Strona główna › Ciągi › Wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego

Wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego

Q: Jaki jest wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego?

a_n = a_1 + (n-1)r, gdzie a_1 to pierwszy wyraz, a r różnica. Mnożnik jest o jeden mniejszy od numeru wyrazu, bo do wyrazu numer n dochodzi się przez n-1 dodawań — pierwszego wyrazu nie zwiększamy ani razu.

Q: Jak obliczyć różnicę ciągu arytmetycznego?

Odejmij od dowolnego wyrazu poprzedni: r = a_n+1 - a_n. Gdy dane wyrazy nie sąsiadują, podziel różnicę wyrazów przez różnicę numerów: r = a_n - a_k/n-k. Wynik jest zawsze jeden — w odróżnieniu od ciągu geometrycznego, gdzie może wyjść dwa.

Q: Czym różni się ciąg arytmetyczny od geometrycznego?

W arytmetycznym dodajemy stałą liczbę, w geometrycznym mnożymy przez stałą liczbę. Nazwy podpowiadają działanie sprawdzające: różnica bierze się z odejmowania, iloraz z dzielenia. Arytmetyczny rośnie liniowo, a geometryczny o ilorazie większym od jedynki — wykładniczo.

Q: Czy różnica może być ujemna albo równa zero?

Tak, oba przypadki są dozwolone. Ujemna różnica daje ciąg malejący, zerowa — ciąg stały. To różnica wobec ciągu geometrycznego, w którym iloraz zerem być nie może.

Q: Jak wyznaczyć wyraz, gdy nie znam pierwszego?

Skorzystaj z wersji ogólnej a_n = a_k + (n-k)r — pozwala przejść od dowolnego znanego wyrazu do szukanego, bez wracania do a_1. Na maturze to częstszy przypadek niż wzór podstawowy.

Q: Czy wyraz środkowy jest średnią sąsiadów?

Tak — dla każdych trzech kolejnych wyrazów zachodzi a_n = a_n-1 + a_n+12. Działa to również dla wyrazów oddalonych symetrycznie: a_7 jest średnią a_4 i a_10. To często najszybsza droga do rozwiązania.

Ciąg arytmetyczny to taki, w którym do każdego wyrazu dodajemy tę samą liczbę, żeby dostać następny. Ta liczba nazywa się różnicą i oznacza literą $r$ . Wzór ma dokładnie tę samą budowę co w ciągu geometrycznym — z jedną zamianą: zamiast mnożyć, dodajemy. I tak samo jak tam, cała pułapka siedzi w tym, że kroków jest $n-1$ , a nie $n$ .

Dział: CiągiPoziom: liceum — zakres podstawowyZadań z matury: 10

Przejdź od razu do zadań (10) ↓

1Różnica — liczba, którą dodajemy

Różnica $r$ to liczba, którą dodajemy do wyrazu, żeby dostać następny. Nazwa bierze się stąd, że wyznacza się ją odejmowaniem: wystarczy odjąć od dowolnego wyrazu poprzedni.

r = a_{n+1} - a_n

W ciągu $4, 11, 18, 25, \ldots$ różnica wynosi $7$ , bo $11 - 4 = 7$ , $18 - 11 = 7$ i tak dalej. Ten sam wynik z każdej pary sąsiednich wyrazów — to definicja ciągu arytmetycznego.

Różnica czy iloraz — jak nie pomylić dwóch rodzajów ciągu

Arytmetyczny: odejmujesz. Stała jest różnica, więc sprawdzasz $a_{n+1} - a_n$ .

Geometryczny: dzielisz. Stały jest iloraz, więc sprawdzasz $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ .

Nazwa podpowiada działanie: różnica od odejmowania, iloraz od dzielenia. To najprostszy sposób, żeby ich nie zamienić.

Znak różnicy decyduje o kierunku ciągu — i tu, w przeciwieństwie do ciągu geometrycznego, sprawa jest prosta:

różnica	ciąg	przykład
$r > 0$	rosnący	$4, 11, 18, 25$
$r = 0$	stały	$9, 9, 9, 9$
$r < 0$	malejący	$20, 13, 6, -1$

Zero jest tu dozwolone — ciąg stały jest arytmetyczny o różnicy $0$ . W ciągu geometrycznym iloraz zerem być nie może, więc ta drobna różnica między definicjami bywa punktem zadania.

2Wzór i skąd bierze się mnożnik n−1

Wzór wygląda tak:

a_n = a_1 + (n-1)\,r

Mnożnik $n-1$ nie jest umową ani pomyłką — wynika z liczenia kroków, dokładnie tak samo jak wykładnik w ciągu geometrycznym.

Ile razy dodajemy, żeby dojść do n-tego wyrazu

Pierwszy wyraz już mamy — nie dodajemy ani razu.

Do drugiego dodajemy raz: $a_2 = a_1 + r$ .

Do trzeciego — dwa razy: $a_3 = a_1 + 2r$ .

Do czwartego — trzy razy: $a_4 = a_1 + 3r$ .

Żeby dojść do wyrazu numer $n$ , wykonujemy $n-1$ dodawań. Stąd mnożnik.

Sprawdzenie na pierwszym wyrazie: $a_1 + (1-1)r = a_1 + 0 = a_1$ ✓ — wzór zgadza się także dla $n = 1$ .

