Strona główna › Egzamin ósmoklasisty › Układ współrzędnych na egzaminie ósmoklasisty

Układ współrzędnych na egzaminie ósmoklasisty

Jedenaście zadań, każde z rysunkiem — i pięć z nich dotyczy jednej rzeczy: środka odcinka. To zagadnienie niesie prawie połowę działu, a występuje w dwóch wariantach: „znam końce, szukam środka” oraz odwrotnym, znacznie częściej mylonym. Reszta strony to odczyt współrzędnych, czwarty wierzchołek równoległoboku i przesunięcia.

Dział: Egzamin ósmoklasistyPoziom: klasa 7–8Zadań: 11 — 10 z egzaminu ósmoklasisty i 1 z egzaminu gimnazjalnego

Przejdź od razu do zadań (11) ↓

Odczytywanie współrzędnych punktu

Współrzędne zapisuje się zawsze w tej samej kolejności: najpierw pozioma, potem pionowa. Punkt (3,5)(3, 5) leży trzy jednostki w prawo i pięć w górę od początku układu.

Zamiana kolejności to najczęstszy błąd tego działu, bo punkty (3,5)(3, 5) i (5,3)(5, 3) leżą w zupełnie innych miejscach. Pomaga skojarzenie: najpierw idziemy wzdłuż korytarza, dopiero potem windą.

Znak współrzędnej mówi o kierunku. Ujemna pierwsza współrzędna oznacza ruch w lewo, ujemna druga — w dół.

Przed odczytem sprawdź podziałkę na obu osiach. Podobnie jak na osi liczbowej, jedna kratka nie musi oznaczać jedności — bywa wyskalowana co dwa albo co pięć, i to niezależnie na każdej osi.

Środek odcinka — wzór i intuicja

Współrzędne środka odcinka to średnie arytmetyczne odpowiednich współrzędnych jego końców.

S=(xA+xB2, yA+yB2)S = \left( \frac{x_A + x_B}{2},\ \frac{y_A + y_B}{2} \right)

Wzoru nie trzeba pamiętać, jeśli rozumie się intuicję: środek to punkt „w połowie drogi”, a połowa drogi między dwiema liczbami to ich średnia. Ta sama zasada, co przy średniej arytmetycznej.

Obie współrzędne liczy się niezależnie od siebie. Pierwsza współrzędna środka zależy wyłącznie od pierwszych współrzędnych końców i nie ma nic wspólnego z drugimi.

Kontrola: obie współrzędne środka muszą leżeć między odpowiednimi współrzędnymi końców. Jeśli któraś wypadła poza tym przedziałem, gdzieś jest błąd.

Znam środek i jeden koniec: gdzie jest drugi

Wariant odwrotny, obecny w dwóch zadaniach, i wyraźnie trudniejszy — bo odruch podpowiada tu złe działanie.

Najprostsze podejście jest wektorowe, choć bez słowa „wektor”: policz, o ile trzeba się przesunąć od znanego końca do środka, i wykonaj to samo przesunięcie jeszcze raz.

Jeśli od punktu A(1,2)A(1, 2) do środka S(4,6)S(4, 6) przechodzimy o +3+3 w poziomie i +4+4 w pionie, to drugi koniec leży o kolejne +3+3 i +4+4, czyli w punkcie (7,10)(7, 10).

Podejście rachunkowe daje to samo: druga współrzędna końca to podwojona współrzędna środka minus współrzędna znanego końca. Typowa pomyłka polega na odjęciu zamiast podwojenia — wychodzi wtedy punkt między AA a SS, a nie za SS.

Kontrola jest wbudowana: policz środek odcinka o wyznaczonych końcach i sprawdź, czy wyszedł podany punkt.

Czwarty wierzchołek równoległoboku

Zadanie podaje trzy wierzchołki i pyta o czwarty. Klucz: w równoległoboku przeciwległe boki są równoległe i równej długości, więc to samo przesunięcie prowadzi od jednego wierzchołka do drugiego po obu stronach figury.

Metoda praktyczna: znajdź przesunięcie od jednego znanego wierzchołka do sąsiedniego i zastosuj je do trzeciego wierzchołka.

Uwaga na to, że odpowiedź zależy od kolejności wierzchołków. Mając trzy punkty, można zbudować trzy różne równoległoboki — treść zadania albo rysunek zawsze rozstrzyga, o który chodzi.

Drugi sposób, bardziej odporny na pomyłki: przekątne równoległoboku przecinają się w połowie, więc środek jednej przekątnej jest środkiem drugiej. Stąd czwarty wierzchołek wyznacza się tak samo jak drugi koniec odcinka.

Przesunięcie punktu w układzie

Przesunięcie zmienia współrzędne w sposób całkowicie przewidywalny i niezależny dla każdej osi.

Ostatni punkt bywa zaskoczeniem, a wynika wprost z budowy układu: ruch wzdłuż jednej osi nie ma żadnego wpływu na położenie względem drugiej.

Przy zadaniach o odbiciu względem osi zmienia się znak jednej współrzędnej. Odbicie względem osi poziomej odwraca znak drugiej współrzędnej, względem pionowej — pierwszej.

Do liczenia długości odcinka ukośnego potrzebne jest już twierdzenie Pitagorasa: różnice współrzędnych są przyprostokątnymi, a szukany odcinek — przeciwprostokątną.

