Strona główna › Egzamin ósmoklasisty › Twierdzenie Pitagorasa na egzaminie ósmoklasisty

Twierdzenie Pitagorasa na egzaminie ósmoklasisty

Q: Skąd wiadomo, który bok to przeciwprostokątna?

To bok leżący naprzeciw kąta prostego — nigdy nie jest jednym z ramion tego kąta. Jest też zawsze najdłuższym bokiem trójkąta, więc jeśli po obliczeniach wyszło inaczej, gdzieś jest błąd w podstawieniu.

Q: Jak sprawdzić, czy trójkąt jest prostokątny?

Podnieś do kwadratu wszystkie trzy boki. Jeśli suma kwadratów dwóch krótszych równa się kwadratowi najdłuższego, trójkąt jest prostokątny — to twierdzenie odwrotne do Pitagorasa. Na przykład 6, 8, 10: 36 + 64 = 100 ✓.

Q: Czy trzeba znać wzór na wysokość trójkąta równobocznego?

Nie trzeba, ale warto — oszczędza minutę. Bez wzoru wyprowadzisz go z Pitagorasa: wysokość dzieli trójkąt na połowy, więc h^2 + ≤ft( a2 )^2 = a^2, skąd h = a 3/2.

Q: Co zrobić, gdy w zadaniu nie ma rysunku?

Narysować samemu, choćby odręcznie. W zadaniach o trapezach i rombach rysunek jest połową rozwiązania: dopiero na nim widać, gdzie siedzi trójkąt prostokątny i który odcinek jest różnicą podstaw.

Q: Kiedy liczyć pole dwoma sposobami?

Gdy szukasz wysokości opuszczonej na bok, którego długość potrafisz obliczyć, a samej wysokości nie da się wyliczyć wprost. Zapisujesz to samo pole dwa razy — raz z jedną parą podstawa-wysokość, raz z drugą — i przyrównujesz.

Na egzaminie ósmoklasisty Pitagoras prawie nigdy nie stoi sam. Nie ma zadania „dane są przyprostokątne 3 i 4, oblicz przeciwprostokątną” — jest trapez, romb albo prostokąt, w którym trzeba najpierw zobaczyć trójkąt prostokątny, a dopiero potem policzyć. Ta strona jest o tym drugim: o rozpoznawaniu, gdzie ten trójkąt siedzi.

Dział: Egzamin ósmoklasistyPoziom: klasa 7–8Zadań z E8: 15

Przejdź od razu do zadań (15) ↓

Kiedy w ogóle sięgać po Pitagorasa

Twierdzenie mówi jedno: w trójkącie prostokątnym suma kwadratów przyprostokątnych równa się kwadratowi przeciwprostokątnej, czyli $a^2 + b^2 = c^2$ . Litera $c$ zawsze oznacza bok leżący naprzeciw kąta prostego — i to jest jedyna rzecz, którą trzeba sprawdzić, zanim się cokolwiek podstawi.

W zadaniach egzaminacyjnych kąt prosty rzadko bywa podpisany. Częściej jest ukryty w figurze: w prostokącie każdy narożnik jest prosty, w trapezie prostokątnym ramię jest prostopadłe do podstaw, w rombie przekątne przecinają się pod kątem prostym. Sygnał do sięgnięcia po Pitagorasa brzmi więc: znam dwie długości w trójkącie prostokątnym, a szukam trzeciej.

Działa też w drugą stronę. Jeśli w trójkącie o bokach $a$ , $b$ , $c$ (gdzie $c$ jest najdłuższy) zachodzi $a^2 + b^2 = c^2$ , to ten trójkąt jest prostokątny. To twierdzenie odwrotne i pojawia się w zadaniach typu „czy z odcinków o długościach… można zbudować trójkąt prostokątny”.

Ostrzeżenie, które warto zapamiętać raz na zawsze: pierwiastek z sumy nie jest sumą pierwiastków. $\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ , a nie $3 + 4 = 7$ . To najczęstszy błąd rachunkowy w całym dziale.

Przekątna kwadratu i przekątna prostokąta

Przekątna dzieli prostokąt na dwa trójkąty prostokątne, w których boki prostokąta są przyprostokątnymi, a przekątna — przeciwprostokątną. Stąd dla prostokąta o bokach $a$ i $b$ przekątna wynosi $d = \sqrt{a^2 + b^2}$ .

d_{\text{prostokąta}} = \sqrt{a^2 + b^2} \qquad d_{\text{kwadratu}} = a\sqrt{2}

W kwadracie oba boki są równe, więc $d = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt2$ . Ten wynik warto znać na pamięć — wraca w zadaniach o kwadratach, rombach i o trójkącie prostokątnym równoramiennym, który jest po prostu połówką kwadratu.

Odwrotnie też: mając przekątną kwadratu, bok liczymy jako $a = \dfrac{d}{\sqrt2}$ . Na egzaminie częściej jednak podaje się bok.

Grupa A gratis · B–E w sklepie

Sprawdź, czy to już umieją: sprawdzian z kluczem z działu „Próbny egzamin ósmoklasisty 2027, matematyka” (klasa 8), gotowy do druku

Grupę A pobierzesz za darmo i sprawdzisz na niej, jak wygląda arkusz. Grupy B, C, D i E mają inne liczby w tych samych zadaniach, więc sąsiedzi w ławce nie przepiszą od siebie. Klucz z punktacją do każdej grupy.

Okładka: Próbny egzamin ósmoklasisty 2027, matematyka — 6 arkuszy

Jeden arkuszgrupy B–E i klucze do wybranego testu3,90 zł NAJCZĘŚCIEJ WYBIERANECały dział „Próbny egzamin ósmoklasisty 2027, matematyka”6 arkuszy w jednym pliku12,90 zł~~23,40 zł~~−10,50 zł Cała klasa 8, na cały rok46 arkuszy, 1,52 zł za arkusz69,90 zł

Dodaj do koszyka · cały dział · 12,90 zł Pobierz darmową grupę A (PDF)

✓ PDF od razu po płatności BLIK✓ Bez zakładania konta✓ Faktura dla szkoły

Trójkąt 30-60-90 i trójkąt równoboczny

Wysokość trójkąta równobocznego dzieli go na dwa trójkąty o kątach $30°$ , $60°$ i $90°$ . W takim trójkącie krótsza przyprostokątna to połowa przeciwprostokątnej, a dłuższa jest od niej $\sqrt3$ razy większa.

h_{\text{trójkąta równobocznego}} = \dfrac{a\sqrt3}{2}

To najczęściej mylona para wzorów w całej geometrii ósmoklasisty: przekątna kwadratu ma $\sqrt2$ , a wysokość trójkąta równobocznego ma $\sqrt3$ . Warto powiązać to z obrazkiem, a nie z literą: kwadrat ma dwa równe boki pod kątem prostym, trójkąt równoboczny ma połówkę boku u podstawy.

Zależności z trójkąta $30$ - $60$ - $90$ przydają się też tam, gdzie kąt $60°$ pojawia się w rombie albo w trapezie — wtedy nie trzeba nic pierwiastkować, wystarczy podstawić proporcję.

Przekątna kwadratu d = a√2 i wysokość trójkąta równobocznego h = a√3 : 2 — Najczęściej mylona para wzorów.

