Egzamin ósmoklasisty · matematyka · kwiecień 2019

Egzamin ósmoklasisty 2019 z matematyki – odpowiedzi i rozwiązania

Egzamin ósmoklasisty z matematyki 2019, sesja główna (kwiecień). Arkusz OMAP-100-1904 miał 21 zadań: 15 zamkniętych i 6 otwartych, razem 30 punktów, a na rozwiązanie było 100 minut. Niżej jest tabela odpowiedzi, a pod nią każde zadanie w kolejności z arkusza z naszym rozwiązaniem krok po kroku.

Tabela odpowiedzi ↓

21zadań · 30 pkt

Odpowiedzi – egzamin ósmoklasisty 2019, matematyka

Odpowiedzi do zadań zamkniętych zgadzają się z kluczem w zasadach oceniania CKE. Przy zadaniach otwartych podajemy wynik; pełny tok obliczeń jest przy zadaniu.

Zadanie	Punkty	Odpowiedź
Zadanie 1	1 pkt	PP
Zadanie 2	1 pkt	C
Zadanie 3	1 pkt	B
Zadanie 4	1 pkt	D
Zadanie 5	1 pkt	BC
Zadanie 6	1 pkt	E
Zadanie 7	1 pkt	PP
Zadanie 8	1 pkt	C
Zadanie 9	1 pkt	B
Zadanie 10	1 pkt	FP
Zadanie 11	1 pkt	B
Zadanie 12	1 pkt	A
Zadanie 13	1 pkt	B
Zadanie 14	1 pkt	C
Zadanie 15	1 pkt	B
Zadanie 16	2 pkt	12 meczów
Zadanie 17	2 pkt	o 15 minut
Zadanie 18	2 pkt	Nie mogły
Zadanie 19	3 pkt	36 konkurencji
Zadanie 20	3 pkt	50 m × 75 m
Zadanie 21	3 pkt	4 cm

Zadania z rozwiązaniami krok po kroku

Rozwiązanie każdego zadania otwiera się po kliknięciu „Zobacz rozwiązanie”. Najpierw spróbuj samodzielnie, a potem porównaj swój tok rozumowania z naszym.

Zadanie 1 – obliczenia praktyczne (1 pkt)

Zadanie 11 pktśrednie

Z kartki kalendarza na rok 2017 odczytujemy, że 31 sierpnia 2017 roku był czwartek. Natalia obchodzi urodziny 31 sierpnia, jej siostra Ewa — 18 sierpnia, a brat Karol — 2 października. Oceń prawdziwość podanych zdań.

W 2017 r. urodziny Ewy wypadły w piątek.	P	F
W 2017 r. dniem urodzin Karola był poniedziałek.	P	F

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P, P

Klucz do takich zadań: co 7 dni wypada ten sam dzień tygodnia. Cofamy się więc lub idziemy naprzód „skokami po 7”.
Zdanie 1 — Ewa, 18 sierpnia. Cofamy się od 31 sierpnia (czwartek) siódemkami: 24 sierpnia — czwartek, 17 sierpnia — czwartek.
Skoro $\textcolor{#16A06A}{17}$ sierpnia to czwartek, to $\textcolor{#16A06A}{18}$ sierpnia jest piątek ✓ — prawda.
Zdanie 2 — Karol, 2 października. Idziemy naprzód siódemkami: 7, 14, 21 i 28 września to same czwartki (bo sierpień ma 31 dni, więc 7 września wypada 7 dni po 31 sierpnia).
Od $\textcolor{#16A06A}{28}$ września (czwartek) liczymy dalej: 29 września — piątek, 30 września — sobota, 1 października — niedziela, $\textcolor{#E0453A}{2}$ października — poniedziałek ✓ — prawda.
Odpowiedzi: P, P.

💡 Wskazówka: Skacz po 7 dni, aż znajdziesz się blisko szukanej daty — dopiero wtedy dolicz pojedyncze dni. To dużo szybsze i pewniejsze niż odliczanie dzień po dniu.

⚠ Najczęstszy błąd przy Karolu: zapomnienie, ile dni ma sierpień (31) i wrzesień (30). Pomyłka o jeden dzień w liczbie dni miesiąca przesuwa cały wynik.

To zadanie na osobnej stronie Więcej zadań: obliczenia praktyczne

Zadanie 2 – podzielność, cyfry i zaokrąglanie (1 pkt)

Zadanie 21 pkttrudniejsze

Liczba 1450 jest zaokrągleniem do rzędu dziesiątek kilku liczb naturalnych. Ile jest wszystkich liczb naturalnych różnych od 1450, które mają takie zaokrąglenie?

A. $4$
B. $5$
C. $9$
D. $10$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Pytamy: które liczby zaokrąglone do dziesiątek dają 1450?
Od dołu: zaokrąglamy w górę, gdy cyfra jedności jest $\ge 5$ . Najmniejsza taka liczba to $\textcolor{#16A06A}{1445}$ (bo $1444$ zaokrągli się już do 1440).
Od góry: zaokrąglamy w dół, gdy cyfra jedności jest $< 5$ . Największa taka liczba to $\textcolor{#E0453A}{1454}$ (bo $1455$ zaokrągli się do 1460).
Czyli szukane liczby to wszystkie od $\textcolor{#16A06A}{1445}$ do $\textcolor{#E0453A}{1454}$ : 1445, 1446, 1447, 1448, 1449, 1450, 1451, 1452, 1453, 1454 — razem 10 liczb.
Ale zadanie prosi o liczby różne od 1450, więc odrzucamy jedną: $10 - 1 = 9$ . Odpowiedź C.

💡 Wskazówka: Licząc, ile liczb naturalnych mieści się między $a$ i $b$ włącznie, użyj wzoru $b - a + 1$ . Tu: $1454 - 1445 + 1 = 10$ .