Przykłady krok po kroku

Cztery zadania krok po kroku: środek odcinka, wariant odwrotny, czwarty wierzchołek równoległoboku i przesunięcie punktu.

Przykład 1 Środek odcinka

Oblicz współrzędne środka odcinka o końcach A(2,3)A(2, 3) i B(8,7)B(8, 7).

  1. Pierwsza współrzędna środka: średnia pierwszych współrzędnych końców, czyli 2+82=5\dfrac{2+8}{2} = 5.
  2. Druga współrzędna: 3+72=5\dfrac{3+7}{2} = 5.
  3. Środek ma współrzędne S(5,5)S(5, 5).
  4. Kontrola: pierwsza współrzędna 5 leży między 2 a 8 ✓, druga 5 leży między 3 a 7 ✓
  5. Obie współrzędne liczyłem osobno — pierwsza nie zależy od drugich współrzędnych końców i odwrotnie.

Odpowiedź: Środek odcinka to punkt S(5,5)S(5, 5).

Przykład 2 Znam środek, szukam drugiego końca

Punkt S(4,6)S(4, 6) jest środkiem odcinka ABAB, a AA ma współrzędne (1,2)(1, 2). Wyznacz współrzędne punktu BB.

  1. Sprawdzam przesunięcie z AA do SS: w poziomie 4−1=34 - 1 = 3, w pionie 6−2=46 - 2 = 4.
  2. Środek leży w połowie, więc od SS do BB jest dokładnie takie samo przesunięcie.
  3. Pierwsza współrzędna BB: 4+3=74 + 3 = 7. Druga: 6+4=106 + 4 = 10.
  4. Punkt BB ma współrzędne (7,10)(7, 10).
  5. Kontrola: środek odcinka o końcach (1,2)(1,2) i (7,10)(7,10) to (1+72,2+102)=(4,6)\left(\dfrac{1+7}{2}, \dfrac{2+10}{2}\right) = (4, 6) ✓
  6. Odjęcie zamiast dodania dałoby punkt (1,2)(1, 2) — czyli z powrotem AA, co od razu widać jako bzdurę.

Odpowiedź: Punkt BB ma współrzędne (7,10)(7, 10).

Przykład 3 Czwarty wierzchołek równoległoboku

Trzy wierzchołki równoległoboku ABCDABCD to A(1,1)A(1,1), B(5,1)B(5,1) i C(6,4)C(6,4). Wyznacz współrzędne wierzchołka DD.

  1. W równoległoboku ABCDABCD bok ABAB jest równoległy i równy bokowi DCDC.
  2. Przesunięcie od AA do BB: w poziomie +4+4, w pionie 0.
  3. Takie samo przesunięcie prowadzi od DD do CC, więc DD leży o 4 w lewo od CC: D(6−4, 4−0)=D(2,4)D(6-4,\ 4-0) = D(2, 4).
  4. Kontrola przekątnymi: środek ACAC to (1+62,1+42)=(3,5; 2,5)\left(\dfrac{1+6}{2}, \dfrac{1+4}{2}\right) = (3{,}5;\ 2{,}5), środek BDBD to (5+22,1+42)=(3,5; 2,5)\left(\dfrac{5+2}{2}, \dfrac{1+4}{2}\right) = (3{,}5;\ 2{,}5) ✓
  5. Zgodność środków przekątnych potwierdza, że figura faktycznie jest równoległobokiem.

Odpowiedź: Wierzchołek DD ma współrzędne (2,4)(2, 4).

Przykład 4 Przesunięcie punktu

Punkt P(−3,5)P(-3, 5) przesunięto o 6 jednostek w prawo i 8 w dół. Jakie są współrzędne nowego punktu?

  1. Ruch w prawo zwiększa pierwszą współrzędną: −3+6=3-3 + 6 = 3.
  2. Ruch w dół zmniejsza drugą współrzędną: 5−8=−35 - 8 = -3.
  3. Nowy punkt ma współrzędne (3,−3)(3, -3).
  4. Kontrola kierunku: punkt przesunął się z drugiej ćwiartki do czwartej — pierwsza współrzędna z ujemnej stała się dodatnia, druga odwrotnie ✓
  5. Każda współrzędna zmieniła się niezależnie: ruch poziomy nie ruszył drugiej, a pionowy pierwszej.

Odpowiedź: Nowy punkt ma współrzędne (3,−3)(3, -3).

Najczęstsze błędy

Cztery błędy tego działu. Dwa pierwsze dotyczą zapisu i odczytu, dwa kolejne — wyznaczania punktów.

Zamiana kolejności współrzędnych

Skąd się bierze: Punkty o współrzędnych trzy i pięć oraz pięć i trzy leżą w zupełnie innych miejscach układu. Zapisanie ich w odwrotnej kolejności daje odpowiedź, która wygląda poprawnie, a wskazuje inny punkt.

Jak zrobić dobrze: Trzymaj się stałej kolejności: najpierw pozioma, potem pionowa. Pomaga skojarzenie z ruchem — najpierw idzie się korytarzem, dopiero potem jedzie windą.

Odjęcie zamiast podwojenia przy szukaniu drugiego końca

Skąd się bierze: Skoro środek leży między końcami, odruch podpowiada odejmowanie. Wychodzi wtedy punkt leżący między znanym końcem a środkiem, a nie po drugiej stronie środka — czyli nie ten, o który pyta zadanie.

