Próbny egzamin ósmoklasisty styczeń 2026 z matematyki – odpowiedzi i rozwiązania

Odpowiedź: F, P

1. Zdanie 1. Zysk całoroczny: $300 + 450 + 600 + 500 = \textcolor{#E0453A}{1850}$ tys. zł.
2. Sprawdzamy, czy $\textcolor{#16A06A}{300}$ to $\tfrac16$ tej kwoty: $\textcolor{#E0453A}{1850} : 6 \approx 308{,}3$ — a I kwartał dał $\textcolor{#16A06A}{300}$.
3. Te liczby nie są równe, więc udział I kwartału to trochę mniej niż $\tfrac16$ — fałsz.
4. Zdanie 2. Pierwsze półrocze: $300 + 450 = \textcolor{#16A06A}{750}$. Drugie: $600 + 500 = \textcolor{#16A06A}{1100}$.
5. Różnica: $\textcolor{#16A06A}{1100} - \textcolor{#16A06A}{750} = 350$ tys. zł ✓ — prawda.
6. Odpowiedzi: F, P.

💡 Wskazówka: Zamiast dzielić 1850 przez 6, sprawdź odwrotnie: gdyby I kwartał był dokładnie $\tfrac16$ roku, cały rok wynosiłby $6 \cdot 300 = 1800$ tys. zł. A wyszło 1850 — czyli nie.

⚠ Najczęstszy błąd: uznanie pierwszego zdania za prawdziwe „na oko”, bo 300 z około 1800 wygląda jak jedna szósta. Przy takich pytaniach trzeba policzyć dokładnie.

Odpowiedź: D

1. Najpierw potęgi: $4^3 = 64$, $8^2 = 64$, $2^4 = 16$.
2. Potem dzielenie (przed odejmowaniem): $64 : 16 = 4$.
3. Na końcu odejmowanie: $64 - 4 = 60$.

💡 Wskazówka: Kolejność działań: najpierw potęgi, potem mnożenie i dzielenie, na końcu dodawanie i odejmowanie.

⚠ Częsty błąd: odjęcie $64-64$ na starcie i podzielenie wyniku przez $16$ — wyszłoby $0$ (odpowiedź A).

Odpowiedź: A

1. Najpierw liczymy wszystko w nawiasie, a w nawiasie — najpierw mnożenie.
2. $0{,}75 \cdot 8 = 6$ (bo $0{,}75 = \tfrac34$, a $\tfrac34$ z 8 to 6).
3. $8 \cdot \dfrac{1}{2} = 4$.
4. W nawiasie zostaje $6 + 4 = 10$.
5. Na koniec dzielenie: $10 : (-2) = -5$.
6. Odpowiedź A.

💡 Wskazówka: Ułamki dziesiętne warto w pamięci zamieniać na zwykłe: $0{,}75 = \tfrac34$, $0{,}25 = \tfrac14$, $0{,}5 = \tfrac12$. Rachunek robi się wtedy znacznie prostszy.

⚠ Najczęstszy błąd: pominięcie minusa przy dzieleniu przez $(-2)$ i wybór odpowiedzi D. Dodatnia liczba dzielona przez ujemną daje ujemny wynik.

Odpowiedź: C

1. Sprytny trik: skoro znamy sumę wszystkich trzech klas i sumę dwóch z nich, to odejmowanie od razu daje trzecią.
2. $8C = 132{,}9 - \textcolor{#E0453A}{90{,}6} = \textcolor{#16A06A}{42{,}3}$ kg (bo $90{,}6$ to razem 8A i 8B).
3. Teraz z drugiej informacji: $8B = \textcolor{#E0453A}{86{,}8} - \textcolor{#16A06A}{42{,}3} = 44{,}5$ kg.
4. Odpowiedź C.
5. Sprawdzenie: $8A = 90{,}6 - 44{,}5 = 46{,}1$, a $46{,}1 + 44{,}5 + 42{,}3 = 132{,}9$ ✓

💡 Wskazówka: Nie buduj układu trzech równań — wystarczy zauważyć, że „wszystko minus dwie klasy” daje trzecią klasę. Dwa odejmowania i zadanie zrobione.

