Egzamin ósmoklasisty 2023 z matematyki – odpowiedzi i rozwiązania

Odpowiedź: P, P

1. Za każdym razem sprawdzamy, ile razy zwiększamy przepis.
2. Zdanie 1. $40 : 8 = \textcolor{#E0453A}{5}$, więc przepis mnożymy przez $\textcolor{#E0453A}{5}$.
3. Jajek potrzeba $\textcolor{#16A06A}{2} \cdot \textcolor{#E0453A}{5} = 10$ ✓ — prawda.
4. Zdanie 2. $72 : 8 = \textcolor{#E0453A}{9}$, więc przepis mnożymy przez $\textcolor{#E0453A}{9}$.
5. Mleka: $\textcolor{#16A06A}{1\tfrac13} \cdot \textcolor{#E0453A}{9} = \textcolor{#16A06A}{\dfrac{4}{3}} \cdot \textcolor{#E0453A}{9} = \dfrac{36}{3} = 12$ szklanek ✓ — prawda.
6. Odpowiedzi: P, P.

💡 Wskazówka: Liczby mieszane zamieniaj na niewłaściwe przed mnożeniem: $1\tfrac13 = \tfrac43$. Mnożenie $\tfrac43 \cdot 9$ jest wtedy trywialne, bo 9 dzieli się przez 3.

⚠ Najczęstszy błąd: pomnożenie tylko części całkowitej ($1 \cdot 9 = 9$ szklanek) i pominięcie $\tfrac13$. Zostaje wtedy „9 i coś”, co nie pasuje do żadnej sensownej odpowiedzi.

Odpowiedź: D

1. Pierwsza liczba — sześcian liczby 4, czyli $4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = \textcolor{#16A06A}{64}$.
2. Druga liczba — najmniejszy wspólny mianownik ułamków $\tfrac{1}{15}$ i $\tfrac{1}{25}$ to po prostu $\mathrm{NWW}(15, 25)$.
3. Rozkładamy: $15 = 3 \cdot 5$, $25 = 5^2$. Bierzemy każdy czynnik w najwyższej potędze: $3 \cdot 5^2 = \textcolor{#E0453A}{75}$.
4. Sprawdzamy: $75 : 15 = 5$ ✓ oraz $75 : 25 = 3$ ✓ — 75 dzieli się przez oba mianowniki.
5. Hasło: $\textcolor{#16A06A}{64}\text{T}\textcolor{#E0453A}{75}$ — odpowiedź D.

💡 Wskazówka: Wspólny mianownik zawsze da się uzyskać, mnożąc mianowniki ($15 \cdot 25 = 375$) — ale najmniejszy to zwykle mniej. Tu 75, czyli pięć razy mniej.

⚠ Dwa typowe błędy: (1) policzenie $4^3$ jako $4 \cdot 3 = 12$ albo $4 \cdot 6 = 24$ (kusząca odpowiedź A i B); (2) podanie 45 jako wspólnego mianownika — 45 nie dzieli się przez 25.

Odpowiedź: C

1. Kluczowa obserwacja: dla obu wartości $x$ mamy $x^2 = 1$, więc $2x^2 = \textcolor{#16A06A}{2}$ w każdym przypadku.
2. $G = \textcolor{#16A06A}{2} + 2 = 4$ — nigdy nie zeruje się ✗
3. $H = \textcolor{#16A06A}{2} + 2x$: dla $x=1$ daje $4$ ✗
4. $J = \textcolor{#16A06A}{2} - 2 = 0$ — i to niezależnie od znaku $x$, bo $x$ występuje tylko w kwadracie ✓
5. $K = \textcolor{#16A06A}{2} - 2x$: dla $x=1$ daje $0$ ✓, ale dla $x=-1$ daje $2 + 2 = 4$ ✗
6. Odpowiedź C.

💡 Wskazówka: Wyrażenia, w których $x$ występuje tylko w parzystej potędze ($x^2$, $x^4$), dają tę samą wartość dla $x$ i dla $-x$. To od razu zawęża wybór do $G$ i $J$.