Ta sama logika działa między dowolnymi dwoma wyrazami. Żeby przejść od $a_k$ do $a_n$ , wykonujemy $n - k$ kroków:

a_n = a_k + (n-k)\,r

To uogólnienie przydaje się w zadaniach maturalnych co najmniej tak często jak wzór podstawowy, bo pierwszego wyrazu często wśród danych nie ma. W zestawie zadań pod tą stroną $a_1$ pojawia się w czterech zadaniach na dziesięć; w pozostałych sześciu trzeba wyjść od wyrazu o innym numerze, od podanej różnicy albo — jak w ostatnim zadaniu — od równania wiążącego kilka wyrazów, w którym żadnej konkretnej liczby wśród danych nie ma.

Wzór na sumę początkowych wyrazów to osobny temat i opisuję go gdzie indziej; tutaj chodzi wyłącznie o pojedynczy wyraz.

3Dwa wyrazy — jak wyznaczyć różnicę

To najczęstszy układ danych na maturze i warto mieć na niego gotowy schemat.

Jeśli znamy $a_k$ i $a_n$ , to między nimi jest $n - k$ kroków, więc:

r = \frac{a_n - a_k}{n - k}

Różnica wyrazów podzielona przez różnicę numerów. Nic więcej.

Dlaczego tu nie ma pułapki ze znakiem

W ciągu geometrycznym analogiczny rachunek prowadzi do pierwiastka, a ten przy parzystym wykładniku daje dwa rozwiązania.

Tutaj jest tylko dzielenie, więc wynik jest zawsze jeden — niezależnie od tego, ile kroków dzieli dane wyrazy.

To praktyczna różnica między dwoma rodzajami ciągów: w arytmetycznym dwa wyrazy zawsze wyznaczają ciąg jednoznacznie, w geometrycznym — nie zawsze.

Ujemna różnica wychodzi automatycznie, gdy późniejszy wyraz jest mniejszy od wcześniejszego — nie trzeba niczego dopisywać ręcznie.

Warto też znać zależność, która bywa szybszą drogą do celu: wyraz środkowy trzech kolejnych jest średnią arytmetyczną sąsiadów.

a_{n} = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}

Działa to również dla wyrazów oddalonych symetrycznie: $a_7$ jest średnią $a_4$ i $a_{10}$ , bo oba leżą o trzy kroki od niego. Ta własność bywa najszybszą drogą w zadaniach, w których trzy kolejne wyrazy zawierają niewiadomą — zamiast układać dwa równania, wystarczy jedno.

4Gdzie ciągi arytmetyczne występują naprawdę

Ciąg arytmetyczny opisuje wszystko, co zmienia się o stałą wartość — a nie o stały procent.

rata malejąca w kredycie — kapitał spłacasz w równych częściach, więc odsetki, a z nimi cała rata, maleją co miesiąc o tę samą kwotę,
miejsca w rzędach kina albo amfiteatru — każdy kolejny rząd ma o tyle samo miejsc więcej,
numeracja stron, słupków kilometrowych, godzin odjazdu co równy odstęp,
stygnięcie w przybliżeniu liniowym albo równomierne napełnianie zbiornika.

Różnica wobec ciągu geometrycznego jest łatwa do przeoczenia, a zmienia wszystko: tu dokładamy zawsze tyle samo, tam mnożymy przez tyle samo. Oszczędzanie „po $200$ zł miesięcznie” to ciąg arytmetyczny; lokata „na $5\,\%$ rocznie” — geometryczny.

Konsekwencja pojawia się przy dłuższym horyzoncie: ciąg arytmetyczny rośnie liniowo, a geometryczny — o ilorazie większym od jedynki — wykładniczo. Wtedy na krótką metę arytmetyczny bywa większy, ale na dłuższą przegrywa. Zastrzeżenie o ilorazie jest istotne: przy $q = \frac{1}{2}$ wyrazy ciągu geometrycznego dążą do zera, a przy $q = 1$ stoją w miejscu — w obu przypadkach to arytmetyczny wychodzi na prowadzenie i już go nie oddaje. Piszę o tym przy ciągu geometrycznym.

Cały ten akapit dotyczy sytuacji, o której tu mowa — oszczędzania, czyli ciągów o wyrazach dodatnich i rosnących ( $a_1 > 0$ , $r > 0$ , $q > 1$ ). Poza nią porównanie się psuje, i to w obie strony. Ciąg geometryczny $-1, -2, -4, -8, \ldots$ ma iloraz $2$ , więc formalnie rośnie wykładniczo — a mimo to jest mniejszy od ciągu arytmetycznego $1, 2, 3, 4, \ldots$ dla każdego $n$ , bo jego wyrazy uciekają w minus. Podobnie ciąg arytmetyczny o ujemnej różnicy nie „wychodzi na prowadzenie” nawet przy $q = 1$ : dla $5, 4, 3, \ldots$ dziesiąty wyraz to $-4$ , a stały ciąg geometryczny wciąż stoi na $5$ . Przy porównywaniu tempa wzrostu zawsze sprawdzaj najpierw znaki — samo $q > 1$ niczego nie przesądza.

Stąd też bierze się wykres: wyrazy ciągu arytmetycznego leżą na jednej prostej. Różnica $r$ pełni rolę współczynnika kierunkowego, dokładnie jak w funkcji liniowej — to ten sam obiekt, tylko oglądany w punktach o całkowitych numerach.

5Przykłady krok po kroku

Trzy przykłady: wzór wprost, różnica z dwóch odległych wyrazów i ciąg malejący.

Przykład 1 Wyraz z pierwszego wyrazu i różnicy

W ciągu arytmetycznym $a_1 = 4$ oraz $r = 7$ . Oblicz $a_{12}$ .

