Strona główna › Egzamin ósmoklasisty › Pola figur na egzaminie ósmoklasisty

Pola figur na egzaminie ósmoklasisty

Q: Jaki jest wzór na pole trapezu?

P = (a+b) · h/2, gdzie a i b to długości podstaw, a h to wysokość, czyli odległość między nimi. Podstawy się dodaje — wzór bierze się stąd, że dwa trapezy składają się w równoległobok o podstawie a+b.

Q: Jak policzyć pole rombu z przekątnych?

P = e · f/2 — iloczyn przekątnych podzielony przez dwa. Dzielenie przez dwa jest konieczne: romb zajmuje połowę prostokąta opisanego na jego przekątnych.

Q: Która wysokość pasuje do której podstawy w trójkącie?

Ta, która jest do niej prostopadła. Każdy trójkąt ma trzy pary podstawa-wysokość i wolno używać tylko pełnych par. W trójkącie prostokątnym najwygodniejszą parą są dwie przyprostokątne.

Q: Jak policzyć pole figury złożonej?

Dwa sposoby: podzielić figurę na prostokąty i trójkąty i dodać ich pola, albo uzupełnić ją do pełnego prostokąta i odjąć brakujący kawałek. Jeśli brakuje jednego prostego elementu, szybsze jest odejmowanie.

Q: Co zrobić, gdy w zadaniu nie podano wysokości?

Najczęściej trzeba ją policzyć twierdzeniem Pitagorasa — znaleźć trójkąt prostokątny, w którym wysokość jest przyprostokątną. W trójkącie równoramiennym wysokość dzieli podstawę na połowy i to daje potrzebny trójkąt.

Q: Ile centymetrów kwadratowych ma metr kwadratowy?

10 000. Przelicznik długości podnosi się do kwadratu: skoro 1 m = 100 cm, to 1 m² = 100^2 cm² = 10 000 cm². To najczęstsza pomyłka przy zamianie jednostek pola.

Wzorów na pola jest sześć i wszystkie mieszczą się na jednej kartce. Zadania egzaminacyjne nie sprawdzają jednak, czy uczeń je pamięta — sprawdzają, czy potrafi dobrać właściwą wysokość do właściwej podstawy i co zrobić, gdy tej wysokości w danych nie ma. To jest cała trudność tego działu.

Dział: Egzamin ósmoklasistyPoziom: klasa 7–8Zadań: 34 — 28 z egzaminu ósmoklasisty i 6 z egzaminu gimnazjalnego

Przejdź od razu do zadań (34) ↓

Wzory, które trzeba mieć w głowie

Sześć wzorów pokrywa praktycznie każde zadanie egzaminacyjne o polu:

prostokąt: $P = a \cdot b$
kwadrat: $P = a^2$
trójkąt: $P = \dfrac{a \cdot h}{2}$ , gdzie $h$ to wysokość opuszczona na bok $a$
równoległobok: $P = a \cdot h$
trapez: $P = \dfrac{(a + b) \cdot h}{2}$ , gdzie $a$ i $b$ to podstawy
romb: $P = \dfrac{e \cdot f}{2}$ z przekątnych albo $P = a \cdot h$ jak w równoległoboku

Warto zauważyć, że trójkąt i trapez mają w mianowniku dwójkę, a prostokąt i równoległobok nie. Nie jest to przypadek: trójkąt to połowa równoległoboku, a trapez — połowa równoległoboku o podstawie $a+b$ . Kto to raz zobaczy, przestaje mylić, gdzie dzielić przez dwa.

Pole trójkąta: podstawa i wysokość do niej

Najczęstszy błąd w całym dziale nie polega na pomyleniu wzoru, tylko na wzięciu wysokości, która nie pasuje do wybranej podstawy. Każdy trójkąt ma trzy podstawy i trzy odpowiadające im wysokości — i wolno łączyć je tylko w pary.

Sprawdzenie jest proste: wysokość musi być prostopadła do tej podstawy, którą podstawiasz do wzoru. Jeśli na rysunku wysokość opada na bok $BC$ , to do wzoru wchodzi długość $BC$ , a nie $AB$ .

W trójkącie prostokątnym jest wygodnie: przyprostokątne są dla siebie nawzajem podstawą i wysokością, więc pole liczy się od razu jako połowa ich iloczynu — bez rysowania czegokolwiek.

Pole trapezu — skąd bierze się dzielenie przez dwa

Weź dwa identyczne trapezy i obróć jeden o $180°$ . Złożą się w równoległobok o podstawie $a + b$ i tej samej wysokości $h$ . Pole tego równoległoboku to $(a+b) \cdot h$ , a nasz trapez jest jego połową.

P_{\text{trapezu}} = \dfrac{(a + b) \cdot h}{2}

Stąd też bierze się najczęstsza pomyłka: podstawy się dodaje, a nie mnoży. Zapis $\dfrac{a \cdot b \cdot h}{2}$ nie ma żadnego uzasadnienia geometrycznego, a bywa wybierany, bo „we wzorze na trójkąt też się mnożyło”.

Wysokość trapezu to odległość między podstawami — zawsze odcinek prostopadły do obu. Ramię pochyłe nią nie jest, nawet jeśli wygląda podobnie.

Pole rombu z przekątnych

Romb ma dwa wzory na pole i oba są poprawne. Jeśli znasz bok i wysokość — liczysz jak w równoległoboku: $P = a \cdot h$ . Jeśli znasz przekątne — $P = \dfrac{e \cdot f}{2}$ .

Ten drugi wzór działa, bo przekątne rombu przecinają się pod kątem prostym i dzielą go na cztery przystające trójkąty prostokątne o przyprostokątnych $\tfrac{e}{2}$ i $\tfrac{f}{2}$ . Cztery takie trójkąty dają razem $4 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{e}{2} \cdot \dfrac{f}{2} = \dfrac{e f}{2}$ .

Przy okazji: skoro przekątne przecinają się pod kątem prostym i połowią, to bok rombu liczy się Pitagorasem z ich połówek. To zależność, która wraca w zadaniach o obwodzie rombu.

Pole figury złożonej: podziel albo odejmij

Figury o kilku załamaniach rozwiązuje się jedną z dwóch metod. Podział — kroimy figurę na prostokąty i trójkąty, liczymy pola osobno i dodajemy. Uzupełnienie — dorysowujemy figurę do pełnego prostokąta, liczymy jego pole i odejmujemy to, czego nie ma.

Wybór między nimi to kwestia wygody: jeśli po dorysowaniu brakuje jednego prostego kawałka, szybsze jest odejmowanie. Jeśli figura rozpada się na dwa czytelne prostokąty — dzielenie.

Niezależnie od metody warto zaznaczyć na rysunku linie podziału i podpisać wymiary każdego kawałka. Większość błędów w tych zadaniach bierze się z przyjęcia wymiaru, którego na rysunku nie ma.

Gdy wysokości nie ma w danych

W siedmiu z 34 zadań na tej stronie brakującego wymiaru nie da się odczytać z rysunku — trzeba go najpierw policzyć twierdzeniem Pitagorasa. Najczęściej jest to wysokość: trójkąt równoramienny z podanym obwodem albo trapez równoramienny z podanym ramieniem. Ale nie zawsze — bywa, że szukanym odcinkiem jest ramię pochyłe trapezu prostokątnego, druga przekątna rombu albo kawałek podstawy odcięty przez wysokość. Wspólne jest to, że do wzoru na pole brakuje jednej liczby i trzeba ją zdobyć osobnym rachunkiem.

Schemat jest zawsze ten sam: znajdź trójkąt prostokątny, w którym wysokość jest przyprostokątną, policz ją, dopiero potem wstaw do wzoru na pole. Próba podstawienia ramienia zamiast wysokości daje wynik zawyżony — i zwykle jedną z podanych odpowiedzi.

Drugi sposób na brakującą wysokość to policzenie tego samego pola dwoma sposobami. Opisałem go osobno na stronie o twierdzeniu Pitagorasa.

Przykłady krok po kroku

Cztery zadania rozpisane krok po kroku. Pierwsze dwa to bezpośrednie użycie wzoru, trzecie pokazuje figurę złożoną, czwarte — wysokość, której nie ma w danych.

Przykład 1 Pole trapezu

Trapez ma podstawy 8 cm i 5 cm oraz wysokość 4 cm. Oblicz jego pole.

Podstawy dodaję: $8 + 5 = 13$ cm.
Mnożę przez wysokość: $13 \cdot 4 = 52$ .
Dzielę przez dwa: $P = \dfrac{52}{2} = 26$ cm².
Kontrola: pole trapezu musi mieścić się między polem prostokąta o krótszej podstawie ( $5 \cdot 4 = 20$ ) a o dłuższej ( $8 \cdot 4 = 32$ ). $20 < 26 < 32$ ✓

Odpowiedź: Pole trapezu wynosi 26 cm².

Przykład 2 Pole rombu z przekątnych

Przekątne rombu mają 10 cm i 6 cm. Oblicz pole rombu i długość jego boku.

Pole z przekątnych: $P = \dfrac{10 \cdot 6}{2} = 30$ cm².
Bok liczę Pitagorasem z połówek przekątnych, bo przekątne rombu przecinają się pod kątem prostym i połowią.
Połówki to 5 cm i 3 cm, więc $a^2 = 5^2 + 3^2 = 25 + 9 = 34$ .
Stąd $a = \sqrt{34}$ cm, czyli około 5,8 cm.

Odpowiedź: Pole wynosi 30 cm², a bok $\sqrt{34}$ cm.

Przykład 3 Figura złożona

Z prostokąta o wymiarach 10 cm × 6 cm wycięto w narożniku kwadrat o boku 4 cm. Oblicz pole powstałej figury.

Wybieram metodę odejmowania, bo brakuje dokładnie jednego prostego kawałka.
Pole całego prostokąta: $10 \cdot 6 = 60$ cm².
Pole wyciętego kwadratu: $4^2 = 16$ cm².
Odejmuję: $P = 60 - 16 = 44$ cm².
Kontrola: wynik musi być mniejszy od pola prostokąta i większy od jego połowy, bo wycięliśmy mniej niż połowę. $30 < 44 < 60$ ✓

Odpowiedź: Pole figury wynosi 44 cm².

Przykład 4 Wysokość, której nie ma w danych

Trójkąt równoramienny ma ramiona długości 10 cm i podstawę 12 cm. Oblicz jego pole.

Wysokość trójkąta równoramiennego opuszczona na podstawę dzieli ją na połowy, czyli na dwa odcinki po 6 cm.
Powstaje trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej 10 (ramię) i przyprostokątnej 6 (połowa podstawy).
Z Pitagorasa: $h^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64$ , więc $h = 8$ cm.
Dopiero teraz pole: $P = \dfrac{12 \cdot 8}{2} = 48$ cm².
Kontrola: gdyby ktoś podstawił ramię (10) zamiast wysokości, wyszłoby 60 cm² — wynik zawyżony, bo wysokość zawsze jest krótsza od ramienia.

