Próbny egzamin ósmoklasisty grudzień 2018 z matematyki – odpowiedzi i rozwiązania

Odpowiedź: D

1. Sposób na takie zadania: ustaw wymiary każdej paczki rosnąco i porównaj z tak samo ustawionym limitem. Paczkę można przecież obrócić.
2. Limit uporządkowany: $\textcolor{#16A06A}{38} \le \textcolor{#16A06A}{41} \le \textcolor{#16A06A}{64}$ cm, masa do $\textcolor{#16A06A}{25}$ kg.
3. Paczka 1: $37 \le 41 \le \textcolor{#E0453A}{66}$ — ostatni wymiar przekracza $\textcolor{#16A06A}{64}$ ✗
4. Paczka 2: $38 \le 38 \le 59$ — wszystkie mieszczą się ✓, masa $\textcolor{#E0453A}{25} \le \textcolor{#16A06A}{25}$ ✓ → można nadać
5. Paczka 3: $35 \le 40 \le 64$ — wymiary OK, ale masa $\textcolor{#E0453A}{26} > \textcolor{#16A06A}{25}$ kg ✗
6. Paczka 4: $26 \le 39 \le 63$ ✓, masa $22$ kg ✓ → można nadać
7. Odpowiedź D — tylko 2 i 4.

💡 Wskazówka: Wymiary porównuje się po uporządkowaniu, a nie „w kolejności zapisu”. Paczkę wolno obrócić, więc liczy się tylko to, czy najmniejszy pasuje do najmniejszego, średni do średniego, a największy do największego.

⚠ Dwa typowe potknięcia: (1) porównywanie wymiarów w podanej kolejności i odrzucenie dobrej paczki, (2) uznanie, że paczka 2 o masie dokładnie 25 kg jest za ciężka. Warunek brzmi „nie większa niż 25 kg”, więc równo 25 kg jest w porządku.

Odpowiedź: B, D

1. Pierwsze zdanie. Tabela podaje wartości na $\textcolor{#16A06A}{100}$ g, a jogurt waży $\textcolor{#E0453A}{150}$ g — czyli półtora raza więcej:
2. $\textcolor{#E0453A}{1{,}5} \cdot \textcolor{#16A06A}{167} \text{ mg} = 250{,}5 \text{ mg} \approx 250$ mg — odpowiedź B.
3. Drugie zdanie. Tu masa jogurtu nie ma znaczenia — obie wartości rosną tak samo, więc ich stosunek się nie zmienia. Kluczowe jest natomiast sprowadzenie do tych samych jednostek.
4. białko: $\textcolor{#16A06A}{4{,}6}$ g $= \textcolor{#E0453A}{4600}$ mg  •  witamina B2: $\textcolor{#16A06A}{0{,}25}$ mg
5. $\dfrac{\textcolor{#E0453A}{4600}}{\textcolor{#16A06A}{0{,}25}} = 18\,400$ — odpowiedź D.

💡 Wskazówka: Zanim podzielisz dwie wielkości, sprawdź jednostki. Gramy i miligramy różnią się tysiąckrotnie — bez zamiany wynik będzie tysiąc razy za mały (tu: $18{,}4$ zamiast $18\,400$).

⚠ Najczęstszy błąd: podzielenie $4{,}6$ przez $0{,}25$ bez zamiany jednostek — wychodzi $18{,}4$, czyli kusząca odpowiedź C. Właśnie po to jest w zadaniu przypis „$1$ mg $= 0{,}001$ g”.

Odpowiedź: P, P

1. Zdanie 1: $1,2\cdot 180=216$ oraz $1,8\cdot 120=216$ — prawda.
2. Zdanie 2: $0,2\cdot 36=7,2$ oraz $0,4\cdot 18=7,2$ — prawda.
3. Odpowiedzi: P, P.

