Egzamin ósmoklasisty 2020 z matematyki – odpowiedzi i rozwiązania

Odpowiedź: A, D

1. Krok 1 — cała trasa. $\textcolor{#16A06A}{26} + \textcolor{#16A06A}{27} + \textcolor{#16A06A}{21} + \textcolor{#16A06A}{31} = \textcolor{#E0453A}{105}$ km.
2. Pierwsze zdanie. Poniedziałek i wtorek: $\textcolor{#16A06A}{26} + \textcolor{#16A06A}{27} = 53$ km.
3. Połowa trasy to $\textcolor{#E0453A}{105} : 2 = 52{,}5$ km. Skoro $53 > 52{,}5$, przejechał więcej niż 50% — odpowiedź A.
4. Drugie zdanie. Środa to $\textcolor{#16A06A}{21}$ km ze $\textcolor{#E0453A}{105}$ km:
5. $\dfrac{\textcolor{#16A06A}{21}}{\textcolor{#E0453A}{105}} = \dfrac{1}{5}$   (bo $\textcolor{#E0453A}{105} = 5 \cdot \textcolor{#16A06A}{21}$) — odpowiedź D.

💡 Wskazówka: Zamiast liczyć procenty, porównaj wprost z połową sumy. A przy ułamku sprawdź po prostu, ile razy $21$ mieści się w $105$ — wychodzi równo 5.

⚠ Najczęstszy błąd w pierwszym zdaniu: porównanie „na oko”, bo $53$ i $52{,}5$ są bardzo blisko siebie. Tu trzeba policzyć dokładnie — zadanie jest tak ułożone, żeby szacowanie zawiodło.

Odpowiedź: D

1. Kolejność działań: najpierw mnożenie, dopiero potem odejmowanie.
2. $\dfrac{2}{7} \cdot \left(-\dfrac{3}{2}\right) = -\dfrac{6}{14} = -\dfrac{3}{7}$ (skracamy przez 2).
3. Wstawiamy do wyrażenia: $\dfrac{5}{7} - \left(-\dfrac{3}{7}\right)$.
4. Odejmowanie liczby ujemnej to dodawanie: $\dfrac{5}{7} + \dfrac{3}{7} = \dfrac{8}{7}$.
5. Odpowiedź D.

💡 Wskazówka: Skracaj przed mnożeniem: w $\tfrac{2}{7} \cdot \tfrac{3}{2}$ dwójki się skracają, zostaje od razu $\tfrac37$ — bez liczenia $\tfrac{6}{14}$.

⚠ Najczęstszy błąd: pominięcie podwójnego minusa i wykonanie odejmowania ($\tfrac57 - \tfrac37 = \tfrac27$ — kusząca odpowiedź C). „Minus razy minus daje plus” działa też przy odejmowaniu liczby ujemnej.

Odpowiedź: C

1. Liczba wszystkich części: $2 + 3 + 6 = \textcolor{#16A06A}{11}$.
2. Jedna część: $154\,000 : \textcolor{#16A06A}{11} = \textcolor{#E0453A}{14\,000}$ zł.
3. Janusz jest w środku stosunku, więc przypada mu 3 części: $3 \cdot \textcolor{#E0453A}{14\,000} = 42\,000$ zł.
4. Odpowiedź C.
5. Sprawdzenie: Adam $2 \cdot \textcolor{#E0453A}{14\,000} = 28\,000$ zł, Oskar $6 \cdot \textcolor{#E0453A}{14\,000} = 84\,000$ zł, a $28\,000 + 42\,000 + 84\,000 = 154\,000$ zł ✓

💡 Wskazówka: Zwróć uwagę, że wszystkie cztery odpowiedzi to poprawne wpłaty — tylko różnych osób. To typowa konstrukcja: A to jedna część (Adam), C to Janusz, D to Oskar.

⚠ Najczęstszy błąd: pomylenie kolejności i podanie kwoty Adama (28 000 zł) lub Oskara (84 000 zł). Warto podkreślić w treści, o kogo pyta zadanie.

