Strona główna › Egzamin ósmoklasisty › Podzielność, cyfry i zaokrąglanie na egzaminie ósmoklasisty

Podzielność, cyfry i zaokrąglanie na egzaminie ósmoklasisty

Same cechy podzielności to materiał z klas czwartych i piątych — komplet reguł z wyprowadzeniami opisałem osobno, w teorii cech podzielności. Ta strona jest o czymś innym: o tym, w jakiej formie te reguły wracają w arkuszu. A wracają rzadko wprost, za to często w zadaniach na rozumowanie.

Dział: Egzamin ósmoklasistyPoziom: klasa 7–8Zadań: 24 — 18 z egzaminu ósmoklasisty i 6 z egzaminu gimnazjalnego

Przejdź od razu do zadań (24) ↓

Które cechy naprawdę wchodzą na egzamin

Z całej tabeli cech w arkuszach pojawiają się właściwie cztery: przez 2, 3, 4 i 9. Sporadycznie przez 5 i 10, które są trywialne, oraz przez 6 jako złożenie dwóch warunków.

Najczęstsza jest cecha podzielności przez 3 — w sześciu z 24 zadań na tej stronie. Zaraz za nią suma cyfr jako narzędzie, występująca w czterech.

Cech przez 7, 11 czy 13 egzamin nie wymaga. Jeśli w zadaniu pojawia się siódemka, to zwykle po to, żeby sprawdzić dzielenie z resztą, a nie znajomość egzotycznej reguły.

Suma cyfr — jedno narzędzie, dwie cechy

Liczba dzieli się przez 3 wtedy i tylko wtedy, gdy jej suma cyfr dzieli się przez 3. Ta sama reguła z dziewiątką zamiast trójki daje cechę podzielności przez 9.

Sumę cyfr można skracać wielokrotnie. Dla $6\,114$ : $6+1+1+4 = 12$ , a $1+2 = 3$ — dzieli się przez 3, ale nie przez 9.

W zadaniach egzaminacyjnych ta cecha rzadko jest celem samym w sobie. Częściej służy do wstawienia brakującej cyfry: „jaką cyfrę wpisać w miejsce gwiazdki, żeby liczba dzieliła się przez 3”. Wtedy sumujemy znane cyfry i sprawdzamy, ile brakuje do najbliższej wielokrotności trójki.

Końcówka liczby: cechy przez 2, 4, 5 i 10

Te cechy patrzą wyłącznie na koniec zapisu, bo każda pełna dziesiątka, setka czy tysiąc dzieli się już przez odpowiedni czynnik.

przez 2 — ostatnia cyfra parzysta
przez 5 — ostatnia cyfra to 0 albo 5
przez 10 — ostatnia cyfra to 0
przez 4 — liczba z dwóch ostatnich cyfr dzieli się przez 4

Cecha przez 4 bywa myląca, bo wymaga spojrzenia na dwie cyfry naraz. W liczbie $1\,764$ patrzymy na 64, a $64 : 4 = 16$ , więc tak. W $3\,321$ patrzymy na 21 — nie dzieli się, więc nie.

Rozkład na czynniki, NWD i NWW

Rozkład na czynniki pierwsze pojawia się w trzech zadaniach i jest narzędziem do liczenia największego wspólnego dzielnika oraz najmniejszej wspólnej wielokrotności.

NWD to iloczyn wspólnych czynników w najniższych potęgach, NWW — wszystkich czynników w najwyższych. Kontrola sensowności: NWD nigdy nie przekracza mniejszej z liczb, a NWW nigdy nie jest mniejsze od większej.

Uwaga na cechę złożoną: podzielność przez 6 sprawdzamy jako podzielność przez 2 i przez 3, bo te czynniki nie mają wspólnego dzielnika. Ten sam trick nie działa dla 8 rozłożonej na 2 i 4 — one wspólny dzielnik mają.

Zaokrąglanie

Zasada jest jedna: patrzymy na pierwszą odciętą cyfrę. Jeśli wynosi 5 lub więcej, zaokrąglamy w górę; jeśli mniej — w dół. Cyfry stojące dalej nie mają znaczenia.

Stąd bierze się najczęstszy błąd w tym temacie — zaokrąglanie łańcuchowe. Liczby 0,8463 nie zaokrąglamy najpierw do 0,846, potem do 0,85 i dalej do 0,9. Każde zaokrąglenie wykonujemy raz, od liczby wyjściowej.

W zadaniach egzaminacyjnych zaokrąglanie łączy się zwykle z porównywaniem: kilka osób zaokrągla tę samą liczbę do różnych rzędów i trzeba ocenić, kto ma rację.

Zadania „wybierz odpowiedź i jej uzasadnienie”

Cztery zadania na tej stronie mają format, którego prawie nie ma w podręcznikach: trzeba wskazać tezę (A albo B) oraz uzasadnienie (1., 2. albo 3.). Punkt przyznaje się tylko za obie części naraz.

To zmienia sposób czytania. Nie wystarczy wiedzieć, czy odpowiedź brzmi „tak”, czy „nie” — trzeba jeszcze rozpoznać, które z trzech uzasadnień jest poprawne merytorycznie. Bywa, że dwa z nich prowadzą do właściwej tezy, ale tylko jedno jest prawdziwym powodem.

Metoda: najpierw rozstrzygnij tezę samodzielnie, licząc. Dopiero potem czytaj uzasadnienia i odrzucaj te, które są fałszywe albo nie na temat — nawet jeśli pasują do wybranej tezy.

Typowy dystraktor to zdanie prawdziwe, ale niebędące powodem. Przy pytaniu o podzielność przez 3 uzasadnienie „bo ostatnia cyfra to 3” bywa akurat prawdziwe co do faktu, a bez związku z tezą.

Przykłady krok po kroku

Cztery zadania krok po kroku: wstawianie brakującej cyfry, cecha przez 4, zaokrąglanie i format z uzasadnieniem.

Przykład 1 Brakująca cyfra

Jaką cyfrę należy wpisać w miejsce gwiazdki w liczbie $2\,4{*}7$ , aby była podzielna przez 3?

Sumuję znane cyfry: $2 + 4 + 7 = 13$ .
Szukam najbliższych wielokrotności trójki powyżej 13: to 15, 18, 21.
Brakuje więc odpowiednio 2, 5 albo 8 — wszystkie są cyframi, więc wszystkie pasują.
Sprawdzenie dla 5: $2+4+5+7 = 18$ , a $18 : 3 = 6$ ✓

Odpowiedź: Pasują trzy cyfry: 2, 5 i 8.

Przykład 2 Cecha podzielności przez 4

Które z liczb $3\,321$ , $1\,764$ , $2\,936$ dzielą się przez 4?

Cecha przez 4 patrzy tylko na dwie ostatnie cyfry, bo każda pełna setka dzieli się przez 4.
$3\,321$ → końcówka 21, a $21 : 4$ nie jest całkowite ✗
$1\,764$ → końcówka 64, a $64 : 4 = 16$ ✓
$2\,936$ → końcówka 36, a $36 : 4 = 9$ ✓
Kontrola pełnym dzieleniem: $1\,764 : 4 = 441$ ✓, $2\,936 : 4 = 734$ ✓

Odpowiedź: Przez 4 dzielą się $1\,764$ i $2\,936$ .

Przykład 3 Zaokrąglanie do różnych rzędów

Zaokrąglij liczbę 0,8463 do części dziesiątych, setnych i tysięcznych.