💡 Wskazówka: $p\%$ liczby $q$ to zawsze tyle samo, co $q\%$ liczby $p$, bo $\frac{p}{100}\cdot q=\frac{q}{100}\cdot p$. W drugim zdaniu procent rośnie dwa razy, a liczba maleje dwa razy.

Odpowiedź: C

1. Szukamy $x$ — najmniejsza liczba dodatnia podzielna przez 3 i 4, czyli $\mathrm{NWW}(3,4) = 12$. Zatem $x = 12$.
2. Szukamy $y$ — podzielna przez 2 i 9 znaczy podzielna przez 18. Największa dwucyfrowa wielokrotność 18 to $18 \cdot 5 = 90$. Zatem $y = 90$.
3. Teraz NWW liczb 12 i 90 — rozkładamy obie na czynniki pierwsze:
4. $12 = \textcolor{#16A06A}{2^2} \cdot 3$ oraz $90 = 2 \cdot \textcolor{#E0453A}{3^2} \cdot \textcolor{#E0453A}{5}$.
5. Do NWW bierzemy każdy czynnik w najwyższej potędze, jaka wystąpiła: dwójkę z liczby 12 ($\textcolor{#16A06A}{2^2}$), trójkę z liczby 90 ($\textcolor{#E0453A}{3^2}$) i piątkę ($\textcolor{#E0453A}{5}$).
6. $\mathrm{NWW} = \textcolor{#16A06A}{2^2} \cdot \textcolor{#E0453A}{3^2} \cdot \textcolor{#E0453A}{5} = 4 \cdot 9 \cdot 5 = 180$. Odpowiedź C.

💡 Wskazówka: Kontrola wyniku: NWW musi być wielokrotnością obu liczb. Sprawdzamy: $180 : 12 = 15$ ✓ i $180 : 90 = 2$ ✓.

⚠ Częsty błąd: pomnożenie liczb przez siebie ($12 \cdot 90 = 1080$) — to daje wspólną wielokrotność, ale nie najmniejszą. Drugi błąd: wybór 72 lub 216, które nie dzielą się przez 90.

Odpowiedź: F, F

1. Wymiary dywanu: $2,5\cdot 60=150$ cm oraz $1,5\cdot 60=90$ cm.
2. Pole dywanu: $150\cdot 90=13500$ cm². Cztery kafle: $4\cdot 60\cdot 60=14400$ cm².
3. $13500<14400$, więc zdanie 1 to fałsz.
4. Dywan ma wymiary 90 cm × 150 cm, a nie 90 cm × 120 cm — zdanie 2 to fałsz.
5. Odpowiedzi: F, F.

💡 Wskazówka: Wymiary odczytuj z kafli: bok kwadratowego kafla to 60 cm, a krótszy bok prostokątnego — 30 cm.

Odpowiedź: C

1. Prędkości podano w różnych jednostkach, więc najpierw sprowadzamy je do wspólnej. Wybierzmy metry na sekundę.
2. Rośliny: $60$ cm na minutę to $\textcolor{#16A06A}{0{,}6}$ m na minutę.
3. Minuta ma 60 sekund, więc na sekundę przypada $\textcolor{#16A06A}{0{,}6} : \textcolor{#E0453A}{60} = \textcolor{#16A06A}{0{,}01}\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$.
4. Porównujemy: $\dfrac{2}{\textcolor{#16A06A}{0{,}01}} = 200$.
5. Odpowiedź C — u człowieka impuls jest około 200 razy szybszy.
6. Można też odwrotnie, w metrach na minutę: człowiek $2 \cdot \textcolor{#E0453A}{60} = 120$ m/min, rośliny $\textcolor{#16A06A}{0{,}6}$ m/min, a $120 : \textcolor{#16A06A}{0{,}6} = 200$ ✓

💡 Wskazówka: Przy porównywaniu prędkości zawsze najpierw ujednolić jednostki. Nieważne, którą wybierzesz — wynik („ile razy”) będzie ten sam.

