Strona główna › Egzamin ósmoklasisty › Graniastosłupy i ostrosłupy na egzaminie ósmoklasisty

Graniastosłupy i ostrosłupy na egzaminie ósmoklasisty

Dwadzieścia siedem zadań, z czego jedenaście otwartych — czyli dwa na pięć. To znaczy, że tu nie wystarczy wiedzieć; trzeba umieć zapisać rozwiązanie tak, żeby dostać wszystkie punkty. Dominującym tematem jest ostrosłup prawidłowy, obecny w dwunastu zadaniach.

Dział: Egzamin ósmoklasistyPoziom: klasa 7–8Zadań: 27 — 20 z egzaminu ósmoklasisty i 7 z egzaminu gimnazjalnego

Przejdź od razu do zadań (27) ↓

Graniastosłup a ostrosłup — czym się różnią i po czym je poznać

Różnica jest jedna i wszystko z niej wynika. Graniastosłup ma dwie identyczne podstawy połączone ścianami bocznymi; ostrosłup ma jedną podstawę i wszystkie ściany boczne zbiegające się w jednym wierzchołku.

Stąd bierze się cała reszta. Ściany boczne graniastosłupa prostego są prostokątami, ściany boczne ostrosłupa — trójkątami. Zawsze, bez wyjątków.

Nazwa bryły pochodzi od kształtu podstawy: graniastosłup sześciokątny ma w podstawie sześciokąt, ostrosłup czworokątny — czworokąt.

Liczba elementów wynika wprost z liczby boków podstawy. Dla podstawy o nn bokach graniastosłup ma n+2n+2 ściany, 3n3n krawędzi i 2n2n wierzchołków, a ostrosłup — n+1n+1 ścian, 2n2n krawędzi i n+1n+1 wierzchołków. Tych liczb nie trzeba pamiętać, jeśli umie się je odtworzyć z definicji.

Ostrosłup prawidłowy: co znaczy „prawidłowy”

To najczęstsze słowo w tym dziale — pojawia się w dwunastu zadaniach — i niesie dwie informacje naraz, które trzeba umieć wyłuskać.

Z drugiego warunku wynika rzecz, na której opiera się większość zadań: wszystkie krawędzie boczne mają tę samą długość, a wszystkie ściany boczne są przystającymi trójkątami równoramiennymi.

Praktyczna konsekwencja przy liczeniu pola: wystarczy policzyć pole jednej ściany bocznej i pomnożyć przez ich liczbę. To skraca rachunek o trzy czwarte.

Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma więc w podstawie kwadrat, a nie dowolny czworokąt. Uczniowie często o tym zapominają i liczą podstawę jako prostokąt o dwóch różnych bokach.

Objętość — wzory i jednostki

Oba wzory na objętość opierają się na tej samej wielkości: polu podstawy pomnożonym przez wysokość bryły.

Vgraniastosłupa=Pp⋅H,Vostrosłupa=13Pp⋅HV_{\text{graniastosłupa}} = P_p \cdot H, \qquad V_{\text{ostrosłupa}} = \frac{1}{3} P_p \cdot H

Ta jedna trzecia nie jest przypadkiem — ostrosłup o tej samej podstawie i wysokości mieści dokładnie trzecią część graniastosłupa. Warto to zapamiętać jako fakt geometryczny, bo wtedy trudno pomylić, przy której bryle ułamek występuje.

Wysokość bryły to odległość między podstawami (graniastosłup) albo od wierzchołka do podstawy (ostrosłup). Nie mylić jej z wysokością ściany bocznej — to dwie różne odległości i w ostrosłupie różnią się zawsze.

Jednostka objętości jest sześcienna. Przy zamianie obowiązują inne przeliczniki niż przy długościach: 1 m³ to 1000 dm³, czyli 1000 litrów, a nie sto ani tysiąc razy mniej.

Pole powierzchni: podstawa plus ściany boczne

Pole powierzchni całkowitej to suma pól wszystkich ścian. Sposób liczenia różni się jednak między bryłami i tu tkwi najczęstszy błąd.