⚠ Dwa typowe błędy: (1) zapomnienie o wykluczeniu samej liczby 1450 i wybór odpowiedzi D; (2) źle wyznaczony koniec przedziału — 1455 zaokrągla się już w górę, do 1460.

To zadanie na osobnej stronie Więcej zadań: podzielność, cyfry i zaokrąglanie

Zadanie 3 – potęgi (1 pkt)

Zadanie 31 pkttrudniejsze

Dane są trzy wyrażenia: I.

5^2 \cdot 10^8 \cdot 5^4

, II.

(5^{10} : 5^2) \cdot 10^8

, III.

2^8 \cdot 5^8 \cdot 5^8

. Które z tych wyrażeń są równe

50^8

A. Tylko I i II.
B. Tylko II i III.
C. Tylko II.
D. Tylko III.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Najpierw rozkładamy cel: $50 = 2 \cdot 5^2$ , więc $50^8 = 2^8 \cdot 5^{16}$ .
I: $5^2 \cdot 10^8 \cdot 5^4 = 5^6 \cdot (2^8 \cdot 5^8) = 2^8 \cdot 5^{14}$ — nie pasuje.
II: $(5^{10} : 5^2) \cdot 10^8 = 5^8 \cdot 2^8 \cdot 5^8 = 2^8 \cdot 5^{16}$ ✓
III: $2^8 \cdot 5^8 \cdot 5^8 = 2^8 \cdot 5^{16}$ ✓
Pasują II i III.

💡 Wskazówka: Rozłóż wszystko na potęgi dwójki i piątki — wtedy porównanie jest mechaniczne.

⚠ Częsty błąd: zapomnienie, że $10^8 = 2^8 \cdot 5^8$ (a nie samo $10^8$ jako osobna podstawa).

To zadanie na osobnej stronie Więcej zadań: potęgi

Zadanie 4 – pierwiastki (1 pkt)

Zadanie 41 pkttrudniejsze

Dane są cztery wyrażenia: I.

4 + \sqrt{35}

, II.

6 + \sqrt{17}

, III.

17 - \sqrt{48}

, IV.

15 - \sqrt{26}

. Wartości których wyrażeń są mniejsze od 10?

A. I i II
B. II i III
C. III i IV
D. I i IV

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

I: $\sqrt{35} < 6$ (bo $36 > 35$ ), więc $4 + \sqrt{35} < 10$ ✓
II: $\sqrt{17} > 4$ (bo $16 < 17$ ), więc $6 + \sqrt{17} > 10$ ✗
III: $\sqrt{48} < 7$ (bo $49 > 48$ ), więc $17 - \sqrt{48} > 17 - 7 = 10$ ✗
IV: $\sqrt{26} > 5$ (bo $25 < 26$ ), więc $15 - \sqrt{26} < 15 - 5 = 10$ ✓
Mniejsze od 10 są I i IV.

💡 Wskazówka: Przy odejmowaniu uwaga na kierunek: większy pierwiastek daje mniejszy wynik.

⚠ Częsty błąd w III i IV: zapomnienie o odwróceniu nierówności przy odejmowaniu pierwiastka.

To zadanie na osobnej stronie Więcej zadań: pierwiastki

Zadanie 5 – obliczenia praktyczne (1 pkt)

Zadanie 51 pktśrednie

Adam przygotował karty do gry z czterech arkuszy kartonu. Najpierw podzielił każdy arkusz na cztery części, a następnie każdą z nich ponownie podzielił na cztery części. Tak powstał komplet kart. W grze bierze udział 5 graczy, z których każdy otrzymuje jednakową liczbę kart. Uzupełnij zdania.

Adam przygotował AB karty do gry.

A. $32$
B. $64$

Każdy gracz może otrzymać maksymalnie CD kart.

C. $12$
D. $13$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B, C

Pierwsze zdanie. Z jednego arkusza po pierwszym cięciu powstają 4 części, a po drugim każda z nich daje kolejne 4 — czyli $4 \cdot 4 = \textcolor{#16A06A}{16}$ kart z arkusza.
Arkuszy było $\textcolor{#E0453A}{4}$ , więc kart jest $\textcolor{#16A06A}{16} \cdot \textcolor{#E0453A}{4} = 64$ — odpowiedź B.
Drugie zdanie. Rozdajemy 64 karty pomiędzy $\textcolor{#E0453A}{5}$ graczy po równo: $64 : \textcolor{#E0453A}{5} = 12$ reszty $4$ .
Każdy gracz dostanie więc po $\textcolor{#16A06A}{12}$ kart, a 4 karty zostaną nierozdane — odpowiedź C.
Razem: B, C.

💡 Wskazówka: „Każdy otrzymuje jednakową liczbę kart” oznacza, że bierzemy iloraz całkowity — reszta po prostu zostaje. Zaokrąglanie w górę byłoby możliwe tylko wtedy, gdyby kart można było dorobić.

⚠ Dwa typowe błędy: (1) policzenie $4 + 4 = 8$ części z arkusza zamiast $4 \cdot 4 = 16$ (wychodzi wtedy 32 — kusząca odpowiedź A); (2) zaokrąglenie $12{,}8$ w górę do 13.

To zadanie na osobnej stronie Więcej zadań: obliczenia praktyczne

Zadanie 6 – podział proporcjonalny i stosunki (1 pkt)

Zadanie 61 pktśrednie

Dorota sporządziła z cukru i wody syrop do deseru. Stosunek masy cukru do masy wody w tym syropie jest równy

5 : 3

. Ile procent masy tego syropu stanowi masa cukru?