Odpowiedź: P, P

1. Zaczynamy od wartości jednej działki. Między $S$ (druga kreska) a $W$ (piąta kreska) są $\textcolor{#E0453A}{3}$ działki, a wartość rośnie z 287 do 311, czyli o 24.
2. Jedna działka: $24 : \textcolor{#E0453A}{3} = \textcolor{#16A06A}{8}$.
3. Teraz odczytujemy pozostałe punkty. $R$ leży $\textcolor{#E0453A}{2}$ działki przed $S$: $R = 287 - \textcolor{#E0453A}{2} \cdot \textcolor{#16A06A}{8} = 287 - 16 = 271$.
4. $T$ leży $\textcolor{#E0453A}{1}$ działkę za $S$: $T = 287 + \textcolor{#16A06A}{8} = 295$.
5. Zdanie 1: $T - R = 295 - 271 = 24$ ✓ — prawda. (Widać to też od razu: $R$ i $T$ dzielą $\textcolor{#E0453A}{3}$ działki, czyli $3 \cdot \textcolor{#16A06A}{8} = 24$.)
6. Zdanie 2: $R = 271$ ✓ — prawda. Odpowiedzi: P, P.

💡 Wskazówka: Kiedy już znasz wartość działki, odległość między dowolnymi dwoma punktami liczysz jednym mnożeniem: liczba działek razy wartość działki. Nie trzeba wyznaczać obu współrzędnych.

⚠ Najczęstszy błąd: przyjęcie, że skoro $S$ i $W$ różnią się o 24, to o tyle samo różnią się dowolne dwa punkty. Odległość zależy od liczby działek — a między $S$ a $W$ są trzy, tak samo jak między $R$ a $T$ (stąd akurat ta sama wartość).

Odpowiedź: C

1. Cała trudność tkwi w ustaleniu, jaką drogę naprawdę pokonuje pociąg.
2. Śledźmy jeden punkt — czoło pociągu. Musi ono przejechać przez cały tunel (350 m), a potem jeszcze tyle, żeby ostatni wagon opuścił tunel — czyli dodatkowo całą długość pociągu (150 m).
3. Droga: $\textcolor{#16A06A}{350 + 150} = \textcolor{#16A06A}{500}$ m.
4. Czas: $t = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{500}}{20} = 25$ sekund.
5. Odpowiedź C.

💡 Wskazówka: Reguła dla pociągów, mostów i tuneli: droga = długość przeszkody + długość pociągu. Zawsze śledź jeden punkt (najlepiej czoło) od początku do końca zdarzenia.

⚠ Najczęstszy błąd: policzenie samego tunelu ($350 : 20 = 17{,}5$ s — kusząca odpowiedź B). To czas, po którym z tunelu wyjeżdża czoło, a nie cały pociąg.

Odpowiedź: B

1. Wymnażamy przez nawias: $\sqrt3 \cdot \sqrt{27} - \sqrt3 \cdot \sqrt{12}$.
2. Mnożenie pierwiastków: liczby pod pierwiastkiem mnożymy — $\sqrt3 \cdot \sqrt{27} = \sqrt{81} = 9$.
3. $\sqrt3 \cdot \sqrt{12} = \sqrt{36} = 6$.
4. Odejmujemy: $9 - 6 = 3$.

💡 Wskazówka: $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$ — to działa zawsze przy mnożeniu (w przeciwieństwie do dodawania).

⚠ Częsty błąd: odjęcie liczb pod pierwiastkiem w nawiasie ($27-12=15$) i otrzymanie $\sqrt{45}$ — odpowiedź C.

