Strona główna › Egzamin ósmoklasisty › Twierdzenie Pitagorasa na egzaminie ósmoklasisty

Twierdzenie Pitagorasa na egzaminie ósmoklasisty

Na egzaminie ósmoklasisty Pitagoras prawie nigdy nie stoi sam. Nie ma zadania „dane są przyprostokątne 3 i 4, oblicz przeciwprostokątną” — jest trapez, romb albo prostokąt, w którym trzeba najpierw zobaczyć trójkąt prostokątny, a dopiero potem policzyć. Ta strona jest o tym drugim: o rozpoznawaniu, gdzie ten trójkąt siedzi.

Dział: Egzamin ósmoklasistyPoziom: klasa 7–8Zadań: 15 — 12 z egzaminu ósmoklasisty i 3 z egzaminu gimnazjalnego

Przejdź od razu do zadań (15) ↓

Kiedy w ogóle sięgać po Pitagorasa

Twierdzenie mówi jedno: w trójkącie prostokątnym suma kwadratów przyprostokątnych równa się kwadratowi przeciwprostokątnej, czyli a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2. Litera cc zawsze oznacza bok leżący naprzeciw kąta prostego — i to jest jedyna rzecz, którą trzeba sprawdzić, zanim się cokolwiek podstawi.

W zadaniach egzaminacyjnych kąt prosty rzadko bywa podpisany. Częściej jest ukryty w figurze: w prostokącie każdy narożnik jest prosty, w trapezie prostokątnym ramię jest prostopadłe do podstaw, w rombie przekątne przecinają się pod kątem prostym. Sygnał do sięgnięcia po Pitagorasa brzmi więc: znam dwie długości w trójkącie prostokątnym, a szukam trzeciej.

Działa też w drugą stronę. Jeśli w trójkącie o bokach aa, bb, cc (gdzie cc jest najdłuższy) zachodzi a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2, to ten trójkąt jest prostokątny. To twierdzenie odwrotne i pojawia się w zadaniach typu „czy z odcinków o długościach… można zbudować trójkąt prostokątny”.

Ostrzeżenie, które warto zapamiętać raz na zawsze: pierwiastek z sumy nie jest sumą pierwiastków. 9+16=25=5\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5, a nie 3+4=73 + 4 = 7. To najczęstszy błąd rachunkowy w całym dziale.

Przekątna kwadratu i przekątna prostokąta

Przekątna dzieli prostokąt na dwa trójkąty prostokątne, w których boki prostokąta są przyprostokątnymi, a przekątna — przeciwprostokątną. Stąd dla prostokąta o bokach aa i bb przekątna wynosi d=a2+b2d = \sqrt{a^2 + b^2}.

dprostokąta=a2+b2dkwadratu=a2d_{\text{prostokąta}} = \sqrt{a^2 + b^2} \qquad d_{\text{kwadratu}} = a\sqrt{2}

W kwadracie oba boki są równe, więc d=a2+a2=2a2=a2d = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt2. Ten wynik warto znać na pamięć — wraca w zadaniach o kwadratach, rombach i o trójkącie prostokątnym równoramiennym, który jest po prostu połówką kwadratu.

Odwrotnie też: mając przekątną kwadratu, bok liczymy jako a=d2a = \dfrac{d}{\sqrt2}. Na egzaminie częściej jednak podaje się bok.

Trójkąt 30-60-90 i trójkąt równoboczny

Wysokość trójkąta równobocznego dzieli go na dwa trójkąty o kątach 30°30°, 60°60° i 90°90°. W takim trójkącie krótsza przyprostokątna to połowa przeciwprostokątnej, a dłuższa jest od niej 3\sqrt3 razy większa.

htroˊjkąta roˊwnobocznego=a32h_{\text{trójkąta równobocznego}} = \dfrac{a\sqrt3}{2}

To najczęściej mylona para wzorów w całej geometrii ósmoklasisty: przekątna kwadratu ma 2\sqrt2, a wysokość trójkąta równobocznego ma 3\sqrt3. Warto powiązać to z obrazkiem, a nie z literą: kwadrat ma dwa równe boki pod kątem prostym, trójkąt równoboczny ma połówkę boku u podstawy.

Zależności z trójkąta 30-60-90 przydają się też tam, gdzie kąt 60°60° pojawia się w rombie albo w trapezie — wtedy nie trzeba nic pierwiastkować, wystarczy podstawić proporcję.

Wysokość w trapezie prostokątnym

Trapez prostokątny to najczęstsza figura w tym dziale. Ma dwa kąty proste, więc jego krótsze ramię jest wysokością. Cała trudność siedzi w ramieniu pochyłym.

Sposób jest zawsze ten sam: z końca krótszej podstawy prowadzimy odcinek prostopadły do dłuższej. Powstaje prostokąt i trójkąt prostokątny, w którym jedną przyprostokątną jest wysokość trapezu, drugą — różnica podstaw, a przeciwprostokątną ramię pochyłe.

Ta różnica podstaw jest kluczowa i to na niej najczęściej wykłada się rozwiązanie. Jeśli podstawy mają 10 i 4, to przyprostokątna wynosi 10−4=610 - 4 = 6, a nie 10 i nie 4.

Pole liczone dwoma sposobami

To chwyt, którego nie ma w podręcznikowym rozdziale o Pitagorasie, a który wraca na egzaminie regularnie. Pole trójkąta można policzyć, biorąc dowolny bok jako podstawę i wysokość opuszczoną na ten bok. Jeśli te same pole zapiszemy dwa razy, z dwóch różnych par, dostajemy równanie z jedną niewiadomą.

Najczęstsze zastosowanie: mamy trójkąt prostokątny o znanych przyprostokątnych i szukamy wysokości opuszczonej na przeciwprostokątną. Przyprostokątne są dla siebie nawzajem podstawą i wysokością, więc pole liczy się od razu — a potem przyrównuje do wzoru z przeciwprostokątną.

Sygnał, że to ta metoda: w zadaniu pojawia się wysokość opuszczona na bok, którego długość da się policzyć, a wprost jej wyliczyć się nie da.

Przykłady krok po kroku

Cztery zadania rozpisane tak, jak rozpisuję je uczniowi na kartce — z każdym krokiem osobno. Trzy pierwsze to typowe schematy egzaminacyjne, czwarty pokazuje pole liczone dwoma sposobami.

Przykład 1 Przekątna prostokąta

Prostokąt ma boki 9 cm i 12 cm. Oblicz długość jego przekątnej.