A. $25\%$
B. $37{,}5\%$
C. $40\%$
D. $60\%$
E. $62{,}5\%$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: E

Uwaga na pułapkę: stosunek $5 : 3$ mówi o cukrze względem wody, a pytanie dotyczy cukru względem całego syropu.
Cały syrop to cukier plus woda, czyli $5 + 3 = \textcolor{#16A06A}{8}$ części.
Cukier to 5 z tych $\textcolor{#16A06A}{8}$ części: $\dfrac{5}{\textcolor{#16A06A}{8}}$ .
Zamieniamy na procenty: $\dfrac{5}{8} = 0{,}625 = 62{,}5\%$ .
Odpowiedź E. (Dla porządku: woda stanowi $\dfrac{3}{8} = 37{,}5\%$ — stąd kusząca odpowiedź B.)

💡 Wskazówka: Przy zamianie stosunku na procent zawsze pytaj: co jest całością? Tu całością jest syrop (8 części), a nie sama woda (3 części).

⚠ Dwa typowe błędy: (1) policzenie $\tfrac53$ zamiast $\tfrac58$ — ale to daje ponad 100%, co od razu powinno zapalić lampkę; (2) podanie procentu wody (37,5%) zamiast cukru.

To zadanie na osobnej stronie Więcej zadań: podział proporcjonalny i stosunki

Zadanie 7 – średnia arytmetyczna (1 pkt)

Zadanie 71 pkttrudniejsze

W pewnej firmie zatrudnionych jest więcej niż 10 pracowników. Połowa z nich zarabia po 3000 zł, a druga połowa — po 4000 zł. Oceń prawdziwość podanych zdań.

Średnia arytmetyczna zarobków w tej firmie jest równa 3500 zł.	P	F
Gdy z pracy w tej firmie zrezygnują dwie osoby, z których jedna zarabia 3000 zł, a druga 4000 zł, to średnia arytmetyczna zarobków się nie zmieni.	P	F

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P, P

Zdanie 1: grupy są równoliczne (po połowie), więc tu wolno wziąć średnią ze średnich.
$(3000 + 4000) : 2 = 3500$ zł ✓ — prawda.
Można to sprawdzić na konkretnym przykładzie, np. 12 osób: $\dfrac{6 \cdot 3000 + 6 \cdot 4000}{12} = \dfrac{42000}{12} = 3500$ zł.
Zdanie 2: odchodzą dwie osoby — po jednej z każdej grupy, więc nadal jest po połowie.
Na przykładzie 12 osób: zostaje $\dfrac{5 \cdot 3000 + 5 \cdot 4000}{10} = \dfrac{35000}{10} = 3500$ zł ✓ — prawda.
Odpowiedzi: P, P.

💡 Wskazówka: Gdy zadanie nie podaje konkretnej liczby osób, podstaw sobie dowolną wygodną (np. 12) — wynik i tak wyjdzie ten sam.

⚠ Błąd w drugim zdaniu: uznanie, że skoro odeszły osoby, to średnia musi się zmienić. Kluczowe jest, że odeszła para — po jednej z każdej grupy, więc proporcje zostały zachowane.

To zadanie na osobnej stronie Więcej zadań: średnia arytmetyczna

Zadanie 8 – wyrażenia algebraiczne (1 pkt)

Zadanie 81 pktśrednie

Dokończ zdanie.
Wyrażenie

(2a + 3b)(3b - 2a)

jest równe

A. $4a^2 - 12ab + 9b^2$
B. $9b^2 + 12ab + 4a^2$
C. $9b^2 - 4a^2$
D. $4a^2 - 9b^2$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Przestawiamy pierwszy nawias, żeby zobaczyć znajomy wzór: $(2a + 3b) = (\textcolor{#16A06A}{3b} + \textcolor{#E0453A}{2a})$ .
Teraz wyrażenie wygląda tak: $(\textcolor{#16A06A}{3b} + \textcolor{#E0453A}{2a})(\textcolor{#16A06A}{3b} - \textcolor{#E0453A}{2a})$ — to wzór na różnicę kwadratów.
Wzór: $(\textcolor{#16A06A}{A} + \textcolor{#E0453A}{B})(\textcolor{#16A06A}{A} - \textcolor{#E0453A}{B}) = \textcolor{#16A06A}{A}^2 - \textcolor{#E0453A}{B}^2$ , gdzie $\textcolor{#16A06A}{A} = \textcolor{#16A06A}{3b}$ , a $\textcolor{#E0453A}{B} = \textcolor{#E0453A}{2a}$ .
Podstawiamy: $\textcolor{#16A06A}{(3b)}^2 - \textcolor{#E0453A}{(2a)}^2 = \textcolor{#16A06A}{9b^2} - \textcolor{#E0453A}{4a^2}$ — odpowiedź C.
Kontrola przez zwykłe mnożenie: $6ab - 4a^2 + 9b^2 - 6ab$ — wyrazy $6ab$ i $-6ab$ się skracają, zostaje $9b^2 - 4a^2$ ✓

💡 Wskazówka: Rozpoznawaj wzór po tym, że te same dwa składniki występują w obu nawiasach — raz z plusem, raz z minusem. Kolejność w nawiasie nie ma znaczenia, więc wolno je przestawić.

⚠ Najczęstszy błąd: odwrócenie kolejności odejmowania i wybór $4a^2 - 9b^2$ (odpowiedź D). Na kwadrat podnosimy ten składnik, który w obu nawiasach ma plus — tutaj $3b$ .

To zadanie na osobnej stronie Więcej zadań: wyrażenia algebraiczne

Zadanie 9 – układ współrzędnych (1 pkt)

Zadanie 91 pktśrednie

W układzie współrzędnych wyznaczono odcinek o końcach w punktach

K

L

. Punkty te mają współrzędne

K = (-17,6)

oraz

L = (15,-4)

. W której ćwiartce układu współrzędnych leży środek odcinka

KL

A. W pierwszej — na prawo od osi $y$ i powyżej osi $x$ .
B. W drugiej — na lewo od osi $y$ i powyżej osi $x$ .
C. W trzeciej — na lewo od osi $y$ i poniżej osi $x$ .
D. W czwartej — na prawo od osi $y$ i poniżej osi $x$ .

