $4$ , więc arytmetyczny nie jest.

Zadania maturalne — ciąg geometryczny i jego iloraz

Prawdziwe zadania z arkuszy matury z matematyki (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem.

Zielone jest to, co dane w treści. Czerwone — to, co policzone po drodze. Cała strona stoi na jednej zależności: dzieląc dowolny wyraz przez wcześniejszy, dostajesz iloraz podniesiony do potęgi równej odstępowi między numerami:

\tfrac{a_{n+k}}{a_n} = q^k

. Stąd praktyczna reguła: policz, o ile numerów przeskakujesz — tyle będzie wynosił wykładnik. Dalej wszystko zależy od tego, czy wykładnik jest nieparzysty (wtedy pierwiastek jest jeden i znak wychodzi sam) czy parzysty (wtedy są dwa kandydaci i potrzebny jest dodatkowy warunek z treści).

Sprawdź się bez zaglądania do odpowiedzi. Wylosuję 10 zadań zamkniętych z tego zestawu — klucz i rozwiązania schowam do czasu sprawdzenia. Pula liczy 15 zadań, więc za każdym razem dostaniesz inny zestaw.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (maj 2010)1 pktłatwe

W ciągu geometrycznym

(a_n)

dane są:

a_1 = 3

a_4 = 24

. Iloraz tego ciągu jest równy

A. $8$
B. $2$
C. $\dfrac{1}{8}$
D. $-\dfrac{1}{2}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Ile numerów przeskakujemy? Od $a_{\textcolor{#16A06A}{1}}$ do $a_{\textcolor{#16A06A}{4}}$ są trzy kroki, więc wykładnik będzie równy $3$ :
$\dfrac{a_{\textcolor{#16A06A}{4}}}{a_{\textcolor{#16A06A}{1}}} = q^{\textcolor{#E0453A}{3}}$
$q^{\textcolor{#E0453A}{3}} = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{24}}{\textcolor{#16A06A}{3}} = \textcolor{#E0453A}{8}$
Pierwiastek trzeciego stopnia — wykładnik nieparzysty, więc rozwiązanie jest tylko jedno:
$q = \sqrt[3]{\textcolor{#E0453A}{8}} = 2$
Odpowiedź: $q = 2$ , czyli B.
Sprawdzenie — wypisujemy ciąg od pierwszego wyrazu: $3,\; 6,\; 12,\; 24$ . Czwarty wyraz to $24$ ✓
Zwróć uwagę, że odpowiedź $8$ (A) to $q^3$ , czyli wynik pośredni. Zatrzymanie się na nim to najczęstsza pomyłka w tym typie zadania.

💡 Wskazówka: Zanim policzysz cokolwiek, policz odstęp między numerami: od $a_1$ do $a_4$ to trzy kroki, nie cztery. Numery wyrazów to nie liczba kroków — kroków jest zawsze o jeden mniej. Ta jedna liczba decyduje o całym zadaniu, bo staje się wykładnikiem.

⚠ Podanie $8$ (odpowiedź A), czyli $q^3$ zamiast $q$ — trzeba jeszcze wyciągnąć pierwiastek trzeciego stopnia. Odpowiedź $\tfrac18$ (C) to ta sama pomyłka z podzieleniem w odwrotną stronę: $\tfrac{3}{24} = \tfrac18$ . Drugi błąd: przyjęcie wykładnika $4$ zamiast $3$ , bo „chodzi o czwarty wyraz”. Wtedy $q^4 = 8$ i wychodzi liczba niewymierna, której nie ma wśród odpowiedzi — dobry sygnał, że odstęp został policzony źle.

Zadanie 2 (czerwiec 2016)1 pktłatwe

Dany jest ciąg geometryczny

(a_n)

, w którym

a_1 = 72

a_4 = 9

. Iloraz

q

tego ciągu jest równy

A. $q = \dfrac{1}{2}$
B. $q = \dfrac{1}{6}$
C. $q = \dfrac{1}{4}$
D. $q = \dfrac{1}{8}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Znów odstęp trzech numerów, więc wykładnik $3$ :
$q^{\textcolor{#E0453A}{3}} = \dfrac{a_{\textcolor{#16A06A}{4}}}{a_{\textcolor{#16A06A}{1}}} = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{9}}{\textcolor{#16A06A}{72}} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac18}$
Pierwiastek trzeciego stopnia z ułamka — pierwiastkujemy licznik i mianownik osobno:
$q = \sqrt[3]{\textcolor{#E0453A}{\dfrac18}} = \dfrac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{\textcolor{#E0453A}{8}}} = \dfrac{1}{2}$
Odpowiedź: $q = \tfrac12$ , czyli A.
Sprawdzenie: $72,\; 36,\; 18,\; 9$ — czwarty wyraz to $9$ ✓
Iloraz mieści się między $0$ i $1$ , a wyrazy są dodatnie, więc ciąg maleje — i faktycznie każda kolejna liczba jest o połowę mniejsza.
Odpowiedź $\tfrac18$ (D) to znów $q^3$ , czyli krok pośredni. Warto zauważyć, że wszystkie cztery odpowiedzi są ułamkami o liczniku $1$ — arkusz celowo nie daje żadnej podpowiedzi z wyglądu liczby.

💡 Wskazówka: Pierwiastek trzeciego stopnia z ułamka liczy się oddzielnie dla licznika i mianownika. $\sqrt[3]{\tfrac18} = \tfrac{1}{2}$ , bo $2^3 = 8$ . Warto mieć w pamięci kilka sześcianów: $2^3 = 8$ , $3^3 = 27$ , $4^3 = 64$ , $5^3 = 125$ — pokrywają praktycznie wszystkie maturalne zadania tego typu.

⚠ Podanie $\tfrac18$ (odpowiedź D), czyli $q^3$ zamiast $q$ . Drugi błąd: pomylenie pierwiastka trzeciego stopnia z dzieleniem przez trzy — $\tfrac18 : 3 = \tfrac{1}{24}$ , liczby nie ma wśród odpowiedzi. Pozostałe dwa dystraktory odpadają w jednym mnożeniu, bo wystarczy sprawdzić czwarty wyraz: dla $q = \tfrac16$ ciąg to $72,\; 12,\; 2,\; \tfrac13$ , a dla $q = \tfrac14$ to $72,\; 18,\; 4{,}5,\; 1{,}125$ . Żaden nie kończy się na $9$ . To najszybsza droga w zadaniach zamkniętych o ilorazie: podstaw kandydata i policz trzy mnożenia.

Zadanie 3 (sierpień 2024)1 pktśrednie

Dany jest ciąg geometryczny

(a_n)

określony dla każdej liczby naturalnej

n \geqslant 1

, w którym

a_2 = 2

oraz

a_5 = 54

. Iloraz ciągu

(a_n)

jest równy

A. $3$
B. $9$
C. $\dfrac{52}{3}$
D. $27$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Tym razem żaden z danych wyrazów nie jest pierwszy — i to nic nie zmienia. Liczy się tylko odstęp numerów.
Od $a_{\textcolor{#16A06A}{2}}$ do $a_{\textcolor{#16A06A}{5}}$ jest $\textcolor{#16A06A}{5} - \textcolor{#16A06A}{2} = \textcolor{#E0453A}{3}$ kroki, więc wykładnik to $3$ :
$q^{\textcolor{#E0453A}{3}} = \dfrac{a_{\textcolor{#16A06A}{5}}}{a_{\textcolor{#16A06A}{2}}} = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{54}}{\textcolor{#16A06A}{2}} = \textcolor{#E0453A}{27}$
$q = \sqrt[3]{\textcolor{#E0453A}{27}} = 3$
Odpowiedź: $q = 3$ , czyli A.
Sprawdzenie: skoro $a_2 = 2$ , to $a_3 = 6$ , $a_4 = 18$ , $a_5 = 54$ ✓
Nie trzeba było w ogóle liczyć $a_1$ — a gdyby ktoś chciał, to $a_1 = \tfrac23$ .

💡 Wskazówka: Nie licz $a_1$ , jeśli nikt o niego nie pyta. Wzór $\tfrac{a_{n+k}}{a_n} = q^k$ działa dla dowolnej pary wyrazów, nie tylko dla pary z pierwszym. Wyznaczanie $a_1$ jako etapu pośredniego to dwa dodatkowe rachunki i dwie dodatkowe okazje do pomyłki.

⚠ Podanie $27$ (odpowiedź D), czyli $q^3$ zamiast $q$ — ta pułapka wraca w każdym zadaniu tego typu i dlatego stoi tu jako osobna odpowiedź. Odpowiedź $9$ (B) to $q^2$ , czyli przyjęcie odstępu $2$ zamiast $3$ : $5 - 2 = 3$ , a nie $2$ . Odpowiedź $\tfrac{52}{3}$ (C) to pułapka arytmetyczna — kto policzy różnicę $54 - 2 = 52$ i podzieli ją przez trzy kroki, dostanie różnicę ciągu arytmetycznego, nie iloraz geometrycznego.

Zadanie 4 (czerwiec 2013)1 pktśrednie

W ciągu geometrycznym

(a_n)

pierwszy wyraz jest równy

\dfrac{9}{8}

, a czwarty wyraz jest równy

\dfrac{1}{3}

. Wówczas iloraz

q

tego ciągu jest równy

A. $q = \dfrac{1}{3}$
B. $q = \dfrac{1}{2}$
C. $q = \dfrac{2}{3}$
D. $q = \dfrac{3}{2}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Odstęp trzech numerów, więc wykładnik $3$ — tylko dzielenie będzie ułamkowe.
$q^{\textcolor{#E0453A}{3}} = \dfrac{a_{\textcolor{#16A06A}{4}}}{a_{\textcolor{#16A06A}{1}}} = \textcolor{#16A06A}{\dfrac13} : \textcolor{#16A06A}{\dfrac98}$
Dzielenie ułamków to mnożenie przez odwrotność:
$q^{\textcolor{#E0453A}{3}} = \textcolor{#16A06A}{\dfrac13} \cdot \textcolor{#E0453A}{\dfrac89} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{8}{27}}$
Pierwiastek trzeciego stopnia: licznik i mianownik są sześcianami, bo $\textcolor{#E0453A}{8} = 2^3$ i $\textcolor{#E0453A}{27} = 3^3$ :
$q = \sqrt[3]{\textcolor{#E0453A}{\dfrac{8}{27}}} = \dfrac{2}{3}$
Odpowiedź: $q = \tfrac23$ , czyli C.
Sprawdzenie: $\tfrac98 \cdot \tfrac23 = \tfrac{18}{24} = \tfrac34$ , potem $\tfrac34 \cdot \tfrac23 = \tfrac12$ , potem $\tfrac12 \cdot \tfrac23 = \tfrac13$ ✓ Czwarty wyraz zgadza się z treścią.
Ciąg to $\tfrac98,\; \tfrac34,\; \tfrac12,\; \tfrac13$ — maleje, bo iloraz jest mniejszy od $1$ .

💡 Wskazówka: Ułamek $\tfrac{8}{27}$ jest tu podarunkiem od autora zadania: oba składniki są sześcianami, więc pierwiastek trzeciego stopnia wychodzi bez kalkulatora. Jeśli po podzieleniu wychodzi ułamek, którego licznik i mianownik nie są sześcianami, to prawie zawsze znaczy, że pomyliła się kolejność dzielenia.

⚠ Podzielenie w odwrotną stronę: $\tfrac98 : \tfrac13 = \tfrac{27}{8}$ , skąd $q = \tfrac32$ , czyli odpowiedź D. Iloraz zawsze liczy się jako wyraz późniejszy przez wcześniejszy — tu $a_4$ przez $a_1$ . Kontrola jest jednym mnożeniem: dla $q = \tfrac32$ ciąg by rósł, a czwarty wyraz $\tfrac13$ jest mniejszy od pierwszego $\tfrac98$ , więc ciąg musi maleć i $q$ musi być mniejsze od $1$ . Ta obserwacja odrzuca odpowiedź D jeszcze przed rachunkiem.

Zadanie 5 (sierpień 2019)1 pktśrednie

Wszystkie wyrazy ciągu geometrycznego

(a_n)

, określonego dla

n \geqslant 1

, są liczbami dodatnimi. Drugi wyraz tego ciągu jest równy

162

, a piąty wyraz jest równy

48

. Oznacza to, że iloraz tego ciągu jest równy

A. $\dfrac{2}{3}$
B. $\dfrac{3}{4}$
C. $\dfrac{1}{3}$
D. $\dfrac{1}{2}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Odstęp: $\textcolor{#16A06A}{5} - \textcolor{#16A06A}{2} = \textcolor{#E0453A}{3}$ , więc wykładnik $3$ .
$q^{\textcolor{#E0453A}{3}} = \dfrac{a_{\textcolor{#16A06A}{5}}}{a_{\textcolor{#16A06A}{2}}} = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{48}}{\textcolor{#16A06A}{162}}$
Skracamy przed pierwiastkowaniem — obie liczby dzielą się przez $6$ :
$\dfrac{\textcolor{#16A06A}{48}}{\textcolor{#16A06A}{162}} = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{8}}{\textcolor{#E0453A}{27}}$
$q = \sqrt[3]{\textcolor{#E0453A}{\dfrac{8}{27}}} = \dfrac{2}{3}$
Odpowiedź: $q = \tfrac23$ , czyli A.
Sprawdzenie: $a_2 = 162$ , więc $a_3 = 108$ , $a_4 = 72$ , $a_5 = 48$ ✓
Warunek „wszystkie wyrazy dodatnie” nie był tu potrzebny do rachunku, bo wykładnik $3$ jest nieparzysty i pierwiastek trzeciego stopnia jest jeden. Przy wykładniku parzystym byłby konieczny — porównaj następne zadania.