Odpowiedź: E

1. A: $\textcolor{#16A06A}{3}^{\textcolor{#E0453A}{1}} \cdot \textcolor{#16A06A}{3}^{\textcolor{#2F80D8}{14}} = 3^{15}$ ✓
2. B: $\textcolor{#16A06A}{3}^{\textcolor{#E0453A}{9}} \cdot \textcolor{#16A06A}{3}^{\textcolor{#2F80D8}{6}} = 3^{15}$ ✓
3. C: $9 = \textcolor{#16A06A}{3}^{2}$, więc $\textcolor{#16A06A}{3}^{\textcolor{#E0453A}{17}} : \textcolor{#16A06A}{3}^{\textcolor{#2F80D8}{2}} = 3^{15}$ ✓
4. D: $(\textcolor{#16A06A}{3}^{\textcolor{#E0453A}{5}})^{\textcolor{#2F80D8}{3}} = \textcolor{#16A06A}{3}^{\textcolor{#E0453A}{5} \cdot \textcolor{#2F80D8}{3}} = 3^{15}$ ✓
5. E: $9^{15} = (\textcolor{#16A06A}{3}^{2})^{15} = \textcolor{#16A06A}{3}^{\textcolor{#E0453A}{30}}$, więc $\textcolor{#16A06A}{3}^{\textcolor{#E0453A}{30}} : \textcolor{#16A06A}{3}^{\textcolor{#2F80D8}{1}} = 3^{29} \neq 3^{15}$ — to ta liczba.

💡 Wskazówka: W zadaniach „która NIE jest równa” sprawdzaj po kolei i zaznacz pierwszą, która odstaje.

⚠ Częsty błąd: uznanie $9^{15}$ za $3^{15}$ — a to $3^{30}$, czyli liczba ogromnie większa.

Odpowiedź: B

1. Najpierw sumujemy wszystkie wyniki: $200 + 205 + 202 + 206 + 208 + 198 + 202 = 1421$ cm.
2. Zawodników jest 7, więc średnia: $1421 : 7 = 203$ cm.
3. Teraz porównujemy każdy wynik z liczbą 203 i szukamy wyższych:
4. $205 > 203$ ✓, $206 > 203$ ✓, $208 > 203$ ✓ — to trzej zawodnicy (nr 2, 4 i 5).
5. Pozostali (200, 202, 198, 202) mają wynik niższy. Odpowiedź B.

💡 Wskazówka: Przy dużych, podobnych liczbach można liczyć „od 200”: $0+5+2+6+8-2+2 = 21$, czyli średnio $21:7 = 3$ powyżej 200 — średnia to 203.

⚠ Częsty błąd: policzenie zawodników z wynikiem nie mniejszym niż średnia. Pytanie brzmi „wyższy od średniej”, więc wynik równy średniej się nie liczy.

Odpowiedź: C

1. W rzędzie czterech kwadratów siatki ściany oddzielone jedną ścianą są przeciwległe: zamalowany trójkąt leży naprzeciw zamalowanego kwadratu, a zamalowane koło — naprzeciw pustego trójkąta.
2. Kwadraty nad i pod rzędem (puste koło i pusty kwadrat) też leżą naprzeciw siebie.
3. Na rysunku kostki widać trzy ściany ze wspólnym wierzchołkiem, więc nie może być wśród nich pary ścian przeciwległych.
4. A — puste koło i pusty kwadrat (para przeciwległa), odpada. B — zamalowane koło i pusty trójkąt, odpada. D — puste koło i pusty kwadrat, odpada.
5. Zostaje C: zamalowane koło, zamalowany trójkąt i pusty kwadrat — żadne dwie z tych ścian nie leżą naprzeciw siebie.

💡 Wskazówka: W siatce sześcianu ułożonej w rząd czterech kwadratów ściany oddzielone jedną ścianą są zawsze przeciwległe.