Odpowiedź: Pole trójkąta wynosi 48 cm².

Najczęstsze błędy

Cztery błędy, które przy sprawdzaniu prac wracają najczęściej. Trzy pierwsze kosztują cały punkt, czwarty — tylko jednostkę, ale za to prawie zawsze.

Wysokość niepasująca do wybranej podstawy

Skąd się bierze: Rysunek pokazuje wysokość opuszczoną na jeden bok, a w treści podana jest długość innego. Uczeń bierze obie liczby, bo obie są dane — a wzór wymaga pary: podstawy i wysokości do niej prostopadłej.

Jak zrobić dobrze: Zanim podstawisz, przejedź palcem od wysokości do boku, na który opada. Ta długość wchodzi do wzoru. Jeśli jej nie ma w danych — trzeba ją policzyć, a nie zastąpić inną.

Pole rombu jako iloczyn przekątnych bez dzielenia przez dwa

Skąd się bierze: Wzór $P = e \cdot f$ wygląda jak wzór na pole prostokąta i tak też bywa zapamiętany. Wynik wychodzi dokładnie dwa razy za duży — i najczęściej jest jedną z podanych odpowiedzi.

Jak zrobić dobrze: Zapamiętaj obrazek: przekątne rombu tworzą prostokąt opisany na nim, a romb zajmuje dokładnie połowę tego prostokąta. Stąd dzielenie przez dwa.

Mnożenie podstaw trapezu zamiast dodawania

Skąd się bierze: We wzorach na trójkąt i romb wszystko się mnoży, więc trapez dostaje ten sam schemat. Powstaje $\dfrac{a \cdot b \cdot h}{2}$ — wyrażenie bez sensu geometrycznego.

Jak zrobić dobrze: Wróć do wyprowadzenia: dwa trapezy składają się w równoległobok o podstawie $a + b$ . Suma, nie iloczyn. Kontrola liczbowa: pole trapezu musi wypaść między polami dwóch prostokątów — o krótszej i o dłuższej podstawie.

Jednostki: cm zamiast cm², i pomyłka przy zamianie

Skąd się bierze: Pole podaje się w jednostkach kwadratowych, a uczeń przepisuje jednostkę z danych. Osobna pułapka to zamiana: 1 m² to $10\,000$ cm², a nie 100 — bo skalujemy w dwóch wymiarach naraz.

Jak zrobić dobrze: Przy zapisie odpowiedzi sprawdź wykładnik: pole zawsze ma kwadrat. Przy zamianie jednostek pamiętaj, że przelicznik długości trzeba podnieść do kwadratu: 1 m $= 100$ cm, więc 1 m² $= 100^2 = 10\,000$ cm².

Zadania z arkuszy CKE — pola figur

Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminu ósmoklasisty (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem. W zestawie jest 6 zadań z arkuszy egzaminu gimnazjalnego (do 2019 roku) — dokładamy je jako dodatkowe ćwiczenie tych samych umiejętności. Zakres gimnazjum był miejscami szerszy niż wymagania dla klas 7–8, dlatego każde takie zadanie jest podpisane osobno.

Kolor rozdziela dwa składniki każdego wzoru na pole: zielona to podstawa (albo bok, albo przekątna), a czerwona to wysokość — czyli to, co do niej prostopadłe. Największa liczba błędów w tym dziale bierze się z pomylenia wysokości z ramieniem albo z bokiem ukośnym, dlatego warto śledzić czerwoną liczbę.

Sprawdź się bez zaglądania do odpowiedzi. Dostaniesz wszystkie 6 zadań zamkniętych z tego zestawu — klucz i rozwiązania schowam do czasu sprawdzenia. To komplet zadań zamkniętych z tego działu, więc kolejne podejście będzie powtórką tych samych zadań.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (maj 2026)1 pktśrednie

Dany jest trójkąt równoboczny o boku długości 2 cm. Oceń prawdziwość podanych zdań.

Wysokość tego trójkąta jest równa $\sqrt{3}$ cm.	P	F
Pole tego trójkąta jest równe $\sqrt{3}$ cm².	P	F

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P, P

Korzystamy ze wzorów na trójkąt równoboczny o boku $\textcolor{#16A06A}{a}$ : wysokość $\textcolor{#E0453A}{h} = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{a}\sqrt3}{2}$ , pole $P = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{a}^2\sqrt3}{4}$ .
Zdanie 1. $\textcolor{#E0453A}{h} = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{2}\sqrt3}{2} = \sqrt3$ cm ✓ — prawda.
Zdanie 2. $P = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{2}^2\sqrt3}{4} = \dfrac{4\sqrt3}{4} = \sqrt3$ cm² ✓ — prawda.
Odpowiedzi: P, P. (Można też wprost: $P = \tfrac12 \cdot \textcolor{#16A06A}{2} \cdot \textcolor{#E0453A}{\sqrt3} = \sqrt3$ .)

💡 Wskazówka: Dla boku $a = 2$ oba wzory dają tę samą liczbę $\sqrt3$ — to przypadek, ale wygodny do zapamiętania jako punkt odniesienia.

⚠ Najczęstszy błąd: pomylenie wzorów i policzenie wysokości ze wzoru na pole. Warto zapamiętać, że wysokość ma dwójkę w mianowniku, a pole czwórkę.

Zadanie 2 (maj 2026)1 pktśrednie

Przekątna

AD

dzieli pięciokąt

ABCDE

na trójkąt

ADE

(u góry) i kwadrat

ABCD

(u dołu). Pole trójkąta

ADE

jest równe 28, a wysokość poprowadzona z wierzchołka

E

na bok

AD

jest równa 7. Pole kwadratu

ABCD

jest równe

A. 16
B. 32
C. 49
D. 64

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Odcinek $AD$ jest jednocześnie podstawą trójkąta i bokiem kwadratu — to on łączy obie figury.
Ze wzoru na pole trójkąta: $28 = \tfrac12 \cdot \textcolor{#16A06A}{AD} \cdot \textcolor{#E0453A}{7}$ .
Stąd $\textcolor{#16A06A}{AD} \cdot \textcolor{#E0453A}{7} = 56$ , czyli $\textcolor{#16A06A}{AD} = 8$ .
Kwadrat ma więc bok $\textcolor{#16A06A}{8}$ , a jego pole: $\textcolor{#16A06A}{8}^2 = 64$ .
Odpowiedź D.

💡 Wskazówka: W figurach złożonych zawsze szukaj odcinka wspólnego dla obu części — to on przenosi informację z jednej figury do drugiej.

⚠ Najczęstszy błąd: podzielenie $28 : 7 = 4$ i przyjęcie tego za bok kwadratu (odpowiedź A). We wzorze na pole trójkąta jest jeszcze mnożenie przez $\tfrac12$ — trzeba je cofnąć.

Zadanie 3 (styczeń 2026)1 pktśrednie

Dany jest prostokąt

ABCD

o bokach długości 4 cm i 9 cm. Ten prostokąt narysowano w skali 2:1 i otrzymano prostokąt

EFGH

. Oceń prawdziwość podanych zdań.

Obwód prostokąta $EFGH$ jest dwukrotnie większy od obwodu prostokąta $ABCD$ .	P	F
Pole prostokąta $EFGH$ jest równe 144 cm².	P	F

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P, P

Skala $2:1$ oznacza, że każdy wymiar mnożymy przez $\textcolor{#E0453A}{2}$ : boki nowego prostokąta to $\textcolor{#16A06A}{8}$ cm i $\textcolor{#16A06A}{18}$ cm.
Zdanie 1. Obwód $ABCD$ : $2 \cdot (4 + 9) = 26$ cm. Obwód $EFGH$ : $2 \cdot (\textcolor{#16A06A}{8} + \textcolor{#16A06A}{18}) = 52$ cm.
$52 : 26 = \textcolor{#E0453A}{2}$ — obwód rzeczywiście wzrósł dwukrotnie ✓ prawda.
Zdanie 2. Pole $EFGH$ : $\textcolor{#16A06A}{8} \cdot \textcolor{#16A06A}{18} = 144$ cm² ✓ — prawda.
Odpowiedzi: P, P.

💡 Wskazówka: Zapamiętaj regułę: w skali $k$ obwód rośnie $k$ razy, a pole $k^2$ razy. Tutaj obwód dwukrotnie, a pole czterokrotnie ( $36 \to 144$ ).

⚠ Najczęstszy błąd w zdaniu 1: przekonanie, że skoro pole rośnie 4 razy, to obwód też. Obwód jest sumą długości, więc rośnie tak jak one — liniowo.

Zadanie 4 (czerwiec 2025)1 pktśrednie

Dane są dwie figury: kwadrat

K

i romb

R

. Długość boku kwadratu

K

jest równa 8. Iloczyn długości przekątnych rombu

R

jest równy 64. Oceń prawdziwość podanych zdań.

Pole rombu $R$ jest równe 32.	P	F
Pole kwadratu $K$ jest równe polu rombu $R$ .	P	F

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P, F

Wzór na pole rombu z przekątnych: $P = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{e} \cdot \textcolor{#16A06A}{f}}{2}$ , gdzie $\textcolor{#16A06A}{e}$ i $\textcolor{#16A06A}{f}$ to przekątne.
Zdanie 1. Znamy iloczyn przekątnych: $\textcolor{#16A06A}{e} \cdot \textcolor{#16A06A}{f} = 64$ , więc $P_R = \dfrac{64}{2} = 32$ ✓ — prawda.
Zwróć uwagę, że nie musimy znać długości poszczególnych przekątnych — wystarczy ich iloczyn.
Zdanie 2. Pole kwadratu: $8^2 = 64$ . Pole rombu: 32.
$64 \ne 32$ — pola nie są równe — fałsz.
Odpowiedzi: P, F.

💡 Wskazówka: Wzór z przekątnymi działa dla każdego czworokąta o przekątnych prostopadłych — rombu, kwadratu, latawca (deltoidu).

⚠ Najczęstszy błąd w zdaniu 2: przyjęcie, że skoro romb ma boki równe (jak kwadrat), to i pole ma takie samo. Romb o boku 8 może mieć pole od prawie zera do 64 — zależy od kątów.

Zadanie 5 (czerwiec 2025)1 pktśrednie

Dany jest trapez prostokątny: krótsza podstawa (górna) ma 1 cm, dłuższa podstawa (dolna) 9 cm, a wysokość (lewe ramię, prostopadłe do obu podstaw) 6 cm. Uzupełnij zdania.

Pole tego trapezu jest równe AB.

A. 30 cm²
B. 60 cm²

Najdłuższy bok tego trapezu ma długość CD.