  1. Przekątna dzieli prostokąt na dwa trójkąty prostokątne. Boki prostokąta są przyprostokątnymi, przekątna — przeciwprostokątną.
  2. Podstawiam: d2=92+122=81+144=225d^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225.
  3. Pierwiastkuję: d=225=15d = \sqrt{225} = 15 cm.
  4. Kontrola: przekątna musi być dłuższa od każdego boku, a krótsza od ich sumy. 12<15<2112 < 15 < 21 ✓

Odpowiedź: Przekątna ma 15 cm.

Przykład 2 Wysokość trójkąta równobocznego

Oblicz wysokość trójkąta równobocznego o boku 6 cm.

  1. Wysokość dzieli trójkąt na dwa trójkąty prostokątne. Przeciwprostokątną jest bok, czyli 6, a krótszą przyprostokątną — połowa boku, czyli 3.
  2. Z twierdzenia Pitagorasa: h2+32=62h^2 + 3^2 = 6^2, czyli h2=36−9=27h^2 = 36 - 9 = 27.
  3. Zatem h=27=9⋅3=33h = \sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt3 cm.
  4. Ze wzoru wyszłoby tak samo: h=632=33h = \dfrac{6\sqrt3}{2} = 3\sqrt3. Warto umieć obie drogi — wzór jest szybszy, ale rozumowanie ratuje, gdy się go zapomni.

Odpowiedź: Wysokość wynosi 333\sqrt3 cm, czyli około 5,2 cm.

Przykład 3 Ramię trapezu prostokątnego

W trapezie prostokątnym podstawy mają 10 cm i 4 cm, a wysokość 8 cm. Oblicz długość ramienia pochyłego.

  1. Rysuję odcinek prostopadły do dłuższej podstawy, poprowadzony z końca krótszej. Powstaje prostokąt i trójkąt prostokątny.
  2. W tym trójkącie jedna przyprostokątna to wysokość trapezu: 8 cm. Druga to różnica podstaw: 10−4=610 - 4 = 6 cm.
  3. Ramię jest przeciwprostokątną: r2=82+62=64+36=100r^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100.
  4. Stąd r=10r = 10 cm.
  5. Kontrola: ramię pochyłe musi być dłuższe od wysokości, bo wysokość jest jego rzutem. 10>810 > 8 ✓

Odpowiedź: Ramię pochyłe ma 10 cm.

Przykład 4 Wysokość opuszczona na przeciwprostokątną

W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają 6 cm i 8 cm. Oblicz wysokość opuszczoną na przeciwprostokątną.

  1. Najpierw przeciwprostokątna: c2=62+82=36+64=100c^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100, więc c=10c = 10 cm.
  2. Teraz pole — pierwszy sposób. Przyprostokątne są dla siebie podstawą i wysokością: P=6⋅82=24P = \dfrac{6 \cdot 8}{2} = 24 cm².
  3. Drugi sposób, to samo pole, ale z przeciwprostokątną jako podstawą: P=10⋅h2=5hP = \dfrac{10 \cdot h}{2} = 5h.
  4. Przyrównuję oba zapisy: 5h=245h = 24, czyli h=4,8h = 4{,}8 cm.
  5. Kontrola: wysokość opuszczona na najdłuższy bok musi być krótsza od obu przyprostokątnych. 4,8<64{,}8 < 6 ✓

Odpowiedź: Wysokość opuszczona na przeciwprostokątną ma 4,8 cm.

Najczęstsze błędy

Cztery błędy, które widzę najczęściej przy sprawdzaniu prac. Żaden nie wynika z braku zdolności — każdy z pominiętego kroku albo z reguły zapamiętanej w skrócie.

Podstawienie przeciwprostokątnej w miejsce przyprostokątnej

Skąd się bierze: Uczeń zapamiętuje wzór jako „a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2” i podstawia w kolejności, w jakiej liczby stoją w treści. Gdy zadanie podaje najpierw przeciwprostokątną, wychodzi bok dłuższy od przeciwprostokątnej — co jest niemożliwe.

Jak zrobić dobrze: Zanim cokolwiek podstawisz, zaznacz kąt prosty i wskaż bok leżący naprzeciw niego. To jest cc, niezależnie od kolejności w treści. Jeśli szukasz przyprostokątnej, wzór ma postać a2=c2−b2a^2 = c^2 - b^2 — z odejmowaniem, nie dodawaniem.

Rozdzielanie pierwiastka na sumę

Skąd się bierze: 9+16\sqrt{9 + 16} wygląda jak coś, co da się „rozbić” na 9+16\sqrt9 + \sqrt{16}. Wychodzi wtedy 7 zamiast 5 — i, co gorsza, wynik bywa jedną z podanych odpowiedzi.

Jak zrobić dobrze: Pierwiastek obejmuje całe wyrażenie pod znakiem, jak nawias: najpierw dodaj, dopiero potem pierwiastkuj. 9+16=25=5\sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5.

Użycie różnicy podstaw jako całej podstawy (albo odwrotnie)

Skąd się bierze: W trapezie prostokątnym trójkąt powstaje po odcięciu prostokąta. Uczeń bierze do Pitagorasa dłuższą podstawę w całości, bo to ona jest podana wprost — a przyprostokątną jest tylko to, co zostało po odcięciu.

Jak zrobić dobrze: Zaznacz na rysunku prostokąt i trójkąt osobno. Przyprostokątna trójkąta to różnica podstaw. Przy podstawach 10 i 4 jest to 6, nie 10.

Pomylenie 2\sqrt2 z 3\sqrt3

Skąd się bierze: Oba wzory wyglądają podobnie i oba dotyczą „ukośnej” długości w regularnej figurze. Przekątna kwadratu dostaje wtedy 3\sqrt3, a wysokość trójkąta równobocznego 2\sqrt2.

Jak zrobić dobrze: Powiąż liczbę z obrazkiem, nie z literą: kwadrat ma dwa równe boki schodzące się pod kątem prostym → a2a\sqrt2. Trójkąt równoboczny ma trzy równe boki → a32\dfrac{a\sqrt3}{2}. Gdy zapomnisz, wyprowadź z Pitagorasa — zajmuje to dwie linijki.

Zadania z arkuszy CKE — długości w figurach

Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminu ósmoklasisty (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem. W zestawie jest 3 zadania z arkuszy egzaminu gimnazjalnego (do 2019 roku) — dokładamy je jako dodatkowe ćwiczenie tych samych umiejętności. Zakres gimnazjum był miejscami szerszy niż wymagania dla klas 7–8, dlatego każde takie zadanie jest podpisane osobno.

Kolor pilnuje najważniejszego rozróżnienia w twierdzeniu Pitagorasa: zielone to przyprostokątne (te przy kącie prostym), a czerwona to przeciwprostokątna (zawsze naprzeciw kąta prostego i zawsze najdłuższa). Podstawienie ich w odwrotne miejsca wzoru to najczęstszy błąd w całym dziale — dlatego warto sprawdzać kolory, zanim się policzy.

