Próbny egzamin ósmoklasisty grudzień 2024 z matematyki – odpowiedzi i rozwiązania

Odpowiedź: A, D

1. Pierwsze zdanie. W 100 g jest $\textcolor{#16A06A}{3}$ g białka, więc w 200 g (dwa razy więcej) jest $\textcolor{#16A06A}{3} \cdot \textcolor{#E0453A}{2} = 6$ g.
2. Teraz zamiana jednostek: 1 dag = 10 g, więc $6$ g $= 6 : 10 = 0{,}6$ dag — odpowiedź A.
3. Drugie zdanie. Stosunek tłuszczu do soli jest taki sam w każdej porcji, bo obie masy rosną proporcjonalnie. Wystarczy więc policzyć go dla 100 g.
4. $\dfrac{\textcolor{#16A06A}{18}}{\textcolor{#E0453A}{0{,}15}} = \dfrac{1800}{15} = 120$ — odpowiedź D.
5. Razem: A, D.

💡 Wskazówka: Przy dzieleniu przez liczbę z przecinkiem pomnóż obie liczby przez 100: $\tfrac{18}{0{,}15} = \tfrac{1800}{15}$. Rachunek robi się wtedy na liczbach całkowitych.

⚠ Najczęstszy błąd w pierwszym zdaniu: dzielenie przez 100 zamiast przez 10 (wychodzi 0,06 — kusząca odpowiedź B). Dekagram to 10 gramów, nie 100.

Odpowiedź: P, P

1. Zdanie 1: $5^2\cdot 5^3\cdot 5^5=5^{2+3+5}=5^{10}$ oraz $(5^5{)}^2=5^{5\cdot 2}=5^{10}$ — prawda.
2. Zdanie 2: $2^3\cdot 3^3=(2\cdot 3{)}^3=6^3$, więc $\frac{6^3}{6}=6^2=36$.
3. $\frac{12}{5}:\frac{2}{5}=\frac{12}{5}\cdot \frac{5}{2}=6$, a $6^2=36$ — prawda.
4. Odpowiedzi: P, P.

Odpowiedź: B

1. Rozpisujemy po kolei — najpierw pierwszy nawias: $2(a - 2b) = 2a - 4b$.
2. Teraz iloczyn dwóch nawiasów. Mnożymy każdy z każdym: $(a - b)(2 - b) = 2a - ab - 2b + b^2$.
3. Przed tym iloczynem stoi minus, więc wszystkie cztery znaki się odwracają: $-2a + ab + 2b - b^2$.
4. Składamy całość: $2a - 4b \;-2a + ab + 2b - b^2\; + b^2$.
5. Grupujemy wyrazy podobne: $\textcolor{#16A06A}{2a - 2a} = 0$,   $\textcolor{#E0453A}{-4b + 2b} = \textcolor{#E0453A}{-2b}$,   $\textcolor{#16A06A}{-b^2 + b^2} = 0$,   zostaje jeszcze $ab$.
6. Wynik: $ab - 2b$ — odpowiedź B.

💡 Wskazówka: Zwróć uwagę, jak wiele się skraca: $2a$ z $-2a$ oraz $-b^2$ z $+b^2$. To typowe dla zadań egzaminacyjnych — jeśli nic się nie skraca, warto sprawdzić rachunki.

⚠ Najczęstszy błąd: odwrócenie znaku tylko przy pierwszym składniku iloczynu (czyli $-2a - ab - 2b + b^2$). Minus przed nawiasem dotyczy wszystkich czterech wyrazów.