⚠ Najczęstszy błąd: sprawdzenie tylko $x = 1$ i wybór $K$ (bo $2 - 2 = 0$). Warunek dotyczy obu liczb — trzeba sprawdzić także $x = -1$.

Odpowiedź: B

1. Najpierw wyznaczamy wymiary jednej książki z tego, jak wypełniła półkę I.
2. W poziomie mieściły się 2 książki na szerokości 28 cm, więc dłuższy bok książki to $28 : 2 = \textcolor{#16A06A}{14}$ cm.
3. W pionie było 6 warstw na wysokości 21 cm, więc grubość książki to $21 : 6 = \textcolor{#16A06A}{3{,}5}$ cm.
4. Teraz półka II: książki stoją pionowo, czyli w górę wystaje bok długości $\textcolor{#16A06A}{14}$ cm. Mieści się swobodnie (bo $14 < 21$), a nad nimi zostaje wolne miejsce ✓ — dokładnie jak w treści.
5. Na szerokości 28 cm ustawiamy je grzbiet przy grzbiecie, każda zajmuje $\textcolor{#16A06A}{3{,}5}$ cm: $28 : \textcolor{#16A06A}{3{,}5} = 8$ książek.
6. Odpowiedź B.

💡 Wskazówka: Kluczowy krok to wyliczenie wymiarów jednej książki. Gdy je znasz, obie sytuacje robią się proste — trzeba tylko pilnować, który bok jest teraz w pionie, a który w poziomie.

⚠ Najczęstszy błąd: przyjęcie, że skoro półki są takie same, to zmieści się tyle samo książek (12) albo połowa (6). Zmiana ułożenia z płaskiego na pionowe zmienia wszystko — tu wychodzi 8.

Odpowiedź: D

1. Oznaczamy liczbę jabłoni przez $j$. To od niej liczymy procenty, bo grusz jest o 40% więcej od jabłoni.
2. Grusz jest o $\textcolor{#E0453A}{40\%}$ więcej, czyli $\textcolor{#16A06A}{140\%}$ liczby jabłoni: $g = \textcolor{#16A06A}{1{,}4}\,j$.
3. Drugi warunek mówi, że różnica wynosi 50: $g - j = 50$.
4. Podstawiamy: $\textcolor{#16A06A}{1{,}4}\,j - j = 50$, czyli $\textcolor{#E0453A}{0{,}4}\,j = 50$.
5. Zauważ, co się stało: różnica między gruszami a jabłoniami to dokładnie te 40% nadwyżki. Stąd $j = 50 : \textcolor{#E0453A}{0{,}4} = 125$.
6. Odpowiedź D. Sprawdzenie: grusz jest $1{,}4 \cdot 125 = 175$, a $175 - 125 = 50$ ✓

💡 Wskazówka: Skoro różnica (50) to te dodatkowe 40%, można od razu policzyć: $50$ to $40\%$, więc $1\%$ to $1{,}25$, a $100\%$ to $125$.

⚠ Najczęstszy błąd: przyjęcie, że 50 to 40% grusz, a nie jabłoni. Procent zawsze liczymy od tego, po czym stoi słowo „od” — tu „większa od liczby jabłoni”.

Odpowiedź: A

1. Kluczem jest kolejność działań opisana w treści — i to, czy potrzebny jest nawias.
2. Liczba $x$: najpierw dodajemy 7, więc powstaje $\textcolor{#16A06A}{(x + 7)}$. Dopiero ten wynik mnożymy przez 4: $4\textcolor{#16A06A}{(x + 7)}$.
3. Nawias jest tu konieczny — bez niego mnożylibyśmy tylko $x$, a siódemka zostałaby nietknięta.
4. Liczba $y$: najpierw mnożymy przez 5, powstaje $\textcolor{#E0453A}{5y}$. Dopiero potem dodajemy 3: $\textcolor{#E0453A}{5y} + 3$.
5. Tutaj nawias jest niepotrzebny, bo mnożenie i tak wykonuje się przed dodawaniem.
6. Odpowiedź A.