Wysokość w trapezie prostokątnym

Trapez prostokątny to najczęstsza figura w tym dziale. Ma dwa kąty proste, więc jego krótsze ramię jest wysokością. Cała trudność siedzi w ramieniu pochyłym.

Sposób jest zawsze ten sam: z końca krótszej podstawy prowadzimy odcinek prostopadły do dłuższej. Powstaje prostokąt i trójkąt prostokątny, w którym jedną przyprostokątną jest wysokość trapezu, drugą — różnica podstaw, a przeciwprostokątną ramię pochyłe.

Ta różnica podstaw jest kluczowa i to na niej najczęściej wykłada się rozwiązanie. Jeśli podstawy mają $10$ i $4$ , to przyprostokątna wynosi $10 - 4 = 6$ , a nie $10$ i nie $4$ .

Pole liczone dwoma sposobami

To chwyt, którego nie ma w podręcznikowym rozdziale o Pitagorasie, a który wraca na egzaminie regularnie. Pole trójkąta można policzyć, biorąc dowolny bok jako podstawę i wysokość opuszczoną na ten bok. Jeśli te same pole zapiszemy dwa razy, z dwóch różnych par, dostajemy równanie z jedną niewiadomą.

Najczęstsze zastosowanie: mamy trójkąt prostokątny o znanych przyprostokątnych i szukamy wysokości opuszczonej na przeciwprostokątną. Przyprostokątne są dla siebie nawzajem podstawą i wysokością, więc pole liczy się od razu — a potem przyrównuje do wzoru z przeciwprostokątną.

Sygnał, że to ta metoda: w zadaniu pojawia się wysokość opuszczona na bok, którego długość da się policzyć, a wprost jej wyliczyć się nie da.

Pole trójkąta prostokątnego 3, 4, 5 liczone dwoma sposobami: wysokość na przeciwprostokątną wynosi 2,4 — Pole liczone dwoma sposobami.

Przykłady krok po kroku

Cztery zadania rozpisane tak, jak rozpisuję je uczniowi na kartce — z każdym krokiem osobno. Trzy pierwsze to typowe schematy egzaminacyjne, czwarty pokazuje pole liczone dwoma sposobami.

Przykład 1 Przekątna prostokąta

Prostokąt ma boki $9$ cm i $12$ cm. Oblicz długość jego przekątnej.

Przekątna dzieli prostokąt na dwa trójkąty prostokątne. Boki prostokąta są przyprostokątnymi, przekątna — przeciwprostokątną.
Podstawiam: $d^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225$ .
Pierwiastkuję: $d = \sqrt{225} = 15$ cm.
Kontrola: przekątna musi być dłuższa od każdego boku, a krótsza od ich sumy. $12 < 15 < 21$ ✓

Odpowiedź: Przekątna ma $15$ cm.

Przykład 2 Wysokość trójkąta równobocznego

Oblicz wysokość trójkąta równobocznego o boku $6$ cm.

Wysokość dzieli trójkąt na dwa trójkąty prostokątne. Przeciwprostokątną jest bok, czyli $6$ , a krótszą przyprostokątną — połowa boku, czyli $3$ .
Z twierdzenia Pitagorasa: $h^2 + 3^2 = 6^2$ , czyli $h^2 = 36 - 9 = 27$ .
Zatem $h = \sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt3$ cm.
Ze wzoru wyszłoby tak samo: $h = \dfrac{6\sqrt3}{2} = 3\sqrt3$ . Warto umieć obie drogi — wzór jest szybszy, ale rozumowanie ratuje, gdy się go zapomni.

Odpowiedź: Wysokość wynosi $3\sqrt3$ cm, czyli około $5{,}2$ cm.

Przykład 3 Ramię trapezu prostokątnego

W trapezie prostokątnym podstawy mają $10$ cm i $4$ cm, a wysokość $8$ cm. Oblicz długość ramienia pochyłego.

Rysuję odcinek prostopadły do dłuższej podstawy, poprowadzony z końca krótszej. Powstaje prostokąt i trójkąt prostokątny.
W tym trójkącie jedna przyprostokątna to wysokość trapezu: $8$ cm. Druga to różnica podstaw: $10 - 4 = 6$ cm.
Ramię jest przeciwprostokątną: $r^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100$ .
Stąd $r = 10$ cm.
Kontrola: ramię pochyłe musi być dłuższe od wysokości, bo wysokość jest jego rzutem. $10 > 8$ ✓

Odpowiedź: Ramię pochyłe ma $10$ cm.

Przykład 4 Wysokość opuszczona na przeciwprostokątną

W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają $6$ cm i $8$ cm. Oblicz wysokość opuszczoną na przeciwprostokątną.

Najpierw przeciwprostokątna: $c^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$ , więc $c = 10$ cm.
Teraz pole — pierwszy sposób. Przyprostokątne są dla siebie podstawą i wysokością: $P = \dfrac{6 \cdot 8}{2} = 24$ cm².
Drugi sposób, to samo pole, ale z przeciwprostokątną jako podstawą: $P = \dfrac{10 \cdot h}{2} = 5h$ .
Przyrównuję oba zapisy: $5h = 24$ , czyli $h = 4{,}8$ cm.
Kontrola: wysokość opuszczona na najdłuższy bok musi być krótsza od obu przyprostokątnych. $4{,}8 < 6$ ✓

Odpowiedź: Wysokość opuszczona na przeciwprostokątną ma $4{,}8$ cm.

Najczęstsze błędy

Cztery błędy, które widzę najczęściej przy sprawdzaniu prac. Żaden nie wynika z braku zdolności — każdy z pominiętego kroku albo z reguły zapamiętanej w skrócie.

Podstawienie przeciwprostokątnej w miejsce przyprostokątnej

Skąd się bierze: Uczeń zapamiętuje wzór jako „ $a^2 + b^2 = c^2$ ” i podstawia w kolejności, w jakiej liczby stoją w treści. Gdy zadanie podaje najpierw przeciwprostokątną, wychodzi bok dłuższy od przeciwprostokątnej — co jest niemożliwe.

Jak zrobić dobrze: Zanim cokolwiek podstawisz, zaznacz kąt prosty i wskaż bok leżący naprzeciw niego. To jest $c$ , niezależnie od kolejności w treści. Jeśli szukasz przyprostokątnej, wzór ma postać $a^2 = c^2 - b^2$ — z odejmowaniem, nie dodawaniem.

Rozdzielanie pierwiastka na sumę

Skąd się bierze: $\sqrt{9 + 16}$ wygląda jak coś, co da się „rozbić” na $\sqrt9 + \sqrt{16}$ . Wychodzi wtedy $7$ zamiast $5$ — i, co gorsza, wynik bywa jedną z podanych odpowiedzi.

Jak zrobić dobrze: Pierwiastek obejmuje całe wyrażenie pod znakiem, jak nawias: najpierw dodaj, dopiero potem pierwiastkuj. $\sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$ .

Użycie różnicy podstaw jako całej podstawy (albo odwrotnie)

Skąd się bierze: W trapezie prostokątnym trójkąt powstaje po odcięciu prostokąta. Uczeń bierze do Pitagorasa dłuższą podstawę w całości, bo to ona jest podana wprost — a przyprostokątną jest tylko to, co zostało po odcięciu.