C. 9 cm
D. 10 cm

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A, D

Pierwsze zdanie — pole trapezu. Wzór: $P = \dfrac{a + b}{2} \cdot \textcolor{#E0453A}{h}$ , gdzie $a$ , $b$ to podstawy.
$P = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{1} + \textcolor{#16A06A}{9}}{2} \cdot \textcolor{#E0453A}{6} = 5 \cdot \textcolor{#E0453A}{6} = 30$ cm² — odpowiedź A.
Drugie zdanie — najdłuższy bok. Znamy trzy boki: 1, 9 i 6. Czwarty to ramię ukośne — liczymy je z twierdzenia Pitagorasa.
Ramię jest przeciwprostokątną trójkąta o przyprostokątnych: wysokość $\textcolor{#E0453A}{6}$ oraz różnica podstaw $\textcolor{#16A06A}{9} - \textcolor{#16A06A}{1} = \textcolor{#16A06A}{8}$ .
$c = \sqrt{\textcolor{#16A06A}{8}^2 + \textcolor{#E0453A}{6}^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$ cm.
To więcej niż 9 cm, więc najdłuższym bokiem jest właśnie ramię — odpowiedź D. Razem: A, D.

💡 Wskazówka: W trapezie prostokątnym ramię ukośne zawsze liczymy z trójkąta o przyprostokątnych wysokość i różnica podstaw. Tutaj wyszła znajoma trójka 6–8–10.

⚠ Najczęstszy błąd w drugim zdaniu: uznanie dłuższej podstawy (9 cm) za najdłuższy bok, bo to największa podana liczba. Ramię trzeba dopiero policzyć.

Zadanie 6 (maj 2025)1 pkttrudniejsze

Dany jest trójkąt prostokątny

ABC

(kąt prosty przy

B

). Na środku boku

AB

zaznaczono punkt

D

i poprowadzono odcinek

DC

, dzielący trójkąt

ABC

na dwa trójkąty

ADC

DBC

. Ponadto

|AD| = |DB| = 30

cm oraz

|DC| = 50

cm. Oceń prawdziwość podanych zdań.

Pole trójkąta $DBC$ jest równe 600 cm².	P	F
Pole trójkąta $ABC$ jest dwa razy większe od pola trójkąta $ADC$ .	P	F

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P, P

Krok 1 — wyznaczamy $BC$ . Trójkąt $DBC$ jest prostokątny (kąt prosty przy $B$ ), a $DC = 50$ to jego przeciwprostokątna.
Z twierdzenia Pitagorasa: $BC = \sqrt{50^2 - \textcolor{#16A06A}{30}^2} = \sqrt{2500 - 900} = \sqrt{1600} = \textcolor{#E0453A}{40}$ cm.
Zdanie 1. $P_{DBC} = \tfrac12 \cdot \textcolor{#16A06A}{30} \cdot \textcolor{#E0453A}{40} = 600$ cm² ✓ — prawda.
Zdanie 2. Trójkąty $ADC$ i $DBC$ mają równe podstawy ( $AD = DB = \textcolor{#16A06A}{30}$ ) i wspólną wysokość (odcinek $BC$ opuszczony z $C$ ).
Mają więc równe pola: $P_{ADC} = P_{DBC} = 600$ cm².
Cały trójkąt: $P_{ABC} = 600 + 600 = 1200$ cm², czyli dokładnie dwa razy więcej niż $P_{ADC}$ ✓ — prawda.
Odpowiedzi: P, P.

💡 Wskazówka: Środkowa trójkąta (odcinek do środka boku) zawsze dzieli go na dwa trójkąty o równych polach — niezależnie od kształtu. Warto to znać, bo oszczędza liczenia.

⚠ Najczęstszy błąd: liczenie pola $ADC$ osobno, z próbą wyznaczenia jego wysokości. Wystarczy zauważyć równe podstawy i wspólną wysokość.

Zadanie 7 (grudzień 2024)1 pktśrednie

Prostokąt

ABCD

podzielono prostą

EF

na kwadrat

AEFD

(z lewej) i prostokąt

EBCF

(z prawej). Obwód prostokąta

EBCF

jest równy 36 cm, a długość boku

EB

jest równa 10 cm. Pole kwadratu

AEFD

jest równe

A. 8 cm²
B. 16 cm²
C. 32 cm²
D. 64 cm²

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Krok 1 — wysokość prostokąta. Prostokąt $EBCF$ ma boki $\textcolor{#16A06A}{10}$ cm (poziomy) i $\textcolor{#E0453A}{h}$ cm (pionowy).
Z obwodu: $2 \cdot (\textcolor{#16A06A}{10} + \textcolor{#E0453A}{h}) = 36$ , czyli $\textcolor{#16A06A}{10} + \textcolor{#E0453A}{h} = 18$ , więc $\textcolor{#E0453A}{h} = 8$ cm.
Krok 2 — bok kwadratu. Wysokość $\textcolor{#E0453A}{8}$ cm jest wspólna dla całego prostokąta $ABCD$ , a więc również dla kwadratu $AEFD$ .
Skoro $AEFD$ jest kwadratem, jego wszystkie boki mają po $\textcolor{#E0453A}{8}$ cm.
Pole: $\textcolor{#E0453A}{8}^2 = 64$ cm² — odpowiedź D.

💡 Wskazówka: Kluczowa obserwacja: obie części mają tę samą wysokość, bo powstały z jednego prostokąta przecięcia pionową prostą. To wysokość przenosi informację między nimi.

⚠ Najczęstszy błąd: podzielenie obwodu przez 4 (jak dla kwadratu) — wychodzi 9, a potem 81. Obwód dotyczy prostokąta $EBCF$ , a nie kwadratu.

Zadanie 8 (grudzień 2024)1 pktłatwe

Dany jest romb, którego przekątne mają długość 24 cm i 18 cm. Pole tego rombu jest równe

A. 108 cm²
B. 216 cm²
C. 225 cm²
D. 432 cm²

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Wzór na pole rombu z przekątnych: $P = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{e} \cdot \textcolor{#16A06A}{f}}{2}$ .
$P = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{24} \cdot \textcolor{#16A06A}{18}}{2} = \dfrac{432}{2} = 216$ cm².
Odpowiedź B.

💡 Wskazówka: Skąd bierze się dzielenie przez 2? Przekątne dzielą romb na cztery trójkąty prostokątne o przyprostokątnych $\tfrac{e}{2}$ i $\tfrac{f}{2}$ — po zsumowaniu wychodzi właśnie $\tfrac{ef}{2}$ .

⚠ Najczęstszy błąd: pominięcie dzielenia przez 2 i podanie 432 cm² (kusząca odpowiedź D) — to pole prostokąta o bokach równych przekątnym, czyli dwa razy za dużo.

Zadanie 9 (czerwiec 2023)1 pkttrudniejsze

Dane są dwa równoległoboki: $ABCD$ (o podstawie

AB

) oraz $ECFD$ . Punkt

E

leży na boku

AB

, przy czym odcinek

DE

jest prostopadły do

AB

— jest więc wysokością równoległoboku

ABCD

. Oceń prawdziwość podanych zdań.

Bok $DC$ równoległoboku $ABCD$ jest jedną z wysokości równoległoboku $ECFD$ .	P	F
Pole równoległoboku $ABCD$ jest równe polu równoległoboku $ECFD$ .	P	F

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P, P

Zdanie 1. W równoległoboku $ABCD$ bok $DC$ jest równoległy do $AB$ . Skoro $DE \perp AB$ , to również $DE \perp DC$ .
Odcinek $DC$ łączy wierzchołek $D$ (leżący na boku $DE$ równoległoboku $ECFD$ ) z wierzchołkiem $C$ (leżącym na boku przeciwległym $CF$ ) i jest do nich prostopadły.
Spełnia więc definicję wysokości równoległoboku $ECFD$ ✓ — prawda.
Zdanie 2. Liczymy oba pola przez „podstawa razy wysokość”:
$P_{ABCD} = \textcolor{#16A06A}{AB} \cdot \textcolor{#E0453A}{DE}$ (podstawa $AB$ , wysokość $DE$ ).
$P_{ECFD} = \textcolor{#16A06A}{DE} \cdot \textcolor{#E0453A}{DC}$ (podstawa $DE$ , wysokość $DC$ — z pierwszego zdania).
W równoległoboku $ABCD$ boki przeciwległe są równe, czyli $\textcolor{#16A06A}{AB} = \textcolor{#E0453A}{DC}$ .
Oba iloczyny zawierają więc te same dwie liczby — pola są równe ✓ — prawda.
Odpowiedzi: P, P.

💡 Wskazówka: Wysokość równoległoboku to dowolny odcinek prostopadły do pary boków równoległych i sięgający od jednego do drugiego — nie musi wychodzić z wierzchołka ani leżeć wewnątrz figury.

⚠ Najczęstszy błąd: uznanie, że skoro równoległoboki wyglądają na różnie „rozciągnięte”, to mają różne pola. Decyduje wyłącznie iloczyn podstawy i wysokości.

Zadanie 10 (maj 2023)1 pkttrudniejsze

Dane są trzy figury: kwadrat

F_1

o boku 5 cm, kwadrat

F_2

o boku 3 cm i prostokąt

F_3

o bokach 3 cm i 5 cm. Czy z figur

F_1

F_2

F_3

można ułożyć — bez rozcinania — kwadrat

K

o polu 49 cm²?

A	Tak,	ponieważ	1.	suma obwodów figur $F_2$ i $F_3$ jest równa obwodowi kwadratu $K$ .

			2.	suma pól figur $F_1$ , $F_2$ i $F_3$ jest równa 49 cm².
B	Nie,
			3.	suma długości dowolnych boków figur $F_1$ , $F_2$ i $F_3$ nie jest równa 7 cm.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B, 3

Sprawdźmy najpierw pola. $F_1$ : $\textcolor{#16A06A}{25}$ cm², $F_2$ : $\textcolor{#16A06A}{9}$ cm², $F_3$ : $\textcolor{#16A06A}{15}$ cm². Razem $\textcolor{#16A06A}{49}$ cm² — dokładnie tyle, ile ma mieć kwadrat $K$ .
Zgodność pól to warunek konieczny, ale niewystarczający — trzeba jeszcze sprawdzić, czy kawałki fizycznie się złożą.
Kwadrat $K$ ma bok $\textcolor{#E0453A}{7}$ cm (bo $\textcolor{#E0453A}{7}^2 = 49$ ). Żeby ułożyć jego bok, musimy poskładać boki naszych figur.
Dostępne długości boków to 5, 3, 3, 5. Sprawdzamy możliwe sumy: $5 + 3 = 8$ , $3 + 3 = 6$ , $5 + 5 = 10$ — żadna nie daje $\textcolor{#E0453A}{7}$ .
Nie da się więc utworzyć boku kwadratu, a bez rozcinania figur nie ma innej możliwości.
Odpowiedź: B, 3 — nie można ułożyć, bo z dostępnych boków nie złożymy odcinka długości $\textcolor{#E0453A}{7}$ cm.