Jak zrobić dobrze: Policz przesunięcie od znanego końca do środka i wykonaj je jeszcze raz, startując od środka. Kontrola jest wbudowana: policz środek odcinka o wyznaczonych końcach i sprawdź, czy wyszedł podany punkt.

Pominięcie podziałki osi

Skąd się bierze: Kratki w układzie nie zawsze odpowiadają jedności, a obie osie bywają wyskalowane różnie. Odczyt oparty na liczeniu kratek jest wtedy przeskalowany, choć sama metoda jest poprawna.

Jak zrobić dobrze: Zanim odczytasz cokolwiek, sprawdź opisane wartości na obu osiach osobno i ustal, ile wynosi jedna kratka na każdej z nich.

Zły czwarty wierzchołek przy niejasnej kolejności

Skąd się bierze: Mając trzy punkty, można zbudować trzy różne równoległoboki, zależnie od tego, które boki uznamy za przeciwległe. Odpowiedź bywa poprawna dla innej figury niż ta z rysunku.

Jak zrobić dobrze: Kolejność liter w nazwie figury mówi, jak połączone są wierzchołki — w równoległoboku ABCD bok AB jest przeciwległy do DC. Sprawdź wynik przekątnymi: ich środki muszą się pokrywać.

Zadania z arkuszy CKE — układ współrzędnych

Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminu ósmoklasisty (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem. W zestawie jest 1 zadanie z arkuszy egzaminu gimnazjalnego (do 2019 roku) — dokładamy je jako dodatkowe ćwiczenie tych samych umiejętności. Zakres gimnazjum był miejscami szerszy niż wymagania dla klas 7–8, dlatego każde takie zadanie jest podpisane osobno.

W całym dziale wraca jedna myśl: to samo przesunięcie działa w dwóch miejscach naraz. Dlatego zielone są współrzędne punktów danych — to, co po prostu odczytujemy — a czerwone jest przesunięcie: o ile w prawo i o ile w górę. To ono przenosi się z jednej pary punktów na drugą — w równoległoboku, przy szukaniu środka odcinka i przy przesuwaniu punktu. Gdy raz je zobaczysz na czerwono, resztę zadania robi się już bez wzorów.

Sprawdź się bez zaglądania do odpowiedzi. Dostaniesz wszystkie 8 zadań zamkniętych z tego zestawu — klucz i rozwiązania schowam do czasu sprawdzenia. To komplet zadań zamkniętych z tego działu, więc kolejne podejście będzie powtórką tych samych zadań.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (czerwiec 2025)1 pkttrudniejsze

W układzie współrzędnych (x,y)(x,y) zaznaczono kolejne wierzchołki A=(−3,−1)A = (-3,-1) i B=(1,−1)B = (1,-1) pewnego czworokąta ABCDABCD. Pozostałe wierzchołki mają współrzędne C=(3,yC)C = (3, y_C) oraz D=(−1,yD)D = (-1, y_D), gdzie yCy_C jest liczbą całkowitą dodatnią oraz yC=yDy_C = y_D. Oceń prawdziwość podanych zdań.
Wierzchołki A i B czworokąta ABCDxy011AB
Czworokąt ABCDABCD jest równoległobokiem.PF
Dla yC=yD=3y_C = y_D = 3 czworokąt ABCDABCD jest rombem.PF
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P, F

  1. Zdanie 1. Czworokąt jest równoległobokiem, gdy jedna para przeciwległych boków jest równoległa i równej długości. Wystarczy porównać przesunięcia.
  2. Z AA do BB: (+4, 0)\textcolor{#E0453A}{(+4, \ 0)}   (bo −3→1\textcolor{#16A06A}{-3} \to \textcolor{#16A06A}{1}, wysokość bez zmian).
  3. Z DD do CC: (+4, 0)\textcolor{#E0453A}{(+4, \ 0)}   (bo −1→3\textcolor{#16A06A}{-1} \to \textcolor{#16A06A}{3}, a yC=yDy_C = y_D).
  4. Przesunięcia są identyczne, więc ABAB i DCDC są równoległe i równe — czworokąt jest równoległobokiem, niezależnie od wartości yCy_C — prawda.
  5. Zdanie 2. W rombie wszystkie boki są równe. Dla yC=yD=3y_C = y_D = 3:
  6. ∣AB∣=4|AB| = \textcolor{#16A06A}{4}
  7. ∣BC∣=(3−1)2+(3−(−1))2=4+16=20≈4,47|BC| = \sqrt{(\textcolor{#16A06A}{3}-\textcolor{#16A06A}{1})^2 + (\textcolor{#16A06A}{3}-(\textcolor{#16A06A}{-1}))^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} \approx 4{,}47
  8. 4≠20\textcolor{#16A06A}{4} \neq \sqrt{20}, więc to nie jest romb — fałsz.
  9. Odpowiedzi: P, F.

💡 Wskazówka: Zamiast wzorów porównuj przesunięcia: „ile w prawo, ile w górę”. Jeśli z AA do BB idzie się tak samo jak z DD do CC, czworokąt na pewno jest równoległobokiem.