⚠ Najczęstszy błąd: porównanie samych liczb ($2$ kontra $60$) i odpowiedź „30 razy wolniej”. To porównywanie metrów na sekundę z centymetrami na minutę — dwie różne rzeczy.

Odpowiedź: B, 3

1. Monika — zaokrągla 3465 do setek. Patrzymy na cyfrę dziesiątek: $34\,|\,\textcolor{#E0453A}{6}5$. Skoro $\textcolor{#E0453A}{6} \ge 5$, zaokrąglamy w górę: $x = 3500$.
2. Paweł — zaokrągla 3495 do tysięcy. Patrzymy na cyfrę setek: $3\,|\,\textcolor{#16A06A}{4}95$. Skoro $\textcolor{#16A06A}{4} < 5$, zaokrąglamy w dół: $y = 3000$.
3. Liczby nie są równe — odpowiedź B.
4. Powód: $3500 - 3000 = 500$, czyli zaokrąglenia różnią się o 500 — uzasadnienie 3.
5. Dlaczego nie pozostałe? Uzasadnienia 1. i 2. są prawdziwymi zdaniami, ale nie wyjaśniają, dlaczego wyniki się różnią.

💡 Wskazówka: Zaokrąglając, patrz tylko na jedną cyfrę — tę bezpośrednio za miejscem zaokrąglenia. Cyfry dalej nie mają znaczenia (3495 do tysięcy to 3000, mimo że 495 wygląda „prawie jak 500”).

⚠ Najczęstszy błąd u Pawła: zaokrąglanie „schodkowo” — najpierw $3495 \to 3500$, potem $3500 \to 4000$. Tak nie wolno; zaokrąglamy jednym ruchem, patrząc na oryginalną liczbę.

Odpowiedź: B, D

1. „O 2 większa” znaczy dodaj 2: $(3\sqrt2 - 4) + 2 = 3\sqrt2 - 2$ — odpowiedź B.
2. Składnik $3\sqrt2$ zostaje bez zmian, bo dodajemy tylko liczbę bez pierwiastka.
3. „2 razy większa” znaczy pomnóż przez 2: $2 \cdot (3\sqrt2 - 4) = 6\sqrt{2} - 8$ — odpowiedź D.
4. Mnożymy liczbę przed pierwiastkiem ($3 \cdot 2 = 6$), a liczba pod pierwiastkiem się nie zmienia.

💡 Wskazówka: „O ile” → dodawanie. „Ile razy” → mnożenie. To najczęstsza pułapka językowa na egzaminie.

⚠ Częsty błąd: pomnożenie liczby pod pierwiastkiem ($\sqrt2 \to \sqrt4$) — stąd odpowiedź C.

Odpowiedź: D

1. Dzieci jest czworo (trzy córki + syn), a ich średni wiek to 10 lat.
2. Łączny wiek wszystkich dzieci: $10 \cdot 4 = \textcolor{#16A06A}{40}$ lat.
3. Córki: trzy osoby o średniej 8 lat, czyli razem $8 \cdot 3 = \textcolor{#E0453A}{24}$ lata.
4. Syn: $\textcolor{#16A06A}{40} - \textcolor{#E0453A}{24} = 16$ lat.
5. Odpowiedź D.

💡 Wskazówka: Za każdym razem sprawdzaj, przez ile mnożysz: raz przez 4 (wszystkie dzieci), raz przez 3 (same córki).

⚠ Częsty błąd: mnożenie obu średnich przez tę samą liczbę albo policzenie $10 + (10-8) = 12$.