Sprawdź się bez zaglądania do odpowiedzi. Dostaniesz wszystkie 7 zadań zamkniętych z tego zestawu — klucz i rozwiązania schowam do czasu sprawdzenia. To komplet zadań zamkniętych z tego działu, więc kolejne podejście będzie powtórką tych samych zadań.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (czerwiec 2024)1 pktśrednie

Kwadrat podzielono na 6 jednakowych prostokątów ustawionych pionowo, jeden obok drugiego. Obwód każdego z tych prostokątów jest równy 28. Dokończ zdanie.
Obwód kwadratu jest równy
Kwadrat podzielony na sześć jednakowych prostokątów
  • A. 48
  • B. 84
  • C. 96
  • D. 144
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

  1. Oznaczmy bok kwadratu przez a\textcolor{#16A06A}{a}.
  2. Każdy z sześciu pionowych prostokątów ma pełną wysokość kwadratu, czyli a\textcolor{#16A06A}{a}, a szerokość sześć razy mniejszą: a6\dfrac{\textcolor{#16A06A}{a}}{6}.
  3. Obwód jednego prostokąta: 2(a+a6)=2⋅7a6=7a32\left(\textcolor{#16A06A}{a} + \dfrac{\textcolor{#16A06A}{a}}{6}\right) = 2 \cdot \dfrac{7\textcolor{#16A06A}{a}}{6} = \dfrac{7\textcolor{#16A06A}{a}}{3}.
  4. Przyrównujemy do danej: 7a3=28\dfrac{7\textcolor{#16A06A}{a}}{3} = \textcolor{#E0453A}{28}, skąd 7a=847\textcolor{#16A06A}{a} = 84, czyli a=12\textcolor{#16A06A}{a} = 12.
  5. Obwód kwadratu: 4⋅12=484 \cdot \textcolor{#16A06A}{12} = 48 — odpowiedź A.

💡 Wskazówka: Kontrola: prostokąt ma wymiary 2×122 \times 12, więc jego obwód to 2⋅14=282 \cdot 14 = 28 ✓. Zawsze warto podstawić wynik z powrotem.

⚠ Najczęstszy błąd: pomnożenie obwodu prostokąta przez 6 i uznanie tego za obwód kwadratu (168). Obwody części nie sumują się do obwodu całości — linie podziału leżą wewnątrz.

Zadanie 2 (maj 2024)1 pkttrudniejsze

Prostokąt o bokach długości aa i bb podzielono na sześć kwadratów: dwa jednakowe kwadraty tworzą lewą kolumnę (jeden nad drugim), w prawym górnym rogu stoi jeden duży kwadrat, a pod nim trzy jednakowe małe kwadraty w rzędzie. Dokończ zdanie.
Stosunek długości boków a:ba : b tego prostokąta jest równy
Prostokąt podzielony na sześć kwadratówab
  • A. 6:56 : 5
  • B. 5:45 : 4
  • C. 4:34 : 3
  • D. 3:23 : 2
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

  1. Najwygodniej zacząć od najmniejszego kwadratu — przyjmijmy, że jego bok to 1\textcolor{#16A06A}{1}.
  2. Trzy małe kwadraty stoją w rzędzie pod dużym, więc bok dużego kwadratu wynosi 3⋅1=33 \cdot \textcolor{#16A06A}{1} = \textcolor{#16A06A}{3}.
  3. Wysokość prostokąta to prawa kolumna: duży kwadrat plus mały, czyli b=3+1=4b = \textcolor{#16A06A}{3} + \textcolor{#16A06A}{1} = \textcolor{#E0453A}{4}.
  4. Lewa kolumna ma tę samą wysokość 4\textcolor{#E0453A}{4} i składa się z dwóch jednakowych kwadratów, więc każdy ma bok 4:2=2\textcolor{#E0453A}{4} : 2 = \textcolor{#16A06A}{2} — i tyle wynosi szerokość tej kolumny.
  5. Szerokość prostokąta: a=2+3=5a = \textcolor{#16A06A}{2} + \textcolor{#16A06A}{3} = \textcolor{#E0453A}{5}.
  6. Stosunek: a:b=5:4a : b = \textcolor{#E0453A}{5} : \textcolor{#E0453A}{4} — odpowiedź B.

💡 Wskazówka: W układankach z kwadratów zaczynaj od najmniejszego elementu i nadaj mu bok 1. Wszystkie pozostałe wymiary wyrażą się wtedy liczbami całkowitymi.

⚠ Najczęstszy błąd: zgadywanie stosunku „na oko” z rysunku. Proporcje na rysunkach egzaminacyjnych bywają celowo zaburzone — trzeba je wyliczyć.

Zadanie 3 (maj 2024)1 pkttrudniejsze

W trójkącie prostokątnym ABCABC (kąt prosty przy AA) przyprostokątną ACAC wydłużono o 7 cm — do punktu EE — a przyprostokątną ABAB wydłużono o 12 cm — do punktu DD. Otrzymano trójkąt prostokątny równoramienny ADEADE o polu równym 200 cm². Oceń prawdziwość podanych zdań.
Trójkąt ADE z wpisanym trójkątem ABCADEBC7 cm12 cm
Przyprostokątna trójkąta ADEADE jest równa 20 cm.PF
Pole trójkąta ABCABC jest równe 52 cm².PF
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P, P

  1. Zdanie 1. Trójkąt ADEADE jest prostokątny i równoramienny, więc obie jego przyprostokątne są równe: AE=AD\textcolor{#16A06A}{AE} = \textcolor{#16A06A}{AD}.
  2. Z pola: 12⋅AE⋅AD=200\tfrac12 \cdot \textcolor{#16A06A}{AE} \cdot \textcolor{#16A06A}{AD} = 200, czyli 12AE2=200\tfrac12 \textcolor{#16A06A}{AE}^2 = 200.
  3. Stąd AE2=400\textcolor{#16A06A}{AE}^2 = 400, więc AE=AD=20\textcolor{#16A06A}{AE} = \textcolor{#16A06A}{AD} = 20 cm ✓ — prawda.
  4. Zdanie 2. Cofamy wydłużenia, żeby wrócić do małego trójkąta:
  5. AC=AE−7=20−7=13AC = \textcolor{#16A06A}{AE} - \textcolor{#E0453A}{7} = 20 - \textcolor{#E0453A}{7} = \textcolor{#16A06A}{13} cm,   AB=AD−12=20−12=8AB = \textcolor{#16A06A}{AD} - \textcolor{#E0453A}{12} = 20 - \textcolor{#E0453A}{12} = \textcolor{#16A06A}{8} cm.
  6. Pole ABCABC: 12⋅13⋅8=52\tfrac12 \cdot \textcolor{#16A06A}{13} \cdot \textcolor{#16A06A}{8} = 52 cm² ✓ — prawda.
  7. Odpowiedzi: P, P.