💡 Wskazówka: Prosta reguła: jeśli najpierw dodajesz, potem mnożysz — nawias jest konieczny. Jeśli najpierw mnożysz, potem dodajesz — nawias jest zbędny.

⚠ Najczęstszy błąd: zapisanie $4x + 7$, czyli pominięcie nawiasu. To wyrażenie opisuje zupełnie inną kolejność: „pomnóż $x$ przez 4, a potem dodaj 7”.

Odpowiedź: B

1. Krok $\boldsymbol{1}$ — ile boków ma podstawa. Ostrosłup ma tyle wierzchołków, ile podstawa, plus jeden (ten na górze):
2. $\textcolor{#16A06A}{n} + \textcolor{#E0453A}{1} = 16$, czyli podstawa jest $\textcolor{#16A06A}{15}$-kątem.
3. Krok $\boldsymbol{2}$ — graniastosłup o tej samej podstawie. Ma dwie takie podstawy, jedną nad drugą:
4. $2 \cdot \textcolor{#16A06A}{15} = 30$ wierzchołków.
5. Odpowiedź B.

💡 Wskazówka: Dwie reguły warte zapamiętania: ostrosłup o $n$-kątnej podstawie ma $n+1$ wierzchołków, $n+1$ ścian i $2n$ krawędzi; graniastosłup — $2n$ wierzchołków, $n+2$ ściany i $3n$ krawędzi.

⚠ Najczęstszy błąd: pomnożenie przez $2$ samej liczby $16$ (odpowiedź C, $32$). Wierzchołek na szczycie ostrosłupa nie należy do podstawy, więc najpierw trzeba go odjąć.

Odpowiedź: A

1. Skala $1 : \textcolor{#E0453A}{4000}$ znaczy, że $1$ cm na planie odpowiada $\textcolor{#E0453A}{4000}$ cm w terenie.
2. Krok 1 — odległość w centymetrach.
3. $\textcolor{#16A06A}{8} \text{ cm} \cdot \textcolor{#E0453A}{4000} = 32\,000$ cm
4. Krok 2 — zamiana na metry.
5. $32\,000 : 100 = 320$ m.
6. Odpowiedź A.
7. Szybciej: $\textcolor{#E0453A}{4000}$ cm $= 40$ m, więc $\textcolor{#16A06A}{8} \cdot 40 = 320$ m ✓

💡 Wskazówka: Odpowiedź $3200$ m (czyli ponad 3 km między dwoma przystankami w centrum miasta) powinna od razu wydać się podejrzana. Sprawdzanie, czy wynik ma sens, wyłapuje większość błędów jednostkowych.

⚠ Najczęstszy błąd: podzielenie liczby centymetrów przez $10$ zamiast przez $100$ — stąd bierze się kusząca odpowiedź C.

Odpowiedź: P, F

1. Wszystkich kul: $\textcolor{#E0453A}{18 + 12} = \textcolor{#E0453A}{30}$.
2. Zdanie 1: $P(\text{biała}) = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{18}}{\textcolor{#E0453A}{30}} = \dfrac{3}{5}$ ✓ — prawda.
3. Zdanie 2: $P(\text{czarna}) = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{12}}{\textcolor{#E0453A}{30}} = \dfrac{2}{5}$.
4. Porównujemy $\dfrac{2}{5}$ z $\dfrac{1}{3}$ — wspólny mianownik 15: $\dfrac{6}{15}$ kontra $\dfrac{5}{15}$.
5. Zatem $\dfrac{2}{5} > \dfrac{1}{3}$, a nie mniejsze — fałsz.
6. Odpowiedzi: P, F.

💡 Wskazówka: Kontrola: prawdopodobieństwa obu kolorów muszą sumować się do 1. Tu $\tfrac35 + \tfrac25 = 1$ ✓ — to znaczy, że oba są policzone poprawnie.