💡 Wskazówka: Uzasadnienie 2. jest prawdziwym zdaniem, ale prowadzi do błędnej odpowiedzi — zgodność pól nie gwarantuje, że układanka się uda. To klasyczna pułapka „prawdziwa przesłanka, zły wniosek”.

⚠ Najczęstszy błąd: wybór A z uzasadnieniem 2. Zgodność pól sprawdza się szybko i wygląda przekonująco, ale trzeba jeszcze pomyśleć o wymiarach.

Zadanie 11 (maj 2022)1 pkttrudniejsze

Trapez

KLMN

zbudowano z trzech jednakowych trójkątów prostokątnych o przyprostokątnych długości 3 cm i 4 cm. Krótsza podstawa

NM

ma 3 cm, a wysokość trapezu (bok

NK

) ma 4 cm. Oceń prawdziwość podanych zdań.

Pole trapezu $KLMN$ jest równe 18 cm².	P	F
Obwód trapezu $KLMN$ jest równy 18 cm.	P	F

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P, P

Zdanie 1 — pole. Najprościej policzyć je jako sumę trzech trójkątów, bez wzoru na trapez.
Pole jednego trójkąta: $\tfrac12 \cdot \textcolor{#16A06A}{3} \cdot \textcolor{#E0453A}{4} = 6$ cm². Trzy trójkąty: $3 \cdot 6 = 18$ cm² ✓ — prawda.
Zdanie 2 — obwód. Potrzebujemy długości wszystkich czterech boków.
Sprawdźmy dłuższą podstawę ze wzoru na pole trapezu: $\dfrac{\textcolor{#16A06A}{3} + KL}{2} \cdot \textcolor{#E0453A}{4} = 18$ , skąd $\textcolor{#16A06A}{3} + KL = 9$ , czyli $KL = \textcolor{#16A06A}{6}$ cm.
Ramię ukośne $ML$ to przeciwprostokątna trójkąta o przyprostokątnych $\textcolor{#16A06A}{3}$ i $\textcolor{#E0453A}{4}$ , czyli $\sqrt{9 + 16} = 5$ cm.
Obwód: $\textcolor{#16A06A}{3} + \textcolor{#16A06A}{6} + \textcolor{#E0453A}{4} + 5 = 18$ cm ✓ — prawda.
Odpowiedzi: P, P. (Zbieżność liczb 18 i 18 to przypadek — jedna jest w cm², druga w cm.)

💡 Wskazówka: Trójkąt o przyprostokątnych 3 i 4 ma przeciwprostokątną 5 — najbardziej znana trójka pitagorejska. Warto ją rozpoznawać od razu.

⚠ Najczęstszy błąd: policzenie obwodu jako sumy obwodów trzech trójkątów ( $3 \cdot 12 = 36$ cm). Boki, którymi trójkąty się stykają, leżą wewnątrz trapezu i nie należą do obwodu.

Zadanie 12 (czerwiec 2021)1 pktśrednie

Na krótszym boku prostokąta zbudowano trójkąt równoboczny o obwodzie 18 cm, a na dłuższym boku prostokąta zbudowano kwadrat o polu 64 cm². Oceń prawdziwość podanych zdań.

Pole prostokąta jest o 16 cm² mniejsze od pola kwadratu powstałego na dłuższym boku prostokąta.	P	F
Obwód prostokąta jest o 10 cm dłuższy od obwodu trójkąta równobocznego zbudowanego na krótszym boku prostokąta.	P	F

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P, P

Krok 1 — boki prostokąta. Trójkąt równoboczny ma obwód 18 cm, więc jego bok to $18 : 3 = \textcolor{#16A06A}{6}$ cm — i tyle wynosi krótszy bok prostokąta.
Kwadrat ma pole 64 cm², więc jego bok to $\sqrt{64} = \textcolor{#16A06A}{8}$ cm — to dłuższy bok prostokąta.
Zdanie 1. Pole prostokąta: $\textcolor{#16A06A}{6} \cdot \textcolor{#16A06A}{8} = 48$ cm². Pole kwadratu: 64 cm².
Różnica: $64 - 48 = 16$ cm² ✓ — prawda.
Zdanie 2. Obwód prostokąta: $2 \cdot (\textcolor{#16A06A}{6} + \textcolor{#16A06A}{8}) = \textcolor{#E0453A}{28}$ cm. Obwód trójkąta: $\textcolor{#E0453A}{18}$ cm.
Różnica: $\textcolor{#E0453A}{28} - \textcolor{#E0453A}{18} = 10$ cm ✓ — prawda.
Odpowiedzi: P, P.

💡 Wskazówka: Zadanie sprowadza się do jednego kroku: wyznacz oba boki prostokąta z informacji o figurach zbudowanych na nich. Reszta to zwykłe wzory.

⚠ Najczęstszy błąd: pomylenie, na którym boku stoi która figura. Trójkąt jest na krótszym boku, kwadrat na dłuższym — zamiana daje prostokąt $8 \times 6$ … akurat ten sam, ale w innych zadaniach byłby to poważny błąd.

Zadanie 13 (marzec 2021)1 pkttrudniejsze

W zeszycie w linie narysowano dwa równoległoboki (

P

R

) oraz trójkąt (

S

). Odległości między sąsiednimi liniami są jednakowe. Podstawy wszystkich tych figur mają taką samą długość. Równoległobok

P

ma wysokość równą jednemu odstępowi między liniami, a równoległobok

R

i trójkąt

S

— po dwa odstępy. Pole równoległoboku

P

jest równe 4. Oceń prawdziwość podanych zdań.

Pole równoległoboku $R$ jest równe 8.	P	F
Pole trójkąta $S$ jest równe 4.	P	F

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P, P

Oznaczmy wspólną podstawę przez $\textcolor{#16A06A}{a}$ , a odstęp między liniami przez $\textcolor{#E0453A}{h}$ .
Równoległobok $P$ : wysokość $\textcolor{#E0453A}{h}$ , więc $P_P = \textcolor{#16A06A}{a} \cdot \textcolor{#E0453A}{h} = 4$ .
Zdanie 1 — równoległobok $R$ : wysokość $2\textcolor{#E0453A}{h}$ , więc $P_R = \textcolor{#16A06A}{a} \cdot 2\textcolor{#E0453A}{h} = 2 \cdot (\textcolor{#16A06A}{a}\textcolor{#E0453A}{h}) = 2 \cdot 4 = 8$ ✓ — prawda.
Zdanie 2 — trójkąt $S$ : ta sama podstawa i wysokość $2\textcolor{#E0453A}{h}$ , ale we wzorze na pole trójkąta jest jeszcze $\tfrac12$ :
$P_S = \tfrac12 \cdot \textcolor{#16A06A}{a} \cdot 2\textcolor{#E0453A}{h} = \textcolor{#16A06A}{a}\textcolor{#E0453A}{h} = 4$ ✓ — prawda.
Odpowiedzi: P, P.

💡 Wskazówka: Nie musisz znać ani podstawy, ani odstępu — wystarczy, że wiesz, ile razy dana figura jest „wyższa” i czy jest trójkątem. Wszystko liczy się względem pola $P$ .

⚠ Ciekawy zbieg okoliczności w zadaniu: trójkąt $S$ jest dwa razy wyższy od równoległoboku $P$ , ale wzór ma $\tfrac12$ — te dwa efekty się znoszą i pola wychodzą równe.

Zadanie 14 (marzec 2021)1 pkttrudniejsze

Prostokąt

ABCD

podzielono odcinkiem

EF

(równoległym do podstawy) na dwa prostokąty. Odcinek

EF

ma długość 11 cm, a odcinek

ED

ma długość 2 cm. Pole prostokąta

EFCD

stanowi

\dfrac{2}{7}

pola prostokąta

ABCD

. Oceń prawdziwość podanych zdań.

Pole prostokąta $ABCD$ jest równe 77 cm².	P	F
Odcinek $AE$ ma długość 7 cm.	P	F

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P, F

Zdanie 1. Górny prostokąt $EFCD$ ma boki $\textcolor{#16A06A}{11}$ cm i $\textcolor{#E0453A}{2}$ cm, więc jego pole to $\textcolor{#16A06A}{11} \cdot \textcolor{#E0453A}{2} = 22$ cm².
To pole stanowi $\tfrac27$ całości: $\tfrac27 \cdot P_{ABCD} = 22$ , skąd $P_{ABCD} = 22 \cdot \tfrac72 = 77$ cm² ✓ — prawda.
Zdanie 2. Cały prostokąt ma podstawę $\textcolor{#16A06A}{11}$ cm i pole 77 cm², więc jego wysokość: $77 : \textcolor{#16A06A}{11} = \textcolor{#E0453A}{7}$ cm.
Odcinek $AE$ to reszta po odjęciu $ED$ : $AE = \textcolor{#E0453A}{7} - \textcolor{#E0453A}{2} = 5$ cm.
Zdanie mówi o 7 cm — to wysokość całego prostokąta, a nie odcinka $AE$ — fałsz.
Odpowiedzi: P, F.

💡 Wskazówka: Sposób „na ułamek”: skoro górna część to $\tfrac27$ całości, to jej wysokość (2 cm) stanowi $\tfrac27$ całej wysokości. Stąd cała wysokość to 7 cm, a dolna część ma 5 cm.

⚠ Najczęstszy błąd w zdaniu 2: podanie wysokości całego prostokąta zamiast samego odcinka $AE$ . Warto zaznaczyć na rysunku, gdzie dokładnie leży szukany odcinek.

Zadanie 15 (marzec 2021)1 pkttrudniejsze

Bok rombu ma długość 17 cm, a jedna z jego przekątnych ma długość 30 cm. Pole tego rombu jest równe

A. 120 cm²
B. 240 cm²
C. 255 cm²
D. 480 cm²

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Kluczowa własność: przekątne rombu przecinają się pod kątem prostym i dzielą na połowy. Powstają cztery przystające trójkąty prostokątne.
W każdym z nich: przeciwprostokątna to bok rombu (17 cm), a przyprostokątne to połowy przekątnych.
Znamy jedną przekątną: 30 cm, więc jej połowa to $\textcolor{#16A06A}{15}$ cm.
Z twierdzenia Pitagorasa liczymy drugą połowę: $\sqrt{17^2 - \textcolor{#16A06A}{15}^2} = \sqrt{289 - 225} = \sqrt{64} = \textcolor{#E0453A}{8}$ cm.
Druga przekątna ma więc $2 \cdot \textcolor{#E0453A}{8} = \textcolor{#E0453A}{16}$ cm.
Pole: $P = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{30} \cdot \textcolor{#E0453A}{16}}{2} = 240$ cm² — odpowiedź B.