💡 Wskazówka: „Prostokątny równoramienny” znaczy, że równe są przyprostokątne — nie przeciwprostokątna z przyprostokątną (to nigdy nie zachodzi).

⚠ Najczęstszy błąd: pominięcie 12\tfrac12 we wzorze na pole i przyjęcie AE2=200AE^2 = 200. Wychodzi wtedy AE=200AE = \sqrt{200}, czyli liczba niewymierna — sygnał, że coś jest nie tak.

Zadanie 4 (czerwiec 2020)1 pkttrudniejsze

Krótsza przekątna trapezu prostokątnego dzieli go na dwa trójkąty prostokątne równoramienne. Oceń prawdziwość podanych zdań.
Trapez prostokątny z krótszą przekątnąABCD
Wysokość trapezu i krótsza podstawa trapezu mają taką samą długość.PF
Wysokość trapezu jest równa połowie dłuższej podstawy trapezu.PF
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P, P

  1. Oznaczmy trapez ABCDABCD: ABAB to dłuższa podstawa, DCDC krótsza, a ADAD — ramię prostopadłe do obu podstaw, czyli wysokość. Krótszą przekątną jest ACAC.
  2. Pierwszy trójkąt (ACDACD). Ma kąt prosty przy DD, a skoro jest równoramienny, jego przyprostokątne są równe: AD=DC\textcolor{#16A06A}{AD} = \textcolor{#16A06A}{DC}.
  3. To dokładnie treść pierwszego zdania: wysokość == krótsza podstawa ✓ — prawda. Oznaczmy tę wspólną długość przez h\textcolor{#16A06A}{h}.
  4. Przekątna: AC=h2\textcolor{#E0453A}{AC} = \textcolor{#16A06A}{h}\sqrt2 (przeciwprostokątna trójkąta 45°45°–45°45°–90°90°).
  5. Drugi trójkąt (ABCABC). Też prostokątny równoramienny, a jego przyprostokątnymi są AC\textcolor{#E0453A}{AC} i CBCB — kąt prosty leży więc przy CC.
  6. Wtedy ABAB jest przeciwprostokątną: AB=AC⋅2=h2⋅2=2hAB = \textcolor{#E0453A}{AC} \cdot \sqrt2 = \textcolor{#16A06A}{h}\sqrt2 \cdot \sqrt2 = 2\textcolor{#16A06A}{h}.
  7. Drugie zdanie: wysokość h\textcolor{#16A06A}{h} to połowa z 2h2\textcolor{#16A06A}{h} ✓ — prawda.
  8. Odpowiedzi: P, P.

💡 Wskazówka: Gdy w zadaniu nie ma żadnych liczb, wprowadź własną — tutaj hh. Wszystkie pozostałe długości wyrażą się przez nią i zdania da się sprawdzić algebraicznie.

⚠ Najczęstszy błąd: uznanie, że w drugim trójkącie kąt prosty jest przy BB. Wtedy ACAC byłaby przeciwprostokątną i wyszłyby sprzeczne długości — warto sprawdzić, czy przyjęte założenie się „domyka”.

Zadanie 5 (czerwiec 2020)1 pkttrudniejsze

W trójkącie prostokątnym o kącie ostrym 30°30° suma długości krótszej przyprostokątnej i przeciwprostokątnej jest równa 12 cm. Dokończ zdanie.
Dłuższa przyprostokątna tego trójkąta ma długość
Trójkąt prostokątny o kącie ostrym 30°30°ACB
  • A. 424\sqrt{2} cm
  • B. 434\sqrt{3} cm
  • C. 6 cm
  • D. 8 cm
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

  1. Kluczowa własność trójkąta 30°30°–60°60°–90°90°: bok leżący naprzeciw kąta 30°30° jest równy połowie przeciwprostokątnej.
  2. Oznaczmy przeciwprostokątną przez c\textcolor{#E0453A}{c}. Wtedy krótsza przyprostokątna to c2\textcolor{#16A06A}{\dfrac{c}{2}}.
  3. Z warunku zadania: c2+c=12\textcolor{#16A06A}{\dfrac{\textcolor{#E0453A}{c}}{2}} + \textcolor{#E0453A}{c} = 12, czyli 3c2=12\dfrac{3\textcolor{#E0453A}{c}}{2} = 12, więc c=8\textcolor{#E0453A}{c} = 8 cm.
  4. Krótsza przyprostokątna: 4\textcolor{#16A06A}{4} cm.
  5. Dłuższą przyprostokątną liczymy z Pitagorasa: 82−42=64−16=48=43\sqrt{\textcolor{#E0453A}{8}^2 - \textcolor{#16A06A}{4}^2} = \sqrt{64 - 16} = \sqrt{48} = 4\sqrt3 cm.
  6. Odpowiedź B. (Można też wprost ze wzoru: c32=832=43\dfrac{\textcolor{#E0453A}{c}\sqrt3}{2} = \dfrac{8\sqrt3}{2} = 4\sqrt3.)

💡 Wskazówka: Wyłączanie czynnika: 48=16⋅3=43\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt3. Szukaj pod pierwiastkiem największego kwadratu doskonałego.

⚠ Najczęstszy błąd: przyjęcie, że krótsza przyprostokątna leży naprzeciw kąta 60°60°. Naprzeciw mniejszego kąta leży zawsze krótszy bok — to reguła warta zapamiętania.

Zadanie 6 (kwiecień 2019)1 pktśrednie

Czworokąt ABCDABCD zbudowano z dwóch trójkątów prostokątnych: trójkąta ABDABD z kątem prostym przy AA oraz trójkąta BCDBCD z kątem prostym przy BB. Dane są długości boków ∣AB∣=∣BC∣=1|AB| = |BC| = 1 oraz ∣AD∣=2|AD| = \sqrt{2}. Dokończ zdanie.
Długość boku CDCD jest równa
Czworokąt ABCD zbudowany z dwóch trójkątów prostokątnych11√2ABCD
  • A. 3\sqrt{3}
  • B. 2
  • C. 3
  • D. 222\sqrt{2}
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

  1. Do celu prowadzi wspólny bok BDBD — najpierw go wyznaczamy, potem używamy w drugim trójkącie.
  2. Trójkąt ABDABD (kąt prosty przy AA): przyprostokątne to AB=1\textcolor{#16A06A}{AB} = \textcolor{#16A06A}{1} i AD=2\textcolor{#16A06A}{AD} = \textcolor{#16A06A}{\sqrt2}.
  3. BD=12+22=1+2=3\textcolor{#E0453A}{BD} = \sqrt{\textcolor{#16A06A}{1}^2 + \textcolor{#16A06A}{\sqrt2}^2} = \sqrt{1 + 2} = \textcolor{#E0453A}{\sqrt3}.
  4. Trójkąt BCDBCD (kąt prosty przy BB): teraz BD\textcolor{#E0453A}{BD} staje się przyprostokątną, razem z BC=1\textcolor{#16A06A}{BC} = \textcolor{#16A06A}{1}.
  5. CD=32+12=3+1=4=2CD = \sqrt{\textcolor{#E0453A}{\sqrt3}^2 + \textcolor{#16A06A}{1}^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt4 = 2.
  6. Odpowiedź B.