Jak zrobić dobrze: Zaznacz na rysunku prostokąt i trójkąt osobno. Przyprostokątna trójkąta to różnica podstaw. Przy podstawach $10$ i $4$ jest to $6$ , nie $10$ .

Pomylenie $\sqrt2$ z $\sqrt3$

Skąd się bierze: Oba wzory wyglądają podobnie i oba dotyczą „ukośnej” długości w regularnej figurze. Przekątna kwadratu dostaje wtedy $\sqrt3$ , a wysokość trójkąta równobocznego $\sqrt2$ .

Jak zrobić dobrze: Powiąż liczbę z obrazkiem, nie z literą: kwadrat ma dwa równe boki schodzące się pod kątem prostym → $a\sqrt2$ . Trójkąt równoboczny ma trzy równe boki → $\dfrac{a\sqrt3}{2}$ . Gdy zapomnisz, wyprowadź z Pitagorasa — zajmuje to dwie linijki.

Zadania z egzaminu ósmoklasisty — długości w figurach

Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminu ósmoklasisty (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem. W zestawie jest 3 zadania z arkuszy egzaminu gimnazjalnego (do 2019 roku) — dokładamy je jako dodatkowe ćwiczenie tych samych umiejętności. Zakres gimnazjum był miejscami szerszy niż wymagania dla klas 7–8, dlatego każde takie zadanie jest podpisane osobno.

Kolor pilnuje najważniejszego rozróżnienia w twierdzeniu Pitagorasa: zielone to przyprostokątne (te przy kącie prostym), a czerwona to przeciwprostokątna (zawsze naprzeciw kąta prostego i zawsze najdłuższa). Podstawienie ich w odwrotne miejsca wzoru to najczęstszy błąd w całym dziale — dlatego warto sprawdzać kolory, zanim się policzy.

Sprawdź się bez zaglądania do odpowiedzi. Wylosuję 7 zadań zamkniętych z tego zestawu — klucz i rozwiązania schowam do czasu sprawdzenia. Pula liczy 7 zadań, więc za każdym razem dostaniesz inny zestaw.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (czerwiec 2024)1 pktśrednie

Kwadrat podzielono na 6 jednakowych prostokątów ustawionych pionowo, jeden obok drugiego. Obwód każdego z tych prostokątów jest równy 28. Dokończ zdanie.
Obwód kwadratu jest równy

A. $48$
B. $84$
C. $96$
D. $144$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Oznaczmy bok kwadratu przez $\textcolor{#16A06A}{a}$ .
Każdy z sześciu pionowych prostokątów ma pełną wysokość kwadratu, czyli $\textcolor{#16A06A}{a}$ , a szerokość sześć razy mniejszą: $\dfrac{\textcolor{#16A06A}{a}}{6}$ .
Obwód jednego prostokąta: $2\left(\textcolor{#16A06A}{a} + \dfrac{\textcolor{#16A06A}{a}}{6}\right) = 2 \cdot \dfrac{7\textcolor{#16A06A}{a}}{6} = \dfrac{7\textcolor{#16A06A}{a}}{3}$ .
Przyrównujemy do danej: $\dfrac{7\textcolor{#16A06A}{a}}{3} = \textcolor{#E0453A}{28}$ , skąd $7\textcolor{#16A06A}{a} = 84$ , czyli $\textcolor{#16A06A}{a} = 12$ .
Obwód kwadratu: $4 \cdot \textcolor{#16A06A}{12} = 48$ — odpowiedź A.

💡 Wskazówka: Kontrola: prostokąt ma wymiary $2 \times 12$ , więc jego obwód to $2 \cdot 14 = 28$ ✓. Zawsze warto podstawić wynik z powrotem.

⚠ Najczęstszy błąd: pomnożenie obwodu prostokąta przez 6 i uznanie tego za obwód kwadratu ( $168$ ). Obwody części nie sumują się do obwodu całości — linie podziału leżą wewnątrz.

Osobna strona tego zadania z rozwiązaniem w obrazku →

Zadanie 2 (maj 2024)1 pkttrudniejsze

Prostokąt o bokach długości

a

b

podzielono na sześć kwadratów: dwa jednakowe kwadraty tworzą lewą kolumnę (jeden nad drugim), w prawym górnym rogu stoi jeden duży kwadrat, a pod nim trzy jednakowe małe kwadraty w rzędzie. Dokończ zdanie.
Stosunek długości boków

a : b

tego prostokąta jest równy

A. $6 : 5$
B. $5 : 4$
C. $4 : 3$
D. $3 : 2$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Najwygodniej zacząć od najmniejszego kwadratu — przyjmijmy, że jego bok to $\textcolor{#16A06A}{1}$ .
Trzy małe kwadraty stoją w rzędzie pod dużym, więc bok dużego kwadratu wynosi $3 \cdot \textcolor{#16A06A}{1} = \textcolor{#16A06A}{3}$ .
Wysokość prostokąta to prawa kolumna: duży kwadrat plus mały, czyli $b = \textcolor{#16A06A}{3} + \textcolor{#16A06A}{1} = \textcolor{#E0453A}{4}$ .
Lewa kolumna ma tę samą wysokość $\textcolor{#E0453A}{4}$ i składa się z dwóch jednakowych kwadratów, więc każdy ma bok $\textcolor{#E0453A}{4} : 2 = \textcolor{#16A06A}{2}$ — i tyle wynosi szerokość tej kolumny.
Szerokość prostokąta: $a = \textcolor{#16A06A}{2} + \textcolor{#16A06A}{3} = \textcolor{#E0453A}{5}$ .
Stosunek: $a : b = \textcolor{#E0453A}{5} : \textcolor{#E0453A}{4}$ — odpowiedź B.

💡 Wskazówka: W układankach z kwadratów zaczynaj od najmniejszego elementu i nadaj mu bok 1. Wszystkie pozostałe wymiary wyrażą się wtedy liczbami całkowitymi.

⚠ Najczęstszy błąd: zgadywanie stosunku „na oko” z rysunku. Proporcje na rysunkach egzaminacyjnych bywają celowo zaburzone — trzeba je wyliczyć.

Osobna strona tego zadania z rozwiązaniem w obrazku →

Zadanie 3 (maj 2024)1 pkttrudniejsze

W trójkącie prostokątnym

ABC

(kąt prosty przy

A

) przyprostokątną

AC

wydłużono o 7 cm — do punktu

E

— a przyprostokątną

AB

wydłużono o 12 cm — do punktu

D

. Otrzymano trójkąt prostokątny równoramienny $ADE$ o polu równym 200 cm². Oceń prawdziwość podanych zdań.