Graniastosłup ma dwie podstawy, więc pole podstawy liczy się dwa razy. Ostrosłup ma jedną — i pomnożenie jej przez dwa to klasyczna pomyłka.

Pcgraniastosłup=2Pp+Pb,Pcostrosłup=Pp+PbP_c^{\text{graniastosłup}} = 2P_p + P_b, \qquad P_c^{\text{ostrosłup}} = P_p + P_b

Pole boczne graniastosłupa prostego liczy się wyjątkowo wygodnie: to prostokąt o wymiarach obwód podstawy razy wysokość. Nie trzeba liczyć każdej ściany osobno.

W ostrosłupie prawidłowym pole boczne to pole jednego trójkąta razy liczba boków podstawy — pod warunkiem, że użyjemy wysokości ściany bocznej, a nie wysokości bryły.

Siatka bryły — jak ją czytać i rysować

Siatka to bryła rozłożona na płaszczyźnie. Zadania z siatkami sprawdzają wyobraźnię przestrzenną, ale dają się rozwiązać metodycznie.

Pierwszy krok to zawsze rozpoznanie podstaw. W siatce graniastosłupa szuka się dwóch identycznych wielokątów, w siatce ostrosłupa — jednego wielokąta otoczonego trójkątami.

Drugi krok: sprawdzenie, czy krawędzie, które mają się skleić, mają równą długość. To najczęstsze kryterium w zadaniach typu „która siatka nie przedstawia danej bryły”.

Siatka jest też najwygodniejszym sposobem liczenia pola powierzchni — bo pole siatki jest polem powierzchni całkowitej. Jeśli zadanie daje siatkę, zwykle nie trzeba w ogóle wyobrażać sobie bryły.

Do liczenia pól poszczególnych części przydają się zwykłe wzory z pól figur płaskich.

Suma długości krawędzi

Osobny typ zadania, prosty rachunkowo, ale wymagający policzenia krawędzi bez pomijania żadnej.

W graniastosłupie krawędzie dzielą się na trzy grupy: krawędzie dolnej podstawy, górnej podstawy i krawędzie boczne. Przy podstawie o nn bokach daje to n+n+n=3nn + n + n = 3n krawędzi.

W ostrosłupie grupy są dwie: krawędzie podstawy i krawędzie boczne, czyli n+n=2nn + n = 2n.

Sumę liczy się grupami, a nie po jednej krawędzi. W ostrosłupie prawidłowym wszystkie krawędzie boczne są równe, więc wystarczy jedno mnożenie.

Kontrola: przy sześcianie wzór daje 3⋅4=123 \cdot 4 = 12 krawędzi — i to się zgadza z tym, co widać na modelu.

Pitagoras wewnątrz bryły

Najtrudniejszy motyw działu i główny powód, dla którego zadania są otwarte. Wysokość bryły, wysokość ściany bocznej i odcinek od środka podstawy do środka jej krawędzi tworzą trójkąt prostokątny wewnątrz ostrosłupa.

Rozpoznanie tego trójkąta jest połową rozwiązania. Zadanie zwykle podaje dwie z tych trzech wielkości, a pyta o trzecią — i wtedy stosuje się twierdzenie Pitagorasa.

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym — a taki jest niemal każdy na egzaminie — ten odcinek to dokładnie połowa krawędzi podstawy, bo środek kwadratu leży w odległości a2\tfrac{a}{2} od jego boku. Wzięcie całej krawędzi zamiast połowy daje wynik wyglądający sensownie, więc rzadko budzi podejrzenia.

Uwaga: równość „ten odcinek == połowa krawędzi” zachodzi tylko przy kwadratowej podstawie. W ostrosłupie prawidłowym sześciokątnym o krawędzi aa ten odcinek wynosi a32\tfrac{a\sqrt3}{2}, a w trójkątnym a36\tfrac{a\sqrt3}{6} — dlatego bezpieczniej pamiętać opis („od środka podstawy do środka krawędzi”) niż samą połowę.