Do dziesiątych: odcinam po pierwszej cyfrze po przecinku, pierwsza odcięta to 4 — mniej niż 5, więc w dół: 0,8.
Do setnych: odcinam po drugiej cyfrze, pierwsza odcięta to 6 — w górę: 0,85.
Do tysięcznych: odcinam po trzeciej, pierwsza odcięta to 3 — w dół: 0,846.
Ważne: każde zaokrąglenie liczę od liczby wyjściowej, a nie od poprzedniego wyniku. Gdybym zaokrąglał łańcuchowo, z 0,85 wyszłoby 0,9 zamiast poprawnego 0,8.

Odpowiedź: Kolejno 0,8, 0,85 oraz 0,846.

Przykład 4 Teza i uzasadnienie

Czy liczba $27\,733$ jest podzielna przez 3? Wybierz odpowiedź i jej uzasadnienie.

Najpierw rozstrzygam tezę samodzielnie. Suma cyfr: $2+7+7+3+3 = 22$ .
22 nie dzieli się przez 3 (bo 21 i 24 są wielokrotnościami, a 22 leży między nimi), więc liczba nie jest podzielna. Teza: „Nie”.
Teraz uzasadnienia. Poprawne musi mówić o sumie cyfr — i takie jest: „suma cyfr tej liczby nie jest podzielna przez 3”.
Odrzucam dystraktory: „cyfrą jedności jest 3” to fakt prawdziwy, ale bez związku z podzielnością przez 3. „Dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez 3” dotyczy innej cechy i tu nie ma zastosowania.
Punkt dostaje się tylko za obie części naraz — sama teza „Nie” nie wystarczy.

Odpowiedź: Odpowiedź: „Nie, ponieważ suma cyfr tej liczby nie jest podzielna przez 3”.

Najczęstsze błędy

Cztery błędy typowe dla tego działu. Pierwszy dotyczy formatu zadania, nie matematyki — i przez to bywa najbardziej frustrujący.

Dobra teza, złe uzasadnienie

Skąd się bierze: W zadaniach „wybierz odpowiedź i jej uzasadnienie” uczeń poprawnie rozstrzyga, czy liczba się dzieli, a potem wybiera uzasadnienie, które brzmi sensownie. Punkt przyznaje się jednak tylko za obie części naraz, więc całe zadanie przepada.

Jak zrobić dobrze: Rozstrzygnij tezę licząc, a potem sprawdź każde uzasadnienie osobno: czy to zdanie jest prawdziwe i czy jest powodem tej tezy. Zdanie prawdziwe, ale nie na temat, to najczęstszy dystraktor.

Zaokrąglanie łańcuchowe

Skąd się bierze: Uczeń zaokrągla stopniowo: najpierw do tysięcznych, potem ten wynik do setnych, potem do dziesiątych. Przy 0,8463 daje to 0,9 zamiast 0,8, bo błąd narasta na każdym kroku.

Jak zrobić dobrze: Każde zaokrąglenie wykonuj od liczby wyjściowej. Zasłoń palcem cyfry, które odcinasz, i spójrz tylko na pierwszą zasłoniętą.

Rozkładanie dzielnika na czynniki mające wspólny dzielnik

Skąd się bierze: Skoro podzielność przez 6 sprawdza się jako 2 i 3, uczeń przenosi wzorzec i sprawdza 8 jako 2 i 4. To zawodzi — liczba 12 dzieli się przez 2 i przez 4, a przez 8 już nie.

Jak zrobić dobrze: Rozkładaj tylko na czynniki względnie pierwsze, czyli takie bez wspólnego dzielnika: $6 = 2 \cdot 3$ działa, $12 = 3 \cdot 4$ działa, ale $8 = 2 \cdot 4$ nie.

Mylenie NWD z NWW

Skąd się bierze: Skróty różnią się jedną literą, a oba dotyczą pary liczb. Wynik wychodzi wtedy albo absurdalnie mały, albo absurdalnie duży, ale bez kontroli łatwo tego nie zauważyć.

Jak zrobić dobrze: Zapamiętaj granice: dzielnik nie może być większy od liczby, więc NWD $\le$ mniejsza z nich. Wielokrotność nie może być mniejsza od liczby, więc NWW $\ge$ większa. Ta kontrola wyłapuje pomyłkę natychmiast.

Zadania z arkuszy CKE — cyfry, podzielność i zaokrąglanie

Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminu ósmoklasisty (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem. W zestawie jest 6 zadań z arkuszy egzaminu gimnazjalnego (do 2019 roku) — dokładamy je jako dodatkowe ćwiczenie tych samych umiejętności. Zakres gimnazjum był miejscami szerszy niż wymagania dla klas 7–8, dlatego każde takie zadanie jest podpisane osobno.

Kolor pokazuje, skąd bierze się wynik — np. które cyfry decydują o podzielności lub zaokrągleniu, albo z jakich czynników składa się NWD i NWW. Gdy potrzebne są dwa różne warunki, jeden jest zielony, drugi czerwony. Sam wynik zostaje czarny.

Sprawdź się bez zaglądania do odpowiedzi. Wylosuję 10 zadań zamkniętych z tego zestawu — klucz i rozwiązania schowam do czasu sprawdzenia. Pula liczy 13 zadań, więc za każdym razem dostaniesz inny zestaw.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (maj 2026)1 pktłatwe

Ola otwiera swoją szafkę za pomocą czterocyfrowego kodu

YXXY

, gdzie

X

jest największym wspólnym dzielnikiem liczb 18 i 27, a

Y

jest najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb 2 i 4. Jaki jest kod do otwarcia szafki Oli?

A. 4334
B. 4994
C. 8338
D. 8998

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Szukamy $X$ — największego wspólnego dzielnika liczb 18 i 27. Dzielniki 18 to 1, 2, 3, 6, 9, 18; dzielniki 27 to 1, 3, 9, 27.
Największy wspólny: $X = \textcolor{#16A06A}{9}$ .
Szukamy $Y$ — najmniejszej wspólnej wielokrotności liczb 2 i 4. Wielokrotności 4 to 4, 8, 12…, a 4 dzieli się przez 2, więc $Y = \textcolor{#E0453A}{4}$ .
Podstawiamy do wzoru kodu $YXXY$ : $\textcolor{#E0453A}{4}\,\textcolor{#16A06A}{9}\,\textcolor{#16A06A}{9}\,\textcolor{#E0453A}{4}$ , czyli 4994.
Odpowiedź B.

💡 Wskazówka: NWD jest zawsze nie większy od mniejszej z liczb, a NWW nie mniejszy od większej. Tu: $X \le 18$ , $Y \ge 4$ — dobra kontrola wyniku.

⚠ Najczęstszy błąd: pomylenie kolejności liter i wpisanie $XYYX$ , czyli 9449. Warto podkreślić sobie wzór $YXXY$ i podstawiać po kolei.

Zadanie 2 (czerwiec 2025)1 pktśrednie

Dane są liczby:

k = 69

oraz

m = 83

. Oceń prawdziwość podanych zdań.

Suma liczb $k$ i $m$ jest podzielna przez 4.	P	F
Iloczyn liczb $k$ i $m$ jest podzielny przez 3.	P	F

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P, P

Zdanie 1: liczymy sumę $69 + 83 = 152$ .
Podzielność przez 4 sprawdzamy po dwóch ostatnich cyfrach: $52 : 4 = 13$ ✓, więc 152 dzieli się przez 4 — prawda.
Zdanie 2: iloczynu nie trzeba liczyć! Wystarczy, że jeden z czynników dzieli się przez 3.
Suma cyfr liczby 69: $6 + 9 = 15$ , a $15 : 3 = 5$ , więc 69 dzieli się przez 3.
Skoro $69 = 3 \cdot 23$ , to $69 \cdot 83 = 3 \cdot (23 \cdot 83)$ — iloczyn dzieli się przez 3 ✓ — prawda.
Odpowiedzi: P, P.