💡 Wskazówka: Uwaga na moment podwojenia: Pitagoras daje połowę drugiej przekątnej. Łatwo o tym zapomnieć i podstawić 8 zamiast 16 do wzoru na pole.

⚠ Dwa typowe błędy: (1) użycie połowy (8) zamiast całej przekątnej — wychodzi 120 cm², czyli kusząca odpowiedź A; (2) pominięcie dzielenia przez 2 we wzorze — wychodzi 480 cm².

Zadanie 16 (kwiecień 2020)1 pkttrudniejsze

Kąt ostry rombu ma miarę

60°

, a bok tego rombu ma długość równą 4 cm. Oceń prawdziwość podanych zdań.

Krótsza przekątna dzieli ten romb na dwa trójkąty równoboczne.	P	F
Pole tego rombu jest równe $8\sqrt{3}$ cm².	P	F

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P, P

Zdanie 1. Krótsza przekątna łączy wierzchołki kątów rozwartych, a więc odcina trójkąt zawierający kąt ostry $\textcolor{#16A06A}{60°}$ .
Ten trójkąt ma dwa boki równe bokom rombu ( $\textcolor{#16A06A}{4}$ cm i $\textcolor{#16A06A}{4}$ cm), jest więc równoramienny, a kąt między nimi wynosi $\textcolor{#16A06A}{60°}$ .
Kąty przy podstawie: $(180° - \textcolor{#16A06A}{60°}) : 2 = \textcolor{#16A06A}{60°}$ — wszystkie trzy kąty po $60°$ , czyli trójkąt jest równoboczny ✓ — prawda.
Zdanie 2. Skoro romb składa się z dwóch trójkątów równobocznych o boku $\textcolor{#16A06A}{4}$ cm:
Pole jednego: $\dfrac{\textcolor{#16A06A}{4}^2\sqrt3}{4} = \dfrac{16\sqrt3}{4} = \textcolor{#E0453A}{4\sqrt3}$ cm².
Pole rombu: $2 \cdot \textcolor{#E0453A}{4\sqrt3} = 8\sqrt3$ cm² ✓ — prawda.
Odpowiedzi: P, P.

💡 Wskazówka: Romb o kącie $60°$ to bardzo wdzięczna figura — zawsze rozpada się na dwa trójkąty równoboczne. Warto rozpoznawać tę sytuację, bo omija liczenie przekątnych.

⚠ Najczęstszy błąd w zdaniu 1: przyjęcie, że to dłuższa przekątna daje trójkąty równoboczne. Dłuższa odcina trójkąty z kątem $120°$ — na pewno nie równoboczne.

Zadanie 17 (kwiecień 2016, egzamin gimnazjalny)1 pkttrudniejsze

Punkty

E

F

są środkami boków

BC

CD

kwadratu

ABCD

(przyjmij oznaczenia:

A

lewy dolny,

B

prawy dolny,

C

prawy górny,

D

lewy górny). Oceń prawdziwość podanych zdań.

Pole trójkąta $FEC$ stanowi $\dfrac{1}{8}$ pola kwadratu $ABCD$ .	P	F
Pole czworokąta $DBEF$ stanowi $\dfrac{3}{8}$ pola kwadratu $ABCD$ .	P	F

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P, P

Oznaczmy bok kwadratu przez $\textcolor{#16A06A}{a}$ , więc pole kwadratu to $\textcolor{#16A06A}{a}^2$ .
Zdanie 1 — trójkąt $FEC$ . Jest prostokątny (kąt prosty przy $C$ ), a jego przyprostokątne to połowy boków: $FC = \textcolor{#E0453A}{\tfrac{a}{2}}$ i $EC = \textcolor{#E0453A}{\tfrac{a}{2}}$ .
$P_{FEC} = \tfrac12 \cdot \textcolor{#E0453A}{\tfrac{a}{2}} \cdot \textcolor{#E0453A}{\tfrac{a}{2}} = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{a}^2}{8}$ — czyli $\tfrac18$ pola kwadratu ✓ — prawda.
Zdanie 2 — czworokąt $DBEF$ . Najłatwiej policzyć go jako kwadrat minus dwa trójkąty.
Odcinamy trójkąt $FEC$ (pole $\tfrac18 \textcolor{#16A06A}{a}^2$ ) oraz trójkąt $ABD$ — połowę kwadratu odciętą przekątną $DB$ , o polu $\tfrac12 \textcolor{#16A06A}{a}^2$ .
$P_{DBEF} = \textcolor{#16A06A}{a}^2 - \tfrac12 \textcolor{#16A06A}{a}^2 - \tfrac18 \textcolor{#16A06A}{a}^2 = \tfrac{8 - 4 - 1}{8}\textcolor{#16A06A}{a}^2 = \tfrac38 \textcolor{#16A06A}{a}^2$ ✓ — prawda.
Odpowiedzi: P, P.

💡 Wskazówka: Pole figury o dziwnym kształcie prawie zawsze najłatwiej policzyć jako całość minus kawałki, a nie bezpośrednio. Warto wcześniej podstawić konkretny bok (np. $a = 4$ ), żeby rachunki były na liczbach.

⚠ Najczęstszy błąd: próba liczenia pola czworokąta $DBEF$ wprost, przez dzielenie go na trójkąty. Da się, ale rachunki są znacznie dłuższe i łatwo o pomyłkę.

Zadanie 18 (kwiecień 2013, egzamin gimnazjalny)1 pkttrudniejsze

W równoległoboku

ABCD

bok

AB

jest dwa razy dłuższy od boku

AD

. Punkt

K

jest środkiem boku

AB

, a punkt

L

jest środkiem boku

CD

. Oceń prawdziwość podanych zdań.

Trójkąt $ABL$ ma takie samo pole, jak trójkąt $ABD$ .	P	F
Pole równoległoboku $ABCD$ jest cztery razy większe od pola trójkąta $AKD$ .	P	F

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P, P

Oznaczmy $AB = \textcolor{#16A06A}{a}$ oraz wysokość równoległoboku (odległość między $AB$ a $DC$ ) przez $\textcolor{#E0453A}{h}$ . Pole równoległoboku: $\textcolor{#16A06A}{a} \cdot \textcolor{#E0453A}{h}$ .
Zdanie 1. Oba trójkąty mają tę samą podstawę $AB = \textcolor{#16A06A}{a}$ . Ich trzecie wierzchołki ( $L$ i $D$ ) leżą na tej samej prostej $DC$ , równoległej do $AB$ .
Wysokość obu trójkątów jest więc taka sama i równa $\textcolor{#E0453A}{h}$ , a zatem pola są równe: $\tfrac12 \textcolor{#16A06A}{a}\textcolor{#E0453A}{h}$ ✓ — prawda.
Zdanie 2. Trójkąt $AKD$ ma podstawę $AK = \tfrac12 \textcolor{#16A06A}{a}$ (bo $K$ jest środkiem $AB$ ) i wysokość $\textcolor{#E0453A}{h}$ .
$P_{AKD} = \tfrac12 \cdot \tfrac12\textcolor{#16A06A}{a} \cdot \textcolor{#E0453A}{h} = \tfrac14 \textcolor{#16A06A}{a}\textcolor{#E0453A}{h}$ .
Stosunek: $\dfrac{\textcolor{#16A06A}{a}\textcolor{#E0453A}{h}}{\tfrac14 \textcolor{#16A06A}{a}\textcolor{#E0453A}{h}} = 4$ ✓ — prawda.
Odpowiedzi: P, P. (Informacja „ $AB$ dwa razy dłuższy od $AD$ ” okazała się w obu zdaniach zbędna.)

💡 Wskazówka: Reguła warta zapamiętania: trójkąty o wspólnej podstawie i wierzchołkach na prostej do niej równoległej mają równe pola — niezależnie od tego, jak bardzo są „przechylone”.

⚠ Najczęstszy błąd: próba wykorzystania warunku $AB = 2 \cdot AD$ i gubienie się w rachunkach. Część danych w zadaniach bywa rozpraszaczem — warto sprawdzić, czy są potrzebne.

Zadanie 19 (kwiecień 2013, egzamin gimnazjalny)1 pkttrudniejsze

Kąt ostry rombu ma miarę

45°

, a wysokość rombu jest równa

h

. Dokończ zdanie.
Pole tego rombu można wyrazić wzorem

A. $P = h^2$
B. $P = h^2\sqrt{2}$
C. $P = \dfrac{h^2\sqrt{2}}{2}$
D. $P = \dfrac{h^2\sqrt{3}}{4}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Oznaczmy bok rombu przez $\textcolor{#16A06A}{a}$ . Wysokość $\textcolor{#E0453A}{h}$ wraz z bokiem tworzy trójkąt prostokątny o kątach $45°$ , $45°$ , $90°$ .
W takim trójkącie przeciwprostokątna jest $\sqrt2$ razy dłuższa od przyprostokątnej. Tutaj przeciwprostokątną jest bok $\textcolor{#16A06A}{a}$ , a przyprostokątną wysokość $\textcolor{#E0453A}{h}$ :
$\textcolor{#16A06A}{a} = \textcolor{#E0453A}{h}\sqrt2$ .
Pole rombu liczymy jak dla równoległoboku — podstawa razy wysokość:
$P = \textcolor{#16A06A}{a} \cdot \textcolor{#E0453A}{h} = \textcolor{#E0453A}{h}\sqrt2 \cdot \textcolor{#E0453A}{h} = h^2\sqrt2$ .
Odpowiedź B.

💡 Wskazówka: Trójkąt $45°$ – $45°$ – $90°$ to połówka kwadratu: przeciwprostokątna $=$ przyprostokątna $\cdot \sqrt2$ . Zapamiętaj kierunek — przeciwprostokątna jest dłuższa.

⚠ Najczęstszy błąd: odwrócenie zależności i przyjęcie $a = \tfrac{h}{\sqrt2}$ — wychodzi wtedy odpowiedź C. Bok rombu musi być dłuższy od wysokości, a nie krótszy.

Zadanie 20 (listopad 2012, egzamin gimnazjalny)1 pkttrudniejsze

Z kwadratowego kartonika odcięto cztery narożniki i otrzymano ośmiokąt foremny o bokach długości 4. Oceń prawdziwość podanych zdań.