Podstawiam do wzoru: $a_{12} = a_1 + (12-1)\,r = 4 + 11 \cdot 7$ .
Mnożę: $11 \cdot 7 = 77$ .
Dodaję: $a_{12} = 4 + 77 = 81$ .
Kontrola liczby kroków: od pierwszego do dwunastego wyrazu jest jedenaście dodawań, nie dwanaście ✓
Kontrola częściowa: $a_1 = 4$ , $a_2 = 11$ , $a_3 = 18$ , $a_4 = 25$ — różnica stale $7$ ✓
Kontrola rzędu wielkości: wyraz rośnie o $7$ na krok, więc po jedenastu krokach musi urosnąć o około $77$ — i urósł dokładnie o tyle ✓

Odpowiedź: $a_{12} = 81$

Kontrola z kroku czwartego wygląda na oczywistą, a jest najważniejsza w całym temacie: podstawienie $12$ zamiast $11$ daje $88$ i wynik różni się o całą jedną różnicę. Warto wypowiedzieć na głos „jedenaście kroków”, zanim się pomnoży.

Przykład 2 Różnica z dwóch odległych wyrazów

W ciągu arytmetycznym $a_5 = -31$ oraz $a_{13} = 9$ . Oblicz różnicę i pierwszy wyraz.

Między piątym a trzynastym wyrazem jest $13 - 5 = 8$ kroków.
Różnica wyrazów: $9 - (-31) = 9 + 31 = 40$ .
Stąd $r = \frac{40}{8} = 5$ .
Pierwszy wyraz — cofam się o cztery kroki od $a_5$ : $a_1 = a_5 - 4r = -31 - 4 \cdot 5 = -31 - 20 = -51$ .
Kontrola w przód: $a_5 = a_1 + 4r = -51 + 20 = -31$ ✓
Kontrola drugiego wyrazu: $a_{13} = a_1 + 12r = -51 + 60 = 9$ ✓ — zgadza się z treścią.
Kontrola sensu: różnica jest dodatnia, a ciąg rośnie od $-31$ do $9$ — kierunek się zgadza ✓

Odpowiedź: $r = 5$ , $a_1 = -51$

Krok drugi jest miejscem, w którym gubi się najwięcej punktów: odejmowanie liczby ujemnej. $9 - (-31)$ to $40$ , a nie $-22$ . Warto zapisać nawias, zanim się policzy — podwójny minus staje się wtedy widoczny.

Przykład 3 Ciąg malejący

W ciągu arytmetycznym $a_2 = 4$ oraz $a_6 = -12$ . Wyznacz $r$ i sprawdź, który wyraz jest pierwszym ujemnym.

Kroków między wyrazami: $6 - 2 = 4$ . Różnica wyrazów: $-12 - 4 = -16$ .
$r = \frac{-16}{4} = -4$ — ciąg maleje.
Pierwszy wyraz: $a_1 = a_2 - r = 4 - (-4) = 8$ .
Wzór ogólny: $a_n = 8 + (n-1)(-4) = 8 - 4n + 4 = 12 - 4n$ .
Szukam pierwszego ujemnego: $12 - 4n < 0$ , czyli $12 < 4n$ , czyli $n > 3$ . Pierwsza liczba naturalna większa od $3$ to $4$ .
Sprawdzam: $a_3 = 12 - 12 = 0$ — jeszcze nie ujemny. $a_4 = 12 - 16 = -4$ ✓ pierwszy ujemny.
Kontrola wypisaniem: $8, 4, 0, -4, -8, -12$ — czwarty wyraz to $-4$ , a szósty $-12$ , zgodnie z treścią ✓

Odpowiedź: $r = -4$ ; pierwszym ujemnym wyrazem jest $a_4 = -4$ .

Zwróć uwagę na $a_3 = 0$ : zero nie jest liczbą ujemną, więc trzeci wyraz nie spełnia warunku. To najczęstsza pułapka w zadaniach typu „który wyraz jest pierwszym ujemnym” — nierówność musi być ostra.

6Najczęstsze błędy

Cztery błędy — pierwszy jest najczęstszy, drugi najbardziej kosztowny.

Mnożnik $n$ zamiast $n-1$

Skąd się bierze: Zapis $\textcolor{#9b1c14}{a_n = a_1 + n \cdot r}$ daje wynik większy dokładnie o jedną różnicę. Dla $a_1 = 4$ , $r = 7$ i $n = 12$ wychodzi $88$ zamiast $81$ . Przyczyna: pierwszego wyrazu nie zwiększamy ani razu, więc dodawań jest o jedno mniej niż numer wyrazu.

Jak zrobić dobrze: Sprawdź wzór na $n = 1$ — powinien dać $a_1$ . Przy poprawnym mnożniku $(1-1)r = 0$ ✓, przy błędnym wyszłoby $a_1 + r$ , czyli drugi wyraz.

Zgubienie podwójnego minusa przy odejmowaniu wyrazów

Skąd się bierze: Przy $a_5 = -31$ i $a_{13} = 9$ różnica wyrazów to $9 - (-31) = 40$ . Uczeń liczący $9 - 31 = -22$ dostaje $r = -2{,}75$ i cały dalszy rachunek jest fałszywy — w dodatku wynik wygląda wiarygodnie, bo jest liczbą.

Jak zrobić dobrze: Zapisz podstawienie w nawiasach: $9 - (-31)$ . Nawias sprawia, że podwójny minus widać, zamiast liczyć go w pamięci.

Mylenie różnicy z ilorazem

Skąd się bierze: W ciągu $4, 11, 18$ uczeń dzieli $\frac{11}{4}$ , przenosząc nawyk z ciągu geometrycznego. W arytmetycznym stała jest różnica, więc wyznacza się ją odejmowaniem: $11 - 4 = 7$ .