⚠ Najczęstszy błąd: uznanie, że skoro równoległobok „wygląda symetrycznie”, to musi być rombem. Romb wymaga równych boków, a nie tylko równoległych — trzeba je policzyć.

Zadanie 2 (maj 2025)1 pktśrednie

W układzie współrzędnych (x,y)(x,y) zaznaczono trzy punkty, które są wierzchołkami równoległoboku ABCDABCD: A=(−3,−2)A = (-3,-2), C=(4,2)C = (4,2), D=(−1,2)D = (-1,2). Współrzędna xx wierzchołka BB, niezaznaczonego na rysunku, jest liczbą dodatnią. Dokończ zdanie.
Niezaznaczony na rysunku wierzchołek BB tego równoległoboku ma współrzędne
Trzy wierzchołki równoległoboku ABCDxy011ACD
  • A. (4,−2)(4,-2)
  • B. (3,−2)(3,-2)
  • C. (2,−2)(2,-2)
  • D. (6,−2)(6,-2)
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

  1. W równoległoboku ABCDABCD boki ABAB i DCDC są równoległe i równe, więc przesunięcie z AA do BB jest takie samo jak z DD do CC.
  2. Krok 1 — wyznaczamy przesunięcie z DD do CC.
  3. w poziomie: 4−(−1)=+5\textcolor{#16A06A}{4} - (\textcolor{#16A06A}{-1}) = \textcolor{#E0453A}{+5}
  4. w pionie: 2−2=0\textcolor{#16A06A}{2} - \textcolor{#16A06A}{2} = \textcolor{#E0453A}{0}
  5. Krok 2 — stosujemy je do punktu AA.
  6. xB=−3+5=2x_B = \textcolor{#16A06A}{-3} + \textcolor{#E0453A}{5} = 2
  7. yB=−2+0=−2y_B = \textcolor{#16A06A}{-2} + \textcolor{#E0453A}{0} = -2
  8. Zatem B=(2,−2)B = (2, -2) — odpowiedź C. Współrzędna xx jest dodatnia ✓
  9. Sprawdzenie: przekątne równoległoboku dzielą się na połowy. Środek ACAC to (−3+42,−2+22)=(0,5; 0)\left(\tfrac{-3+4}{2}, \tfrac{-2+2}{2}\right) = (0{,}5;\ 0), a środek BDBD to (2−12,−2+22)=(0,5; 0)\left(\tfrac{2-1}{2}, \tfrac{-2+2}{2}\right) = (0{,}5;\ 0) ✓

💡 Wskazówka: Uważaj na kolejność liter: w czworokącie ABCDABCD bok ABAB leży naprzeciw boku CDCD. Dlatego przesunięcie A→BA \to B porównujemy z D→CD \to C, a nie z C→DC \to D.

⚠ Najczęstszy błąd: przyjęcie przesunięcia z CC do DD (czyli -5 zamiast +5+5) — wychodzi wtedy punkt (−8,−2)(-8,-2) o ujemnej współrzędnej xx. Warunek „xx dodatnia” jest w treści właśnie po to, żeby to wykluczyć.

Zadanie 3 (czerwiec 2024)1 pktłatwe

W układzie współrzędnych (x,y)(x,y) narysowano trapez EFGHEFGH o wierzchołkach E=(2,0)E = (2,0), F=(4,1)F = (4,1), G=(1,4)G = (1,4) oraz H=(0,2)H = (0,2). Dokończ zdanie.
Punkty o współrzędnych (1,4)(1,4) i (2,0)(2,0) to wierzchołki
Trapez EFGHxy011EFGH
  • A. GG i HH
  • B. GG i EE
  • C. FF i HH
  • D. FF i EE
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

  1. Wystarczy odczytać współrzędne i dopasować je do liter.
  2. (1,4)(\textcolor{#16A06A}{1}, \textcolor{#16A06A}{4}) — jedna jednostka w prawo, cztery w górę. To wierzchołek GG, ten najwyżej położony.
  3. (2,0)(\textcolor{#16A06A}{2}, \textcolor{#16A06A}{0}) — dwie jednostki w prawo, na samej osi xx. To wierzchołek EE.
  4. Odpowiedź B.
  5. Dla porządku: F=(4,1)F = (4,1), a H=(0,2)H = (0,2) leży na osi yy.

💡 Wskazówka: Kolejność jest zawsze ta sama: najpierw xx (w prawo), potem yy (w górę). Punkt (1,4)(1,4) to zupełnie co innego niż (4,1)(4,1) — i właśnie na tej zamianie zadanie łapie.

⚠ Najczęstszy błąd: odczytanie współrzędnych w odwrotnej kolejności i wskazanie FF zamiast GG. Pomaga zapamiętać: „najpierw idę korytarzem, potem windą”.