💡 Wskazówka: Skracaj ułamek przed pierwiastkowaniem. $\tfrac{48}{162}$ nie wygląda na iloraz sześcianów, ale po podzieleniu licznika i mianownika przez $6$ zmienia się w $\tfrac{8}{27}$ , czyli $\tfrac{2^3}{3^3}$ . Bez skrócenia zadanie wygląda na niewykonalne bez kalkulatora.

⚠ Rezygnacja z zadania po zobaczeniu $\tfrac{48}{162}$ , bo „nie da się tego spierwiastkować”. Da się — po skróceniu. Drugi błąd: zaokrąglenie $\tfrac{48}{162} \approx 0{,}296$ i uznanie, że to „około $\tfrac13$ ”, czyli wybór odpowiedzi C. Ta liczba to $q^3$ , a nie $q$ — przybliżenie tylko utrudnia sprawę, bo ukrywa fakt, że ułamek jest dokładnie równy $\tfrac{8}{27}$ . Wszystkie trzy dystraktory odpadają po policzeniu piątego wyrazu z $a_2 = 162$ : dla $q = \tfrac34$ wychodzi $\approx 68{,}3$ , dla $q = \tfrac13$ wychodzi $6$ , a dla $q = \tfrac12$ wychodzi $20{,}25$ — żaden nie daje $48$ .

Zadanie 6 (sierpień 2016)1 pktśrednie

Pierwszy wyraz ciągu geometrycznego jest równy

8

, a czwarty wyraz tego ciągu jest równy

(-216)

. Iloraz tego ciągu jest równy

A. $-\dfrac{224}{3}$
B. $-3$
C. $-9$
D. $-27$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Czwarty wyraz jest ujemny, a pierwszy dodatni — to od razu mówi, że iloraz musi być ujemny. Wszystkie odpowiedzi są zresztą ujemne, więc znak nie wystarczy do rozstrzygnięcia.
$q^{\textcolor{#E0453A}{3}} = \dfrac{a_{\textcolor{#16A06A}{4}}}{a_{\textcolor{#16A06A}{1}}} = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{-216}}{\textcolor{#16A06A}{8}} = \textcolor{#E0453A}{-27}$
Pierwiastek trzeciego stopnia z liczby ujemnej istnieje i jest ujemny — to ważna różnica w porównaniu z pierwiastkiem kwadratowym:
$q = \sqrt[3]{\textcolor{#E0453A}{-27}} = -3, \qquad \text{bo} \quad (-3)^3 = \textcolor{#E0453A}{-27}$
Odpowiedź: $q = -3$ , czyli B.
Sprawdzenie: $8,\; -24,\; 72,\; -216$ ✓ Znaki zmieniają się naprzemiennie, co jest typowe dla ujemnego ilorazu.
Zwróć uwagę, dlaczego czwarty wyraz jest ujemny: przy ujemnym ilorazie ujemne są wyrazy o numerach parzystych i… nie tylko. Dokładniej: $a_4 = a_1 q^3$ , a $q^3$ jest ujemne, bo trzy to liczba nieparzysta.

💡 Wskazówka: Pierwiastek trzeciego stopnia z liczby ujemnej jest liczbą ujemną — inaczej niż pierwiastek kwadratowy, który z liczby ujemnej nie istnieje. Reguła jest prosta: nieparzysty stopień zachowuje znak, parzysty go gubi. Dlatego przy wykładniku $3$ nigdy nie ma dwóch kandydatów na $q$ .

⚠ Odpowiedź $-\tfrac{224}{3}$ (A) to pułapka arytmetyczna: kto potraktuje ciąg jako arytmetyczny, napisze $8 + 3r = -216$ , skąd $3r = -224$ i $r = -\tfrac{224}{3}$ . Liczba wygląda dziwnie i to jest właśnie sygnał — w zadaniu za punkt iloraz nie bywa takim ułamkiem. Drugi błąd: odpowiedź $-27$ (D), czyli $q^3$ zamiast $q$ . Trzeci: $-9$ (C), które wychodzi z przyjęcia odstępu $2$ zamiast $3$ , ale nawet wtedy $\sqrt{-27}$ nie istnieje — i to samo powinno zatrzymać rachunek.

Zadanie 7 (listopad 2009)1 pktśrednie

W ciągu geometrycznym

(a_n)

dane są:

a_1 = 32

a_4 = -4

. Iloraz tego ciągu jest równy

A. $12$
B. $\dfrac{1}{2}$
C. $-\dfrac{1}{2}$
D. $-12$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

$q^{\textcolor{#E0453A}{3}} = \dfrac{a_{\textcolor{#16A06A}{4}}}{a_{\textcolor{#16A06A}{1}}} = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{-4}}{\textcolor{#16A06A}{32}} = \textcolor{#E0453A}{-\dfrac18}$
$q = \sqrt[3]{\textcolor{#E0453A}{-\dfrac18}} = -\dfrac{1}{2}, \qquad \text{bo} \quad \left(-\tfrac12\right)^3 = \textcolor{#E0453A}{-\tfrac18}$
Odpowiedź: $q = -\tfrac12$ , czyli C.
Sprawdzenie: $32,\; -16,\; 8,\; -4$ ✓
Zauważ, że wartości maleją co do wielkości (32, 16, 8, 4), ale ciąg nie jest malejący — znaki skaczą, więc żadna monotoniczność nie zachodzi. To częste nieporozumienie: malejąca wartość bezwzględna to nie to samo co malejący ciąg.
Odpowiedzi A i D z liczbą $12$ to znów ślad myślenia arytmetycznego: $32 + 3r = -4$ daje $3r = -36$ i $r = -12$ .

💡 Wskazówka: Przy ujemnym czwartym wyrazie i dodatnim pierwszym iloraz musi być ujemny — to eliminuje odpowiedzi A i B jednym spojrzeniem, bez żadnego rachunku. Warto zaczynać od takiej analizy znaków, bo w zadaniach zamkniętych często zostawia tylko dwie możliwości.

⚠ Odpowiedź $-12$ (D) to różnica ciągu arytmetycznego o tych samych wyrazach skrajnych: $32 + 3 \cdot (-12) = -4$ . Rachunek się zgadza, tylko dotyczy innego typu ciągu — i to najpopularniejszy błąd w całym dziale. Drugi błąd: zgubienie minusa i odpowiedź $\tfrac12$ (B). Kontrola: dla $q = \tfrac12$ ciąg to $32,\; 16,\; 8,\; 4$ , a czwarty wyraz miał być $-4$ , nie $4$ .

Zadanie 8 (maj 2019)1 pktśrednie

Dany jest ciąg geometryczny

(a_n)

, określony dla

n \geqslant 1

. Wszystkie wyrazy tego ciągu są dodatnie i spełniony jest warunek

\dfrac{a_5}{a_3} = \dfrac{1}{9}

. Iloraz tego ciągu jest równy

A. $\dfrac{1}{3}$
B. $\dfrac{1}{\sqrt3}$
C. $3$
D. $\sqrt3$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Iloraz wyrazów jest podany wprost, więc od razu wiemy, czemu równa się potęga $q$ . Odstęp: $\textcolor{#16A06A}{5} - \textcolor{#16A06A}{3} = \textcolor{#E0453A}{2}$ , czyli wykładnik parzysty — i tu zaczyna się różnica w porównaniu z poprzednimi zadaniami.
$q^{\textcolor{#E0453A}{2}} = \dfrac{a_{\textcolor{#16A06A}{5}}}{a_{\textcolor{#16A06A}{3}}} = \textcolor{#16A06A}{\dfrac19}$
Pierwiastek kwadratowy daje dwóch kandydatów:
$q = \textcolor{#E0453A}{\dfrac13} \qquad \text{albo} \qquad q = \textcolor{#E0453A}{-\dfrac13}$
Rozstrzyga warunek z treści. Wszystkie wyrazy są dodatnie, więc iloraz dwóch kolejnych wyrazów też jest dodatni — a $q$ jest właśnie takim ilorazem. Zostaje $q = \tfrac13$ .
Odpowiedź: $q = \tfrac13$ , czyli A.
Sprawdzenie na przykładzie: weźmy $a_1 = 9$ . Ciąg: $9,\; 3,\; 1,\; \tfrac13,\; \tfrac19$ . Wtedy $\tfrac{a_5}{a_3} = \tfrac{1/9}{1} = \tfrac19$ ✓ i wszystkie wyrazy dodatnie ✓
Odpowiedzi B i D z $\sqrt3$ pochodzą z pomylenia wykładnika: gdyby odstęp był $4$ , mielibyśmy $q^4 = \tfrac19$ , skąd $q = \tfrac{1}{\sqrt3}$ . Ale od trzeciego do piątego wyrazu są dwa kroki, nie cztery.

💡 Wskazówka: Gdy wykładnik jest parzysty, zawsze wypisz oba pierwiastki i dopiero potem szukaj w treści warunku, który jeden z nich odrzuci. Najczęściej jest to zdanie o dodatnich wyrazach albo o monotoniczności. Przy wykładniku nieparzystym ten problem nie istnieje.

⚠ Pominięcie warunku o dodatnich wyrazach i podanie $-\tfrac13$ — tej odpowiedzi w arkuszu nie ma, ale w zadaniu otwartym za brak uzasadnienia wyboru przepada punkt. Drugi błąd: przyjęcie wykładnika $4$ zamiast $2$ , czyli policzenie odstępu jako $5 - 1$ zamiast $5 - 3$ . Wtedy $q^4 = \tfrac19$ i wychodzi $\tfrac{1}{\sqrt3}$ , czyli odpowiedź B. Odstęp to zawsze różnica numerów obu danych wyrazów, a nie odległość od początku ciągu. Każdy z trzech dystraktorów łatwo odrzucić, licząc $\tfrac{a_5}{a_3} = q^2$ : dla $q = \tfrac{1}{\sqrt3}$ wychodzi $\tfrac13$ , dla $q = \sqrt3$ wychodzi $3$ , a dla $q = 3$ wychodzi $9$ — tylko $q = \tfrac13$ daje $\tfrac19$ .

Zadanie 9 (sierpień 2010)1 pkttrudniejsze

W malejącym ciągu geometrycznym

(a_n)

mamy:

a_1 = -2

a_3 = -4

. Iloraz tego ciągu jest równy

A. $-2$
B. $2$
C. $-\sqrt2$
D. $\sqrt2$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Odstęp $\textcolor{#16A06A}{3} - \textcolor{#16A06A}{1} = \textcolor{#E0453A}{2}$ , czyli wykładnik parzysty — spodziewamy się dwóch kandydatów. Rozstrzygnie ich słowo malejącym z treści.
$q^{\textcolor{#E0453A}{2}} = \dfrac{a_{\textcolor{#16A06A}{3}}}{a_{\textcolor{#16A06A}{1}}} = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{-4}}{\textcolor{#16A06A}{-2}} = \textcolor{#E0453A}{2}$
$q = \textcolor{#E0453A}{\sqrt2} \qquad \text{albo} \qquad q = \textcolor{#E0453A}{-\sqrt2}$
Sprawdzamy oba, wypisując po trzy wyrazy ( $\sqrt2 \approx 1{,}41$ ):
Dla $q = \textcolor{#E0453A}{\sqrt2}$ : $-2;\; -2\sqrt2 \approx -2{,}83;\; -4$ — każdy kolejny mniejszy od poprzedniego, więc ciąg maleje ✓
Dla $q = \textcolor{#E0453A}{-\sqrt2}$ : $-2;\; 2\sqrt2 \approx 2{,}83;\; -4$ — najpierw w górę, potem w dół, więc ciąg nie jest monotoniczny ✗
Odpowiedź: $q = \sqrt2$ , czyli D.
Warto zrozumieć, dlaczego to działa właśnie tak. Wyrazy są ujemne, a mnożenie liczby ujemnej przez coś większego od $1$ przesuwa ją dalej w minus — czyli zmniejsza. Dla ciągu o wyrazach ujemnych iloraz większy od $1$ oznacza więc ciąg malejący, dokładnie odwrotnie niż dla wyrazów dodatnich.
Odpowiedzi A i B ( $\pm2$ ) to $q^2$ zamiast $q$ — ta sama pułapka co w poprzednich zadaniach, tylko z parzystym wykładnikiem.