Przyprostokątna trójkąta $ADE$ jest równa 20 cm.	P	F
Pole trójkąta $ABC$ jest równe 52 cm².	P	F

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P, P

Zdanie 1. Trójkąt $ADE$ jest prostokątny i równoramienny, więc obie jego przyprostokątne są równe: $\textcolor{#16A06A}{AE} = \textcolor{#16A06A}{AD}$ .
Z pola: $\tfrac12 \cdot \textcolor{#16A06A}{AE} \cdot \textcolor{#16A06A}{AD} = 200$ , czyli $\tfrac12 \textcolor{#16A06A}{AE}^2 = 200$ .
Stąd $\textcolor{#16A06A}{AE}^2 = 400$ , więc $\textcolor{#16A06A}{AE} = \textcolor{#16A06A}{AD} = 20$ cm ✓ — prawda.
Zdanie 2. Cofamy wydłużenia, żeby wrócić do małego trójkąta:
$AC = \textcolor{#16A06A}{AE} - \textcolor{#E0453A}{7} = 20 - \textcolor{#E0453A}{7} = \textcolor{#16A06A}{13}$ cm, $AB = \textcolor{#16A06A}{AD} - \textcolor{#E0453A}{12} = 20 - \textcolor{#E0453A}{12} = \textcolor{#16A06A}{8}$ cm.
Pole $ABC$ : $\tfrac12 \cdot \textcolor{#16A06A}{13} \cdot \textcolor{#16A06A}{8} = 52$ cm² ✓ — prawda.
Odpowiedzi: P, P.

💡 Wskazówka: „Prostokątny równoramienny” znaczy, że równe są przyprostokątne — nie przeciwprostokątna z przyprostokątną (to nigdy nie zachodzi).

⚠ Najczęstszy błąd: pominięcie $\tfrac12$ we wzorze na pole i przyjęcie $AE^2 = 200$ . Wychodzi wtedy $AE = \sqrt{200}$ , czyli liczba niewymierna — sygnał, że coś jest nie tak.

Osobna strona tego zadania z rozwiązaniem w obrazku →

Zadanie 4 (czerwiec 2020)1 pkttrudniejsze

Krótsza przekątna trapezu prostokątnego dzieli go na dwa trójkąty prostokątne równoramienne. Oceń prawdziwość podanych zdań.

Wysokość trapezu i krótsza podstawa trapezu mają taką samą długość.	P	F
Wysokość trapezu jest równa połowie dłuższej podstawy trapezu.	P	F

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P, P

Oznaczmy trapez $ABCD$ : $AB$ to dłuższa podstawa, $DC$ krótsza, a $AD$ — ramię prostopadłe do obu podstaw, czyli wysokość. Krótszą przekątną jest $AC$ .
Pierwszy trójkąt ( $ACD$ ). Ma kąt prosty przy $D$ , a skoro jest równoramienny, jego przyprostokątne są równe: $\textcolor{#16A06A}{AD} = \textcolor{#16A06A}{DC}$ .
To dokładnie treść pierwszego zdania: wysokość $=$ krótsza podstawa ✓ — prawda. Oznaczmy tę wspólną długość przez $\textcolor{#16A06A}{h}$ .
Przekątna: $\textcolor{#E0453A}{AC} = \textcolor{#16A06A}{h}\sqrt2$ (przeciwprostokątna trójkąta $45°$ – $45°$ – $90°$ ).
Drugi trójkąt ( $ABC$ ). Też prostokątny równoramienny, a jego przyprostokątnymi są $\textcolor{#E0453A}{AC}$ i $CB$ — kąt prosty leży więc przy $C$ .
Wtedy $AB$ jest przeciwprostokątną: $AB = \textcolor{#E0453A}{AC} \cdot \sqrt2 = \textcolor{#16A06A}{h}\sqrt2 \cdot \sqrt2 = 2\textcolor{#16A06A}{h}$ .
Drugie zdanie: wysokość $\textcolor{#16A06A}{h}$ to połowa z $2\textcolor{#16A06A}{h}$ ✓ — prawda.
Odpowiedzi: P, P.

💡 Wskazówka: Gdy w zadaniu nie ma żadnych liczb, wprowadź własną — tutaj $h$ . Wszystkie pozostałe długości wyrażą się przez nią i zdania da się sprawdzić algebraicznie.

⚠ Najczęstszy błąd: uznanie, że w drugim trójkącie kąt prosty jest przy $B$ . Wtedy $AC$ byłaby przeciwprostokątną i wyszłyby sprzeczne długości — warto sprawdzić, czy przyjęte założenie się „domyka”.

Osobna strona tego zadania z rozwiązaniem w obrazku →

Zadanie 5 (czerwiec 2020)1 pkttrudniejsze

W trójkącie prostokątnym o kącie ostrym

30°

suma długości krótszej przyprostokątnej i przeciwprostokątnej jest równa 12 cm. Dokończ zdanie.
Dłuższa przyprostokątna tego trójkąta ma długość

A. $4\sqrt{2}$ cm
B. $4\sqrt{3}$ cm
C. $6$ cm
D. $8$ cm

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Kluczowa własność trójkąta $30°$ – $60°$ – $90°$ : bok leżący naprzeciw kąta $30°$ jest równy połowie przeciwprostokątnej.
Oznaczmy przeciwprostokątną przez $\textcolor{#E0453A}{c}$ . Wtedy krótsza przyprostokątna to $\textcolor{#16A06A}{\dfrac{c}{2}}$ .
Z warunku zadania: $\textcolor{#16A06A}{\dfrac{\textcolor{#E0453A}{c}}{2}} + \textcolor{#E0453A}{c} = 12$ , czyli $\dfrac{3\textcolor{#E0453A}{c}}{2} = 12$ , więc $\textcolor{#E0453A}{c} = 8$ cm.
Krótsza przyprostokątna: $\textcolor{#16A06A}{4}$ cm.
Dłuższą przyprostokątną liczymy z Pitagorasa: $\sqrt{\textcolor{#E0453A}{8}^2 - \textcolor{#16A06A}{4}^2} = \sqrt{64 - 16} = \sqrt{48} = 4\sqrt3$ cm.
Odpowiedź B. (Można też wprost ze wzoru: $\dfrac{\textcolor{#E0453A}{c}\sqrt3}{2} = \dfrac{8\sqrt3}{2} = 4\sqrt3$ .)

💡 Wskazówka: Wyłączanie czynnika: $\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt3$ . Szukaj pod pierwiastkiem największego kwadratu doskonałego.

⚠ Najczęstszy błąd: przyjęcie, że krótsza przyprostokątna leży naprzeciw kąta $60°$ . Naprzeciw mniejszego kąta leży zawsze krótszy bok — to reguła warta zapamiętania.

Osobna strona tego zadania z rozwiązaniem w obrazku →

Zadanie 6 (kwiecień 2019)1 pktśrednie

Czworokąt

ABCD

zbudowano z dwóch trójkątów prostokątnych: trójkąta

ABD

z kątem prostym przy

A

oraz trójkąta

BCD

z kątem prostym przy

B

. Dane są długości boków

|AB| = |BC| = 1

oraz

|AD| = \sqrt{2}

. Dokończ zdanie.
Długość boku

CD

jest równa

A. $\sqrt{3}$
B. $2$
C. $3$
D. $2\sqrt{2}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Do celu prowadzi wspólny bok $BD$ — najpierw go wyznaczamy, potem używamy w drugim trójkącie.
Trójkąt $ABD$ (kąt prosty przy $A$ ): przyprostokątne to $\textcolor{#16A06A}{AB} = \textcolor{#16A06A}{1}$ i $\textcolor{#16A06A}{AD} = \textcolor{#16A06A}{\sqrt2}$ .
$\textcolor{#E0453A}{BD} = \sqrt{\textcolor{#16A06A}{1}^2 + \textcolor{#16A06A}{\sqrt2}^2} = \sqrt{1 + 2} = \textcolor{#E0453A}{\sqrt3}$ .
Trójkąt $BCD$ (kąt prosty przy $B$ ): teraz $\textcolor{#E0453A}{BD}$ staje się przyprostokątną, razem z $\textcolor{#16A06A}{BC} = \textcolor{#16A06A}{1}$ .
$CD = \sqrt{\textcolor{#E0453A}{\sqrt3}^2 + \textcolor{#16A06A}{1}^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt4 = 2$ .
Odpowiedź B.