Odpowiedź: B, C

1. Najprościej: wciągamy liczbę przed pierwiastkiem pod pierwiastek i porównujemy liczby pod pierwiastkiem.
2. $\textcolor{#16A06A}{2}\sqrt3 = \sqrt{\textcolor{#16A06A}{4} \cdot 3} = \sqrt{12}$ — liczba $\textcolor{#16A06A}{2}$ spod pierwiastka wchodzi jako $\textcolor{#16A06A}{4}$.
3. Podobnie $\textcolor{#16A06A}{3}\sqrt2 = \sqrt{\textcolor{#16A06A}{9} \cdot 2} = \sqrt{18}$, a $4 = \sqrt{16}$.
4. Skoro $12 < 16$, to $2\sqrt3 < 4$ — odpada. Skoro $18 > 16$, to $3\sqrt2 > 4$ ✓ — odpowiedź B.
5. Drugie zdanie: $\sqrt2 \approx 1{,}41$, więc $\sqrt2 + 2 \approx 3{,}41 < 4$ ✓ — odpowiedź C.
6. Sprawdzenie: $6 - \sqrt3 \approx 4{,}27 > 4$ — nie pasuje.

💡 Wskazówka: Aby porównać $a\sqrt{b}$ z liczbą, wciągnij $a$ pod pierwiastek: $a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 b}$.

⚠ Częsty błąd: porównywanie „na oko” po liczbach przed pierwiastkiem ($2$ vs $3$) bez uwzględnienia, co jest pod pierwiastkiem.

Odpowiedź: D

1. Rozpisujemy liczby kul po kolei, dokładnie tak, jak podaje treść.
2. Białe: $\textcolor{#16A06A}{5}$.
3. Czerwone: trzy razy więcej niż białych, czyli $3 \cdot 5 = 15$.
4. Niebieskie: o pięć mniej niż czerwonych (nie niż białych!), czyli $15 - 5 = 10$.
5. Wszystkich kul: $\textcolor{#E0453A}{5 + 15 + 10} = \textcolor{#E0453A}{30}$.
6. $P = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{5}}{\textcolor{#E0453A}{30}} = \dfrac{1}{6}$ — odpowiedź D.

💡 Wskazówka: Rozpisz liczby kul w słupku, zanim policzysz prawdopodobieństwo. Mianownik to suma wszystkich, więc łatwo o pomyłkę, gdy jednej grupy się nie doliczy.

⚠ Najczęstszy błąd: policzenie niebieskich jako „o pięć mniej niż białych” (czyli 0) albo podzielenie 5 przez 15 zamiast przez 30. Zawsze sprawdź, do czego odnosi się porównanie.

Odpowiedź: C

1. Znak $\ge$ oznacza „większe lub równe”, więc zaznaczamy liczby na prawo od $-3$ — odpadają B i D.
2. Liczba $-3$ też spełnia nierówność, bo $-3\ge -3$. Kółko w punkcie $-3$ musi być zamalowane — odpada A.
3. Zostaje odpowiedź C.

💡 Wskazówka: Kółko zamalowane oznacza, że liczba należy do zbioru (znaki ≥ i ≤), a puste — że nie należy (znaki > i <).

Odpowiedź: P, P

1. Diagram podaje same procenty, więc najpierw musimy znaleźć całość — ilu było wszystkich uczniów. Służy do tego jedyna „kotwica”: portal 𝓕.
2. $\textcolor{#16A06A}{45\%}$ to $\textcolor{#16A06A}{72}$ uczniów, więc $1\%$ to $\textcolor{#16A06A}{72} : 45 = 1{,}6$ ucznia, a $100\%$ to $\textcolor{#E0453A}{160}$ uczniów.
3. Zdanie 1. Portal 𝓨: $25\%$ z $\textcolor{#E0453A}{160}$ to $\textcolor{#16A06A}{40}$ uczniów ✓ — prawda.
4. Zdanie 2. Portal 𝓙: $10\%$ z $\textcolor{#E0453A}{160} = \textcolor{#16A06A}{16}$. Portal 𝓢: $15\%$ z $\textcolor{#E0453A}{160} = \textcolor{#16A06A}{24}$.
5. Różnica: $\textcolor{#16A06A}{24} - \textcolor{#16A06A}{16} = 8$ ✓ — prawda. Odpowiedzi: P, P.
6. Można też krócej: różnica udziałów to $15\% - 10\% = 5\%$, a $5\%$ ze $\textcolor{#E0453A}{160}$ to 8 ✓

💡 Wskazówka: Przy diagramie kołowym z samymi procentami zawsze zacznij od wyliczenia całości. Potrzebna jest do tego jedna para „tyle procent = tyle sztuk” — tutaj $45\% = 72$.