💡 Wskazówka: W iloczynie wystarczy znaleźć jeden czynnik podzielny przez daną liczbę — cały iloczyn wtedy też się przez nią dzieli. W sumie tak nie działa: trzeba policzyć.

⚠ Typowy błąd: mnożenie $69 \cdot 83 = 5727$ na piechotę. To strata czasu i okazja do pomyłki — wystarczy spojrzeć na czynniki.

Zadanie 3 (maj 2025)1 pktłatwe

Dane są liczby: 91, 92, 95, 97. Która z podanych liczb przy dzieleniu przez 7 daje resztę 1?

A. 91
B. 92
C. 95
D. 97

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Szukamy najbliższej wielokrotności siódemki: $7 \cdot 13 = \textcolor{#16A06A}{91}$ .
Skoro $\textcolor{#16A06A}{91}$ dzieli się przez 7 bez reszty, to reszta 1 pojawi się przy liczbie o jeden większej.
$92 = \textcolor{#16A06A}{91} + 1$ , czyli $92 = 7 \cdot 13 + 1$ — reszta wynosi 1 ✓.
Dla porządku pozostałe: $95 = 91 + 4$ (reszta 4), $97 = 91 + 6$ (reszta 6).
Odpowiedź B.

💡 Wskazówka: Zamiast dzielić każdą liczbę osobno, znajdź jedną wielokrotność dzielnika w pobliżu — resztę odczytasz jako różnicę.

⚠ Błąd: mylenie reszty z ilorazem albo szukanie liczby kończącej się na 1 (stąd kuszące 91).

Zadanie 4 (czerwiec 2024)1 pktśrednie

Czy liczba 27 733 jest podzielna przez 3? Wybierz odpowiedź A albo B i jej uzasadnienie spośród 1., 2. albo 3.

A	Tak,	ponieważ	1.	cyfrą jedności tej liczby jest 3.

			2.	suma cyfr tej liczby nie jest podzielna przez 3.
B	Nie,
			3.	dwie ostatnie cyfry tej liczby tworzą liczbę podzielną przez 3.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B, 2

Cecha podzielności przez 3 mówi: liczba dzieli się przez 3 wtedy, gdy suma jej cyfr dzieli się przez 3.
Sumujemy cyfry liczby 27 733: $2 + 7 + 7 + 3 + 3 = \textcolor{#E0453A}{22}$ .
Sprawdzamy: $\textcolor{#E0453A}{22} : 3 = 7$ reszty 1 — suma cyfr nie dzieli się przez 3.
Zatem liczba 27 733 nie jest podzielna przez 3 — wybieramy B, a jako powód 2.
Dlaczego nie pozostałe uzasadnienia? Cyfra jedności nie ma nic wspólnego z podzielnością przez 3 (odpada 1.), a „dwie ostatnie cyfry” to cecha podzielności przez 4, nie przez 3 (odpada 3.).

💡 Wskazówka: Sumę cyfr można skracać po drodze: gdy dojdziesz do liczby podzielnej przez 3, po prostu ją pomiń. Tu: $2+7 = 9$ (pomijamy), zostaje $7+3+3 = 13$ — też nie dzieli się przez 3.

⚠ Bardzo częsty błąd: patrzenie na ostatnią cyfrę („kończy się na 3, więc dzieli się przez 3”). Ostatnia cyfra decyduje o podzielności przez 2, 5 i 10 — nigdy przez 3.

Zadanie 5 (czerwiec 2022)1 pktśrednie

Liczbę 404 można zapisać w postaci

(21 \cdot 19 + 5)

. Oceń prawdziwość podanych zdań.

Resztą z dzielenia liczby 404 przez 19 jest 5.	P	F
Jeśli liczbę 404 zmniejszymy o 5, to otrzymamy liczbę podzielną przez 21.	P	F

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P, P

Zapis $404 = 21 \cdot 19 + 5$ czytamy tak: iloczyn $\textcolor{#16A06A}{21 \cdot 19}$ dzieli się i przez 21, i przez 19, a $\textcolor{#E0453A}{5}$ to to, co „zostaje”.
Zdanie 1: dzieląc przez 19, mamy $404 = 19 \cdot 21 + \textcolor{#E0453A}{5}$ . Reszta musi być mniejsza od dzielnika — sprawdzamy: $\textcolor{#E0453A}{5} < 19$ ✓.
Zatem reszta z dzielenia przez 19 rzeczywiście wynosi 5 — prawda.
Zdanie 2: $404 - \textcolor{#E0453A}{5} = \textcolor{#16A06A}{399}$ , a $\textcolor{#16A06A}{399} = 21 \cdot 19$ , więc dzieli się przez 21 ✓ — prawda.
Odpowiedzi: P, P.

💡 Wskazówka: Ten sam zapis daje odpowiedź dla obu dzielników naraz: $404 = 21 \cdot 19 + 5$ oznacza resztę 5 zarówno przy dzieleniu przez 21, jak i przez 19.

⚠ Uwaga na warunek reszty: musi być mniejsza od dzielnika. Gdyby zadanie pytało o dzielenie przez 4, zapis z resztą 5 byłby błędny.

Zadanie 6 (czerwiec 2022)1 pkttrudniejsze

Na tablicy zapisano wszystkie różne liczby dwucyfrowe, które jednocześnie spełniają trzy warunki: są mniejsze od 40, są podzielne przez 3, suma cyfr każdej z nich jest większa od 7. Ile liczb zapisano na tablicy?

A. 3
B. 4
C. 5
D. 6

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Warunki nakładamy po kolei. Najpierw: dwucyfrowe, mniejsze od 40, podzielne przez 3.
To wielokrotności trójki od 12 do 39: 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39 — dziesięć liczb.
Teraz drugie sito: suma cyfr większa od 7. Liczymy sumy po kolei: $12 \to 3$ , $15 \to 6$ , $18 \to \textcolor{#16A06A}{9}$ , $21 \to 3$ , $24 \to 6$ , $27 \to \textcolor{#16A06A}{9}$ , $30 \to 3$ , $33 \to 6$ , $36 \to \textcolor{#16A06A}{9}$ , $39 \to \textcolor{#16A06A}{12}$ .
Warunek „ $> 7$ ” spełniają cztery liczby: 18, 27, 36, 39.
Odpowiedź B.

💡 Wskazówka: Zauważ regułę: skoro liczby są podzielne przez 3, ich sumy cyfr też są podzielne przez 3 — mogą więc wynosić tylko 3, 6, 9 lub 12. Warunek „ $>7$ ” zostawia jedynie 9 i 12.

⚠ Częsty błąd: pominięcie liczby 39 (bo „39 to prawie 40”) albo doliczenie 42, które jest już większe od 40.

Zadanie 7 (maj 2022)1 pktśrednie

Spośród wszystkich liczb trzycyfrowych o sumie cyfr równej 6 wybrano liczbę największą i liczbę najmniejszą. Dokończ zdanie.
Suma wybranych liczb jest równa

A. 714
B. 705
C. 606
D. 327

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Największa liczba: chcemy jak najwięcej „z przodu”, więc na cyfrę setek dajemy wszystko, co się da — czyli $\textcolor{#16A06A}{6}$ .
Zostaje $6 - \textcolor{#16A06A}{6} = 0$ do rozdzielenia, więc dalej same zera: liczba to $\textcolor{#16A06A}{600}$ .
Najmniejsza liczba: cyfra setek ma być jak najmniejsza, ale liczba musi zostać trzycyfrowa — więc setki to 1.
Potem jak najmniejsze dziesiątki, czyli 0, a resztę wrzucamy na koniec: $6 - 1 - 0 = 5$ . Liczba to $\textcolor{#E0453A}{105}$ .
Sumujemy: $\textcolor{#16A06A}{600} + \textcolor{#E0453A}{105} = 705$ . Odpowiedź B.