W graniastosłupach analogiczny trójkąt tworzy przekątna podstawy, wysokość bryły i przekątna bryły. Przekątną podstawy też wyznacza się Pitagorasem — czyli twierdzenie stosuje się dwa razy pod rząd.

Warto narysować ten trójkąt osobno, obok bryły. Na rysunku przestrzennym kąt prosty nie wygląda na prosty i łatwo pomylić boki.

Zapis rozwiązania w zadaniach otwartych

Jedenaście zadań otwartych, punktowanych maksymalnie na dwa albo trzy punkty. Ocenia się tu drogę, nie tylko wynik.

Cztery elementy dają punkty niezależnie od końcowej liczby:

  1. wypisanie danych z oznaczeniami (co jest krawędzią, co wysokością),
  2. obliczenie pola podstawy jako osobny, nazwany krok,
  3. widoczne podstawienie do wzoru na objętość lub pole,
  4. wynik z jednostką — sześcienną przy objętości, kwadratową przy polu.

Częsty scenariusz utraty punktu: uczeń liczy poprawnie, ale nie zapisuje, co właśnie policzył. Liczba 36 bez opisu nie mówi, czy to pole podstawy, czy objętość.

Rachunek pośredni warto zostawić na czysto. Skreślanie i liczenie na marginesie sprawia, że oceniający nie widzi kroku, który był poprawny.

Przykłady krok po kroku

Cztery zadania krok po kroku: objętość ostrosłupa, pole powierzchni graniastosłupa, wysokość ściany bocznej i suma krawędzi.

Przykład 1 Objętość ostrosłupa prawidłowego

Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma krawędź podstawy długości 6 cm i wysokość 10 cm. Oblicz jego objętość.

  1. Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma w podstawie kwadrat — to wynika ze słowa „prawidłowy”.
  2. Pole podstawy: Pp=6⋅6=36P_p = 6 \cdot 6 = 36 cm².
  3. Podstawiam do wzoru na objętość ostrosłupa: V=13⋅36⋅10V = \dfrac{1}{3} \cdot 36 \cdot 10.
  4. V=3603=120V = \dfrac{360}{3} = 120 cm³.
  5. Kontrola: graniastosłup o tej samej podstawie i wysokości miałby 360 cm³, a ostrosłup mieści dokładnie jego trzecią część ✓
  6. Jednostka jest sześcienna, bo mnożyliśmy trzy długości.

Odpowiedź: Objętość ostrosłupa wynosi 120 cm³.

Przykład 2 Pole powierzchni graniastosłupa

Graniastosłup prosty ma w podstawie prostokąt o wymiarach 4 cm i 3 cm, a jego wysokość wynosi 10 cm. Oblicz pole powierzchni całkowitej.

  1. Pole jednej podstawy: Pp=4⋅3=12P_p = 4 \cdot 3 = 12 cm². Podstawy są dwie, więc razem 24 cm².
  2. Pole boczne liczę jako obwód podstawy razy wysokość: obwód to 2⋅(4+3)=142 \cdot (4+3) = 14 cm.
  3. Pb=14⋅10=140P_b = 14 \cdot 10 = 140 cm².
  4. Pole całkowite: Pc=24+140=164P_c = 24 + 140 = 164 cm².
  5. Kontrola: liczenie każdej ściany osobno dałoby 2⋅(4⋅10)+2⋅(3⋅10)=80+60=1402\cdot(4\cdot10) + 2\cdot(3\cdot10) = 80 + 60 = 140 cm² pola bocznego ✓
  6. Jednostka jest kwadratowa, bo pole powstaje z mnożenia dwóch długości.

Odpowiedź: Pole powierzchni całkowitej wynosi 164 cm².

Przykład 3 Wysokość ściany bocznej ostrosłupa

Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma krawędź podstawy 6 cm i wysokość 4 cm. Oblicz wysokość jego ściany bocznej.