Odpowiedź: D

1. Uwalniamy $\textcolor{#16A06A}{x}$ krok po kroku — jest zamknięty w nawiasie, który jest mnożony przez $h$ i dzielony przez $2$.
2. Krok $\boldsymbol{1}$. Mnożymy obie strony przez $\textcolor{#E0453A}{2}$: $\textcolor{#E0453A}{2}P = (\textcolor{#16A06A}{x} + y) \cdot h$.
3. Krok $\boldsymbol{2}$. Dzielimy obie strony przez $\textcolor{#E0453A}{h}$: $\dfrac{\textcolor{#E0453A}{2}P}{\textcolor{#E0453A}{h}} = \textcolor{#16A06A}{x} + y$.
4. Krok $\boldsymbol{3}$. Odejmujemy $\textcolor{#E0453A}{y}$ od obu stron: $\textcolor{#16A06A}{x} = \dfrac{2P}{h} - \textcolor{#E0453A}{y}$.
5. Odpowiedź D.
6. Sprawdzenie na liczbach: dla $x = 3$, $y = 5$, $h = 4$ pole wynosi $\tfrac{8 \cdot 4}{2} = 16$. Wzór D daje $\tfrac{2 \cdot 16}{4} - 5 = 8 - 5 = 3$ ✓

💡 Wskazówka: Zawsze sprawdzaj przekształcony wzór na konkretnych liczbach — wymyśl prosty trapez, policz pole, a potem podstaw do swojego wzoru. Powinien oddać wyjściowe $x$.

⚠ Najczęstszy błąd: odejmowanie $y$ przed podzieleniem przez $h$ — wychodzi wtedy $x = \dfrac{2P - y}{h}$, czego nie ma wśród odpowiedzi. Odpowiedź B bierze się z podzielenia $P$ przez $2$ zamiast pomnożenia, a C — z pominięcia dzielenia przez $h$. Kolejność jest odwrotna: najpierw uwalniamy cały nawias, dopiero potem to, co w środku.

Odpowiedź: P, P

1. Zdanie 1. Krótsza przekątna łączy wierzchołki kątów rozwartych, a więc odcina trójkąt zawierający kąt ostry $\textcolor{#16A06A}{60°}$.
2. Ten trójkąt ma dwa boki równe bokom rombu ($\textcolor{#16A06A}{4}$ cm i $\textcolor{#16A06A}{4}$ cm), jest więc równoramienny, a kąt między nimi wynosi $\textcolor{#16A06A}{60°}$.
3. Kąty przy podstawie: $(180° - \textcolor{#16A06A}{60°}) : 2 = \textcolor{#16A06A}{60°}$ — wszystkie trzy kąty po $60°$, czyli trójkąt jest równoboczny ✓ — prawda.
4. Zdanie 2. Skoro romb składa się z dwóch trójkątów równobocznych o boku $\textcolor{#16A06A}{4}$ cm:
5. Pole jednego: $\dfrac{\textcolor{#16A06A}{4}^2\sqrt3}{4} = \dfrac{16\sqrt3}{4} = \textcolor{#E0453A}{4\sqrt3}$ cm².
6. Pole rombu: $2 \cdot \textcolor{#E0453A}{4\sqrt3} = 8\sqrt3$ cm² ✓ — prawda.
7. Odpowiedzi: P, P.

💡 Wskazówka: Romb o kącie $60°$ to bardzo wdzięczna figura — zawsze rozpada się na dwa trójkąty równoboczne. Warto rozpoznawać tę sytuację, bo omija liczenie przekątnych.

⚠ Najczęstszy błąd w zdaniu 1: przyjęcie, że to dłuższa przekątna daje trójkąty równoboczne. Dłuższa odcina trójkąty z kątem $120°$ — na pewno nie równoboczne.