Jak zrobić dobrze: Zapamiętaj przez nazwę: różnica → odejmowanie, iloraz → dzielenie. Jeśli nie wiesz, z którym ciągiem masz do czynienia, sprawdź oba — poza ciągiem stałym stała będzie tylko jedna z tych wielkości. W ciągu $9, 9, 9, 9$ z tabeli wyżej stałe są obie, bo należy on do obu rodzajów naraz.

Uznanie zera za wyraz ujemny

Skąd się bierze: W zadaniu „który wyraz jest pierwszym ujemnym” uczeń wskazuje wyraz równy $0$ . Zero nie jest ani dodatnie, ani ujemne, więc warunek $a_n < 0$ spełnia dopiero następny wyraz.

Jak zrobić dobrze: Rozwiązuj nierówność ostrą i sprawdź wynik na konkretnych wyrazach. Jeśli wychodzi $n > 3$ , odpowiedzią jest $n = 4$ , a nie $n = 3$ .

Zadania maturalne — wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego

Prawdziwe zadania z arkuszy matury z matematyki (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem.

Zielone jest to, co dane w treści. Czerwone — to, co policzone po drodze. Cały temat opiera się na jednym wzorze: $a_n = a_1 + (n-1)r$ . Warto go czytać nie jako formułę, a jako zdanie: żeby dojść od pierwszego wyrazu do $n$ -tego, dodajemy różnicę $(n-1)$ razy — o jeden raz mniej, niż wynosi numer wyrazu. Stąd wynika wszystko inne: między wyrazami

a_k

a_m

jest

|m-k|

kroków, więc

a_m = a_k + (m-k)r

; cofanie się w ciągu to odejmowanie różnicy; a gdy szukamy numeru wyrazu, ten sam wzór staje się równaniem z niewiadomą

n

Sprawdź się bez zaglądania do odpowiedzi. Wylosuję 10 zadań zamkniętych z tego zestawu — klucz i rozwiązania schowam do czasu sprawdzenia. Pula liczy 10 zadań, więc za każdym razem dostaniesz inny zestaw.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (czerwiec 2024)1 pktłatwe

W ciągu arytmetycznym

(a_n)

, określonym dla każdej liczby naturalnej

n \geqslant 1

, dane są wyrazy:

a_1 = 7

oraz

a_2 = 13

. Wyraz

a_{10}

jest równy

A. $(-47)$
B. $52$
C. $61$
D. $67$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Różnica to po prostu odstęp między dwoma kolejnymi wyrazami:
$r = a_2 - a_1 = \textcolor{#16A06A}{13} - \textcolor{#16A06A}{7} = \textcolor{#E0453A}{6}$
Dziesiąty wyraz. Od pierwszego do dziesiątego jest dziewięć kroków, nie dziesięć:
$a_{10} = \textcolor{#16A06A}{7} + \textcolor{#E0453A}{9} \cdot \textcolor{#E0453A}{6} = \textcolor{#16A06A}{7} + \textcolor{#E0453A}{54} = 61$
Odpowiedź: C.
Kontrola przez wypisanie: $7, 13, 19, 25, 31, 37, 43, 49, 55, 61$ — dziesiąta liczba to $61$ ✓

💡 Wskazówka: Liczba kroków to numer wyrazu minus jeden. Najprościej sprawdzić to na małym przykładzie: do $a_2$ jest jeden krok, do $a_3$ dwa. Jeśli mylisz się w tym miejscu, wypisz kilka pierwszych wyrazów — przy dziesiątym wyrazie to nadal szybsze niż poprawianie błędu.

⚠ Dodanie różnicy dziesięć razy: $7 + 10 \cdot 6 = 67$ — dokładnie odpowiedź D. To najczęstsza pomyłka w całym dziale ciągów. Odpowiedź $52$ powstaje z liczenia od $a_2$ : $13 + 9 \cdot 6 = 67$ … nie, raczej z $7 + 45$ , czyli pomnożenia przez $9$ i dodania niepełnej różnicy. Odpowiedź $-47$ to znak $r$ wzięty odwrotnie: $7 - 9 \cdot 6 = -47$ .

Zadanie 2 (grudzień 2023)1 pktłatwe

Ciąg arytmetyczny

(a_n)

jest określony dla każdej liczby naturalnej

n \geqslant 1

. W tym ciągu

a_2 = 4

oraz

a_3 = 9

. Szósty wyraz ciągu

(a_n)

jest równy

A. $24$
B. $29$
C. $36$
D. $69$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

$r = a_3 - a_2 = \textcolor{#16A06A}{9} - \textcolor{#16A06A}{4} = \textcolor{#E0453A}{5}$
Do szóstego wyrazu nie musimy wracać do pierwszego. Od $a_3$ do $a_6$ są trzy kroki:
$a_6 = \textcolor{#16A06A}{9} + \textcolor{#E0453A}{3} \cdot \textcolor{#E0453A}{5} = \textcolor{#16A06A}{9} + \textcolor{#E0453A}{15} = 24$
Odpowiedź: A.
Kontrola przez wypisanie od $a_2$ : $4, 9, 14, 19, 24$ — to wyrazy $a_2$ do $a_6$ , czyli szósty wynosi $24$ ✓

💡 Wskazówka: Nie ma potrzeby liczyć $a_1$ , jeśli pytanie dotyczy wyrazu dalszego niż dane. Liczba kroków to różnica numerów: od $a_3$ do $a_6$ jest $6 - 3 = 3$ kroki. Ta wersja wzoru — $a_m = a_k + (m-k)r$ — oszczędza jeden krok rachunku i jedną okazję do pomyłki.

