Odpowiedź: D

1. Cała sztuczka: średnia razy liczba składników daje sumę. Zamieniamy średnie na sumy.
2. Dwie liczby o średniej 4: $x + y = 4 \cdot 2 = \textcolor{#E0453A}{8}$.
3. Trzy liczby o średniej 5: $x + y + z = 5 \cdot 3 = \textcolor{#16A06A}{15}$.
4. Liczba $z$ to dokładnie to, co zostaje po odjęciu: $z = \textcolor{#16A06A}{15} - \textcolor{#E0453A}{8} = 7$.
5. Odpowiedź D.

💡 Wskazówka: Ilekroć w zadaniu pojawia się średnia, od razu zamień ją na sumę: $\text{suma} = \text{średnia} \cdot \text{ile liczb}$.

⚠ Typowy błąd: liczenie „średnia minus średnia”, czyli $5 - 4 = 1$. Średnich nie odejmujemy — odejmujemy sumy.

Odpowiedź: C

1. Suma ośmiu liczb: $9 \cdot 8 = 72$.
2. Dopisujemy liczbę 9, więc nowa suma to $72 + 9 = 81$, a liczb jest już dziewięć.
3. Nowa średnia: $81 : 9 = 9$ — dokładnie tyle, ile była.
4. Odpowiedź C.

💡 Wskazówka: Warto zapamiętać regułę: jeśli dopiszemy liczbę równą średniej, średnia się nie zmieni. Liczba większa od średniej ją podnosi, mniejsza — obniża.

⚠ Częsty błąd: myślenie „dodaliśmy 9, więc średnia wzrośnie o 9”. Ale rośnie też liczba składników, i te dwie zmiany się znoszą.

Odpowiedź: B

1. Najpierw sprawdzamy, ile jest dni: wtorek, środa, czwartek, piątek, sobota — czyli 5 dni.
2. Skoro średnio 60 stron dziennie przez 5 dni, to razem przeczytał $60 \cdot 5 = \textcolor{#16A06A}{300}$ stron.
3. Sumujemy to, co już wiemy (wtorek–piątek): $55 + 68 + 72 + 49 = \textcolor{#E0453A}{244}$.
4. Sobota to reszta: $\textcolor{#16A06A}{300} - \textcolor{#E0453A}{244} = 56$ stron.
5. Odpowiedź B.

💡 Wskazówka: Policz dni na palcach — „od wtorku do soboty włącznie” to pięć dni, nie cztery.

⚠ Najczęstszy błąd w tym zadaniu: przyjęcie 4 dni zamiast 5. Wyszłoby wtedy $240 - 244$, czyli liczba ujemna — to sygnał, że coś jest nie tak.

Odpowiedź: B, C

1. Zamieniamy obie średnie na sumy.
2. Cztery liczby o średniej 9: $a + b + c + d = 9 \cdot 4 = \textcolor{#16A06A}{36}$.
3. Dwie liczby o średniej 6: $e + f = 6 \cdot 2 = \textcolor{#E0453A}{12}$.
4. Pierwsze zdanie — różnica sum: $\textcolor{#16A06A}{36} - \textcolor{#E0453A}{12} = 24$, odpowiedź B.
5. Drugie zdanie — teraz bierzemy wszystkie sześć liczb: suma to $\textcolor{#16A06A}{36} + \textcolor{#E0453A}{12} = 48$.
6. Średnia: $48 : 6 = 8$, odpowiedź C.

💡 Wskazówka: Średnia dwóch grup to nie średnia ze średnich. Trzeba dodać sumy i podzielić przez łączną liczbę elementów.

⚠ Klasyczna pułapka: policzenie $(9 + 6) : 2 = 7{,}5$ — stąd wzięła się odpowiedź D. To działa tylko wtedy, gdy grupy są równoliczne, a tu jest 4 kontra 2.

Odpowiedź: B, D

1. Trzy liczby o średniej 12: $x + y + z = 12 \cdot 3 = \textcolor{#16A06A}{36}$.
2. Znamy $x = \textcolor{#E0453A}{6}$, więc $y + z = \textcolor{#16A06A}{36} - \textcolor{#E0453A}{6} = 30$.
3. Średnia dwóch liczb $y$ i $z$: $30 : 2 = 15$, odpowiedź B.
4. Drugie zdanie: dokładamy $a = 4$, więc suma czterech liczb to $\textcolor{#16A06A}{36} + 4 = 40$.
5. Średnia: $40 : 4 = 10$, odpowiedź D.