⚠ Najczęstszy błąd w drugim zdaniu: porównanie „na oko” ($0{,}4$ kontra $0{,}33$) bez sprowadzenia do wspólnego mianownika i pomyłka w kierunku nierówności.

Odpowiedź: B

1. Krok 1 — bok $BC$. Punkt $E$ jest środkiem $BC$, a $EC = \textcolor{#E0453A}{6}$ cm to połowa tego boku.
2. $BC = 2 \cdot \textcolor{#E0453A}{6} = \textcolor{#16A06A}{12}$ cm.
3. Krok 2 — odcinek $FC$. Trójkąt $FCE$ jest prostokątny (kąt prosty przy narożniku $C$), a $EF = 10$ cm to jego przeciwprostokątna.
4. $FC = \sqrt{10^2 - \textcolor{#E0453A}{6}^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = \textcolor{#E0453A}{8}$ cm.
5. Krok 3 — bok $CD$. Punkt $F$ jest środkiem $CD$, więc $CD = 2 \cdot \textcolor{#E0453A}{8} = \textcolor{#16A06A}{16}$ cm.
6. Krok 4 — obwód. $2 \cdot (\textcolor{#16A06A}{12} + \textcolor{#16A06A}{16}) = 2 \cdot 28 = 56$ cm — odpowiedź B.

💡 Wskazówka: Znów pojawia się trójka $6$–$8$–$10$ (czyli $3$–$4$–$5$ podwojone). Warto ją rozpoznawać od razu, zamiast liczyć pierwiastek.

⚠ Najczęstszy błąd: pominięcie podwojenia połówek i policzenie obwodu z boków 6 i 8 (wychodzi 28 cm — kusząca odpowiedź D). Punkty $E$ i $F$ są środkami, więc każdy odcinek to połowa boku.

Odpowiedź: B, 3

1. Sprawdźmy najpierw pola. $F_1$: $\textcolor{#16A06A}{25}$ cm²,  $F_2$: $\textcolor{#16A06A}{9}$ cm²,  $F_3$: $\textcolor{#16A06A}{15}$ cm². Razem $\textcolor{#16A06A}{49}$ cm² — dokładnie tyle, ile ma mieć kwadrat $K$.
2. Zgodność pól to warunek konieczny, ale niewystarczający — trzeba jeszcze sprawdzić, czy kawałki fizycznie się złożą.
3. Kwadrat $K$ ma bok $\textcolor{#E0453A}{7}$ cm (bo $\textcolor{#E0453A}{7}^2 = 49$). Żeby ułożyć jego bok, musimy poskładać boki naszych figur.
4. Dostępne długości boków to $5$, $3$, $3$, $5$. Sprawdzamy możliwe sumy: $5 + 3 = 8$,  $3 + 3 = 6$,  $5 + 5 = 10$ — żadna nie daje $\textcolor{#E0453A}{7}$.
5. Nie da się więc utworzyć boku kwadratu, a bez rozcinania figur nie ma innej możliwości.
6. Odpowiedź: B, 3 — nie można ułożyć, bo z dostępnych boków nie złożymy odcinka długości $\textcolor{#E0453A}{7}$ cm.

💡 Wskazówka: Uzasadnienie 2. jest prawdziwym zdaniem, ale prowadzi do błędnej odpowiedzi — zgodność pól nie gwarantuje, że układanka się uda. To klasyczna pułapka „prawdziwa przesłanka, zły wniosek”.

⚠ Najczęstszy błąd: wybór A z uzasadnieniem 2. Zgodność pól sprawdza się szybko i wygląda przekonująco, ale trzeba jeszcze pomyśleć o wymiarach.

