Strona główna › Egzamin ósmoklasisty › Obliczenia praktyczne na egzaminie ósmoklasisty

Obliczenia praktyczne na egzaminie ósmoklasisty

Q: Jak porównać, która oferta jest tańsza?

Przelicz obie na tę samą jednostkę — najczęściej na cenę za kilogram, litr albo sztukę. Dopiero takie liczby wolno porównywać. Same kwoty z półki nic nie mówią, dopóki opakowania mają różną wielkość.

Q: Jak policzyć, ile dni minęło między datami?

Najpierw ustal, czy wliczasz dzień początkowy — treść rozstrzyga to słowem „minęło” albo „trwało”. Przy krótkich odstępach najpewniej jest wypisać dni po kolei; przy dłuższych licz pełne miesiące i dopiero potem dni pozostałe.

Q: Który rok jest przestępny?

Ten, który dzieli się przez cztery — z wyjątkiem pełnych stuleci, które muszą dzielić się przez czterysta. Dlatego rok dwutysięczny był przestępny, a tysiąc dziewięćsetny nie.

Q: Ile wynosi zniżka przy promocji „drugi za pół ceny”?

Dwadzieścia pięć procent na całość, o ile kupujemy dwie sztuki. Płacimy wtedy półtorej ceny zamiast dwóch pełnych. Hasło mówi o połowie, ale dotyczy ono tylko jednej z dwóch sztuk.

Q: Co zrobić z resztą przy dzieleniu?

To zależy od pytania. Jeśli pytają, ile czegoś potrzeba — zaokrąglamy w górę. Jeśli ile pełnych zestawów da się złożyć — w dół. Jeśli ile zostanie — odpowiedzią jest sama reszta.

Q: Ile punktów można stracić za brak jednostki?

W zadaniach otwartych zwykle punkt za pełną odpowiedź. Jednostka jest częścią wyniku, a nie ozdobnikiem — zwłaszcza gdy w zadaniu przewijają się różne miary, jak gramy i kilogramy.

Trzy zestawy zadań w jednym miejscu: ceny i zakupy, obliczenia kalendarzowe oraz liczenie obiektów. Łączy je to, że rachunki są proste — trudność siedzi w czytaniu treści i w tym, żeby wynik miał sens w opisanej sytuacji. Szesnaście z 34 zadań to zadania otwarte, więc liczy się też sam zapis.

Dział: Egzamin ósmoklasistyPoziom: klasa 7–8Zadań: 34 — 29 z egzaminu ósmoklasisty i 5 z egzaminu gimnazjalnego

Przejdź od razu do zadań (34) ↓

Czego naprawdę sprawdzają zadania „z życia”

Rachunkowo są najprostsze w całym arkuszu — dodawanie, mnożenie, czasem dzielenie z resztą. Sprawdzają za to trzy rzeczy, których nie widać w samym działaniu: czy uczeń wybierze właściwe dane z dłuższej treści, czy dopasuje jednostki i czy zinterpretuje wynik w kontekście sytuacji.

Ostatni punkt bywa decydujący. Wynik 3,2 przy pytaniu „ile autokarów” nie znaczy trzy autokary i kawałek — znaczy cztery. Sam rachunek jest poprawny, ale odpowiedź wymaga jeszcze jednego kroku myślowego.

Dlatego w tych zadaniach warto po każdym obliczeniu wrócić do zdania z treści i zapytać: czy taka liczba w ogóle może być odpowiedzią?

Cena jednostkowa i porównywanie ofert

Gdy trzeba rozstrzygnąć, co się bardziej opłaca, jedyną bezpieczną metodą jest sprowadzenie obu ofert do tej samej jednostki — ceny za kilogram, za litr, za sztukę.

Porównywanie cen opakowań bez tego kroku jest zawodne: opakowanie za 8 zł może być tańsze albo droższe od tego za 12 zł, zależnie od tego, ile w nim jest.

Cena jednostkowa to po prostu cena podzielona przez ilość. Jeśli ilości podano w różnych jednostkach — gramy i kilogramy, mililitry i litry — najpierw je ujednolić, dopiero potem dzielić.

Rabaty i promocje typu „drugi taniej”

Promocje formułowane słowami trzeba przeliczyć na konkretną kwotę, zanim się je porówna. „Drugi produkt za pół ceny” przy zakupie dwóch sztuk oznacza zapłatę 1,5 ceny za 2 sztuki, czyli 25% zniżki na całość — nie 50%.

Podobnie „trzy w cenie dwóch”: płacimy 2 zamiast 3, więc oszczędzamy jedną trzecią, czyli około 33%. Hasło brzmi korzystniej, niż wynosi rzeczywista zniżka.

Metoda uniwersalna: przyjmij wygodną cenę jednej sztuki, na przykład 100 zł, policz obie oferty do końca i dopiero porównaj kwoty. Wynik procentowy nie zależy od przyjętej ceny.

Obliczenia kalendarzowe

Trzy pytania wracają regularnie: ile dni minęło między datami, jaki to dzień tygodnia i czy dany rok jest przestępny.

Przy liczeniu dni najważniejsze jest ustalenie, czy wliczamy dzień początkowy. „Od 15 do 20 marca” to pięć dni odstępu, ale sześć dni licząc z oboma krańcami. Treść zadania zwykle rozstrzyga słowem „minęło” albo „trwało”.

Dzień tygodnia liczy się resztą z dzielenia przez 7. Jeśli od poniedziałku minie 30 dni, to $30 : 7 = 4$ reszty 2 — cztery pełne tygodnie i dwa dni, czyli środa.

Rok jest przestępny, gdy dzieli się przez 4, z wyjątkiem pełnych stuleci niedzielących się przez 400. Rok 2000 był przestępny, a 1900 nie.

Liczenie obiektów i dzielenie z resztą

Najliczniejsza grupa na tej stronie — dwadzieścia dwa zadania. Pytanie brzmi zwykle: ile paczek, ile kursów, ile pełnych zestawów, ile zostanie.

Kluczowa jest interpretacja reszty, a ta zależy od pytania. Przy „ile autokarów potrzeba” zaokrąglamy w górę, bo niepełny autokar i tak trzeba wysłać. Przy „ile pełnych zestawów da się złożyć” — w dół. Przy „ile zostanie” odpowiedzią jest sama reszta.

Ten sam rachunek $47 : 15 = 3$ reszty 2 daje więc trzy różne odpowiedzi: 4, 3 albo 2 — zależnie od tego, o co pytano.

Jak zapisać rozwiązanie zadania otwartego

Szesnaście z 34 zadań to zadania otwarte, a punktuje się w nich drogę, nie tylko wynik. Egzaminator musi zobaczyć, skąd wzięła się każda liczba. Policzone w zestawach na tej stronie: jedenaście z nich jest za 2 punkty, cztery za 3, jedno za 1 — czyli w praktyce za 2 albo 3 punkty.

zapisz działanie, zanim podasz wynik — samo „ $= 36$ zł” nie pokazuje niczego,
przy kilku etapach podpisz, co liczysz („koszt biletów”, „reszta”),
pilnuj jednostek przy każdej liczbie, nie tylko na końcu,
zakończ pełnym zdaniem odpowiadającym na pytanie z treści.

Zdanie odpowiedzi ma jeszcze jedną zaletę poza punktami: wymusza sprawdzenie, czy wynik odpowiada na zadane pytanie, a nie na to, które pojawiło się po drodze.

Przykłady krok po kroku

Cztery zadania krok po kroku, po jednym z każdego typu: porównanie ofert, promocja, kalendarz i liczenie obiektów z resztą.

Przykład 1 Która oferta jest tańsza

Kawa w opakowaniu 250 g kosztuje 12 zł, a w opakowaniu 500 g — 22 zł. Które opakowanie jest korzystniejsze?

Sprowadzam obie oferty do tej samej jednostki — ceny za kilogram.
Małe opakowanie: 250 g to ćwierć kilograma, więc kilogram kosztuje $12 \cdot 4 = 48$ zł.
Duże opakowanie: 500 g to pół kilograma, więc kilogram kosztuje $22 \cdot 2 = 44$ zł.
Porównuję: $44 < 48$ , więc korzystniejsze jest opakowanie 500-gramowe.
Kontrola: różnica to 4 zł na kilogramie, czyli około 8% — realna, ale niewielka.

Odpowiedź: Korzystniejsze jest opakowanie 500 g — kilogram kosztuje 44 zł zamiast 48 zł.

Przykład 2 Promocja „drugi za pół ceny”

Koszulka kosztuje 80 zł. Przy zakupie dwóch sztuk druga jest o połowę tańsza. Ile procent wynosi zniżka na całość?

Bez promocji dwie koszulki kosztowałyby $2 \cdot 80 = 160$ zł.
Z promocją: pierwsza za 80 zł, druga za 40 zł, razem 120 zł.
Oszczędność: $160 - 120 = 40$ zł.
Zniżka na całość: $\dfrac{40}{160} = 0{,}25$ , czyli 25%.
Uwaga: hasło mówi o połowie, ale dotyczy tylko jednej sztuki z dwóch — stąd 25%, a nie 50%.

Odpowiedź: Zniżka na całość wynosi 25%.

Przykład 3 Dzień tygodnia po upływie dni

Dziś jest poniedziałek. Jaki dzień tygodnia będzie za 30 dni?

Tydzień ma 7 dni, więc co 7 dni układ się powtarza. Interesuje mnie reszta z dzielenia.
$30 : 7 = 4$ reszty 2 — mijają cztery pełne tygodnie i jeszcze dwa dni.
Cztery pełne tygodnie wracają do poniedziałku. Dwa dni dalej to środa.
Kontrola: za 28 dni byłby poniedziałek, za 29 wtorek, za 30 środa ✓

Odpowiedź: Za 30 dni będzie środa.

Przykład 4 Liczenie obiektów z resztą

Na wycieczkę jedzie 47 osób. Jeden autokar zabiera 15 osób. Ile autokarów trzeba zamówić i ile miejsc zostanie wolnych?

Dzielę z resztą: $47 : 15 = 3$ reszty 2.
Trzy pełne autokary zabiorą 45 osób, ale zostaną jeszcze 2 osoby — dla nich też trzeba autokaru.
Zaokrąglam w górę: potrzeba 4 autokarów.
Wolne miejsca: cztery autokary to $4 \cdot 15 = 60$ miejsc, a jedzie 47 osób, więc wolnych zostaje $60 - 47 = 13$ .
Kontrola sensowności: liczba autokarów musi być całkowita i nie mniejsza niż $47:15$ ✓

Odpowiedź: Trzeba zamówić 4 autokary; wolnych zostanie 13 miejsc.

Najczęstsze błędy

Cztery błędy typowe dla zadań praktycznych. Żaden nie dotyczy rachunku — wszystkie biorą się z interpretacji.

