Strona główna › Funkcje › Funkcja wykładnicza

Funkcja wykładnicza

Q: Co to jest funkcja wykładnicza?

Funkcja postaci f(x) = a^x, w której zmienna stoi w wykładniku, a podstawa a jest stałą dodatnią różną od jedynki. Odróżnia ją to od funkcji potęgowej, gdzie zmienna jest w podstawie.

Q: Jaka jest dziedzina i zbiór wartości funkcji wykładniczej?

Dziedziną są wszystkie liczby rzeczywiste, bo wykładnik może być dowolny. Zbiorem wartości są wyłącznie liczby dodatnie, ponieważ potęga liczby dodatniej nigdy nie osiąga zera ani wartości ujemnej.

Q: Czy funkcja wykładnicza ma miejsca zerowe?

Nie ma żadnego. Wykres zbliża się do osi poziomej dowolnie blisko, ale nigdy jej nie przecina — oś ta jest asymptotą. Równanie a^x = 0 nie ma rozwiązań.

Q: Kiedy funkcja wykładnicza rośnie, a kiedy maleje?

Rośnie, gdy podstawa jest większa od jedynki, a maleje, gdy mieści się między zerem a jedynką. Wykres w drugim przypadku jest odbiciem pierwszego względem osi pionowej.

Q: Dlaczego podstawa nie może być równa jeden?

Ponieważ jedynka podniesiona do dowolnej potęgi daje jedynkę, więc powstałaby funkcja stała zamiast wykładniczej. Wyklucza się też podstawy ujemne i zero, bo wzór traci wtedy sens dla wielu argumentów.

Q: Jaki jest związek funkcji wykładniczej z logarytmiczną?

Są funkcjami wzajemnie odwrotnymi o tej samej podstawie, a ich wykresy są symetryczne względem prostej y = x. Dziedzina jednej jest zbiorem wartości drugiej i odwrotnie.

W potędze $x^2$ zmienna stoi w podstawie, a wykładnik jest stały. Funkcja wykładnicza odwraca ten układ: zmienna wchodzi do wykładnika, a podstawa zostaje stała. Ta jedna zamiana miejscami zmienia wszystko — wykres, tempo wzrostu i zakres zastosowań. To ona opisuje odsetki, rozpad promieniotwórczy i każde zjawisko rosnące o stały procent.

Dział: FunkcjePoziom: liceum — zakres podstawowyZadań z matury: 7

Przejdź od razu do zadań (7) ↓

1Zmienna w wykładniku, nie w podstawie

To jest w podstawie programowej

Podstawa dla liceum, dział V. Funkcje, zakres podstawowy, punkt 14 brzmi dosłownie: „posługuje się funkcjami wykładniczą i logarytmiczną, w tym ich wykresami, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z zastosowaniami praktycznymi”.

Podstawa kładzie więc nacisk na dwie rzeczy: wykres i zastosowania. Obie mają na tej stronie własne sekcje.

Funkcja wykładnicza to funkcja postaci $f(x) = a^x$ , gdzie podstawa $a$ jest liczbą dodatnią różną od jedynki.

wzór	gdzie stoi zmienna	jak się nazywa
$f(x) = x^2$	w podstawie	funkcja kwadratowa
$f(x) = x^3$	w podstawie	funkcja potęgowa
$f(x) = 2^x$	w wykładniku	funkcja wykładnicza

Różnica nie jest kosmetyczna. Porównajmy obie funkcje na tych samych argumentach:

$x$	$x^2$	$2^x$
$1$	$1$	$2$
$2$	$4$	$4$
$3$	$9$	$8$
$5$	$25$	$32$
$10$	$100$	$1024$
$20$	$400$	$1\,048\,576$

Na początku prowadzi wykładnicza ( $2$ wobec $1$ ), przy $x=\textcolor{#16A06A}{2}$ jest remis, przy $x=\textcolor{#16A06A}{3}$ na chwilę wychodzi na prowadzenie kwadrat ( $9$ wobec $8$ ), przy $x=\textcolor{#16A06A}{4}$ znowu remis — obie dają $16$ — a od $x=\textcolor{#16A06A}{5}$ wykładnicza odjeżdża bezpowrotnie. Przy $x=20$ jest już ponad dwa i pół tysiąca razy większa.

To jest reguła, nie przypadek: funkcja wykładnicza o podstawie większej od jedynki wyprzedza ostatecznie każdą funkcję potęgową, choćby ta miała wykładnik sto. Wystarczy poczekać na dostatecznie duże $x$ .

Dlaczego podstawa nie może być jedynką ani liczbą ujemną

Dla $a = 1$ mamy $1^x = 1$ dla każdego $x$ — wyszłaby funkcja stała, a nie wykładnicza. Dlatego jedynkę się wyklucza.

Dla $a$ ujemnego wzór traci sens przy wielu argumentach: $(-4)^{1/2}$ to pierwiastek kwadratowy z liczby ujemnej, który nie istnieje. Funkcja miałaby dziurawą dziedzinę.

Dla $a = 0$ nie da się określić $0^0$ ani $0^{-1}$ . Stąd warunek: $a > 0$ i $a \neq 1$ — dokładnie ten sam, co przy podstawie logarytmu.