💡 Wskazówka: Zwróć uwagę na zmianę roli odcinka $BD$ : w pierwszym trójkącie jest przeciwprostokątną, w drugim przyprostokątną. Decyduje o tym, gdzie leży kąt prosty.

⚠ Najczęstszy błąd: $\left(\sqrt2\right)^2 = 2\sqrt2$ albo $4$ . Podnosząc pierwiastek do kwadratu, po prostu zdejmujemy go: $\left(\sqrt2\right)^2 = 2$ .

Osobna strona tego zadania z rozwiązaniem w obrazku →

Zadanie 7 (grudzień 2017)1 pkttrudniejsze

Na bokach trójkąta prostokątnego

ABC

(kąt prosty przy

B

, kąt przy

A

równy

30°

) zaznaczono punkty

D

(na boku

AB

) i

E

(na boku

AC

). Odcinek

DE

jest prostopadły do $AB$ i dzieli trójkąt na trójkąt prostokątny

ADE

oraz czworokąt

DBCE

. Odcinek

AB

ma długość

4\sqrt{3}

cm, a odcinek

DE

— 3 cm. Dokończ zdanie.
Długość odcinka

EC

jest równa

A. $1$ cm
B. $\sqrt{3}$ cm
C. $2$ cm
D. $4$ cm
E. $3\sqrt{3}$ cm

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Odcinek $EC$ policzymy jako różnicę: $EC = AC - AE$ . Wyznaczamy więc obie przeciwprostokątne.
Mały trójkąt $ADE$ — prostokątny (kąt prosty przy $D$ ) z kątem $30°$ przy $A$ . Bok $\textcolor{#16A06A}{DE} = \textcolor{#16A06A}{3}$ cm leży naprzeciw kąta $30°$ , więc jest połową przeciwprostokątnej:
$\textcolor{#E0453A}{AE} = 2 \cdot \textcolor{#16A06A}{3} = \textcolor{#E0453A}{6}$ cm.
Duży trójkąt $ABC$ — prostokątny przy $B$ , kąt $30°$ przy $A$ . Znamy przyprostokątną $\textcolor{#16A06A}{AB} = \textcolor{#16A06A}{4\sqrt3}$ cm, leżącą naprzeciw kąta $60°$ .
W trójkącie $30°$ – $60°$ – $90°$ ten bok równa się $\dfrac{\textcolor{#E0453A}{c}\sqrt3}{2}$ , więc $\dfrac{\textcolor{#E0453A}{AC}\sqrt3}{2} = \textcolor{#16A06A}{4\sqrt3}$ , skąd $\textcolor{#E0453A}{AC} = \textcolor{#E0453A}{8}$ cm.
Różnica: $EC = \textcolor{#E0453A}{8} - \textcolor{#E0453A}{6} = 2$ cm — odpowiedź C.

💡 Wskazówka: Oba trójkąty mają te same kąty ( $30°$ , $60°$ , $90°$ ), więc są podobne. Można było też skorzystać ze skali: $AB : DE = 4\sqrt3 : 3$ … ale prościej policzyć każdy osobno z własności kąta $30°$ .

⚠ Najczęstszy błąd: potraktowanie $DE$ jako boku naprzeciw kąta $60°$ . Odcinek $DE$ jest prostopadły do $AB$ , więc w trójkącie $ADE$ leży naprzeciw kąta przy $A$ , czyli $30°$ .

Osobna strona tego zadania z rozwiązaniem w obrazku →

Zadanie 8 (kwiecień 2016, egzamin gimnazjalny)1 pkttrudniejsze

Ewa narysowała kwadrat o boku 1, prostokąt o bokach 2 i 1 oraz kąt prosty o wierzchołku

O

. Następnie od wierzchołka

O

odmierzyła na jednym ramieniu kąta odcinek

OA

o długości równej przekątnej kwadratu, a na drugim ramieniu — odcinek

OB

o długości równej przekątnej prostokąta. Dokończ zdanie.
Długość odcinka

AB

jest równa

A. $\sqrt{7}$
B. $\sqrt{2} + \sqrt{5}$
C. $\sqrt{5}$
D. $\sqrt{2} + \sqrt{3}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Krok 1 — przekątna kwadratu o boku 1. $\textcolor{#16A06A}{OA} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \textcolor{#16A06A}{\sqrt2}$ .
Krok 2 — przekątna prostokąta $2 \times 1$ . $\textcolor{#16A06A}{OB} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \textcolor{#16A06A}{\sqrt5}$ .
Krok 3 — odcinek $AB$ . Ramiona kąta prostego są prostopadłe, więc trójkąt $OAB$ jest prostokątny, a $\textcolor{#16A06A}{OA}$ i $\textcolor{#16A06A}{OB}$ to jego przyprostokątne.
$\textcolor{#E0453A}{AB} = \sqrt{\textcolor{#16A06A}{\sqrt2}^2 + \textcolor{#16A06A}{\sqrt5}^2} = \sqrt{2 + 5} = \sqrt7$ .
Odpowiedź A.

💡 Wskazówka: Pierwiastki znikają przy podnoszeniu do kwadratu, więc rachunek jest bardzo prosty: $2 + 5 = 7$ . To typowa konstrukcja zadań z pierwiastkami.

⚠ Najczęstszy błąd: dodanie pierwiastków ( $\sqrt2 + \sqrt5$ — kusząca odpowiedź B). Przeciwprostokątna nie jest sumą przyprostokątnych; sumują się dopiero ich kwadraty.

Osobna strona tego zadania z rozwiązaniem w obrazku →

Zadanie 9 (listopad 2012, egzamin gimnazjalny)1 pkttrudniejsze

W jakim stosunku można podzielić odcinek o długości 36 cm, aby z otrzymanych trzech odcinków zbudować trójkąt?

A. $1 : 2 : 6$
B. $1 : 3 : 5$
C. $2 : 3 : 4$
D. $2 : 3 : 7$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Kluczowa reguła — nierówność trójkąta: z trzech odcinków zbudujesz trójkąt tylko wtedy, gdy suma dwóch krótszych jest większa od najdłuższego.
Co ważne, wystarczy sprawdzić same liczby ze stosunku — nie trzeba liczyć długości w centymetrach.
A. $\textcolor{#16A06A}{1} + \textcolor{#16A06A}{2} = 3$ , a najdłuższy to $\textcolor{#E0453A}{6}$ . Skoro $3 < \textcolor{#E0453A}{6}$ ✗
B. $\textcolor{#16A06A}{1} + \textcolor{#16A06A}{3} = 4$ , a najdłuższy $\textcolor{#E0453A}{5}$ . Skoro $4 < \textcolor{#E0453A}{5}$ ✗
C. $\textcolor{#16A06A}{2} + \textcolor{#16A06A}{3} = 5$ , a najdłuższy $\textcolor{#E0453A}{4}$ . Skoro $5 > \textcolor{#E0453A}{4}$ ✓ — da się zbudować
D. $\textcolor{#16A06A}{2} + \textcolor{#16A06A}{3} = 5$ , a najdłuższy $\textcolor{#E0453A}{7}$ . Skoro $5 < \textcolor{#E0453A}{7}$ ✗
Odpowiedź C. (Dla porządku: odcinki miałyby $8$ , $12$ i $16$ cm.)