Zaokrąglenie w dół tam, gdzie trzeba w górę

Skąd się bierze: Dzielenie daje 3,13, więc uczeń zapisuje 3 autokary. Dwie osoby zostają wtedy na parkingu — wynik jest poprawny rachunkowo, ale bez sensu w opisanej sytuacji.

Jak zrobić dobrze: Po podzieleniu wróć do pytania. „Ile potrzeba” to zaokrąglenie w górę, „ile pełnych” w dół, „ile zostanie” to sama reszta. Ten sam rachunek daje trzy różne odpowiedzi.

Pomyłka o jeden przy liczeniu dni

Skąd się bierze: Od 15 do 20 marca różnica wynosi 5, ale dni z oboma krańcami jest 6. W zależności od tego, czy pytanie brzmi „ile minęło”, czy „ile trwało”, poprawna jest inna liczba.

Jak zrobić dobrze: Przy krótkich odstępach wypisz dni na palcach — to szybsze niż zastanawianie się nad regułą. Przy dłuższych sprawdź na małym przykładzie, czy Twój sposób daje dobry wynik.

Porównywanie cen bez wspólnej jednostki

Skąd się bierze: Opakowania mają różne wielkości, a uczeń porównuje same kwoty ze sklepowej półki. Tańsze opakowanie bywa droższe w przeliczeniu na kilogram.

Jak zrobić dobrze: Zawsze przelicz na jednostkę: cena za kilogram, litr albo sztukę. Jeśli ilości podano w różnych jednostkach, najpierw je ujednolić.

Brak jednostki i zdania odpowiedzi

Skąd się bierze: W zadaniu otwartym punktuje się także zapis. Sama liczba bez jednostki bywa niepełną odpowiedzią, a przy kilku etapach egzaminator nie widzi, która wartość jest wynikiem.

Jak zrobić dobrze: Pisz jednostkę przy każdej liczbie, nie tylko na końcu, a rozwiązanie zamknij pełnym zdaniem. To wymusza sprawdzenie, czy odpowiadasz na pytanie z treści.

Zadania z arkuszy CKE — liczenie obiektów o danych właściwościach

Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminu ósmoklasisty (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem. W zestawie jest 1 zadanie z arkuszy egzaminu gimnazjalnego (do 2019 roku) — dokładamy je jako dodatkowe ćwiczenie tych samych umiejętności. Zakres gimnazjum był miejscami szerszy niż wymagania dla klas 7–8, dlatego każde takie zadanie jest podpisane osobno.

Prawie każde z tych zadań sprowadza się do jednego kroku: policz, ile przypada na jedną sztukę. Zieloną barwą oznaczamy tę wartość jednostkową (na jeden kosz, jedną książkę, jeden zestaw), a czerwoną — liczbę sztuk, przez którą ją mnożymy. W zadaniach o „pewności” kolor pokazuje najgorszy możliwy przypadek.

Sprawdź się bez zaglądania do odpowiedzi. Dostaniesz wszystkie 5 zadań zamkniętych z tego zestawu — klucz i rozwiązania schowam do czasu sprawdzenia. To komplet zadań zamkniętych z tego działu, więc kolejne podejście będzie powtórką tych samych zadań.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (maj 2026)1 pkttrudniejsze

W pudełku było jedenaście kul ponumerowanych kolejnymi liczbami naturalnymi od 1 do 11. Z pudełka wylosowano pięć kul. Suma liczb na dowolnych dwóch kulach, które pozostały w pudełku, jest parzysta. Uzupełnij zdania.

Po losowaniu w pudełku zostały wyłącznie kule ponumerowane liczbami AB.

A. nieparzystymi
B. parzystymi

Suma liczb na pięciu wylosowanych kulach jest równa CD.

C. 30
D. 36

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A, C

Suma dwóch liczb jest parzysta tylko wtedy, gdy obie są parzyste albo obie nieparzyste. Skoro warunek dotyczy dowolnych dwóch pozostałych kul, wszystkie muszą mieć tę samą parzystość.
Wylosowano 5 kul z 11, więc w pudełku zostało $\textcolor{#E0453A}{6}$ kul.
Liczymy, ile jest kul każdego rodzaju: nieparzystych (1, 3, 5, 7, 9, 11) jest $\textcolor{#16A06A}{6}$ , parzystych (2, 4, 6, 8, 10) — tylko $\textcolor{#16A06A}{5}$ .
Sześciu parzystych kul po prostu nie ma, więc zostało $\textcolor{#E0453A}{6}$ kul nieparzystych — odpowiedź A.
Skoro wszystkie nieparzyste zostały, to wylosowano wszystkie parzyste: $2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30$ — odpowiedź C.
Razem: A, C.

💡 Wskazówka: Zapamiętaj trzy reguły: parzysta + parzysta = parzysta, nieparzysta + nieparzysta = parzysta, ale parzysta + nieparzysta = nieparzysta. Stąd wniosek o jednakowej parzystości.

⚠ Najczęstszy błąd: wybór odpowiedzi B — bo „parzysta suma kojarzy się z parzystymi liczbami”. Kluczowe jest policzenie, że parzystych kul jest tylko 5, a musi zostać 6.

Zadanie 2 (maj 2026)1 pktśrednie

Do 10 pustych koszy włożono jabłka i pomarańcze — łącznie 400 sztuk. W każdym koszu łączna liczba owoców jest taka sama oraz w każdym koszu liczba jabłek jest o 6 większa od liczby pomarańczy. Ile sztuk jabłek jest łącznie w tych 10 koszach?

A. 210
B. 230
C. 240
D. 260

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Krok 1 — ile owoców w jednym koszu? $400 : \textcolor{#E0453A}{10} = \textcolor{#16A06A}{40}$ owoców.
Krok 2 — jak dzielą się na jabłka i pomarańcze? Oznaczmy pomarańcze przez $p$ ; jabłek jest $p + 6$ .
$p + (p + 6) = \textcolor{#16A06A}{40}$ , czyli $2p = 34$ , więc $p = 17$ pomarańczy i $\textcolor{#16A06A}{23}$ jabłka w koszu.
Krok 3 — łącznie. $\textcolor{#16A06A}{23} \cdot \textcolor{#E0453A}{10} = 230$ jabłek.
Odpowiedź B. Sprawdzenie: pomarańczy jest $17 \cdot 10 = 170$ , a $230 + 170 = 400$ ✓

💡 Wskazówka: Zamiast liczyć przez równanie, można tak: gdyby owoców było po równo, byłoby po 20. Nadwyżka 6 dzieli się po połowie — jabłek 23, pomarańczy 17.

⚠ Najczęstszy błąd: doliczenie 6 jabłek tylko raz do połowy wszystkich owoców ( $200 + 6 = 206$ ) albo do wszystkich koszy naraz. Różnica 6 dotyczy każdego kosza osobno.

Zadanie 3 (maj 2023)1 pktśrednie

Składniki na ciasto na 8 gofrów:

1\tfrac12

szklanki mąki,

1\tfrac13

szklanki mleka, 2 jajka,

1\tfrac12

łyżeczki proszku do pieczenia, 2 łyżeczki cukru pudru,

\tfrac12

szklanki oleju, szczypta soli. Oceń prawdziwość podanych zdań.

Do przygotowania ciasta na 40 gofrów, przy zachowaniu właściwych proporcji, potrzeba 10 jajek.	P	F
Do przygotowania ciasta na 72 gofry, przy zachowaniu właściwych proporcji, potrzeba 12 szklanek mleka.	P	F

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P, P

Za każdym razem sprawdzamy, ile razy zwiększamy przepis.
Zdanie 1. $40 : 8 = \textcolor{#E0453A}{5}$ , więc przepis mnożymy przez $\textcolor{#E0453A}{5}$ .
Jajek potrzeba $\textcolor{#16A06A}{2} \cdot \textcolor{#E0453A}{5} = 10$ ✓ — prawda.
Zdanie 2. $72 : 8 = \textcolor{#E0453A}{9}$ , więc przepis mnożymy przez $\textcolor{#E0453A}{9}$ .
Mleka: $\textcolor{#16A06A}{1\tfrac13} \cdot \textcolor{#E0453A}{9} = \textcolor{#16A06A}{\dfrac{4}{3}} \cdot \textcolor{#E0453A}{9} = \dfrac{36}{3} = 12$ szklanek ✓ — prawda.
Odpowiedzi: P, P.

💡 Wskazówka: Liczby mieszane zamieniaj na niewłaściwe przed mnożeniem: $1\tfrac13 = \tfrac43$ . Mnożenie $\tfrac43 \cdot 9$ jest wtedy trywialne, bo 9 dzieli się przez 3.

⚠ Najczęstszy błąd: pomnożenie tylko części całkowitej ( $1 \cdot 9 = 9$ szklanek) i pominięcie $\tfrac13$ . Zostaje wtedy „9 i coś”, co nie pasuje do żadnej sensownej odpowiedzi.

Zadanie 4 (maj 2023)1 pkttrudniejsze

Marta układała jednakowe książki na dwóch półkach o tych samych wymiarach wewnętrznych: 28 cm szerokości i 21 cm wysokości.
• Półkę I całkowicie wypełniła 12 książkami, układając je płasko, w 6 warstwach po 2 książki obok siebie.
• Na półce II postanowiła ustawić książki pionowo, jedna przy drugiej na całej szerokości, tak aby nad nimi zostało wolne miejsce.
Ile najwięcej książek Marta mogła zmieścić na drugiej półce?

A. 7
B. 8
C. 10
D. 11

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Najpierw wyznaczamy wymiary jednej książki z tego, jak wypełniła półkę I.
W poziomie mieściły się 2 książki na szerokości 28 cm, więc dłuższy bok książki to $28 : 2 = \textcolor{#16A06A}{14}$ cm.
W pionie było 6 warstw na wysokości 21 cm, więc grubość książki to $21 : 6 = \textcolor{#16A06A}{3{,}5}$ cm.
Teraz półka II: książki stoją pionowo, czyli w górę wystaje bok długości $\textcolor{#16A06A}{14}$ cm. Mieści się swobodnie (bo $14 < 21$ ), a nad nimi zostaje wolne miejsce ✓ — dokładnie jak w treści.
Na szerokości 28 cm ustawiamy je grzbiet przy grzbiecie, każda zajmuje $\textcolor{#16A06A}{3{,}5}$ cm: $28 : \textcolor{#16A06A}{3{,}5} = 8$ książek.
Odpowiedź B.

💡 Wskazówka: Kluczowy krok to wyliczenie wymiarów jednej książki. Gdy je znasz, obie sytuacje robią się proste — trzeba tylko pilnować, który bok jest teraz w pionie, a który w poziomie.

⚠ Najczęstszy błąd: przyjęcie, że skoro półki są takie same, to zmieści się tyle samo książek (12) albo połowa (6). Zmiana ułożenia z płaskiego na pionowe zmienia wszystko — tu wychodzi 8.