⚠ Policzenie $a_1 = -1$ , a potem $a_6 = -1 + 5 \cdot 5 = 24$ — droga dłuższa, ale poprawna. Prawdziwe pomyłki to: dodanie różnicy cztery razy od $a_3$ (bo „od trzeciego do szóstego to cztery liczby”) i wynik $29$ , czyli odpowiedź B, oraz pomnożenie $9 \cdot 4 = 36$ zamiast dodawania, czyli odpowiedź C. Ciąg arytmetyczny dodaje różnicę, nie mnoży — mnożenie to ciąg geometryczny.

Zadanie 3 (sierpień 2025)1 pktśrednie

Ciąg arytmetyczny

(a_n)

jest określony dla każdej liczby naturalnej

n \geqslant 1

. Różnica tego ciągu jest równa

(-4)

oraz

a_{10} = -24

. Szósty wyraz ciągu

(a_n)

jest równy

A. $(-12)$
B. $(-8)$
C. $(-4)$
D. $0$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Szukany wyraz jest wcześniejszy niż dany, więc cofamy się w ciągu — a cofanie się oznacza odejmowanie różnicy.
Od $a_{10}$ do $a_6$ są cztery kroki w tył:
$a_6 = a_{10} - \textcolor{#E0453A}{4}r = \textcolor{#16A06A}{-24} - \textcolor{#E0453A}{4} \cdot \textcolor{#16A06A}{(-4)}$
Odejmowanie liczby ujemnej to dodawanie:
$a_6 = \textcolor{#16A06A}{-24} + \textcolor{#E0453A}{16} = -8$
Odpowiedź: B.
Kontrola: ciąg maleje o $4$ , więc idąc od $a_6 = -8$ w przód dostajemy $-8, -12, -16, -20, -24$ — to wyrazy $a_6$ do $a_{10}$ , a ostatni zgadza się z treścią ✓
Warto zauważyć, że wcześniejsze wyrazy ciągu malejącego są większe — i faktycznie $-8 > -24$ .

💡 Wskazówka: Przy cofaniu się w ciągu malejącym wynik musi być większy od danego wyrazu. To najprostsza kontrola sensowności: $a_6$ musi być większe od $a_{10} = -24$ , więc odpowiedzi mniejsze od $-24$ można odrzucić bez rachunku. Tutaj wszystkie cztery są większe, ale w wielu zadaniach ta obserwacja od razu połowę skreśla.

⚠ Dodanie różnicy zamiast odjęcia: $-24 + 4 \cdot (-4) = -40$ — liczby spoza odpowiedzi, więc błąd się ujawnia. Groźniejsze jest pomylenie liczby kroków: od $a_{10}$ do $a_6$ są cztery kroki, nie sześć. Przy sześciu wyszłoby $-24 + 24 = 0$ , czyli odpowiedź D.

Zadanie 4 (czerwiec 2022)1 pktłatwe

Ciąg

(a_n)

, określony dla każdej liczby naturalnej

n \geqslant 1

, jest arytmetyczny. Różnica tego ciągu jest równa

2

oraz

a_8 = 48

. Czwarty wyraz tego ciągu jest równy

A. $2$
B. $24$
C. $3$
D. $40$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Znowu cofamy się, tym razem w ciągu rosnącym. Od $a_8$ do $a_4$ są cztery kroki w tył:
$a_4 = a_8 - \textcolor{#E0453A}{4}r = \textcolor{#16A06A}{48} - \textcolor{#E0453A}{4} \cdot \textcolor{#16A06A}{2} = \textcolor{#16A06A}{48} - \textcolor{#E0453A}{8} = 40$
Odpowiedź: D.
Kontrola: $40, 42, 44, 46, 48$ — to wyrazy $a_4$ do $a_8$ ✓

💡 Wskazówka: Ciąg rośnie ( $r = 2 > 0$ ), więc wyraz czwarty musi być mniejszy od ósmego, czyli mniejszy od $48$ — ale niewiele, bo różnica jest mała, a kroków tylko cztery. Odpowiedzi $2$ i $3$ są od $48$ oddalone tak bardzo, że można je odrzucić na samo spojrzenie.

⚠ Podzielenie zamiast odejmowania: $48 : 2 = 24$ , czyli odpowiedź B. Ciąg arytmetyczny buduje się dodawaniem różnicy, więc cofanie się to odejmowanie, nigdy dzielenie — dzielenie należy do ciągu geometrycznego. Odpowiedzi $2$ i $3$ to podane w treści liczby ( $r = 2$ ) i numer wyrazu, wstawione jako odpowiedzi bez żadnego rachunku.

Zadanie 5 (maj 2022)1 pktśrednie

W ciągu arytmetycznym

(a_n)

, określonym dla każdej liczby naturalnej

n \geqslant 1

a_5 = -31

oraz

a_{10} = -66

. Różnica tego ciągu jest równa

A. $(-7)$
B. $(-19{,}4)$
C. $7$
D. $19{,}4$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Tym razem szukamy różnicy, a nie wyrazu. Zasada jest ta sama: między $a_5$ i $a_{10}$ jest $10 - 5 = \textcolor{#E0453A}{5}$ kroków, więc
$a_{10} = a_5 + \textcolor{#E0453A}{5}r$
$\textcolor{#16A06A}{-66} = \textcolor{#16A06A}{-31} + \textcolor{#E0453A}{5}r$
$\textcolor{#E0453A}{5}r = \textcolor{#16A06A}{-66} - (\textcolor{#16A06A}{-31}) = \textcolor{#E0453A}{-35}$
$r = \textcolor{#E0453A}{-7}$
Odpowiedź: A.
Kontrola: od $a_5 = -31$ odejmujemy siedem pięć razy: $-31, -38, -45, -52, -59, -66$ — piąty krok daje dokładnie $a_{10} = -66$ ✓

💡 Wskazówka: Liczba kroków to różnica numerów, czyli $10 - 5 = 5$ — nie $10$ ani $4$ . Ciąg maleje (bo $-66 < -31$ ), więc różnica musi być ujemna; to od razu skreśla odpowiedzi C i D, jeszcze przed rachunkiem.