⚠ Najczęstszy błąd: porównywanie samych procentów, np. „$\mathcal{J}$ ma o 5 mniej niż $\mathcal{S}$, więc o 5 uczniów”. Punkty procentowe to nie uczniowie — trzeba je przeliczyć.

Odpowiedź: B, D

1. Trzy liczby o średniej 12: $x + y + z = 12 \cdot 3 = \textcolor{#16A06A}{36}$.
2. Znamy $x = \textcolor{#E0453A}{6}$, więc $y + z = \textcolor{#16A06A}{36} - \textcolor{#E0453A}{6} = 30$.
3. Średnia dwóch liczb $y$ i $z$: $30 : 2 = 15$, odpowiedź B.
4. Drugie zdanie: dokładamy $a = 4$, więc suma czterech liczb to $\textcolor{#16A06A}{36} + 4 = 40$.
5. Średnia: $40 : 4 = 10$, odpowiedź D.

💡 Wskazówka: Do sumy trzech liczb ($x+y+z$) wystarczy dopisać $a$ — nie trzeba znać osobno $y$ i $z$.

⚠ Częsty błąd w drugim zdaniu: uśrednianie średnich, czyli $(12 + 4) : 2 = 8$. Trzeba wrócić do sum.

Odpowiedź: D

1. Krok 1 — wysokość prostokąta. Prostokąt $EBCF$ ma boki $\textcolor{#16A06A}{10}$ cm (poziomy) i $\textcolor{#E0453A}{h}$ cm (pionowy).
2. Z obwodu: $2 \cdot (\textcolor{#16A06A}{10} + \textcolor{#E0453A}{h}) = 36$, czyli $\textcolor{#16A06A}{10} + \textcolor{#E0453A}{h} = 18$, więc $\textcolor{#E0453A}{h} = 8$ cm.
3. Krok 2 — bok kwadratu. Wysokość $\textcolor{#E0453A}{8}$ cm jest wspólna dla całego prostokąta $ABCD$, a więc również dla kwadratu $AEFD$.
4. Skoro $AEFD$ jest kwadratem, jego wszystkie boki mają po $\textcolor{#E0453A}{8}$ cm.
5. Pole: $\textcolor{#E0453A}{8}^2 = 64$ cm² — odpowiedź D.

💡 Wskazówka: Kluczowa obserwacja: obie części mają tę samą wysokość, bo powstały z jednego prostokąta przecięcia pionową prostą. To wysokość przenosi informację między nimi.

⚠ Najczęstszy błąd: podzielenie obwodu przez 4 (jak dla kwadratu) — wychodzi 9, a potem $81$. Obwód dotyczy prostokąta $EBCF$, a nie kwadratu.

Odpowiedź: C

1. Krok 1 — jaki kąt tworzy prosta $d$ z poziomem? Kąt $\textcolor{#16A06A}{142°}$ i szukany kąt nachylenia są przyległe, więc razem dają $\textcolor{#E0453A}{180°}$.
2. Nachylenie prostej $d$: $\textcolor{#E0453A}{180°} - \textcolor{#16A06A}{142°} = \textcolor{#16A06A}{38°}$.
3. Krok 2 — przenosimy ten kąt na prostą $b$. Proste $a$ i $b$ są równoległe, a $d$ je przecina, więc kąty odpowiadające są równe: prosta $d$ tworzy z $b$ również kąt $\textcolor{#16A06A}{38°}$.
4. Krok 3 — korzystamy z prostopadłości. W punkcie $A$ proste $d$ i $e$ tworzą kąt $\textcolor{#E0453A}{90°}$.
5. Kąt między $b$ a $e$ to więc $\textcolor{#E0453A}{90°} - \textcolor{#16A06A}{38°} = 52°$.
6. Odpowiedź C.