Zadanie 5 (maj 2022)1 pktśrednie

Na uszycie 90 jednakowych bluzek w rozmiarze S potrzeba tyle samo materiału, ile na uszycie 60 jednakowych bluzek w rozmiarze L. Przyjmij, że na uszycie większej lub mniejszej liczby bluzek potrzeba proporcjonalnie więcej lub mniej materiału. Uzupełnij zdania.

Na uszycie 240 bluzek w rozmiarze S potrzeba tyle samo materiału, ile na uszycie AB bluzek w rozmiarze L.

A. 160
B. 150

Na uszycie dwóch bluzek w rozmiarze L potrzeba tyle samo materiału, ile na uszycie CD bluzek w rozmiarze S.

C. trzech
D. pięciu

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A, C

Upraszczamy podaną zależność — dzielimy obie liczby przez 30: 90 S $= 60$ L, czyli $\textcolor{#16A06A}{3}$ bluzki S $= \textcolor{#E0453A}{2}$ bluzki L.
To jest przelicznik, który załatwia oba podpunkty.
Pierwsze zdanie. $240 : \textcolor{#16A06A}{3} = 80$ — mamy 80 takich „paczek” po 3 bluzki S.
Każdej odpowiadają $\textcolor{#E0453A}{2}$ bluzki L, więc razem $80 \cdot \textcolor{#E0453A}{2} = 160$ — odpowiedź A.
Drugie zdanie. To wprost nasz przelicznik odczytany w drugą stronę: $\textcolor{#E0453A}{2}$ bluzki L $= \textcolor{#16A06A}{3}$ bluzki S — odpowiedź C.
Razem: A, C.

💡 Wskazówka: Skracaj proporcję do najprostszej postaci od razu na początku. Zapis „3 S = 2 L” jest dużo wygodniejszy w użyciu niż „90 S = 60 L”.

⚠ Najczęstszy błąd: odwrócenie przelicznika i uznanie, że bluzek L wyjdzie więcej niż S. Skoro na 90 małych idzie tyle samo materiału co na 60 dużych, to duże są bardziej materiałochłonne — więc jest ich zawsze mniej.

Zadanie 6 (maj 2022)1 pktłatwe

Plik z prezentacją Igora ma rozmiar 13 MB. Plik z prezentacją Lidki ma 2,5 razy większy rozmiar niż plik Igora. Dokończ zdanie.
Plik z prezentacją Lidki ma większy rozmiar niż plik z prezentacją Igora o

A. 12 MB
B. 19,5 MB
C. 25 MB
D. 32,5 MB

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Rozmiar pliku Lidki: $\textcolor{#16A06A}{13} \cdot \textcolor{#E0453A}{2{,}5} = \textcolor{#16A06A}{32{,}5}$ MB.
Ale pytanie brzmi „o ile większy”, więc liczymy różnicę:
$\textcolor{#16A06A}{32{,}5} - \textcolor{#16A06A}{13} = 19{,}5$ MB.
Odpowiedź B.
Można też szybciej: skoro plik Lidki jest $\textcolor{#E0453A}{2{,}5}$ raza większy, to różnica wynosi $\textcolor{#E0453A}{1{,}5}$ rozmiaru Igora: $\textcolor{#16A06A}{13} \cdot \textcolor{#E0453A}{1{,}5} = 19{,}5$ MB ✓

💡 Wskazówka: Zwróć uwagę na różnicę: „jest 2,5 raza większy” to cała nowa wartość, a „większy o” to sam przyrost. Przyrost to zawsze $(\text{mnożnik} - 1)$ razy wartość wyjściowa.

⚠ Najczęstszy błąd: podanie całego rozmiaru pliku Lidki (32,5 MB — kusząca odpowiedź D) zamiast różnicy.

Zadanie 7 (czerwiec 2020)1 pkttrudniejsze

Uczniowie klasy 8a utworzyli jeden szereg, a uczniowie klasy 8b — drugi. W obu szeregach chłopcy i dziewczęta stali na przemian. W klasie 8a na pierwszym i ostatnim miejscu stali chłopcy, a w klasie 8b na pierwszym i ostatnim miejscu stały dziewczęta. W klasie 8a jest 12 dziewcząt, a w klasie 8b jest o dwóch chłopców mniej niż w klasie 8a. Uzupełnij zdania.

W klasie 8a jest AB chłopców.

A. 11
B. 13

W klasie 8b jest CD uczniów.

C. 21
D. 23

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B, D

Kluczowa obserwacja: gdy szereg zaczyna się i kończy tą samą grupą, ta grupa ma o jedną osobę więcej.
Wyobraź sobie ustawienie w 8a: C D C D … D C — chłopcy stoją na skrajach, więc jest ich o jednego więcej niż dziewcząt.
8a: dziewcząt jest $\textcolor{#16A06A}{12}$ , więc chłopców $\textcolor{#16A06A}{12} + 1 = \textcolor{#16A06A}{13}$ — odpowiedź B.
8b: chłopców jest o dwóch mniej niż w 8a: $\textcolor{#16A06A}{13} - 2 = \textcolor{#E0453A}{11}$ .
Tu na skrajach stoją dziewczęta, więc to ich jest o jedną więcej: $\textcolor{#E0453A}{11} + 1 = \textcolor{#E0453A}{12}$ .
Wszystkich uczniów w 8b: $\textcolor{#E0453A}{11} + \textcolor{#E0453A}{12} = 23$ — odpowiedź D. Razem: B, D.

💡 Wskazówka: Narysuj krótki szereg na kartce, np. C D C — od razu widać, że skrajnych jest o jeden więcej. Ta sama reguła działa dla dowolnie długiego szeregu.

⚠ Najczęstszy błąd: przyjęcie, że skoro stoją na przemian, to jest ich po równo. Po równo byłoby tylko wtedy, gdyby szereg zaczynał się i kończył różnymi grupami.

Zadanie 8 (marzec 2020)1 pktśrednie

Małe trójkąty równoboczne o bokach długości 1 układano obok siebie tak, aby uzyskiwać kolejne, coraz większe trójkąty równoboczne. Trójkąt o podstawie 1 składa się z 1 małego trójkąta, o podstawie 2 — z 4, o podstawie 3 — z 9. Ile małych trójkątów należy użyć, aby ułożyć trójkąt równoboczny o podstawie równej 5?

A. 9
B. 16
C. 25
D. 50

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Wypisujemy, co już wiemy: podstawa $\textcolor{#E0453A}{1} \to \textcolor{#16A06A}{1}$ trójkąt, podstawa $\textcolor{#E0453A}{2} \to \textcolor{#16A06A}{4}$ , podstawa $\textcolor{#E0453A}{3} \to \textcolor{#16A06A}{9}$ .
Liczby $\textcolor{#16A06A}{1}$ , $\textcolor{#16A06A}{4}$ , $\textcolor{#16A06A}{9}$ to kwadraty kolejnych liczb: $\textcolor{#E0453A}{1}^2$ , $\textcolor{#E0453A}{2}^2$ , $\textcolor{#E0453A}{3}^2$ .
Reguła: trójkąt o podstawie $\textcolor{#E0453A}{n}$ składa się z $\textcolor{#E0453A}{n}^2$ małych trójkątów.
Dla podstawy $\textcolor{#E0453A}{5}$ : $\textcolor{#E0453A}{5}^2 = 25$ — odpowiedź C.
Można to sprawdzić inaczej: kolejne rzędy trójkąta zawierają 1, 3, 5, 7, 9 małych trójkątów, a $1+3+5+7+9 = 25$ ✓

💡 Wskazówka: Ładna własność: suma kolejnych liczb nieparzystych zawsze daje kwadrat. $1 = 1^2$ , $1+3 = 2^2$ , $1+3+5 = 3^2$ — i tak dalej. Właśnie dlatego w tym zadaniu wychodzą kwadraty.

⚠ Najczęstszy błąd: doliczenie do 16 (bo „kolejny po 9”) — czyli pomylenie podstawy 4 z podstawą 5. Drugi błąd: mnożenie $5 \cdot 10 = 50$ „bo trójkątów zawsze przybywa”.

Zadanie 9 (czerwiec 2019)1 pkttrudniejsze

Rzucono czterema symetrycznymi sześciennymi kostkami do gry. Na 20 widocznych ścianach tych czterech kostek suma oczek jest równa 76. Za niewidoczną uznano ścianę, na której kostka stoi. Oceń prawdziwość podanych zdań.

Na każdej z niewidocznych ścian tych kostek jest jedno oczko.	P	F
Na niewidocznej ścianie jednej z tych kostek może być pięć oczek.	P	F

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: F, P

Kluczowa wiedza: na jednej kostce suma oczek wszystkich ścian wynosi $1+2+3+4+5+6 = \textcolor{#16A06A}{21}$ .
Na czterech kostkach łącznie: $\textcolor{#16A06A}{21} \cdot \textcolor{#E0453A}{4} = \textcolor{#16A06A}{84}$ oczka.
Widoczne jest 76, więc na czterech niewidocznych (dolnych) ścianach jest razem $\textcolor{#16A06A}{84} - 76 = \textcolor{#E0453A}{8}$ oczek.
Zdanie 1. Gdyby na każdej dolnej ściance było po jednym oczku, suma wynosiłaby 4, a nie $\textcolor{#E0453A}{8}$ — fałsz.
Zdanie 2. Czy jedna z nich może mieć 5 oczek? Wtedy na pozostałych trzech zostaje $\textcolor{#E0453A}{8} - 5 = 3$ oczka, czyli po jednym na każdej — to możliwe ✓ — prawda.
Odpowiedzi: F, P.

💡 Wskazówka: Suma 21 oczek na kostce to liczba, którą warto pamiętać — wraca w wielu zadaniach. Przydaje się też to, że przeciwległe ściany zawsze sumują się do 7.

⚠ Najczęstszy błąd: liczenie sumy oczek na 20 widocznych ścianach „od zera” zamiast odjęcia od całości. Prościej jest policzyć wszystko (84) i odjąć to, co widać.

Zadanie 10 (kwiecień 2019)1 pktśrednie

Adam przygotował karty do gry z czterech arkuszy kartonu. Najpierw podzielił każdy arkusz na cztery części, a następnie każdą z nich ponownie podzielił na cztery części. Tak powstał komplet kart. W grze bierze udział 5 graczy, z których każdy otrzymuje jednakową liczbę kart. Uzupełnij zdania.

Adam przygotował AB karty do gry.

A. 32
B. 64

Każdy gracz może otrzymać maksymalnie CD kart.