Odpowiedź: F, P

1. Trójkąt $ACD$ jest równoboczny, więc wszystkie jego kąty mają po $\textcolor{#16A06A}{60°}$ — w tym $\angle ACD = \textcolor{#16A06A}{60°}$ i $\angle DAC = \textcolor{#16A06A}{60°}$. Ponadto $AC = AD = CD$.
2. Kąt $BCD$ dzieli się przekątną na dwie części: $\angle BCD = \angle BCA + \angle ACD$.
3. Stąd $\angle BCA = 131° - \textcolor{#16A06A}{60°} = \textcolor{#16A06A}{71°}$.
4. Trójkąt $ABC$. Skoro $AB = AD$, a $AD = AC$ (bok trójkąta równobocznego), to $AB = AC$ — trójkąt jest równoramienny o wierzchołku $A$.
5. Kąty przy podstawie $BC$ są więc równe: $\angle ABC = \angle BCA = \textcolor{#16A06A}{71°}$.
6. Zdanie 1. Kąt $ABC$ ma $\textcolor{#16A06A}{71°}$, a nie $60°$ — fałsz.
7. Zdanie 2. Kąt przy $A$ w trójkącie $ABC$: $\angle BAC = \textcolor{#E0453A}{180°} - \textcolor{#16A06A}{71°} - \textcolor{#16A06A}{71°} = \textcolor{#16A06A}{38°}$.
8. Cały kąt $DAB$ to suma: $\angle DAC + \angle CAB = \textcolor{#16A06A}{60°} + \textcolor{#16A06A}{38°} = 98°$ ✓ — prawda.
9. Odpowiedzi: F, P.

💡 Wskazówka: Kluczem jest zauważenie, że $AC$ też ma długość boku trójkąta równobocznego — dzięki temu $AB = AC$ i wiadomo, gdzie w trójkącie $ABC$ leżą równe kąty.

⚠ Najczęstszy błąd: uznanie, że skoro trójkąt $ACD$ jest równoboczny, to kąty $60°$ pojawiają się też w trójkącie $ABC$. Ten drugi jest tylko równoramienny — jego kąty trzeba policzyć osobno.

Odpowiedź: 80 zł

1. Za niewiadomą wybieramy cenę tańszego biletu — wtedy unikniemy odejmowania. Niech $k$ to cena biletu do kina.
2. Bilet do teatru jest o 64 zł droższy, czyli kosztuje $\textcolor{#E0453A}{k + 64}$.
3. Zapisujemy równanie z treści: $4 \cdot \textcolor{#E0453A}{(k + 64)} + 5 \cdot k = 400$.
4. Opuszczamy nawias: $4k + 256 + 5k = 400$.
5. Redukujemy wyrazy podobne: $9k + 256 = 400$, więc $9k = 144$, czyli $k = \textcolor{#16A06A}{16}$ zł.
6. To cena biletu do kina. Zadanie pyta o teatr: $\textcolor{#16A06A}{16} + 64 = 80$ zł.
7. Odpowiedź: bilet do teatru kosztował 80 zł.
8. Sprawdzenie: $4 \cdot 80 + 5 \cdot \textcolor{#16A06A}{16} = 320 + 80 = 400$ zł ✓

💡 Wskazówka: Zawsze oznaczaj niewiadomą tak, żeby drugą wielkość dało się zapisać przez dodawanie, a nie odejmowanie — mniej okazji do pomyłki ze znakiem.

⚠ Najczęstszy błąd: zatrzymanie się na $k = 16$ i podanie tej liczby jako odpowiedzi. Zadanie pyta o bilet do teatru — trzeba jeszcze dodać 64 zł.

Odpowiedź: 210 m

1. Najpierw prędkość pociągu — mamy komplet danych z pierwszego zdania.
2. $v = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{700}}{\textcolor{#E0453A}{50}} = 14\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$.
3. Drugie zdanie mówi, że pociąg pokonał drogę równą swojej długości w ciągu $\textcolor{#E0453A}{15}$ sekund.
4. Zatem długość pociągu to droga przebyta w tym czasie: $l = 14 \cdot \textcolor{#E0453A}{15} = 210$ m.
5. Odpowiedź: pociąg ma długość 210 m.

💡 Wskazówka: „Droga równa długości pociągu” to sytuacja, gdy mijamy stojący punkt (np. słupek): od chwili, gdy mija go czoło, do chwili, gdy mija go ostatni wagon.