💡 Wskazówka: Do sumy trzech liczb ($x+y+z$) wystarczy dopisać $a$ — nie trzeba znać osobno $y$ i $z$.

⚠ Częsty błąd w drugim zdaniu: uśrednianie średnich, czyli $(12 + 4) : 2 = 8$. Trzeba wrócić do sum.

Odpowiedź: P, P

1. Zdanie 1: średnia to suma podzielona przez liczbę meczów: $84 : 6 = 14$ ✓ — prawda.
2. Zdanie 2: po siódmym meczu suma wynosi $84 + 21 = 105$, a meczów jest 7.
3. Nowa średnia: $105 : 7 = 15$ ✓ — prawda.
4. Obie odpowiedzi: P, P.

💡 Wskazówka: Przy dopisywaniu wyniku pamiętaj, żeby zmienić oba elementy: i sumę, i liczbę meczów.

⚠ Typowy błąd: podzielenie nowej sumy przez starą liczbę meczów ($105 : 6 = 17{,}5$).

Odpowiedź: P, F

1. Zdanie 1: suma trzech liczb to $16 \cdot 3 = \textcolor{#16A06A}{48}$.
2. Znamy dwie z nich: $12 + 14 = \textcolor{#E0453A}{26}$, zatem $k = \textcolor{#16A06A}{48} - \textcolor{#E0453A}{26} = 22$ ✓ — prawda.
3. Zdanie 2: teraz liczb jest pięć. Suma: $12 + 14 + 22 + 11 + 17 = 76$.
4. Średnia: $76 : 5 = 15{,}2$, a to mniej niż 16 — fałsz.
5. Odpowiedzi: P, F.

💡 Wskazówka: Zanim policzysz, spójrz na dopisane liczby: 11 i 17 są mniejsze od dotychczasowej średniej 16, więc muszą ją obniżyć.

⚠ Błąd: uznanie, że skoro dopisujemy liczby, to średnia rośnie. Rośnie tylko wtedy, gdy dopisane liczby są większe od dotychczasowej średniej.

Odpowiedź: D

1. Artykułów są cztery (trzy zeszyty + blok), a średnia cena to 6 zł.
2. Łączny koszt zakupów: $6 \cdot 4 = \textcolor{#16A06A}{24}$ zł.
3. Zeszyty kosztowały razem $\textcolor{#E0453A}{15}$ zł.
4. Blok: $\textcolor{#16A06A}{24} - \textcolor{#E0453A}{15} = 9$ zł.
5. Odpowiedź D.

💡 Wskazówka: Cena jednego zeszytu jest tu niepotrzebna — wystarczy, że znamy ich łączny koszt.

⚠ Częsty błąd: dzielenie przez 2 („zeszyty i blok”) zamiast przez 4. Liczymy artykuły, nie rodzaje.

Odpowiedź: B

1. Najpierw sumujemy wszystkie wyniki: $200 + 205 + 202 + 206 + 208 + 198 + 202 = 1421$ cm.
2. Zawodników jest 7, więc średnia: $1421 : 7 = 203$ cm.
3. Teraz porównujemy każdy wynik z liczbą 203 i szukamy wyższych:
4. $205 > 203$ ✓, $206 > 203$ ✓, $208 > 203$ ✓ — to trzej zawodnicy (nr 2, 4 i 5).
5. Pozostali (200, 202, 198, 202) mają wynik niższy. Odpowiedź B.

💡 Wskazówka: Przy dużych, podobnych liczbach można liczyć „od 200”: $0+5+2+6+8-2+2 = 21$, czyli średnio $21:7 = 3$ powyżej 200 — średnia to 203.

⚠ Częsty błąd: policzenie zawodników z wynikiem nie mniejszym niż średnia. Pytanie brzmi „wyższy od średniej”, więc wynik równy średniej się nie liczy.

Odpowiedź: C

1. Suma dwóch dotychczasowych ocen: $3{,}5 \cdot 2 = \textcolor{#E0453A}{7}$.
2. Docelowo mają być trzy oceny o średniej 4, czyli suma $4 \cdot 3 = \textcolor{#16A06A}{12}$.
3. Trzecia ocena to różnica: $\textcolor{#16A06A}{12} - \textcolor{#E0453A}{7} = 5$.
4. Odpowiedź C.