C. 12
D. 13

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B, C

Pierwsze zdanie. Z jednego arkusza po pierwszym cięciu powstają 4 części, a po drugim każda z nich daje kolejne 4 — czyli $4 \cdot 4 = \textcolor{#16A06A}{16}$ kart z arkusza.
Arkuszy było $\textcolor{#E0453A}{4}$ , więc kart jest $\textcolor{#16A06A}{16} \cdot \textcolor{#E0453A}{4} = 64$ — odpowiedź B.
Drugie zdanie. Rozdajemy 64 karty pomiędzy $\textcolor{#E0453A}{5}$ graczy po równo: $64 : \textcolor{#E0453A}{5} = 12$ reszty 4.
Każdy gracz dostanie więc po $\textcolor{#16A06A}{12}$ kart, a 4 karty zostaną nierozdane — odpowiedź C.
Razem: B, C.

💡 Wskazówka: „Każdy otrzymuje jednakową liczbę kart” oznacza, że bierzemy iloraz całkowity — reszta po prostu zostaje. Zaokrąglanie w górę byłoby możliwe tylko wtedy, gdyby kart można było dorobić.

⚠ Dwa typowe błędy: (1) policzenie $4 + 4 = 8$ części z arkusza zamiast $4 \cdot 4 = 16$ (wychodzi wtedy 32 — kusząca odpowiedź A); (2) zaokrąglenie 12,8 w górę do 13.

Zadanie 11 (grudzień 2017)1 pkttrudniejsze

Oceń prawdziwość podanych zdań.

W pięciu rzutach standardową sześcienną kostką do gry, jeżeli wynik każdego rzutu będzie inny, można otrzymać łącznie dokładnie 20 oczek.	P	F
W 16 rzutach standardową sześcienną kostką do gry można otrzymać łącznie ponad 100 oczek.	P	F

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P, F

Zdanie 1. Skoro każdy z pięciu wyników ma być inny, wybieramy 5 różnych liczb spośród $1, 2, 3, 4, 5, 6$ — czyli pomijamy dokładnie jedną.
Suma wszystkich sześciu wynosi $\textcolor{#16A06A}{21}$ , więc suma pięciu to $\textcolor{#16A06A}{21}$ minus pominięta liczba.
Chcemy otrzymać 20, więc pomijamy $\textcolor{#16A06A}{21} - 20 = \textcolor{#E0453A}{1}$ .
Rzeczywiście $2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 20$ ✓ — prawda.
Zdanie 2. Sprawdzamy najlepszy możliwy przypadek: same szóstki.
Maksymalna suma to $\textcolor{#E0453A}{16} \cdot 6 = \textcolor{#16A06A}{96}$ oczek — a to mniej niż 100.
Nawet przy najlepszym możliwym wyniku nie da się przekroczyć setki — fałsz.
Odpowiedzi: P, F.

💡 Wskazówka: Gdy pytają „czy można osiągnąć”, sprawdź wartość maksymalną. Jeśli nawet ona nie wystarcza — odpowiedź jest przesądzona bez dalszych rozważań.

⚠ Najczęstszy błąd w zdaniu 2: rachunek „w głowie”, że 16 rzutów to średnio po 6, więc wyjdzie około 100. Warto policzyć dokładnie: $16 \cdot 6 = 96$ , czyli o cztery za mało.

Zadanie 12 (materiały CKE)1 pkttrudniejsze

Do pojemnika wsypano 200 koralików białych i 300 czerwonych. Wymieszano je i zapakowano do woreczków po 50 sztuk. Okazało się, że w jednym z woreczków znalazły się tylko białe koraliki. Dokończ zdanie.
Wobec tego nie jest możliwe, aby

A. wszystkie pozostałe białe koraliki znajdowały się w trzech woreczkach.
B. w jednym z pozostałych woreczków nie było białych koralików.
C. w większości pozostałych woreczków znalazło się po 17 białych koralików.
D. w każdym z pozostałych woreczków było więcej koralików białych niż czerwonych.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Ustalmy sytuację wyjściową. Koralików jest $200 + 300 = 500$ , więc woreczków jest $500 : 50 = \textcolor{#E0453A}{10}$ .
Jeden woreczek to same białe, czyli 50 sztuk. Zostaje $200 - 50 = \textcolor{#16A06A}{150}$ białych i wszystkie 300 czerwonych, rozłożone w $\textcolor{#E0453A}{9}$ woreczkach.
A. Czy $\textcolor{#16A06A}{150}$ białych zmieści się w trzech woreczkach? $3 \cdot 50 = \textcolor{#16A06A}{150}$ — akurat idealnie ✓ możliwe.
B. Czy jakiś woreczek może być bez białych? Tak — $\textcolor{#16A06A}{150}$ białych da się upchnąć w pozostałych ośmiu ✓ możliwe.
C. „Większość z 9” to co najmniej 5 woreczków. $5 \cdot 17 = 85$ , a mamy $\textcolor{#16A06A}{150}$ białych — starczy z zapasem ✓ możliwe.
D. „Więcej białych niż czerwonych” w woreczku 50-sztukowym oznacza co najmniej 26 białych. W $\textcolor{#E0453A}{9}$ woreczkach potrzeba by ich $\textcolor{#E0453A}{9} \cdot 26 = 234$ , a mamy tylko $\textcolor{#16A06A}{150}$ ✗ niemożliwe.
Odpowiedź D.

💡 Wskazówka: W zadaniach „co nie jest możliwe” policz dla każdej opcji, ile najmniej danego składnika by potrzeba. Jeśli wychodzi więcej, niż w ogóle mamy — to właśnie ta odpowiedź.

⚠ Najczęstszy błąd: zapomnienie o odjęciu pierwszego woreczka. Po nim zostaje 150 białych, a nie 200 — i to ta liczba decyduje we wszystkich czterech przypadkach.

Zadania otwarte

Zadanie 13 (czerwiec 2024)3 pktśrednie

Jednakowe kubki sprzedawane są w dwóch rodzajach opakowań — małych i dużych. W małym opakowaniu jest dwa razy mniej kubków niż w dużym. W dwóch dużych opakowaniach i sześciu małych znajduje się łącznie 140 kubków. Oblicz, ile kubków jest w sześciu dużych opakowaniach. Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 168 kubków

Oznaczmy przez $d$ liczbę kubków w dużym opakowaniu. W małym jest dwa razy mniej, czyli $\dfrac{d}{2}$ .
Zapisujemy warunek z treści: $2d + 6 \cdot \dfrac{d}{2} = 140$ .
Upraszczamy: $2d + 3d = 140$ , czyli $5d = 140$ , więc $\textcolor{#16A06A}{d} = 28$ kubków w dużym opakowaniu.
Pytanie dotyczy sześciu dużych opakowań: $\textcolor{#E0453A}{6} \cdot \textcolor{#16A06A}{28} = 168$ .
Odpowiedź: w sześciu dużych opakowaniach jest 168 kubków.
Sprawdzenie: małe opakowanie ma 14 kubków, więc $2 \cdot 28 + 6 \cdot 14 = 56 + 84 = 140$ ✓

💡 Wskazówka: Zauważ, że sześć małych opakowań to tyle samo kubków co trzy duże — bo małe jest połową dużego. Cały warunek redukuje się wtedy do „pięć dużych = 140 kubków”.

⚠ Najczęstszy błąd: zatrzymanie się na $d = 28$ i podanie tej liczby jako odpowiedzi. Zadanie pyta o sześć opakowań, więc trzeba jeszcze pomnożyć.

Zadanie 14 (grudzień 2024)2 pkttrudniejsze

Na festyn wpuszczano uczestników jednym wejściem. Pierwszy wchodzący otrzymał i sok, i ciastko. Następnie co szósty wchodzący otrzymywał sok, a co dziesiąty — ciastko. Sok otrzymali więc wchodzący: pierwszy, siódmy, trzynasty itd., a ciastko: pierwszy, jedenasty, dwudziesty pierwszy itd. Na festyn przyszło 450 osób. Oblicz, ilu uczestników otrzymało i sok, i ciastko. Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 15 osób

Zapiszmy, którzy uczestnicy dostawali każdą rzecz.
Sok: numery $1, 7, 13, 19, \ldots$ — za każdym razem o $\textcolor{#E0453A}{6}$ dalej.
Ciastko: numery $1, 11, 21, 31, \ldots$ — za każdym razem o $\textcolor{#E0453A}{10}$ dalej.
Oba naraz dostaje ten, kogo numer pojawia się na obu listach. Skoro obie zaczynają się od 1, wspólne numery to $1, 1+\textcolor{#16A06A}{30}, 1+2\cdot\textcolor{#16A06A}{30}, \ldots$ , gdzie $\textcolor{#16A06A}{30} = \mathrm{NWW}(\textcolor{#E0453A}{6}, \textcolor{#E0453A}{10})$ .
Wspólne numery: $1, 31, 61, 91, \ldots$ — czyli co $\textcolor{#16A06A}{30}$ osób.
Ile takich numerów mieści się do 450? Szukamy największego $k$ , dla którego $1 + \textcolor{#16A06A}{30}k \le 450$ , czyli $\textcolor{#16A06A}{30}k \le 449$ , więc $k \le 14{,}96$ — stąd $k = 14$ .
Liczba osób: $k = 0, 1, 2, \ldots, 14$ , czyli 15 osób. (Ostatnia z nich to numer $1 + 30 \cdot 14 = 421$ .)
Odpowiedź: i sok, i ciastko otrzymało 15 uczestników.

💡 Wskazówka: Uwaga na przesunięcie: numery to nie wielokrotności 6 i 10, tylko liczby o jeden większe od nich. Dlatego szukamy 1, 31, 61… a nie 30, 60, 90.

⚠ Najczęstszy błąd: policzenie $450 : 30 = 15$ i uznanie tego za przypadek — akurat wynik się zgadza, ale rozumowanie jest inne. Drugi błąd: pominięcie pierwszej osoby i odpowiedź 14.

Zadanie 15 (grudzień 2024)2 pktśrednie

Urządzenie do produkcji kostek lodu nalewa wodę do jednakowych foremek w kształcie sześcianu o pojemności 8 cm³. Wlana woda wypełnia 75% pojemności każdej foremki. Z jednej foremki powstaje jedna kostka lodu. Oblicz, ile kostek lodu wyprodukuje to urządzenie z 3000 cm³ wody. Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 500 kostek

Krok 1 — ile wody idzie na jedną kostkę? Foremka mieści 8 cm³, ale wypełniamy ją tylko w $\textcolor{#E0453A}{75\%}$ .
$\textcolor{#E0453A}{0{,}75} \cdot 8 = \textcolor{#16A06A}{6}$ cm³ wody na jedną kostkę.
Krok 2 — ile kostek z 3000 cm³? Dzielimy: $3000 : \textcolor{#16A06A}{6} = 500$ .
Odpowiedź: urządzenie wyprodukuje 500 kostek lodu.
Rachunek w pamięci: 75% to $\tfrac34$ , a $\tfrac34$ z 8 to 6 ✓

💡 Wskazówka: Schemat „ile sztuk” jest zawsze ten sam: policz zużycie na jedną sztukę, a potem podziel przez nie zapas. Pojemność foremki (8 cm³) jest tu tylko krokiem pośrednim.