💡 Wskazówka: Nie zgaduj monotoniczności z samego znaku ilorazu — wypisz trzy wyrazy i spójrz. Reguła „ $q > 1$ znaczy rosnący” obowiązuje tylko przy dodatnich wyrazach; przy ujemnych działa odwrotnie. Trzy liczby zapisane obok siebie rozstrzygają to natychmiast i bez zapamiętywania czterech przypadków.

⚠ Wybór $-\sqrt2$ (odpowiedź C) w przekonaniu, że „ujemne wyrazy wymagają ujemnego ilorazu”. Jest odwrotnie: ujemny iloraz powoduje zmianę znaku, a tu wszystkie trzy podane wyrazy są ujemne, więc iloraz musi być dodatni. Drugi błąd: uznanie, że ciąg $-2;\; -2{,}83;\; -4$ rośnie, bo „liczby rosną co do wielkości”. Rośnie ich wartość bezwzględna, a same liczby maleją — $-4$ jest mniejsze od $-2$ .

Zadanie 10 (maj 2022)1 pktśrednie

Wszystkie wyrazy nieskończonego ciągu geometrycznego

(a_n)

, określonego dla każdej liczby naturalnej

n \geqslant 1

, są dodatnie i

9a_5 = 4a_3

. Wtedy iloraz tego ciągu jest równy

A. $\dfrac{2}{3}$
B. $\dfrac{3}{2}$
C. $\dfrac{2}{9}$
D. $\dfrac{9}{2}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Nie znamy żadnego wyrazu — tylko zależność między dwoma z nich. To wystarczy, bo iloraz nie zależy od tego, gdzie ciąg się zaczyna.
Przenosimy wszystko na jedną stronę zależności. Z warunku $\textcolor{#16A06A}{9} a_5 = \textcolor{#16A06A}{4} a_3$ wynika:
$\dfrac{a_{\textcolor{#16A06A}{5}}}{a_{\textcolor{#16A06A}{3}}} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{4}{9}}$
A ten sam iloraz to potęga $q$ o wykładniku równym odstępowi numerów, czyli $\textcolor{#16A06A}{5} - \textcolor{#16A06A}{3} = \textcolor{#E0453A}{2}$ :
$q^{\textcolor{#E0453A}{2}} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac49} \qquad \Longrightarrow \qquad q = \textcolor{#E0453A}{\dfrac23} \quad \text{albo} \quad q = \textcolor{#E0453A}{-\dfrac23}$
Wyrazy są dodatnie, więc iloraz dwóch z nich też, i zostaje $q = \tfrac23$ .
Odpowiedź: $q = \tfrac23$ , czyli A.
Sprawdzenie na przykładzie: weźmy $a_1 = 9$ , wtedy $a_3 = 9 \cdot \tfrac49 = 4$ i $a_5 = 4 \cdot \tfrac49 = \tfrac{16}{9}$ .
Podstawiamy do warunku: $9 \cdot \tfrac{16}{9} = 16$ oraz $4 \cdot 4 = 16$ ✓ Równość zachodzi.
Odpowiedzi C i D ( $\tfrac29$ i $\tfrac92$ ) to $q^2$ i jego odwrotność — czyli zatrzymanie się przed pierwiastkowaniem albo podzielenie w odwrotną stronę.

💡 Wskazówka: Warunek typu $9a_5 = 4a_3$ najłatwiej przerobić na iloraz wyrazów: podziel obie strony przez $9a_3$ i dostaniesz $\tfrac{a_5}{a_3} = \tfrac49$ . Uwaga na kierunek — liczba stojąca przy $a_5$ ląduje w mianowniku, a ta przy $a_3$ w liczniku. Podstawienie na końcu jest tu obowiązkowe, bo pomyłka w kierunku daje odpowiedź, która też jest na liście.

⚠ Odwrócenie ułamka i przyjęcie $q^2 = \tfrac94$ , skąd $q = \tfrac32$ , czyli odpowiedź B. Kontrola podstawieniem od razu to wykrywa: dla $q = \tfrac32$ i $a_3 = 4$ mamy $a_5 = 9$ , więc $9 \cdot 9 = 81$ , a $4 \cdot 4 = 16$ — nie są równe. Drugi błąd: podanie $\tfrac49$ jako odpowiedzi (jej nie ma na liście, ale $\tfrac29$ z odpowiedzi C jest podobną pułapką) — czyli zapomnienie o pierwiastkowaniu.

Zadanie 11 (sierpień 2025)1 pktśrednie

Ciąg geometryczny

(a_n)

, o wszystkich wyrazach rzeczywistych różnych od

0

, jest określony dla każdej liczby naturalnej

n \geqslant 1

. Wyrazy tego ciągu spełniają warunek

a_3 = -8 \cdot a_6

. Iloraz ciągu

(a_n)

jest równy

A. $(-2)$
B. $\left(-\dfrac{1}{2}\right)$
C. $\dfrac{1}{2}$
D. $2$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Zależność wiąże wyraz trzeci z szóstym, więc odstęp to $\textcolor{#16A06A}{6} - \textcolor{#16A06A}{3} = \textcolor{#E0453A}{3}$ i wykładnik będzie nieparzysty.
Zamieniamy warunek na iloraz wyrazów. Z $a_{\textcolor{#16A06A}{3}} = \textcolor{#16A06A}{-8} \cdot a_{\textcolor{#16A06A}{6}}$ dzielimy obie strony przez $\textcolor{#16A06A}{-8} \cdot a_{\textcolor{#16A06A}{3}}$ :
$\dfrac{a_{\textcolor{#16A06A}{6}}}{a_{\textcolor{#16A06A}{3}}} = \textcolor{#E0453A}{-\dfrac{1}{8}}$
$q^{\textcolor{#E0453A}{3}} = \textcolor{#E0453A}{-\dfrac18} \qquad \Longrightarrow \qquad q = \sqrt[3]{\textcolor{#E0453A}{-\dfrac18}} = -\dfrac12$
Wykładnik jest nieparzysty, więc pierwiastek jest jeden i od razu ujemny — żadnego odsiewania nie trzeba, i dlatego treść nie podaje warunku o znakach, tylko sam zakaz zera.
Odpowiedź: $q = -\tfrac12$ , czyli B.
Sprawdzenie na przykładzie: weźmy $a_3 = 8$ . Wtedy $a_4 = -4$ , $a_5 = 2$ , $a_6 = -1$ .
Podstawiamy: $-8 \cdot a_6 = -8 \cdot (-1) = 8 = a_3$ ✓
Uwaga na kierunek zależności: to trzeci wyraz jest wielokrotnością szóstego, a nie odwrotnie. Dlatego iloraz $\tfrac{a_6}{a_3}$ wychodzi ułamkiem mniejszym od jedynki co do wartości bezwzględnej, a nie liczbą $-8$ .

💡 Wskazówka: Zapisz zależność jako iloraz późniejszego przez wcześniejszego — tu $\tfrac{a_6}{a_3}$ — bo tylko taki iloraz jest równy dodatniej potędze $q$ . Jeśli podzielisz w odwrotną stronę, dostaniesz $q^{-3}$ i wynik trzeba będzie odwrócić, co jest dodatnią okazją do pomyłki.

⚠ Odczytanie warunku odwrotnie, czyli przyjęcie $q^3 = -8$ i podanie $q = -2$ (odpowiedź A). Kontrola podstawieniem: dla $q = -2$ i $a_3 = 8$ mamy $a_6 = 8 \cdot (-8) = -64$ , a wtedy $-8 \cdot a_6 = 512 \ne 8$ . Drugi błąd: zignorowanie minusa i wybór $\tfrac12$ (C) — liczba $-8$ w treści jest ujemna i ten znak musi przejść do wyniku, bo pierwiastek nieparzystego stopnia znaku nie gubi.

Zadanie 12 (czerwiec 2018)1 pktłatwe

Wszystkie wyrazy ciągu geometrycznego

a_n

określonego dla

n \geqslant 1

są dodatnie i

3a_2 = 2a_3

. Stąd wynika, że iloraz

q

tego ciągu jest równy

A. $q = \dfrac{2}{3}$
B. $q = \dfrac{3}{2}$
C. $q = 6$
D. $q = 5$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Warunek dotyczy wyrazów sąsiednich, więc odstęp jest równy $1$ i pierwiastkowanie w ogóle nie będzie potrzebne — iloraz wyjdzie od razu.
$\dfrac{a_{\textcolor{#16A06A}{3}}}{a_{\textcolor{#16A06A}{2}}} = q^{\textcolor{#E0453A}{1}} = q$
Z warunku $\textcolor{#16A06A}{3} a_2 = \textcolor{#16A06A}{2} a_3$ dzielimy obie strony przez $\textcolor{#16A06A}{2} a_2$ :
$q = \dfrac{a_{\textcolor{#16A06A}{3}}}{a_{\textcolor{#16A06A}{2}}} = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{3}}{\textcolor{#16A06A}{2}}$
Odpowiedź: $q = \tfrac32$ , czyli B.
Sprawdzenie na przykładzie: weźmy $a_2 = 2$ , wtedy $a_3 = 2 \cdot \tfrac32 = 3$ .
Podstawiamy: $3 \cdot 2 = 6$ oraz $2 \cdot 3 = 6$ ✓
Warto zauważyć, że współczynniki z treści zamieniają się miejscami: przy $a_2$ stoi trójka, a w wyniku trójka jest w liczniku. To nie przypadek — liczba stojąca przy wyrazie wcześniejszym trafia do licznika ilorazu.
Warunek o dodatnich wyrazach też nie był potrzebny do rachunku, bo dzielenie przez $a_2$ wymaga tylko, żeby $a_2 \ne 0$ — a w ciągu geometrycznym to zawsze prawda.

💡 Wskazówka: Gdy warunek wiąże dwa sąsiednie wyrazy, iloraz odczytuje się wprost ze współczynników, bez potęg i pierwiastków. Wystarczy przekształcić $3a_2 = 2a_3$ do postaci $\tfrac{a_3}{a_2} = \tfrac32$ . To najkrótsze zadanie na tej stronie i warto rozpoznawać je od razu po numerach $2$ i $3$ stojących obok siebie.

⚠ Odwrócenie ułamka i podanie $\tfrac23$ (odpowiedź A). Kontrola podstawieniem: dla $q = \tfrac23$ i $a_2 = 3$ mamy $a_3 = 2$ , więc $3 \cdot 3 = 9$ , a $2 \cdot 2 = 4$ — nie są równe. Warto zapamiętać kierunek: skoro $2a_3 = 3a_2$ , to $a_3$ jest większy od $a_2$ (mnożymy go przez mniejszą liczbę, żeby dostać to samo), więc iloraz musi być większy od $1$ . Ta obserwacja odrzuca A bez rachunku. Odpowiedzi $6$ i $5$ (C i D) to iloczyn i suma liczb z treści — czyste dystraktory bez żadnej drogi rachunkowej, wstawione dla kogoś, kto zobaczy dwójkę i trójkę i zacznie je łączyć na chybił trafił.

Zadanie 13 (maj 2015)1 pktśrednie

W rosnącym ciągu geometrycznym

(a_n)

, określonym dla

n \geqslant 1

, spełniony jest warunek

a_4 = 3a_1

. Iloraz

q

tego ciągu jest równy

A. $q = \dfrac{1}{3}$
B. $q = \dfrac{1}{\sqrt[3]{3}}$
C. $q = \sqrt[3]{3}$
D. $q = 3$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Odstęp $\textcolor{#16A06A}{4} - \textcolor{#16A06A}{1} = \textcolor{#E0453A}{3}$ , więc wykładnik $3$ .
Z warunku $a_{\textcolor{#16A06A}{4}} = \textcolor{#16A06A}{3} a_{\textcolor{#16A06A}{1}}$ dzielimy obie strony przez $a_{\textcolor{#16A06A}{1}}$ :
$q^{\textcolor{#E0453A}{3}} = \dfrac{a_{\textcolor{#16A06A}{4}}}{a_{\textcolor{#16A06A}{1}}} = \textcolor{#16A06A}{3}$
$q = \sqrt[3]{\textcolor{#16A06A}{3}}$
Odpowiedź: $q = \sqrt[3]{3}$ , czyli C.
Odpowiedź jest liczbą niewymierną i to jest zupełnie normalne — nie każdy iloraz musi być ładny. Przybliżenie: $\sqrt[3]{3} \approx 1{,}44$ .
Sprawdzenie na przykładzie: weźmy $a_1 = 1$ . Ciąg: $1;\; 1{,}44;\; 2{,}08;\; 3{,}00$ — czwarty wyraz to faktycznie trzykrotność pierwszego ✓ i ciąg rośnie ✓
Do czego służy słowo „rosnącym”? Wykładnik jest nieparzysty, więc na $q$ jest tylko jeden kandydat i słowo to nie odsiewa żadnego pierwiastka. Ogranicza natomiast znak pierwszego wyrazu: gdyby $a_1$ było ujemne, mnożenie przez $q \approx 1{,}44$ dawałoby liczby coraz bardziej ujemne, więc ciąg by malał. Skoro ma rosnąć, to $a_1 > 0$ .
Odpowiedź $3$ (D) to $q^3$ , czyli zatrzymanie się przed pierwiastkowaniem — pułapka powtarzająca się w każdym zadaniu tej strony.