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Wystarczy policzyć środek i sprawdzić znaki jego współrzędnych.
$x = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{-17} + \textcolor{#16A06A}{15}}{2} = \dfrac{-2}{2} = \textcolor{#E0453A}{-1}$
$y = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{6} + (\textcolor{#16A06A}{-4})}{2} = \dfrac{2}{2} = \textcolor{#E0453A}{1}$
Środek to $(\textcolor{#E0453A}{-1}, \textcolor{#E0453A}{1})$ : współrzędna $x$ jest ujemna (czyli na lewo od osi $y$ ), a $y$ dodatnia (powyżej osi $x$ ).
To druga ćwiartka — odpowiedź B.

💡 Wskazówka: Do rozstrzygnięcia ćwiartki wystarczą same znaki — dokładne wartości nie są potrzebne. Ćwiartki numeruje się przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, zaczynając od prawej górnej.

⚠ Najczęstszy błąd: pomyłka w dodawaniu liczb różnych znaków, np. $-17 + 15 = -32$ . Warto myśleć o tym jak o długu: mam dług 17, spłacam 15, zostaje dług 2.

To zadanie na osobnej stronie Więcej zadań: układ współrzędnych

Zadanie 10 – wyrażenia algebraiczne (1 pkt)

Zadanie 101 pkttrudniejsze

Kwadrat o boku

a

rozcięto poziomą linią na dwa przystające prostokąty (każdy o wymiarach

a \times \tfrac{a}{2}

). Z tych prostokątów ułożono nową figurę: jeden prostokąt leży poziomo, a drugi stoi pionowo na nim, opierając się o niego całym krótszym bokiem. Pole ułożonej figury jest równe polu kwadratu. Oceń prawdziwość podanych zdań.

Obwód ułożonej figury jest większy o $1{,}5a$ od obwodu kwadratu.	P	F
Obwód ułożonej figury jest równy $5a$ .	P	F

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: F, P

Krok 1 — obwód kwadratu. $\textcolor{#16A06A}{4a}$ .
Krok 2 — obwód każdego prostokąta osobno. Prostokąt ma wymiary $a$ i $\tfrac{a}{2}$ :
$2\left(a + \tfrac{a}{2}\right) = \textcolor{#16A06A}{3a}$ — i tak samo drugi.
Krok 3 — sklejenie. Pionowy prostokąt styka się z poziomym całym krótszym bokiem, czyli odcinkiem długości $\textcolor{#E0453A}{\tfrac{a}{2}}$ . Ten odcinek znika z obwodu dwukrotnie — raz z jednej figury, raz z drugiej:
$P = \textcolor{#16A06A}{3a} + \textcolor{#16A06A}{3a} - 2 \cdot \textcolor{#E0453A}{\tfrac{a}{2}} = 6a - \textcolor{#E0453A}{a} = 5a$ .
Zdanie 1. Różnica wynosi $5a - \textcolor{#16A06A}{4a} = a$ , a nie $1{,}5a$ — fałsz.
Zdanie 2. Obwód wynosi dokładnie $5a$ ✓ — prawda.
Odpowiedzi: F, P.

💡 Wskazówka: Zdanie „pole ułożonej figury jest równe polu kwadratu” to podpowiedź, że pole się nie zmienia przy przekładaniu kawałków — zmienia się tylko obwód. Warto sobie to rozróżnienie utrwalić.

⚠ Najczęstszy błąd: odjęcie linii styku tylko raz (wychodzi wtedy $5{,}5a$ ). Każde sklejenie usuwa z obwodu dwa odcinki tej samej długości — po jednym z każdej łączonej figury.

To zadanie na osobnej stronie Więcej zadań: wyrażenia algebraiczne

Zadanie 11 – kąty w figurach (1 pkt)

Zadanie 111 pkttrudniejsze

Dane są trzy trójkąty:
• $ABC$ — kąt przy

A

45°

, kąt przy

C

76°

, bok

CB

ma długość 7;
• $KLM$ — kąt przy

M

49°

, kąt przy

L

55°

, bok

KL

ma długość 7;
• $PQR$ — kąt przy

R

76°

, kąt przy

P

55°

, bok

PR

ma długość 7.
Na podstawie tych informacji można stwierdzić, że

A. trójkąt $ABC$ jest przystający do trójkąta $KLM$ .
B. trójkąt $KLM$ jest przystający do trójkąta $PQR$ .
C. trójkąt $PQR$ jest przystający do trójkąta $ABC$ .
D. wszystkie trójkąty są przystające.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Dla każdego trójkąta dopełniamy trzeci kąt do $\textcolor{#E0453A}{180°}$ :
$ABC$ : kąt przy $B = \textcolor{#E0453A}{180°} - 45° - 76° = 59°$ . Zestaw kątów: $\{45°, 76°, 59°\}$ .
$KLM$ : kąt przy $K = \textcolor{#E0453A}{180°} - 49° - 55° = 76°$ . Zestaw: $\textcolor{#16A06A}{\{49°, 55°, 76°\}}$ .
$PQR$ : kąt przy $Q = \textcolor{#E0453A}{180°} - 76° - 55° = 49°$ . Zestaw: $\textcolor{#16A06A}{\{76°, 55°, 49°\}}$ .
Trójkąt $ABC$ ma inny zestaw kątów niż pozostałe — odpada z każdej pary (odpowiedzi A, C i D).
Zostają $KLM$ i $PQR$ . Sprawdzamy bok długości 7: w $KLM$ leży między kątami $\textcolor{#16A06A}{76°}$ (przy $K$ ) i $\textcolor{#16A06A}{55°}$ (przy $L$ ); w $PQR$ — między $\textcolor{#16A06A}{55°}$ (przy $P$ ) i $\textcolor{#16A06A}{76°}$ (przy $R$ ).
Ta sama para kątów przy tym samym boku — cecha kąt–bok–kąt ✓ Trójkąty są przystające.
Odpowiedź B.