⚠ Najczęstszy błąd: podzielenie 3000 przez 8 (wychodzi 375) — czyli pominięcie tego, że foremki nie napełnia się do pełna.

Zadanie 16 (czerwiec 2023)2 pkttrudniejsze

Wojtek miał 30 monet dwuzłotowych i 48 monet pięciozłotowych. Połowę monet pięciozłotowych wymienił na monety dwuzłotowe. Kwota z wymiany monet pięciozłotowych stanowiła równowartość kwoty, którą otrzymał w monetach dwuzłotowych. Oblicz, ile łącznie monet dwuzłotowych ma teraz Wojtek. Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 90 monet

Krok 1 — ile monet wymienił? Połowa z 48 to $\textcolor{#E0453A}{24}$ monety pięciozłotowe.
Krok 2 — jaką kwotę oddał? $\textcolor{#E0453A}{24} \cdot 5 = \textcolor{#16A06A}{120}$ zł.
Krok 3 — ile dostał dwuzłotówek? Wymiana była równowartościowa, więc dostał monety o łącznej wartości $\textcolor{#16A06A}{120}$ zł: $\textcolor{#16A06A}{120} : 2 = \textcolor{#16A06A}{60}$ monet.
Krok 4 — ile ma teraz łącznie? Do 30 monet, które miał, dochodzi $\textcolor{#16A06A}{60}$ : $30 + \textcolor{#16A06A}{60} = 90$ .
Odpowiedź: Wojtek ma teraz łącznie 90 monet dwuzłotowych.

💡 Wskazówka: „Równowartość” znaczy, że kwota się nie zmienia, tylko rozkłada na inne monety. Skoro dwuzłotówka jest 2,5 raza mniej warta, monet musi być 2,5 raza więcej.

⚠ Dwa typowe błędy: (1) podanie samych nowych monet (60) zamiast wszystkich; (2) wymiana „sztuka za sztukę” — 24 monety za 24 monety, co nie zachowuje wartości.

Zadanie 17 (czerwiec 2022)2 pkttrudniejsze

Janek miał łącznie 84 piłeczki — czerwone, zielone i niebieskie. Liczby piłeczek czerwonych, zielonych i niebieskich są odpowiednio kolejnymi liczbami podzielnymi przez 7. Janek rozdzielił wszystkie piłeczki na siedem identycznych zestawów. Oblicz, ile piłeczek czerwonych, ile zielonych, a ile niebieskich było w jednym zestawie. Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 3 czerwone, 4 zielone, 5 niebieskich

„Kolejne liczby podzielne przez 7” to takie, które różnią się o 7. Zapiszmy je jako $\textcolor{#16A06A}{7k}$ , $\textcolor{#16A06A}{7k+7}$ i $\textcolor{#16A06A}{7k+14}$ .
Ich suma to 84: $\textcolor{#16A06A}{7k} + \textcolor{#16A06A}{7k+7} + \textcolor{#16A06A}{7k+14} = 84$ , czyli $21k + 21 = 84$ .
Stąd $21k = 63$ , więc $k = 3$ .
Liczby piłeczek: czerwonych $\textcolor{#16A06A}{21}$ , zielonych $\textcolor{#16A06A}{28}$ , niebieskich $\textcolor{#16A06A}{35}$ . (Sprawdzenie: $21 + 28 + 35 = 84$ ✓)
Dzielimy na $\textcolor{#E0453A}{7}$ identycznych zestawów: $\textcolor{#16A06A}{21} : \textcolor{#E0453A}{7} = 3$ , $\textcolor{#16A06A}{28} : \textcolor{#E0453A}{7} = 4$ , $\textcolor{#16A06A}{35} : \textcolor{#E0453A}{7} = 5$ .
Odpowiedź: w jednym zestawie były 3 piłeczki czerwone, 4 zielone i 5 niebieskich. (Razem 12 piłeczek, a $12 \cdot 7 = 84$ ✓)

💡 Wskazówka: Skrót: skoro wszystkie trzy liczby dzielą się przez 7 i dzielimy na 7 zestawów, można od razu podzielić 84 przez 7 (wychodzi 12) i szukać trzech kolejnych liczb o sumie 12 — czyli 3, 4, 5.

⚠ Najczęstszy błąd: podanie liczb 21, 28 i 35 jako odpowiedzi. To liczby piłeczek łącznie, a zadanie pyta o zawartość jednego zestawu.

Zadanie 18 (czerwiec 2021)2 pktśrednie

W jednej szklance o pojemności 250 mililitrów mieści się maksymalnie 150 gramów mąki. Babcia Kasi przechowuje mąkę w dwulitrowym pojemniku. Czy w takim pojemniku zmieści się 1,5 kilograma mąki? Odpowiedź uzasadnij. Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: Nie zmieści się — maksymalnie 1,2 kg

Sprowadzamy jednostki do wspólnych: pojemnik ma 2 litry, czyli $\textcolor{#16A06A}{2000}$ ml.
Sprawdzamy, ile szklanek to jest: $\textcolor{#16A06A}{2000} : 250 = \textcolor{#E0453A}{8}$ szklanek.
Każda szklanka mieści maksymalnie 150 g mąki, więc cały pojemnik: $\textcolor{#E0453A}{8} \cdot 150 = \textcolor{#16A06A}{1200}$ g $= \textcolor{#16A06A}{1{,}2}$ kg.
Porównujemy z pytaniem: $\textcolor{#16A06A}{1{,}2}$ kg $< 1{,}5$ kg.
Odpowiedź: nie, 1,5 kg mąki się nie zmieści — do pojemnika wejdzie najwyżej 1,2 kg.

💡 Wskazówka: Zamień wszystko na jedne jednostki na początku: litry na mililitry i kilogramy na gramy. Mieszanie jednostek w trakcie to najczęstsza przyczyna błędów w takich zadaniach.

⚠ Najczęstszy błąd: porównanie „2 litry kontra 1,5 kilograma” wprost, jakby litr wody równał się kilogramowi. Mąka jest lżejsza od wody — szklanka 250 ml mieści tylko 150 g, a nie 250 g.

Zadanie 19 (kwiecień 2020)2 pkttrudniejsze

Układ miejsc w ośmioosobowym przedziale wagonu kolejowego (drzwi po lewej, okno po prawej):

Dane z rysunku — wersja tekstowa

Rząd górny	41	43	47	45
Rząd dolny	42	48	44	46

Pociąg jedzie tak, że pasażerowie z rzędu dolnego siedzą przodem do kierunku jazdy, a z górnego — tyłem. Miejsca przy oknie to 45 (górny rząd) i 46 (dolny). Wszystkie miejsca są wolne. Edyta chce siedzieć przy oknie, a Agnieszka — przodem do kierunku jazdy. Podaj wszystkie możliwości wyboru miejsc spełniające jednocześnie oba warunki.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 7 możliwości: (45,46), (45,44), (45,48), (45,42), (46,44), (46,48), (46,42)

Wypisujemy, co pasuje każdej z dziewczyn.
Edyta — przy oknie, czyli miejsce $\textcolor{#16A06A}{45}$ albo $\textcolor{#16A06A}{46}$ (dwie możliwości).
Agnieszka — przodem do kierunku jazdy, czyli cały rząd dolny: $\textcolor{#E0453A}{42}$ , $\textcolor{#E0453A}{48}$ , $\textcolor{#E0453A}{44}$ , $\textcolor{#E0453A}{46}$ (cztery możliwości).
Rozpatrujemy przypadki, pamiętając, że nie mogą zająć tego samego miejsca.
Edyta na $\textcolor{#16A06A}{45}$ (rząd górny) — Agnieszka może usiąść na dowolnym z czterech: $\textcolor{#E0453A}{46}$ , $\textcolor{#E0453A}{44}$ , $\textcolor{#E0453A}{48}$ , $\textcolor{#E0453A}{42}$ → 4 możliwości.
Edyta na $\textcolor{#16A06A}{46}$ — to miejsce jest w rzędzie dolnym, więc Agnieszce zostają trzy: $\textcolor{#E0453A}{44}$ , $\textcolor{#E0453A}{48}$ , $\textcolor{#E0453A}{42}$ → 3 możliwości.
Odpowiedź: jest 7 możliwości — (Edyta, Agnieszka): $(45,46)$ , $(45,44)$ , $(45,48)$ , $(45,42)$ , $(46,44)$ , $(46,48)$ , $(46,42)$ .

💡 Wskazówka: Rozbij zadanie na przypadki według miejsca jednej osoby — tu Edyty, bo ma mniej opcji. W każdym przypadku policz, ile zostaje dla drugiej.

⚠ Najczęstszy błąd: policzenie $2 \cdot 4 = 8$ możliwości i pominięcie tego, że przy Edycie na miejscu 46 Agnieszka nie może zająć tego samego miejsca. Drugi błąd: podanie liczby zamiast wypisania wszystkich par — zadanie prosi o „wszystkie możliwości”.

Zadanie 20 (grudzień 2017)2 pkttrudniejsze

Ania i Jarek grali w kamienie. Kamienie układa się w dwóch stosach, a gracze wykonują ruchy na przemian. Ruch polega na wzięciu dowolnej liczby kamieni tylko z jednego ze stosów. Przegrywa ten, kto nie może już wykonać ruchu. Na pewnym etapie gry pierwszy stos zmalał do jednego kamienia, a na drugim były trzy kamienie. Ruch miała wykonać Ania. Uzasadnij, że aby zagwarantować sobie wygraną, Ania musiała wziąć dwa kamienie z drugiego stosu.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: dowód — jedyny ruch prowadzący do pozycji (1,1)

Kluczowa obserwacja: pozycja z dwoma równymi stosami jest przegrywająca dla tego, kto ma ruch. Cokolwiek zabierze z jednego stosu, przeciwnik zabierze tyle samo z drugiego — i tak aż do końca.
Ania powinna więc zostawić Jarkowi pozycję $\textcolor{#16A06A}{(1, 1)}$ . Z układu $(1, 3)$ osiąga to, biorąc $\textcolor{#E0453A}{2}$ kamienie z drugiego stosu.
Dlaczego to działa? Po ruchu Ani zostaje $\textcolor{#16A06A}{(1,1)}$ . Jarek musi wziąć jeden kamień (innego ruchu nie ma), zostaje $(1,0)$ . Ania bierze ostatni kamień, zostaje $(0,0)$ — Jarek nie może wykonać ruchu i przegrywa ✓
Dlaczego żaden inny ruch nie wystarczy? Sprawdźmy wszystkie pozostałe możliwości:
$(1,3) \to (0,3)$ : Jarek bierze wszystkie 3 i Ania nie ma ruchu — przegrywa.
$(1,3) \to (1,2)$ : Jarek doprowadza do $\textcolor{#16A06A}{(1,1)}$ i teraz to Ania jest w przegrywającej pozycji.
$(1,3) \to (1,0)$ : Jarek bierze ostatni kamień — Ania przegrywa.
Odpowiedź: jedynym ruchem gwarantującym wygraną jest zabranie dwóch kamieni z drugiego stosu — co należało uzasadnić.