Odpowiedź: F, F

1. Zdanie 1. Na bączku I liczby większe niż 3 to $\textcolor{#16A06A}{4}$ i $\textcolor{#16A06A}{5}$ — czyli $\textcolor{#16A06A}{2}$ możliwości z $\textcolor{#E0453A}{5}$.
2. $P = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{2}}{\textcolor{#E0453A}{5}} = 0{,}4$, a $\dfrac12 = 0{,}5$. Zatem $0{,}4 < 0{,}5$ — fałsz.
3. Zdanie 2. Nieparzyste na bączku I: $1, 3, 5$, czyli $P_I = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{3}}{\textcolor{#E0453A}{5}}$.
4. Nieparzyste na bączku II: też $1, 3, 5$, ale wszystkich liczb jest sześć: $P_{II} = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{3}}{\textcolor{#E0453A}{6}} = \dfrac{1}{2}$.
5. $\dfrac{3}{5} = 0{,}6$, a $\dfrac{1}{2} = 0{,}5$ — prawdopodobieństwa nie są równe — fałsz.
6. Odpowiedzi: F, F.

💡 Wskazówka: Zauważ, dlaczego wyniki się różnią: liczba nieparzystych jest w obu przypadkach ta sama (3), ale mianowniki są inne (5 i 6). To mianownik decyduje o różnicy.

⚠ Najczęstszy błąd w drugim zdaniu: „w obu jest po trzy liczby nieparzyste, więc szansa taka sama”. Prawdopodobieństwo to ułamek — liczy się także, ile jest wszystkich możliwości.

Odpowiedź: C

1. Zdanie „A jest o $k$ większe od B” zapisujemy jako $A = B + k$ — dodajemy do tej mniejszej strony.
2. Tutaj $A = \textcolor{#16A06A}{\dfrac{1}{3}x}$ (ta większa), $B = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{1}{6}x}$, a $k = \dfrac34$.
3. Zatem $\textcolor{#16A06A}{\dfrac{1}{3}x} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{1}{6}x} + \dfrac{3}{4}$ — odpowiedź C.
4. Sprawdzenie sensu: $\tfrac13$ jest rzeczywiście większe od $\tfrac16$, więc kierunek się zgadza ✓
5. (Rozwiązując: $\tfrac16 x = \tfrac34$, czyli $x = 4{,}5$.)

💡 Wskazówka: Trik pamięciowy: dodajesz do tego, czego jest mniej, żeby zrównać strony. Odpowiedź D robi odwrotnie — dodaje do większej strony.

⚠ Najczęstszy błąd: odpowiedź D, czyli dopisanie $\tfrac34$ po niewłaściwej stronie. Warto sprawdzić, czy równanie ma sensowne rozwiązanie — w D wychodzi $x$ ujemne, co przy „liczbie większej o” powinno zapalić lampkę.

Odpowiedź: F, P

1. Zapisujemy warunek z treści: $\angle B = \textcolor{#16A06A}{C} - 48°$.
2. Wstawiamy do sumy kątów trójkąta: $48° + (\textcolor{#16A06A}{C} - 48°) + \textcolor{#16A06A}{C} = \textcolor{#E0453A}{180°}$.
3. Zauważ, co się dzieje: $+48°$ i $-48°$ się skracają, zostaje $2\textcolor{#16A06A}{C} = \textcolor{#E0453A}{180°}$.
4. Stąd $\textcolor{#16A06A}{C} = 90°$, a $\angle B = 90° - 48° = \textcolor{#16A06A}{42°}$.
5. Zdanie 1. Kąt przy $B$ ma $\textcolor{#16A06A}{42°}$, a nie $48°$ — fałsz.
6. Zdanie 2. Kąt przy $C$ wynosi $90°$, więc trójkąt jest prostokątny ✓ — prawda.
7. Odpowiedzi: F, P. Sprawdzenie: $48° + 42° + 90° = \textcolor{#E0453A}{180°}$ ✓, a największy kąt rzeczywiście jest przy $C$ ✓

💡 Wskazówka: Ładna własność ukryta w tym zadaniu: gdy jeden kąt jest różnicą dwóch pozostałych, trójkąt zawsze jest prostokątny — niezależnie od konkretnych miar.

⚠ Najczęstszy błąd: potraktowanie zdania „miara kąta $B$ jest równa różnicy $C$ i $A$” jako $B = A - C$. Kolejność w słowie „różnica” jest istotna: od pierwszej wymienionej odejmujemy drugą.