💡 Wskazówka: Niewymierny wynik nie jest powodem do niepokoju. Jeśli po podzieleniu dostajesz liczbę, która nie jest sześcianem, po prostu zostaw ją pod pierwiastkiem trzeciego stopnia — arkusz często podaje odpowiedź właśnie w tej postaci. Zapis $\sqrt[3]{3}$ jest dokładny, a $1{,}44$ tylko przybliżony.

⚠ Podanie $3$ (odpowiedź D), czyli $q^3$ zamiast $q$ . Drugi błąd: odwrócenie zależności i wybór $\tfrac{1}{\sqrt[3]{3}}$ (B) — treść mówi, że czwarty wyraz jest trzy razy większy, więc ciąg rośnie i $q$ musi być większe od $1$ . Odpowiedzi A i B są mniejsze od $1$ , więc odpadają jednym spojrzeniem, jeszcze przed rachunkiem. To najszybsza droga w tym zadaniu.

Zadanie 14 (czerwiec 2021)1 pkttrudniejsze

Ciąg geometryczny

(a_n)

, określony dla każdej liczby naturalnej

n \geqslant 1

, jest rosnący i wszystkie jego wyrazy są dodatnie. Ponadto spełniony jest warunek

a_3 = a_1 \cdot a_2

. Niech

q

oznacza iloraz ciągu

(a_n)

. Wtedy

A. $a_1 = \dfrac{1}{q}$
B. $a_1 = q$
C. $a_1 = q^2$
D. $a_1 = q^3$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Tu odpowiedzią nie jest liczba, ale zależność między $a_1$ i $q$ — więc celem jest przekształcenie warunku tak, żeby zostały tylko te dwie litery.
Zapisujemy oba wyrazy przez $a_1$ i $q$ :
$a_{\textcolor{#16A06A}{3}} = a_1 q^{\textcolor{#E0453A}{2}}, \qquad a_{\textcolor{#16A06A}{1}} \cdot a_{\textcolor{#16A06A}{2}} = a_1 \cdot \left(a_1 q\right) = \textcolor{#E0453A}{a_1^2 q}$
Wstawiamy do warunku z treści:
$a_1 q^{\textcolor{#E0453A}{2}} = \textcolor{#E0453A}{a_1^2 q}$
Skracamy. Wyrazy ciągu są dodatnie, więc $a_1 \ne 0$ — wolno podzielić obie strony przez $a_1$ :
$q^{\textcolor{#E0453A}{2}} = \textcolor{#E0453A}{a_1 q}$
Iloraz też jest różny od zera (inaczej wszystkie dalsze wyrazy byłyby zerami), więc dzielimy jeszcze przez $q$ :
$q = a_1$
Odpowiedź: $a_1 = q$ , czyli B.
Sprawdzenie na konkretnym przykładzie. Weźmy $q = a_1 = 2$ : ciąg to $2,\; 4,\; 8$ . Warunek: $a_1 \cdot a_2 = 2 \cdot 4 = 8 = a_3$ ✓ Ciąg rośnie i wszystkie wyrazy dodatnie ✓
Drugi przykład, żeby pokazać, że to nie zbieg okoliczności: $q = a_1 = 3$ daje $3,\; 9,\; 27$ , a $3 \cdot 9 = 27$ ✓

💡 Wskazówka: Gdy odpowiedzią jest wzór, a nie liczba, sprowadź wszystko do $a_1$ i $q$ i skracaj. Kluczowe jest uzasadnienie, że wolno dzielić: $a_1 \ne 0$ i $q \ne 0$ w każdym ciągu geometrycznym, więc obie operacje są legalne. Warto to napisać, bo w zadaniu otwartym za samo skrócenie bez komentarza można stracić punkt.

⚠ Skrócenie za dużo albo za mało — na przykład podzielenie obu stron przez $a_1^2$ i wyjście na $\tfrac{q^2}{a_1} = q$ , co prowadzi do tej samej odpowiedzi, ale przez dodatkowy krok. Poważniejszy błąd: zapisanie $a_2$ jako $a_1 + q$ zamiast $a_1 \cdot q$ , czyli pomieszanie ciągu geometrycznego z arytmetycznym. Wtedy warunek robi się kwadratowy i odpowiedź nie pasuje do żadnej z podanych. Najprostsza kontrola całego zadania to podstawienie konkretnych liczb — wystarczy sprawdzić jedną parę, na przykład $a_1 = q = 2$ .

Zadanie 15 (sierpień 2014)1 pktśrednie

Ciąg geometryczny

(a_n)

określony jest wzorem

a_n = -\dfrac{3^n}{4}

dla

n \geqslant 1

. Iloraz tego ciągu jest równy

A. $(-3)$
B. $-\dfrac{3}{4}$
C. $\dfrac{3}{4}$
D. $3$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Mamy wzór ogólny, więc iloraz najpewniej dostaniemy, licząc dwa pierwsze wyrazy i dzieląc je.
$a_1 = -\dfrac{\textcolor{#16A06A}{3}^{\,1}}{\textcolor{#16A06A}{4}} = \textcolor{#E0453A}{-\dfrac34}, \qquad a_2 = -\dfrac{\textcolor{#16A06A}{3}^{\,2}}{\textcolor{#16A06A}{4}} = \textcolor{#E0453A}{-\dfrac94}$
$q = \dfrac{a_2}{a_1} = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{-9/4}}{\textcolor{#E0453A}{-3/4}} = \textcolor{#E0453A}{3}$
Dwa minusy się znoszą, a czwórki skracają — zostaje $\tfrac93 = 3$ .
Odpowiedź: $q = 3$ , czyli D.
To samo ogólnie, żeby zobaczyć, dlaczego minus nie ma znaczenia:
$q = \dfrac{a_{n+1}}{a_n} = \dfrac{-3^{\,n+1}/4}{-3^{\,n}/4} = \dfrac{3^{\,n+1}}{3^{\,n}} = \textcolor{#E0453A}{3}$
Minus i czwórka stoją w obu wyrazach, więc przy dzieleniu wypadają. Iloraz zależy wyłącznie od tego, co siedzi w wykładniku.
Sprawdzenie: ciąg to $-\tfrac34,\; -\tfrac94,\; -\tfrac{27}{4},\; \ldots$ — wszystkie wyrazy ujemne, każdy trzy razy większy co do wartości bezwzględnej. Ciąg maleje, choć iloraz jest dodatni i większy od $1$ — bo wyrazy są ujemne.

💡 Wskazówka: Ze wzoru ogólnego iloraz odczytuje się jako podstawa potęgi, w której siedzi $n$ . Wszystko, co nie zależy od $n$ — tutaj minus i dzielenie przez cztery — jest częścią pierwszego wyrazu i przy dzieleniu się skraca. Jeśli nie jesteś pewien, policz $a_1$ i $a_2$ i podziel: dwa podstawienia rozstrzygają sprawę.

⚠ Wzięcie minusa do ilorazu i odpowiedź $-3$ (A). Minus stoi przed całym wzorem, a nie w podstawie potęgi — gdyby ciąg był określony wzorem $a_n = \tfrac{(-3)^n}{4}$ , iloraz faktycznie wynosiłby $-3$ , ale nawias jest tu kluczowy. Drugi błąd: odpowiedź $-\tfrac34$ (B), czyli podanie pierwszego wyrazu zamiast ilorazu. Trzeci: uznanie, że ciąg o dodatnim ilorazie większym od jedynki musi rosnąć — te wyrazy są ujemne, więc ciąg maleje.

Zadanie 16 (sierpień 2023)1 pktśrednie

Dany jest ciąg geometryczny

(a_n)

, określony dla każdej liczby naturalnej

n \geqslant 1

. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy

128

, natomiast iloraz ciągu jest równy

\left(-\dfrac{1}{2}\right)

.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń.

Wyraz $a_{2023}$ jest liczbą ujemną.	P	F
Różnica $a_3 - a_2$ jest równa $96$ .	P	F

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: F, P

Stwierdzenie 1 — znak wyrazu o numerze 2023. Nikt nie każe liczyć tej liczby; wystarczy znak.
$a_{2023} = \textcolor{#16A06A}{128} \cdot \left(\textcolor{#16A06A}{-\tfrac12}\right)^{\textcolor{#E0453A}{2022}}$
Wykładnik to $\textcolor{#E0453A}{2023} - 1 = \textcolor{#E0453A}{2022}$ , czyli liczba parzysta. Potęga liczby ujemnej o parzystym wykładniku jest dodatnia, a $\textcolor{#16A06A}{128}$ też jest dodatnie — więc $a_{2023} > 0$ .
Stwierdzenie mówi, że wyraz jest ujemny, więc jest FAŁSZ.
Reguła ogólna dla tego ciągu: ujemne są wyrazy o numerach parzystych (bo wtedy wykładnik $n-1$ jest nieparzysty), a dodatnie o numerach nieparzystych. $2023$ jest nieparzyste, więc wyraz jest dodatni.
Stwierdzenie 2 — różnica trzeciego i drugiego wyrazu. Tu wystarczy policzyć dwa wyrazy:
$a_2 = \textcolor{#16A06A}{128} \cdot \left(\textcolor{#16A06A}{-\tfrac12}\right) = \textcolor{#E0453A}{-64}, \qquad a_3 = \textcolor{#E0453A}{-64} \cdot \left(\textcolor{#16A06A}{-\tfrac12}\right) = \textcolor{#E0453A}{32}$
$a_3 - a_2 = \textcolor{#E0453A}{32} - \left(\textcolor{#E0453A}{-64}\right) = \textcolor{#E0453A}{32} + \textcolor{#E0453A}{64} = 96$
Stwierdzenie jest PRAWDĄ.
Odpowiedź: F, P.
Zwróć uwagę na drugie stwierdzenie: odejmowanie liczby ujemnej zamienia się w dodawanie, dlatego różnica dwóch wyrazów o wartościach $32$ i $-64$ wyszła aż $96$ . Gdyby ktoś odjął mechanicznie „ $32 - 64$ ”, dostałby $-32$ i uznałby zdanie za fałszywe.

💡 Wskazówka: Do znaku wyrazu o wysokim numerze nigdy nie licz jego wartości — sprawdź tylko parzystość wykładnika $n - 1$ . Przy ujemnym ilorazie znaki idą naprzemiennie i wystarczy wiedzieć, czy numer jest parzysty czy nieparzysty. Uwaga: to numer minus jeden jest wykładnikiem, więc numer nieparzysty daje wykładnik parzysty.

⚠ Uznanie pierwszego stwierdzenia za prawdziwe, bo „iloraz jest ujemny, więc dalekie wyrazy są ujemne”. Znak zmienia się co krok, więc o niczym nie decyduje sam iloraz, tylko parzystość numeru. Drugi błąd: policzenie $a_3 - a_2$ jako $32 - 64 = -32$ , czyli zgubienie minusa przy $a_2$ . Kontrola jest prosta: $a_3$ jest dodatnie, $a_2$ ujemne, więc różnica $a_3 - a_2$ musi być dodatnia i większa od samego $a_3$ .

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. B	2. A	3. A	4. C	5. A	6. B
7. C	8. A	9. D	10. A	11. B	12. B
13. C	14. B	15. D	16. F, P

Treści zadań pochodzą z arkuszy matury z matematyki (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

Zadania maturalne — trzy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego

Zielone jest to, co dane w treści. Czerwone — to, co policzone po drodze. Cała ta strona stoi na jednej własności: jeśli liczby

a

b

c

tworzą w tej kolejności ciąg geometryczny, to

b^2 = a \cdot c

. Bierze się to wprost z definicji — oba ilorazy muszą być równe, czyli

\tfrac{b}{a} = \tfrac{c}{b}

, a po pomnożeniu na krzyż zostaje

b^2 = ac

. Uwaga na drugą stronę medalu: w ciągu geometrycznym żaden wyraz nie może być zerem, bo dzieli się przez niego przy liczeniu ilorazu. Dlatego po znalezieniu niewiadomej zawsze wypisuję trzy wyrazy i patrzę, czy któryś nie wyszedł zerem.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (maj 2013)1 pktłatwe

Ciąg

(27,\, 18,\, x+5)

jest geometryczny. Wtedy

A. $x = 4$
B. $x = 5$
C. $x = 7$
D. $x = 9$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Warunek na środkowy wyraz. Środkowa liczba to $\textcolor{#16A06A}{18}$ , więc jej kwadrat musi być równy iloczynowi skrajnych:
$\textcolor{#16A06A}{18}^2 = \textcolor{#16A06A}{27} \cdot (x + \textcolor{#16A06A}{5})$
$\textcolor{#E0453A}{324} = \textcolor{#16A06A}{27} \cdot (x + \textcolor{#16A06A}{5})$
Dzielimy przez 27. Nawias zostaje sam:
$x + \textcolor{#16A06A}{5} = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{324}}{\textcolor{#16A06A}{27}} = \textcolor{#E0453A}{12}$
$x = \textcolor{#E0453A}{12} - \textcolor{#16A06A}{5} = 7$
Odpowiedź: $x = 7$ , czyli C.
Sprawdzenie — wypisujemy ciąg: $27,\; 18,\; 12$ . Ilorazy: $\tfrac{18}{27} = \tfrac23$ oraz $\tfrac{12}{18} = \tfrac23$ ✓ Oba równe, więc ciąg jest geometryczny o ilorazie $\tfrac23$ .
Żaden wyraz nie jest zerem, więc nie ma tu żadnej pułapki.