💡 Wskazówka: W takich grach szukaj pozycji przegrywającej i staraj się zostawić ją przeciwnikowi. Przy dwóch stosach jest to zawsze układ o równej liczbie kamieni.

⚠ Najczęstszy błąd: pokazanie tylko, że ruch Ani prowadzi do wygranej, bez sprawdzenia pozostałych. Słowo „musiała” w poleceniu wymaga wykazania, że inne ruchy przegrywają.

Zadanie 21 (grudzień 2017)3 pkttrudniejsze

Trener chce zamówić 25 nowych piłek do tenisa. Piłki wybranej firmy sprzedawane są w opakowaniach po 3 sztuki albo po 4 sztuki. Ile opakowań każdego rodzaju powinien zamówić trener, aby mieć dokładnie 25 nowych piłek? Podaj wszystkie możliwości. Zapisz rozwiązanie.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 7 opakowań po 3 i 1 po 4, albo 3 opakowania po 3 i 4 po 4

Oznaczmy: $a$ — liczba opakowań po 3 sztuki, $b$ — po 4 sztuki. Szukamy rozwiązań równania $3a + 4b = 25$ w liczbach całkowitych nieujemnych.
Najwygodniej podstawiać kolejne wartości $\textcolor{#E0453A}{b}$ i sprawdzać, czy $a$ wychodzi całkowite.
$\textcolor{#E0453A}{b}=0 \to 3a = 25$ ✗ · $\textcolor{#E0453A}{b}=1 \to 3a = 21$ , czyli $\textcolor{#16A06A}{a}=7$ ✓ · $\textcolor{#E0453A}{b}=2 \to 3a = 17$ ✗ · $\textcolor{#E0453A}{b}=3 \to 3a = 13$ ✗
$\textcolor{#E0453A}{b}=4 \to 3a = 9$ , czyli $\textcolor{#16A06A}{a}=3$ ✓ · $\textcolor{#E0453A}{b}=5 \to 3a = 5$ ✗ · $\textcolor{#E0453A}{b}=6 \to 3a = 1$ ✗ · dla $\textcolor{#E0453A}{b} \ge 7$ mielibyśmy już ponad 25 piłek.
Odpowiedź: są dwie możliwości — $\textcolor{#16A06A}{7}$ opakowań po 3 sztuki i $\textcolor{#E0453A}{1}$ po 4 sztuki, albo $\textcolor{#16A06A}{3}$ opakowania po 3 sztuki i $\textcolor{#E0453A}{4}$ po 4 sztuki.
Sprawdzenie: $7 \cdot 3 + 1 \cdot 4 = 25$ ✓ oraz $3 \cdot 3 + 4 \cdot 4 = 9 + 16 = 25$ ✓

💡 Wskazówka: Podstawiaj za tę zmienną, której współczynnik jest większy (tu $b$ przy czwórce) — możliwości jest wtedy mniej do sprawdzenia i praca idzie szybciej.

⚠ Najczęstszy błąd: znalezienie jednej możliwości i zakończenie zadania. Polecenie mówi „podaj wszystkie możliwości”, więc trzeba przejrzeć cały zakres i pokazać, że innych nie ma.

Zadanie 22 (kwiecień 2016, egzamin gimnazjalny)2 pktśrednie

Jedenaście piłeczek, ponumerowanych kolejnymi liczbami naturalnymi od 1 do 11, wrzucono do pudełka. Janek, nie patrząc na piłeczki, wyjmuje je z pudełka. Ile najmniej piłeczek musi wyjąć Janek, aby mieć pewność, że przynajmniej jedna wyjęta piłeczka jest oznaczona liczbą parzystą? Odpowiedź uzasadnij.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 7 piłeczek

Słowo „pewność” oznacza, że musimy założyć najgorszy możliwy przypadek — czyli że Janek najdłużej, jak się da, wyciąga same nieparzyste.
Liczymy piłeczki nieparzyste: 1, 3, 5, 7, 9, 11 — jest ich $\textcolor{#16A06A}{6}$ . Parzystych (2, 4, 6, 8, 10) jest 5.
W najgorszym razie Janek wyciągnie najpierw wszystkie $\textcolor{#16A06A}{6}$ nieparzystych.
Wtedy w pudełku zostają już same parzyste, więc $\textcolor{#E0453A}{7}$ -ma piłeczka na pewno będzie parzysta.
Odpowiedź: Janek musi wyjąć co najmniej 7 piłeczek.
Dlaczego nie mniej? Przy sześciu wyjętych może się zdarzyć, że wszystkie będą nieparzyste (1, 3, 5, 7, 9, 11) — wtedy pewności nie ma.

💡 Wskazówka: Schemat zadań o „pewności”: policz, ile jest elementów niechcianego rodzaju, i dodaj 1. Tutaj: 6 nieparzystych + 1 = 7.

⚠ Najczęstszy błąd: odpowiedź 6 (liczba samych nieparzystych) albo 2 („bo przy dwóch już raczej trafi”). Pewność to nie prawdopodobieństwo — musi działać nawet przy najgorszym pechu.

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. A, C	2. B	3. P, P	4. B	5. A, C	6. B
7. B, D	8. C	9. F, P	10. B, C	11. P, F	12. D
13. 168 kubków	14. 15 osób	15. 500 kostek	16. 90 monet	17. 3 czerwone, 4 zielone, 5 niebieskich	18. Nie zmieści się — maksymalnie 1,2 kg
19. 7 możliwości: (45,46), (45,44), (45,48), (45,42), (46,44), (46,48), (46,42)	20. dowód — jedyny ruch prowadzący do pozycji (1,1)	21. 7 opakowań po 3 i 1 po 4, albo 3 opakowania po 3 i 4 po 4	22. 7 piłeczek

Treści zadań pochodzą z arkuszy egzaminu ósmoklasisty oraz z arkuszy egzaminu gimnazjalnego (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów liczę i zapisuję sam — Mateusz Będkowski.

Zadania z arkuszy CKE — dni, tygodnie i miesiące

Kolor prowadzi przez łańcuch przeliczeń, bo prawie każde z tych zadań to kilka kroków po kolei. Zielona to wielkość policzona w danym kroku — ta, która staje się punktem wyjścia następnego. Czerwona to przelicznik, przez który mnożymy albo dzielimy.

Zadania zamknięte

Zadanie 2 (kwiecień 2019)1 pktśrednie

Z kartki kalendarza na rok 2017 odczytujemy, że 31 sierpnia 2017 roku był czwartek. Natalia obchodzi urodziny 31 sierpnia, jej siostra Ewa — 18 sierpnia, a brat Karol — 2 października. Oceń prawdziwość podanych zdań.

W 2017 r. urodziny Ewy wypadły w piątek.	P	F
W 2017 r. dniem urodzin Karola był poniedziałek.	P	F

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P, P

Klucz do takich zadań: co 7 dni wypada ten sam dzień tygodnia. Cofamy się więc lub idziemy naprzód „skokami po 7”.
Zdanie 1 — Ewa, 18 sierpnia. Cofamy się od 31 sierpnia (czwartek) siódemkami: 24 sierpnia — czwartek, 17 sierpnia — czwartek.
Skoro $\textcolor{#16A06A}{17}$ sierpnia to czwartek, to $\textcolor{#16A06A}{18}$ sierpnia jest piątek ✓ — prawda.
Zdanie 2 — Karol, 2 października. Idziemy naprzód siódemkami: 7, 14, 21 i 28 września to same czwartki (bo sierpień ma 31 dni, więc 7 września wypada 7 dni po 31 sierpnia).
Od $\textcolor{#16A06A}{28}$ września (czwartek) liczymy dalej: 29 września — piątek, 30 września — sobota, 1 października — niedziela, $\textcolor{#E0453A}{2}$ października — poniedziałek ✓ — prawda.
Odpowiedzi: P, P.

💡 Wskazówka: Skacz po 7 dni, aż znajdziesz się blisko szukanej daty — dopiero wtedy dolicz pojedyncze dni. To dużo szybsze i pewniejsze niż odliczanie dzień po dniu.

⚠ Najczęstszy błąd przy Karolu: zapomnienie, ile dni ma sierpień (31) i wrzesień (30). Pomyłka o jeden dzień w liczbie dni miesiąca przesuwa cały wynik.

Zadanie 3 (listopad 2012, egzamin gimnazjalny)1 pkttrudniejsze

W pewnej kawiarni podaje się klientom dziennie średnio 70 filiżanek kawy. Ze 100 g ziarnistej kawy można przygotować 22 filiżanki tego napoju. Ile co najmniej półkilogramowych paczek kawy musi kupić właściciel, aby wystarczyło jej na 7 dni?

A. 3
B. 4
C. 5
D. 6

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Krok 1 — ile filiżanek na 7 dni? $70 \cdot \textcolor{#E0453A}{7} = \textcolor{#16A06A}{490}$ filiżanek.
Krok 2 — ile filiżanek z jednej paczki? Paczka półkilogramowa to 500 g, czyli $\textcolor{#E0453A}{5}$ razy po 100 g.
Skoro ze 100 g wychodzą 22 filiżanki, to z paczki: $22 \cdot \textcolor{#E0453A}{5} = \textcolor{#16A06A}{110}$ filiżanek.
Krok 3 — ile paczek? $\textcolor{#16A06A}{490} : \textcolor{#16A06A}{110} = 4{,}45\ldots$
Cztery paczki dałyby tylko $4 \cdot \textcolor{#16A06A}{110} = 440$ filiżanek — za mało. Trzeba więc zaokrąglić w górę: 5 paczek.
Odpowiedź C. (Pięć paczek daje 550 filiżanek, czyli z zapasem.)

💡 Wskazówka: Przy pytaniach „ile co najmniej paczek” zawsze zaokrąglaj w górę, nawet przy wyniku typu 4,05. Pół paczki kawy nie da się kupić, a brakująca reszta i tak wymaga całej.

⚠ Najczęstszy błąd: zaokrąglenie 4,45 w dół do 4 (kusząca odpowiedź B) — bo „4,45 jest bliżej czwórki”. Przy zakupach obowiązuje inna reguła niż przy zwykłym zaokrąglaniu: liczy się to, czy wystarczy.