Odpowiedź: A

1. Skoro $P$ jest środkiem, to droga z $A$ do $P$ i z $P$ do $B$ to to samo przesunięcie.
2. Krok 1 — przesunięcie z $A$ do $P$.
3. w poziomie: $\textcolor{#16A06A}{-2} - (\textcolor{#16A06A}{-8}) = \textcolor{#E0453A}{+6}$    w pionie: $\textcolor{#16A06A}{2} - (\textcolor{#16A06A}{-4}) = \textcolor{#E0453A}{+6}$
4. Krok 2 — powtarzamy je z punktu $P$.
5. $x_B = \textcolor{#16A06A}{-2} + \textcolor{#E0453A}{6} = 4$    $y_B = \textcolor{#16A06A}{2} + \textcolor{#E0453A}{6} = 8$
6. Zatem $B = (4, 8)$ — odpowiedź A.
7. Sprawdzenie: środek odcinka od $(-8,-4)$ do $(4,8)$ to $\left(\tfrac{-8+4}{2}, \tfrac{-4+8}{2}\right) = (-2, 2)$ ✓

💡 Wskazówka: Można też wprost ze wzoru: $B = 2P - A$, czyli $x_B = 2 \cdot (-2) - (-8) = 4$ i $y_B = 2 \cdot 2 - (-4) = 8$. Wychodzi to samo.

⚠ Najczęstszy błąd: przesunięcie w złą stronę — od $P$ z powrotem w kierunku $A$ (wychodzi wtedy $(-10,-2)$, odpowiedź B). Punkt $B$ leży po przeciwnej stronie środka niż $A$.

Odpowiedź: A, D

1. Objętość drewna. Jeden element: $\textcolor{#16A06A}{2} \cdot \textcolor{#16A06A}{2} \cdot \textcolor{#16A06A}{9} = 36$ cm³. Elementy są cztery:
2. $4 \cdot 36 = 144$ cm³ — odpowiedź A.
3. Objętość odlewu. Gips wypełnia otwór w środku ramki, więc trzeba wyznaczyć jego wymiary.
4. W układzie „wiatraczkowym” każdy element zasłania od jednej strony pas szerokości $\textcolor{#16A06A}{2}$ cm z długości $\textcolor{#16A06A}{9}$ cm sąsiada. Bok otworu wynosi więc
5. $\textcolor{#16A06A}{9} - \textcolor{#16A06A}{2} = \textcolor{#E0453A}{7}$ cm — i tak samo w drugim kierunku.
6. Wysokość otworu to wysokość listew: $\textcolor{#16A06A}{2}$ cm.
7. $V = \textcolor{#E0453A}{7} \cdot \textcolor{#E0453A}{7} \cdot \textcolor{#16A06A}{2} = 98$ cm³ — odpowiedź D.

💡 Wskazówka: Odlew ma kształt dziury, a nie formy. Zawsze najpierw ustal, jakie wymiary ma pusta przestrzeń — reszta to zwykłe mnożenie.

⚠ Najczęstszy błąd: przyjęcie, że otwór ma bok $9$ cm (odpowiedź $9 \cdot 9 \cdot 2 = 162$, czyli C). W układzie wiatraczkowym koniec każdej listwy „wchodzi” w bok następnej i skraca otwór o $2$ cm.