💡 Wskazówka: Zwróć uwagę na zmianę roli odcinka BDBD: w pierwszym trójkącie jest przeciwprostokątną, w drugim przyprostokątną. Decyduje o tym, gdzie leży kąt prosty.

⚠ Najczęstszy błąd: (2)2=22\left(\sqrt2\right)^2 = 2\sqrt2 albo 4. Podnosząc pierwiastek do kwadratu, po prostu zdejmujemy go: (2)2=2\left(\sqrt2\right)^2 = 2.

Zadanie 7 (grudzień 2017)1 pkttrudniejsze

Na bokach trójkąta prostokątnego ABCABC (kąt prosty przy BB, kąt przy AA równy 30°30°) zaznaczono punkty DD (na boku ABAB) i EE (na boku ACAC). Odcinek DEDE jest prostopadły do ABAB i dzieli trójkąt na trójkąt prostokątny ADEADE oraz czworokąt DBCEDBCE. Odcinek ABAB ma długość 434\sqrt{3} cm, a odcinek DEDE — 3 cm. Dokończ zdanie.
Długość odcinka ECEC jest równa
Trójkąt ABC podzielony odcinkiem DE30°4√3 cmABCDE3 cm
  • A. 1 cm
  • B. 3\sqrt{3} cm
  • C. 2 cm
  • D. 4 cm
  • E. 333\sqrt{3} cm
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

  1. Odcinek ECEC policzymy jako różnicę: EC=AC−AEEC = AC - AE. Wyznaczamy więc obie przeciwprostokątne.
  2. Mały trójkąt ADEADE — prostokątny (kąt prosty przy DD) z kątem 30°30° przy AA. Bok DE=3\textcolor{#16A06A}{DE} = \textcolor{#16A06A}{3} cm leży naprzeciw kąta 30°30°, więc jest połową przeciwprostokątnej:
  3. AE=2⋅3=6\textcolor{#E0453A}{AE} = 2 \cdot \textcolor{#16A06A}{3} = \textcolor{#E0453A}{6} cm.
  4. Duży trójkąt ABCABC — prostokątny przy BB, kąt 30°30° przy AA. Znamy przyprostokątną AB=43\textcolor{#16A06A}{AB} = \textcolor{#16A06A}{4\sqrt3} cm, leżącą naprzeciw kąta 60°60°.
  5. W trójkącie 30°30°–60°60°–90°90° ten bok równa się c32\dfrac{\textcolor{#E0453A}{c}\sqrt3}{2}, więc AC32=43\dfrac{\textcolor{#E0453A}{AC}\sqrt3}{2} = \textcolor{#16A06A}{4\sqrt3}, skąd AC=8\textcolor{#E0453A}{AC} = \textcolor{#E0453A}{8} cm.
  6. Różnica: EC=8−6=2EC = \textcolor{#E0453A}{8} - \textcolor{#E0453A}{6} = 2 cm — odpowiedź C.

💡 Wskazówka: Oba trójkąty mają te same kąty (30°30°, 60°60°, 90°90°), więc są podobne. Można było też skorzystać ze skali: AB:DE=43:3AB : DE = 4\sqrt3 : 3… ale prościej policzyć każdy osobno z własności kąta 30°30°.

⚠ Najczęstszy błąd: potraktowanie DEDE jako boku naprzeciw kąta 60°60°. Odcinek DEDE jest prostopadły do ABAB, więc w trójkącie ADEADE leży naprzeciw kąta przy AA, czyli 30°30°.

Zadanie 8 (kwiecień 2016, egzamin gimnazjalny)1 pkttrudniejsze

Ewa narysowała kwadrat o boku 1, prostokąt o bokach 2 i 1 oraz kąt prosty o wierzchołku OO. Następnie od wierzchołka OO odmierzyła na jednym ramieniu kąta odcinek OAOA o długości równej przekątnej kwadratu, a na drugim ramieniu — odcinek OBOB o długości równej przekątnej prostokąta. Dokończ zdanie.
Długość odcinka ABAB jest równa
Kwadrat, prostokąt i kąt prosty z odcinkami OA i OB121OAB
  • A. 7\sqrt{7}
  • B. 2+5\sqrt{2} + \sqrt{5}
  • C. 5\sqrt{5}
  • D. 2+3\sqrt{2} + \sqrt{3}
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

  1. Krok 1 — przekątna kwadratu o boku 1. OA=12+12=2\textcolor{#16A06A}{OA} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \textcolor{#16A06A}{\sqrt2}.
  2. Krok 2 — przekątna prostokąta 2×12 \times 1. OB=22+12=5\textcolor{#16A06A}{OB} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \textcolor{#16A06A}{\sqrt5}.
  3. Krok 3 — odcinek ABAB. Ramiona kąta prostego są prostopadłe, więc trójkąt OABOAB jest prostokątny, a OA\textcolor{#16A06A}{OA} i OB\textcolor{#16A06A}{OB} to jego przyprostokątne.
  4. AB=22+52=2+5=7\textcolor{#E0453A}{AB} = \sqrt{\textcolor{#16A06A}{\sqrt2}^2 + \textcolor{#16A06A}{\sqrt5}^2} = \sqrt{2 + 5} = \sqrt7.
  5. Odpowiedź A.

💡 Wskazówka: Pierwiastki znikają przy podnoszeniu do kwadratu, więc rachunek jest bardzo prosty: 2+5=72 + 5 = 7. To typowa konstrukcja zadań z pierwiastkami.

⚠ Najczęstszy błąd: dodanie pierwiastków (2+5\sqrt2 + \sqrt5 — kusząca odpowiedź B). Przeciwprostokątna nie jest sumą przyprostokątnych; sumują się dopiero ich kwadraty.