💡 Wskazówka: Ponieważ wszystkie części skalują się tym samym czynnikiem, nierówność trójkąta można sprawdzać wprost na liczbach ze stosunku. To ogromna oszczędność czasu.

⚠ Najczęstszy błąd: sprawdzanie tylko, czy części sumują się do 36. Każdy z podanych stosunków to spełnia — o wyniku decyduje wyłącznie nierówność trójkąta.

Osobna strona tego zadania z rozwiązaniem w obrazku →

Zadanie 10 (listopad 2012, egzamin gimnazjalny)1 pkttrudniejsze

Dany jest trapez prostokątny

ABCD

o podstawach długości 22 cm (

AB

) i 10 cm (

DC

) oraz wysokości 5 cm (ramię

AD

, prostopadłe do podstaw). Odcinek

AC

jest przekątną tego trapezu. Oceń prawdziwość podanych zdań.

Trójkąt $ABC$ jest równoramienny.	P	F
Bok $BC$ ma długość 12 cm.	P	F

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: F, F

Wyznaczamy oba brakujące boki, korzystając dwukrotnie z twierdzenia Pitagorasa.
Przekątna $AC$ . Tworzy trójkąt prostokątny z bokami $AD = \textcolor{#16A06A}{5}$ i $DC = \textcolor{#16A06A}{10}$ :
$\textcolor{#E0453A}{AC} = \sqrt{\textcolor{#16A06A}{5}^2 + \textcolor{#16A06A}{10}^2} = \sqrt{125} = 5\sqrt5 \approx \textcolor{#E0453A}{11{,}2}$ cm.
Ramię $BC$ . Jego rzut na dolną podstawę to różnica podstaw: $22 - 10 = \textcolor{#16A06A}{12}$ cm, a wysokość to $\textcolor{#16A06A}{5}$ cm:
$\textcolor{#E0453A}{BC} = \sqrt{\textcolor{#16A06A}{12}^2 + \textcolor{#16A06A}{5}^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = \textcolor{#E0453A}{13}$ cm.
Zdanie 1. Boki trójkąta $ABC$ : $AB = 22$ , $\textcolor{#E0453A}{AC} \approx 11{,}2$ , $\textcolor{#E0453A}{BC} = 13$ — wszystkie różne, więc trójkąt nie jest równoramienny — fałsz.
Zdanie 2. $\textcolor{#E0453A}{BC} = 13$ cm, a nie 12 cm — fałsz.
Odpowiedzi: F, F.

💡 Wskazówka: Liczba 12 w tym zadaniu to rzut ramienia na podstawę (różnica podstaw), a nie samo ramię. Razem z wysokością 5 daje znajomą trójkę $5$ – $12$ – $13$ .

⚠ Najczęstszy błąd w zdaniu 2: podanie 12 cm — czyli właśnie różnicy podstaw. To przyprostokątna, a $BC$ jest przeciwprostokątną, więc musi być dłuższa.

Osobna strona tego zadania z rozwiązaniem w obrazku →

Zadania otwarte

Zadanie 11 (styczeń 2026)3 pkttrudniejsze

W rombie

ABCD

poprowadzono przekątną

BD

oraz wysokość opuszczoną z wierzchołka

D

na bok

AB

. Długość boku tego rombu jest równa 10 cm, a długość przekątnej

BD

— 12 cm. Oblicz wysokość rombu poprowadzoną z wierzchołka

D

na bok

AB

. Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 9,6 cm

Cały pomysł polega na policzeniu pola rombu dwoma sposobami i przyrównaniu wyników.
Sposób pierwszy — z przekątnych. Najpierw wyznaczamy drugą przekątną. Przekątne rombu przecinają się pod kątem prostym i dzielą na połowy, więc połowa $BD$ to $\textcolor{#16A06A}{6}$ cm.
Połowa przekątnej $AC$ : $\sqrt{\textcolor{#E0453A}{10}^2 - \textcolor{#16A06A}{6}^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = \textcolor{#16A06A}{8}$ cm, czyli $AC = \textcolor{#16A06A}{16}$ cm.
Pole: $P = \dfrac{12 \cdot \textcolor{#16A06A}{16}}{2} = \textcolor{#16A06A}{96}$ cm².
Sposób drugi — podstawa razy wysokość. $P = AB \cdot h = \textcolor{#E0453A}{10} \cdot h$ .
Przyrównujemy: $\textcolor{#E0453A}{10} \cdot h = \textcolor{#16A06A}{96}$ , skąd $h = 9{,}6$ cm.
Odpowiedź: wysokość rombu wynosi 9,6 cm.
Kontrola sensu: wysokość musi być krótsza od boku ( $9{,}6 < \textcolor{#E0453A}{10}$ ) ✓

💡 Wskazówka: Romb ma dwa niezależne wzory na pole — z przekątnych i „podstawa razy wysokość”. Przyrównanie ich to standardowy sposób na wyznaczenie wysokości.

⚠ Najczęstszy błąd: przyjęcie, że wysokość rombu równa się połowie przekątnej (8 cm). Wysokość jest prostopadła do boku, a nie do drugiej przekątnej.

Osobna strona tego zadania z rozwiązaniem w obrazku →

Zadanie 12 (maj 2024)3 pkttrudniejsze

Prostokąt

ABCD

podzielono na trzy trójkąty:

AED

ACE

ABC

(punkt

E

leży na boku

DC

). Podano, że

DE = 15

cm oraz

AD = 20

cm. W trójkącie

ACE

zaznaczono dwa kąty o takiej samej mierze $\alpha$ : przy wierzchołku

A

(kąt

EAC

) oraz przy wierzchołku

C

(kąt

ACE

). Oblicz pole trapezu

ABCE

. Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 650 cm²

Krok 1 — odcinek $AE$ . Trójkąt $AED$ jest prostokątny (kąt prosty przy narożniku $D$ ):
$\textcolor{#E0453A}{AE} = \sqrt{\textcolor{#16A06A}{15}^2 + \textcolor{#16A06A}{20}^2} = \sqrt{225 + 400} = \sqrt{625} = \textcolor{#E0453A}{25}$ cm.
Krok 2 — odcinek $EC$ . W trójkącie $ACE$ dwa kąty są równe ( $\alpha$ przy $A$ i przy $C$ ), więc jest on równoramienny.
Równe kąty leżą naprzeciw równych boków, zatem $EC = \textcolor{#E0453A}{AE} = \textcolor{#E0453A}{25}$ cm.
Krok 3 — bok prostokąta. $DC = \textcolor{#16A06A}{DE} + EC = \textcolor{#16A06A}{15} + \textcolor{#E0453A}{25} = \textcolor{#16A06A}{40}$ cm, a więc również $AB = \textcolor{#16A06A}{40}$ cm.
Krok 4 — pole trapezu $ABCE$ . Podstawy: $AB = \textcolor{#16A06A}{40}$ i $EC = \textcolor{#E0453A}{25}$ ; wysokość to bok $AD = \textcolor{#16A06A}{20}$ cm.
$P = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{40} + \textcolor{#E0453A}{25}}{2} \cdot \textcolor{#16A06A}{20} = 32{,}5 \cdot \textcolor{#16A06A}{20} = 650$ cm².
Odpowiedź: pole trapezu $ABCE$ wynosi 650 cm².