Odpowiedź: A, D

1. Regułę najłatwiej znaleźć, licząc różnice między kolejnymi długościami:
2. $8 - 3 = \textcolor{#E0453A}{5}$,   $15 - 8 = \textcolor{#E0453A}{7}$,   $24 - 15 = \textcolor{#E0453A}{9}$.
3. Różnice rosną co 2, więc kolejne będą wynosić $\textcolor{#E0453A}{11}$, $\textcolor{#E0453A}{13}$, $\textcolor{#E0453A}{15}$, $\textcolor{#E0453A}{17}$.
4. Dopisujemy dalsze wyrazy: V $= 24 + \textcolor{#E0453A}{11} = \textcolor{#16A06A}{35}$,   VI $= \textcolor{#16A06A}{35} + \textcolor{#E0453A}{13} = \textcolor{#16A06A}{48}$,   VII $= \textcolor{#16A06A}{48} + \textcolor{#E0453A}{15} = \textcolor{#16A06A}{63}$,   VIII $= \textcolor{#16A06A}{63} + \textcolor{#E0453A}{17} = \textcolor{#16A06A}{80}$.
5. Pierwsze zdanie: długość 48 ma łamana numer VI — odpowiedź A.
6. Drugie zdanie: łamana VIII ma długość 80 — odpowiedź D. Razem: A, D.
7. Można też zauważyć wzór wprost: $n$-ta długość to $n(n+2)$ — sprawdźmy: $1 \cdot 3 = 3$, $2 \cdot 4 = 8$, $3 \cdot 5 = 15$, $4 \cdot 6 = 24$ ✓, a $8 \cdot 10 = 80$ ✓

💡 Wskazówka: Gdy nie widać reguły od razu, policz różnice między kolejnymi wyrazami. Jeśli i one nie są stałe — policz różnice różnic. Tutaj drugie różnice są równe 2, co zdradza zależność kwadratową.

⚠ Pułapka jest w pierwszym zdaniu: liczba 63 (odpowiedź C w drugim podpunkcie) to długość łamanej VII. Łatwo pomylić numery, gdy dopisuje się wyrazy w pośpiechu — warto wypisać je w słupku z numerami.

Odpowiedź: A

1. Każda oferta jest opisana inaczej — ułamkiem, procentem obniżki i słowami. Sprowadzamy wszystkie do jednej postaci: ile procent ceny płacimy.
2. Alfa — płacisz $\tfrac{2}{3}$ ceny, czyli $\textcolor{#16A06A}{66{,}(6)\%}$.
3. Beta — obniżka o $\textcolor{#E0453A}{30\%}$, więc płacisz $100\% - \textcolor{#E0453A}{30\%} = \textcolor{#16A06A}{70\%}$.
4. Gamma — „ścinamy ćwierć”, czyli obniżka o $\textcolor{#E0453A}{25\%}$, więc płacisz $\textcolor{#16A06A}{75\%}$.
5. Porównujemy, ile płacimy: $\textcolor{#16A06A}{66{,}(6)\%} < \textcolor{#16A06A}{70\%} < \textcolor{#16A06A}{75\%}$ — najmniej w sklepie Alfa.
6. Odpowiedź A.

💡 Wskazówka: Zawsze przelicz wszystkie oferty na to samo — najwygodniej na „ile procent ceny płacę”. Wtedy wystarczy porównać trzy liczby.

⚠ Dwie pułapki: (1) mieszanie „ile płacę” z „ile oszczędzam” — jeśli porównasz obniżki (33%, 30%, 25%), i tak wyjdzie Alfa, ale przy odrobinie nieuwagi łatwo odwrócić nierówność; (2) „ćwierć” to $25\%$, nie $40\%$ ani $14\%$.

Odpowiedź: D

1. Trójkąt $ADC$ ma trzy boki — wyznaczamy każdy z osobna.
2. Bok $AC$ to bok trójkąta równobocznego: $\textcolor{#16A06A}{10}$ cm.
3. Bok $AD$ — wysokość w trójkącie równobocznym pada w środek podstawy, więc $AD = \textcolor{#16A06A}{10} : 2 = \textcolor{#16A06A}{5}$ cm.
4. Bok $CD$ to wysokość: $\textcolor{#E0453A}{h} = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{10}\sqrt3}{2} = \textcolor{#E0453A}{5\sqrt3}$ cm.
5. Obwód: $\textcolor{#16A06A}{10} + \textcolor{#16A06A}{5} + \textcolor{#E0453A}{5\sqrt3} = (15 + 5\sqrt3)$ cm — odpowiedź D.