Odpowiedź: F, F

1. Oznaczmy wspólną długość krawędzi przez $a$.
2. Zdanie $\boldsymbol{1}$ — liczymy krawędzie.
3. Ostrosłup czworokątny: $\textcolor{#16A06A}{4}$ krawędzie podstawy $+\ \textcolor{#E0453A}{4}$ boczne $= \textcolor{#16A06A}{8}$, czyli suma $8a$.
4. Graniastosłup trójkątny: $\textcolor{#16A06A}{3} + \textcolor{#16A06A}{3}$ krawędzie dwóch podstaw $+\ \textcolor{#E0453A}{3}$ boczne $= \textcolor{#16A06A}{9}$, czyli suma $9a$.
5. $8a < 9a$, więc suma dla ostrosłupa jest mniejsza — fałsz.
6. Zdanie $\boldsymbol{2}$ — liczymy pola. Trójkąt równoboczny o boku $a$ ma pole $\tfrac{a^2\sqrt3}{4} \approx 0{,}43a^2$, kwadrat — $a^2$.
7. Ostrosłup: $\textcolor{#16A06A}{1}$ kwadrat $+\ \textcolor{#E0453A}{4}$ trójkąty $= a^2 + 4 \cdot 0{,}43a^2 \approx \textcolor{#16A06A}{2{,}72}\,a^2$.
8. Graniastosłup: $\textcolor{#16A06A}{2}$ trójkąty $+\ \textcolor{#E0453A}{3}$ kwadraty $= 2 \cdot 0{,}43a^2 + 3a^2 \approx \textcolor{#16A06A}{3{,}86}\,a^2$.
9. Ostrosłup ma mniejsze pole — fałsz.
10. Odpowiedzi: F, F.

💡 Wskazówka: Przy porównywaniu brył o jednakowych krawędziach wystarczy policzyć ściany po rodzajach. Kwadrat jest ponad dwa razy „większy” od trójkąta równobocznego o tym samym boku — a graniastosłup ma ich aż trzy.

⚠ Najczęstszy błąd: intuicja „ostrosłup wygląda na większy, bo ma więcej ścian bocznych”. Wygląd bryły nie decyduje — trzeba policzyć ściany i krawędzie.

Odpowiedź: 0,8 cm

1. Krok 1 — pole prostokąta. $P = 7 \cdot 8 = 56$ cm².
2. Krok 2 — pole trapezu. Jest czterokrotnie mniejsze: $56 : 4 = \textcolor{#16A06A}{14}$ cm².
3. Krok 3 — równanie. Trapez $KBCL$ ma podstawy $\textcolor{#16A06A}{KB}$ (dół) i $\textcolor{#16A06A}{3{,}2}$ cm (góra), a jego wysokość to bok $BC = \textcolor{#E0453A}{7}$ cm.
4. $\dfrac{\textcolor{#16A06A}{KB} + \textcolor{#16A06A}{3{,}2}}{2} \cdot \textcolor{#E0453A}{7} = \textcolor{#16A06A}{14}$
5. Dzielimy obie strony przez $\textcolor{#E0453A}{7}$: $\dfrac{\textcolor{#16A06A}{KB} + \textcolor{#16A06A}{3{,}2}}{2} = 2$, czyli $\textcolor{#16A06A}{KB} + \textcolor{#16A06A}{3{,}2} = 4$.
6. Stąd $\textcolor{#16A06A}{KB} = 0{,}8$ cm.
7. Odpowiedź: odcinek $KB$ ma długość 0,8 cm.

💡 Wskazówka: Uwaga na to, co jest wysokością trapezu: to bok prostokąta prostopadły do obu podstaw, czyli 7 cm — a nie 8 cm i nie długość cięcia.

⚠ Najczęstszy błąd: przyjęcie za wysokość boku 8 cm. Podstawy trapezu leżą na bokach długości 8 cm, więc wysokość musi być tym drugim wymiarem.

Odpowiedź: dowód (zasada szufladkowa)

1. Rozumujemy nie wprost — zakładamy przez chwilę, że teza jest fałszywa, i pokazujemy, że prowadzi to do sprzeczności.
2. Przypuśćmy, że w żadnym miesiącu nie urodziły się 4 osoby. Wtedy w każdym miesiącu urodziły się najwyżej 3 osoby.
3. Miesięcy jest $\textcolor{#E0453A}{12}$, więc przy takim założeniu w grupie mogłoby być najwyżej $\textcolor{#E0453A}{12} \cdot 3 = \textcolor{#16A06A}{36}$ osób.
4. Ale w grupie jest $\textcolor{#16A06A}{37}$ osób — czyli więcej niż $\textcolor{#16A06A}{36}$.
5. Otrzymaliśmy sprzeczność, zatem założenie było błędne.
6. Odpowiedź: w grupie musi być co najmniej jeden miesiąc, w którym urodziły się przynajmniej 4 osoby — co należało uzasadnić.