💡 Wskazówka: Nie licz ilorazu z dwóch pierwszych wyrazów, żeby potem mnożyć — to droga dłuższa. Od razu zapisz $b^2 = ac$ , czyli $18^2 = 27 \cdot (x+5)$ : jedno równanie z jedną niewiadomą i koniec. Ta sama jedna linijka rozwiązuje większość zadań na tej stronie.

⚠ Traktowanie ciągu jako arytmetycznego, czyli $2 \cdot 18 = 27 + (x+5)$ — wtedy $x + 5 = 9$ i wychodzi $x = 4$ , dokładnie odpowiedź A. To najczęstsza pomyłka w całym dziale: wzory na środkowy wyraz są bardzo podobne, ale w arytmetycznym środkowy jest średnią skrajnych, a w geometrycznym jego kwadrat jest ich iloczynem. Warto zapamiętać kierunek: arytmetyczny dodaje, geometryczny mnoży.

Zadanie 2 (maj 2023)1 pktłatwe

Trzywyrazowy ciąg

(27,\, 9,\, a-1)

jest geometryczny. Liczba

a

jest równa

A. $3$
B. $0$
C. $4$
D. $2$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Warunek na środkowy wyraz.
$\textcolor{#16A06A}{9}^2 = \textcolor{#16A06A}{27} \cdot (a - \textcolor{#16A06A}{1}) \qquad \Longrightarrow \qquad \textcolor{#E0453A}{81} = \textcolor{#16A06A}{27} \cdot (a - \textcolor{#16A06A}{1})$
$a - \textcolor{#16A06A}{1} = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{81}}{\textcolor{#16A06A}{27}} = \textcolor{#E0453A}{3}$
$a = \textcolor{#E0453A}{3} + \textcolor{#16A06A}{1} = 4$
Odpowiedź: $a = 4$ , czyli C.
Sprawdzenie: ciąg to $27,\; 9,\; 3$ . Ilorazy $\tfrac{9}{27} = \tfrac13$ i $\tfrac{3}{9} = \tfrac13$ ✓
Zwróć uwagę, że pytanie dotyczy litery $a$ , a nie trzeciego wyrazu. Trzeci wyraz to $3$ — i to jest odpowiedź A, podstawiona dokładnie na tę pomyłkę.

💡 Wskazówka: Po wyliczeniu wartości nawiasu ( $a - 1 = 3$ ) zatrzymaj się na sekundę i przeczytaj pytanie jeszcze raz. Bardzo często arkusz pyta o literę, a nie o wyraz ciągu, i wynik pośredni jest jednym z dystraktorów.

⚠ Podanie $3$ , czyli wartości trzeciego wyrazu zamiast liczby $a$ — odpowiedź A jest ustawiona dokładnie na to zatrzymanie o jeden krok za wcześnie. Pozostałe dwie odpowiedzi odpadają w jednym podstawieniu: dla $a = 0$ ciąg to $27,\; 9,\; -1$ (ilorazy $\tfrac13$ i $-\tfrac19$ ), a dla $a = 2$ ciąg to $27,\; 9,\; 1$ (ilorazy $\tfrac13$ i $\tfrac19$ ). Warto wyrobić sobie ten nawyk: przy zadaniu zamkniętym sprawdzenie kandydata jest szybsze niż dochodzenie, skąd dystraktor się wziął.

Zadanie 3 (grudzień 2023)1 pktśrednie

Trzywyrazowy ciąg

(1-2a,\, 12,\, 48)

jest geometryczny. Liczba

a

jest równa

A. $(-1)$
B. $3$
C. $4$
D. $12{,}5$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Tym razem niewiadoma siedzi w pierwszym wyrazie, ale warunek jest dokładnie ten sam.
$\textcolor{#16A06A}{12}^2 = (1 - 2a) \cdot \textcolor{#16A06A}{48} \qquad \Longrightarrow \qquad \textcolor{#E0453A}{144} = (1 - 2a) \cdot \textcolor{#16A06A}{48}$
$1 - 2a = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{144}}{\textcolor{#16A06A}{48}} = \textcolor{#E0453A}{3}$
Rozwiązujemy równanie liniowe. Uwaga na znak przy $a$ :
$-2a = \textcolor{#E0453A}{3} - \textcolor{#16A06A}{1} = \textcolor{#E0453A}{2} \qquad \Longrightarrow \qquad a = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{2}}{\textcolor{#E0453A}{-2}} = -1$
Odpowiedź: $a = -1$ , czyli A.
Sprawdzenie: dla $a = -1$ pierwszy wyraz to $1 - 2 \cdot (-1) = 3$ , więc ciąg to $3,\; 12,\; 48$ . Ilorazy $\tfrac{12}{3} = 4$ i $\tfrac{48}{12} = 4$ ✓
Ciąg rośnie, bo iloraz jest większy od $1$ przy dodatnich wyrazach.

💡 Wskazówka: Gdy niewiadoma stoi w pierwszym wyrazie, nic się nie zmienia — środkowy wyraz zawsze podnosisz do kwadratu, a skrajne mnożysz. Kolejność liter w treści nie ma znaczenia dla wzoru, tylko dla tego, co wstawiasz w które miejsce.

⚠ Zgubienie minusa przy dzieleniu: z $-2a = 2$ wyjście na $a = 1$ zamiast $a = -1$ . Kontrola jest natychmiastowa — dla $a = 1$ pierwszy wyraz byłby równy $1 - 2 = -1$ , a ciąg $-1,\; 12,\; 48$ ma ilorazy $-12$ i $4$ , więc nie jest geometryczny. Drugi błąd: odpowiedź $3$ (B) to wartość pierwszego wyrazu, czyli znów wynik pośredni podany jako końcowy.

Zadanie 4 (czerwiec 2025)1 pktśrednie

Trzywyrazowy ciąg

(4,\, m,\, m-1)

jest geometryczny, gdy liczba

m

jest równa

A. $(-3)$
B. $(-2)$
C. $2$
D. $3$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Niewiadoma pojawia się w dwóch wyrazach naraz, więc równanie wyjdzie kwadratowe.
$m^2 = \textcolor{#16A06A}{4} \cdot (m - \textcolor{#16A06A}{1})$
$m^2 = \textcolor{#E0453A}{4}m - \textcolor{#E0453A}{4} \qquad \Longrightarrow \qquad m^2 - \textcolor{#E0453A}{4}m + \textcolor{#E0453A}{4} = 0$
Lewa strona to wzór skróconego mnożenia. Warto go rozpoznać — oszczędza liczenie delty:
$(m - \textcolor{#E0453A}{2})^2 = 0 \qquad \Longrightarrow \qquad m = 2$
To pierwiastek podwójny: równanie ma tylko jedno rozwiązanie, więc nie trzeba niczego odsiewać.
Odpowiedź: $m = 2$ , czyli C.
Sprawdzenie: dla $m = 2$ ciąg to $4,\; 2,\; 1$ . Ilorazy $\tfrac24 = \tfrac12$ i $\tfrac12$ ✓
Gdyby ktoś liczył deltę: $\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 16 - 16 = 0$ — ten sam wniosek, tylko dłużej.

💡 Wskazówka: Kiedy po przeniesieniu wszystkiego na jedną stronę widzisz $m^2 - 4m + 4$ , sprawdź najpierw, czy to nie kwadrat sumy albo różnicy. Trójmian $x^2 - 2bx + b^2$ zwija się do $(x-b)^2$ i wtedy pierwiastek widać bez delty. Tu $4 = 2^2$ i $4m = 2 \cdot 2 \cdot m$ — pasuje idealnie.

⚠ Przeniesienie z błędnym znakiem, czyli $m^2 - 4m - 4 = 0$ zamiast $+4$ . Wtedy delta wynosi $32$ , pierwiastki są niewymierne i żaden nie pasuje do odpowiedzi — dobry sygnał, że coś się posypało w znaku, bo zadanie zamknięte za 1 punkt nie kończy się liczbą niewymierną. Drugi błąd: liczenie warunku arytmetycznego $2m = 4 + (m-1)$ , skąd $m = 3$ , czyli odpowiedź D. Ciąg $4,\; 3,\; 2$ jest wtedy arytmetyczny, a nie geometryczny.

Zadanie 5 (sierpień 2018)1 pktśrednie

Dla pewnej liczby

x

ciąg

(x,\, x+4,\, 16)

jest geometryczny. Liczba

x

jest równa

A. $8$
B. $4$
C. $2$
D. $0$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

$(x + \textcolor{#16A06A}{4})^2 = x \cdot \textcolor{#16A06A}{16}$
Rozwijamy kwadrat sumy i porządkujemy:
$x^2 + \textcolor{#E0453A}{8}x + \textcolor{#E0453A}{16} = \textcolor{#E0453A}{16}x$
$x^2 + \textcolor{#E0453A}{8}x - \textcolor{#E0453A}{16}x + \textcolor{#E0453A}{16} = 0 \qquad \Longrightarrow \qquad x^2 - \textcolor{#E0453A}{8}x + \textcolor{#E0453A}{16} = 0$
Znowu kwadrat różnicy, bo $\textcolor{#E0453A}{16} = 4^2$ i $\textcolor{#E0453A}{8}x = 2 \cdot 4 \cdot x$ :
$(x - \textcolor{#E0453A}{4})^2 = 0 \qquad \Longrightarrow \qquad x = 4$
Odpowiedź: $x = 4$ , czyli B.
Sprawdzenie: ciąg to $4,\; 8,\; 16$ . Ilorazy $\tfrac84 = 2$ i $\tfrac{16}{8} = 2$ ✓
Warto od razu odrzucić odpowiedź D: dla $x = 0$ pierwszy wyraz byłby zerem, a ciąg geometryczny nie może mieć zera — nie dałoby się policzyć ilorazu.

💡 Wskazówka: Zauważ, że po lewej stronie jest kwadrat sumy, a nie samego $x$ . Trzeba rozwinąć $(x+4)^2 = x^2 + 8x + 16$ , a nie napisać $x^2 + 16$ — to pomyłka numer jeden w całym dziale wzorów skróconego mnożenia i tutaj natychmiast psuje wynik.

⚠ Rozwinięcie $(x+4)^2$ jako $x^2 + 16$ . Wtedy równanie $x^2 + 16 = 16x$ ma deltę $256 - 64 = 192$ , pierwiastki wychodzą niewymierne i nic nie pasuje do odpowiedzi. Drugi błąd: odpowiedź $8$ (A), czyli wartość środkowego wyrazu zamiast $x$ — kolejny raz wynik pośredni podstawiony jako dystraktor. Trzeci: $x = 0$ (D). Ta odpowiedź nie spełnia nawet samego równania, bo $(0+4)^2 = 16$ , a $0 \cdot 16 = 0$ — nie trzeba więc powoływać się na zakaz zerowych wyrazów, wystarczy jedno podstawienie.

Zadanie 6 (maj 2016)1 pktśrednie

Ciąg

(x,\, 2x+3,\, 4x+3)

jest geometryczny. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy

A. $(-4)$
B. $1$
C. $0$
D. $(-1)$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

$(2x + \textcolor{#16A06A}{3})^2 = x \cdot (4x + \textcolor{#16A06A}{3})$
Rozwijamy obie strony:
$\textcolor{#E0453A}{4}x^2 + \textcolor{#E0453A}{12}x + \textcolor{#E0453A}{9} = \textcolor{#E0453A}{4}x^2 + \textcolor{#E0453A}{3}x$
Kwadraty się skracają — i to jest cała sztuczka tego zadania. Zostaje równanie liniowe:
$\textcolor{#E0453A}{12}x + \textcolor{#E0453A}{9} = \textcolor{#E0453A}{3}x \qquad \Longrightarrow \qquad \textcolor{#E0453A}{9}x = \textcolor{#E0453A}{-9} \qquad \Longrightarrow \qquad x = -1$
Pytanie dotyczy pierwszego wyrazu, a pierwszym wyrazem jest samo $x$ , więc odpowiedź to $-1$ .
Odpowiedź: $-1$ , czyli D.
Sprawdzenie: dla $x = -1$ ciąg to $-1,\; 2 \cdot (-1) + 3 = 1,\; 4 \cdot (-1) + 3 = -1$ , czyli $-1,\; 1,\; -1$ .
Ilorazy: $\tfrac{1}{-1} = -1$ oraz $\tfrac{-1}{1} = -1$ ✓ Iloraz jest równy $-1$ , więc ciąg skacze między dwiema wartościami — to zupełnie poprawny ciąg geometryczny, tylko niemonotoniczny.