⚠ Najczęstszy błąd: dodanie $90{,}6 + 86{,}8$ i odjęcie od 132,9. To daje $44{,}5$ — akurat poprawny wynik, ale przez przypadek: klasa 8B jest w tej sumie liczona dwa razy, więc metoda działa tylko tutaj.

Odpowiedź: A, D

1. Przenosimy niewiadome na jedną stronę: $3a-a=2+4$, czyli $2a=6$ i $a=3$ — odpowiedź A. Sprawdzenie: $3\cdot 3-4=5$ oraz $3+2=5$.
2. Minus przed nawiasem zmienia znaki: $(3a-4)-(a+2)=3a-4-a-2=2a-6$ — odpowiedź D.

⚠ Błąd: opuszczenie nawiasu poprzedzonego minusem bez zmiany znaków: $-(a+2)=-a+2$. Wtedy wychodzi $2a-2$.

Odpowiedź: B

1. Zapisujemy cenę każdego produktu przez $x$ — cenę jednej ładowarki.
2. Ładowarka: $x$.   Dysk USB (2 razy tańszy): $\dfrac{x}{2} = 0{,}5x$.   Słuchawki (4 razy droższe): $4x$.
3. Teraz mnożymy przez liczby sztuk i sumujemy:
4. słuchawki: $1 \cdot \textcolor{#16A06A}{4x} = \textcolor{#16A06A}{4x}$  ·  ładowarki: $2 \cdot \textcolor{#16A06A}{x} = \textcolor{#16A06A}{2x}$  ·  dyski: $2 \cdot \textcolor{#16A06A}{0{,}5x} = \textcolor{#16A06A}{1x}$.
5. Razem: $\textcolor{#16A06A}{4x} + \textcolor{#16A06A}{2x} + \textcolor{#16A06A}{x} = 7x$ — odpowiedź B.

💡 Wskazówka: Zauważ przyjemny zbieg okoliczności: dwa dyski po pół ceny ładowarki kosztują dokładnie tyle, co jedna ładowarka. To upraszcza rachunek.

⚠ Najczęstszy błąd: „2 razy tańszy” rozumiane jako $2x$ zamiast $\tfrac{x}{2}$. Wtedy wychodzi $4x + 2x + 4x = 10x$ — blisko kuszącej odpowiedzi A. „Tańszy” zawsze oznacza dzielenie.

Odpowiedź: B

1. Żeby porównać liczby, sprowadzamy je wszystkie do zwykłego zapisu dziesiętnego.
2. $x = 5{,}27 \cdot 10^{\textcolor{#E0453A}{-3}}$ — przesuwamy przecinek o $\textcolor{#E0453A}{3}$ miejsca w lewo: $x = \textcolor{#16A06A}{0{,}00527}$.
3. $y = \textcolor{#16A06A}{0{,}0023}$ — już jest w zapisie dziesiętnym.
4. $z = 1400 \cdot 10^{\textcolor{#E0453A}{-5}}$ — przesuwamy przecinek o $\textcolor{#E0453A}{5}$ miejsc w lewo: $z = \textcolor{#16A06A}{0{,}014}$.
5. Porównujemy: $\textcolor{#16A06A}{0{,}0023} < \textcolor{#16A06A}{0{,}00527} < \textcolor{#16A06A}{0{,}014}$, czyli $y < x < z$.
6. Odpowiedź B.

💡 Wskazówka: Przy porównywaniu ułamków dziesiętnych dopisz zera, żeby wszystkie miały tyle samo miejsc: $0{,}00230$, $0{,}00527$, $0{,}01400$. Wtedy porównanie jest oczywiste.