2Dziedzina, wartości i wykres

Własności funkcji wykładniczej są lustrzanym odbiciem własności funkcji logarytmicznej — i to nie przypadek, o czym niżej.

własność	wartość	skąd wynika
dziedzina	$\mathbb{R}$ — wszystkie liczby	wykładnik może być dowolny
zbiór wartości	$(0, +\infty)$	potęga liczby dodatniej jest dodatnia
miejsca zerowe	brak	wartość nigdy nie schodzi do zera
punkt wspólny wszystkich wykresów	$(0, 1)$	bo $a^0 = 1$ dla każdej podstawy

Trzeci wiersz zaskakuje najczęściej: funkcja wykładnicza nie ma miejsc zerowych. Wykres zbliża się do osi poziomej dowolnie blisko, ale nigdy jej nie przecina.

2^{\textcolor{#16A06A}{3}} = \textcolor{#E0453A}{8}, \qquad 2^{\textcolor{#16A06A}{0}} = \textcolor{#E0453A}{1}, \qquad 2^{\textcolor{#16A06A}{-3}} = \textcolor{#E0453A}{\tfrac{1}{8}}

Dla ujemnych wykładników wartości robią się małe, ale zostają dodatnie — bo ujemny wykładnik oznacza odwrotność, a odwrotność liczby dodatniej też jest dodatnia.

Oś pozioma jest asymptotą. Dla podstawy większej od jedynki wykres przylega do niej po lewej stronie i strzela w górę po prawej.

podstawa	funkcja jest	wykres
$a > 1$	rosnąca	z lewej płasko przy osi, z prawej stromo w górę
$0 < a < 1$	malejąca	odbicie tamtego względem osi pionowej

Skąd malejąca? Bo $\left(\frac{1}{2}\right)^x = 2^{-x}$ — podstawa mniejsza od jedynki daje ten sam wykres, tylko z odwróconym znakiem argumentu, czyli odbity w lustrze.

\left(\tfrac{1}{2}\right)^{\textcolor{#16A06A}{1}} = 0{,}5, \qquad \left(\tfrac{1}{2}\right)^{\textcolor{#16A06A}{2}} = 0{,}25, \qquad \left(\tfrac{1}{2}\right)^{\textcolor{#16A06A}{3}} = 0{,}125

Dwa punkty wystarczą do szkicu

Każdy wykres wykładniczy przechodzi przez $(0, 1)$ — to punkt wspólny niezależny od podstawy.

Drugi łatwy punkt to $(1, a)$ , bo $a^1 = a$ . Dla $y = 3^x$ jest to $(1, 3)$ .

Mając te dwa punkty i wiedząc, czy funkcja rośnie, czy maleje, szkic da się postawić w kilka sekund. Kontrola: wykres nigdy nie dotyka osi poziomej i nigdy nie schodzi pod nią.

3Funkcja odwrotna do logarytmicznej

Funkcja wykładnicza i logarytmiczna o tej samej podstawie to para funkcji wzajemnie odwrotnych. Jedna zadaje pytanie, druga na nie odpowiada.

funkcja	pytanie	przykład
wykładnicza $2^x$	ile wynosi potęga?	$2^3 = 8$
logarytmiczna $\log_2 x$	jaki jest wykładnik?	$\log_2 8 = 3$

Dlatego złożenie ich w dowolnej kolejności daje z powrotem argument wyjściowy:

\log_2\left(2^{\textcolor{#16A06A}{5}}\right) = \textcolor{#16A06A}{5}, \qquad 2^{\log_2 \textcolor{#16A06A}{5}} = \textcolor{#16A06A}{5}

Na wykresie widać to jako symetrię względem prostej $y = x$ . Punkt $(\textcolor{#16A06A}{3}, \textcolor{#E0453A}{8})$ na wykresie funkcji wykładniczej odpowiada punktowi $(\textcolor{#E0453A}{8}, \textcolor{#16A06A}{3})$ na wykresie logarytmicznej — współrzędne zamieniają się miejscami.

Stąd też bierze się zamiana dziedziny ze zbiorem wartości, którą widać w tabelach obu stron:

	wykładnicza	logarytmiczna
dziedzina	$\mathbb{R}$	$(0, +\infty)$
zbiór wartości	$(0, +\infty)$	$\mathbb{R}$
punkt szczególny	$(0, 1)$	$(1, 0)$
asymptota	oś pozioma	oś pionowa

Każdy wiersz to ta sama para liczb w odwrotnej kolejności. To nie jest zbieg okoliczności, tylko definicja funkcji odwrotnej — zamiana argumentów z wartościami.

4Do czego to służy

Podstawa wymienia „zastosowania praktyczne” wprost, bo funkcja wykładnicza opisuje wszystko, co zmienia się o stały procent w jednakowych odstępach czasu.

zjawisko	wzór	podstawa $a$
procent składany przy $5\,\%$	$K_0 \cdot 1{,}05^n$	$1{,}05$ — rośnie
auto tracące $20\,\%$ wartości rocznie	$W_0 \cdot 0{,}8^n$	$0{,}8$ — maleje
rozpad promieniotwórczy	$N_0 \cdot \left(\tfrac{1}{2}\right)^{t/T}$	$\tfrac{1}{2}$ — maleje
podwajanie się populacji	$P_0 \cdot 2^{t}$	$2$ — rośnie

Cecha wspólna wszystkich czterech: w każdym kroku mnożymy przez tę samą liczbę, a nie dodajemy tej samej liczby. Gdyby dodawać, powstałby ciąg arytmetyczny i wzrost liniowy.