Zadanie 9 (listopad 2012, egzamin gimnazjalny)1 pkttrudniejsze

W jakim stosunku można podzielić odcinek o długości 36 cm, aby z otrzymanych trzech odcinków zbudować trójkąt?
  • A. 1:2:61 : 2 : 6
  • B. 1:3:51 : 3 : 5
  • C. 2:3:42 : 3 : 4
  • D. 2:3:72 : 3 : 7
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

  1. Kluczowa reguła — nierówność trójkąta: z trzech odcinków zbudujesz trójkąt tylko wtedy, gdy suma dwóch krótszych jest większa od najdłuższego.
  2. Co ważne, wystarczy sprawdzić same liczby ze stosunku — nie trzeba liczyć długości w centymetrach.
  3. A. 1+2=3\textcolor{#16A06A}{1} + \textcolor{#16A06A}{2} = 3, a najdłuższy to 6\textcolor{#E0453A}{6}. Skoro 3<63 < \textcolor{#E0453A}{6} ✗
  4. B. 1+3=4\textcolor{#16A06A}{1} + \textcolor{#16A06A}{3} = 4, a najdłuższy 5\textcolor{#E0453A}{5}. Skoro 4<54 < \textcolor{#E0453A}{5} ✗
  5. C. 2+3=5\textcolor{#16A06A}{2} + \textcolor{#16A06A}{3} = 5, a najdłuższy 4\textcolor{#E0453A}{4}. Skoro 5>45 > \textcolor{#E0453A}{4} ✓ — da się zbudować
  6. D. 2+3=5\textcolor{#16A06A}{2} + \textcolor{#16A06A}{3} = 5, a najdłuższy 7\textcolor{#E0453A}{7}. Skoro 5<75 < \textcolor{#E0453A}{7} ✗
  7. Odpowiedź C. (Dla porządku: odcinki miałyby 8, 12 i 16 cm.)

💡 Wskazówka: Ponieważ wszystkie części skalują się tym samym czynnikiem, nierówność trójkąta można sprawdzać wprost na liczbach ze stosunku. To ogromna oszczędność czasu.

⚠ Najczęstszy błąd: sprawdzanie tylko, czy części sumują się do 36. Każdy z podanych stosunków to spełnia — o wyniku decyduje wyłącznie nierówność trójkąta.

Zadanie 10 (listopad 2012, egzamin gimnazjalny)1 pkttrudniejsze

Dany jest trapez prostokątny ABCDABCD o podstawach długości 22 cm (ABAB) i 10 cm (DCDC) oraz wysokości 5 cm (ramię ADAD, prostopadłe do podstaw). Odcinek ACAC jest przekątną tego trapezu. Oceń prawdziwość podanych zdań.
Trapez prostokątny ABCD z przekątną AC22 cm10 cm5 cmABCD
Trójkąt ABCABC jest równoramienny.PF
Bok BCBC ma długość 12 cm.PF
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: F, F

  1. Wyznaczamy oba brakujące boki, korzystając dwukrotnie z twierdzenia Pitagorasa.
  2. Przekątna ACAC. Tworzy trójkąt prostokątny z bokami AD=5AD = \textcolor{#16A06A}{5} i DC=10DC = \textcolor{#16A06A}{10}:
  3. AC=52+102=125=55≈11,2\textcolor{#E0453A}{AC} = \sqrt{\textcolor{#16A06A}{5}^2 + \textcolor{#16A06A}{10}^2} = \sqrt{125} = 5\sqrt5 \approx \textcolor{#E0453A}{11{,}2} cm.
  4. Ramię BCBC. Jego rzut na dolną podstawę to różnica podstaw: 22−10=1222 - 10 = \textcolor{#16A06A}{12} cm, a wysokość to 5\textcolor{#16A06A}{5} cm:
  5. BC=122+52=144+25=169=13\textcolor{#E0453A}{BC} = \sqrt{\textcolor{#16A06A}{12}^2 + \textcolor{#16A06A}{5}^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = \textcolor{#E0453A}{13} cm.
  6. Zdanie 1. Boki trójkąta ABCABC: AB=22AB = 22, AC≈11,2\textcolor{#E0453A}{AC} \approx 11{,}2, BC=13\textcolor{#E0453A}{BC} = 13 — wszystkie różne, więc trójkąt nie jest równoramienny — fałsz.
  7. Zdanie 2. BC=13\textcolor{#E0453A}{BC} = 13 cm, a nie 12 cm — fałsz.
  8. Odpowiedzi: F, F.

💡 Wskazówka: Liczba 12 w tym zadaniu to rzut ramienia na podstawę (różnica podstaw), a nie samo ramię. Razem z wysokością 5 daje znajomą trójkę 5–12–13.

⚠ Najczęstszy błąd w zdaniu 2: podanie 12 cm — czyli właśnie różnicy podstaw. To przyprostokątna, a BCBC jest przeciwprostokątną, więc musi być dłuższa.

Zadania otwarte

Zadanie 11 (styczeń 2026)3 pkttrudniejsze

W rombie ABCDABCD poprowadzono przekątną BDBD oraz wysokość opuszczoną z wierzchołka DD na bok ABAB. Długość boku tego rombu jest równa 10 cm, a długość przekątnej BDBD — 12 cm. Oblicz wysokość rombu poprowadzoną z wierzchołka DD na bok ABAB. Zapisz obliczenia.
Romb ABCD z przekątną BD i wysokością z wierzchołka D A B C D 10 cm 12 cm
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 9,6 cm

  1. Cały pomysł polega na policzeniu pola rombu dwoma sposobami i przyrównaniu wyników.
  2. Sposób pierwszy — z przekątnych. Najpierw wyznaczamy drugą przekątną. Przekątne rombu przecinają się pod kątem prostym i dzielą na połowy, więc połowa BDBD to 6\textcolor{#16A06A}{6} cm.
  3. Połowa przekątnej ACAC: 102−62=100−36=64=8\sqrt{\textcolor{#E0453A}{10}^2 - \textcolor{#16A06A}{6}^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = \textcolor{#16A06A}{8} cm, czyli AC=16AC = \textcolor{#16A06A}{16} cm.
  4. Pole: P=12⋅162=96P = \dfrac{12 \cdot \textcolor{#16A06A}{16}}{2} = \textcolor{#16A06A}{96} cm².
  5. Sposób drugi — podstawa razy wysokość. P=AB⋅h=10⋅hP = AB \cdot h = \textcolor{#E0453A}{10} \cdot h.
  6. Przyrównujemy: 10⋅h=96\textcolor{#E0453A}{10} \cdot h = \textcolor{#16A06A}{96}, skąd h=9,6h = 9{,}6 cm.
  7. Odpowiedź: wysokość rombu wynosi 9,6 cm.
  8. Kontrola sensu: wysokość musi być krótsza od boku (9,6<109{,}6 < \textcolor{#E0453A}{10}) ✓

💡 Wskazówka: Romb ma dwa niezależne wzory na pole — z przekątnych i „podstawa razy wysokość”. Przyrównanie ich to standardowy sposób na wyznaczenie wysokości.