⚠ Najczęstszy błąd: porównywanie po liczbach przed potęgą (1400 > 5,27 > 0,0023), z pominięciem wykładników. Ujemny wykładnik oznacza liczbę mniejszą, a im większa jego wartość bezwzględna, tym mniejsza liczba.

Odpowiedź: D

1. Od trzeciej do ósmej kreski jest 5 części, więc jedna część to $(21-6):5=3$.
2. $K=6-3\cdot 3=-3$, $L=6+3=9$, $M=21+2\cdot 3=27$.
3. Sumy: I. $-3+9+27=33$, II. $-3+9=6$, III. $-3+27=24$, IV. $9+27=36$.
4. Przez 9 dzieli się tylko 36 — odpowiedź D.

💡 Wskazówka: Na osi zawsze zaczynaj od długości jednej części: różnica podpisanych liczb podzielona przez liczbę części między nimi.

Odpowiedź: B, C

1. Trójkąt $ABC$. Ramiona $CA = CB$, kąt przy $C$ to $\textcolor{#16A06A}{80°}$. Kąty przy podstawie są równe: $(\textcolor{#E0453A}{180°} - \textcolor{#16A06A}{80°}) : 2 = \textcolor{#16A06A}{50°}$.
2. Zatem $\angle CAB = \angle CBA = \textcolor{#16A06A}{50°}$.
3. Trójkąt $ABD$. Ramiona $BA = BD$, kąt przy $B$ to $\textcolor{#16A06A}{40°}$. Kąty przy podstawie $AD$: $(\textcolor{#E0453A}{180°} - \textcolor{#16A06A}{40°}) : 2 = \textcolor{#16A06A}{70°}$.
4. Zatem $\angle DAB = \textcolor{#16A06A}{70°}$.
5. Pierwsze zdanie. W trójkącie $ABS$: kąt przy $A$ to $\angle SAB = \angle CAB = \textcolor{#16A06A}{50°}$, kąt przy $B$ to $\angle ABS = \angle ABD = \textcolor{#16A06A}{40°}$.
6. $\angle ASB = \textcolor{#E0453A}{180°} - \textcolor{#16A06A}{50°} - \textcolor{#16A06A}{40°} = 90°$ — to kąt prosty, odpowiedź B.
7. Drugie zdanie. Kąt $DAC$ to różnica dwóch kątów przy wierzchołku $A$: $\angle DAC = \angle DAB - \angle CAB = \textcolor{#16A06A}{70°} - \textcolor{#16A06A}{50°} = 20°$ — odpowiedź C.
8. Razem: B, C.

💡 Wskazówka: W trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie liczysz zawsze tak samo: $(180° - \text{kąt przy wierzchołku}) : 2$. Warto od razu wypisać wszystkie kąty obu trójkątów — dalej to już samo odejmowanie.

⚠ Najczęstszy błąd: uznanie, że kąt między ramionami zawsze leży „na górze” figury. W trójkącie $ABD$ jest on przy wierzchołku $B$, a nie przy $D$ — trzeba czytać, które boki są ramionami.

Odpowiedź: C

1. Suma ośmiu liczb: $9 \cdot 8 = 72$.
2. Dopisujemy liczbę 9, więc nowa suma to $72 + 9 = 81$, a liczb jest już dziewięć.
3. Nowa średnia: $81 : 9 = 9$ — dokładnie tyle, ile była.
4. Odpowiedź C.

💡 Wskazówka: Warto zapamiętać regułę: jeśli dopiszemy liczbę równą średniej, średnia się nie zmieni. Liczba większa od średniej ją podnosi, mniejsza — obniża.

⚠ Częsty błąd: myślenie „dodaliśmy 9, więc średnia wzrośnie o 9”. Ale rośnie też liczba składników, i te dwie zmiany się znoszą.