Rozpad promieniotwórczy wart jest osobnego słowa, bo litera $T$ we wzorze to okres półtrwania — czas, po którym zostaje połowa. Po dwóch takich okresach zostaje $\textcolor{#E0453A}{\frac{1}{4}}$ , po trzech $\textcolor{#E0453A}{\frac{1}{8}}$ — nigdy zero.

Dlaczego wzrost wykładniczy zaskakuje

Ludzka intuicja jest liniowa: spodziewamy się, że dwa razy dłuższy czas da dwa razy większy efekt. Przy funkcji wykładniczej daje kwadrat efektu.

Klasyczny przykład: kartka papieru grubości $0{,}1$ mm złożona na pół $\textcolor{#16A06A}{42}$ razy miałaby grubość $0{,}1 \cdot 2^{\textcolor{#16A06A}{42}}$ mm, czyli około $\textcolor{#E0453A}{440\,000}$ km — więcej niż odległość do Księżyca.

Nie da się tego złożenia wykonać fizycznie, ale rachunek jest poprawny i dobrze pokazuje, jak szybko rośnie dwójka podnoszona do potęgi.

Ta sama funkcja stoi za ciągiem geometrycznym o dodatnim ilorazie: jego wyrazy to wartości funkcji wykładniczej w kolejnych liczbach naturalnych, a funkcja jest przedłużeniem ciągu na całą oś. Przy ilorazie ujemnym ten związek się urywa — ciąg $1, -2, 4, -8$ jest geometryczny, ale żadna funkcja wykładnicza go nie odtworzy, bo jej wartości są zawsze dodatnie.

5Przykłady krok po kroku

Trzy przykłady: odczyt podstawy z wykresu, porównywanie wartości i zadanie o rozpadzie.

Przykład 1 Wyznaczanie podstawy

Wykres funkcji wykładniczej $f(x) = a^x$ przechodzi przez punkt $(3, 27)$ . Wyznacz podstawę $a$ i oblicz $f(-2)$ .

Punkt na wykresie znaczy, że $f(\textcolor{#16A06A}{3}) = \textcolor{#16A06A}{27}$ , czyli $a^{\textcolor{#16A06A}{3}} = \textcolor{#16A06A}{27}$ .
Szukam liczby, której sześcian daje $\textcolor{#16A06A}{27}$ : to $\textcolor{#E0453A}{3}$ , bo $\textcolor{#E0453A}{3}^3 = 27$ .
Podstawa wynosi $a = \textcolor{#E0453A}{3}$ , a warunek $a>0$ i $a \neq 1$ jest spełniony ✓
Teraz $f(-2) = \textcolor{#E0453A}{3}^{-2}$ . Ujemny wykładnik oznacza odwrotność: $\textcolor{#E0453A}{3}^{-2} = \frac{1}{\textcolor{#E0453A}{3}^2} = \textcolor{#2F80D8}{\frac{1}{9}}$ .
Kontrola punktu wspólnego: $f(0) = \textcolor{#E0453A}{3}^0 = 1$ ✓ — wykres przechodzi przez $(0,1)$ , jak każdy wykładniczy
Kontrola znaku: $\textcolor{#2F80D8}{\frac{1}{9}}$ jest dodatnie, choć argument był ujemny ✓ — zgodnie ze zbiorem wartości

Odpowiedź: $a = 3$ oraz $f(-2) = \frac{1}{9}$ .

Ujemny argument daje wartość małą, ale dodatnią — nigdy ujemną. To najczęstsze nieporozumienie przy tej funkcji: minus w wykładniku oznacza odwrotność, a nie zmianę znaku wyniku.

Przykład 2 Porównywanie bez liczenia

Która liczba jest większa: $\left(\frac{1}{2}\right)^{-3}$ czy $\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$ ?

Podstawa $\frac{1}{2}$ jest mniejsza od jedynki, więc funkcja $\left(\frac{1}{2}\right)^x$ jest malejąca.
Malejąca znaczy: mniejszy argument daje większą wartość.
Porównuję argumenty: $\textcolor{#16A06A}{-3} < \textcolor{#16A06A}{2}$ .
Skoro funkcja maleje, to przy mniejszym argumencie wartość jest większa: $\left(\frac{1}{2}\right)^{\textcolor{#16A06A}{-3}} > \left(\frac{1}{2}\right)^{\textcolor{#16A06A}{2}}$ .
Kontrola rachunkiem: $\left(\frac{1}{2}\right)^{-3} = 2^3 = \textcolor{#E0453A}{8}$ , a $\left(\frac{1}{2}\right)^{2} = \textcolor{#2F80D8}{\frac{1}{4}}$ .
$\textcolor{#E0453A}{8} > \textcolor{#2F80D8}{0{,}25}$ ✓ — zgadza się z rozumowaniem

Odpowiedź: Większa jest $\left(\frac{1}{2}\right)^{-3}$ , równa $8$ .