Kartonik był kwadratem o boku 12.	P	F
Suma pól odciętych naroży jest równa 16.	P	F

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: F, P

Odcięte narożniki to trójkąty prostokątne równoramienne, a ich przeciwprostokątne stały się bokami ośmiokąta, czyli mają po $\textcolor{#16A06A}{4}$ .
Przyprostokątna takiego trójkąta: $\textcolor{#E0453A}{x} = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{4}}{\sqrt2} = 2\sqrt2 \approx 2{,}83$ .
Zdanie 1. Bok kwadratu składa się z boku ośmiokąta i dwóch przyprostokątnych: $\textcolor{#16A06A}{4} + 2 \cdot \textcolor{#E0453A}{2\sqrt2} = 4 + 4\sqrt2 \approx 9{,}66$ .
To nie jest 12 — fałsz.
Zdanie 2. Pole jednego narożnika: $\tfrac12 \cdot \textcolor{#E0453A}{2\sqrt2} \cdot \textcolor{#E0453A}{2\sqrt2} = \tfrac12 \cdot 8 = 4$ .
Cztery narożniki: $4 \cdot 4 = 16$ ✓ — prawda.
Odpowiedzi: F, P.

💡 Wskazówka: Przy liczeniu pola trójkąta z $2\sqrt2$ nie trzeba przybliżeń: $(2\sqrt2)^2 = 4 \cdot 2 = 8$ . Pierwiastek znika przy podnoszeniu do kwadratu.

⚠ Najczęstszy błąd w zdaniu 1: założenie, że skoro ośmiokąt ma bok 4, to kwadrat ma bok $3 \cdot 4 = 12$ . Odcięte kawałki mają długość $2\sqrt2 \approx 2{,}83$ , a nie 4.

Zadanie 21 (kwiecień 2012, egzamin gimnazjalny)1 pktśrednie

Deska do krojenia ma kształt kwadratu o boku 20 cm, do którego z jednej strony dołączono półkole o średnicy równej bokowi kwadratu (20 cm). Powierzchnia tej deski (w cm²) jest równa

A. $400 + 50\pi$
B. $40 + 50\pi$
C. $400 + 100\pi$
D. $40 + 100\pi$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Rozbijamy figurę na dwie znane części: kwadrat i półkole.
Kwadrat: $P_1 = \textcolor{#16A06A}{20}^2 = 400$ cm².
Półkole: średnica to $\textcolor{#16A06A}{20}$ cm, więc promień $\textcolor{#E0453A}{r} = 10$ cm.
$P_2 = \tfrac12 \pi \textcolor{#E0453A}{r}^2 = \tfrac12 \pi \cdot \textcolor{#E0453A}{10}^2 = 50\pi$ cm².
Razem: $400 + 50\pi$ cm² — odpowiedź A.

💡 Wskazówka: Uwaga na dwa najczęstsze potknięcia: rysunek podaje średnicę, a wzór potrzebuje promienia; i to jest pół koła, więc wzór dzielimy przez 2.

⚠ Najczęstszy błąd: podstawienie $r = 20$ zamiast 10 albo pominięcie połówki — oba prowadzą do $100\pi$ , czyli kuszącej odpowiedzi C.

Zadania otwarte

Zadanie 22 (maj 2026)3 pktśrednie

Ogródek pani Anny ma kształt trapezu, którego podstawy mają długości 18 m i 12 m, a wysokość jest równa 9 m. Pani Anna chce zmienić ogródek w łąkę kwietną. Jedno opakowanie nasion wystarcza na obsianie 25 m² powierzchni i kosztuje 23,80 zł. Oblicz, ile złotych musi zapłacić pani Anna za najmniejszą liczbę opakowań potrzebnych do obsiania całego ogródka.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 142,80 zł

Krok 1 — pole ogródka. $P = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{18} + \textcolor{#16A06A}{12}}{2} \cdot \textcolor{#E0453A}{9} = 15 \cdot \textcolor{#E0453A}{9} = \textcolor{#16A06A}{135}$ m².
Krok 2 — ile opakowań? Jedno wystarcza na $\textcolor{#E0453A}{25}$ m²: $\textcolor{#16A06A}{135} : \textcolor{#E0453A}{25} = 5{,}4$ .
Nasion musi wystarczyć, więc zaokrąglamy w górę: 6 opakowań. (Pięć dałoby tylko 125 m² — za mało o 10 m².)
Krok 3 — koszt. $6 \cdot 23{,}80 = 142{,}80$ zł.
Odpowiedź: pani Anna zapłaci 142,80 zł.

💡 Wskazówka: Mnożenie $6 \cdot 23{,}80$ w pamięci: $6 \cdot 23 = 138$ , a $6 \cdot 0{,}80 = 4{,}80$ . Razem 142,80 zł.

⚠ Najczęstszy błąd: zaokrąglenie 5,4 w dół do 5 opakowań. Przy materiałach obowiązuje zasada „musi wystarczyć” — zaokrąglamy zawsze w górę.

Zadanie 23 (czerwiec 2025)3 pkttrudniejsze

Obwód trójkąta równoramiennego jest równy 36 cm. Ramię tego trójkąta jest o 3 cm dłuższe od jego podstawy. Oblicz pole tego trójkąta. Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 60 cm²

Krok 1 — boki trójkąta. Oznaczmy podstawę przez $\textcolor{#16A06A}{a}$ ; każde ramię ma wtedy $\textcolor{#16A06A}{a} + 3$ .
Obwód: $\textcolor{#16A06A}{a} + 2(\textcolor{#16A06A}{a} + 3) = 36$ , czyli $3\textcolor{#16A06A}{a} + 6 = 36$ , więc $\textcolor{#16A06A}{a} = 10$ cm.
Ramiona mają po $10 + 3 = 13$ cm.
Krok 2 — wysokość. W trójkącie równoramiennym wysokość na podstawę dzieli ją na połowy, więc powstaje trójkąt prostokątny o przyprostokątnej $\textcolor{#16A06A}{5}$ cm i przeciwprostokątnej 13 cm.
$\textcolor{#E0453A}{h} = \sqrt{13^2 - \textcolor{#16A06A}{5}^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = \textcolor{#E0453A}{12}$ cm.
Krok 3 — pole. $P = \tfrac12 \cdot \textcolor{#16A06A}{10} \cdot \textcolor{#E0453A}{12} = 60$ cm².
Odpowiedź: pole trójkąta wynosi 60 cm².

💡 Wskazówka: Trójka 5–12–13 to druga po 3–4–5 najczęściej spotykana trójka pitagorejska. Warto ją rozpoznawać — oszczędza liczenia pierwiastka.

⚠ Najczęstszy błąd: użycie w Pitagorasie całej podstawy (10) zamiast jej połowy (5). Wysokość trafia dokładnie w środek podstawy.

Zadanie 24 (maj 2025)2 pktśrednie

Na ścianie wiszą dwie tablice: mała kwadratowa i duża prostokątna. Mała tablica narysowana w skali

1:20

jest kwadratem o boku 3 cm. Rzeczywiste wymiary dużej tablicy są równe 240 cm i 90 cm. Oblicz, ile razy pole dużej tablicy jest większe od pola małej tablicy. Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 6 razy

Krok 1 — rzeczywisty rozmiar małej tablicy. Skala $1:20$ oznacza, że rysunek jest 20 razy mniejszy od rzeczywistości.
Rzeczywisty bok: $3 \cdot \textcolor{#E0453A}{20} = \textcolor{#16A06A}{60}$ cm.
Krok 2 — pola. Mała tablica: $\textcolor{#16A06A}{60}^2 = \textcolor{#16A06A}{3600}$ cm². Duża: $240 \cdot 90 = \textcolor{#16A06A}{21\,600}$ cm².
Krok 3 — porównanie. $\textcolor{#16A06A}{21\,600} : \textcolor{#16A06A}{3600} = 6$ .
Odpowiedź: pole dużej tablicy jest 6 razy większe od pola małej.

💡 Wskazówka: W skali $1:20$ mnożymy przez 20, żeby dostać rzeczywistość. Kontrola sensu: tablica o boku 60 cm jest realistyczna, o boku 0,15 cm — nie.

⚠ Najczęstszy błąd: podzielenie przez 20 zamiast pomnożenia. Drugi: porównanie samych boków (60 cm kontra 240 cm, czyli „4 razy”) zamiast pól.

Zadanie 25 (grudzień 2024)3 pkttrudniejsze

Dany jest trapez równoramienny

ABCD

, w którym

|AD| = |BC| = 13

cm. Wysokość

DE

(opuszczona z

D

na podstawę

AB

) oraz krótsza podstawa

CD

mają długość po 12 cm. Oblicz pole trapezu

ABCD

. Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 204 cm²

Krok 1 — odcinek $AE$ . Trójkąt $ADE$ jest prostokątny: przeciwprostokątna $AD = 13$ cm, przyprostokątna $DE = \textcolor{#E0453A}{12}$ cm.
$AE = \sqrt{13^2 - \textcolor{#E0453A}{12}^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = \textcolor{#16A06A}{5}$ cm.
Krok 2 — dłuższa podstawa. Trapez jest równoramienny, więc po drugiej stronie odcina się dokładnie tyle samo.
$AB = \textcolor{#16A06A}{5} + \textcolor{#16A06A}{12} + \textcolor{#16A06A}{5} = \textcolor{#16A06A}{22}$ cm (środkowy kawałek jest równy krótszej podstawie $CD$ ).
Krok 3 — pole. $P = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{22} + \textcolor{#16A06A}{12}}{2} \cdot \textcolor{#E0453A}{12} = 17 \cdot \textcolor{#E0453A}{12} = 204$ cm².
Odpowiedź: pole trapezu wynosi 204 cm².

💡 Wskazówka: W trapezie równoramiennym wysokości opuszczone z obu górnych wierzchołków dzielą dolną podstawę na trzy części: dwie równe po bokach i środkową równą krótszej podstawie.

⚠ Najczęstszy błąd: przyjęcie $AB = 12 + 5 = 17$ cm, czyli doliczenie odcinka tylko z jednej strony. Trapez równoramienny jest symetryczny — piątkę dodajemy dwa razy.

Zadanie 26 (czerwiec 2024)2 pktśrednie

Na trawniku w kształcie kwadratu o boku długości 9 metrów wytyczono kwietnik w kształcie prostokąta tak, że jego boki są równoległe do boków trawnika. Do kwietnika prowadzą cztery ścieżki — po jednej z każdego boku trawnika. Dwie krótsze ścieżki mają po 1,5 m długości każda, a dwie dłuższe po 2,5 m każda. Oblicz pole powierzchni wytyczonego kwietnika. Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 24 m²

Ścieżki wypełniają odstęp między brzegiem trawnika a kwietnikiem — w każdym kierunku po dwie, z przeciwnych stron.
Kierunek pierwszy (dwie ścieżki po $\textcolor{#E0453A}{1{,}5}$ m): bok kwietnika $= 9 - \textcolor{#E0453A}{1{,}5} - \textcolor{#E0453A}{1{,}5} = \textcolor{#16A06A}{6}$ m.
Kierunek drugi (dwie ścieżki po $\textcolor{#E0453A}{2{,}5}$ m): bok kwietnika $= 9 - \textcolor{#E0453A}{2{,}5} - \textcolor{#E0453A}{2{,}5} = \textcolor{#16A06A}{4}$ m.
Pole kwietnika: $\textcolor{#16A06A}{6} \cdot \textcolor{#16A06A}{4} = 24$ m².
Odpowiedź: kwietnik ma pole 24 m².