⚠ Najczęstszy błąd: przyjęcie, że wysokość rombu równa się połowie przekątnej (8 cm). Wysokość jest prostopadła do boku, a nie do drugiej przekątnej.

Zadanie 12 (maj 2024)3 pkttrudniejsze

Prostokąt ABCDABCD podzielono na trzy trójkąty: AEDAED, ACEACE i ABCABC (punkt EE leży na boku DCDC). Podano, że DE=15DE = 15 cm oraz AD=20AD = 20 cm. W trójkącie ACEACE zaznaczono dwa kąty o takiej samej mierze α\alpha: przy wierzchołku AA (kąt EACEAC) oraz przy wierzchołku CC (kąt ACEACE). Oblicz pole trapezu ABCEABCE. Zapisz obliczenia.
Prostokąt ABCD podzielony na trzy trójkątyααABCDE15 cm20 cm
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 650 cm²

  1. Krok 1 — odcinek AEAE. Trójkąt AEDAED jest prostokątny (kąt prosty przy narożniku DD):
  2. AE=152+202=225+400=625=25\textcolor{#E0453A}{AE} = \sqrt{\textcolor{#16A06A}{15}^2 + \textcolor{#16A06A}{20}^2} = \sqrt{225 + 400} = \sqrt{625} = \textcolor{#E0453A}{25} cm.
  3. Krok 2 — odcinek ECEC. W trójkącie ACEACE dwa kąty są równe (α\alpha przy AA i przy CC), więc jest on równoramienny.
  4. Równe kąty leżą naprzeciw równych boków, zatem EC=AE=25EC = \textcolor{#E0453A}{AE} = \textcolor{#E0453A}{25} cm.
  5. Krok 3 — bok prostokąta. DC=DE+EC=15+25=40DC = \textcolor{#16A06A}{DE} + EC = \textcolor{#16A06A}{15} + \textcolor{#E0453A}{25} = \textcolor{#16A06A}{40} cm, a więc również AB=40AB = \textcolor{#16A06A}{40} cm.
  6. Krok 4 — pole trapezu ABCEABCE. Podstawy: AB=40AB = \textcolor{#16A06A}{40} i EC=25EC = \textcolor{#E0453A}{25}; wysokość to bok AD=20AD = \textcolor{#16A06A}{20} cm.
  7. P=40+252⋅20=32,5⋅20=650P = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{40} + \textcolor{#E0453A}{25}}{2} \cdot \textcolor{#16A06A}{20} = 32{,}5 \cdot \textcolor{#16A06A}{20} = 650 cm².
  8. Odpowiedź: pole trapezu ABCEABCE wynosi 650 cm².

💡 Wskazówka: Zaznaczenie dwóch równych kątów to zawsze podpowiedź: trójkąt jest równoramienny. A stąd od razu wiadomo, które boki są równe.

⚠ Najczęstszy błąd: przyjęcie EC=15EC = 15 cm (czyli że EE jest środkiem boku DCDC). Nic tego nie gwarantuje — o długości ECEC decydują dopiero równe kąty.

Zadanie 13 (maj 2023)3 pkttrudniejsze

W czworokącie ABCDABCD o polu 48 cm² przekątna ACAC ma długość 8 cm i dzieli ten czworokąt na dwa trójkąty: ABCABC i ACDACD. Wysokość trójkąta ACDACD poprowadzona z wierzchołka DD do prostej ACAC jest równa 2 cm. Oblicz wysokość trójkąta ABCABC poprowadzoną z wierzchołka BB do prostej ACAC. Zapisz obliczenia.
Czworokąt ABCD z przekątną AC i wysokościamiABCD8 cm2 cm
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 10 cm

  1. Oba trójkąty mają wspólną podstawę — przekątną AC=8\textcolor{#16A06A}{AC} = \textcolor{#16A06A}{8} cm. Różnią się tylko wysokościami.
  2. Krok 1 — pole trójkąta ACDACD. PACD=12⋅8⋅2=8P_{ACD} = \tfrac12 \cdot \textcolor{#16A06A}{8} \cdot \textcolor{#E0453A}{2} = \textcolor{#16A06A}{8} cm².
  3. Krok 2 — pole trójkąta ABCABC. To reszta czworokąta: 48−8=4048 - \textcolor{#16A06A}{8} = \textcolor{#16A06A}{40} cm².
  4. Krok 3 — szukana wysokość. 40=12⋅8⋅h\textcolor{#16A06A}{40} = \tfrac12 \cdot \textcolor{#16A06A}{8} \cdot \textcolor{#E0453A}{h}, czyli 40=4h\textcolor{#16A06A}{40} = 4\textcolor{#E0453A}{h}.
  5. Stąd h=10\textcolor{#E0453A}{h} = 10 cm.
  6. Odpowiedź: wysokość trójkąta ABCABC wynosi 10 cm.
  7. Kontrola sensu: trójkąt ABCABC ma pole pięć razy większe przy tej samej podstawie, więc i wysokość musi być pięć razy większa: 5⋅2=105 \cdot \textcolor{#E0453A}{2} = 10 ✓

💡 Wskazówka: Gdy dwa trójkąty mają wspólną podstawę, ich pola są wprost proporcjonalne do wysokości. Można więc pominąć rachunki i od razu użyć stosunku pól.

⚠ Najczęstszy błąd: podzielenie pola czworokąta na pół i przyjęcie, że każdy trójkąt ma 24 cm². Przekątna dzieli czworokąt na równe części tylko w szczególnych przypadkach.

Zadanie 14 (maj 2021)3 pkttrudniejsze

Dany jest prostokąt ABCDABCD o wymiarach 12 cm i 16 cm. Odcinek ACAC jest przekątną tego prostokąta. Odcinek DSDS jest wysokością trójkąta ACDACD poprowadzoną na przekątną ACAC. Oblicz długość odcinka DSDS. Zapisz obliczenia.
Prostokąt ABCD z przekątną AC i wysokością DS S A B C D 12 cm 16 cm
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 9,6 cm

  1. Krok 1 — przekątna prostokąta. AC=122+162=144+256=400=20\textcolor{#E0453A}{AC} = \sqrt{\textcolor{#16A06A}{12}^2 + \textcolor{#16A06A}{16}^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = \textcolor{#E0453A}{20} cm.
  2. Krok 2 — pole trójkąta ACDACD pierwszym sposobem. Trójkąt jest prostokątny (kąt prosty przy DD), a jego przyprostokątne to boki prostokąta:
  3. P=12⋅12⋅16=96P = \tfrac12 \cdot \textcolor{#16A06A}{12} \cdot \textcolor{#16A06A}{16} = \textcolor{#16A06A}{96} cm².
  4. Krok 3 — to samo pole drugim sposobem. Bierzemy za podstawę przekątną AC\textcolor{#E0453A}{AC}, a za wysokość szukany odcinek DSDS:
  5. P=12⋅20⋅DSP = \tfrac12 \cdot \textcolor{#E0453A}{20} \cdot DS.
  6. Krok 4 — przyrównujemy. 12⋅20⋅DS=96\tfrac12 \cdot \textcolor{#E0453A}{20} \cdot DS = \textcolor{#16A06A}{96}, czyli 10⋅DS=9610 \cdot DS = \textcolor{#16A06A}{96}, więc DS=9,6DS = 9{,}6 cm.
  7. Odpowiedź: odcinek DSDS ma długość 9,6 cm.