Rozumowanie przez monotoniczność zajmuje jedną linijkę i nie wymaga rachunku. Przy podstawie mniejszej od jedynki trzeba tylko pamiętać, żeby odwrócić wynik porównania argumentów.

Przykład 3 Rozpad promieniotwórczy

Okres półtrwania pewnego izotopu wynosi $8$ dni. Jaka część początkowej masy zostanie po $24$ dniach?

Okres półtrwania to czas, po którym zostaje połowa. Tu wynosi $\textcolor{#16A06A}{8}$ dni.
Sprawdzam, ile takich okresów mieści się w $\textcolor{#16A06A}{24}$ dniach: $\textcolor{#16A06A}{24} : \textcolor{#16A06A}{8} = \textcolor{#E0453A}{3}$ okresy.
Po każdym okresie masa jest mnożona przez $\frac{1}{2}$ , więc po $\textcolor{#E0453A}{3}$ okresach mnożnik wynosi $\left(\frac{1}{2}\right)^{\textcolor{#E0453A}{3}}$ .
$\left(\frac{1}{2}\right)^{\textcolor{#E0453A}{3}} = \textcolor{#2F80D8}{\frac{1}{8}}$
Kontrola krok po kroku: po $8$ dniach zostaje $\frac{1}{2}$ , po $16$ dniach $\frac{1}{4}$ , po $24$ dniach $\textcolor{#2F80D8}{\frac{1}{8}}$ ✓
Kontrola sensu: wynik jest dodatni, choć bardzo mały — masa nigdy nie spada do zera ✓

Odpowiedź: Zostanie $\frac{1}{8}$ masy początkowej.

Trzy okresy nie oznaczają, że ubędzie trzy razy po połowie, czyli całość. Za każdym razem połowa liczy się od tego, co zostało — dokładnie tak samo jak odsetki w procencie składanym.

6Najczęstsze błędy

Cztery błędy — pierwszy wynika z pomylenia miejsca zmiennej.

Mylenie funkcji wykładniczej z potęgową

Skąd się bierze: Zapisy $x^2$ i $2^x$ wyglądają podobnie, a zachowują się zupełnie inaczej. Pierwszy ma zmienną w podstawie i rośnie umiarkowanie, drugi ma ją w wykładniku i wyprzedza każdą potęgę.

Jak zrobić dobrze: Sprawdź, gdzie stoi $x$ . W wykładniku — funkcja wykładnicza, w podstawie — potęgowa. Kontrola liczbowa: dla $x=10$ mamy $x^2=100$ , ale $2^x=1024$ .

Przyjęcie, że ujemny wykładnik daje wartość ujemną

Skąd się bierze: Minus w wykładniku oznacza odwrotność, a nie zmianę znaku wyniku. Zapis $3^{-2}$ równa się $\frac{1}{9}$ , a nie $-9$ . Funkcja wykładnicza nigdy nie przyjmuje wartości ujemnych.

Jak zrobić dobrze: Pamiętaj o zbiorze wartości: to zawsze liczby dodatnie. Jeśli wyszła wartość ujemna albo zero, gdzieś jest błąd — wykres nie przecina osi poziomej.

Szukanie miejsc zerowych

Skąd się bierze: Funkcja $f(x) = a^x$ nie ma miejsc zerowych, bo potęga liczby dodatniej nigdy nie wynosi zera. Próba rozwiązania równania $a^x = 0$ prowadzi donikąd, a odpowiedź „brak” jest tu pełnym rozwiązaniem.

Jak zrobić dobrze: Zapisz od razu, że miejsc zerowych nie ma i uzasadnij: wartości są zawsze dodatnie, a oś pozioma jest asymptotą. Zerować się może dopiero funkcja przesunięta, na przykład $2^x - 8$ .

Zapominanie o odwróceniu przy podstawie ułamkowej

Skąd się bierze: Dla $0 < a < 1$ funkcja maleje, więc większy wykładnik daje mniejszą wartość. Porównanie wykonane odruchowo, jak dla podstawy większej od jedynki, wypada wtedy dokładnie odwrotnie.

Jak zrobić dobrze: Zanim porównasz wartości, spójrz na podstawę. Możesz też zamienić zapis: $\left(\frac{1}{2}\right)^x = 2^{-x}$ — wtedy podstawa jest większa od jedynki, a minus przy argumencie sam pilnuje kierunku.

Zadania maturalne — wartości i wykres funkcji wykładniczej

Prawdziwe zadania z arkuszy matury z matematyki (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem.

Zielone to dane z treści — wzór funkcji i podstawiany argument. Czerwone to wyniki pośrednie, a odpowiedź końcowa stoi na czarno.

Sprawdź się bez zaglądania do odpowiedzi. Wylosuję 7 zadań zamkniętych z tego zestawu — klucz i rozwiązania schowam do czasu sprawdzenia. Pula liczy 7 zadań, więc za każdym razem dostaniesz inny zestaw.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (grudzień 2023)1 pktśrednie

Proces stygnięcia naparu z ziół w otoczeniu o stałej temperaturze

22^\circ

C opisuje funkcja wykładnicza

T(x) = 78 \cdot 2^{-0{,}05x} + 22

, gdzie

T(x)

to temperatura naparu wyrażona w stopniach Celsjusza po

x

minutach liczonych od momentu, w którym zioła zalano wrzątkiem.