Odpowiedź: P, P

1. Skala $2:1$ oznacza, że każdy wymiar mnożymy przez $\textcolor{#E0453A}{2}$: boki nowego prostokąta to $\textcolor{#16A06A}{8}$ cm i $\textcolor{#16A06A}{18}$ cm.
2. Zdanie 1. Obwód $ABCD$: $2 \cdot (4 + 9) = 26$ cm. Obwód $EFGH$: $2 \cdot (\textcolor{#16A06A}{8} + \textcolor{#16A06A}{18}) = 52$ cm.
3. $52 : 26 = \textcolor{#E0453A}{2}$ — obwód rzeczywiście wzrósł dwukrotnie ✓ prawda.
4. Zdanie 2. Pole $EFGH$: $\textcolor{#16A06A}{8} \cdot \textcolor{#16A06A}{18} = 144$ cm² ✓ — prawda.
5. Odpowiedzi: P, P.

💡 Wskazówka: Zapamiętaj regułę: w skali $k$ obwód rośnie $k$ razy, a pole $k^2$ razy. Tutaj obwód dwukrotnie, a pole czterokrotnie ($36 \to 144$).

⚠ Najczęstszy błąd w zdaniu 1: przekonanie, że skoro pole rośnie 4 razy, to obwód też. Obwód jest sumą długości, więc rośnie tak jak one — liniowo.

Odpowiedź: C

1. Przyjrzyjmy się, z czego składa się obwód trapezu ułożonego z $n$ trójkątów (gdzie $n$ jest nieparzyste).
2. Ramiona — to dwa skrajne boki, każdy po 2 cm, razem $\textcolor{#E0453A}{4}$ cm.
3. Dolna podstawa — leży na niej $\dfrac{n+1}{2}$ boków, górna — $\dfrac{n-1}{2}$ boków. Razem podstawy mają $\dfrac{n+1}{2} + \dfrac{n-1}{2} = \textcolor{#16A06A}{n}$ boków, czyli $2\textcolor{#16A06A}{n}$ cm.
4. Cały obwód: $2\textcolor{#16A06A}{n} + \textcolor{#E0453A}{4}$ cm — sprawdźmy na małym przypadku. Dla $n = 3$: podstawy 2 cm i 4 cm, ramiona 2+2 cm, obwód $= 10$ cm, a wzór daje $2 \cdot 3 + 4 = 10$ ✓
5. Rozwiązujemy równanie: $2\textcolor{#16A06A}{n} + \textcolor{#E0453A}{4} = 42$, czyli $2\textcolor{#16A06A}{n} = 38$, więc $\textcolor{#16A06A}{n} = 19$.
6. Odpowiedź C. (Liczba 19 jest nieparzysta, więc trapez rzeczywiście powstanie ✓)

💡 Wskazówka: Zamiast wyprowadzać wzór, można policzyć obwody kilku pierwszych trapezów: 3 trójkąty → 10 cm, 5 → 14 cm, 7 → 18 cm. Obwód rośnie o 4 cm co dwa trójkąty, czyli o 2 cm na trójkąt — stąd od razu widać zależność.

⚠ Najczęstszy błąd: policzenie obwodu jako sumy obwodów wszystkich trójkątów ($n \cdot 6$ cm). Boki, którymi trójkąty się stykają, znikają w środku figury i nie należą do obwodu.

Odpowiedź: A, C

1. Pierwszy prostopadłościan: $V_1 = \textcolor{#16A06A}{5} \cdot \textcolor{#16A06A}{6} \cdot \textcolor{#16A06A}{10} = 300$ — odpowiedź A.
2. Drugi prostopadłościan: $V_2 = \textcolor{#16A06A}{6} \cdot \textcolor{#16A06A}{6} \cdot \textcolor{#16A06A}{10} = 360$.
3. Różnica: $360 - 300 = 60$ — odpowiedź C.

💡 Wskazówka: Bryły różnią się tylko jednym wymiarem ($5$ zamiast $6$), a wspólna „ścianka” ma pole $6 \cdot 10 = 60$. Różnica objętości to dokładnie ta ścianka razy różnica wymiarów: $60 \cdot 1 = 60$.