💡 Wskazówka: Zanim zaczniesz liczyć deltę, rozwiń obie strony i sprawdź, czy $x^2$ nie znika. Tutaj po obu stronach wychodzi $4x^2$ i równanie robi się liniowe — liczenie delty z równania, które nie jest kwadratowe, to strata czasu i częste źródło pomyłki.

⚠ Zatrzymanie się na wartości $x$ , ale odpowiedzenie na inne pytanie — na przykład podanie $1$ (odpowiedź B), czyli drugiego wyrazu. Tu treść pyta o pierwszy wyraz, którym jest samo $x$ , więc odpowiedź i niewiadoma to ta sama liczba. Drugi błąd: odrzucenie wyniku, bo ciąg $-1, 1, -1$ „nie wygląda na geometryczny” — wygląda dziwnie, ale iloraz $-1$ jest dozwolony. Zabronione jest tylko $q = 0$ i wyraz równy zero.

Zadanie 7 (maj 2014)1 pktłatwe

Liczby:

x-2

6

12

, w podanej kolejności, są trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Liczba

x

jest równa

A. $5$
B. $3$
C. $2$
D. $0$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Sformułowanie „w podanej kolejności są trzema kolejnymi wyrazami” znaczy dokładnie to samo co „tworzą ciąg geometryczny” — warunek jest ten sam.
$\textcolor{#16A06A}{6}^2 = (x - \textcolor{#16A06A}{2}) \cdot \textcolor{#16A06A}{12} \qquad \Longrightarrow \qquad \textcolor{#E0453A}{36} = (x - \textcolor{#16A06A}{2}) \cdot \textcolor{#16A06A}{12}$
$x - \textcolor{#16A06A}{2} = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{36}}{\textcolor{#16A06A}{12}} = \textcolor{#E0453A}{3}$
$x = \textcolor{#E0453A}{3} + \textcolor{#16A06A}{2} = 5$
Odpowiedź: $x = 5$ , czyli A.
Sprawdzenie: ciąg to $3,\; 6,\; 12$ — ilorazy $2$ i $2$ ✓
Zwróć uwagę na kolejność: skoro $x-2$ jest pierwszym wyrazem, to $x-2 = 3$ , a nie $x = 3$ . Odpowiedź B jest ustawiona właśnie na to.

💡 Wskazówka: Zwrot „w podanej kolejności” jest ważny — mówi, że nie wolno przestawiać liczb. Gdyby kolejność była dowolna, zadanie miałoby więcej rozwiązań. Za to nie zmienia niczego w rachunku: środkowa liczba to nadal ta zapisana w środku.

⚠ Podanie $3$ (odpowiedź B), czyli wartości pierwszego wyrazu zamiast liczby $x$ — trzeba jeszcze dodać dwa. Drugi błąd: liczenie ilorazu z dwóch znanych wyrazów ( $\tfrac{12}{6} = 2$ ) i mnożenie zamiast dzielenia, czyli $x - 2 = 6 \cdot 2 = 12$ i $x = 14$ . Iloraz prowadzi od wyrazu wcześniejszego do późniejszego, więc żeby cofnąć się o krok, trzeba dzielić: $6 : 2 = 3$ .

Zadanie 8 (sierpień 2013)1 pktłatwe

Liczby

3x-4

8

2

w podanej kolejności są pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu geometrycznego. Wtedy

A. $x = -6$
B. $x = 0$
C. $x = 6$
D. $x = 12$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

$\textcolor{#16A06A}{8}^2 = (3x - \textcolor{#16A06A}{4}) \cdot \textcolor{#16A06A}{2} \qquad \Longrightarrow \qquad \textcolor{#E0453A}{64} = (3x - \textcolor{#16A06A}{4}) \cdot \textcolor{#16A06A}{2}$
$3x - \textcolor{#16A06A}{4} = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{64}}{\textcolor{#16A06A}{2}} = \textcolor{#E0453A}{32}$
$3x = \textcolor{#E0453A}{32} + \textcolor{#16A06A}{4} = \textcolor{#E0453A}{36} \qquad \Longrightarrow \qquad x = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{36}}{3} = 12$
Odpowiedź: $x = 12$ , czyli D.
Sprawdzenie: pierwszy wyraz to $3 \cdot 12 - 4 = 32$ , więc ciąg to $32,\; 8,\; 2$ . Ilorazy $\tfrac{8}{32} = \tfrac14$ i $\tfrac{2}{8} = \tfrac14$ ✓
Ciąg maleje, bo iloraz mieści się między $0$ i $1$ , a wyrazy są dodatnie.

💡 Wskazówka: Tutaj po podzieleniu zostają jeszcze dwa kroki: dodanie czwórki i podzielenie przez trzy. Rozpisz je osobno — łączenie ich w głowie („ $32 + 4$ przez $3$ ”) to najczęstsze miejsce, gdzie ucieka wynik.

⚠ Odpowiedź $6$ (C) to pułapka arytmetyczna: kto napisze $2 \cdot 8 = (3x-4) + 2$ , dostanie $3x = 18$ i właśnie $x = 6$ . Ciąg byłby wtedy $14,\; 8,\; 2$ — różnice $-6$ i $-6$ , więc arytmetyczny, ale ilorazy $\tfrac47$ i $\tfrac14$ się nie zgadzają. Drugi błąd: pominięcie dodania czwórki, czyli $3x = 32$ i $x \approx 10{,}67$ . Taka liczba nie występuje wśród odpowiedzi i to jest sygnał, że zgubił się jeden krok — w zadaniu zamkniętym za punkt wynik prawie nigdy nie jest brzydkim ułamkiem.

Zadanie 9 (informator CKE)1 pktśrednie

Liczby

-8

4

x+1

(w podanej kolejności) są pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu geometrycznego. Wówczas liczba

x

jest równa

A. $(-3)$
B. $(-1{,}5)$
C. $1$
D. $15$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Pierwszy wyraz jest ujemny, więc trzeba uważać na znaki — ale wzór działa tak samo.
$\textcolor{#16A06A}{4}^2 = \textcolor{#16A06A}{(-8)} \cdot (x + \textcolor{#16A06A}{1}) \qquad \Longrightarrow \qquad \textcolor{#E0453A}{16} = \textcolor{#16A06A}{-8} \cdot (x + \textcolor{#16A06A}{1})$
Dzielimy przez liczbę ujemną — wynik wychodzi ujemny:
$x + \textcolor{#16A06A}{1} = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{16}}{\textcolor{#16A06A}{-8}} = \textcolor{#E0453A}{-2}$
$x = \textcolor{#E0453A}{-2} - \textcolor{#16A06A}{1} = -3$
Odpowiedź: $x = -3$ , czyli A.
Sprawdzenie: trzeci wyraz to $-3 + 1 = -2$ , więc ciąg to $-8,\; 4,\; -2$ .
Ilorazy: $\tfrac{4}{-8} = -\tfrac12$ oraz $\tfrac{-2}{4} = -\tfrac12$ ✓ Iloraz jest ujemny, więc znaki wyrazów naprzemiennie się zmieniają — to normalne i zgodne z treścią.
Sensowność wyniku widać też bez rachunku: skoro $b^2 = 16$ jest dodatnie, a pierwszy wyraz ujemny, to trzeci musi być ujemny — iloczyn dwóch liczb o różnych znakach byłby ujemny, a ma być dodatni.

💡 Wskazówka: Przy ujemnych wyrazach zrób szybką kontrolę znaków, jeszcze przed rachunkiem: $b^2$ jest zawsze dodatnie, więc $a$ i $c$ muszą mieć ten sam znak. Tu $a = -8 < 0$ , więc trzeci wyraz też jest ujemny, czyli $x + 1 < 0$ , czyli $x < -1$ . Same odpowiedzi C i D odpadają natychmiast.

⚠ Zapomnienie o minusie przy dzieleniu: $\tfrac{16}{8} = 2$ i wyjście na $x = 1$ , czyli odpowiedź C. Wtedy ciąg to $-8,\; 4,\; 2$ , a ilorazy $-\tfrac12$ i $\tfrac12$ — różne, więc to nie ciąg geometryczny. Drugi błąd to znów pułapka arytmetyczna: $2 \cdot 4 = -8 + (x+1)$ daje $x = 15$ , czyli odpowiedź D — i ciąg $-8,\; 4,\; 16$ jest wtedy naprawdę arytmetyczny, tylko nie tego szuka treść. Odpowiedź $-1{,}5$ (B) odpada w jednym podstawieniu: trzeci wyraz byłby równy $-0{,}5$ , a ciąg $-8,\; 4,\; -0{,}5$ ma ilorazy $-\tfrac12$ i $-\tfrac18$ .

Zadanie 10 (maj 2024)1 pktśrednie

Trzywyrazowy ciąg

(12,\, 6,\, 2m-1)

jest geometryczny.

Dokończ zdanie — wybierz odpowiedź

A

albo

B

oraz odpowiedź

1

2

albo

3

.
Ten ciąg jest ………, a liczba

m

jest równa ……… .

A. rosnący
B. malejący
1. $m = \dfrac{1}{2}$
2. $m = 2$
3. $m = 3$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B, 2

Dwie rzeczy do ustalenia, ale obie wynikają z jednego rachunku.
Liczba $m$ z warunku na środkowy wyraz:
$\textcolor{#16A06A}{6}^2 = \textcolor{#16A06A}{12} \cdot (2m - \textcolor{#16A06A}{1}) \qquad \Longrightarrow \qquad \textcolor{#E0453A}{36} = \textcolor{#16A06A}{12} \cdot (2m - \textcolor{#16A06A}{1})$
$2m - \textcolor{#16A06A}{1} = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{36}}{\textcolor{#16A06A}{12}} = \textcolor{#E0453A}{3} \qquad \Longrightarrow \qquad 2m = \textcolor{#E0453A}{4} \qquad \Longrightarrow \qquad m = 2$
Monotoniczność. Nie trzeba nic dodatkowo liczyć — wystarczy wypisać ciąg:
$\textcolor{#16A06A}{12},\; \textcolor{#16A06A}{6},\; \textcolor{#E0453A}{3}$
Każdy wyraz jest mniejszy od poprzedniego, więc ciąg maleje. Formalnie: iloraz $q = \tfrac{\textcolor{#16A06A}{6}}{\textcolor{#16A06A}{12}} = \textcolor{#E0453A}{\tfrac12}$ mieści się między $0$ i $1$ , a wyrazy są dodatnie — taki ciąg zawsze maleje.
Odpowiedź: $B$ oraz $2$ .
Kontrola: ilorazy $\tfrac{6}{12} = \tfrac12$ i $\tfrac{3}{6} = \tfrac12$ ✓

💡 Wskazówka: Monotoniczności nie badaj wzorem, dopóki możesz po prostu wypisać trzy liczby i na nie spojrzeć. Przy trzech wyrazach patrzenie jest szybsze i pewniejsze niż rozważanie znaku ilorazu. Wzór („ $0 < q < 1$ i wyrazy dodatnie, więc maleje”) dopisz jako uzasadnienie, nie jako metodę.

⚠ Wybór $m = \tfrac12$ (odpowiedź 1) — wtedy trzeci wyraz to $2 \cdot \tfrac12 - 1 = 0$ , a ciąg geometryczny nie może mieć wyrazu równego zero, bo nie da się przez niego podzielić przy liczeniu ilorazu. To dystraktor ustawiony dokładnie na tę lukę w definicji. Drugi błąd: uznanie ciągu za rosnący, bo iloraz $\tfrac12$ jest liczbą dodatnią. Dodatni iloraz mówi tylko, że znaki się nie zmieniają — o wzrostoście decyduje, czy $q$ jest większe od $1$ .

Zadanie 11 (maj 2021)1 pktśrednie

Trzywyrazowy ciąg

\left(15,\, 3x,\, \dfrac{5}{3}\right)

jest geometryczny i wszystkie jego wyrazy są dodatnie. Stąd wynika, że

A. $x = \dfrac{3}{5}$
B. $x = \dfrac{4}{5}$
C. $x = 1$
D. $x = \dfrac{5}{3}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Niewiadoma stoi w środku, więc po podniesieniu do kwadratu dostaniemy równanie z $x^2$ — a takie ma zwykle dwa rozwiązania. Dlatego treść dodaje warunek o dodatnich wyrazach: on wybierze jedno z nich.
$(3x)^2 = \textcolor{#16A06A}{15} \cdot \textcolor{#16A06A}{\dfrac{5}{3}}$
$\textcolor{#E0453A}{9}x^2 = \textcolor{#E0453A}{25}$
$x^2 = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{25}{9}} \qquad \Longrightarrow \qquad x = \textcolor{#E0453A}{\dfrac53} \quad \text{albo} \quad x = \textcolor{#E0453A}{-\dfrac53}$
Wybieramy pierwiastek. Gdyby $x = -\tfrac53$ , to środkowy wyraz byłby równy $3 \cdot \left(-\tfrac53\right) = -5$ , czyli ujemny — a treść mówi, że wszystkie wyrazy są dodatnie. Zostaje $x = \tfrac53$ .
Odpowiedź: $x = \tfrac53$ , czyli D.
Sprawdzenie: środkowy wyraz to $3 \cdot \tfrac53 = 5$ , więc ciąg to $15,\; 5,\; \tfrac53$ .
Ilorazy: $\tfrac{5}{15} = \tfrac13$ oraz $\tfrac{5/3}{5} = \tfrac13$ ✓ Wszystkie trzy wyrazy dodatnie ✓
Warto zauważyć, że $x = -\tfrac53$ też daje ciąg geometryczny — $15,\; -5,\; \tfrac53$ ma iloraz $-\tfrac13$ . Warunek o dodatnich wyrazach nie jest więc ozdobą treści, tylko jedyną rzeczą, która rozstrzyga między dwiema poprawnymi możliwościami.