💡 Wskazówka: Przy prostych równoległych przeciętych trzecią prostą wszystkie powstałe kąty mają tylko dwie różne miary — tutaj $38°$ i $142°$. Wystarczy rozpoznać, która jest która.

⚠ Najczęstszy błąd: podanie $38°$ (odpowiedź A) — czyli kąta nachylenia prostej $d$ zamiast $e$. Te dwie proste są prostopadłe, więc ich kąty z poziomem dopełniają się do $90°$, a nie są równe.

Odpowiedź: B

1. Wzór na pole rombu z przekątnych: $P = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{e} \cdot \textcolor{#16A06A}{f}}{2}$.
2. $P = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{24} \cdot \textcolor{#16A06A}{18}}{2} = \dfrac{432}{2} = 216$ cm².
3. Odpowiedź B.

💡 Wskazówka: Skąd bierze się dzielenie przez 2? Przekątne dzielą romb na cztery trójkąty prostokątne o przyprostokątnych $\tfrac{e}{2}$ i $\tfrac{f}{2}$ — po zsumowaniu wychodzi właśnie $\tfrac{ef}{2}$.

⚠ Najczęstszy błąd: pominięcie dzielenia przez 2 i podanie $432$ cm² (kusząca odpowiedź D) — to pole prostokąta o bokach równych przekątnym, czyli dwa razy za dużo.

Odpowiedź: F, P

1. Najpierw dopełniamy brakujące kąty do $\textcolor{#E0453A}{180°}$.
2. Trójkąt $ABC$: kąt przy $B$ $= \textcolor{#E0453A}{180°} - \textcolor{#16A06A}{62°} - \textcolor{#16A06A}{59°} = \textcolor{#16A06A}{59°}$.
3. Trójkąt $KLM$: kąt przy $L$ $= \textcolor{#E0453A}{180°} - \textcolor{#16A06A}{62°} - \textcolor{#16A06A}{59°} = \textcolor{#16A06A}{59°}$.
4. Zdanie 1. W trójkącie $KLM$ dwa kąty są równe ($\textcolor{#16A06A}{59°}$ przy $L$ i przy $M$), więc trójkąt jest równoramienny. Zdanie twierdzi, że nie jest — fałsz.
5. Zdanie 2. Oba trójkąty mają te same kąty: $62°$, $59°$, $59°$. Bok długości $7$ leży w obu przypadkach między kątami $62°$ i $59°$ (w $ABC$ między $A$ i $C$, w $KLM$ między $K$ i $L$).
6. To cecha kąt–bok–kąt, więc trójkąty są przystające ✓ — prawda.
7. Odpowiedzi: F, P.

💡 Wskazówka: Sama zgodność kątów daje tylko podobieństwo. Do przystawania potrzebny jest jeszcze bok — i musi leżeć w obu trójkątach w tym samym miejscu względem kątów.

⚠ Najczęstszy błąd w zdaniu 1: uznanie trójkąta za nierównoramienny, bo „boki mają różne nazwy”. Równe kąty przy podstawie zawsze oznaczają równe ramiona.

Odpowiedź: A

1. „Prawidłowy czworokątny” znaczy: podstawą jest kwadrat, a bryła jest graniastosłupem prostym.
2. Krok $\boldsymbol{1}$ — pole podstawy. $P_p = \textcolor{#16A06A}{7}^2 = \textcolor{#16A06A}{49}$.
3. Krok $\boldsymbol{2}$ — wysokość. Krawędź boczna jest dwa razy dłuższa: $\textcolor{#E0453A}{H} = 2 \cdot 7 = \textcolor{#E0453A}{14}$.
4. Krok $\boldsymbol{3}$ — objętość graniastosłupa: $V = \textcolor{#16A06A}{P_p} \cdot \textcolor{#E0453A}{H} = \textcolor{#16A06A}{49} \cdot \textcolor{#E0453A}{14} = 686$.
5. Odpowiedź A.

💡 Wskazówka: W graniastosłupie prostym krawędź boczna jest jednocześnie wysokością bryły — stoi pionowo. W ostrosłupie tak nie jest i tam trzeba wysokość dopiero policzyć.