⚠ Podzielenie różnicy wyrazów przez $10$ zamiast przez $5$ : $\tfrac{-35}{10} = -3{,}5$ — liczby spoza odpowiedzi. Za to odpowiedzi $\pm 19{,}4$ pochodzą z dzielenia sumy przez liczbę kroków: $\tfrac{-66 + (-31)}{5} = -19{,}4$ . Trzeba odjąć wyrazy, a nie dodać — różnica ciągu mierzy odstęp, nie łączną wartość.

Zadanie 6 (sierpień 2020)1 pktśrednie

W ciągu arytmetycznym

(a_n)

, określonym dla każdej liczby naturalnej

n \geqslant 1

, są dane dwa wyrazy:

a_1 = 2

a_2 = 5

. Stąd wynika, że

n

-ty wyraz tego ciągu jest określony wzorem

A. $a_n = 3n - 1$
B. $a_n = 3n + 2$
C. $a_n = 2n + 3$
D. $a_n = 2n - 1$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

$r = \textcolor{#16A06A}{5} - \textcolor{#16A06A}{2} = \textcolor{#E0453A}{3}$
Podstawiamy do wzoru ogólnego i porządkujemy:
$a_n = \textcolor{#16A06A}{2} + (n-1) \cdot \textcolor{#E0453A}{3} = \textcolor{#16A06A}{2} + \textcolor{#E0453A}{3}n - \textcolor{#E0453A}{3} = \textcolor{#E0453A}{3}n \textcolor{#E0453A}{- 1}$
Odpowiedź: A.
Kontrola przez podstawienie — i to jest tu najszybsza droga do celu. Sprawdzamy oba dane wyrazy: $a_1 = 3 \cdot 1 - 1 = \textcolor{#E0453A}{2}$ ✓ oraz $a_2 = 3 \cdot 2 - 1 = \textcolor{#E0453A}{5}$ ✓
Dla porównania odpowiedź B daje $a_1 = 5$ , a C daje $a_1 = 5$ — obie zawodzą już na pierwszym wyrazie.

💡 Wskazówka: Gdy odpowiedziami są gotowe wzory, nie wyprowadzaj wzoru — sprawdzaj podane. Podstaw $n = 1$ do każdego z czterech: musi wyjść $2$ . To eliminuje trzy odpowiedzi w kilka sekund, bez przekształcania nawiasów. Współczynnik przy $n$ musi zresztą równać się różnicy, czyli $3$ — co samo skreśla C i D.

⚠ Zapisanie wzoru jako $a_n = 2 + 3n$ (czyli $3n + 2$ , odpowiedź B) — zgubione odjęcie różnicy. We wzorze $a_1 + (n-1)r$ nawias trzeba rozwinąć w całości: $3(n-1) = 3n - 3$ , a nie $3n$ . Drugi błąd: wzięcie za współczynnik przy $n$ pierwszego wyrazu, czyli dwójki, co daje odpowiedzi C albo D. Przy $n$ zawsze stoi różnica.

Zadanie 7 (sierpień 2017)1 pktśrednie

Dany jest ciąg arytmetyczny

(a_n)

, określony dla

n \geqslant 1

, o którym wiemy, że:

a_1 = 2

a_2 = 9

. Wtedy

a_n = 79

dla

A. $n = 10$
B. $n = 11$
C. $n = 12$
D. $n = 13$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Tu wzór działa w odwrotną stronę: znamy wartość wyrazu, a szukamy jego numeru. Wzór staje się równaniem z niewiadomą $n$ .
$r = \textcolor{#16A06A}{9} - \textcolor{#16A06A}{2} = \textcolor{#E0453A}{7}$
$a_n = \textcolor{#16A06A}{2} + (n-1) \cdot \textcolor{#E0453A}{7} = \textcolor{#16A06A}{79}$
$(n-1) \cdot \textcolor{#E0453A}{7} = \textcolor{#E0453A}{77} \qquad \Longrightarrow \qquad n - 1 = \textcolor{#E0453A}{11} \qquad \Longrightarrow \qquad n = 12$
Odpowiedź: C.
Kontrola: $a_{12} = 2 + 11 \cdot 7 = 2 + 77 = 79$ ✓ Dla porównania $a_{11} = 2 + 70 = 72$ , a $a_{13} = 2 + 84 = 86$ — żadna z tych liczb nie jest równa $79$ .

💡 Wskazówka: Ostatni krok jest tym, na którym najłatwiej się potknąć: z równania wychodzi $n - 1 = 11$ , a więc $n = 12$ . Wynik równania to numer minus jeden, a nie numer. Warto od razu podstawić otrzymane $n$ z powrotem do wzoru — jedno mnożenie i wiadomo, czy dobrze.

⚠ Zatrzymanie się na $n - 1 = 11$ i podanie odpowiedzi $11$ — dokładnie odpowiedź B, ustawiona na tę pomyłkę. Drugi błąd: podzielenie $79$ przez $7$ i zaokrąglenie do $11$ ; nie wolno pominąć pierwszego wyrazu, bo ciąg zaczyna się od $2$ , a nie od zera. Odpowiedź $13$ powstaje z dodania jedynki po niewłaściwej stronie.