💡 Wskazówka: Reguła: żeby liczba była największa, upychaj cyfry od lewej; żeby była najmniejsza — od prawej (pilnując, by pierwsza cyfra nie była zerem).

⚠ Częsty błąd przy najmniejszej: podanie 015 (to nie jest liczba trzycyfrowa) albo 150 zamiast 105.

Zadanie 8 (maj 2022)1 pktśrednie

Liczba

k

jest sumą liczb 323 i 160. Czy liczba

k

jest podzielna przez 3? Wybierz odpowiedź A albo B i jej uzasadnienie spośród 1., 2. albo 3.

A	Tak,	ponieważ	1.	cyfrą jedności liczby $k$ jest 3.

			2.	żadna z liczb 323 i 160 nie dzieli się przez 3.
B	Nie,
			3.	suma cyfr 3, 4 i 8 jest liczbą podzielną przez 3.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A, 3

Najpierw liczymy $k$ : $323 + 160 = \textcolor{#16A06A}{483}$ .
Cecha podzielności przez 3 — sumujemy cyfry liczby $\textcolor{#16A06A}{483}$ : $4 + 8 + 3 = \textcolor{#E0453A}{15}$ .
$\textcolor{#E0453A}{15} : 3 = 5$ , więc suma cyfr dzieli się przez 3, a zatem i cała liczba $k$ — odpowiedź A.
Uzasadnienie 3 mówi dokładnie to samo (wymienia cyfry 3, 4 i 8 liczby 483).
Uwaga na pułapkę w uzasadnieniu 2.: rzeczywiście ani 323, ani 160 nie dzieli się przez 3 — ale to nie jest powód, dla którego suma się nie dzieli. Tu suma akurat się dzieli, więc to zdanie nie może uzasadniać odpowiedzi.

💡 Wskazówka: Dwie liczby niepodzielne przez 3 mogą dać sumę podzielną przez 3 (np. $1 + 2 = 3$ ). Zawsze sprawdzaj sumę, a nie same składniki.

⚠ Najczęstszy błąd: wybór uzasadnienia 2. — brzmi rozsądnie, ale prowadzi do złego wniosku. Drugi błąd: patrzenie na cyfrę jedności (uzasadnienie 1.), która o podzielności przez 3 nic nie mówi.

Zadanie 9 (czerwiec 2021)1 pktśrednie

Dane są liczby: 3321, 1764, 6114, 2936, 1452, 1627. Uzupełnij zdania.

Wśród danych liczb są dokładnie AB liczby podzielne przez 3.

A. trzy
B. cztery

Wśród danych liczb są dokładnie CD liczby podzielne przez 4.

C. dwie
D. trzy

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B, D

Przez 3 — patrzymy na sumę cyfr: $3321 \to \textcolor{#E0453A}{9}$ ✓, $1764 \to \textcolor{#E0453A}{18}$ ✓, $6114 \to \textcolor{#E0453A}{12}$ ✓, $2936 \to 20$ ✗, $1452 \to \textcolor{#E0453A}{12}$ ✓, $1627 \to 16$ ✗.
Podzielne przez 3 są cztery liczby: 3321, 1764, 6114, 1452 — odpowiedź B.
Przez 4 — patrzymy tylko na dwie ostatnie cyfry: $33\textcolor{#16A06A}{21}$ ✗, $17\textcolor{#16A06A}{64}$ ✓, $61\textcolor{#16A06A}{14}$ ✗, $29\textcolor{#16A06A}{36}$ ✓, $14\textcolor{#16A06A}{52}$ ✓, $16\textcolor{#16A06A}{27}$ ✗.
Sprawdzenie: $\textcolor{#16A06A}{64} : 4 = 16$ , $\textcolor{#16A06A}{36} : 4 = 9$ , $\textcolor{#16A06A}{52} : 4 = 13$ — trzy liczby: 1764, 2936, 1452.
Odpowiedź D. Razem: B, D.

💡 Wskazówka: Dwie zupełnie różne cechy: przez 3 decyduje suma wszystkich cyfr, przez 4 — tylko dwie ostatnie. Nie mieszaj ich ze sobą.

⚠ Częsty błąd przy podzielności przez 4: sprawdzanie samej ostatniej cyfry („kończy się na 4, więc dzieli się przez 4”) — wtedy 6114 zostałoby zaliczone niesłusznie.

Zadanie 10 (maj 2021)1 pkttrudniejsze

Czy iloczyn dowolnych pięciu kolejnych liczb całkowitych jest podzielny przez 10? Wybierz odpowiedź A albo B i jej uzasadnienie spośród 1., 2. albo 3.

A	Tak,	ponieważ wśród dowolnych pięciu kolejnych liczb całkowitych	1.	nie musi znajdować się liczba podzielna przez 10.

			2.	jest co najmniej jedna liczba nieparzysta i co najmniej jedna parzysta.
B	Nie,
			3.	jest co najmniej jedna liczba podzielna przez 5 i co najmniej jedna parzysta.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A, 3

Rozkładamy dzielnik na czynniki pierwsze: $10 = \textcolor{#16A06A}{2} \cdot \textcolor{#E0453A}{5}$ . Żeby iloczyn dzielił się przez 10, musi zawierać czynnik $\textcolor{#16A06A}{2}$ i czynnik $\textcolor{#E0453A}{5}$ .
Wśród pięciu kolejnych liczb zawsze jest dokładnie jedna podzielna przez $\textcolor{#E0453A}{5}$ — bo co piąta liczba jest wielokrotnością piątki.
Wśród pięciu kolejnych są też co najmniej dwie liczby parzyste, czyli czynnik $\textcolor{#16A06A}{2}$ na pewno się znajdzie.
Skoro iloczyn zawiera i $\textcolor{#16A06A}{2}$ , i $\textcolor{#E0453A}{5}$ , to dzieli się przez $\textcolor{#16A06A}{2} \cdot \textcolor{#E0453A}{5} = 10$ — odpowiedź A, uzasadnienie 3.
Przykład: $3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 = 2520$ , a $2520 : 10 = 252$ ✓.

💡 Wskazówka: Przy podzielności iloczynu zawsze rozłóż dzielnik na czynniki pierwsze i sprawdź, czy każdy z nich gdzieś się znajdzie.

⚠ Kuszące uzasadnienie 2. („jest liczba parzysta i nieparzysta”) gwarantuje tylko podzielność przez 2 — nic nie mówi o piątce. A uzasadnienie 1. jest prawdziwe (liczby podzielnej przez 10 faktycznie może nie być), ale prowadzi do złej odpowiedzi: dziesiątka powstaje z iloczynu 2 i 5, nie musi być gotowa w jednej liczbie.

Zadanie 11 (marzec 2021)1 pktśrednie

Piłki tenisowe zapakowano do 186 jednakowych pudełek. Do każdego z tych pudełek włożono po 6 piłek. Oceń prawdziwość podanych zdań.