⚠ Najczęstszy błąd: użycie wzoru z $\tfrac13$ (odpowiedzi B i D). Jedna trzecia należy do ostrosłupa, nie do graniastosłupa.

Odpowiedź: C

1. Odpowiedź ma być w $\tfrac{\text{km}}{\text{h}}$, więc czas musimy zamienić z minut na godziny.
2. $2$ minuty $= \textcolor{#E0453A}{\dfrac{2}{60}} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{1}{30}}$ godziny.
3. $v = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{3}}{\textcolor{#E0453A}{\tfrac{1}{30}}} = \textcolor{#16A06A}{3} \cdot 30 = 90\ \dfrac{\text{km}}{\text{h}}$.
4. Odpowiedź C.
5. Prościej „na proporcję”: w 2 minuty samochód robi 3 km, a godzina to 30 razy po 2 minuty — czyli $30 \cdot 3 = 90$ km na godzinę.

💡 Wskazówka: Sposób proporcjonalny bywa szybszy niż wzór: sprawdź, ile razy podany czas mieści się w godzinie, i tyle razy pomnóż drogę.

⚠ Najczęstszy błąd: podzielenie $3 : 2$ i podanie 1,5 albo pomnożenie $3 \cdot 2 = 6$. Zawsze najpierw zamień jednostki, potem podstawiaj do wzoru.

Odpowiedź: F, P

1. Ze średnicy $20$ cm wynika promień: $\textcolor{#16A06A}{r} = 10$ cm.
2. Zdanie 1. Odcinki $SA$ i $SB$ łączą środek z punktami okręgu, więc oba są promieniami: $SA = SB = \textcolor{#16A06A}{10}$ cm.
3. Obwód trójkąta: $\textcolor{#16A06A}{10} + \textcolor{#16A06A}{10} + \textcolor{#E0453A}{12} = 32$ cm — a nie 36 cm — fałsz.
4. Zdanie 2. Długość okręgu liczymy ze wzoru $L = 2\pi \textcolor{#16A06A}{r}$ albo $L = \pi d$:
5. $L = \pi \cdot 20 = 20\pi$ cm ✓ — prawda.
6. Odpowiedzi: F, P.

💡 Wskazówka: Trójkąt zbudowany na dwóch promieniach jest zawsze równoramienny — to bardzo częsty motyw w zadaniach o okręgach.

⚠ Najczęstszy błąd w zdaniu 1: użycie średnicy (20) zamiast promienia (10) jako boku trójkąta. Wychodzi wtedy właśnie kuszące $20 + 20 + 12 = 52$ albo pomyłkowo 36.

Odpowiedź: 15 osób

1. Zapiszmy, którzy uczestnicy dostawali każdą rzecz.
2. Sok: numery $1, 7, 13, 19, \ldots$ — za każdym razem o $\textcolor{#E0453A}{6}$ dalej.
3. Ciastko: numery $1, 11, 21, 31, \ldots$ — za każdym razem o $\textcolor{#E0453A}{10}$ dalej.
4. Oba naraz dostaje ten, kogo numer pojawia się na obu listach. Skoro obie zaczynają się od 1, wspólne numery to $1, 1+\textcolor{#16A06A}{30}, 1+2\cdot\textcolor{#16A06A}{30}, \ldots$, gdzie $\textcolor{#16A06A}{30} = \mathrm{NWW}(\textcolor{#E0453A}{6}, \textcolor{#E0453A}{10})$.
5. Wspólne numery: $1, 31, 61, 91, \ldots$ — czyli co $\textcolor{#16A06A}{30}$ osób.
6. Ile takich numerów mieści się do 450? Szukamy największego $k$, dla którego $1 + \textcolor{#16A06A}{30}k \le 450$, czyli $\textcolor{#16A06A}{30}k \le 449$, więc $k \le 14{,}96$ — stąd $k = 14$.
7. Liczba osób: $k = 0, 1, 2, \ldots, 14$, czyli 15 osób. (Ostatnia z nich to numer $1 + 30 \cdot 14 = 421$.)
8. Odpowiedź: i sok, i ciastko otrzymało 15 uczestników.