💡 Wskazówka: To klasyczna zasada szufladkowa: jeśli do 12 szufladek wkładamy 37 przedmiotów, to w którejś muszą być co najmniej 4 (bo $37 > 12 \cdot 3$). Schemat dowodu jest zawsze ten sam.

⚠ Najczęstszy błąd: podanie przykładu rozkładu urodzin zamiast dowodu. Jeden przykład niczego nie dowodzi — trzeba pokazać, że inaczej po prostu nie da się rozłożyć 37 osób na 12 miesięcy.

Odpowiedź: $19$ klocków; $3\text{cm}\times 3\text{cm}\times 3\text{cm}$

1. Budowla mieści się w sześcianie o krawędzi 3 cm — to najmniejszy możliwy prostopadłościan: $3$ cm × $3$ cm × $3$ cm.
2. Objętość sześcianu: $3^3=27$ cm³. Objętość czterech klocków: $4\cdot 2\cdot 1\cdot 1=8$ cm³.
3. Trzeba dołożyć $27-8=19$ cm³, a każdy mały sześcian ma objętość 1 cm³, więc dokładamy 19 klocków.

💡 Wskazówka: Zamiast liczyć klocki na rysunku, porównaj objętości: wynik to objętość prostopadłościanu minus objętość budowli.

Odpowiedź: 3 cm

1. Kwadraty stoją „na rogu”, więc wzdłuż krawędzi kartki każdy z nich zajmuje swoją przekątną, a nie bok.
2. Krok 1 — przekątna kwadratu o boku $a$.
3. $d = \textcolor{#16A06A}{a}\sqrt2 \approx \textcolor{#E0453A}{1{,}4}\,\textcolor{#16A06A}{a}$
4. Krok 2 — warunek dla krótszego boku (15 cm). Trzy przekątne muszą się zmieścić:
5. $3 \cdot \textcolor{#E0453A}{1{,}4}\,\textcolor{#16A06A}{a} \le 15$  →  $4{,}2\,\textcolor{#16A06A}{a} \le 15$  →  $\textcolor{#16A06A}{a} \le 3{,}57\ldots$
6. Krok 3 — warunek dla dłuższego boku (18 cm). Tu przekątnych jest cztery:
7. $4 \cdot \textcolor{#E0453A}{1{,}4}\,\textcolor{#16A06A}{a} \le 18$  →  $5{,}6\,\textcolor{#16A06A}{a} \le 18$  →  $\textcolor{#16A06A}{a} \le 3{,}21\ldots$
8. Krok 4 — wybieramy największą liczbę całkowitą. Muszą być spełnione oba warunki, więc decyduje ten ostrzejszy: $\textcolor{#16A06A}{a} \le 3{,}21$.
9. Największa taka liczba całkowita to $\textcolor{#16A06A}{a} = 3$ cm.
10. Sprawdzenie: dla $a = 3$ przekątna wynosi $4{,}2$ cm, więc trzy przekątne to $12{,}6 \le 15$ ✓, a cztery — $16{,}8 \le 18$ ✓
11. Dla $a = 4$: przekątna $5{,}6$ cm, trzy przekątne to już $16{,}8 > 15$ ✗ — nie mieści się.
12. Odpowiedź: maksymalna długość boku kwadratu wynosi 3 cm.

💡 Wskazówka: Gdy warunki są dwa, zawsze wygrywa ostrzejszy — czyli ten, który dopuszcza mniej. Warto na koniec podstawić wynik do obu i sprawdzić, że oba są spełnione.

