Egzamin ósmoklasisty · matematyka · kwiecień 2019

Zadanie z E8 (kwiecień 2019) – wyrażenia algebraiczne

Kwadrat o boku a rozcięto poziomą linią na dwa przystające prostokąty (każdy o wymiarach a × a2 ). Z tych prostokątów ułożono nową figurę: jeden prostokąt leży poziomo, a drugi stoi pionowo na nim, opierając się o niego całym krótszym bokiem. Pole ułożonej figury jest równe polu kwadratu. Oceń…

Zobacz rozwiązanie w obrazku

1pkt · trudniejsze

Zadanie 4 (kwiecień 2019)1 pkttrudniejsze

Kwadrat o boku

a

rozcięto poziomą linią na dwa przystające prostokąty (każdy o wymiarach

a \times \tfrac{a}{2}

). Z tych prostokątów ułożono nową figurę: jeden prostokąt leży poziomo, a drugi stoi pionowo na nim, opierając się o niego całym krótszym bokiem. Pole ułożonej figury jest równe polu kwadratu. Oceń prawdziwość podanych zdań.

Obwód ułożonej figury jest większy o $1{,}5a$ od obwodu kwadratu.	P	F
Obwód ułożonej figury jest równy $5a$ .	P	F

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: F, P

Krok 1 — obwód kwadratu. $\textcolor{#16A06A}{4a}$ .
Krok 2 — obwód każdego prostokąta osobno. Prostokąt ma wymiary $a$ i $\tfrac{a}{2}$ :
$2\left(a + \tfrac{a}{2}\right) = \textcolor{#16A06A}{3a}$ — i tak samo drugi.
Krok 3 — sklejenie. Pionowy prostokąt styka się z poziomym całym krótszym bokiem, czyli odcinkiem długości $\textcolor{#E0453A}{\tfrac{a}{2}}$ . Ten odcinek znika z obwodu dwukrotnie — raz z jednej figury, raz z drugiej:
$P = \textcolor{#16A06A}{3a} + \textcolor{#16A06A}{3a} - 2 \cdot \textcolor{#E0453A}{\tfrac{a}{2}} = 6a - \textcolor{#E0453A}{a} = 5a$ .
Zdanie 1. Różnica wynosi $5a - \textcolor{#16A06A}{4a} = a$ , a nie $1{,}5a$ — fałsz.
Zdanie 2. Obwód wynosi dokładnie $5a$ ✓ — prawda.
Odpowiedzi: F, P.

💡 Wskazówka: Zdanie „pole ułożonej figury jest równe polu kwadratu” to podpowiedź, że pole się nie zmienia przy przekładaniu kawałków — zmienia się tylko obwód. Warto sobie to rozróżnienie utrwalić.

⚠ Najczęstszy błąd: odjęcie linii styku tylko raz (wychodzi wtedy $5{,}5a$ ). Każde sklejenie usuwa z obwodu dwa odcinki tej samej długości — po jednym z każdej łączonej figury.