Liczba wszystkich spakowanych piłek jest podzielna przez 4.	P	F
Wszystkie te piłki można byłoby spakować do większych pudełek — po 9 piłek w każdym.	P	F

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P, P

Liczymy wszystkie piłki: $186 \cdot 6 = 1116$ .
Zdanie 1 — podzielność przez 4 sprawdzamy po dwóch ostatnich cyfrach: $11\textcolor{#16A06A}{16}$ , a $\textcolor{#16A06A}{16} : 4 = 4$ ✓ — prawda ( $1116 : 4 = 279$ ).
Zdanie 2 — „spakować po 9” znaczy: czy 1116 dzieli się przez 9?
Cecha podzielności przez 9: suma cyfr $1 + 1 + 1 + 6 = \textcolor{#E0453A}{9}$ , a $\textcolor{#E0453A}{9}$ dzieli się przez 9 ✓ — prawda ( $1116 : 9 = 124$ pudełka).
Odpowiedzi: P, P.

💡 Wskazówka: Cecha podzielności przez 9 działa tak samo jak przez 3 — tylko suma cyfr musi się dzielić przez 9, a nie przez 3.

⚠ Częsty błąd: uznanie, że skoro pakowaliśmy po 6, to po 9 się nie da. Pakowanie zmienia tylko rozmiar pudełka — liczy się, czy łączna liczba piłek dzieli się przez 9.

Zadanie 12 (czerwiec 2019)1 pktśrednie

Podczas lekcji matematyki uczniowie zaokrąglali liczbę 0,84631. Adam zaokrąglił tę liczbę do części dziesiątych, Bartek — do części setnych, Magda — do części tysięcznych, a Zosia — do części dziesięciotysięcznych. Które z dzieci otrzymało największą liczbę?

A. Adam.
B. Bartek.
C. Magda.
D. Zosia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Zasada zaokrąglania: patrzymy na pierwszą odciętą cyfrę. Jeśli jest $\textcolor{#E0453A}{\ge 5}$ — zaokrąglamy w górę, jeśli mniejsza — w dół.
Adam (dziesiąte): $0{,}8\,|\,\textcolor{#16A06A}{4}631$ — odcięta cyfra to $\textcolor{#16A06A}{4}$ , czyli w dół: 0,8.
Bartek (setne): $0{,}84\,|\,\textcolor{#E0453A}{6}31$ — odcięta cyfra to $\textcolor{#E0453A}{6}$ , czyli w górę: 0,85.
Magda (tysięczne): $0{,}846\,|\,\textcolor{#16A06A}{3}1$ — odcięta cyfra to $\textcolor{#16A06A}{3}$ , w dół: 0,846.
Zosia (dziesięciotysięczne): $0{,}8463\,|\,\textcolor{#16A06A}{1}$ — w dół: 0,8463.
Porównujemy: $0{,}8000 < 0{,}8460 < 0{,}8463 < 0{,}8500$ . Największa jest liczba Bartka — odpowiedź B.

💡 Wskazówka: Przy porównywaniu ułamków dziesiętnych dopisz brakujące zera, żeby wszystkie miały tyle samo miejsc — wtedy porównanie jest oczywiste.

⚠ Bardzo częsty błąd: przekonanie, że „im dokładniej zaokrąglimy, tym większa liczba” — i wybór Zosi. Dokładność nie ma tu nic do rzeczy; liczy się tylko to, czy zaokrąglało się w górę, czy w dół.

Zadanie 13 (grudzień 2018)1 pktśrednie

Monika poprawnie zaokrągliła liczbę 3465 do pełnych setek i otrzymała liczbę

x

, a Paweł poprawnie zaokrąglił liczbę 3495 do pełnych tysięcy i otrzymał liczbę

y

. Czy liczby

x

y

są równe?

A	Tak,	ponieważ	1.	początkowa liczba Moniki jest mniejsza od początkowej liczby Pawła.

			2.	cyfra tysięcy każdej z początkowych liczb jest taka sama.
B	Nie,
			3.	otrzymane zaokrąglenia różnią się o 500.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B, 3

Monika — zaokrągla 3465 do setek. Patrzymy na cyfrę dziesiątek: $34\,|\,\textcolor{#E0453A}{6}5$ . Skoro $\textcolor{#E0453A}{6} \ge 5$ , zaokrąglamy w górę: $x = 3500$ .
Paweł — zaokrągla 3495 do tysięcy. Patrzymy na cyfrę setek: $3\,|\,\textcolor{#16A06A}{4}95$ . Skoro $\textcolor{#16A06A}{4} < 5$ , zaokrąglamy w dół: $y = 3000$ .
Liczby nie są równe — odpowiedź B.
Powód: $3500 - 3000 = 500$ , czyli zaokrąglenia różnią się o 500 — uzasadnienie 3.
Dlaczego nie pozostałe? Uzasadnienia 1. i 2. są prawdziwymi zdaniami, ale nie wyjaśniają, dlaczego wyniki się różnią.

💡 Wskazówka: Zaokrąglając, patrz tylko na jedną cyfrę — tę bezpośrednio za miejscem zaokrąglenia. Cyfry dalej nie mają znaczenia (3495 do tysięcy to 3000, mimo że 495 wygląda „prawie jak 500”).

⚠ Najczęstszy błąd u Pawła: zaokrąglanie „schodkowo” — najpierw $3495 \to 3500$ , potem $3500 \to 4000$ . Tak nie wolno; zaokrąglamy jednym ruchem, patrząc na oryginalną liczbę.

Zadanie 14 (marzec 2020)1 pkttrudniejsze

W liczbie pięciocyfrowej

258\#4

, podzielnej przez 4 i niepodzielnej przez 3, cyfrę dziesiątek zastąpiono znakiem „#”. Jakiej cyfry na pewno nie zastąpiono znakiem „#”?

A. 0
B. 4
C. 6
D. 8

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Mamy dwa warunki naraz — sprawdzamy każdy osobno i dopiero potem łączymy.
Warunek 1 — podzielna przez 4. Decydują dwie ostatnie cyfry, czyli $\textcolor{#16A06A}{\#4}$ . Sprawdzamy: 04 ✓, 14 ✗, 24 ✓, 34 ✗, 44 ✓, 54 ✗, 64 ✓, 74 ✗, 84 ✓, 94 ✗.
Zatem $\textcolor{#16A06A}{\#}$ musi być parzyste: 0, 2, 4, 6 lub 8.
Warunek 2 — NIEpodzielna przez 3. Suma cyfr: $2+5+8+\#+4 = \textcolor{#E0453A}{19 + \#}$ . Ta suma nie może dzielić się przez 3.
Sprawdzamy nasze parzyste kandydatki: $\#=0 \to 19$ ✗niepodz. ✓, $\#=2 \to \textcolor{#E0453A}{21}$ (dzieli się przez 3 — odpada), $\#=4 \to 23$ ✓, $\#=6 \to 25$ ✓, $\#=8 \to \textcolor{#E0453A}{27}$ (dzieli się przez 3 — odpada).
Pasują więc 0, 4 i 6, a nie może być 2 ani 8. Wśród odpowiedzi jest tylko 8 — odpowiedź D.

💡 Wskazówka: Przy dwóch warunkach naraz rób to zawsze etapami: najpierw jedno sito (parzystość), potem drugie (suma cyfr) — nie próbuj sprawdzać wszystkiego naraz.

⚠ Uwaga na słowo „nie zastąpiono” — pytanie jest odwrotne niż zwykle. Łatwo znaleźć poprawne cyfry (0, 4, 6) i odruchowo zaznaczyć jedną z nich.