💡 Wskazówka: Wyrazów z pierwiastkiem nie łączymy z liczbami całkowitymi — $15$ i $5\sqrt3$ zostają osobno. To dwa różne „rodzaje” liczb, jak jabłka i gruszki.

⚠ Najczęstszy błąd: pominięcie boku $AC$ i podanie $(5 + 5\sqrt3)$ cm (kusząca odpowiedź C). Trójkąt $ADC$ ma trzy boki — łatwo zapomnieć o tym, który jest bokiem oryginalnego trójkąta.

Odpowiedź: A

1. Wzór na pole trójkąta: $P = \dfrac{1}{2} \cdot \text{podstawa} \cdot \text{wysokość}$ — ale podstawa i wysokość muszą do siebie pasować.
2. Wysokość $KN$ jest prostopadła do boku $LM$, więc odpowiadającą jej podstawą jest właśnie $\textcolor{#16A06A}{|LM|} = \textcolor{#16A06A}{2x}$.
3. Podstawiamy: $P = \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{#16A06A}{2x} \cdot \textcolor{#E0453A}{(k + 1)}$.
4. Dwójki się skracają: $P = x\textcolor{#E0453A}{(k+1)}$ — odpowiedź A.
5. Bok $|KL| = 2y$ jest tu rozpraszaczem — nie ma do niego podanej wysokości, więc do policzenia pola się nie przyda.

💡 Wskazówka: W zadaniach z polem trójkąta zawsze najpierw sprawdź, do którego boku jest prostopadła podana wysokość. Tylko ta para (bok + odpowiadająca mu wysokość) daje poprawne pole.

⚠ Dwa typowe błędy: $(1)$ użycie boku $|KL| = 2y$ zamiast $LM$ (odpowiedzi C i D); $(2)$ pominięcie mnożenia przez $\tfrac12$ i otrzymanie $2x(k+1)$ — kusząca odpowiedź B.

Odpowiedź: β = 90°

1. Krok 1 — zapisujemy założenie. Przyjmijmy, że $\textcolor{#16A06A}{\beta}$ jest większy z dwóch pozostałych kątów. Warunek z treści to:
2. $\textcolor{#16A06A}{\alpha} = \textcolor{#16A06A}{\beta} - \textcolor{#16A06A}{\gamma}$
3. Krok 2 — dopisujemy to, co zawsze prawdziwe. Suma kątów wewnętrznych trójkąta:
4. $\textcolor{#16A06A}{\alpha} + \textcolor{#16A06A}{\beta} + \textcolor{#16A06A}{\gamma} = 180°$
5. Krok 3 — podstawiamy pierwsze równanie do drugiego. W miejsce $\textcolor{#16A06A}{\alpha}$ wpisujemy $\textcolor{#16A06A}{\beta} - \textcolor{#16A06A}{\gamma}$:
6. $(\textcolor{#16A06A}{\beta} - \textcolor{#16A06A}{\gamma}) + \textcolor{#16A06A}{\beta} + \textcolor{#16A06A}{\gamma} = 180°$
7. Kąty $\textcolor{#16A06A}{\gamma}$ się redukują — i to jest sedno całego dowodu:
8. $2\textcolor{#16A06A}{\beta} = 180°$,   czyli   $\textcolor{#E0453A}{\beta} = \textcolor{#E0453A}{90°}$. ∎
9. Wniosek: jeden z kątów trójkąta ma miarę $90°$, więc trójkąt jest prostokątny — co należało uzasadnić.

💡 Wskazówka: Zwróć uwagę, że wynik nie zależy od konkretnych wartości $\alpha$ i $\gamma$ — kąt prosty wychodzi zawsze. Właśnie tym dowód różni się od zwykłego zadania rachunkowego.

⚠ Najczęstszy błąd: podstawienie przykładowych liczb (np. $\alpha = 30°$, $\gamma = 60°$, $\beta = 90°$) i uznanie tego za dowód. Jeden przykład niczego nie dowodzi — trzeba pokazać, że tak jest dla każdego takiego trójkąta.