Temperatura naparu po

20

minutach od momentu zalania ziół wrzątkiem jest równa

A. $22^\circ$ C
B. $39^\circ$ C
C. $78^\circ$ C
D. $61^\circ$ C

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Podstawiam $x = \textcolor{#16A06A}{20}$ do wzoru. Cała trudność siedzi w wykładniku, więc liczę go osobno.
Wykładnik: $\;-0{,}05 \cdot \textcolor{#16A06A}{20} = \textcolor{#E0453A}{-1}$ .
Zostaje $T(20) = \textcolor{#16A06A}{78} \cdot 2^{\textcolor{#E0453A}{-1}} + \textcolor{#16A06A}{22}$ .
Potęga o wykładniku $-1$ to odwrotność podstawy: $\;2^{-1} = \textcolor{#2F80D8}{\tfrac12}$ .
Mnożę: $\;\textcolor{#16A06A}{78} \cdot \textcolor{#2F80D8}{\tfrac12} = \textcolor{#E0453A}{39}$ .
I teraz krok, o który najłatwiej się potknąć — dodaję jeszcze $\textcolor{#16A06A}{22}$ , bo tak mówi wzór: $\;\textcolor{#E0453A}{39} + \textcolor{#16A06A}{22} = 61$ .
Sens fizyczny jako kontrola. Napar stygnie do temperatury otoczenia, czyli $\textcolor{#16A06A}{22}^\circ$ C, ale nigdy poniżej. Wynik $61^\circ$ C leży między temperaturą wrzenia a temperaturą pokoju — to sensowne.
Dla porządku: w chwili $x=0$ wzór daje $78 \cdot 1 + 22 = 100^\circ$ C, czyli wrzątek ✓ — wzór zgadza się z treścią.
Odpowiedź: D.

💡 Wskazówka: W modelach stygnięcia liczba dodawana na końcu to temperatura otoczenia — funkcja zbliża się do niej, ale jej nie osiąga. Warto sprawdzić wzór dla $x=0$ : powinien dać stan początkowy.

⚠ Pominięcie składnika $+22$ i zatrzymanie się na $\textcolor{#E0453A}{39}$ — to gotowy wariant B. Sama różnica $78 \cdot 2^{-1}$ opisuje tylko, o ile napar jest cieplejszy od otoczenia, a nie jego temperaturę.

Zadanie 2 (maj 2020)1 pktśrednie

Funkcja

f

jest określona wzorem

f(x) = 4^{-x} + 1

dla każdej liczby rzeczywistej

x

.

Liczba

f\left(\dfrac{1}{2}\right)

jest równa

A. $\dfrac{1}{2}$
B. $\dfrac{3}{2}$
C. $3$
D. $17$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Podstawiam $x = \textcolor{#16A06A}{\tfrac12}$ : $\;f\left(\textcolor{#16A06A}{\tfrac12}\right) = 4^{-\textcolor{#16A06A}{1/2}} + 1$ .
Rozkładam wykładnik na dwie osobne własności, bo naraz łatwo się pogubić.
Minus w wykładniku oznacza odwrotność: $\;4^{-1/2} = \dfrac{1}{4^{1/2}}$ .
Wykładnik $\tfrac12$ oznacza pierwiastek kwadratowy: $\;4^{1/2} = \sqrt4 = \textcolor{#E0453A}{2}$ .
Zatem $4^{-1/2} = \dfrac{1}{\textcolor{#E0453A}{2}} = \textcolor{#2F80D8}{\tfrac12}$ .
Dodaję jedynkę ze wzoru: $\;\textcolor{#2F80D8}{\tfrac12} + 1 = \dfrac{3}{2}$ .
Kontrola rzędu wielkości. Podstawa $4$ jest większa od $1$ , a wykładnik ujemny, więc $4^{-1/2}$ musi leżeć między $0$ a $1$ — i faktycznie $\textcolor{#2F80D8}{\tfrac12}$ tam leży. Cała wartość wypada więc między $1$ a $2$ , co od razu wyklucza warianty C i D.
Odpowiedź: B.

💡 Wskazówka: Ujemny wykładnik odwraca, ułamkowy pierwiastkuje. Rozdziel te dwie operacje na osobne linijki — zajmuje to sekundę, a usuwa najczęstsze pomyłki w tym dziale.

⚠ Potraktowanie wykładnika $-\tfrac12$ tak, jakby dawał samo $\sqrt4 = \textcolor{#9b1c14}{2}$ , i policzenie $2 + 1 = 3$ — czyli wariant C. Minus musi zamienić wynik na odwrotność, a $\tfrac12$ nie jest tym samym co $2$ .

Zadanie 3 (sierpień 2020)1 pktłatwe

Funkcja

f

jest określona wzorem

f(x) = \left(\dfrac{1}{2}\right)^{x}

dla wszystkich liczb rzeczywistych

x

.