💡 Wskazówka: Zacznij od dopełnienia kątów we wszystkich trójkątach — dopiero wtedy widać, które mają szansę być przystające. Trójkąt o innym zestawie kątów odpada od razu.

⚠ Najczęstszy błąd: wybór odpowiedzi D, bo we wszystkich trójkątach występuje bok długości 7 i po kilka wspólnych kątów. Trójkąt $ABC$ ma jednak kąt $45°$ , którego nie ma nigdzie indziej.

To zadanie na osobnej stronie Więcej zadań: kąty w figurach

Zadanie 12 – kąty w figurach (1 pkt)

Zadanie 121 pkttrudniejsze

Dany jest równoległobok

ABCD

oraz trójkąt równoramienny

AED

, w którym

|DE| = |AE|

(punkt

E

leży na boku

DC

). Kąt

BCE

ma miarę $106°$ . Jaką miarę ma kąt

AEC

A. $148°$
B. $122°$
C. $74°$
D. $58°$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Punkt $E$ leży na boku $DC$ , więc kąt $BCE$ to po prostu kąt $BCD$ równoległoboku: $\textcolor{#16A06A}{106°}$ .
W równoległoboku kąty sąsiednie dopełniają się do $\textcolor{#E0453A}{180°}$ , więc kąt przy $D$ : $\angle ADC = \textcolor{#E0453A}{180°} - \textcolor{#16A06A}{106°} = \textcolor{#16A06A}{74°}$ .
Trójkąt $AED$ . Skoro $DE = AE$ , kąty przy podstawie $AD$ są równe. Kąt $\angle ADE$ to ten sam co $\angle ADC = \textcolor{#16A06A}{74°}$ (bo $E$ leży na $DC$ ).
Zatem $\angle DAE = \textcolor{#16A06A}{74°}$ , a kąt przy wierzchołku $E$ : $\angle AED = \textcolor{#E0453A}{180°} - \textcolor{#16A06A}{74°} - \textcolor{#16A06A}{74°} = \textcolor{#16A06A}{32°}$ .
Ostatni krok. Punkty $D$ , $E$ , $C$ leżą na jednej prostej, więc kąty $AED$ i $AEC$ są przyległe:
$\angle AEC = \textcolor{#E0453A}{180°} - \textcolor{#16A06A}{32°} = 148°$ — odpowiedź A.

💡 Wskazówka: W trójkącie równoramiennym równe boki wskazują, gdzie są równe kąty: $DE = AE$ oznacza, że kąty przy $D$ i przy $A$ (czyli naprzeciw tych boków) są równe.

⚠ Najczęstszy błąd: podanie kąta $AED$ ( $32°$ ) albo zatrzymanie się na kącie $74°$ (odpowiedź C). Zadanie pyta o kąt $AEC$ — ten po drugiej stronie punktu $E$ .

To zadanie na osobnej stronie Więcej zadań: kąty w figurach

Zadanie 13 – twierdzenie pitagorasa (1 pkt)

Zadanie 131 pktśrednie

Czworokąt

ABCD

zbudowano z dwóch trójkątów prostokątnych: trójkąta

ABD

z kątem prostym przy

A

oraz trójkąta

BCD

z kątem prostym przy

B

. Dane są długości boków

|AB| = |BC| = 1

oraz

|AD| = \sqrt{2}

. Dokończ zdanie.
Długość boku

CD

jest równa

A. $\sqrt{3}$
B. $2$
C. $3$
D. $2\sqrt{2}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Do celu prowadzi wspólny bok $BD$ — najpierw go wyznaczamy, potem używamy w drugim trójkącie.
Trójkąt $ABD$ (kąt prosty przy $A$ ): przyprostokątne to $\textcolor{#16A06A}{AB} = \textcolor{#16A06A}{1}$ i $\textcolor{#16A06A}{AD} = \textcolor{#16A06A}{\sqrt2}$ .
$\textcolor{#E0453A}{BD} = \sqrt{\textcolor{#16A06A}{1}^2 + \textcolor{#16A06A}{\sqrt2}^2} = \sqrt{1 + 2} = \textcolor{#E0453A}{\sqrt3}$ .
Trójkąt $BCD$ (kąt prosty przy $B$ ): teraz $\textcolor{#E0453A}{BD}$ staje się przyprostokątną, razem z $\textcolor{#16A06A}{BC} = \textcolor{#16A06A}{1}$ .
$CD = \sqrt{\textcolor{#E0453A}{\sqrt3}^2 + \textcolor{#16A06A}{1}^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt4 = 2$ .
Odpowiedź B.

💡 Wskazówka: Zwróć uwagę na zmianę roli odcinka $BD$ : w pierwszym trójkącie jest przeciwprostokątną, w drugim przyprostokątną. Decyduje o tym, gdzie leży kąt prosty.

⚠ Najczęstszy błąd: $\left(\sqrt2\right)^2 = 2\sqrt2$ albo $4$ . Podnosząc pierwiastek do kwadratu, po prostu zdejmujemy go: $\left(\sqrt2\right)^2 = 2$ .

To zadanie na osobnej stronie Więcej zadań: twierdzenie pitagorasa

Zadanie 14 – prostopadłościan i sześcian (1 pkt)

Zadanie 141 pktśrednie

W koszu były 203 jednakowe sześcienne klocki. Zbudowano z nich możliwie największy sześcian, a pozostałe odłożono. Ile klocków odłożono?