Zadanie 15 (grudzień 2018)1 pkttrudniejsze

Liczba

x

jest najmniejszą liczbą dodatnią podzielną przez 3 i 4, a liczba

y

jest największą liczbą dwucyfrową podzielną przez 2 i 9. Dokończ zdanie.
Najmniejsza wspólna wielokrotność liczb

x

y

jest równa

A. 72
B. 108
C. 180
D. 216

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Szukamy $x$ — najmniejsza liczba dodatnia podzielna przez 3 i 4, czyli $\mathrm{NWW}(3,4) = 12$ . Zatem $x = 12$ .
Szukamy $y$ — podzielna przez 2 i 9 znaczy podzielna przez 18. Największa dwucyfrowa wielokrotność 18 to $18 \cdot 5 = 90$ . Zatem $y = 90$ .
Teraz NWW liczb 12 i 90 — rozkładamy obie na czynniki pierwsze:
$12 = \textcolor{#16A06A}{2^2} \cdot 3$ oraz $90 = 2 \cdot \textcolor{#E0453A}{3^2} \cdot \textcolor{#E0453A}{5}$ .
Do NWW bierzemy każdy czynnik w najwyższej potędze, jaka wystąpiła: dwójkę z liczby 12 ( $\textcolor{#16A06A}{2^2}$ ), trójkę z liczby 90 ( $\textcolor{#E0453A}{3^2}$ ) i piątkę ( $\textcolor{#E0453A}{5}$ ).
$\mathrm{NWW} = \textcolor{#16A06A}{2^2} \cdot \textcolor{#E0453A}{3^2} \cdot \textcolor{#E0453A}{5} = 4 \cdot 9 \cdot 5 = 180$ . Odpowiedź C.

💡 Wskazówka: Kontrola wyniku: NWW musi być wielokrotnością obu liczb. Sprawdzamy: $180 : 12 = 15$ ✓ i $180 : 90 = 2$ ✓.

⚠ Częsty błąd: pomnożenie liczb przez siebie ( $12 \cdot 90 = 1080$ ) — to daje wspólną wielokrotność, ale nie najmniejszą. Drugi błąd: wybór 72 lub 216, które nie dzielą się przez 90.

Zadanie 16 (kwiecień 2019)1 pkttrudniejsze

Liczba 1450 jest zaokrągleniem do rzędu dziesiątek kilku liczb naturalnych. Ile jest wszystkich liczb naturalnych różnych od 1450, które mają takie zaokrąglenie?

A. 4
B. 5
C. 9
D. 10

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Pytamy: które liczby zaokrąglone do dziesiątek dają 1450?
Od dołu: zaokrąglamy w górę, gdy cyfra jedności jest $\ge 5$ . Najmniejsza taka liczba to $\textcolor{#16A06A}{1445}$ (bo 1444 zaokrągli się już do 1440).
Od góry: zaokrąglamy w dół, gdy cyfra jedności jest $< 5$ . Największa taka liczba to $\textcolor{#E0453A}{1454}$ (bo 1455 zaokrągli się do 1460).
Czyli szukane liczby to wszystkie od $\textcolor{#16A06A}{1445}$ do $\textcolor{#E0453A}{1454}$ : 1445, 1446, 1447, 1448, 1449, 1450, 1451, 1452, 1453, 1454 — razem 10 liczb.
Ale zadanie prosi o liczby różne od 1450, więc odrzucamy jedną: $10 - 1 = 9$ . Odpowiedź C.

💡 Wskazówka: Licząc, ile liczb naturalnych mieści się między $a$ i $b$ włącznie, użyj wzoru $b - a + 1$ . Tu: $1454 - 1445 + 1 = 10$ .

⚠ Dwa typowe błędy: (1) zapomnienie o wykluczeniu samej liczby 1450 i wybór odpowiedzi D; (2) źle wyznaczony koniec przedziału — 1455 zaokrągla się już w górę, do 1460.

Zadanie 17 (kwiecień 2016, egzamin gimnazjalny)1 pktśrednie

Z cyfr 2, 3 i 5 Ania utworzyła wszystkie możliwe liczby trzycyfrowe o różnych cyfrach. Które z poniższych zdań jest prawdziwe?

A. Wszystkie liczby utworzone przez Anię są nieparzyste.
B. Wszystkie liczby utworzone przez Anię są mniejsze od 530.
C. Dwie liczby utworzone przez Anię są podzielne przez 5.
D. Wśród liczb utworzonych przez Anię są liczby podzielne przez 3.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Najpierw wypisujemy wszystkie liczby — jest ich sześć: 235, 253, 325, 352, 523, 532.
A — czy wszystkie są nieparzyste? Liczba $35\textcolor{#16A06A}{2}$ kończy się na $\textcolor{#16A06A}{2}$ , więc jest parzysta. Fałsz.
B — czy wszystkie są mniejsze od 530? Mamy $\textcolor{#16A06A}{532} > 530$ . Fałsz.
C — podzielne przez 5 to te kończące się na $\textcolor{#16A06A}{5}$ : $23\textcolor{#16A06A}{5}$ i $32\textcolor{#16A06A}{5}$ — dokładnie dwie. Prawda ✓
D — podzielność przez 3 zależy od sumy cyfr, a ta jest zawsze taka sama: $2+3+5 = \textcolor{#E0453A}{10}$ . Skoro $\textcolor{#E0453A}{10}$ nie dzieli się przez 3, to żadna z tych liczb nie jest podzielna przez 3. Fałsz.
Odpowiedź C.

💡 Wskazówka: Sprytna obserwacja przy odpowiedzi D: przestawianie cyfr nie zmienia ich sumy, więc albo wszystkie te liczby dzielą się przez 3, albo żadna.

⚠ Częsty błąd: sprawdzanie tylko kilku liczb zamiast wypisania wszystkich sześciu. Przy zdaniach zaczynających się od „wszystkie” wystarczy jeden kontrprzykład, żeby je obalić.

Zadanie 18 (kwiecień 2015, egzamin gimnazjalny)1 pktśrednie

W dodatniej liczbie trzycyfrowej cyfra dziesiątek jest równa 5, a cyfra setek jest o 6 mniejsza od cyfry jedności. Ile jest liczb spełniających te warunki?

A. Jedna.
B. Dwie.
C. Trzy.
D. Cztery.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Zapisujemy liczbę jako $\textcolor{#16A06A}{s}\,5\,\textcolor{#E0453A}{j}$ — cyfra dziesiątek jest z góry ustalona i równa 5.
Warunek: cyfra setek jest o 6 mniejsza od cyfry jedności, czyli $\textcolor{#16A06A}{s} = \textcolor{#E0453A}{j} - 6$ .
Podstawiamy kolejne wartości cyfry jedności $\textcolor{#E0453A}{j}$ i sprawdzamy, czy $\textcolor{#16A06A}{s}$ wychodzi sensownie:
$\textcolor{#E0453A}{j}=6 \to \textcolor{#16A06A}{s}=0$ — odpada, liczba 056 nie jest trzycyfrowa.
$\textcolor{#E0453A}{j}=7 \to \textcolor{#16A06A}{s}=1$ → 157 ✓ · $\textcolor{#E0453A}{j}=8 \to \textcolor{#16A06A}{s}=2$ → 258 ✓ · $\textcolor{#E0453A}{j}=9 \to \textcolor{#16A06A}{s}=3$ → 359 ✓
Większych cyfr nie ma (cyfra to najwyżej 9), więc liczby są trzy — odpowiedź C.

💡 Wskazówka: Cyfra to zawsze liczba od 0 do 9, a pierwsza cyfra liczby trzycyfrowej nie może być zerem — te dwa ograniczenia rozstrzygają całe zadanie.

⚠ Najczęstszy błąd: doliczenie liczby „056” — to zapis dwucyfrowej liczby 56, nie trzycyfrowej.