Odpowiedź: 7 możliwości: (45,46), (45,44), (45,48), (45,42), (46,44), (46,48), (46,42)

1. Wypisujemy, co pasuje każdej z dziewczyn.
2. Edyta — przy oknie, czyli miejsce $\textcolor{#16A06A}{45}$ albo $\textcolor{#16A06A}{46}$ (dwie możliwości).
3. Agnieszka — przodem do kierunku jazdy, czyli cały rząd dolny: $\textcolor{#E0453A}{42}$, $\textcolor{#E0453A}{48}$, $\textcolor{#E0453A}{44}$, $\textcolor{#E0453A}{46}$ (cztery możliwości).
4. Rozpatrujemy przypadki, pamiętając, że nie mogą zająć tego samego miejsca.
5. Edyta na $\textcolor{#16A06A}{45}$ (rząd górny) — Agnieszka może usiąść na dowolnym z czterech: $\textcolor{#E0453A}{46}$, $\textcolor{#E0453A}{44}$, $\textcolor{#E0453A}{48}$, $\textcolor{#E0453A}{42}$ → 4 możliwości.
6. Edyta na $\textcolor{#16A06A}{46}$ — to miejsce jest w rzędzie dolnym, więc Agnieszce zostają trzy: $\textcolor{#E0453A}{44}$, $\textcolor{#E0453A}{48}$, $\textcolor{#E0453A}{42}$ → 3 możliwości.
7. Odpowiedź: jest 7 możliwości — (Edyta, Agnieszka): $(45,46)$, $(45,44)$, $(45,48)$, $(45,42)$, $(46,44)$, $(46,48)$, $(46,42)$.

💡 Wskazówka: Rozbij zadanie na przypadki według miejsca jednej osoby — tu Edyty, bo ma mniej opcji. W każdym przypadku policz, ile zostaje dla drugiej.

⚠ Najczęstszy błąd: policzenie $2 \cdot 4 = 8$ możliwości i pominięcie tego, że przy Edycie na miejscu 46 Agnieszka nie może zająć tego samego miejsca. Drugi błąd: podanie liczby zamiast wypisania wszystkich par — zadanie prosi o „wszystkie możliwości”.

Odpowiedź: 16 książek

1. Oznaczamy przez $\textcolor{#16A06A}{n}$ liczbę wszystkich nagród.
2. Książki to $\tfrac23$ całości: $\textcolor{#E0453A}{\dfrac{2}{3}n}$. Reszta to e-booki: $\textcolor{#E0453A}{\dfrac{1}{3}n}$.
3. Warunek: e-booków jest o 8 mniej niż książek, czyli różnica wynosi 8:
4. $\textcolor{#E0453A}{\dfrac{2}{3}\textcolor{#16A06A}{n}} - \textcolor{#E0453A}{\dfrac{1}{3}\textcolor{#16A06A}{n}} = 8$, czyli $\dfrac{1}{3}\textcolor{#16A06A}{n} = 8$.
5. Stąd $\textcolor{#16A06A}{n} = 24$ nagrody łącznie.
6. Książek: $\textcolor{#E0453A}{\dfrac{2}{3}} \cdot 24 = 16$.
7. Odpowiedź: kupiono 16 książek.
8. Sprawdzenie: e-booków było $24 - 16 = 8$, a $16 - 8 = 8$ ✓

💡 Wskazówka: Skoro książki to $\tfrac23$ całości, e-booki muszą być pozostałą $\tfrac13$. Ich różnica to więc dokładnie $\tfrac13$ całości — i to od razu daje rozwiązanie.

⚠ Najczęstszy błąd: podanie liczby wszystkich nagród (24) zamiast samych książek. Drugi błąd: potraktowanie $\tfrac23$ jako stosunku książek do e-booków, a nie do całości.