A. $150$
B. $125$
C. $78$
D. $53$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Sześcian o boku $n$ klocków zużywa $n^3$ klocków. Szukamy największego $n$ , dla którego $n^3 \le \textcolor{#16A06A}{203}$ .
$\textcolor{#16A06A}{5}^3 = \textcolor{#E0453A}{125}$ — mieści się ✓
$\textcolor{#16A06A}{6}^3 = 216$ — za dużo, bo $216 > \textcolor{#16A06A}{203}$ ✗
Zbudowano więc sześcian $\textcolor{#16A06A}{5} \times \textcolor{#16A06A}{5} \times \textcolor{#16A06A}{5}$ z $\textcolor{#E0453A}{125}$ klocków.
Odłożono: $\textcolor{#16A06A}{203} - \textcolor{#E0453A}{125} = 78$ klocków.
Odpowiedź C.

💡 Wskazówka: Warto znać na pamięć sześciany: $2^3=8$ , $3^3=27$ , $4^3=64$ , $5^3=125$ , $6^3=216$ , $7^3=343$ , $10^3=1000$ . Wtedy takie zadanie zajmuje kilkanaście sekund.

⚠ Najczęstszy błąd: podanie liczby zużytych klocków ( $125$ — odpowiedź B) zamiast odłożonych. Pytanie brzmi „ile odłożono”.

To zadanie na osobnej stronie Więcej zadań: prostopadłościan i sześcian

Zadanie 15 – graniastosłupy i ostrosłupy (1 pkt)

Zadanie 151 pktśrednie

Na fragmencie siatki ostrosłupa prawidłowego czworokątnego widać kwadratową podstawę o boku

40\ \text{cm}

oraz przylegający do niej trójkąt równoramienny o ramionach długości

50\ \text{cm}

. Dokończ zdanie.
Suma długości wszystkich krawędzi tego ostrosłupa jest równa

A. $560$ cm
B. $360$ cm
C. $260$ cm
D. $220$ cm

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Krok $\boldsymbol{1}$ — co jest czym na siatce. Bok kwadratu to krawędź podstawy: $\textcolor{#16A06A}{40}$ cm. Ramiona trójkąta to krawędzie boczne: $\textcolor{#E0453A}{50}$ cm.
Krok $\boldsymbol{2}$ — ile ich jest. Ostrosłup czworokątny ma $\textcolor{#16A06A}{4}$ krawędzie podstawy i $\textcolor{#E0453A}{4}$ krawędzie boczne.
Krok $\boldsymbol{3}$ — suma.
$4 \cdot \textcolor{#16A06A}{40} + 4 \cdot \textcolor{#E0453A}{50} = 160 + 200 = 360$ cm.
Odpowiedź B.

💡 Wskazówka: Na siatce ostrosłupa podstawa trójkąta pokrywa się z bokiem kwadratu — to ta sama krawędź bryły. Liczy się ją tylko raz.

⚠ Najczęstszy błąd: policzenie osobno obu ramion każdego trójkąta, czyli $8$ krawędzi bocznych: $4 \cdot 40 + 8 \cdot 50 = 560\ \text{cm}$ (odpowiedź A). Sąsiednie ściany boczne mają wspólne ramię, więc krawędzie boczne są tylko cztery.

To zadanie na osobnej stronie Więcej zadań: graniastosłupy i ostrosłupy

Zadanie 16 – odczytywanie danych z tabel, diagramów i wykresów (2 pkt)

Zadanie 162 pktśrednie

Na diagramie kołowym przedstawiono, jaki procent meczów w ciągu całego sezonu drużyna piłkarska zakończyła wygraną, jaki przegraną, a jaki remisem. W ciągu całego sezonu drużyna wygrała 10 meczów. Ile meczów w sezonie ta drużyna przegrała? Zapisz obliczenia.

Dane z rysunku — wersja tekstowa

Wynik meczu	wygrane	zremisowane	przegrane
Udział	25%	45%	—

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 12 meczów

Krok 1 — procent meczów przegranych.
$100\% - \textcolor{#16A06A}{25\%} - \textcolor{#16A06A}{45\%} = \textcolor{#16A06A}{30\%}$
Krok 2 — ile meczów rozegrano w sezonie. Kotwica: $\textcolor{#16A06A}{25\%}$ to $\textcolor{#16A06A}{10}$ meczów. Ponieważ $25\% = \tfrac14$ , całość jest cztery razy większa:
$4 \cdot \textcolor{#16A06A}{10} = \textcolor{#E0453A}{40}$ meczów.
Krok 3 — mecze przegrane.
$\textcolor{#16A06A}{30\%}$ z $\textcolor{#E0453A}{40}$ $= 0{,}3 \cdot \textcolor{#E0453A}{40} = 12$ meczów.
Odpowiedź: drużyna przegrała 12 meczów.
Kontrola: wygrane $10$ , zremisowane $45\%$ z $40 = 18$ , przegrane $12$ — razem $\textcolor{#E0453A}{40}$ ✓

💡 Wskazówka: Schemat jest zawsze ten sam: część → całość → inna część. Nie da się przejść od $25\%$ do $30\%$ bez policzenia po drodze liczby wszystkich meczów.

⚠ Najczęstszy błąd: policzenie $30\%$ z liczby meczów wygranych ( $0{,}3 \cdot 10 = 3$ ). Procenty z diagramu odnoszą się do wszystkich meczów sezonu, a nie do jednej z grup.

To zadanie na osobnej stronie Więcej zadań: odczytywanie danych z tabel, diagramów i wykresów

Zadanie 17 – prędkość, droga i czas (2 pkt)

Zadanie 172 pktśrednie

Samochód osobowy przebył drogę 120 km w czasie 75 minut. Prędkość średnia busa na tej samej trasie wyniosła

80\ \tfrac{\text{km}}{\text{h}}

. O ile krótszy był czas przejazdu tej drogi samochodem osobowym od czasu przejazdu busem? Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: o 15 minut

Czas samochodu osobowego znamy wprost z treści: $\textcolor{#E0453A}{75}$ minut.
Czas busa liczymy ze wzoru: $t = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{120}}{80} = 1{,}5$ godziny.
Zamieniamy na minuty, żeby porównać: $1{,}5 \cdot 60 = \textcolor{#E0453A}{90}$ minut.
Różnica: $\textcolor{#E0453A}{90} - \textcolor{#E0453A}{75} = 15$ minut.
Odpowiedź: samochód osobowy jechał o 15 minut krócej niż bus.
Dla ciekawości — prędkość samochodu osobowego: $75$ min $= 1{,}25$ h, więc $120 : 1{,}25 = 96\ \tfrac{\text{km}}{\text{h}}$ .