  1. Rysuję osobno trójkąt prostokątny wewnątrz bryły: jedną przyprostokątną jest wysokość ostrosłupa, drugą — połowa krawędzi podstawy.
  2. Połowa krawędzi: 6:2=36 : 2 = 3 cm. Wysokość bryły: 4 cm.
  3. Wysokość ściany bocznej jest przeciwprostokątną tego trójkąta, więc stosuję twierdzenie Pitagorasa: h2=42+32h^2 = 4^2 + 3^2.
  4. h2=16+9=25h^2 = 16 + 9 = 25, więc h=5h = 5 cm.
  5. Kontrola: to znana trójka pitagorejska 3,4,53, 4, 5 ✓
  6. Użycie całej krawędzi (6 cm) zamiast połowy dałoby błędne h=52h = \sqrt{52} — wynik wyglądający sensownie, ale zły.

Odpowiedź: Wysokość ściany bocznej wynosi 5 cm.

Przykład 4 Suma długości krawędzi

Ostrosłup prawidłowy sześciokątny ma krawędź podstawy 2 cm i krawędź boczną 5 cm. Oblicz sumę długości wszystkich jego krawędzi.

  1. Dzielę krawędzie na dwie grupy: krawędzie podstawy i krawędzie boczne.
  2. Podstawa jest sześciokątem, więc krawędzi podstawy jest 6, a bocznych też 6 — razem 12.
  3. Krawędzie podstawy: 6⋅2=126 \cdot 2 = 12 cm.
  4. Krawędzie boczne (wszystkie równe, bo ostrosłup jest prawidłowy): 6⋅5=306 \cdot 5 = 30 cm.
  5. Suma: 12+30=4212 + 30 = 42 cm.
  6. Kontrola wzorem: ostrosłup o podstawie nn-kątnej ma 2n2n krawędzi, czyli tu 12 ✓

Odpowiedź: Suma długości wszystkich krawędzi wynosi 42 cm.

Najczęstsze błędy

Cztery błędy, które w tym dziale kosztują najwięcej punktów. Pierwszy jest źródłem większości strat w zadaniach otwartych.

Mylenie wysokości bryły z wysokością ściany bocznej

Skąd się bierze: W ostrosłupie to dwie różne odległości: jedna biegnie od wierzchołka prostopadle do podstawy, druga wzdłuż ściany bocznej. Podstawienie jednej za drugą daje wynik poprawny rachunkowo, ale odpowiadający innej bryle.

Jak zrobić dobrze: Oznacz obie wielkości różnymi literami na rysunku, zanim zaczniesz liczyć. Wysokość bryły wchodzi do wzoru na objętość, wysokość ściany bocznej — do pola bocznego.

Liczenie dwóch podstaw w ostrosłupie

Skąd się bierze: Wzór na pole powierzchni graniastosłupa zawiera podwojone pole podstawy i przenosi się odruchowo na ostrosłup. Ostrosłup ma jednak tylko jedną podstawę, więc wynik wychodzi zawyżony dokładnie o jej pole.

Jak zrobić dobrze: Przed liczeniem policz podstawy na rysunku. Graniastosłup ma dwie identyczne, ostrosłup jedną i wierzchołek — to widać od razu.

Użycie całej krawędzi podstawy zamiast jej połowy

Skąd się bierze: Trójkąt prostokątny wewnątrz ostrosłupa opiera się na odcinku od środka podstawy do środka krawędzi — przy podstawie kwadratowej jest to dokładnie połowa krawędzi. Wzięcie całej długości daje wynik większy, ale nadal wiarygodnie wyglądający.

Jak zrobić dobrze: Narysuj ten trójkąt osobno, obok bryły. Na rysunku przestrzennym kąt prosty nie wygląda na prosty, a osobny rysunek płaski od razu pokazuje, który odcinek jest przyprostokątną.

Pominięcie ułamka jedna trzecia we wzorze na objętość ostrosłupa

Skąd się bierze: Wzory na objętość obu brył są niemal identyczne i różnią się tylko tym czynnikiem. Jego pominięcie zawyża wynik trzykrotnie, a przy zadaniach otwartych przekreśla punkt za wynik końcowy.