⚠ Najczęstszy błąd: mnożenie tylko dwóch wymiarów — to daje pole ściany, a nie objętość. Objętość zawsze wymaga trzech czynników.

Odpowiedź: B

1. Żeby powstał prostopadłościan, bryły muszą stykać się całymi, jednakowymi ścianami.
2. Ściany pierwszej bryły: $5\times6$, $5\times10$, $6\times10$. Ściany drugiej: $6\times6$, $6\times10$, $6\times10$.
3. Wspólna jest tylko jedna: $\textcolor{#16A06A}{6} \times \textcolor{#16A06A}{10}$ — i to po niej następuje sklejenie.
4. Wymiary nowej bryły. Podstawa $\textcolor{#16A06A}{6} \times \textcolor{#16A06A}{10}$ zostaje, a wysokości się dodają: $5 + 6 = \textcolor{#E0453A}{11}$.
5. Nowy prostopadłościan: $\textcolor{#16A06A}{6} \times \textcolor{#16A06A}{10} \times \textcolor{#E0453A}{11}$.
6. Pole powierzchni: $P = 2(\textcolor{#16A06A}{6} \cdot \textcolor{#16A06A}{10} + \textcolor{#16A06A}{6} \cdot \textcolor{#E0453A}{11} + \textcolor{#16A06A}{10} \cdot \textcolor{#E0453A}{11}) = 2(60 + 66 + 110) = 2 \cdot 236 = 472$.
7. Odpowiedź B.

💡 Wskazówka: Zanim policzysz cokolwiek, ustal którą ścianą bryły się stykają. Tutaj decyduje o tym warunek, że wynik ma być prostopadłościanem — pasuje wyłącznie ściana $6 \times 10$.

⚠ Najczęstszy błąd: dodanie pól obu brył bez odjęcia sklejonych ścian. Wychodzi wtedy $286 + 312 = 598$ — o $2 \cdot 60 = 120$ za dużo.

Odpowiedź: $4$ i $5$

1. Łączymy pierwiastki w liczniku: $\sqrt3 \cdot \sqrt{10} = \sqrt{30}$, więc $a = \dfrac{2\sqrt{30}}{\sqrt6}$.
2. Dzielimy pierwiastki: $\dfrac{\sqrt{30}}{\sqrt6} = \sqrt{\dfrac{30}{6}} = \sqrt{5}$, zatem $a = 2\sqrt5$.
3. Wciągamy 2 pod pierwiastek: $\textcolor{#16A06A}{2}\sqrt5 = \sqrt{\textcolor{#16A06A}{4} \cdot 5} = \sqrt{20}$.
4. Szukamy sąsiednich kwadratów: $4^2 = 16$ oraz $5^2 = 25$, a $16 < 20 < 25$.
5. Zatem $4 < a < 5$ — szukane liczby to 4 i 5.

💡 Wskazówka: Najpierw maksymalnie uprość wyrażenie, a dopiero na końcu szacuj — liczenie przybliżeń na starcie tylko utrudnia.

⚠ Częsty błąd: szacowanie każdego pierwiastka osobno i mnożenie przybliżeń — błąd się kumuluje i wynik bywa mylący.

Odpowiedź: 28 osób

1. Oznaczamy przez $\textcolor{#16A06A}{n}$ liczbę harcerzy w drużynie.
2. Liczba zespołów 4-osobowych: $\dfrac{\textcolor{#16A06A}{n}}{4}$.
3. Gdyby było o 3 osoby mniej, zespołów 5-osobowych byłoby: $\dfrac{\textcolor{#16A06A}{n} - 3}{5}$.
4. Warunek — zespołów pięcioosobowych jest o $\textcolor{#E0453A}{2}$ mniej: $\dfrac{\textcolor{#16A06A}{n} - 3}{5} = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{n}}{4} - \textcolor{#E0453A}{2}$.
5. Mnożymy obie strony przez 20, żeby pozbyć się ułamków: $4(\textcolor{#16A06A}{n} - 3) = 5\textcolor{#16A06A}{n} - 40$.
6. $4\textcolor{#16A06A}{n} - 12 = 5\textcolor{#16A06A}{n} - 40$, czyli $\textcolor{#16A06A}{n} = 28$.
7. Odpowiedź: w drużynie jest 28 osób.
8. Sprawdzenie: $28 : 4 = 7$ zespołów czteroosobowych, $(28-3) : 5 = 5$ zespołów pięcioosobowych, a $7 - 5 = 2$ ✓