💡 Wskazówka: Zanim odejmiesz, sprowadź oba czasy do tej samej jednostki. Tu najwygodniej do minut, bo w minutach podano czas samochodu.

⚠ Najczęstszy błąd: odjęcie „ $1{,}5 - 75$ ” albo „ $90 - 1{,}25$ ” — czyli mieszanie godzin z minutami w jednym działaniu.

To zadanie na osobnej stronie Więcej zadań: prędkość, droga i czas

Zadanie 18 – wyrażenia algebraiczne (2 pkt)

Zadanie 182 pktśrednie

Adam zamówił bukiet złożony tylko z goździków i róż, w którym goździków było 2 razy więcej niż róż. Jedna róża kosztowała 4 zł, a cena jednego goździka wynosiła 3 zł. Czy wszystkie kwiaty w tym bukiecie mogły kosztować 35 zł? Uzasadnij odpowiedź.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: Nie mogły

Oznaczmy liczbę róż przez $r$ . Goździków było 2 razy więcej, czyli $2r$ .
Koszt róż: $\textcolor{#16A06A}{4r}$ zł. Koszt goździków: $3 \cdot 2r = \textcolor{#E0453A}{6r}$ zł.
Łączny koszt bukietu: $\textcolor{#16A06A}{4r} + \textcolor{#E0453A}{6r} = 10r$ zł.
Zauważ ważną rzecz: koszt jest zawsze wielokrotnością 10 — niezależnie od tego, ile róż kupimy.
Gdyby bukiet kosztował 35 zł, mielibyśmy $10r = 35$ , czyli $r = 3{,}5$ — a liczba róż musi być liczbą całkowitą.
Odpowiedź: nie, bukiet nie mógł kosztować 35 zł. Możliwe kwoty to tylko 10 zł, 20 zł, 30 zł, 40 zł itd.

💡 Wskazówka: Gdy w zadaniu pytają „czy mogło”, a wynik wychodzi ułamkowy — to zwykle właśnie jest odpowiedź. Liczba kwiatów, osób czy przedmiotów zawsze musi być całkowita.

⚠ Najczęstszy błąd: odpowiedź „nie” bez obliczeń. Komisja wymaga pokazania, że koszt wynosi $10r$ , i wyjaśnienia, dlaczego $3{,}5$ róży jest niemożliwe.

To zadanie na osobnej stronie Więcej zadań: wyrażenia algebraiczne

Zadanie 19 – zadania tekstowe (3 pkt)

Zadanie 193 pkttrudniejsze

Z okazji dnia sportu w godzinach od

9\!:\!00

12\!:\!00

przeprowadzono połowę wszystkich zaplanowanych konkurencji, a między

12\!:\!00

14\!:\!00

— jeszcze

\dfrac{1}{3}

z pozostałych. O godzinie

14\!:\!00

z powodu deszczu zakończono zawody. Tego dnia nie przeprowadzono 12 zaplanowanych konkurencji. Ile konkurencji planowano przeprowadzić? Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 36 konkurencji

Oznaczamy przez $\textcolor{#16A06A}{n}$ liczbę wszystkich zaplanowanych konkurencji.
Rano: przeprowadzono $\tfrac12 \textcolor{#16A06A}{n}$ , więc zostało $\textcolor{#E0453A}{\dfrac{1}{2}n}$ .
Po południu: przeprowadzono $\tfrac13$ z pozostałych, czyli $\tfrac13 \cdot \textcolor{#E0453A}{\dfrac{1}{2}\textcolor{#16A06A}{n}} = \dfrac{1}{6}\textcolor{#16A06A}{n}$ .
Nieprzeprowadzone to reszta: $\textcolor{#E0453A}{\dfrac{1}{2}\textcolor{#16A06A}{n}} - \dfrac{1}{6}\textcolor{#16A06A}{n} = \dfrac{3}{6}\textcolor{#16A06A}{n} - \dfrac{1}{6}\textcolor{#16A06A}{n} = \dfrac{2}{6}\textcolor{#16A06A}{n} = \dfrac{1}{3}\textcolor{#16A06A}{n}$ .
Z treści wiemy, że to 12 konkurencji: $\dfrac{1}{3}\textcolor{#16A06A}{n} = 12$ , więc $\textcolor{#16A06A}{n} = 36$ .
Odpowiedź: planowano przeprowadzić 36 konkurencji.
Sprawdzenie: rano 18, po południu $\tfrac13 \cdot 18 = 6$ , nieprzeprowadzone $36 - 18 - 6 = 12$ ✓

💡 Wskazówka: Zwrot „ $\tfrac13$ z pozostałych” zmienia podstawę liczenia. Najpierw zapisz, ile zostało po pierwszym etapie, i dopiero od tej wielkości licz kolejny ułamek.

⚠ Najczęstszy błąd: policzenie $\tfrac13$ z całości zamiast z reszty. Wyszłoby wtedy, że nieprzeprowadzonych jest $\tfrac16 n$ , i cała odpowiedź byłaby dwa razy za duża.