💡 Wskazówka: Zaznaczenie dwóch równych kątów to zawsze podpowiedź: trójkąt jest równoramienny. A stąd od razu wiadomo, które boki są równe.

⚠ Najczęstszy błąd: przyjęcie $EC = 15$ cm (czyli że $E$ jest środkiem boku $DC$ ). Nic tego nie gwarantuje — o długości $EC$ decydują dopiero równe kąty.

Osobna strona tego zadania z rozwiązaniem w obrazku →

Zadanie 13 (maj 2023)3 pkttrudniejsze

W czworokącie

ABCD

o polu 48 cm² przekątna

AC

ma długość 8 cm i dzieli ten czworokąt na dwa trójkąty:

ABC

ACD

. Wysokość trójkąta

ACD

poprowadzona z wierzchołka

D

do prostej

AC

jest równa 2 cm. Oblicz wysokość trójkąta

ABC

poprowadzoną z wierzchołka

B

do prostej

AC

. Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 10 cm

Oba trójkąty mają wspólną podstawę — przekątną $\textcolor{#16A06A}{AC} = \textcolor{#16A06A}{8}$ cm. Różnią się tylko wysokościami.
Krok 1 — pole trójkąta $ACD$ . $P_{ACD} = \tfrac12 \cdot \textcolor{#16A06A}{8} \cdot \textcolor{#E0453A}{2} = \textcolor{#16A06A}{8}$ cm².
Krok 2 — pole trójkąta $ABC$ . To reszta czworokąta: $48 - \textcolor{#16A06A}{8} = \textcolor{#16A06A}{40}$ cm².
Krok 3 — szukana wysokość. $\textcolor{#16A06A}{40} = \tfrac12 \cdot \textcolor{#16A06A}{8} \cdot \textcolor{#E0453A}{h}$ , czyli $\textcolor{#16A06A}{40} = 4\textcolor{#E0453A}{h}$ .
Stąd $\textcolor{#E0453A}{h} = 10$ cm.
Odpowiedź: wysokość trójkąta $ABC$ wynosi 10 cm.
Kontrola sensu: trójkąt $ABC$ ma pole pięć razy większe przy tej samej podstawie, więc i wysokość musi być pięć razy większa: $5 \cdot \textcolor{#E0453A}{2} = 10$ ✓

💡 Wskazówka: Gdy dwa trójkąty mają wspólną podstawę, ich pola są wprost proporcjonalne do wysokości. Można więc pominąć rachunki i od razu użyć stosunku pól.

⚠ Najczęstszy błąd: podzielenie pola czworokąta na pół i przyjęcie, że każdy trójkąt ma 24 cm². Przekątna dzieli czworokąt na równe części tylko w szczególnych przypadkach.

Osobna strona tego zadania z rozwiązaniem w obrazku →

Zadanie 14 (maj 2021)3 pkttrudniejsze

Dany jest prostokąt

ABCD

o wymiarach 12 cm i 16 cm. Odcinek

AC

jest przekątną tego prostokąta. Odcinek

DS

jest wysokością trójkąta

ACD

poprowadzoną na przekątną

AC

. Oblicz długość odcinka

DS

. Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 9,6 cm

Krok 1 — przekątna prostokąta. $\textcolor{#E0453A}{AC} = \sqrt{\textcolor{#16A06A}{12}^2 + \textcolor{#16A06A}{16}^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = \textcolor{#E0453A}{20}$ cm.
Krok 2 — pole trójkąta $ACD$ pierwszym sposobem. Trójkąt jest prostokątny (kąt prosty przy $D$ ), a jego przyprostokątne to boki prostokąta:
$P = \tfrac12 \cdot \textcolor{#16A06A}{12} \cdot \textcolor{#16A06A}{16} = \textcolor{#16A06A}{96}$ cm².
Krok 3 — to samo pole drugim sposobem. Bierzemy za podstawę przekątną $\textcolor{#E0453A}{AC}$ , a za wysokość szukany odcinek $DS$ :
$P = \tfrac12 \cdot \textcolor{#E0453A}{20} \cdot DS$ .
Krok 4 — przyrównujemy. $\tfrac12 \cdot \textcolor{#E0453A}{20} \cdot DS = \textcolor{#16A06A}{96}$ , czyli $10 \cdot DS = \textcolor{#16A06A}{96}$ , więc $DS = 9{,}6$ cm.
Odpowiedź: odcinek $DS$ ma długość 9,6 cm.

💡 Wskazówka: Uniwersalna metoda: policz pole raz „łatwą” parą podstawa–wysokość, drugi raz tą z niewiadomą, i przyrównaj. Działa przy każdej wysokości opuszczonej na nietypowy bok.

⚠ Najczęstszy błąd: przyjęcie, że $DS$ to połowa jednego z boków albo połowa przekątnej (10 cm). Wysokość na przeciwprostokątną jest zawsze krótsza od obu przyprostokątnych.

Osobna strona tego zadania z rozwiązaniem w obrazku →

Zadanie 15 (czerwiec 2020)2 pktśrednie

Czworokąt

ABCD

jest trapezem o podstawach

AB = 7

DC = 5

oraz wysokości 3. Podstawa

AB

została przedłużona do punktu

E

, tworząc trójkąt

BEC

(o tej samej wysokości, bo wierzchołek

C

leży na tej samej prostej co

D

). Pole trapezu

ABCD

jest trzy razy większe od pola trójkąta

BEC

. Oblicz długość odcinka

BE

. Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 4

Krok 1 — pole trapezu. $P_{ABCD} = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{7} + \textcolor{#16A06A}{5}}{2} \cdot \textcolor{#E0453A}{3} = 6 \cdot \textcolor{#E0453A}{3} = \textcolor{#16A06A}{18}$ .
Krok 2 — pole trójkąta. Jest trzy razy mniejsze: $\textcolor{#16A06A}{18} : 3 = \textcolor{#16A06A}{6}$ .
Krok 3 — szukany odcinek. Trójkąt $BEC$ ma podstawę $BE$ i tę samą wysokość $\textcolor{#E0453A}{3}$ (wierzchołek $C$ leży na prostej równoległej do $AE$ ):
$\textcolor{#16A06A}{6} = \tfrac12 \cdot BE \cdot \textcolor{#E0453A}{3}$ , czyli $\textcolor{#16A06A}{6} = 1{,}5 \cdot BE$ .
Stąd $BE = 4$ .
Odpowiedź: odcinek $BE$ ma długość 4.

💡 Wskazówka: Kluczowa obserwacja: trójkąt i trapez mają tę samą wysokość, bo wierzchołek $C$ leży na tej samej prostej co bok $DC$ . Bez tego zadania nie da się rozwiązać.