💡 Wskazówka: Kluczowa obserwacja: ścieżki tej samej długości leżą naprzeciw siebie. Dlatego od boku trawnika odejmujemy dwie takie same wartości, a nie jedną krótszą i jedną dłuższą.

⚠ Najczęstszy błąd: odjęcie od boku trawnika jednej ścieżki krótszej i jednej dłuższej ( $9 - 1{,}5 - 2{,}5 = 5$ ). Wychodzi wtedy kwadratowy kwietnik $5 \times 5$ , co nie zgadza się z rysunkiem.

Zadanie 27 (czerwiec 2023)2 pkttrudniejsze

Dany jest prostokąt

ABCD

, w którym bok

BC

ma długość 4 cm. Na bokach prostokąta zaznaczono punkty:

E

na boku

AD

oraz

F

na boku

AB

. Narysowano odcinki

EF

FC

tak, że powstały dwa jednakowe (przystające) trójkąty

EAF

FBC

; w obu zaznaczono kąty o takiej samej mierze

\alpha

(przy wierzchołku

E

w pierwszym i przy

F

w drugim). Odcinek

AE

ma długość 3 cm. Oblicz pole prostokąta

ABCD

. Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 28 cm²

Oba trójkąty są prostokątne (kąty proste przy $A$ i przy $B$ — to narożniki prostokąta) i przystające.
Zaznaczone kąty $\alpha$ wskazują, jak sobie odpowiadają wierzchołki: $E \leftrightarrow F$ , a stąd $A \leftrightarrow B$ oraz $F \leftrightarrow C$ .
Z tej odpowiedniości wynikają równości boków: $\textcolor{#16A06A}{AE} = \textcolor{#16A06A}{BF}$ oraz $\textcolor{#E0453A}{AF} = \textcolor{#E0453A}{BC}$ .
Podstawiamy dane: $\textcolor{#16A06A}{BF} = \textcolor{#16A06A}{AE} = \textcolor{#16A06A}{3}$ cm oraz $\textcolor{#E0453A}{AF} = \textcolor{#E0453A}{BC} = \textcolor{#E0453A}{4}$ cm.
Bok $AB$ składa się z dwóch części: $AB = \textcolor{#E0453A}{AF} + \textcolor{#16A06A}{FB} = \textcolor{#E0453A}{4} + \textcolor{#16A06A}{3} = 7$ cm.
Pole prostokąta: $7 \cdot \textcolor{#E0453A}{4} = 28$ cm².
Odpowiedź: pole prostokąta $ABCD$ wynosi 28 cm².

💡 Wskazówka: W trójkątach przystających boki odpowiadają sobie zgodnie z kątami, a nie z położeniem na rysunku. Zaznaczone kąty $\alpha$ są tu wskazówką, którą parę wierzchołków ze sobą łączyć.

⚠ Najczęstszy błąd: przyjęcie $AF = AE = 3$ cm (czyli że trójkąt $EAF$ jest równoramienny). Przystawanie łączy trójkąt $EAF$ z $FBC$ , a nie jego własne boki ze sobą.

Zadanie 28 (czerwiec 2022)3 pkttrudniejsze

Prostokątna łąka jest podzielona na dwie części

A

B

, z których każda ma kształt trapezu. Górny bok łąki dzieli się na odcinki 10 m (część

A

) i 90 m (część

B

), dolny bok — na 40 m (

A

) i 60 m (

B

), a wysokość łąki wynosi 80 m. Kosiarka w ciągu każdej godziny kosi trawę z powierzchni o takim samym polu. Trawę z części

A

kosiarka skosiła w ciągu trzech godzin. Oblicz, ile godzin kosiarka będzie kosiła trawę w części

B

. Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 9 godzin

Krok 1 — pole części $A$ . To trapez o podstawach $\textcolor{#16A06A}{10}$ m i $\textcolor{#16A06A}{40}$ m oraz wysokości $\textcolor{#E0453A}{80}$ m:
$P_A = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{10} + \textcolor{#16A06A}{40}}{2} \cdot \textcolor{#E0453A}{80} = 25 \cdot \textcolor{#E0453A}{80} = \textcolor{#16A06A}{2000}$ m².
Krok 2 — pole części $B$ . Trapez o podstawach $\textcolor{#16A06A}{90}$ m i $\textcolor{#16A06A}{60}$ m, ta sama wysokość:
$P_B = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{90} + \textcolor{#16A06A}{60}}{2} \cdot \textcolor{#E0453A}{80} = 75 \cdot \textcolor{#E0453A}{80} = \textcolor{#16A06A}{6000}$ m².
Krok 3 — czas. Część $B$ jest $\textcolor{#16A06A}{6000} : \textcolor{#16A06A}{2000} = 3$ razy większa od części $A$ .
Skoro część $A$ zajęła $\textcolor{#E0453A}{3}$ godziny, część $B$ zajmie $3 \cdot \textcolor{#E0453A}{3} = 9$ godzin.
Odpowiedź: kosiarka będzie kosiła część $B$ przez 9 godzin.

💡 Wskazówka: Nie trzeba liczyć wydajności kosiarki w m² na godzinę — wystarczy stosunek pól. Ile razy większe pole, tyle razy dłuższy czas.

⚠ Najczęstszy błąd: pomylenie, które odcinki tworzą podstawy którego trapezu. Część $A$ zwęża się ku górze ( $40 \to 10$ ), część $B$ przeciwnie ( $60 \to 90$ ).

Zadanie 29 (czerwiec 2021)3 pkttrudniejsze

Równoległobok

ABCD

zbudowano z czterech przystających trójkątów prostokątnych. Boki równoległoboku mają długości

|AB| = 24

cm i

|AD| = 13

cm. Oblicz pole równoległoboku

ABCD

. Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 120 cm²

Oznaczmy przyprostokątne każdego z czterech trójkątów: $\textcolor{#16A06A}{x}$ (pozioma) i $\textcolor{#E0453A}{h}$ (pionowa — to zarazem wysokość równoległoboku).
Bok $AD = 13$ cm jest przeciwprostokątną takiego trójkąta, więc $\textcolor{#16A06A}{x}^2 + \textcolor{#E0453A}{h}^2 = 169$ .
Kluczowy krok — porównujemy pole na dwa sposoby.
Jako suma czterech trójkątów: $P = 4 \cdot \tfrac12 \textcolor{#16A06A}{x} \textcolor{#E0453A}{h} = 2\textcolor{#16A06A}{x}\textcolor{#E0453A}{h}$ .
Jako równoległobok (podstawa razy wysokość): $P = 24 \cdot \textcolor{#E0453A}{h}$ .
Przyrównujemy: $2\textcolor{#16A06A}{x}\textcolor{#E0453A}{h} = 24\textcolor{#E0453A}{h}$ , skąd $\textcolor{#16A06A}{x} = 12$ cm.
Teraz z Pitagorasa: $\textcolor{#E0453A}{h} = \sqrt{169 - \textcolor{#16A06A}{12}^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = \textcolor{#E0453A}{5}$ cm.
Pole: $P = 24 \cdot \textcolor{#E0453A}{5} = 120$ cm².
Odpowiedź: pole równoległoboku wynosi 120 cm².

💡 Wskazówka: Sztuczka „policz to samo pole dwoma sposobami” jest bardzo skuteczna w figurach złożonych — daje równanie, którego inaczej trudno się doszukać.

⚠ Najczęstszy błąd: przyjęcie, że wysokość równoległoboku wynosi 13 cm (bo tyle ma bok $AD$ ). Bok ukośny jest zawsze dłuższy od wysokości — mylenie ich to najczęstsza pomyłka w całym dziale.

Zadanie 30 (marzec 2020)3 pkttrudniejsze

Trapez równoramienny

ABCD

, którego pole jest równe 72 cm², podzielono na trójkąt

AED

i trapez

EBCD

(odcinkiem

DE

prostopadłym do podstawy

AB

). Odcinek

AE

ma długość 4 cm, a odcinek

CD

jest od niego 2 razy dłuższy. Oblicz pole trójkąta

AED

. Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 12 cm²

Krok 1 — krótsza podstawa. $CD = 2 \cdot \textcolor{#16A06A}{4} = \textcolor{#16A06A}{8}$ cm.
Krok 2 — dłuższa podstawa. Trapez jest równoramienny, więc wysokości z obu górnych wierzchołków odcinają na dole równe odcinki po $\textcolor{#16A06A}{4}$ cm, a środkowy kawałek równa się $CD$ :
$AB = \textcolor{#16A06A}{4} + \textcolor{#16A06A}{8} + \textcolor{#16A06A}{4} = \textcolor{#16A06A}{16}$ cm.
Krok 3 — wysokość. Z pola trapezu: $\dfrac{\textcolor{#16A06A}{16} + \textcolor{#16A06A}{8}}{2} \cdot \textcolor{#E0453A}{h} = 72$ , czyli $12\textcolor{#E0453A}{h} = 72$ , więc $\textcolor{#E0453A}{h} = 6$ cm.
Krok 4 — pole trójkąta $AED$ . Ma przyprostokątne $\textcolor{#16A06A}{4}$ cm i $\textcolor{#E0453A}{6}$ cm:
$P = \tfrac12 \cdot \textcolor{#16A06A}{4} \cdot \textcolor{#E0453A}{6} = 12$ cm².
Odpowiedź: pole trójkąta $AED$ wynosi 12 cm².

💡 Wskazówka: Wysokości trapezu równoramiennego dzielą dolną podstawę na trzy części: $x$ , $CD$ , $x$ . Znając dwie z nich, zawsze wyznaczysz trzecią.

⚠ Najczęstszy błąd: pominięcie drugiego odcinka 4 cm i przyjęcie $AB = 12$ cm. Wtedy wysokość wyszłaby 7,2 cm i cała odpowiedź byłaby błędna.

Zadanie 31 (czerwiec 2019)3 pkttrudniejsze

Przedstawione na rysunku trójkąt prostokątny równoramienny (o przeciwprostokątnej

6\sqrt{2}

) oraz kwadrat (o boku

x

) mają równe pola. Oblicz obwód kwadratu. Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 12√2

Krok 1 — przyprostokątne trójkąta. W trójkącie prostokątnym równoramiennym przeciwprostokątna jest $\sqrt2$ razy dłuższa od przyprostokątnej.
Skoro przeciwprostokątna to $\textcolor{#16A06A}{6\sqrt2}$ , przyprostokątna wynosi $\textcolor{#16A06A}{6\sqrt2} : \sqrt2 = \textcolor{#16A06A}{6}$ .
Krok 2 — pole trójkąta. $P = \tfrac12 \cdot \textcolor{#16A06A}{6} \cdot \textcolor{#16A06A}{6} = \textcolor{#E0453A}{18}$ .
Krok 3 — bok kwadratu. Pola są równe, więc $x^2 = \textcolor{#E0453A}{18}$ , czyli $x = \sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt2$ .
Krok 4 — obwód. $4x = 4 \cdot 3\sqrt2 = 12\sqrt2$ .
Odpowiedź: obwód kwadratu wynosi $12\sqrt2$ .