Zadanie 4 (maj 2024)1 pktłatwe

W układzie współrzędnych (x,y)(x,y) zaznaczono pięć punktów: P1=(−1,−2)P_1 = (-1,-2), P2=(3,1)P_2 = (3,1), P3=(−3,1)P_3 = (-3,1), P4=(2,2)P_4 = (2,2) oraz P5=(−2,2)P_5 = (-2,2). Dokończ zdanie.
Jeżeli współrzędną xx punktu P1P_1 zwiększymy o 4, a współrzędną yy tego punktu zwiększymy o 3, to otrzymamy współrzędne punktu
Punkty P₁–P₅xy011P₁P₂P₃P₄P₅
  • A. P2P_2
  • B. P3P_3
  • C. P4P_4
  • D. P5P_5
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

  1. Wykonujemy przesunięcie o (+4,+3)\textcolor{#E0453A}{(+4, +3)} — cztery w prawo i trzy w górę.
  2. xx: −1+4=3\textcolor{#16A06A}{-1} + \textcolor{#E0453A}{4} = 3
  3. yy: −2+3=1\textcolor{#16A06A}{-2} + \textcolor{#E0453A}{3} = 1
  4. Otrzymany punkt to (3,1)(3, 1), czyli P2P_2 — odpowiedź A.

💡 Wskazówka: Zamiast liczyć, można po prostu „przejść” po kratkach: z punktu P1P_1 cztery kratki w prawo i trzy w górę. Trafiasz dokładnie w P2P_2.

⚠ Najczęstszy błąd na liczbach ujemnych: −1+4=−5-1 + 4 = -5 albo −2+3=−5-2 + 3 = -5. Dodawanie liczby dodatniej przesuwa w prawo i w górę, więc wynik musi być większy od punktu wyjścia.

Zadanie 5 (marzec 2020)1 pkttrudniejsze

W układzie współrzędnych zaznaczono trójkąt ABCABC o wierzchołkach A=(4,1)A = (4,1), B=(−5,3)B = (-5,3), C=(1,−3)C = (1,-3) oraz punkt P=(−2,0)P = (-2,0) należący do boku BCBC. Oceń prawdziwość podanych zdań.
Trójkąt ABC z punktem P na boku BCxy011ABCP
Pole trójkąta PABPAB jest równe polu trójkąta PACPAC.PF
Pole trójkąta ABCABC jest równe 21.PF
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P, P

  1. Zdanie 1. Trójkąty PABPAB i PACPAC mają wspólny wierzchołek AA, a ich podstawy PBPB i PCPC leżą na tej samej prostej BCBC. Mają więc tę samą wysokość — o polach decydują wyłącznie długości podstaw.
  2. Sprawdźmy, czy PP jest środkiem BCBC:
  3. xx: −5+12=−2\dfrac{\textcolor{#16A06A}{-5} + \textcolor{#16A06A}{1}}{2} = \textcolor{#E0453A}{-2}    yy: 3+(−3)2=0\dfrac{\textcolor{#16A06A}{3} + (\textcolor{#16A06A}{-3})}{2} = \textcolor{#E0453A}{0}
  4. Środek BCBC to (−2,0)(\textcolor{#E0453A}{-2}, \textcolor{#E0453A}{0}), czyli dokładnie punkt PP ✓ Podstawy są równe, więc i pola są równe — prawda.
  5. Zdanie 2. Pole trójkąta ABCABC policzymy metodą „prostokąt minus trójkąty”.
  6. Najmniejszy prostokąt obejmujący trójkąt rozciąga się od x=−5x = \textcolor{#16A06A}{-5} do x=4x = \textcolor{#16A06A}{4} i od y=−3y = \textcolor{#16A06A}{-3} do y=3y = \textcolor{#16A06A}{3}, ma więc wymiary 9×6\textcolor{#E0453A}{9} \times \textcolor{#E0453A}{6} i pole 54\textcolor{#E0453A}{54}.
  7. Odcinamy trzy trójkąty prostokątne w narożnikach:
  8. przy BB: 12⋅6⋅6=18\tfrac12 \cdot 6 \cdot 6 = 18  •  przy CC: 12⋅3⋅4=6\tfrac12 \cdot 3 \cdot 4 = 6  •  przy AA: 12⋅9⋅2=9\tfrac12 \cdot 9 \cdot 2 = 9
  9. PABC=54−18−6−9=21P_{ABC} = \textcolor{#E0453A}{54} - 18 - 6 - 9 = 21 ✓ — prawda.
  10. Odpowiedzi: P, P.

💡 Wskazówka: Pole trójkąta o „krzywych” wierzchołkach najłatwiej policzyć, otaczając go prostokątem i odejmując trzy narożne trójkąty prostokątne. Wszystkie ich boki są pionowe albo poziome, więc odczytuje się je wprost z kratek.

⚠ Najczęstszy błąd w zdaniu 1: uznanie, że skoro trójkąty wyglądają różnie, mają różne pola. Przy wspólnej wysokości liczy się tylko długość podstawy — a tu PP dzieli BCBC dokładnie na pół.

Zadanie 6 (czerwiec 2019)1 pktśrednie

Dane są punkty o współrzędnych: A=(2,1)A = (2,1), B=(4,9)B = (4,9), C=(−2,5)C = (-2,5), D=(8,5)D = (8,5). Oceń prawdziwość podanych zdań.
Odcinki AB i CDxy011ABCD
Środek odcinka ABAB ma współrzędne (3,5)(3,5).PF
Środek odcinka ABAB jest także środkiem odcinka CDCD.PF
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P, P