Funkcja

f

dla argumentu

x = -3

przyjmuje wartość

A. $\dfrac{1}{6}$
B. $\dfrac{1}{8}$
C. $6$
D. $8$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Podstawiam $x = \textcolor{#16A06A}{-3}$ : $\;f(\textcolor{#16A06A}{-3}) = \left(\textcolor{#16A06A}{\tfrac12}\right)^{\textcolor{#16A06A}{-3}}$ .
Ujemny wykładnik odwraca podstawę. Odwrotnością $\tfrac12$ jest $\textcolor{#E0453A}{2}$ , więc $\left(\tfrac12\right)^{-3} = \textcolor{#E0453A}{2}^{3}$ .
Liczę potęgę: $\;\textcolor{#E0453A}{2}^{3} = 8$ .
Sprawdzenie drugą drogą — bez odwracania podstawy. $\left(\tfrac12\right)^{-3} = \dfrac{1}{\left(\tfrac12\right)^{3}} = \dfrac{1}{\textcolor{#2F80D8}{1/8}} = 8$ ✓ Ten sam wynik.
Kontrola kierunku. Podstawa $\tfrac12$ jest mniejsza od $1$ , więc funkcja maleje. Argument $\textcolor{#16A06A}{-3}$ leży na lewo od zera, gdzie wartości są większe od $f(0)=1$ — a $8 > 1$ ✓
To od razu wyklucza warianty A i B, bo obie są mniejsze od jedynki.
Odpowiedź: D.

💡 Wskazówka: Zanim policzysz, ustal kierunek: dla podstawy z przedziału $(0,1)$ funkcja maleje, więc ujemne argumenty dają wartości większe od $1$ . Połowa wariantów odpada bez rachunku.

⚠ Zignorowanie minusa i policzenie $\left(\tfrac12\right)^{3} = \textcolor{#9b1c14}{\tfrac18}$ , czyli wariant B. To wartość funkcji dla $x = 3$ , a nie dla $x = -3$ — obie liczby są w zestawie odpowiedzi właśnie po to.

Zadanie 4 (sierpień 2018)1 pktśrednie

Dane są funkcje

f(x) = 3^{x}

oraz

g(x) = f(-x)

, określone dla wszystkich liczb rzeczywistych

x

.

Punkt wspólny wykresów funkcji

f

g

A. nie istnieje.
B. ma współrzędne $(1, 0)$ .
C. ma współrzędne $(0, 1)$ .
D. ma współrzędne $(0, 0)$ .

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Najpierw wypisuję wzór $g$ . Skoro $g(x) = f(-x)$ , to podstawiam $-x$ w miejsce $x$ : $\;g(x) = 3^{\textcolor{#16A06A}{-x}}$ .
Punkt wspólny to taki argument, dla którego obie funkcje dają tę samą wartość: $\;3^{x} = 3^{-x}$ .
Funkcja wykładnicza o podstawie $3$ jest różnowartościowa — różnym wykładnikom odpowiadają różne wartości. Można więc porównać same wykładniki:
$x = -x$ , czyli $2x = 0$ , a stąd $x = \textcolor{#E0453A}{0}$ .
Liczę drugą współrzędną. $f(\textcolor{#E0453A}{0}) = 3^{0} = 1$ , i tak samo $g(\textcolor{#E0453A}{0}) = 3^{0} = 1$ — obie funkcje dają $1$ , więc punkt to $(0, 1)$ .
Dlaczego to musiało tak wyjść. Wykres $g$ jest odbiciem wykresu $f$ względem osi $OY$ . Odbicie zostawia w miejscu tylko punkty leżące na osi odbicia, czyli na osi $OY$ — a jedyny punkt wykresu $f$ na tej osi to właśnie $(0,1)$ .
Sprawdzenie. Dla $x=1$ : $f(1)=3$ , ale $g(1)=3^{-1}=\tfrac13$ — wartości różne, więc poza zerem wspólnego punktu nie ma ✓
Odpowiedź: C.

💡 Wskazówka: Każda funkcja wykładnicza $a^x$ przechodzi przez punkt $(0,1)$ , bo $a^0 = 1$ dla dowolnej dodatniej podstawy. To najczęściej wykorzystywany punkt w całym dziale.

⚠ Wskazanie punktu $(0,0)$ , czyli wariantu D, z przekonania, że wykres przechodzi przez początek układu. Funkcja wykładnicza nigdy nie przyjmuje wartości zero — jej wartości są zawsze dodatnie, a $3^0 = 1$ , nie $\textcolor{#9b1c14}{0}$ .

Zadanie 5 (grudzień 2014)1 pkttrudniejsze

Dane są dwie funkcje określone dla wszystkich liczb rzeczywistych

x

wzorami

f(x) = -5x + 1

oraz

g(x) = 5^{x}

.