Zadanie 19 (kwiecień 2012, egzamin gimnazjalny)1 pktłatwe

Oceń prawdziwość podanych zdań.

Liczba 1725 jest liczbą podzielną przez 15.	P	F
Liczba 1725 jest wielokrotnością 125.	P	F

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P, F

Zdanie 1: rozkładamy dzielnik — $15 = \textcolor{#16A06A}{3} \cdot \textcolor{#E0453A}{5}$ , więc sprawdzamy obie cechy osobno.
Przez $\textcolor{#16A06A}{3}$ : suma cyfr $1+7+2+5 = \textcolor{#16A06A}{15}$ , a $\textcolor{#16A06A}{15}$ dzieli się przez 3 ✓.
Przez $\textcolor{#E0453A}{5}$ : liczba kończy się na $\textcolor{#E0453A}{5}$ ✓.
Skoro dzieli się i przez 3, i przez 5, to dzieli się przez 15 — prawda ( $1725 : 15 = 115$ ).
Zdanie 2: sprawdzamy $1725 : 125$ . Wiemy, że $125 \cdot 13 = 1625$ , a $125 \cdot 14 = 1750$ — liczba 1725 wypada pomiędzy, więc nie jest wielokrotnością 125. Fałsz.
Odpowiedzi: P, F.

💡 Wskazówka: Przy podzielności przez liczbę złożoną (15, 12, 18…) rozłóż ją na czynniki względnie pierwsze i sprawdź każdy osobno. Uwaga: dla 12 nie wystarczy „przez 2 i przez 6” — trzeba „przez 3 i przez 4”.

⚠ Częsty błąd w drugim zdaniu: uznanie, że skoro liczba kończy się na 25, to dzieli się przez 125. Końcówka 25 świadczy tylko o podzielności przez 25.

Zadanie 20 (grudzień 2011, egzamin gimnazjalny)1 pktśrednie

Które zdanie jest fałszywe?

A. Suma kolejnych dwóch liczb naturalnych jest liczbą nieparzystą.
B. Iloczyn kolejnych dwóch liczb naturalnych jest liczbą parzystą.
C. Różnica dwóch liczb nieparzystych jest liczbą nieparzystą.
D. Suma dwóch liczb nieparzystych jest liczbą parzystą.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

A — dwie kolejne liczby naturalne to zawsze jedna parzysta i jedna nieparzysta, np. $4 + 5 = 9$ . Suma wychodzi nieparzysta ✓ prawda.
B — wśród dwóch kolejnych zawsze jest liczba parzysta, więc iloczyn ma czynnik 2: $4 \cdot 5 = 20$ ✓ prawda.
C — sprawdzamy kontrprzykładem: $\textcolor{#16A06A}{7} - \textcolor{#16A06A}{3} = 4$ , a 4 jest parzysta. Zdanie fałszywe ✓
D — $\textcolor{#16A06A}{7} + \textcolor{#16A06A}{3} = 10$ , parzysta ✓ prawda.
Szukaliśmy zdania fałszywego — odpowiedź C.

💡 Wskazówka: Zapamiętaj: suma i różnica dwóch nieparzystych są zawsze parzyste. Nieparzysty wynik daje dopiero połączenie liczby parzystej z nieparzystą.

⚠ Częsty błąd: przekonanie, że „nieparzysta minus nieparzysta daje nieparzystą” — przez analogię do mnożenia. Wystarczy jeden przykład ( $5-1=4$ ), żeby to obalić.

Zadanie 21 (materiały CKE)1 pktśrednie

Do przygotowania podwieczorku użyto 120 mandarynek i 180 śliwek. Każda porcja składa się z takiej samej liczby mandarynek i takiej samej liczby śliwek, a owoce nie dzielono na części. Dla ilu maksymalnie osób przygotowano taki podwieczorek?

A. 90
B. 20
C. 30
D. 60

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Liczba porcji musi dzielić obie liczby owoców — i to jak największa. Szukamy więc $\mathrm{NWD}(120, 180)$ .
Rozkładamy na czynniki pierwsze: $120 = \textcolor{#16A06A}{2^2} \cdot 2 \cdot \textcolor{#16A06A}{3} \cdot \textcolor{#16A06A}{5}$ , czyli $120 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5$ , oraz $180 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5$ .
Do NWD bierzemy wspólne czynniki w najniższej potędze: $\textcolor{#16A06A}{2^2} \cdot \textcolor{#16A06A}{3} \cdot \textcolor{#16A06A}{5} = 4 \cdot 3 \cdot 5 = 60$ .
Sprawdzamy: $120 : 60 = 2$ mandarynki na osobę, $180 : 60 = 3$ śliwki na osobę — wszystko się zgadza.
Odpowiedź D.

💡 Wskazówka: „Maksymalnie osób / największe pudełka / równe porcje” to sygnał NWD. Gdy w zadaniu chodzi o „za ile dni znowu się spotkają / najmniejsza wspólna liczba” — to NWW.

⚠ Kusząca odpowiedź 90 to NWD… gdyby owoców było po tyle samo. Ale $120 : 90$ nie jest liczbą całkowitą, więc 90 osób nie dostałoby równych porcji.

Zadanie 22 (materiały CKE)1 pkttrudniejsze

Które zdanie jest fałszywe?

A. Jeżeli liczba jest podzielna przez 12, to jest podzielna przez 6.
B. Jeżeli liczba jest podzielna przez 6, to jest podzielna przez 2 i przez 3.
C. Jeżeli liczba jest podzielna przez 3 i przez 5, to jest podzielna przez 15.
D. Jeżeli liczba jest podzielna przez 3 i przez 6, to jest podzielna przez 18.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

A — skoro $12 = 6 \cdot 2$ , to każda wielokrotność 12 jest też wielokrotnością 6 ✓ prawda.
B — $6 = 2 \cdot 3$ , więc podzielność przez 6 pociąga podzielność przez oba czynniki ✓ prawda.
C — liczby $\textcolor{#16A06A}{3}$ i $\textcolor{#E0453A}{5}$ nie mają wspólnych dzielników poza 1, więc z podzielności przez obie wynika podzielność przez $\textcolor{#16A06A}{3} \cdot \textcolor{#E0453A}{5} = 15$ ✓ prawda.
D — tu warunki się powielają: liczba podzielna przez 6 jest już automatycznie podzielna przez 3, więc drugi warunek nic nie wnosi.
Kontrprzykład: liczba 6 dzieli się przez 3 i przez 6, ale $6 : 18$ nie jest liczbą całkowitą. Zdanie fałszywe — odpowiedź D.

💡 Wskazówka: Reguła „ $a$ i $b$ → $a \cdot b$ ” działa tylko wtedy, gdy $a$ i $b$ nie mają wspólnych dzielników. Dla 3 i 5 działa, dla 3 i 6 (wspólny dzielnik 3) już nie.

⚠ Ta sama pułapka co przy podzielności przez 12: „dzieli się przez 2 i przez 6, więc przez 12” — nieprawda (np. 6). Trzeba sprawdzać „przez 3 i przez 4”.