Jak zrobić dobrze: Zapamiętaj to jako fakt geometryczny, a nie wzór: ostrosłup mieści dokładnie trzecią część graniastosłupa o tej samej podstawie i wysokości. Wtedy trudno pomylić, przy której bryle ułamek występuje.

Zadania z arkuszy CKE — graniastosłupy i ostrosłupy

Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminu ósmoklasisty (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem. W zestawie jest 7 zadań z arkuszy egzaminu gimnazjalnego (do 2019 roku) — dokładamy je jako dodatkowe ćwiczenie tych samych umiejętności. Zakres gimnazjum był miejscami szerszy niż wymagania dla klas 7–8, dlatego każde takie zadanie jest podpisane osobno.

W stereometrii najwięcej punktów przepada na jednym pomyleniu — dlatego kolor pilnuje właśnie tego. Zielone jest wszystko, co dotyczy podstawy: krawędź podstawy, jej obwód i jej pole. Czerwone — wszystko, co „idzie w górę”: wysokość bryły, krawędź boczna, wysokość ściany bocznej. Gdy w zadaniu pojawiają się trzy różne odcinki i wszystkie nazywają się „wysokość”, kolor od razu pokazuje, który jest który.

Sprawdź się bez zaglądania do odpowiedzi. Dostaniesz wszystkie 9 zadań zamkniętych z tego zestawu — klucz i rozwiązania schowam do czasu sprawdzenia. To komplet zadań zamkniętych z tego działu, więc kolejne podejście będzie powtórką tych samych zadań.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (maj 2025)1 pktłatwe

Trzy krawędzie wychodzące z jednego wierzchołka prostopadłościanu mają długości: 5, 6, 7. Dokończ zdanie.
Pole powierzchni całkowitej tego prostopadłościanu jest równe
Prostopadłościan o krawędziach 5, 6 i 7567
  • A. 107
  • B. 172
  • C. 210
  • D. 214
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

  1. Trzy krawędzie z jednego wierzchołka to po prostu trzy wymiary bryły: 5, 6 i 7.
  2. Prostopadłościan ma trzy pary jednakowych ścian, więc:
  3. P=2(5⋅6+5⋅7+6⋅7)=2(30+35+42)=2⋅107=214P = 2(5 \cdot 6 + 5 \cdot 7 + 6 \cdot 7) = 2(30 + 35 + 42) = 2 \cdot 107 = 214.
  4. Odpowiedź D.

💡 Wskazówka: Najpierw dodaj pola trzech różnych ścian, a dopiero na końcu pomnóż przez 2. Mniej rachunków i mniejsza szansa na pomyłkę.

⚠ Najczęstszy błąd: podanie 107 (odpowiedź A) — czyli zapomnienie o mnożeniu przez 2. Ta odpowiedź jest w zestawie właśnie po to.

Zadanie 2 (grudzień 2024)1 pktśrednie

Dany jest graniastosłup prawidłowy czworokątny, w którym krawędź podstawy ma długość 7. Krawędź boczna tego graniastosłupa jest dwa razy dłuższa od krawędzi podstawy. Dokończ zdanie.
Objętość tego graniastosłupa jest równa
Graniastosłup prawidłowy czworokątny o krawędzi podstawy 77
  • A. 686
  • B. 6863\dfrac{686}{3}
  • C. 343
  • D. 3433\dfrac{343}{3}
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

  1. „Prawidłowy czworokątny” znaczy: podstawą jest kwadrat, a bryła jest graniastosłupem prostym.
  2. Krok 1 — pole podstawy. Pp=72=49P_p = \textcolor{#16A06A}{7}^2 = \textcolor{#16A06A}{49}.
  3. Krok 2 — wysokość. Krawędź boczna jest dwa razy dłuższa: H=2⋅7=14\textcolor{#E0453A}{H} = 2 \cdot 7 = \textcolor{#E0453A}{14}.
  4. Krok 3 — objętość graniastosłupa: V=Pp⋅H=49⋅14=686V = \textcolor{#16A06A}{P_p} \cdot \textcolor{#E0453A}{H} = \textcolor{#16A06A}{49} \cdot \textcolor{#E0453A}{14} = 686.
  5. Odpowiedź A.