Zadanie 8 (maj 2016)1 pkttrudniejsze

Czternasty wyraz ciągu arytmetycznego jest równy

8

, a różnica tego ciągu jest równa

\left(-\dfrac{3}{2}\right)

. Siódmy wyraz tego ciągu jest równy

A. $\dfrac{37}{2}$
B. $-\dfrac{37}{2}$
C. $-\dfrac{5}{2}$
D. $\dfrac{5}{2}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Cofamy się od czternastego do siódmego wyrazu, czyli o $14 - 7 = \textcolor{#E0453A}{7}$ kroków w tył:
$a_7 = a_{14} - \textcolor{#E0453A}{7}r = \textcolor{#16A06A}{8} - \textcolor{#E0453A}{7} \cdot \left(\textcolor{#16A06A}{-\tfrac32}\right)$
Iloczyn $7 \cdot \left(-\tfrac32\right)$ to $-\tfrac{21}{2}$ , a odejmowanie liczby ujemnej daje dodawanie:
$a_7 = \textcolor{#16A06A}{8} + \textcolor{#E0453A}{\dfrac{21}{2}} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{16}{2}} + \textcolor{#E0453A}{\dfrac{21}{2}} = \dfrac{37}{2}$
Odpowiedź: A.
Kontrola: ciąg maleje o $1{,}5$ , a $a_7 = 18{,}5$ . Idąc w przód siedem razy: $18{,}5 - 7 \cdot 1{,}5 = 18{,}5 - 10{,}5 = 8$ ✓ — zgadza się z $a_{14}$ z treści.

💡 Wskazówka: Ciąg maleje, a szukamy wyrazu wcześniejszego — więc wynik musi być większy od 8. To od razu skreśla trzy odpowiedzi: $-\tfrac{37}{2}$ , $-\tfrac52$ i $\tfrac52$ są wszystkie mniejsze od $8$ . Sama ta obserwacja rozwiązuje zadanie, a rachunek służy tylko do potwierdzenia.

⚠ Odjęcie zamiast dodania, czyli $8 - \tfrac{21}{2} = -\tfrac52$ — dokładnie odpowiedź C. Przy cofaniu się w ciągu odejmujemy różnicę, a ona jest tu ujemna, więc w efekcie dodajemy. Warto rozpisać to jako dwa osobne minusy: $-7 \cdot \left(-\tfrac32\right) = +\tfrac{21}{2}$ . Drugi błąd: pomylenie liczby kroków (siedem, nie czternaście) — przy czternastu wyszłoby $8 + 21 = 29$ .

Zadanie 9 (marzec 2021)1 pktśrednie

Ciąg

(a_n)

, określony dla każdej liczby naturalnej

n \geqslant 1

, jest arytmetyczny. Różnica tego ciągu jest równa

5

, a pierwszy wyraz tego ciągu jest równy

(-3)

. Wtedy iloraz

\dfrac{a_4}{a_2}

jest równy

A. $\dfrac{5}{3}$
B. $2$
C. $6$
D. $25$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Zadanie prosi o iloraz dwóch wyrazów, więc najpierw policzmy oba osobno. Ciąg jest arytmetyczny, a nie geometryczny — iloraz nie ma tu żadnego szczególnego znaczenia i trzeba go po prostu wyliczyć.
$a_2 = \textcolor{#16A06A}{-3} + \textcolor{#16A06A}{5} = \textcolor{#E0453A}{2}$
$a_4 = \textcolor{#16A06A}{-3} + \textcolor{#E0453A}{3} \cdot \textcolor{#16A06A}{5} = \textcolor{#16A06A}{-3} + \textcolor{#E0453A}{15} = \textcolor{#E0453A}{12}$
$\dfrac{a_4}{a_2} = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{12}}{\textcolor{#E0453A}{2}} = 6$
Odpowiedź: C.
Kontrola przez wypisanie: $-3,\ 2,\ 7,\ 12$ — to wyrazy $a_1$ do $a_4$ , więc $\tfrac{a_4}{a_2} = \tfrac{12}{2} = 6$ ✓ Przy tak krótkim ciągu wypisanie jest zresztą najszybszą drogą.

💡 Wskazówka: Nie szukaj tu żadnego skrótu — w ciągu arytmetycznym iloraz dwóch wyrazów nie wynika z żadnego prostego wzoru, bo stała jest różnica, nie iloraz. Wypisz cztery pierwsze wyrazy i podziel; to cztery dodawania i jedno dzielenie.

⚠ Potraktowanie ciągu jak geometrycznego i przyjęcie, że $\tfrac{a_4}{a_2} = r^2 = 25$ — dokładnie odpowiedź D. Ta zależność działa w ciągu geometrycznym (gdzie $\tfrac{a_4}{a_2} = q^2$ ), a nie arytmetycznym. Drugi błąd: obliczenie $a_4$ z czterema krokami zamiast trzech, czyli $-3 + 20 = 17$ , co daje iloraz $8{,}5$ — liczbę spoza odpowiedzi.