Odpowiedź: 462 poduszki

1. Krok 1 — ile było dni roboczych? Marzec ma 31 dni, a 1 marca wypadł w niedzielę.
2. Skoro 1 marca to niedziela, to soboty i niedziele wypadają 1, 7, 8, 14, 15, 21, 22, 28 i 29 marca — razem 9 dni wolnych.
3. Dni roboczych: $31 - 9 = \textcolor{#16A06A}{22}$.
4. Krok 2 — ile godzin pracy? Każdy dzień roboczy to $\textcolor{#E0453A}{7}$ godzin: $\textcolor{#16A06A}{22} \cdot \textcolor{#E0453A}{7} = \textcolor{#16A06A}{154}$ godziny.
5. Krok 3 — ile poduszek? W każdej godzinie szyto $\textcolor{#E0453A}{3}$ poduszki: $\textcolor{#16A06A}{154} \cdot \textcolor{#E0453A}{3} = 462$.
6. Odpowiedź: w marcu 2020 roku uszyto 462 poduszki.

💡 Wskazówka: Weekendy najłatwiej policzyć, wypisując daty sobót i niedziel. Skoro 1 marca to niedziela, soboty wypadają 7, 14, 21, 28, a niedziele 1, 8, 15, 22, 29 — cztery soboty i pięć niedziel.

⚠ Najczęstszy błąd: przyjęcie „4 tygodnie po 5 dni roboczych = 20 dni”. Marzec ma 31 dni, czyli ponad cztery tygodnie — trzeba doliczyć dni z niepełnego tygodnia (30 i 31 marca to poniedziałek i wtorek).

Odpowiedź: 652 zł

1. Krok 1 — pole boiska: $46 \cdot 30 = \textcolor{#16A06A}{1380}$ m².
2. Krok 2 — ile nasion? Na $\textcolor{#E0453A}{40}$ m² idzie 1 kg, więc $\textcolor{#16A06A}{1380} : \textcolor{#E0453A}{40} = \textcolor{#16A06A}{34{,}5}$ kg.
3. Krok 3 — ile worków? Worek ma $\textcolor{#E0453A}{10}$ kg: $\textcolor{#16A06A}{34{,}5} : \textcolor{#E0453A}{10} = 3{,}45$ worka.
4. Worków nie kupimy na ułamki, a nasion musi wystarczyć — zaokrąglamy więc w górę do 4 worków (3 worki dałyby tylko 30 kg, za mało).
5. Krok 4 — koszt: $4 \cdot 163 = 652$ zł.
6. Odpowiedź: zakup nasion kosztuje 652 zł.

💡 Wskazówka: W jednym zadaniu mogą wystąpić oba kierunki zaokrąglania. Tu w górę, bo nasion musi wystarczyć — inaczej niż przy „ile najwięcej można kupić”, gdzie zaokrągla się w dół.

⚠ Najczęstszy błąd: zaokrąglenie $3{,}45$ w dół do 3 worków (wyszłoby 489 zł) albo zapłacenie za 34,5 kg „na wagę”. Nasiona sprzedają tylko w całych workach.

Odpowiedź: $100{\text{cm}}^3$

1. Krok 1 — wysokość. Krawędź $H$, bok podstawy 5 cm i krawędź 13 cm tworzą ścianę boczną w kształcie trójkąta prostokątnego z kątem prostym przy podstawie.
2. Z twierdzenia Pitagorasa: $H^2+5^2=13^2$, czyli $H^2=169-25=144$ i $H=12$ cm.
3. Krok 2 — pole podstawy. $P_p=5^2=25$ cm².
4. Krok 3 — objętość. $V=\frac{1}{3}\cdot P_p\cdot H=\frac{1}{3}\cdot 25\cdot 12=100$ cm³.

💡 Wskazówka: Gdy krawędź boczna jest prostopadła do podstawy, to ona jest wysokością ostrosłupa — szukaj jej w trójkącie prostokątnym na ścianie bocznej.

⚠ Błąd: pominięcie $\frac{1}{3}$ we wzorze. Wynik 300 cm³ to objętość graniastosłupa o tej samej podstawie i wysokości.