Zadania otwarte

Zadanie 1 (kwiecień 2020)3 pkttrudniejsze

W zakładzie krawieckim są szyte poduszki dla zwierząt domowych. Praca trwa pięć dni w tygodniu — od poniedziałku do piątku — po 7 godzin dziennie. W 2020 roku 1 marca wypadł w niedzielę i w tym miesiącu nie było żadnych dni wolnych oprócz sobót i niedziel. W ciągu każdej godziny pracy szyto średnio 3 poduszki. Ile poduszek uszyto w tym zakładzie w marcu 2020 roku? Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 462 poduszki

Krok 1 — ile było dni roboczych? Marzec ma 31 dni, a 1 marca wypadł w niedzielę.
Skoro 1 marca to niedziela, to soboty i niedziele wypadają 1, 7, 8, 14, 15, 21, 22, 28 i 29 marca — razem 9 dni wolnych.
Dni roboczych: $31 - 9 = \textcolor{#16A06A}{22}$ .
Krok 2 — ile godzin pracy? Każdy dzień roboczy to $\textcolor{#E0453A}{7}$ godzin: $\textcolor{#16A06A}{22} \cdot \textcolor{#E0453A}{7} = \textcolor{#16A06A}{154}$ godziny.
Krok 3 — ile poduszek? W każdej godzinie szyto $\textcolor{#E0453A}{3}$ poduszki: $\textcolor{#16A06A}{154} \cdot \textcolor{#E0453A}{3} = 462$ .
Odpowiedź: w marcu 2020 roku uszyto 462 poduszki.

💡 Wskazówka: Weekendy najłatwiej policzyć, wypisując daty sobót i niedziel. Skoro 1 marca to niedziela, soboty wypadają 7, 14, 21, 28, a niedziele 1, 8, 15, 22, 29 — cztery soboty i pięć niedziel.

⚠ Najczęstszy błąd: przyjęcie „4 tygodnie po 5 dni roboczych = 20 dni”. Marzec ma 31 dni, czyli ponad cztery tygodnie — trzeba doliczyć dni z niepełnego tygodnia (30 i 31 marca to poniedziałek i wtorek).

Zadanie 4 (grudzień 2018)2 pkttrudniejsze

Na pozalekcyjne zajęcia sportowe zapisanych jest 37 osób. Uzasadnij, że w tej grupie są co najmniej 4 osoby, które urodziły się w tym samym miesiącu.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: dowód (zasada szufladkowa)

Rozumujemy nie wprost — zakładamy przez chwilę, że teza jest fałszywa, i pokazujemy, że prowadzi to do sprzeczności.
Przypuśćmy, że w żadnym miesiącu nie urodziły się 4 osoby. Wtedy w każdym miesiącu urodziły się najwyżej 3 osoby.
Miesięcy jest $\textcolor{#E0453A}{12}$ , więc przy takim założeniu w grupie mogłoby być najwyżej $\textcolor{#E0453A}{12} \cdot 3 = \textcolor{#16A06A}{36}$ osób.
Ale w grupie jest $\textcolor{#16A06A}{37}$ osób — czyli więcej niż $\textcolor{#16A06A}{36}$ .
Otrzymaliśmy sprzeczność, zatem założenie było błędne.
Odpowiedź: w grupie musi być co najmniej jeden miesiąc, w którym urodziły się przynajmniej 4 osoby — co należało uzasadnić.

💡 Wskazówka: To klasyczna zasada szufladkowa: jeśli do 12 szufladek wkładamy 37 przedmiotów, to w którejś muszą być co najmniej 4 (bo $37 > 12 \cdot 3$ ). Schemat dowodu jest zawsze ten sam.

⚠ Najczęstszy błąd: podanie przykładu rozkładu urodzin zamiast dowodu. Jeden przykład niczego nie dowodzi — trzeba pokazać, że inaczej po prostu nie da się rozłożyć 37 osób na 12 miesięcy.

Zadanie 5 (grudzień 2017)2 pktśrednie

Na pływalni w marcu obowiązywała promocja:

Jednorazowe wejście na pływalnię — 9 zł
PROMOCJA!!! Co czwarte wejście gratis

Wojtek był w marcu codziennie jeden raz na pływalni i wykorzystał wszystkie ulgi promocyjne. Ile kosztowało go korzystanie z pływalni w marcu? Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 216 zł

Marzec ma 31 dni, a Wojtek chodził codziennie — czyli miał $\textcolor{#16A06A}{31}$ wejść.
Promocja „co czwarte gratis” oznacza, że wejścia dzielą się na czwórki: w każdej 3 płatne i 1 darmowe.
Sprawdzamy, ile pełnych czwórek mieści się w 31 wejściach: $\textcolor{#16A06A}{31} : \textcolor{#E0453A}{4} = 7$ reszty 3.
Mamy więc $\textcolor{#E0453A}{7}$ pełnych czwórek (czyli 7 darmowych wejść) i jeszcze 3 wejścia poza nimi — te są płatne.
Liczba płatnych wejść: $\textcolor{#16A06A}{31} - \textcolor{#E0453A}{7} = \textcolor{#16A06A}{24}$ .
Koszt: $\textcolor{#16A06A}{24} \cdot 9 = 216$ zł.
Odpowiedź: korzystanie z pływalni kosztowało Wojtka 216 zł.

💡 Wskazówka: Liczba darmowych wejść to iloraz całkowity z dzielenia przez 4 — a nie wynik zaokrąglony. Reszta 3 oznacza trzy wejścia, które nie utworzyły pełnej czwórki, więc trzeba za nie zapłacić.

⚠ Dwa typowe błędy: (1) przyjęcie, że marzec ma 30 dni — wtedy wychodzi 210 zł; (2) zaokrąglenie $31 : 4 = 7{,}75$ do 8 darmowych wejść. Ósme wejście gratis należałoby się dopiero przy 32 wizytach.

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. 462 poduszki

2. P, P

3. C

4. dowód (zasada szufladkowa)

5. 216 zł

Zadania z arkuszy CKE — ceny, cenniki i zakupy

Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminu ósmoklasisty (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem. W zestawie jest 3 zadania z arkuszy egzaminu gimnazjalnego (do 2019 roku) — dokładamy je jako dodatkowe ćwiczenie tych samych umiejętności. Zakres gimnazjum był miejscami szerszy niż wymagania dla klas 7–8, dlatego każde takie zadanie jest podpisane osobno.

Kolor pokazuje, skąd bierze się cena jednostkowa i gdzie ją potem wstawiamy — zielona to cena pierwszego towaru, czerwona to cena drugiego. Dzięki temu widać, że prawie każde z tych zadań sprowadza się do jednego kroku: policz, ile kosztuje jedna sztuka.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (maj 2022)1 pktłatwe

Trzy koleżanki kupiły bilety autobusowe w tym samym automacie. Martyna kupiła 6 biletów 75-minutowych i zapłaciła za nie 24 zł. Weronika kupiła 4 bilety 20-minutowe i zapłaciła za nie 12 zł. Ania kupiła 2 bilety 75-minutowe i 2 bilety 20-minutowe. Ile Ania zapłaciła za bilety?

A. 7 zł
B. 14 zł
C. 19 zł
D. 20 zł

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Cały klucz to policzyć cenę jednego biletu każdego rodzaju.
Bilet 75-minutowy: $24 : 6 = \textcolor{#16A06A}{4}$ zł.
Bilet 20-minutowy: $12 : 4 = \textcolor{#E0453A}{3}$ zł.
Ania kupiła po dwa z każdego rodzaju: $2 \cdot \textcolor{#16A06A}{4} + 2 \cdot \textcolor{#E0453A}{3} = 8 + 6 = 14$ zł.
Odpowiedź B.

💡 Wskazówka: Kiedy w zadaniu są dwa różne towary i znasz ceny „w paczkach”, zawsze najpierw policz cenę jednej sztuki każdego z nich. Reszta to już zwykłe mnożenie.

⚠ Częsty błąd: dodanie cen jednostkowych i pomnożenie przez 2 tylko raz ( $4 + 3 = 7$ — kusząca odpowiedź A). Ania kupiła cztery bilety, nie dwa.

Zadanie 2 (czerwiec 2020)1 pktśrednie

W tabeli przedstawiono fragment cennika wypożyczalni gier planszowych „Świat Gier”:

Kategoria gry	Cena wypożyczenia jednej gry
Kategoria gry	łącznie za pierwsze 3 dni	za każdy kolejny dzień
rodzinna	4 zł	1 zł
logiczna	6 zł	2 zł

Janek wypożyczył jedną grę rodzinną i dwie gry logiczne na siedem dni. Dokończ zdanie.
Janek za wypożyczenie tych gier zapłacił

A. 21 zł
B. 30 zł
C. 36 zł
D. 51 zł
E. 52 zł

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Cennik jest dwuczęściowy: osobno pierwsze 3 dni (ryczałtem), osobno każdy kolejny dzień.
Janek wypożyczył gry na 7 dni, czyli: 3 dni w cenie podstawowej $+$ $7 - 3 = 4$ dni dodatkowe.
Gra rodzinna: 4 zł za pierwsze 3 dni $+$ $4 \cdot 1$ zł $= \textcolor{#16A06A}{8}$ zł.
Gra logiczna: 6 zł za pierwsze 3 dni $+$ $4 \cdot 2$ zł $= \textcolor{#E0453A}{14}$ zł za jedną.
Janek wziął dwie gry logiczne: $2 \cdot \textcolor{#E0453A}{14} = 28$ zł.
Razem: $\textcolor{#16A06A}{8} + 28 = 36$ zł — odpowiedź C.

💡 Wskazówka: Zwróć uwagę na słowo „łącznie za pierwsze 3 dni” — to opłata jednorazowa, a nie cena za każdy z tych trzech dni.

⚠ Dwa typowe błędy: (1) potraktowanie 4 zł i 6 zł jako ceny za dzień (wyszłoby 51 zł lub więcej); (2) doliczenie 7 dni dodatkowych zamiast 4 — trzy pierwsze dni są już w cenie podstawowej.

Zadanie 3 (kwiecień 2013, egzamin gimnazjalny)1 pktłatwe

W pewnej hurtowni za 120 jednakowych paczek herbaty trzeba zapłacić 1500 zł. Ile takich paczek herbaty można kupić w tej hurtowni za 600 zł, przy tej samej cenie za jedną paczkę?

A. 48
B. 50
C. 52
D. 56

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Najpierw cena jednej paczki: $1500 : 120 = \textcolor{#16A06A}{12{,}50}$ zł.
Teraz sprawdzamy, ile takich paczek zmieści się w 600 zł: $600 : \textcolor{#16A06A}{12{,}50} = 48$ .
Odpowiedź A.
Można też krócej — bez liczenia ceny jednostkowej. Zauważ, że 600 zł to dokładnie $\dfrac{600}{1500} = \dfrac{2}{5}$ kwoty 1500 zł.
Skoro pieniędzy jest $\tfrac25$ , to i paczek będzie $\tfrac25$ : $\tfrac25 \cdot 120 = 48$ ✓

💡 Wskazówka: Dzielenie przez 12,50 wygodnie zamienić na dzielenie przez $\tfrac{25}{2}$ , czyli mnożenie przez $\tfrac{2}{25}$ : $600 \cdot \tfrac{2}{25} = 48$ .