To zadanie na osobnej stronie Więcej zadań: zadania tekstowe

Zadanie 20 – pola figur (3 pkt)

Zadanie 203 pkttrudniejsze

Prostokątną działkę o powierzchni 3750 m² podzielono na trzy prostokątne działki o jednakowych wymiarach: jedna zajmuje całą lewą część (na pełną wysokość), a dwie pozostałe leżą po prawej stronie, jedna nad drugą. Jakie wymiary miała działka przed podziałem? Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 50 m × 75 m

Oznaczmy wysokość całej działki przez $\textcolor{#E0453A}{b}$ .
Lewa część ma wysokość $\textcolor{#E0453A}{b}$ (pełną) i jakąś szerokość. Prawe części mają po $\tfrac{\textcolor{#E0453A}{b}}{2}$ wysokości.
Skoro wszystkie trzy działki są jednakowe, to lewa (ustawiona „pionowo”) musi mieć wymiary zamienione względem prawych:
szerokość lewej $= \tfrac{\textcolor{#E0453A}{b}}{2}$ , szerokość prawych $= \textcolor{#E0453A}{b}$ .
Szerokość całej działki: $\textcolor{#16A06A}{a} = \tfrac{\textcolor{#E0453A}{b}}{2} + \textcolor{#E0453A}{b} = \tfrac{3\textcolor{#E0453A}{b}}{2}$ .
Pole całości: $\textcolor{#16A06A}{a} \cdot \textcolor{#E0453A}{b} = \tfrac{3\textcolor{#E0453A}{b}}{2} \cdot \textcolor{#E0453A}{b} = \tfrac{3\textcolor{#E0453A}{b}^2}{2} = 3750$ .
Stąd $\textcolor{#E0453A}{b}^2 = 2500$ , czyli $\textcolor{#E0453A}{b} = 50$ m, a $\textcolor{#16A06A}{a} = \tfrac32 \cdot 50 = 75$ m.
Odpowiedź: działka miała wymiary 50 m × 75 m.
Sprawdzenie: każda mała działka to $25 \times 50 = 1250$ m², a $3 \cdot 1250 = 3750$ m² ✓

💡 Wskazówka: „Jednakowe wymiary” nie znaczy „tak samo ustawione” — działka po lewej jest obrócona o $90°$ względem tych po prawej. To sedno tego zadania.

⚠ Najczęstszy błąd: założenie, że wszystkie trzy działki są ustawione tak samo. Wtedy podział na jedną pionową i dwie poziome byłby niemożliwy.

To zadanie na osobnej stronie Więcej zadań: pola figur

Zadanie 21 – obwody figur (3 pkt)

Zadanie 213 pkttrudniejsze

Paweł wyciął z kartonu trójkąt prostokątny

ABC

o przyprostokątnych 12 cm (

AB

) i 16 cm (

AC

). Połączył środki dłuższej przyprostokątnej i przeciwprostokątnej linią równoległą do krótszej przyprostokątnej, a potem rozciął trójkąt wzdłuż tej linii na dwie figury. Z tych figur złożył trapez

PRST

. Oblicz różnicę obwodów trójkąta

ABC

i trapezu

PRST

. Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 4 cm

Krok 1 — przeciwprostokątna trójkąta. $BC = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = \textcolor{#16A06A}{20}$ cm.
Obwód trójkąta $ABC$ : $12 + 16 + \textcolor{#16A06A}{20} = \textcolor{#16A06A}{48}$ cm.
Krok 2 — co powstaje po cięciu. Linia łączy środki dwóch boków, więc odcina mniejszy trójkąt podobny w skali $\tfrac12$ : jego boki to $\textcolor{#E0453A}{6}$ , $\textcolor{#E0453A}{8}$ i $\textcolor{#E0453A}{10}$ cm.
Druga figura to trapez prostokątny o bokach: $12$ , $\textcolor{#E0453A}{8}$ , $\textcolor{#E0453A}{6}$ i $\textcolor{#E0453A}{10}$ cm (obwód $36$ cm).
Krok 3 — sklejenie. Składając obie części w trapez $PRST$ , łączymy je wzdłuż boku o długości $\textcolor{#E0453A}{8}$ cm — ten bok znika z obwodu po obu stronach.
Obwód trapezu: $36 + (\textcolor{#E0453A}{6} + \textcolor{#E0453A}{8} + \textcolor{#E0453A}{10}) - 2 \cdot \textcolor{#E0453A}{8} = 36 + 24 - 16 = \textcolor{#16A06A}{44}$ cm.
Krok 4 — różnica. $\textcolor{#16A06A}{48} - \textcolor{#16A06A}{44} = 4$ cm.
Odpowiedź: obwód trójkąta jest o 4 cm większy od obwodu trapezu.

💡 Wskazówka: Przy sklejaniu dwóch figur wzdłuż wspólnego boku obwód maleje o dwie jego długości — bo znika z brzegu i jednej, i drugiej części.

⚠ Najczęstszy błąd: odjęcie długości sklejenia tylko raz. Warto sobie wyobrazić, że oba kawałki miały ten bok „na zewnątrz”, a po złączeniu oba go tracą.

To zadanie na osobnej stronie Więcej zadań: obwody figur

Oryginalny arkusz i zasady oceniania

Arkusz i zasady oceniania tej sesji udostępnia Centralna Komisja Egzaminacyjna: arkusz OMAP-100-1904 (PDF) oraz zasady oceniania (PDF). Statystyki wszystkich sesji i podział zadań na działy są na stronie arkusze egzaminu ósmoklasisty z matematyki.

Sesje główne

Arkusze próbne i przykładowe

Sklep Nie każ mu liczyć!

Przygotuj się do E8: zadania i pełne arkusze

Karty pracy i arkusze z kluczem — do druku od razu po zakupie.

E8 z matematyki: procenty i zadania z treścią — 12 kart PDF z kluczem12 kart z tego zakresu, z kluczem7,90 zł · PDF do druku

Egzamin ósmoklasisty z matematyki — 5 arkuszy z rozwiązaniami, cz. 15 pełnych arkuszy E8 z rozwiązaniami24,90 zł · PDF do druku

10 minut do egzaminu ósmoklasisty — matematyka: 30 dni, PDF z kluczemCodziennie 10 minut przez 30 dni14,90 zł · PDF do druku