  1. Współrzędne środka odcinka to średnie arytmetyczne współrzędnych jego końców.
  2. Zdanie 1 — środek ABAB.
  3. x=2+42=3x = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{2} + \textcolor{#16A06A}{4}}{2} = \textcolor{#E0453A}{3}    y=1+92=5y = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{1} + \textcolor{#16A06A}{9}}{2} = \textcolor{#E0453A}{5}
  4. Środek to (3,5)(\textcolor{#E0453A}{3}, \textcolor{#E0453A}{5}) ✓ — prawda.
  5. Zdanie 2 — środek CDCD.
  6. x=−2+82=3x = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{-2} + \textcolor{#16A06A}{8}}{2} = \textcolor{#E0453A}{3}    y=5+52=5y = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{5} + \textcolor{#16A06A}{5}}{2} = \textcolor{#E0453A}{5}
  7. Wychodzi ten sam punkt (3,5)(\textcolor{#E0453A}{3}, \textcolor{#E0453A}{5}) ✓ — prawda.
  8. Odpowiedzi: P, P.
  9. Ciekawostka: skoro odcinki ABAB i CDCD mają wspólny środek, to czworokąt ACBDACBD jest równoległobokiem — przekątne dzielą się w nim na połowy.

💡 Wskazówka: Wzór na środek: S=(x1+x22, y1+y22)S = \left(\dfrac{x_1+x_2}{2},\ \dfrac{y_1+y_2}{2}\right). Każdą współrzędną liczy się osobno — iksy z iksami, igreki z igrekami.

⚠ Najczęstszy błąd: odejmowanie współrzędnych zamiast dodawania (to wzór na przesunięcie, nie na środek) albo mieszanie xx jednego punktu z yy drugiego.

Zadanie 7 (czerwiec 2019)1 pktśrednie

W prostokątnym układzie współrzędnych zaznaczono wierzchołki trójkąta prostokątnego ABCABC: A=(−2,−2)A = (-2,-2), B=(3,−2)B = (3,-2) oraz C=(−2,6)C = (-2,6). Kąt prosty jest przy wierzchołku AA. Dokończ zdanie.
Przeciwprostokątna trójkąta ABCABC ma długość
Trójkąt prostokątny ABCxy011ABC
  • A. 39\sqrt{39}
  • B. 10
  • C. 89\sqrt{89}
  • D. 13
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

  1. Krok 1 — przyprostokątne. Obie są równoległe do osi, więc długości odczytujemy wprost z kratek.
  2. AB\textcolor{#16A06A}{AB} jest pozioma (AA i BB mają tę samą wysokość -2): ∣AB∣=3−(−2)=5|\textcolor{#16A06A}{AB}| = 3 - (-2) = \textcolor{#16A06A}{5}.
  3. AC\textcolor{#16A06A}{AC} jest pionowa (AA i CC mają ten sam x=−2x = -2): ∣AC∣=6−(−2)=8|\textcolor{#16A06A}{AC}| = 6 - (-2) = \textcolor{#16A06A}{8}.
  4. Krok 2 — przeciwprostokątna. Leży naprzeciw kąta prostego, czyli jest to bok BC\textcolor{#E0453A}{BC}:
  5. ∣BC∣=52+82=25+64=89|\textcolor{#E0453A}{BC}| = \sqrt{\textcolor{#16A06A}{5}^2 + \textcolor{#16A06A}{8}^2} = \sqrt{25 + 64} = \sqrt{89}.
  6. Odpowiedź C.

💡 Wskazówka: 89\sqrt{89} nie da się uprościć (89 jest liczbą pierwszą), więc zostawiamy wynik pod pierwiastkiem. Dla orientacji: 89≈9,4\sqrt{89} \approx 9{,}4 — czyli więcej niż każda z przyprostokątnych ✓

⚠ Najczęstszy błąd: policzenie różnic bez uwzględnienia znaków, np. ∣AC∣=6−2=4|AC| = 6 - 2 = 4. Przy przechodzeniu przez zero odległość to suma obu kawałków: 6 w górę od osi i 2 w dół.

Zadanie 8 (kwiecień 2019)1 pktśrednie

W układzie współrzędnych wyznaczono odcinek o końcach w punktach KK i LL. Punkty te mają współrzędne K=(−17,6)K = (-17,6) oraz L=(15,−4)L = (15,-4). W której ćwiartce układu współrzędnych leży środek odcinka KLKL?
Ćwiartki układu współrzędnych xy IIIIIIIV środek odcinka KL
  • A. W pierwszej — na prawo od osi yy i powyżej osi xx.
  • B. W drugiej — na lewo od osi yy i powyżej osi xx.
  • C. W trzeciej — na lewo od osi yy i poniżej osi xx.
  • D. W czwartej — na prawo od osi yy i poniżej osi xx.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

  1. Wystarczy policzyć środek i sprawdzić znaki jego współrzędnych.
  2. x=−17+152=−22=−1x = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{-17} + \textcolor{#16A06A}{15}}{2} = \dfrac{-2}{2} = \textcolor{#E0453A}{-1}
  3. y=6+(−4)2=22=1y = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{6} + (\textcolor{#16A06A}{-4})}{2} = \dfrac{2}{2} = \textcolor{#E0453A}{1}
  4. Środek to (−1,1)(\textcolor{#E0453A}{-1}, \textcolor{#E0453A}{1}): współrzędna xx jest ujemna (czyli na lewo od osi yy), a yy dodatnia (powyżej osi xx).
  5. To druga ćwiartka — odpowiedź B.