💡 Wskazówka: Wyłączanie czynnika: $\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt2$ . Szukamy pod pierwiastkiem największego kwadratu doskonałego — tutaj dziewiątki.

⚠ Najczęstszy błąd: potraktowanie $6\sqrt2$ jako przyprostokątnej. Wtedy pole wyszłoby 36, a obwód 24 — bez pierwiastka, co przy takim zadaniu powinno zwrócić uwagę.

Zadanie 32 (kwiecień 2019)3 pkttrudniejsze

Prostokątną działkę o powierzchni 3750 m² podzielono na trzy prostokątne działki o jednakowych wymiarach: jedna zajmuje całą lewą część (na pełną wysokość), a dwie pozostałe leżą po prawej stronie, jedna nad drugą. Jakie wymiary miała działka przed podziałem? Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 50 m × 75 m

Oznaczmy wysokość całej działki przez $\textcolor{#E0453A}{b}$ .
Lewa część ma wysokość $\textcolor{#E0453A}{b}$ (pełną) i jakąś szerokość. Prawe części mają po $\tfrac{\textcolor{#E0453A}{b}}{2}$ wysokości.
Skoro wszystkie trzy działki są jednakowe, to lewa (ustawiona „pionowo”) musi mieć wymiary zamienione względem prawych:
szerokość lewej $= \tfrac{\textcolor{#E0453A}{b}}{2}$ , szerokość prawych $= \textcolor{#E0453A}{b}$ .
Szerokość całej działki: $\textcolor{#16A06A}{a} = \tfrac{\textcolor{#E0453A}{b}}{2} + \textcolor{#E0453A}{b} = \tfrac{3\textcolor{#E0453A}{b}}{2}$ .
Pole całości: $\textcolor{#16A06A}{a} \cdot \textcolor{#E0453A}{b} = \tfrac{3\textcolor{#E0453A}{b}}{2} \cdot \textcolor{#E0453A}{b} = \tfrac{3\textcolor{#E0453A}{b}^2}{2} = 3750$ .
Stąd $\textcolor{#E0453A}{b}^2 = 2500$ , czyli $\textcolor{#E0453A}{b} = 50$ m, a $\textcolor{#16A06A}{a} = \tfrac32 \cdot 50 = 75$ m.
Odpowiedź: działka miała wymiary 50 m × 75 m.
Sprawdzenie: każda mała działka to $25 \times 50 = 1250$ m², a $3 \cdot 1250 = 3750$ m² ✓

💡 Wskazówka: „Jednakowe wymiary” nie znaczy „tak samo ustawione” — działka po lewej jest obrócona o $90°$ względem tych po prawej. To sedno tego zadania.

⚠ Najczęstszy błąd: założenie, że wszystkie trzy działki są ustawione tak samo. Wtedy podział na jedną pionową i dwie poziome byłby niemożliwy.

Zadanie 33 (grudzień 2018)2 pktśrednie

Prostokąt

ABCD

o wymiarach 7 cm i 8 cm rozcięto wzdłuż prostej

a

na dwa trapezy. Odcinek

CL

(na górnym boku) ma długość 3,2 cm, a odcinek

KB

leży na dolnym boku. Pole trapezu

KBCL

jest czterokrotnie mniejsze od pola prostokąta

ABCD

. Oblicz długość odcinka

KB

. Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 0,8 cm

Krok 1 — pole prostokąta. $P = 7 \cdot 8 = 56$ cm².
Krok 2 — pole trapezu. Jest czterokrotnie mniejsze: $56 : 4 = \textcolor{#16A06A}{14}$ cm².
Krok 3 — równanie. Trapez $KBCL$ ma podstawy $\textcolor{#16A06A}{KB}$ (dół) i $\textcolor{#16A06A}{3{,}2}$ cm (góra), a jego wysokość to bok $BC = \textcolor{#E0453A}{7}$ cm.
$\dfrac{\textcolor{#16A06A}{KB} + \textcolor{#16A06A}{3{,}2}}{2} \cdot \textcolor{#E0453A}{7} = \textcolor{#16A06A}{14}$
Dzielimy obie strony przez $\textcolor{#E0453A}{7}$ : $\dfrac{\textcolor{#16A06A}{KB} + \textcolor{#16A06A}{3{,}2}}{2} = 2$ , czyli $\textcolor{#16A06A}{KB} + \textcolor{#16A06A}{3{,}2} = 4$ .
Stąd $\textcolor{#16A06A}{KB} = 0{,}8$ cm.
Odpowiedź: odcinek $KB$ ma długość 0,8 cm.

💡 Wskazówka: Uwaga na to, co jest wysokością trapezu: to bok prostokąta prostopadły do obu podstaw, czyli 7 cm — a nie 8 cm i nie długość cięcia.

⚠ Najczęstszy błąd: przyjęcie za wysokość boku 8 cm. Podstawy trapezu leżą na bokach długości 8 cm, więc wysokość musi być tym drugim wymiarem.

Zadanie 34 (kwiecień 2012, egzamin gimnazjalny)4 pkttrudniejsze

Obwód trapezu równoramiennego jest równy 72 cm, ramię ma długość 20 cm, a różnica długości podstaw wynosi 24 cm. Oblicz pole tego trapezu. Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 256 cm²

Krok 1 — suma podstaw. Oba ramiona zajmują $2 \cdot 20 = 40$ cm obwodu, więc na podstawy zostaje $72 - 40 = \textcolor{#16A06A}{32}$ cm.
Krok 2 — poszczególne podstawy. Znamy sumę ( $\textcolor{#16A06A}{32}$ ) i różnicę (24):
dłuższa $= \dfrac{\textcolor{#16A06A}{32} + 24}{2} = \textcolor{#16A06A}{28}$ cm, krótsza $= \dfrac{\textcolor{#16A06A}{32} - 24}{2} = \textcolor{#16A06A}{4}$ cm.
Krok 3 — wysokość. Wysokości opuszczone z górnych wierzchołków odcinają na dole dwa równe kawałki po $24 : 2 = \textcolor{#16A06A}{12}$ cm.
Powstaje trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej 20 cm i przyprostokątnej $\textcolor{#16A06A}{12}$ cm:
$\textcolor{#E0453A}{h} = \sqrt{20^2 - \textcolor{#16A06A}{12}^2} = \sqrt{400 - 144} = \sqrt{256} = \textcolor{#E0453A}{16}$ cm.
Krok 4 — pole. $P = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{28} + \textcolor{#16A06A}{4}}{2} \cdot \textcolor{#E0453A}{16} = 16 \cdot \textcolor{#E0453A}{16} = 256$ cm².
Odpowiedź: pole trapezu wynosi 256 cm².

💡 Wskazówka: Schemat „suma i różnica”: większa liczba to $\tfrac{\text{suma} + \text{różnica}}{2}$ , mniejsza to $\tfrac{\text{suma} - \text{różnica}}{2}$ . Warto go znać na pamięć.

⚠ Najczęstszy błąd: użycie w Pitagorasie całej różnicy podstaw (24) zamiast jej połowy (12). Różnica dzieli się równo na dwa kawałki po obu stronach trapezu.

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. P, P	2. D	3. P, P	4. P, F	5. A, D	6. P, P
7. D	8. B	9. P, P	10. B, 3	11. P, P	12. P, P
13. P, P	14. P, F	15. B	16. P, P	17. P, P	18. P, P
19. B	20. F, P	21. A	22. 142,80 zł	23. 60 cm²	24. 6 razy
25. 204 cm²	26. 24 m²	27. 28 cm²	28. 9 godzin	29. 120 cm²	30. 12 cm²
31. 12√2	32. 50 m × 75 m	33. 0,8 cm	34. 256 cm²

Treści zadań pochodzą z arkuszy egzaminu ósmoklasisty oraz z arkuszy egzaminu gimnazjalnego (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów liczę i zapisuję sam — Mateusz Będkowski.

Pytania i odpowiedzi

Jaki jest wzór na pole trapezu?

$P = \dfrac{(a+b) \cdot h}{2}$ , gdzie $a$ i $b$ to długości podstaw, a $h$ to wysokość, czyli odległość między nimi. Podstawy się dodaje — wzór bierze się stąd, że dwa trapezy składają się w równoległobok o podstawie $a+b$ .

Jak policzyć pole rombu z przekątnych?

$P = \dfrac{e \cdot f}{2}$ — iloczyn przekątnych podzielony przez dwa. Dzielenie przez dwa jest konieczne: romb zajmuje połowę prostokąta opisanego na jego przekątnych.

Która wysokość pasuje do której podstawy w trójkącie?

Ta, która jest do niej prostopadła. Każdy trójkąt ma trzy pary podstawa-wysokość i wolno używać tylko pełnych par. W trójkącie prostokątnym najwygodniejszą parą są dwie przyprostokątne.

Jak policzyć pole figury złożonej?

Dwa sposoby: podzielić figurę na prostokąty i trójkąty i dodać ich pola, albo uzupełnić ją do pełnego prostokąta i odjąć brakujący kawałek. Jeśli brakuje jednego prostego elementu, szybsze jest odejmowanie.

Co zrobić, gdy w zadaniu nie podano wysokości?

Najczęściej trzeba ją policzyć twierdzeniem Pitagorasa — znaleźć trójkąt prostokątny, w którym wysokość jest przyprostokątną. W trójkącie równoramiennym wysokość dzieli podstawę na połowy i to daje potrzebny trójkąt.

Ile centymetrów kwadratowych ma metr kwadratowy?

$10\,000$ . Przelicznik długości podnosi się do kwadratu: skoro 1 m $= 100$ cm, to 1 m² $= 100^2$ cm² $= 10\,000$ cm². To najczęstsza pomyłka przy zamianie jednostek pola.

Czytaj dalej

Twierdzenie Pitagorasa na egzaminieJak odzyskać wysokość, której nie ma w danych — w siedmiu zadaniach z tej strony Obwody figur na egzaminieTa sama figura, inne pytanie — i inne pułapki Kąty w figurach na egzaminieRozpoznawanie trójkątów równoramiennych, od którego zaczyna się liczenie pola Egzamin ósmoklasisty z matematykiJak zbudowany jest arkusz i jak się do niego przygotować

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-07-30. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa Mateusza Będkowskiego.