⚠ Częsty błąd: proporcja „skoro 50 s to 700 m, to 15 s to $\tfrac{15}{50} \cdot 700$” — akurat tutaj daje ten sam poprawny wynik 210 m, ale bez policzenia prędkości trudniej sprawdzić rachunek. Prawdziwy błąd to podzielenie $700 : 15$.

Odpowiedź: 10 cm

1. Oba trójkąty mają wspólną podstawę — przekątną $\textcolor{#16A06A}{AC} = \textcolor{#16A06A}{8}$ cm. Różnią się tylko wysokościami.
2. Krok 1 — pole trójkąta $ACD$. $P_{ACD} = \tfrac12 \cdot \textcolor{#16A06A}{8} \cdot \textcolor{#E0453A}{2} = \textcolor{#16A06A}{8}$ cm².
3. Krok 2 — pole trójkąta $ABC$. To reszta czworokąta: $48 - \textcolor{#16A06A}{8} = \textcolor{#16A06A}{40}$ cm².
4. Krok 3 — szukana wysokość. $\textcolor{#16A06A}{40} = \tfrac12 \cdot \textcolor{#16A06A}{8} \cdot \textcolor{#E0453A}{h}$, czyli $\textcolor{#16A06A}{40} = 4\textcolor{#E0453A}{h}$.
5. Stąd $\textcolor{#E0453A}{h} = 10$ cm.
6. Odpowiedź: wysokość trójkąta $ABC$ wynosi 10 cm.
7. Kontrola sensu: trójkąt $ABC$ ma pole pięć razy większe przy tej samej podstawie, więc i wysokość musi być pięć razy większa: $5 \cdot \textcolor{#E0453A}{2} = 10$ ✓

💡 Wskazówka: Gdy dwa trójkąty mają wspólną podstawę, ich pola są wprost proporcjonalne do wysokości. Można więc pominąć rachunki i od razu użyć stosunku pól.

⚠ Najczęstszy błąd: podzielenie pola czworokąta na pół i przyjęcie, że każdy trójkąt ma 24 cm². Przekątna dzieli czworokąt na równe części tylko w szczególnych przypadkach.

Odpowiedź: 225 cm³

1. Oznaczmy wymiary jednego klocka: długość $\textcolor{#16A06A}{d}$, szerokość $\textcolor{#16A06A}{s}$ i wysokość $5$ cm.
2. Równanie 1 — krótszy wymiar figury. W tym kierunku mierzymy samą ramkę: długość jednego klocka plus szerokość klocka do niego dosuniętego:
3. $\textcolor{#16A06A}{d} + \textcolor{#16A06A}{s} = 20{,}5$
4. Równanie 2 — dłuższy wymiar figury. Tu dochodzi jeszcze piąty klocek, przyklejony bokiem:
5. $\textcolor{#16A06A}{d} + 2\textcolor{#16A06A}{s} = 23$
6. Rozwiązanie układu. Odejmujemy pierwsze równanie od drugiego:
7. $\textcolor{#16A06A}{s} = 23 - 20{,}5 = \textcolor{#E0453A}{2{,}5}$ cm, a stąd $\textcolor{#16A06A}{d} = 20{,}5 - \textcolor{#E0453A}{2{,}5} = \textcolor{#E0453A}{18}$ cm.
8. Objętość klocka: $V = \textcolor{#E0453A}{18} \cdot \textcolor{#E0453A}{2{,}5} \cdot 5 = 225$ cm³.
9. Odpowiedź: objętość jednego klocka wynosi 225 cm³.

💡 Wskazówka: Gdy dwa wymiary figury różnią się o szerokość jednego klocka, odjęcie równań stronami od razu daje tę szerokość: $23 - 20{,}5 = 2{,}5$ cm. Cała reszta to już podstawianie.

⚠ Najczęstszy błąd: przyjęcie, że $23$ cm to długość klocka. W układzie wiatraczkowym żaden bok figury nie równa się długości pojedynczego klocka — zawsze dochodzi szerokość sąsiada.