⚠ Najczęstszy błąd: pominięcie $\tfrac12$ we wzorze na pole trójkąta — wychodzi wtedy $BE = 2$ . Warto zapisać wzór w pełnej postaci, zanim się podstawi liczby.

Osobna strona tego zadania z rozwiązaniem w obrazku →

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. A	2. B	3. P, P	4. P, P	5. B	6. B
7. C	8. A	9. C	10. F, F	11. 9,6 cm	12. 650 cm²
13. 10 cm	14. 9,6 cm	15. 4

Treści zadań pochodzą z arkuszy egzaminu ósmoklasisty oraz z arkuszy egzaminu gimnazjalnego (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

Przed egzaminem: karty pracy i arkusze z kluczem

Wszystko na tej stronie zostaje darmowe. Do ćwiczeń na papierze: zestaw kart z tego tematu i arkusze egzaminacyjne z rozwiązaniami.

Płatny zestaw · sklep

Twierdzenie Pitagorasa, klasa 8 — 9 kart pracy PDF z kluczem

9 kart pracy z matematyki dla klasy 8: przeciwprostokątna i przyprostokątna, przekątne, wysokość trójkąta równobocznego, trójki…

7,90 zł

Zobacz w sklepie →

Płatny zestaw · sklep

Egzamin ósmoklasisty z matematyki – 5 arkuszy z rozwiązaniami, część 1

Pięć autorskich arkuszy z odpowiedziami, rozwiązaniami i punktowaniem. Każdy: 125 minut i 30 punktów. Dwa układy (116 i 46 stron), pięć…

24,90 zł

Zobacz w sklepie →

CODZIENNA POWTÓRKA
EGZAMIN ÓSMOKLASISTY

10 minut dziennie do egzaminu

Kartka na każdy dzień: zadania jak na egzaminie i klucz z wyjaśnieniem. 30 dni, PDF do druku.

Wszystko na tej stronie zostaje darmowe.

Okładka: 10 minut, matematyka, egzamin ósmoklasisty

MATEMATYKA
PO 10 MINUT

14,90 zł

Do koszyka → Zobacz próbkę dni 1–2

Okładka: 30 minut dziennie do egzaminu ósmoklasisty

3 PRZEDMIOTY
PO 30 MINUT

34,90 zł

Do koszyka → Zobacz próbkę dni 1–2

CODZIENNA POWTÓRKA · E8

10 minut dziennie do egzaminu

Kartka na każdy dzień: zadania jak na egzaminie i klucz z wyjaśnieniem. 30 dni, PDF do druku.

MATEMATYKA
PO 10 MINUT

14,90 zł

Do koszyka → Próbka dni 1–2

3 PRZEDMIOTY
PO 30 MINUT

34,90 zł

Do koszyka → Próbka dni 1–2

Pytania i odpowiedzi

Skąd wiadomo, który bok to przeciwprostokątna?

To bok leżący naprzeciw kąta prostego — nigdy nie jest jednym z ramion tego kąta. Jest też zawsze najdłuższym bokiem trójkąta, więc jeśli po obliczeniach wyszło inaczej, gdzieś jest błąd w podstawieniu.

Jak policzyć przekątną prostokąta?

Przekątna dzieli prostokąt na dwa trójkąty prostokątne, w których boki prostokąta są przyprostokątnymi. Dlatego $d = \sqrt{a^2 + b^2}$ . Dla kwadratu upraszcza się to do $a\sqrt2$ .

Jak sprawdzić, czy trójkąt jest prostokątny?

Podnieś do kwadratu wszystkie trzy boki. Jeśli suma kwadratów dwóch krótszych równa się kwadratowi najdłuższego, trójkąt jest prostokątny — to twierdzenie odwrotne do Pitagorasa. Na przykład $6$ , $8$ , $10$ : $36 + 64 = 100$ ✓.

Czy trzeba znać wzór na wysokość trójkąta równobocznego?

Nie trzeba, ale warto — oszczędza minutę. Bez wzoru wyprowadzisz go z Pitagorasa: wysokość dzieli trójkąt na połowy, więc $h^2 + \left(\tfrac{a}{2}\right)^2 = a^2$ , skąd $h = \dfrac{a\sqrt3}{2}$ .

Co zrobić, gdy w zadaniu nie ma rysunku?

Narysować samemu, choćby odręcznie. W zadaniach o trapezach i rombach rysunek jest połową rozwiązania: dopiero na nim widać, gdzie siedzi trójkąt prostokątny i który odcinek jest różnicą podstaw.

Kiedy liczyć pole dwoma sposobami?

Gdy szukasz wysokości opuszczonej na bok, którego długość potrafisz obliczyć, a samej wysokości nie da się wyliczyć wprost. Zapisujesz to samo pole dwa razy — raz z jedną parą podstawa-wysokość, raz z drugą — i przyrównujesz.

Czytaj dalej

Pola figur na egzaminie34 zadania — w siedmiu z nich wysokość trzeba najpierw policzyć Pitagorasem Obwody figur na egzaminieGdy brakuje boku, odzyskuje się go dokładnie tą samą metodą Pierwiastki na egzaminieSzacowanie i upraszczanie pierwiastków, które wychodzą z Pitagorasa Egzamin ósmoklasisty z matematykiJak zbudowany jest arkusz i jak się do niego przygotować

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-07-30. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

Twierdzenie Pitagorasa na egzaminie ósmoklasisty

Kiedy w ogóle sięgać po Pitagorasa

Przekątna kwadratu i przekątna prostokąta

Trójkąt 30-60-90 i trójkąt równoboczny

Wysokość w trapezie prostokątnym

Pole liczone dwoma sposobami

Przykłady krok po kroku

Najczęstsze błędy

Zadania z egzaminu ósmoklasisty — długości w figurach

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (czerwiec 2024)1 pktśrednie

Zadanie 2 (maj 2024)1 pkttrudniejsze

Zadanie 3 (maj 2024)1 pkttrudniejsze

Zadanie 4 (czerwiec 2020)1 pkttrudniejsze

Zadanie 5 (czerwiec 2020)1 pkttrudniejsze

Zadanie 6 (kwiecień 2019)1 pktśrednie

Zadanie 7 (grudzień 2017)1 pkttrudniejsze

Zadanie 8 (kwiecień 2016, egzamin gimnazjalny)1 pkttrudniejsze

Zadanie 9 (listopad 2012, egzamin gimnazjalny)1 pkttrudniejsze

Zadanie 10 (listopad 2012, egzamin gimnazjalny)1 pkttrudniejsze

Zadania otwarte

Zadanie 11 (styczeń 2026)3 pkttrudniejsze

Zadanie 12 (maj 2024)3 pkttrudniejsze

Zadanie 13 (maj 2023)3 pkttrudniejsze

Zadanie 14 (maj 2021)3 pkttrudniejsze

Zadanie 15 (czerwiec 2020)2 pktśrednie

Odpowiedzi

Przed egzaminem: karty pracy i arkusze z kluczem

Twierdzenie Pitagorasa, klasa 8 — 9 kart pracy PDF z kluczem

Egzamin ósmoklasisty z matematyki – 5 arkuszy z rozwiązaniami, część 1

Pytania i odpowiedzi

Czytaj dalej

Kolorowy kod

Połącz te same kolory

Koncentracja
krok po kroku