⚠ Najczęstszy błąd: użycie boku kwadratu zamiast przekątnej ($3a \le 15$ daje $a \le 5$). Skoro kwadraty są obrócone o $45°$, wzdłuż krawędzi kartki układa się ich przekątna, czyli odcinek o około $40\%$ dłuższy od boku.

Odpowiedź: Helena 11, Grzegorz 5

1. Krok 1 — ilu było głosujących? Skoro 9 głosów to $\textcolor{#E0453A}{36\%}$ wszystkich, to wszystkich jest $9 : \textcolor{#E0453A}{0{,}36} = \textcolor{#16A06A}{25}$.
2. (W pamięci: $\textcolor{#E0453A}{36\%}$ to 9, więc $\textcolor{#E0453A}{4\%}$ to 1, a $100\%$ to 25.)
3. Krok 2 — ile głosów zostało dla pozostałych? $\textcolor{#16A06A}{25} - 9 = \textcolor{#16A06A}{16}$ głosów dla Heleny i Grzegorza razem.
4. Krok 3 — podział. Niech $\textcolor{#16A06A}{g}$ to głosy Grzegorza; Helena ma $\textcolor{#E0453A}{g + 6}$.
5. $\textcolor{#16A06A}{g} + \textcolor{#E0453A}{(g + 6)} = \textcolor{#16A06A}{16}$, czyli $2\textcolor{#16A06A}{g} = 10$, więc $\textcolor{#16A06A}{g} = 5$.
6. Helena: $\textcolor{#E0453A}{5 + 6} = 11$ głosów.
7. Odpowiedź: Helena otrzymała 11 głosów, a Grzegorz 5.
8. Sprawdzenie: $9 + 11 + 5 = 25$ ✓ oraz $\tfrac{9}{25} = 0{,}36 = 36\%$ ✓

💡 Wskazówka: Zadania „suma i różnica” mają szybki sposób: od sumy odejmij różnicę i podziel na pół, żeby dostać mniejszą liczbę. Tu: $(16 - 6) : 2 = 5$.

⚠ Najczęstszy błąd: podzielenie 16 głosów na pół (po 8) i zignorowanie różnicy 6. Drugi błąd: policzenie $36\%$ z 9 zamiast potraktowania 9 jako $36\%$ całości.

Odpowiedź: 76 km

1. Trasa składa się z dwóch części, w których Ania faktycznie się przemieszczała. Czas czekania na przystanku nie dodaje żadnych kilometrów.
2. Marsz: od $8\!:\!00$ do $8\!:\!10$ to 10 minut $= \textcolor{#E0453A}{\tfrac16}$ godziny. Droga: $6 \cdot \textcolor{#E0453A}{\tfrac16} = \textcolor{#16A06A}{1}$ km.
3. Czekanie: od $8\!:\!10$ do $8\!:\!15$ prędkość wynosi 0, więc droga to 0 km.
4. Autobus: od $8\!:\!15$ do $9\!:\!30$ to 75 minut $= \textcolor{#E0453A}{1{,}25}$ godziny. Droga: $60 \cdot \textcolor{#E0453A}{1{,}25} = \textcolor{#16A06A}{75}$ km.
5. Sumujemy: $\textcolor{#16A06A}{1} + 0 + \textcolor{#16A06A}{75} = 76$ km.
6. Odpowiedź: Ania pokonała trasę o długości 76 km.

💡 Wskazówka: Na wykresie prędkość–czas (inaczej niż na wykresie droga–czas) odcinek poziomy na wysokości zero oznacza postój, a przebytą drogę liczy się jako $v \cdot t$ dla każdego etapu osobno.

⚠ Dwa typowe błędy: (1) doliczenie czasu czekania do jazdy autobusem (od $8\!:\!10$ zamiast od $8\!:\!15$) — wychodzi wtedy 80 km zamiast 75; (2) pominięcie 1 km przejścia na przystanek, bo „to tylko marsz”.