💡 Wskazówka: Do rozstrzygnięcia ćwiartki wystarczą same znaki — dokładne wartości nie są potrzebne. Ćwiartki numeruje się przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, zaczynając od prawej górnej.

⚠ Najczęstszy błąd: pomyłka w dodawaniu liczb różnych znaków, np. −17+15=−32-17 + 15 = -32. Warto myśleć o tym jak o długu: mam dług 17, spłacam 15, zostaje dług 2.

Zadanie 9 (grudzień 2018)1 pktśrednie

W układzie współrzędnych zaznaczono dwa punkty: A=(−8,−4)A = (-8,-4) i P=(−2,2)P = (-2,2). Punkt PP jest środkiem odcinka ABAB. Jakie współrzędne ma punkt BB?
Punkty A i P (P — środek odcinka AB)xy011AP
  • A. (4,8)(4,8)
  • B. (−10,−2)(-10,-2)
  • C. (−10,8)(-10,8)
  • D. (4,−2)(4,-2)
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

  1. Skoro PP jest środkiem, to droga z AA do PP i z PP do BB to to samo przesunięcie.
  2. Krok 1 — przesunięcie z AA do PP.
  3. w poziomie: −2−(−8)=+6\textcolor{#16A06A}{-2} - (\textcolor{#16A06A}{-8}) = \textcolor{#E0453A}{+6}    w pionie: 2−(−4)=+6\textcolor{#16A06A}{2} - (\textcolor{#16A06A}{-4}) = \textcolor{#E0453A}{+6}
  4. Krok 2 — powtarzamy je z punktu PP.
  5. xB=−2+6=4x_B = \textcolor{#16A06A}{-2} + \textcolor{#E0453A}{6} = 4    yB=2+6=8y_B = \textcolor{#16A06A}{2} + \textcolor{#E0453A}{6} = 8
  6. Zatem B=(4,8)B = (4, 8) — odpowiedź A.
  7. Sprawdzenie: środek odcinka od (−8,−4)(-8,-4) do (4,8)(4,8) to (−8+42,−4+82)=(−2,2)\left(\tfrac{-8+4}{2}, \tfrac{-4+8}{2}\right) = (-2, 2) ✓

💡 Wskazówka: Można też wprost ze wzoru: B=2P−AB = 2P - A, czyli xB=2⋅(−2)−(−8)=4x_B = 2 \cdot (-2) - (-8) = 4 i yB=2⋅2−(−4)=8y_B = 2 \cdot 2 - (-4) = 8. Wychodzi to samo.

⚠ Najczęstszy błąd: przesunięcie w złą stronę — od PP z powrotem w kierunku AA (wychodzi wtedy (−10,−2)(-10,-2), odpowiedź B). Punkt BB leży po przeciwnej stronie środka niż AA.

Zadanie 10 (grudzień 2017)1 pktśrednie

Punkt S=(3,2)S = (3,2) jest środkiem odcinka ABAB, w którym A=(5,5)A = (5,5). Dokończ zdanie.
Punkt BB ma współrzędne
Punkty A i S (S — środek odcinka AB)xy011AS
  • A. (8,7)(8,7)
  • B. (7,8)(7,8)
  • C. (−1,1)(-1,1)
  • D. (1,−1)(1,-1)
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

  1. Krok 1 — przesunięcie z AA do SS.
  2. w poziomie: 3−5=−2\textcolor{#16A06A}{3} - \textcolor{#16A06A}{5} = \textcolor{#E0453A}{-2}    w pionie: 2−5=−3\textcolor{#16A06A}{2} - \textcolor{#16A06A}{5} = \textcolor{#E0453A}{-3}
  3. Idziemy więc dwie kratki w lewo i trzy w dół.
  4. Krok 2 — z SS powtarzamy to samo przesunięcie.
  5. xB=3+(−2)=1x_B = \textcolor{#16A06A}{3} + (\textcolor{#E0453A}{-2}) = 1    yB=2+(−3)=−1y_B = \textcolor{#16A06A}{2} + (\textcolor{#E0453A}{-3}) = -1
  6. Zatem B=(1,−1)B = (1, -1) — odpowiedź D.
  7. Sprawdzenie: (5+12,5−12)=(3,2)\left(\tfrac{5+1}{2}, \tfrac{5-1}{2}\right) = (3, 2) ✓

💡 Wskazówka: Środek zawsze leży pomiędzy końcami, więc jego współrzędne muszą być pomiędzy współrzędnymi AA i BB. Tu 3 jest między 5 a 1 ✓ i 2 jest między 5 a -1 ✓

⚠ Najczęstszy błąd: przesunięcie w odwrotną stronę i odpowiedź (7,8)(7,8) — czyli punkt po tej samej stronie co AA. Wtedy SS nie leży już pomiędzy końcami, co od razu widać na rysunku.