💡 Wskazówka: Uwaga na przesunięcie: numery to nie wielokrotności 6 i 10, tylko liczby o jeden większe od nich. Dlatego szukamy 1, 31, 61… a nie 30, 60, 90.

⚠ Najczęstszy błąd: policzenie $450 : 30 = 15$ i uznanie tego za przypadek — akurat wynik się zgadza, ale rozumowanie jest inne. Drugi błąd: pominięcie pierwszej osoby i odpowiedź 14.

Odpowiedź: x = 20, wszystkie boki mają długość 48

1. Żeby uzasadnić, że trójkąt jest równoboczny, trzeba pokazać, że wszystkie trzy boki mają tę samą długość.
2. Krok 1 — wyznaczamy $x$ z warunku $AC = BC$.
3. $\textcolor{#16A06A}{3x - 12} = \textcolor{#16A06A}{88 - 2x}$
4. $3x + 2x = 88 + 12$
5. $5x = 100$, czyli $\textcolor{#E0453A}{x} = \textcolor{#E0453A}{20}$.
6. Krok 2 — obliczamy każdy bok.
7. $AC = 3 \cdot \textcolor{#E0453A}{20} - 12 = 60 - 12 = 48$
8. $BC = 88 - 2 \cdot \textcolor{#E0453A}{20} = 88 - 40 = 48$
9. $AB = 1{,}5 \cdot \textcolor{#E0453A}{20} + 18 = 30 + 18 = 48$
10. Krok 3 — wniosek. Wszystkie trzy boki mają długość 48, więc trójkąt $ABC$ jest równoboczny. ∎

💡 Wskazówka: W zadaniach „uzasadnij” nie wystarczy wyliczyć $x$ — trzeba pokazać wszystkie trzy wyniki i wprost napisać wniosek. Za samo $x = 20$ nie ma kompletu punktów.

⚠ Najczęstszy błąd: policzenie tylko $AC$ i $BC$ (bo z założenia są równe) i pominięcie $AB$. To właśnie trzeci bok jest tu całą treścią dowodu.

Odpowiedź: 204 cm²

1. Krok 1 — odcinek $AE$. Trójkąt $ADE$ jest prostokątny: przeciwprostokątna $AD = 13$ cm, przyprostokątna $DE = \textcolor{#E0453A}{12}$ cm.
2. $AE = \sqrt{13^2 - \textcolor{#E0453A}{12}^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = \textcolor{#16A06A}{5}$ cm.
3. Krok 2 — dłuższa podstawa. Trapez jest równoramienny, więc po drugiej stronie odcina się dokładnie tyle samo.
4. $AB = \textcolor{#16A06A}{5} + \textcolor{#16A06A}{12} + \textcolor{#16A06A}{5} = \textcolor{#16A06A}{22}$ cm (środkowy kawałek jest równy krótszej podstawie $CD$).
5. Krok 3 — pole. $P = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{22} + \textcolor{#16A06A}{12}}{2} \cdot \textcolor{#E0453A}{12} = 17 \cdot \textcolor{#E0453A}{12} = 204$ cm².
6. Odpowiedź: pole trapezu wynosi 204 cm².

💡 Wskazówka: W trapezie równoramiennym wysokości opuszczone z obu górnych wierzchołków dzielą dolną podstawę na trzy części: dwie równe po bokach i środkową równą krótszej podstawie.

⚠ Najczęstszy błąd: przyjęcie $AB = 12 + 5 = 17$ cm, czyli doliczenie odcinka tylko z jednej strony. Trapez równoramienny jest symetryczny — piątkę dodajemy dwa razy.