Liczba punktów wspólnych wykresów tych funkcji jest równa

A. $3$
B. $2$
C. $1$
D. $0$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Równania $5^{x} = -5x + 1$ nie da się rozwiązać szkolnymi przekształceniami — zmienna stoi i w wykładniku, i poza nim. Trzeba więc rozumować o kształcie obu wykresów, a nie liczyć.
Jedno rozwiązanie widać od razu. Dla $x = \textcolor{#16A06A}{0}$ : lewa strona $5^{0} = \textcolor{#E0453A}{1}$ , prawa $-5 \cdot 0 + 1 = \textcolor{#E0453A}{1}$ . Zgadza się, więc punkt $(0,1)$ jest wspólny.
Teraz pytanie, czy jest ich więcej. Patrzę na monotoniczność każdej funkcji osobno.
$g(x) = 5^{x}$ ma podstawę $5 > 1$ , więc jest funkcją rosnącą na całej prostej.
$f(x) = -5x + 1$ ma współczynnik kierunkowy $\textcolor{#16A06A}{-5} < 0$ , więc jest funkcją malejącą na całej prostej.
Funkcja rosnąca i malejąca mogą się przeciąć najwyżej raz. Gdy jedna rośnie, a druga maleje, ich różnica $g(x) - f(x)$ tylko rośnie — a rosnąca różnica może przejść przez zero co najwyżej jeden raz.
Skoro jedno przecięcie znaleźliśmy, a więcej być nie może, punktów wspólnych jest dokładnie jeden.
Kontrola po obu stronach zera. Dla $x=1$ : $g=5$ , $f=-4$ — $g$ jest wyżej. Dla $x=-1$ : $g=\tfrac15$ , $f=6$ — $f$ jest wyżej. Wykresy zamieniają się miejscami dokładnie raz ✓
Odpowiedź: C.

💡 Wskazówka: Gdy równania nie da się rozwiązać rachunkiem, policz punkty wspólne z monotoniczności. Rosnąca kontra malejąca to najwyżej jedno przecięcie — i wystarczy wskazać jedno, żeby wiedzieć, że jest dokładnie jedno.

⚠ Odpowiedź „dwa”, czyli wariant B, z nawyku wyniesionego z funkcji kwadratowej, gdzie prosta przecina wykres zwykle w dwóch punktach. Wykres funkcji wykładniczej nie zawraca — rośnie bez przerwy, więc z prostą malejącą spotka się najwyżej raz.

Zadanie 6 (maj 2014)1 pktśrednie

Do wykresu funkcji, określonej dla wszystkich liczb rzeczywistych

x

wzorem

y = -2^{x - 2}

, należy punkt

A. $A = (2, -1)$
B. $B = (1, -2)$
C. $C = \left(1, \dfrac{1}{2}\right)$
D. $D = (4, 4)$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Kluczowe jest odczytanie wzoru. Zapis $-2^{x-2}$ znaczy $-\left(2^{x-2}\right)$ — minus stoi przed potęgą, a nie w podstawie. Potęgowanie wykonuje się przed zmianą znaku.
Wniosek natychmiastowy: wartości tej funkcji są zawsze ujemne, bo $2^{x-2} > 0$ dla każdego $x$ .
To wyklucza warianty C i D, w których druga współrzędna jest dodatnia — bez żadnego rachunku.
Sprawdzam punkt $A = (\textcolor{#16A06A}{2}, \textcolor{#16A06A}{-1})$ . Wykładnik: $\textcolor{#16A06A}{2} - 2 = \textcolor{#E0453A}{0}$ , więc $y = -2^{\textcolor{#E0453A}{0}} = -1$ ✓ — zgadza się z drugą współrzędną.
Sprawdzam punkt $B = (\textcolor{#16A06A}{1}, \textcolor{#16A06A}{-2})$ . Wykładnik: $\textcolor{#16A06A}{1} - 2 = \textcolor{#2F80D8}{-1}$ , więc $y = -2^{\textcolor{#2F80D8}{-1}} = -\tfrac12$ , a nie $-2$ ✗
Dla pewności C: dla $x=1$ wartość to $-\tfrac12$ , a nie $+\tfrac12$ — różnica właśnie w znaku ✗
I D: dla $x=4$ wykładnik wynosi $2$ , więc $y = -2^{2} = -4$ , a nie $4$ ✗
Jedynym punktem, który przechodzi test, jest $A$ .
Odpowiedź: A.

💡 Wskazówka: Zanim zaczniesz podstawiać, ustal znak wartości funkcji. Tutaj wszystkie wartości są ujemne, co od razu skreśla połowę wariantów.

⚠ Odczytanie wzoru jako $(-2)^{x-2}$ , czyli z minusem w podstawie. Dla $x=4$ wychodzi wtedy $(-2)^{2} = \textcolor{#9b1c14}{4}$ i punkt $D=(4,4)$ wygląda na poprawny. Podstawa potęgi to samo $2$ — minus dotyczy całego wyniku.