💡 Wskazówka: Przy równaniu z dwoma ułamkami pomnóż obie strony przez NWW mianowników (tu 20). Zadanie zamienia się wtedy w proste równanie liniowe.

⚠ Najczęstszy błąd: zapisanie warunku odwrotnie ($\tfrac{n-3}{5} + 2 = \tfrac{n}{4}$ jest poprawne, ale $\tfrac{n-3}{5} = \tfrac{n}{4} + 2$ już nie). Zespołów pięcioosobowych jest mniej, bo są liczniejsze.

Odpowiedź: 64 km/h

1. Z wykresu odczytujemy początek i koniec drugiego odcinka — i to zarówno na osi czasu, jak i na osi drogi.
2. Odcinek II trwa od 105 do 180 minuty, a droga rośnie w tym czasie od 120 do 200 km.
3. Droga przebyta na tym odcinku: $200 - 120 = \textcolor{#16A06A}{80}$ km.
4. Czas przejazdu: $180 - 105 = 75$ minut $= \textcolor{#E0453A}{1{,}25}$ godziny.
5. $v = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{80}}{\textcolor{#E0453A}{1{,}25}} = 64\ \dfrac{\text{km}}{\text{h}}$.
6. Odpowiedź: kierowca pokonał II odcinek z prędkością 64 km/h.

💡 Wskazówka: Na wykresie droga–czas postój to odcinek poziomy (droga nie rośnie), a im bardziej stromy odcinek, tym większa prędkość. Warto to sprawdzić wzrokiem, zanim się liczy.

⚠ Najczęstszy błąd: odczytanie wartości od zera zamiast od początku odcinka — czyli policzenie $\tfrac{200}{180}$ zamiast $\tfrac{200-120}{180-105}$. Drugi błąd: pominięcie zamiany 75 minut na 1,25 godziny.

Odpowiedź: $414\ \text{cm}^2$

1. Krok $\boldsymbol{1}$ — pole podstawy. Z wzoru $V = \textcolor{#16A06A}{P_p} \cdot \textcolor{#E0453A}{H}$ wyznaczamy pole podstawy:
2. $\textcolor{#16A06A}{P_p} = \dfrac{567}{\textcolor{#E0453A}{7}} = \textcolor{#16A06A}{81}$ cm².
3. Krok $\boldsymbol{2}$ — krawędź podstawy. Podstawą jest kwadrat, więc $\textcolor{#16A06A}{a} = \sqrt{\textcolor{#16A06A}{81}} = \textcolor{#16A06A}{9}$ cm.
4. Krok $\boldsymbol{3}$ — pole boczne. Cztery jednakowe prostokąty $\textcolor{#16A06A}{9} \times \textcolor{#E0453A}{7}$:
5. $P_b = 4 \cdot \textcolor{#16A06A}{9} \cdot \textcolor{#E0453A}{7} = 252$ cm².
6. Krok $\boldsymbol{4}$ — pole całkowite. Dokładamy dwie podstawy:
7. $P_c = 2 \cdot \textcolor{#16A06A}{81} + 252 = 162 + 252 = 414$ cm².
8. Odpowiedź: pole powierzchni całkowitej wynosi $\boldsymbol{414\ \text{cm}^2}$.

💡 Wskazówka: Pole boczne graniastosłupa prostego można też policzyć jako obwód podstawy razy wysokość: $36 \cdot 7 = 252$ cm² ✓ To szybsze niż liczenie czterech ścian osobno.