Odpowiedź: narty 1700 zł, buty 1200 zł

1. Oznaczamy: $n$ — cena nart, $b$ — cena butów, kask $= 500$ zł (znany).
2. Pierwszy warunek: „narty i kask o 700 zł mniej niż narty i buty”, czyli $n + 500 = (n + b) - 700$.
3. Zauważ, że $n$ występuje po obu stronach — skraca się! Zostaje $500 = b - 700$.
4. Stąd od razu $b = 500 + 700 = \textcolor{#E0453A}{1200}$ zł — to cena butów.
5. Drugi warunek: „buty i kask razem tyle co narty”, czyli $n = \textcolor{#E0453A}{b} + 500$.
6. Podstawiamy: $n = \textcolor{#E0453A}{1200} + 500 = \textcolor{#16A06A}{1700}$ zł.
7. Odpowiedź: narty kosztowały 1700 zł, a buty 1200 zł.
8. Sprawdzenie pierwszego warunku: narty i kask to $\textcolor{#16A06A}{1700} + 500 = 2200$ zł, a narty i buty to $\textcolor{#16A06A}{1700} + \textcolor{#E0453A}{1200} = 2900$ zł. Różnica: $2900 - 2200 = 700$ zł ✓

💡 Wskazówka: Zanim zaczniesz rozwiązywać układ „na siłę”, poszukaj niewiadomej, która występuje po obu stronach równania — po skróceniu zadanie często robi się jednolinijkowe.

⚠ Najczęstszy błąd: zapisanie pierwszego warunku odwrotnie, czyli $n + 500 + 700 = n + b$ w złą stronę. Warto podstawić słowa: „narty i kask” są tańsze, więc to po ich stronie dodajemy 700.

Odpowiedź: $216\ \text{cm}^2$

1. Krok $\boldsymbol{1}$ — krawędź podstawy. Zaznaczony odcinek obejmuje trzy krawędzie podstawy:
2. $3\textcolor{#16A06A}{a} = 18$, czyli $\textcolor{#16A06A}{a} = \textcolor{#16A06A}{6}$ cm.
3. Krok $\boldsymbol{2}$ — wysokość. Jest $1{,}5$ raza większa:
4. $\textcolor{#E0453A}{H} = 1{,}5 \cdot \textcolor{#16A06A}{6} = \textcolor{#E0453A}{9}$ cm.
5. Krok $\boldsymbol{3}$ — pole boczne. To obwód podstawy razy wysokość — czyli cały pas siatki:
6. $P_b = 4 \cdot \textcolor{#16A06A}{6} \cdot \textcolor{#E0453A}{9} = 24 \cdot \textcolor{#E0453A}{9} = 216$ cm².
7. Odpowiedź: pole powierzchni bocznej wynosi $\boldsymbol{216\ \text{cm}^2}$.

💡 Wskazówka: Pas ścian bocznych na siatce to jeden duży prostokąt: jego długość to obwód podstawy, a szerokość — wysokość bryły. Pole boczne to po prostu pole tego prostokąta.

⚠ Najczęstszy błąd: doliczenie do wyniku dwóch podstaw. Zadanie pyta o pole boczne, więc kwadraty podstaw do niego nie wchodzą.

Odpowiedź: 500 kostek

1. Krok 1 — ile wody idzie na jedną kostkę? Foremka mieści 8 cm³, ale wypełniamy ją tylko w $\textcolor{#E0453A}{75\%}$.
2. $\textcolor{#E0453A}{0{,}75} \cdot 8 = \textcolor{#16A06A}{6}$ cm³ wody na jedną kostkę.
3. Krok 2 — ile kostek z 3000 cm³? Dzielimy: $3000 : \textcolor{#16A06A}{6} = 500$.
4. Odpowiedź: urządzenie wyprodukuje 500 kostek lodu.
5. Rachunek w pamięci: $75\%$ to $\tfrac34$, a $\tfrac34$ z 8 to 6 ✓

💡 Wskazówka: Schemat „ile sztuk” jest zawsze ten sam: policz zużycie na jedną sztukę, a potem podziel przez nie zapas. Pojemność foremki (8 cm³) jest tu tylko krokiem pośrednim.

⚠ Najczęstszy błąd: podzielenie 3000 przez 8 (wychodzi 375) — czyli pominięcie tego, że foremki nie napełnia się do pełna.