Zadanie 10 (czerwiec 2017)1 pkttrudniejsze

W ciągu arytmetycznym

(a_n)

, określonym dla

n \geqslant 1

, spełniony jest warunek

2a_3 = a_2 + a_1 + 1

. Różnica

r

tego ciągu jest równa

A. $0$
B. $\dfrac{1}{3}$
C. $\dfrac{1}{2}$
D. $1$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

W warunku występują trzy różne wyrazy, a szukamy tylko $r$ . Zapisujemy więc wszystkie przez $a_1$ i $r$ — pierwszy wyraz powinien się skrócić sam.
$a_2 = a_1 + r, \qquad a_3 = a_1 + \textcolor{#E0453A}{2}r$
Podstawiamy do warunku $2a_3 = a_2 + a_1 + \textcolor{#16A06A}{1}$ :
$\textcolor{#16A06A}{2}\left(a_1 + \textcolor{#E0453A}{2}r\right) = \left(a_1 + r\right) + a_1 + \textcolor{#16A06A}{1}$
$\textcolor{#E0453A}{2}a_1 + \textcolor{#E0453A}{4}r = \textcolor{#E0453A}{2}a_1 + r + \textcolor{#16A06A}{1}$
Składniki $2a_1$ skracają się po obu stronach — i to jest sedno zadania: pierwszy wyraz w ogóle nie ma znaczenia.
$\textcolor{#E0453A}{4}r - r = \textcolor{#16A06A}{1} \qquad \Longrightarrow \qquad \textcolor{#E0453A}{3}r = \textcolor{#16A06A}{1} \qquad \Longrightarrow \qquad r = \dfrac{1}{3}$
Odpowiedź: B.
Kontrola na konkretnym ciągu. Weźmy $a_1 = 0$ : wtedy $a_2 = \tfrac13$ , $a_3 = \tfrac23$ . Lewa strona: $2 \cdot \tfrac23 = \tfrac43$ . Prawa: $\tfrac13 + 0 + 1 = \tfrac43$ ✓ Sprawdźmy jeszcze dla $a_1 = 10$ : lewa $2(10 + \tfrac23) = \tfrac{64}{3}$ , prawa $(10+\tfrac13) + 10 + 1 = \tfrac{64}{3}$ ✓ — warunek zachodzi niezależnie od $a_1$ , dokładnie jak przewidywał rachunek.

💡 Wskazówka: Gdy w warunku występuje kilka wyrazów, a pytanie dotyczy tylko $r$ , zapisz wszystko przez $a_1$ i $r$ i spodziewaj się, że $a_1$ się skróci. Tak jest w większości takich zadań — i jeśli się nie skraca, to znak, że gdzieś jest błąd w rachunku albo że zadanie pyta o coś więcej.

⚠ Zgubienie jedynki z prawej strony i wynik $3r = 0$ , czyli $r = 0$ — odpowiedź A. Ta jedynka jest jedyną liczbą w całym warunku, więc bez niej równanie robi się trywialne i to samo powinno wzbudzić czujność. Drugi błąd: zapisanie $a_3$ jako $a_1 + 3r$ (trzy kroki zamiast dwóch), co daje $6r - r = 1$ i wynik $\tfrac15$ — liczbę spoza odpowiedzi.

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. C	2. A	3. B	4. D	5. A	6. A
7. C	8. A	9. C	10. B

Treści zadań pochodzą z arkuszy matury z matematyki (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

7Pytania i odpowiedzi

Jaki jest wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego?

$a_n = a_1 + (n-1)r$ , gdzie $a_1$ to pierwszy wyraz, a $r$ różnica. Mnożnik jest o jeden mniejszy od numeru wyrazu, bo do wyrazu numer $n$ dochodzi się przez $n-1$ dodawań — pierwszego wyrazu nie zwiększamy ani razu.

Jak obliczyć różnicę ciągu arytmetycznego?

Odejmij od dowolnego wyrazu poprzedni: $r = a_{n+1} - a_n$ . Gdy dane wyrazy nie sąsiadują, podziel różnicę wyrazów przez różnicę numerów: $r = \frac{a_n - a_k}{n-k}$ . Wynik jest zawsze jeden — w odróżnieniu od ciągu geometrycznego, gdzie może wyjść dwa.

Czym różni się ciąg arytmetyczny od geometrycznego?

W arytmetycznym dodajemy stałą liczbę, w geometrycznym mnożymy przez stałą liczbę. Nazwy podpowiadają działanie sprawdzające: różnica bierze się z odejmowania, iloraz z dzielenia. Arytmetyczny rośnie liniowo, a geometryczny o ilorazie większym od jedynki — wykładniczo.

Czy różnica może być ujemna albo równa zero?

Tak, oba przypadki są dozwolone. Ujemna różnica daje ciąg malejący, zerowa — ciąg stały. To różnica wobec ciągu geometrycznego, w którym iloraz zerem być nie może.

Jak wyznaczyć wyraz, gdy nie znam pierwszego?

Skorzystaj z wersji ogólnej $a_n = a_k + (n-k)r$ — pozwala przejść od dowolnego znanego wyrazu do szukanego, bez wracania do $a_1$ . Na maturze to częstszy przypadek niż wzór podstawowy.

Czy wyraz środkowy jest średnią sąsiadów?

Tak — dla każdych trzech kolejnych wyrazów zachodzi $a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}$ . Działa to również dla wyrazów oddalonych symetrycznie: $a_7$ jest średnią $a_4$ i $a_{10}$ . To często najszybsza droga do rozwiązania.

Czytaj dalej

Ciąg geometrycznyTen sam schemat, ale z mnożeniem zamiast dodawania Suma ciągu arytmetycznegoOsobny wzór — tutaj chodzi o pojedynczy wyraz Średnia arytmetycznaWyraz środkowy jest średnią sąsiadów — stąd nazwa ciągu Funkcja liniowaWyrazy ciągu leżą na prostej, a różnica to współczynnik kierunkowy

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-08-01. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.