Zadania otwarte

Zadanie 23 (listopad 2012, egzamin gimnazjalny)3 pkttrudniejsze

Paweł rzucił 5 razy zwykłą sześcienną kostką do gry. Zapisane kolejno wyniki rzutów utworzyły liczbę pięciocyfrową. Liczba ta jest parzysta i podzielna przez 9, a jej początkowe trzy cyfry to: 3, 1, 2. Ile oczek wyrzucił Paweł za czwartym i piątym razem? Podaj wszystkie możliwości. Odpowiedź uzasadnij.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 1 i 2 lub 6 i 6

Oznaczmy szukane wyniki jako $a$ (czwarty rzut) i $b$ (piąty). Liczba ma postać $312ab$ .
Ważne ograniczenie: to wyniki rzutów kostką, więc $a$ i $b$ są liczbami od 1 do 6.
Warunek podzielności przez 9 — suma cyfr musi dzielić się przez 9: $3+1+2+a+b = \textcolor{#16A06A}{6 + a + b}$ .
Skoro $a+b$ mieści się między 2 a 12, to $\textcolor{#16A06A}{6+a+b}$ mieści się między 8 a 18. Podzielne przez 9 w tym zakresie są tylko 9 i 18, czyli $a + b = \textcolor{#16A06A}{3}$ albo $a + b = \textcolor{#16A06A}{12}$ .
Warunek parzystości — ostatnia cyfra $\textcolor{#E0453A}{b}$ musi być parzysta: $\textcolor{#E0453A}{b} \in \{2, 4, 6\}$ .
Przypadek $a+b = \textcolor{#16A06A}{3}$ : pary z kostki to $(1,2)$ i $(2,1)$ . Parzyste $\textcolor{#E0453A}{b}$ ma tylko pierwsza → $a=1$ , $b=2$ (liczba 31212).
Przypadek $a+b = \textcolor{#16A06A}{12}$ : jedyna para z kostki to $(6,6)$ , a $\textcolor{#E0453A}{b}=6$ jest parzyste ✓ → $a=6$ , $b=6$ (liczba 31266).
Odpowiedź: Paweł wyrzucił 1 i 2 albo 6 i 6. Sprawdzenie: $31212 : 9 = 3468$ , $31266 : 9 = 3474$ — obie parzyste ✓

💡 Wskazówka: W zadaniach „podaj wszystkie możliwości” nie wystarczy znaleźć jedną odpowiedź — trzeba pokazać, że innych nie ma. Dlatego ograniczamy zakres sumy $a+b$ i sprawdzamy wszystkie przypadki.

⚠ Dwa typowe błędy: (1) zapomnienie, że kostka ma tylko cyfry 1–6, i dopisanie par typu $(0,3)$ czy $(9,3)$ ; (2) podanie tylko jednej możliwości — za co komisja odejmuje punkty, bo zadanie wyraźnie prosi o wszystkie.

Zadanie 24 (grudzień 2011, egzamin gimnazjalny)2 pkttrudniejsze

Uzasadnij, że jeśli liczba jest podzielna przez 15 i przez 14, to jest podzielna przez 10.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: dowód

Zaczynamy od rozłożenia liczby, do której zmierzamy: $10 = \textcolor{#16A06A}{2} \cdot \textcolor{#E0453A}{5}$ . Musimy więc pokazać, że nasza liczba zawiera czynnik $\textcolor{#16A06A}{2}$ i czynnik $\textcolor{#E0453A}{5}$ .
Oznaczmy tę liczbę przez $n$ .
Skąd bierzemy piątkę? Skoro $n$ dzieli się przez $15 = 3 \cdot \textcolor{#E0453A}{5}$ , to dzieli się w szczególności przez $\textcolor{#E0453A}{5}$ .
Skąd bierzemy dwójkę? Skoro $n$ dzieli się przez $14 = \textcolor{#16A06A}{2} \cdot 7$ , to dzieli się w szczególności przez $\textcolor{#16A06A}{2}$ .
Liczby $\textcolor{#16A06A}{2}$ i $\textcolor{#E0453A}{5}$ nie mają wspólnych dzielników poza 1 (obie są pierwsze), więc z podzielności przez każdą z nich wynika podzielność przez ich iloczyn.
Zatem $n$ dzieli się przez $\textcolor{#16A06A}{2} \cdot \textcolor{#E0453A}{5} = 10$ . co należało uzasadnić
Można to też zapisać krócej: $n$ jest wielokrotnością $\mathrm{NWW}(15, 14) = 210$ , a $210 = 10 \cdot 21$ , więc $n$ dzieli się przez 10.

💡 Wskazówka: Schemat takich dowodów jest zawsze ten sam: rozłóż cel na czynniki pierwsze, a potem pokaż, skąd bierze się każdy z nich.

⚠ Najczęstszy błąd: sprawdzenie jednego przykładu (np. 210) i uznanie sprawy za zamkniętą. Jeden przykład nie jest dowodem — trzeba rozumować dla dowolnej liczby $n$ .

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. B	2. P, P	3. B	4. B, 2	5. P, P	6. B
7. B	8. A, 3	9. B, D	10. A, 3	11. P, P	12. B
13. B, 3	14. D	15. C	16. C	17. C	18. C
19. P, F	20. C	21. D	22. D	23. 1 i 2 lub 6 i 6	24. dowód

Treści zadań pochodzą z arkuszy egzaminu ósmoklasisty oraz z arkuszy egzaminu gimnazjalnego (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów liczę i zapisuję sam — Mateusz Będkowski.

Pytania i odpowiedzi

Po czym poznać liczbę podzielną przez 3?

Po sumie cyfr — jeśli ona dzieli się przez trzy, to i cała liczba też. Sumę można skracać wielokrotnie: dla $6\,114$ mamy $6+1+1+4=12$ , a potem $1+2=3$ , więc liczba jest podzielna. Ta sama reguła z dziewiątką daje cechę podzielności przez dziewięć.

Kiedy liczba dzieli się przez 4?

Gdy liczba utworzona z jej dwóch ostatnich cyfr dzieli się przez cztery. Wcześniejsze cyfry nie mają znaczenia, bo każda pełna setka jest już podzielna przez cztery. W liczbie $1\,764$ patrzymy więc tylko na 64.

Jak rozwiązywać zadania „tak, ponieważ…”?

Najpierw rozstrzygnij samodzielnie, czy odpowiedź brzmi tak czy nie — policz, nie zgaduj. Dopiero potem czytaj uzasadnienia i sprawdzaj każde osobno: czy zdanie jest prawdziwe i czy naprawdę jest powodem tej tezy. Punkt dostaje się tylko za obie części naraz.

Do której cyfry patrzymy przy zaokrąglaniu?

Do pierwszej cyfry, którą odcinamy. Jeśli wynosi pięć lub więcej — zaokrąglamy w górę, jeśli mniej — w dół. Dalsze cyfry są bez znaczenia i nie wolno zaokrąglać etapami, bo błąd wtedy narasta.

Czym różni się NWD od NWW?

Największy wspólny dzielnik to największa liczba, przez którą dzielą się obie dane liczby — zawsze nie większa od mniejszej z nich. Najmniejsza wspólna wielokrotność to najmniejsza liczba dzieląca się przez obie — zawsze nie mniejsza od większej z nich.

Czy trzeba znać cechę podzielności przez 7?

Nie, egzamin ósmoklasisty jej nie wymaga. Gdy w zadaniu pojawia się siódemka, chodzi zwykle o dzielenie z resztą albo o rozkład na czynniki, a nie o osobną regułę.

Czytaj dalej

Działania na ułamkach na egzaminieSkracanie ułamków opiera się dokładnie na tych samych cechach Zadania mieszane na egzaminieRozumowanie i odkrywanie reguł — ten sam typ myślenia, inne dane Prawdopodobieństwo na egzaminieTrzy zadania łączą losowanie z podzielnością wylosowanej liczby Egzamin ósmoklasisty z matematykiJak zbudowany jest arkusz i jak się do niego przygotować

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-07-30. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa Mateusza Będkowskiego.