💡 Wskazówka: Kiedy niewiadoma jest w środkowym wyrazie, po podniesieniu do kwadratu zawsze wychodzą dwa pierwiastki różniące się znakiem. Nie odrzucaj żadnego z nich odruchowo — poszukaj w treści dodatkowego warunku (dodatnie wyrazy, ciąg rosnący, ciąg malejący) i to on ma wskazać właściwy.

⚠ Podanie $x = 5$ , czyli wartości środkowego wyrazu zamiast $x$ — środkowym wyrazem jest $3x$ , nie $x$ . Ta liczba nie występuje wśród odpowiedzi, co ratuje przed pomyłką, ale koszt to strata czasu. Drugi błąd: pominięcie warunku o dodatnich wyrazach i wybranie $-\tfrac53$ ; w arkuszu tej odpowiedzi nie ma, ale w zadaniu otwartym punkt by przepadł. Trzeci: policzenie $15 \cdot \tfrac53 = 25$ jako $\tfrac{15}{5/3} = 9$ , czyli pomylenie mnożenia z dzieleniem przy ułamku.

Zadanie 12 (sierpień 2017)1 pktśrednie

Dany jest trzywyrazowy ciąg geometryczny o wyrazach dodatnich:

(81,\, 3x,\, 4)

. Stąd wynika, że

A. $x = 18$
B. $x = 6$
C. $x = \dfrac{85}{6}$
D. $x = \dfrac{6}{85}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

$(3x)^2 = \textcolor{#16A06A}{81} \cdot \textcolor{#16A06A}{4} \qquad \Longrightarrow \qquad \textcolor{#E0453A}{9}x^2 = \textcolor{#E0453A}{324}$
$x^2 = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{324}}{\textcolor{#E0453A}{9}} = \textcolor{#E0453A}{36} \qquad \Longrightarrow \qquad x = \textcolor{#E0453A}{6} \quad \text{albo} \quad x = \textcolor{#E0453A}{-6}$
Wyrazy mają być dodatnie, więc $3x > 0$ , czyli $x > 0$ . Zostaje $x = 6$ .
Odpowiedź: $x = 6$ , czyli B.
Sprawdzenie: środkowy wyraz to $3 \cdot 6 = 18$ , więc ciąg to $81,\; 18,\; 4$ .
Ilorazy: $\tfrac{18}{81} = \tfrac{2}{9}$ oraz $\tfrac{4}{18} = \tfrac29$ ✓
Odpowiedź $18$ (A) to środkowy wyraz — znów wynik pośredni podstawiony jako dystraktor. Warto policzyć go do sprawdzenia, ale nie wpisywać jako odpowiedź.
Odpowiedzi C i D z liczbą $85$ w liczniku albo mianowniku pochodzą z traktowania ciągu jako arytmetycznego: $2 \cdot 3x = 81 + 4 = 85$ , skąd $x = \tfrac{85}{6}$ . To dokładnie ta sama pułapka co w pierwszym zadaniu na tej stronie — dodawanie zamiast mnożenia.

💡 Wskazówka: Zauważ, że $81 \cdot 4$ nie trzeba mnożyć w pamięci na siłę: $81 \cdot 4 = 324$ , a $324 : 9 = 36$ . Jeszcze szybciej — od razu podziel przez $9$ : $\tfrac{81 \cdot 4}{9} = 9 \cdot 4 = 36$ . Skracanie przed mnożeniem oszczędza dużych liczb.

⚠ Podanie $18$ (odpowiedź A), czyli wartości środkowego wyrazu zamiast $x$ — niewiadoma to $x$ , a wyraz to $3x$ . Drugi błąd: warunek arytmetyczny $2 \cdot 3x = 81 + 4$ , który prowadzi na $x = \tfrac{85}{6}$ , czyli odpowiedź C. Kontrola: dla $x = \tfrac{85}{6}$ ciąg to $81,\; 42{,}5,\; 4$ , a ilorazy $\approx 0{,}52$ i $\approx 0{,}09$ — bardzo różne, więc odpada w jednym dzieleniu.

Zadanie 13 (czerwiec 2017)1 pkttrudniejsze

Dany jest ciąg geometryczny

(x,\, 2x^2,\, 4x^3,\, 8)

o wyrazach nieujemnych. Wtedy

A. $x = 0$
B. $x = 1$
C. $x = 2$
D. $x = 4$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Cztery wyrazy, więc warunek na środkowy można napisać dla dwóch trójek. Zacznijmy od pierwszej — i to jest najciekawszy moment tego zadania.
Trójka $(x,\, 2x^2,\, 4x^3)$ :
$\left(2x^2\right)^2 = x \cdot 4x^3 \qquad \Longrightarrow \qquad \textcolor{#E0453A}{4}x^4 = \textcolor{#E0453A}{4}x^4$
Tożsamość — prawdziwa dla każdego $x$ . Pierwsze trzy wyrazy są więc geometryczne niezależnie od $x$ i nic z tego nie wynika. Cały warunek musi siedzieć w ostatnim wyrazie.
Trójka $\left(2x^2,\, 4x^3,\, 8\right)$ :
$\left(4x^3\right)^2 = 2x^2 \cdot \textcolor{#16A06A}{8} \qquad \Longrightarrow \qquad \textcolor{#E0453A}{16}x^6 = \textcolor{#E0453A}{16}x^2$
$\textcolor{#E0453A}{16}x^6 - \textcolor{#E0453A}{16}x^2 = 0 \qquad \Longrightarrow \qquad \textcolor{#E0453A}{16}x^2\left(x^4 - \textcolor{#E0453A}{1}\right) = 0$
Stąd $x = \textcolor{#E0453A}{0}$ albo $x^4 = \textcolor{#E0453A}{1}$ , czyli $x = \textcolor{#E0453A}{1}$ albo $x = \textcolor{#E0453A}{-1}$ .
Odsiewamy. $x = 0$ dałoby ciąg $0,\; 0,\; 0,\; 8$ — wyraz równy zero jest w ciągu geometrycznym zabroniony, więc odpada. $x = -1$ daje ciąg $-1,\; 2,\; -4,\; 8$ , który jest geometryczny (iloraz $-2$ ), ale ma wyrazy ujemne, a treść żąda nieujemnych. Zostaje $x = 1$ .
Odpowiedź: $x = 1$ , czyli B.
Sprawdzenie: dla $x = 1$ ciąg to $1,\; 2,\; 4,\; 8$ — iloraz $2$ , wszystkie wyrazy nieujemne ✓

💡 Wskazówka: Przy czterech wyrazach nie pisz warunku dla pierwszej trójki na oślep — sprawdź, czy nie wyjdzie tożsamość. Tu wyrazy $x$ , $2x^2$ , $4x^3$ są tak dobrane, że zawsze tworzą ciąg geometryczny, więc informacja siedzi wyłącznie w ostatniej liczbie. Gdy jedno równanie okazuje się tożsamością, to znak, że trzeba wziąć inną trójkę, a nie że zadanie jest sprzeczne.

⚠ Zatrzymanie się na $x^4 = 1$ i podanie $x = -1$ albo obu pierwiastków — warunek „o wyrazach nieujemnych” jest jedyną rzeczą, która je rozdziela, i łatwo go przeczytać jako ozdobę. Warto zapamiętać: $x = -1$ naprawdę daje ciąg geometryczny, więc nie jest to rozwiązanie „fałszywe” matematycznie, tylko niezgodne z treścią. Drugi błąd: przyjęcie $x = 0$ (odpowiedź A), bo „ $0$ spełnia równanie” — spełnia, ale zeruje trzy wyrazy, a przez zero nie wolno dzielić przy liczeniu ilorazu.

Zadanie 14 (marzec 2021)1 pkttrudniejsze

Ciąg

(x,\, y,\, z)

jest geometryczny. Iloczyn wszystkich wyrazów tego ciągu jest równy

64

. Stąd wynika, że

y

jest równe

A. $3 \cdot 64$
B. $\dfrac{64}{3}$
C. $4$
D. $3$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Nie znamy ani jednego wyrazu — same litery. Klucz jest w tym, żeby iloczyn trzech wyrazów zapisać przez sam środkowy.
Z warunku na środkowy wyraz: $y^2 = x \cdot z$ .
Iloczyn wszystkich trzech:
$x \cdot y \cdot z = y \cdot (x \cdot z) = y \cdot y^2 = y^3$
Podstawiamy daną z treści:
$y^3 = \textcolor{#16A06A}{64} \qquad \Longrightarrow \qquad y = \textcolor{#E0453A}{\sqrt[3]{64}} = 4$
Odpowiedź: $y = 4$ , czyli C.
Sprawdzenie na konkretnym przykładzie: weźmy ciąg $2,\; 4,\; 8$ (iloraz $2$ ). Iloczyn: $2 \cdot 4 \cdot 8 = 64$ ✓ i środkowy wyraz to $4$ ✓
Drugi przykład, żeby pokazać, że $y$ nie zależy od ilorazu: ciąg $1,\; 4,\; 16$ (iloraz $4$ ). Iloczyn: $1 \cdot 4 \cdot 16 = 64$ ✓ i znów środkowy wyraz to $4$ .
To jest sedno zadania: skrajne wyrazy mogą być prawie dowolne, ale środkowy jest wyznaczony jednoznacznie — bo iloczyn trzech wyrazów zawsze równa się jego sześcianowi.

💡 Wskazówka: Zamiast wprowadzać $a_1$ i $q$ i mnożyć trzy wyrażenia, przegrupuj iloczyn tak, żeby zobaczyć w nim $x \cdot z$ — a to jest po prostu $y^2$ . Wtedy całość zwija się do $y^3$ . Ta sztuczka działa też dla pięciu wyrazów: iloczyn pięciu kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego równa się piątej potędze środkowego.

⚠ Dzielenie $64$ przez $3$ (odpowiedź B) albo mnożenie przez $3$ (odpowiedź A) — trójka w tym zadaniu bierze się z liczby wyrazów, ale wchodzi jako wykładnik, nie jako czynnik. Iloczyn trzech liczb to nie „trzy razy jedna z nich”. Odpowiedź D ( $y = 3$ ) to jeszcze inna wersja tej pomyłki: podanie samej liczby wyrazów. Kontrola jest bardzo prosta: $4^3 = 64$ ✓, a $\left(\tfrac{64}{3}\right)^3$ to liczba rzędu dziesięciu tysięcy.

Zadanie 15 (sierpień 2025)1 pkttrudniejsze

Trzywyrazowy ciąg

\left(\sqrt{5},\, 1,\, x\right)

jest arytmetyczny. Trzywyrazowy ciąg

\left(\sqrt{5},\, 1,\, y\right)

jest geometryczny. Liczby

x

oraz

y

spełniają warunki

A. $x < 0$ i $y < 0$
B. $x < 0$ i $y > 0$
C. $x > 0$ i $y < 0$
D. $x > 0$ i $y > 0$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Dwa ciągi mają te same dwa pierwsze wyrazy, a różnią się typem — i to całkowicie zmienia trzeci wyraz. Pytanie dotyczy tylko znaków, więc nie trzeba liczyć wartości dokładnie.
Ciąg arytmetyczny — warunek na środkowy wyraz to średnia skrajnych:
$\textcolor{#16A06A}{1} = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{\sqrt5} + x}{2} \qquad \Longrightarrow \qquad \textcolor{#E0453A}{2} = \textcolor{#16A06A}{\sqrt5} + x \qquad \Longrightarrow \qquad x = \textcolor{#E0453A}{2} - \textcolor{#16A06A}{\sqrt5}$
Jaki to znak? Wystarczy porównać $2$ z $\sqrt5$ . Podnosimy oba do kwadratu: $2^2 = 4$ , a $\left(\sqrt5\right)^2 = 5$ . Skoro $4 < 5$ , to $2 < \sqrt5$ , więc
$x = \textcolor{#E0453A}{2 - \sqrt5} < 0$
Ciąg geometryczny — kwadrat środkowego równa się iloczynowi skrajnych:
$\textcolor{#16A06A}{1}^2 = \textcolor{#16A06A}{\sqrt5} \cdot y \qquad \Longrightarrow \qquad y = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{1}{\sqrt5}}$
Jaki to znak? $\sqrt5$ jest liczbą dodatnią, a jedynka podzielona przez liczbę dodatnią jest dodatnia, więc $y > 0$ — i to bez żadnego usuwania niewymierności z mianownika.
Odpowiedź: $x < 0$ i $y > 0$ , czyli B.
Kontrola liczbowa: $\sqrt5 \approx 2{,}24$ , więc $x \approx 2 - 2{,}24 = -0{,}24 < 0$ ✓ oraz $y \approx \tfrac{1}{2{,}24} \approx 0{,}45 > 0$ ✓
Ciąg arytmetyczny to $2{,}24;\; 1;\; -0{,}24$ — maleje o stałą wartość i przechodzi przez zero na minus. Ciąg geometryczny to $2{,}24;\; 1;\; 0{,}45$ — maleje razy stała wartość, więc zbliża się do zera, ale nigdy go nie przekroczy. To najkrótsze wyjaśnienie, dlaczego znaki wyszły różne.