Zadanie 11 (listopad 2012, egzamin gimnazjalny)1 pkttrudniejsze

W układzie współrzędnych zaznaczono wierzchołki A=(−3,0)A = (-3,0) i B=(0,3)B = (0,3) czworokąta ABCDABCD. Osie układu współrzędnych są osiami symetrii tego czworokąta. Dokończ zdanie tak, aby otrzymać zdanie prawdziwe.
Pole czworokąta jest równe
Wierzchołki A i B czworokąta ABCDxy011AB
  • A. 9
  • B. 12
  • C. 18
  • D. 36
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

  1. Krok 1 — odbijamy dane wierzchołki. Skoro oś yy jest osią symetrii, to obok A=(−3,0)A = (\textcolor{#16A06A}{-3}, 0) w figurze musi być punkt (3,0)(\textcolor{#16A06A}{3}, 0).
  2. Skoro oś xx jest osią symetrii, to obok B=(0,3)B = (0, \textcolor{#16A06A}{3}) musi być punkt (0,−3)(0, \textcolor{#16A06A}{-3}).
  3. Czworokąt ma więc wierzchołki (−3,0)(\textcolor{#16A06A}{-3},0), (0,3)(0,\textcolor{#16A06A}{3}), (3,0)(\textcolor{#16A06A}{3},0), (0,−3)(0,\textcolor{#16A06A}{-3}) — jego przekątne leżą na osiach układu.
  4. Krok 2 — długości przekątnych.
  5. pozioma: od −3\textcolor{#16A06A}{-3} do 3\textcolor{#16A06A}{3}, czyli 6\textcolor{#E0453A}{6}
  6. pionowa: od −3\textcolor{#16A06A}{-3} do 3\textcolor{#16A06A}{3}, czyli 6\textcolor{#E0453A}{6}
  7. Krok 3 — pole. Przekątne są prostopadłe (to osie układu), więc korzystamy ze wzoru na pole czworokąta o prostopadłych przekątnych:
  8. P=6⋅62=18P = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{6} \cdot \textcolor{#E0453A}{6}}{2} = 18.
  9. Odpowiedź C.

💡 Wskazówka: Gdy obie osie układu są osiami symetrii figury, jej wierzchołki układają się w pary punktów przeciwnych: (x,y)(x,y), (−x,y)(-x,y), (x,−y)(x,-y), (−x,−y)(-x,-y). Wystarczy odbić to, co dane.

⚠ Najczęstszy błąd: pomnożenie przekątnych bez dzielenia przez 2 (wychodzi 36 — odpowiedź D). Iloczyn przekątnych to pole prostokąta opisanego na tej figurze, a sama figura zajmuje jego połowę.

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. P, F2. C3. B4. A5. P, P6. P, P
7. C8. B9. A10. D11. C

Treści zadań pochodzą z arkuszy egzaminu ósmoklasisty oraz z arkuszy egzaminu gimnazjalnego (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów liczę i zapisuję sam — Mateusz Będkowski.

Pytania i odpowiedzi

Jak odczytać współrzędne punktu z układu?

Najpierw sprawdź, ile wynosi jedna kratka na każdej osi — nie zawsze jest to jedność i osie bywają wyskalowane różnie. Potem odczytaj położenie względem osi poziomej, a jako drugą liczbę względem pionowej. Kolejność jest stała: najpierw pozioma, potem pionowa.

Jaki jest wzór na środek odcinka?

Współrzędne środka to średnie arytmetyczne odpowiednich współrzędnych końców — pierwszą liczy się z pierwszych, drugą z drugich, całkowicie niezależnie. Wzoru nie trzeba pamiętać, bo środek to po prostu punkt w połowie drogi, a połowa drogi między dwiema liczbami to ich średnia.

Jak znaleźć drugi koniec odcinka, znając środek?

Policz, o ile przesuwasz się od znanego końca do środka, i wykonaj to samo przesunięcie jeszcze raz, startując ze środka. Odejmowanie zamiast powtórzenia przesunięcia daje punkt leżący przed środkiem, a nie za nim. Wynik sprawdź, licząc środek odcinka o wyznaczonych końcach.

Jak wyznaczyć czwarty wierzchołek równoległoboku?

Skorzystaj z tego, że przeciwległe boki są równoległe i równe: przesunięcie prowadzące od jednego wierzchołka do sąsiedniego działa tak samo po drugiej stronie figury. Drugi sposób opiera się na przekątnych, które przecinają się w połowie — środek jednej musi być środkiem drugiej.

Co się dzieje ze współrzędnymi przy przesunięciu?

Ruch w prawo zwiększa pierwszą współrzędną, w lewo zmniejsza, w górę zwiększa drugą, w dół zmniejsza. Najważniejsze, że zmiany są niezależne — przesunięcie poziome w ogóle nie rusza drugiej współrzędnej, a pionowe nie rusza pierwszej.

Jak policzyć długość odcinka ukośnego w układzie?

Potraktuj różnice współrzędnych jako przyprostokątne trójkąta prostokątnego, a szukany odcinek jako przeciwprostokątną, i zastosuj twierdzenie Pitagorasa. Dla odcinków poziomych i pionowych wystarczy zwykłe odejmowanie odpowiednich współrzędnych.

Czytaj dalej

Pola figur na egzaminieLiczenie pola figury o zadanych wierzchołkachTwierdzenie Pitagorasa na egzaminieDługość odcinka ukośnego z różnic współrzędnychOś liczbowa na egzaminieJedna oś zamiast dwóch — ta sama dyscyplina odczytu podziałkiEgzamin ósmoklasisty z matematykiJak zbudowany jest arkusz i jak się do niego przygotować
Mateusz Będkowski — nauczyciel matematyki, autor serwisu Nie każ mu liczyć

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-07-30. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa Mateusza Będkowskiego.