Zadanie 7 (grudzień 2013)1 pktśrednie

Funkcja wykładnicza określona wzorem

f(x) = 3^{x}

przyjmuje wartość

6

dla argumentu

A. $x = 2$
B. $x = \log_{3} 2$
C. $x = \log_{3} 6$
D. $x = \log_{6} 3$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Zapisuję warunek z treści: $\;3^{x} = \textcolor{#16A06A}{6}$ .
Sześć nie jest potęgą trójki — $3^1 = 3$ , a $3^2 = 9$ — więc rozwiązanie leży gdzieś między $1$ a $2$ i nie jest liczbą wymierną. Do jego zapisania służy logarytm.
Definicja logarytmu: $\log_{a} b$ to wykładnik, do którego trzeba podnieść $a$ , żeby otrzymać $b$ . Tutaj podnosimy $\textcolor{#16A06A}{3}$ , a otrzymać chcemy $\textcolor{#16A06A}{6}$ .
Zatem $x = \log_{\textcolor{#16A06A}{3}} \textcolor{#16A06A}{6}$ — podstawa potęgi zostaje podstawą logarytmu, a wynik potęgowania trafia pod logarytm.
To postać dokładna i taką zostawiamy. Zaokrąglenie do $\textcolor{#2F80D8}{1{,}63}$ byłoby przybliżeniem, o które zadanie nie prosi.
Kontrola sensu. Skoro $3^1 = 3 < 6 < 9 = 3^2$ , to szukany wykładnik musi leżeć między $\textcolor{#E0453A}{1}$ a $\textcolor{#E0453A}{2}$ . Wariant A ( $x=2$ ) dałby $9$ , nie $6$ — odpada.
Kontrola wariantu B. $\log_3 2$ to wykładnik dający dwójkę, czyli $3^{\log_3 2} = 2 \neq 6$ — odpada.
Kontrola wariantu D. $\log_6 3$ jest mniejszy od $1$ , bo $3 < 6$ ; taki wykładnik dałby wartość mniejszą od $3$ , nie $6$ — odpada.
Odpowiedź: C.

💡 Wskazówka: Logarytm i potęga to zapisy tej samej zależności: $a^x = b$ znaczy dokładnie tyle, co $x = \log_a b$ . Podstawa nie zmienia miejsca — była podstawą potęgi, zostaje podstawą logarytmu.

⚠ Zamiana podstawy z liczbą logarytmowaną i wskazanie $\log_6 3$ , czyli wariantu D. Łatwo to rozstrzygnąć bez rachunku: $\log_6 3 < 1$ , bo $3$ jest mniejsze od podstawy $6$ — a szukany wykładnik musi być większy od $1$ .

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. D	2. B	3. D	4. C	5. C	6. A
7. C

Treści zadań pochodzą z arkuszy matury z matematyki (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

7Pytania i odpowiedzi

Co to jest funkcja wykładnicza?

Funkcja postaci $f(x) = a^x$ , w której zmienna stoi w wykładniku, a podstawa $a$ jest stałą dodatnią różną od jedynki. Odróżnia ją to od funkcji potęgowej, gdzie zmienna jest w podstawie.

Jaka jest dziedzina i zbiór wartości funkcji wykładniczej?

Dziedziną są wszystkie liczby rzeczywiste, bo wykładnik może być dowolny. Zbiorem wartości są wyłącznie liczby dodatnie, ponieważ potęga liczby dodatniej nigdy nie osiąga zera ani wartości ujemnej.

Czy funkcja wykładnicza ma miejsca zerowe?

Nie ma żadnego. Wykres zbliża się do osi poziomej dowolnie blisko, ale nigdy jej nie przecina — oś ta jest asymptotą. Równanie $a^x = 0$ nie ma rozwiązań.

Kiedy funkcja wykładnicza rośnie, a kiedy maleje?

Rośnie, gdy podstawa jest większa od jedynki, a maleje, gdy mieści się między zerem a jedynką. Wykres w drugim przypadku jest odbiciem pierwszego względem osi pionowej.

Dlaczego podstawa nie może być równa jeden?

Ponieważ jedynka podniesiona do dowolnej potęgi daje jedynkę, więc powstałaby funkcja stała zamiast wykładniczej. Wyklucza się też podstawy ujemne i zero, bo wzór traci wtedy sens dla wielu argumentów.

Jaki jest związek funkcji wykładniczej z logarytmiczną?

Są funkcjami wzajemnie odwrotnymi o tej samej podstawie, a ich wykresy są symetryczne względem prostej $y = x$ . Dziedzina jednej jest zbiorem wartości drugiej i odwrotnie.

Czytaj dalej

Funkcja logarytmicznaFunkcja odwrotna — te same własności w lustrzanym odbiciu PotęgiUjemny wykładnik i dlaczego potęga zerowa daje jeden Procent składanyNajczęstsze praktyczne zastosowanie tej funkcji Ciąg geometrycznyTa sama zależność dla argumentów całkowitych FunkcjePozostałe rodzaje funkcji i mapa działu

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-08-01. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

Funkcja wykładnicza

1Zmienna w wykładniku, nie w podstawie

2Dziedzina, wartości i wykres

3Funkcja odwrotna do logarytmicznej

4Do czego to służy

5Przykłady krok po kroku

6Najczęstsze błędy

Zadania maturalne — wartości i wykres funkcji wykładniczej

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (grudzień 2023)1 pktśrednie

Zadanie 2 (maj 2020)1 pktśrednie

Zadanie 3 (sierpień 2020)1 pktłatwe

Zadanie 4 (sierpień 2018)1 pktśrednie

Zadanie 5 (grudzień 2014)1 pkttrudniejsze

Zadanie 6 (maj 2014)1 pktśrednie

Zadanie 7 (grudzień 2013)1 pktśrednie

Odpowiedzi

7Pytania i odpowiedzi

Czytaj dalej

Kolorowy kod

Koncentracja
krok po kroku

Połącz te same kolory

Koncentracja
krok po kroku