💡 Wskazówka: Zadanie pyta o znaki, nie o wartości — nie usuwaj niewymierności i nie licz dziesiętnie, dopóki nie musisz. Do znaku $x$ wystarczy porównać $2$ z $\sqrt5$ przez podniesienie do kwadratu; do znaku $y$ wystarczy zauważyć, że dzielisz jedynkę przez liczbę dodatnią. Cały rachunek to dwie linijki.

⚠ Uznanie, że $2 - \sqrt5 > 0$ , bo „ $\sqrt5$ to trochę ponad dwa, ale odejmowanie od dwóch da mało” — czyli pomylenie kolejności. Pewna metoda to porównanie kwadratów: $\sqrt5 > 2$ , bo $5 > 4$ . Drugi błąd: przeniesienie warunku geometrycznego na arytmetyczny (albo odwrotnie) i policzenie obu trzecich wyrazów tym samym wzorem — wtedy oba znaki wychodzą takie same i trafia się w odpowiedź A albo D. Warto zapisać oba wzory jeden pod drugim przed rachunkiem, żeby ich nie pomieszać.

Zadanie 16 (czerwiec 2024)1 pktśrednie

Trzywyrazowy ciąg

(-1,\, 2,\, x)

jest arytmetyczny.
Trzywyrazowy ciąg

(-1,\, 2,\, y)

jest geometryczny. Liczby

x

oraz

y

spełniają warunki

A. $x > 0$ i $y > 0$
B. $x > 0$ i $y < 0$
C. $x < 0$ i $y > 0$
D. $x < 0$ i $y < 0$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Ten sam schemat co w poprzednim zadaniu, ale liczby są całkowite, więc da się policzyć wszystko dokładnie.
Ciąg arytmetyczny. Różnica to $\textcolor{#16A06A}{2} - \textcolor{#16A06A}{(-1)} = \textcolor{#E0453A}{3}$ , więc trzeci wyraz powstaje z drugiego przez dodanie trójki:
$x = \textcolor{#16A06A}{2} + \textcolor{#E0453A}{3} = \textcolor{#E0453A}{5} \qquad \Longrightarrow \qquad x > 0$
Ciąg geometryczny. Kwadrat środkowego równa się iloczynowi skrajnych:
$\textcolor{#16A06A}{2}^2 = \textcolor{#16A06A}{(-1)} \cdot y \qquad \Longrightarrow \qquad \textcolor{#E0453A}{4} = \textcolor{#E0453A}{-y} \qquad \Longrightarrow \qquad y = \textcolor{#E0453A}{-4} \qquad \Longrightarrow \qquad y < 0$
Odpowiedź: $x > 0$ i $y < 0$ , czyli B.
Sprawdzenie oba ciągi: arytmetyczny $-1,\; 2,\; 5$ — różnice $3$ i $3$ ✓ Geometryczny $-1,\; 2,\; -4$ — ilorazy $-2$ i $-2$ ✓
Znak $y$ można było przewidzieć bez rachunku. Kwadrat środkowego wyrazu, $\textcolor{#16A06A}{2}^2 = 4$ , jest dodatni, a pierwszy wyraz ujemny — więc trzeci musi być ujemny, żeby iloczyn skrajnych wyszedł dodatni. Ta kontrola znaków działa w każdym takim zadaniu.

💡 Wskazówka: W ciągu geometrycznym o wyrazach naprzemiennych znaki idą cyklicznie: minus, plus, minus, plus. Jeśli pierwszy wyraz jest ujemny, a drugi dodatni, to iloraz jest ujemny i trzeci znów musi być ujemny — znak trzeciego wyrazu znasz, jeszcze zanim policzysz jego wartość.

⚠ Policzenie trzeciego wyrazu ciągu geometrycznego jako $2 \cdot 2 = 4$ , czyli przyjęcie ilorazu $2$ zamiast $-2$ . Iloraz liczy się przez dzielenie drugiego wyrazu przez pierwszy: $\tfrac{2}{-1} = -2$ , i minus nie może zniknąć. Przy takim błędzie oba znaki wychodzą dodatnie i trafia się w odpowiedź A. Drugi błąd: zastosowanie warunku geometrycznego do obu ciągów, czyli policzenie także $x$ z równania $2^2 = -1 \cdot x$ . Wtedy $x = -4$ , oba znaki wychodzą ujemne i trafia się w odpowiedź D. Dwa różne typy ciągu wymagają dwóch różnych wzorów — najbezpieczniej zapisać je jeden pod drugim, zanim zacznie się liczyć.

Zadanie 17 (zbiór zadań CKE)1 pkttrudniejsze

Dane są liczby:

a = 2\sqrt2

b = 4

c = 4\sqrt2

.

Dokończ zdanie tak, aby było prawdziwe — wybierz odpowiedź

A

albo

B

oraz jej uzasadnienie

1

2

albo

3

.
Liczby

a

b

oraz

c

tworzą w podanej kolejności ………, ponieważ ……… .

A. ciąg arytmetyczny
B. ciąg geometryczny
1. $b = \dfrac{a+c}{2}$
2. $b = \dfrac{(c-a)^2}{2}$
3. $b^2 = a \cdot c$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B, 3

Sprawdzamy oba typy. Najpierw arytmetyczny — czy różnice są równe?
$b - a = \textcolor{#16A06A}{4} - \textcolor{#16A06A}{2\sqrt2} \approx 4 - 2{,}83 = \textcolor{#E0453A}{1{,}17}$
$c - b = \textcolor{#16A06A}{4\sqrt2} - \textcolor{#16A06A}{4} \approx 5{,}66 - 4 = \textcolor{#E0453A}{1{,}66}$
Różne, więc ciąg nie jest arytmetyczny — odpowiedź A odpada.
Teraz geometryczny — czy ilorazy są równe? Liczymy dokładnie, bez przybliżeń:
$\dfrac{b}{a} = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{4}}{\textcolor{#16A06A}{2\sqrt2}} = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{2}}{\textcolor{#E0453A}{\sqrt2}} = \textcolor{#E0453A}{\sqrt2}, \qquad \dfrac{c}{b} = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{4\sqrt2}}{\textcolor{#16A06A}{4}} = \textcolor{#E0453A}{\sqrt2}$
Oba ilorazy równe $\sqrt2$ , więc ciąg jest geometryczny — odpowiedź B.
Uzasadnienie. Właściwością, która charakteryzuje ciąg geometryczny, jest $b^2 = a \cdot c$ — to uzasadnienie 3. Sprawdźmy, że rzeczywiście zachodzi:
$b^2 = \textcolor{#16A06A}{4}^2 = \textcolor{#E0453A}{16}, \qquad a \cdot c = \textcolor{#16A06A}{2\sqrt2} \cdot \textcolor{#16A06A}{4\sqrt2} = \textcolor{#E0453A}{8} \cdot \left(\textcolor{#E0453A}{\sqrt2}\right)^2 = \textcolor{#E0453A}{8} \cdot \textcolor{#E0453A}{2} = \textcolor{#E0453A}{16}$
Równe ✓
Odpowiedź: $B$ oraz $3$ .
Ostrzeżenie o uzasadnieniu 2. Podstawmy do niego nasze liczby: $\tfrac{(c-a)^2}{2} = \tfrac{\left(4\sqrt2 - 2\sqrt2\right)^2}{2} = \tfrac{\left(2\sqrt2\right)^2}{2} = \tfrac{8}{2} = 4$ — a $b$ też jest równe $4$ . Ta równość przypadkiem wychodzi prawdziwa dla tych konkretnych liczb!
Nie jest to jednak uzasadnienie, bo $b = \tfrac{(c-a)^2}{2}$ nie jest własnością żadnego ciągu — nie wynika z niej ani to, że ciąg jest geometryczny, ani nic innego. Weź $2,\; 4,\; 8$ : to ciąg geometryczny, a $\tfrac{(8-2)^2}{2} = 18 \ne 4$ . Uzasadnienie musi być regułą działającą zawsze, a nie rachunkiem, który się zgadza w jednym przypadku.

💡 Wskazówka: Zaczynaj od sprawdzenia, który typ ciągu to jest, a dopiero potem szukaj uzasadnienia — nie odwrotnie. Uzasadnienie 1 to wzór na środkowy wyraz ciągu arytmetycznego, uzasadnienie 3 — geometrycznego, więc po ustaleniu typu wybór jest właściwie automatyczny. Uzasadnienie 2 nie odpowiada żadnemu typowi i jest wstawione, żeby zmylić.

⚠ Wybór pary $B$ i $2$ — bo po podstawieniu liczb ta równość wychodzi prawdziwa i wygląda na potwierdzenie. To najbardziej podstępny dystraktor w całym dziale: prawdziwość rachunku dla jednego zestawu liczb nie czyni z niego uzasadnienia. Sprawdzenie jest łatwe — wstaw ten sam wzór do innego ciągu geometrycznego, na przykład $2,\; 4,\; 8$ , i zobacz, że przestaje działać. Drugi błąd: wybór $A$ i $1$ po pobieżnym spojrzeniu na liczby $2\sqrt2,\; 4,\; 4\sqrt2$ , w których „przyrosty wyglądają podobnie” — przybliżenia $2{,}83;\; 4;\; 5{,}66$ pokazują, że drugi przyrost jest wyraźnie większy.

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. C	2. C	3. A	4. C	5. B	6. D
7. A	8. D	9. A	10. B, 2	11. D	12. B
13. B	14. C	15. B	16. B	17. B, 3

8Pytania i odpowiedzi

Czy ciąg może być jednocześnie arytmetyczny i geometryczny?

Tak — dokładnie wtedy, gdy jest stały i niezerowy, na przykład $7, 7, 7, \ldots$ Ma wtedy różnicę $0$ i iloraz $1$ . Innych takich ciągów nie ma.

Czy iloraz może być ułamkiem?

Tak, i to częsty przypadek. Dla $q$ między zerem a jedynką wyrazy zbliżają się do zera — przy dodatnim $a_1$ ciąg maleje, jak $81, 27, 9, 3$ przy $q = \frac{1}{3}$ , a przy ujemnym rośnie, jak $-81, -27, -9, -3$ przy tym samym ilorazie.

Dlaczego wyraz ciągu geometrycznego nie może być zerem?

Bo iloraz definiuje się jako dzielenie kolejnego wyrazu przez poprzedni. Gdyby któryś wyraz był zerem, kolejnego ilorazu nie dałoby się obliczyć.

Jak odróżnić ciąg geometryczny od arytmetycznego, patrząc na wyrazy?

Sprawdź, czy przechodzi się do następnego wyrazu przez dodawanie, czy przez mnożenie. Praktycznie: policz różnice i ilorazy sąsiednich par. Poza ciągiem stałym stała może być co najwyżej jedna z tych dwóch wielkości — obie naraz są stałe wyłącznie w ciągu stałym, jak $7, 7, 7, \ldots$ , który należy do obu rodzajów. Uwaga na trzecią możliwość, o której łatwo zapomnieć: bardzo często żadna z nich stała nie jest i wtedy ciąg nie jest ani arytmetyczny, ani geometryczny — jak $a_n = 2^n + 1$ z ramki wyżej.

Ile rozwiązań ma warunek na trzy kolejne wyrazy?

Dwa, gdy iloczyn skrajnych wyrazów jest dodatni, i żadnego w liczbach rzeczywistych, gdy jest ujemny — bo kwadrat nie bywa ujemny. Rozwiązania zerowego nie przyjmujemy nigdy.

Czy procent składany to ciąg geometryczny?

Tak, i to najczęstszy jego przykład w zadaniach. Przy kapitalizacji odsetek kwota mnoży się co okres przez ten sam czynnik $q = 1 + r$ , gdzie $r$ to stopa procentowa. Przy procencie prostym odsetki liczy się zawsze od kwoty początkowej, więc kapitał rośnie o stałą liczbę złotych i ciąg jest arytmetyczny, a nie geometryczny.

Czytaj dalej

Wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznegoNarzędzie do liczenia dowolnego wyrazu, gdy już wiadomo, że ciąg jest geometryczny.Suma ciągu geometrycznegoDlaczego iloraz równy jedynce wymaga zupełnie innego wzoru na sumę.Ciąg arytmetyczny — wzór na n-ty wyrazDrugi rodzaj ciągu: tam kolejny wyraz powstaje przez dodawanie, nie mnożenie.Procent składanyten sam rachunek widziany od strony procentów

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-08-01. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.