💡 Wskazówka: Zwróć uwagę, że mnożysz przez różne liczby: starą sumę przez 2, docelową przez 3.

⚠ Błąd: liczenie „o ile ma wzrosnąć średnia” ($4 - 3{,}5 = 0{,}5$) i wybranie oceny 4. Nowa ocena musi nadrobić braki za wszystkie oceny naraz.

Odpowiedź: P, P

1. Zdanie 1: grupy są równoliczne (po połowie), więc tu wolno wziąć średnią ze średnich.
2. $(3000 + 4000) : 2 = 3500$ zł ✓ — prawda.
3. Można to sprawdzić na konkretnym przykładzie, np. 12 osób: $\dfrac{6 \cdot 3000 + 6 \cdot 4000}{12} = \dfrac{42000}{12} = 3500$ zł.
4. Zdanie 2: odchodzą dwie osoby — po jednej z każdej grupy, więc nadal jest po połowie.
5. Na przykładzie 12 osób: zostaje $\dfrac{5 \cdot 3000 + 5 \cdot 4000}{10} = \dfrac{35000}{10} = 3500$ zł ✓ — prawda.
6. Odpowiedzi: P, P.

💡 Wskazówka: Gdy zadanie nie podaje konkretnej liczby osób, podstaw sobie dowolną wygodną (np. 12) — wynik i tak wyjdzie ten sam.

⚠ Błąd w drugim zdaniu: uznanie, że skoro odeszły osoby, to średnia musi się zmienić. Kluczowe jest, że odeszła para — po jednej z każdej grupy, więc proporcje zostały zachowane.

Odpowiedź: D

1. Dzieci jest czworo (trzy córki + syn), a ich średni wiek to 10 lat.
2. Łączny wiek wszystkich dzieci: $10 \cdot 4 = \textcolor{#16A06A}{40}$ lat.
3. Córki: trzy osoby o średniej 8 lat, czyli razem $8 \cdot 3 = \textcolor{#E0453A}{24}$ lata.
4. Syn: $\textcolor{#16A06A}{40} - \textcolor{#E0453A}{24} = 16$ lat.
5. Odpowiedź D.

💡 Wskazówka: Za każdym razem sprawdzaj, przez ile mnożysz: raz przez 4 (wszystkie dzieci), raz przez 3 (same córki).

⚠ Częsty błąd: mnożenie obu średnich przez tę samą liczbę albo policzenie $10 + (10-8) = 12$.

Odpowiedź: C

1. Ania i Paweł to dwie osoby o średniej 12 lat, więc razem mają $12 \cdot 2 = \textcolor{#E0453A}{24}$ lata.
2. Dokładamy Kasię: łączny wiek trojga dzieci to $\textcolor{#E0453A}{24} + 6 = \textcolor{#16A06A}{30}$ lat.
3. Osób jest trzy, więc średnia: $\textcolor{#16A06A}{30} : 3 = 10$ lat.
4. Odpowiedź C.

💡 Wskazówka: Zawsze wracaj do sumy — dopiero na sumach wolno dodawać nowe osoby.

⚠ Klasyczna pułapka: $(12 + 6) : 2 = 9$ (odpowiedź B). Nie wolno uśredniać średniej dwóch osób z wiekiem jednej osoby — grupy nie są równoliczne.

Odpowiedź: D

1. Średnia to $\dfrac{\text{łączna ilość wody}}{\text{liczba naczyń}} = \dfrac{6}{5} = 1{,}2$ litra.
2. Kluczowe pytanie przy każdej odpowiedzi: czy zmienia się łączna ilość wody albo liczba naczyń?
3. A, B, C — to wyłącznie przelewanie między naczyniami. Wody jest wciąż 6 litrów, naczyń wciąż 5, więc średnia się nie zmienia.
4. D — dolewamy wodę z zewnątrz, więc łączna ilość rośnie, a naczyń nadal jest 5. Średnia musi wzrosnąć.
5. Odpowiedź D.

💡 Wskazówka: Średnia zależy tylko od dwóch rzeczy: sumy i liczby elementów. Samo przemieszczanie wody między naczyniami nie zmienia żadnej z nich.

⚠ Częsty błąd przy odpowiedzi A: liczenie średniej z czterech naczyń. Puste naczynie nadal jest naczyniem — nadal dzielimy przez 5.