⚠ Najczęstszy błąd: doliczenie tylko jednej podstawy albo pomylenie krawędzi podstawy ($9$ cm) z polem podstawy ($81$ cm²). Warto zapisywać jednostki — cm² przy polu, cm przy długości.

Odpowiedź: 9,6 cm

1. Cały pomysł polega na policzeniu pola rombu dwoma sposobami i przyrównaniu wyników.
2. Sposób pierwszy — z przekątnych. Najpierw wyznaczamy drugą przekątną. Przekątne rombu przecinają się pod kątem prostym i dzielą na połowy, więc połowa $BD$ to $\textcolor{#16A06A}{6}$ cm.
3. Połowa przekątnej $AC$: $\sqrt{\textcolor{#E0453A}{10}^2 - \textcolor{#16A06A}{6}^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = \textcolor{#16A06A}{8}$ cm, czyli $AC = \textcolor{#16A06A}{16}$ cm.
4. Pole: $P = \dfrac{12 \cdot \textcolor{#16A06A}{16}}{2} = \textcolor{#16A06A}{96}$ cm².
5. Sposób drugi — podstawa razy wysokość. $P = AB \cdot h = \textcolor{#E0453A}{10} \cdot h$.
6. Przyrównujemy: $\textcolor{#E0453A}{10} \cdot h = \textcolor{#16A06A}{96}$, skąd $h = 9{,}6$ cm.
7. Odpowiedź: wysokość rombu wynosi 9,6 cm.
8. Kontrola sensu: wysokość musi być krótsza od boku ($9{,}6 < \textcolor{#E0453A}{10}$) ✓

💡 Wskazówka: Romb ma dwa niezależne wzory na pole — z przekątnych i „podstawa razy wysokość”. Przyrównanie ich to standardowy sposób na wyznaczenie wysokości.

⚠ Najczęstszy błąd: przyjęcie, że wysokość rombu równa się połowie przekątnej (8 cm). Wysokość jest prostopadła do boku, a nie do drugiej przekątnej.

Odpowiedź: 12 + 3√2

1. W trójkącie prostokątnym równoramiennym przeciwprostokątna jest $\sqrt2$ razy dłuższa od przyprostokątnej.
2. Trójkąt $ABD$ — kąt prosty przy $A$, więc przeciwprostokątną jest przekątna $BD = \textcolor{#E0453A}{\sqrt{18}}$.
3. Przyprostokątne: $AB = AD = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{\sqrt{18}}}{\sqrt2} = \sqrt{\dfrac{18}{2}} = \sqrt9 = \textcolor{#16A06A}{3}$.
4. Trójkąt $BCD$ — kąt prosty przy $D$, więc tym razem $BD$ jest przyprostokątną, a nie przeciwprostokątną.
5. Skoro trójkąt jest równoramienny: $DC = DB = \textcolor{#E0453A}{\sqrt{18}} = \textcolor{#E0453A}{3\sqrt2}$, a przeciwprostokątna $BC = \textcolor{#E0453A}{\sqrt{18}} \cdot \sqrt2 = \textcolor{#16A06A}{6}$.
6. Obwód czworokąta (przekątna do niego nie wchodzi!):
7. $AB + AD + DC + CB = \textcolor{#16A06A}{3} + \textcolor{#16A06A}{3} + \textcolor{#E0453A}{3\sqrt2} + \textcolor{#16A06A}{6} = 12 + 3\sqrt2$.
8. Odpowiedź: obwód czworokąta $ABCD$ wynosi $12 + 3\sqrt2$.

💡 Wskazówka: Zwróć uwagę na sedno tego zadania: ta sama przekątna $BD$ jest przeciwprostokątną w jednym trójkącie i przyprostokątną w drugim. Decyduje o tym położenie kąta prostego.

⚠ Najczęstszy błąd: doliczenie przekątnej $BD$ do obwodu. Przekątna leży wewnątrz czworokąta — to linia podziału, a nie brzeg.