💡 Wskazówka: Uniwersalna metoda: policz pole raz „łatwą” parą podstawa–wysokość, drugi raz tą z niewiadomą, i przyrównaj. Działa przy każdej wysokości opuszczonej na nietypowy bok.

⚠ Najczęstszy błąd: przyjęcie, że DSDS to połowa jednego z boków albo połowa przekątnej (10 cm). Wysokość na przeciwprostokątną jest zawsze krótsza od obu przyprostokątnych.

Zadanie 15 (czerwiec 2020)2 pktśrednie

Czworokąt ABCDABCD jest trapezem o podstawach AB=7AB = 7 i DC=5DC = 5 oraz wysokości 3. Podstawa ABAB została przedłużona do punktu EE, tworząc trójkąt BECBEC (o tej samej wysokości, bo wierzchołek CC leży na tej samej prostej co DD). Pole trapezu ABCDABCD jest trzy razy większe od pola trójkąta BECBEC. Oblicz długość odcinka BEBE. Zapisz obliczenia.
Trapez ABCD z trójkątem BECABECD573
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 4

  1. Krok 1 — pole trapezu. PABCD=7+52⋅3=6⋅3=18P_{ABCD} = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{7} + \textcolor{#16A06A}{5}}{2} \cdot \textcolor{#E0453A}{3} = 6 \cdot \textcolor{#E0453A}{3} = \textcolor{#16A06A}{18}.
  2. Krok 2 — pole trójkąta. Jest trzy razy mniejsze: 18:3=6\textcolor{#16A06A}{18} : 3 = \textcolor{#16A06A}{6}.
  3. Krok 3 — szukany odcinek. Trójkąt BECBEC ma podstawę BEBE i tę samą wysokość 3\textcolor{#E0453A}{3} (wierzchołek CC leży na prostej równoległej do AEAE):
  4. 6=12⋅BE⋅3\textcolor{#16A06A}{6} = \tfrac12 \cdot BE \cdot \textcolor{#E0453A}{3}, czyli 6=1,5⋅BE\textcolor{#16A06A}{6} = 1{,}5 \cdot BE.
  5. Stąd BE=4BE = 4.
  6. Odpowiedź: odcinek BEBE ma długość 4.

💡 Wskazówka: Kluczowa obserwacja: trójkąt i trapez mają tę samą wysokość, bo wierzchołek CC leży na tej samej prostej co bok DCDC. Bez tego zadania nie da się rozwiązać.

⚠ Najczęstszy błąd: pominięcie 12\tfrac12 we wzorze na pole trójkąta — wychodzi wtedy BE=2BE = 2. Warto zapisać wzór w pełnej postaci, zanim się podstawi liczby.

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. A2. B3. P, P4. P, P5. B6. B
7. C8. A9. C10. F, F11. 9,6 cm12. 650 cm²
13. 10 cm14. 9,6 cm15. 4

Treści zadań pochodzą z arkuszy egzaminu ósmoklasisty oraz z arkuszy egzaminu gimnazjalnego (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów liczę i zapisuję sam — Mateusz Będkowski.

Pytania i odpowiedzi

Skąd wiadomo, który bok to przeciwprostokątna?

To bok leżący naprzeciw kąta prostego — nigdy nie jest jednym z ramion tego kąta. Jest też zawsze najdłuższym bokiem trójkąta, więc jeśli po obliczeniach wyszło inaczej, gdzieś jest błąd w podstawieniu.

Jak policzyć przekątną prostokąta?

Przekątna dzieli prostokąt na dwa trójkąty prostokątne, w których boki prostokąta są przyprostokątnymi. Dlatego d=a2+b2d = \sqrt{a^2 + b^2}. Dla kwadratu upraszcza się to do a2a\sqrt2.

Jak sprawdzić, czy trójkąt jest prostokątny?

Podnieś do kwadratu wszystkie trzy boki. Jeśli suma kwadratów dwóch krótszych równa się kwadratowi najdłuższego, trójkąt jest prostokątny — to twierdzenie odwrotne do Pitagorasa. Na przykład 6, 8, 10: 36+64=10036 + 64 = 100 ✓.

Czy trzeba znać wzór na wysokość trójkąta równobocznego?

Nie trzeba, ale warto — oszczędza minutę. Bez wzoru wyprowadzisz go z Pitagorasa: wysokość dzieli trójkąt na połowy, więc h2+(a2)2=a2h^2 + \left(\tfrac{a}{2}\right)^2 = a^2, skąd h=a32h = \dfrac{a\sqrt3}{2}.

Co zrobić, gdy w zadaniu nie ma rysunku?

Narysować samemu, choćby odręcznie. W zadaniach o trapezach i rombach rysunek jest połową rozwiązania: dopiero na nim widać, gdzie siedzi trójkąt prostokątny i który odcinek jest różnicą podstaw.

Kiedy liczyć pole dwoma sposobami?

Gdy szukasz wysokości opuszczonej na bok, którego długość potrafisz obliczyć, a samej wysokości nie da się wyliczyć wprost. Zapisujesz to samo pole dwa razy — raz z jedną parą podstawa-wysokość, raz z drugą — i przyrównujesz.

Czytaj dalej

Pola figur na egzaminie34 zadania — w siedmiu z nich wysokość trzeba najpierw policzyć PitagorasemObwody figur na egzaminieGdy brakuje boku, odzyskuje się go dokładnie tą samą metodąPierwiastki na egzaminieSzacowanie i upraszczanie pierwiastków, które wychodzą z PitagorasaEgzamin ósmoklasisty z matematykiJak zbudowany jest arkusz i jak się do niego przygotować
Mateusz Będkowski — nauczyciel matematyki, autor serwisu Nie każ mu liczyć

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-07-30. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa Mateusza Będkowskiego.