⚠ Częsty błąd: pomyłka przy dzieleniu z przecinkiem — np. potraktowanie 12,50 jako 12 i otrzymanie 50 (kusząca odpowiedź B).

Zadanie 4 (listopad 2012, egzamin gimnazjalny)1 pkttrudniejsze

Pan Nowak postanowił kupić wykładzinę na prostokątną podłogę o wymiarach 3 m i 4 m. Pod uwagę wziął dwa typy wykładziny:

Typ wykładziny	Szerokość	Cena
welurowa	4 m	35 zł za 1 m²
wełniana	3 m	95 zł za 1 metr bieżący

Oceń prawdziwość podanych zdań.

Cena 1 m² wykładziny welurowej jest niższa niż cena 1 m² wykładziny wełnianej.	P	F
Kupując tańszą wykładzinę, pan Nowak zaoszczędzi 40 zł.	P	F

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: F, P

Kluczowe pojęcie: metr bieżący to odcinek długości 1 m, ale o pełnej szerokości rolki. Przy szerokości 3 m jeden metr bieżący to $3 \cdot 1 = 3$ m² materiału.
Zdanie 1 — sprowadzamy obie ceny do 1 m².
Welurowa: $\textcolor{#16A06A}{35}$ zł za m² (podane wprost).
Wełniana: 95 zł za 3 m², czyli $95 : 3 \approx \textcolor{#E0453A}{31{,}67}$ zł za m².
Skoro $\textcolor{#16A06A}{35} > \textcolor{#E0453A}{31{,}67}$ , welurowa jest droższa za metr kwadratowy — zdanie fałszywe.
Zdanie 2 — teraz liczymy realny koszt pokrycia podłogi $3 \times 4$ m.
Welurowa (szerokość 4 m): rozwijamy pas długości 3 m, co daje 12 m². Koszt: $12 \cdot \textcolor{#16A06A}{35} = 420$ zł.
Wełniana (szerokość 3 m): potrzebujemy 4 metry bieżące, żeby pokryć 4 m długości. Koszt: $4 \cdot 95 = 380$ zł.
Oszczędność: $420 - 380 = 40$ zł ✓ — zdanie prawdziwe.
Odpowiedzi: F, P.

💡 Wskazówka: Przy wykładzinach i tkaninach zawsze sprawdzaj szerokość rolki — to ona decyduje, ile metrów kwadratowych mieści się w jednym metrze bieżącym.

⚠ Najczęstszy błąd: porównanie „35 zł kontra 95 zł” wprost i uznanie welurowej za tańszą. To ceny w różnych jednostkach — jednej za metr kwadratowy, drugiej za metr bieżący.

Zadania otwarte

Zadanie 5 (grudzień 2024)3 pkttrudniejsze

Marek kupił w sklepie sportowym kask narciarski, buty i narty. Kask kosztował 500 zł. Narty i kask kosztowały razem o 700 zł mniej niż narty i buty łącznie. Buty i kask kosztowały razem tyle co narty. Oblicz, ile kosztowały narty, a ile buty. Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: narty 1700 zł, buty 1200 zł

Oznaczamy: $n$ — cena nart, $b$ — cena butów, kask $= 500$ zł (znany).
Pierwszy warunek: „narty i kask o 700 zł mniej niż narty i buty”, czyli $n + 500 = (n + b) - 700$ .
Zauważ, że $n$ występuje po obu stronach — skraca się! Zostaje $500 = b - 700$ .
Stąd od razu $b = 500 + 700 = \textcolor{#E0453A}{1200}$ zł — to cena butów.
Drugi warunek: „buty i kask razem tyle co narty”, czyli $n = \textcolor{#E0453A}{b} + 500$ .
Podstawiamy: $n = \textcolor{#E0453A}{1200} + 500 = \textcolor{#16A06A}{1700}$ zł.
Odpowiedź: narty kosztowały 1700 zł, a buty 1200 zł.
Sprawdzenie pierwszego warunku: narty i kask to $\textcolor{#16A06A}{1700} + 500 = 2200$ zł, a narty i buty to $\textcolor{#16A06A}{1700} + \textcolor{#E0453A}{1200} = 2900$ zł. Różnica: $2900 - 2200 = 700$ zł ✓

💡 Wskazówka: Zanim zaczniesz rozwiązywać układ „na siłę”, poszukaj niewiadomej, która występuje po obu stronach równania — po skróceniu zadanie często robi się jednolinijkowe.

⚠ Najczęstszy błąd: zapisanie pierwszego warunku odwrotnie, czyli $n + 500 + 700 = n + b$ w złą stronę. Warto podstawić słowa: „narty i kask” są tańsze, więc to po ich stronie dodajemy 700.

Zadanie 6 (maj 2023)2 pktśrednie

Cena biletu do teatru jest o 64 zł większa od ceny biletu do kina. Za 4 bilety do teatru i 5 biletów do kina zapłacono łącznie 400 zł. Oblicz cenę jednego biletu do teatru. Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 80 zł

Za niewiadomą wybieramy cenę tańszego biletu — wtedy unikniemy odejmowania. Niech $k$ to cena biletu do kina.
Bilet do teatru jest o 64 zł droższy, czyli kosztuje $\textcolor{#E0453A}{k + 64}$ .
Zapisujemy równanie z treści: $4 \cdot \textcolor{#E0453A}{(k + 64)} + 5 \cdot k = 400$ .
Opuszczamy nawias: $4k + 256 + 5k = 400$ .
Redukujemy wyrazy podobne: $9k + 256 = 400$ , więc $9k = 144$ , czyli $k = \textcolor{#16A06A}{16}$ zł.
To cena biletu do kina. Zadanie pyta o teatr: $\textcolor{#16A06A}{16} + 64 = 80$ zł.
Odpowiedź: bilet do teatru kosztował 80 zł.
Sprawdzenie: $4 \cdot 80 + 5 \cdot \textcolor{#16A06A}{16} = 320 + 80 = 400$ zł ✓

💡 Wskazówka: Zawsze oznaczaj niewiadomą tak, żeby drugą wielkość dało się zapisać przez dodawanie, a nie odejmowanie — mniej okazji do pomyłki ze znakiem.

⚠ Najczęstszy błąd: zatrzymanie się na $k = 16$ i podanie tej liczby jako odpowiedzi. Zadanie pyta o bilet do teatru — trzeba jeszcze dodać 64 zł.

Zadanie 7 (kwiecień 2014, egzamin gimnazjalny)1 pktśrednie

Cena godziny korzystania z basenu wynosi 12 zł. Można jednak kupić miesięczną kartę rabatową za 50 złotych, upoważniającą do obniżki cen — wtedy za pierwsze 10 godzin pływania płaci się 8 zł za godzinę, a za każdą następną godzinę 9 zł. Wojtek kupił kartę rabatową i korzystał z basenu przez 16 godzin. Czy zakup karty był dla Wojtka opłacalny? Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: Tak — z kartą zapłacił 184 zł zamiast 192 zł, czyli zaoszczędził 8 zł

Żeby ocenić opłacalność, liczymy oba warianty i porównujemy.
Bez karty: $16 \cdot 12 = \textcolor{#16A06A}{192}$ zł.
Z kartą — pamiętamy o trzech składnikach: sama karta, pierwsze 10 godzin, reszta godzin.
Karta: 50 zł.
Pierwsze 10 godzin po 8 zł: $10 \cdot 8 = 80$ zł.
Pozostałe godziny: $16 - 10 = 6$ godzin po 9 zł, czyli $6 \cdot 9 = 54$ zł.
Razem z kartą: $50 + 80 + 54 = \textcolor{#E0453A}{184}$ zł.
Porównujemy: $\textcolor{#E0453A}{184} < \textcolor{#16A06A}{192}$ .
Odpowiedź: tak, zakup karty był opłacalny — Wojtek zaoszczędził $\textcolor{#16A06A}{192} - \textcolor{#E0453A}{184} = 8$ zł.

💡 Wskazówka: W zadaniach o opłacalności zawsze policz obie opcje do końca i dopiero porównaj. Sama odpowiedź „tak/nie” bez obu kwot nie dostanie punktów.

⚠ Najczęstszy błąd: zapomnienie o doliczeniu 50 zł za kartę. Bez tego wyszłoby 134 zł i pozorna oszczędność 58 zł. Drugi błąd: policzenie wszystkich 16 godzin po 8 zł, zamiast tylko pierwszych 10.

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. B	2. C	3. A	4. F, P	5. narty 1700 zł, buty 1200 zł	6. 80 zł
7. Tak — z kartą zapłacił 184 zł zamiast 192 zł, czyli zaoszczędził 8 zł

Pytania i odpowiedzi

Jak porównać, która oferta jest tańsza?

Przelicz obie na tę samą jednostkę — najczęściej na cenę za kilogram, litr albo sztukę. Dopiero takie liczby wolno porównywać. Same kwoty z półki nic nie mówią, dopóki opakowania mają różną wielkość.

Jak policzyć, ile dni minęło między datami?

Najpierw ustal, czy wliczasz dzień początkowy — treść rozstrzyga to słowem „minęło” albo „trwało”. Przy krótkich odstępach najpewniej jest wypisać dni po kolei; przy dłuższych licz pełne miesiące i dopiero potem dni pozostałe.

Który rok jest przestępny?

Ten, który dzieli się przez cztery — z wyjątkiem pełnych stuleci, które muszą dzielić się przez czterysta. Dlatego rok dwutysięczny był przestępny, a tysiąc dziewięćsetny nie.

Ile wynosi zniżka przy promocji „drugi za pół ceny”?

Dwadzieścia pięć procent na całość, o ile kupujemy dwie sztuki. Płacimy wtedy półtorej ceny zamiast dwóch pełnych. Hasło mówi o połowie, ale dotyczy ono tylko jednej z dwóch sztuk.

Co zrobić z resztą przy dzieleniu?

To zależy od pytania. Jeśli pytają, ile czegoś potrzeba — zaokrąglamy w górę. Jeśli ile pełnych zestawów da się złożyć — w dół. Jeśli ile zostanie — odpowiedzią jest sama reszta.

Ile punktów można stracić za brak jednostki?

W zadaniach otwartych zwykle punkt za pełną odpowiedź. Jednostka jest częścią wyniku, a nie ozdobnikiem — zwłaszcza gdy w zadaniu przewijają się różne miary, jak gramy i kilogramy.

Czytaj dalej

Procenty na egzaminieObniżki i podwyżki liczone mnożnikiem — narzędzie do wszystkich promocji Zadania tekstowe na egzaminieGdy z treści trzeba zbudować równanie, a nie tylko policzyć Zamiana jednostek na egzaminieGodziny, minuty i zadania o pracy — rachunek na czasie Prędkość, droga, czas na egzaminieKolejny dział, w którym jednostki decydują o wyniku Egzamin ósmoklasisty z matematykiJak zbudowany jest arkusz i jak się do niego przygotować

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-07-30. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa Mateusza Będkowskiego.