💡 Wskazówka: W graniastosłupie prostym krawędź boczna jest jednocześnie wysokością bryły — stoi pionowo. W ostrosłupie tak nie jest i tam trzeba wysokość dopiero policzyć.

⚠ Najczęstszy błąd: użycie wzoru z 13\tfrac13 (odpowiedzi B i D). Jedna trzecia należy do ostrosłupa, nie do graniastosłupa.

Zadanie 3 (czerwiec 2024)1 pkttrudniejsze

W pudełku są klocki w kształcie ostrosłupów trójkątnych i sześcianów. Klocków w kształcie ostrosłupów trójkątnych jest trzy razy więcej niż klocków sześciennych. Wszystkie klocki mają łącznie 720 krawędzi. Ile klocków w kształcie sześcianu jest w tym pudełku?
Klocki: ostrosłup trójkątny i sześcianostrosłup trójkątnysześcian
  • A. 24
  • B. 30
  • C. 39
  • D. 40
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

  1. Krok 1 — ile krawędzi ma każdy klocek. Ostrosłup trójkątny: 3\textcolor{#16A06A}{3} krawędzie podstawy + 3+\ \textcolor{#E0453A}{3} krawędzie boczne =6= 6. Sześcian: 12.
  2. Krok 2 — oznaczenia. Niech sześcianów będzie xx; ostrosłupów jest wtedy 3x3x.
  3. Krok 3 — równanie. Liczymy wszystkie krawędzie:
  4. 6⋅3x+12⋅x=7206 \cdot 3x + 12 \cdot x = 720
  5. 18x+12x=72018x + 12x = 720, czyli 30x=72030x = 720.
  6. Krok 4 — wynik. x=24x = 24 sześcianów.
  7. Odpowiedź A.

💡 Wskazówka: Sprawdzenie: 24 sześciany dają 288 krawędzi, a 72 ostrosłupy — 432. Razem 288+432=720288 + 432 = 720 ✓

⚠ Najczęstszy błąd: przypisanie ostrosłupowi trójkątnemu 4 krawędzi (bo ma 4 ściany) albo 8. Ostrosłup trójkątny to czworościan: 4 wierzchołki, 4 ściany i 6 krawędzi.

Zadanie 4 (maj 2024)1 pkttrudniejsze

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny. Pole powierzchni całkowitej tej bryły jest równe PP, a jedna ściana boczna ma pole równe 29P\frac{2}{9}P. Uzupełnij zdania.
Ostrosłup prawidłowy czworokątny
Pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa jest równe AB
  • A. 69P\dfrac{6}{9}P
  • B. 89P\dfrac{8}{9}P
Pole powierzchni podstawy tego ostrosłupa jest dwa razy CD niż pole powierzchni jego jednej ściany bocznej.
  • C. mniejsze
  • D. większe
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B, C

  1. Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma cztery jednakowe ściany boczne i jedną kwadratową podstawę.
  2. Pole boczne. Cztery takie same ściany:
  3. Pb=4⋅29P=89PP_b = 4 \cdot \textcolor{#E0453A}{\tfrac29 P} = \textcolor{#E0453A}{\tfrac89 P} — odpowiedź B.
  4. Pole podstawy. To, co zostaje z całości:
  5. Pp=P−89P=19P\textcolor{#16A06A}{P_p} = P - \textcolor{#E0453A}{\tfrac89 P} = \textcolor{#16A06A}{\tfrac19 P}.
  6. Porównanie. 19P\textcolor{#16A06A}{\tfrac19 P} wobec 29P\textcolor{#E0453A}{\tfrac29 P} — podstawa jest dwa razy mniejsza niż jedna ściana boczna — odpowiedź C.

💡 Wskazówka: Zapisuj wszystko w dziewiątych częściach PP — wtedy porównanie to zwykłe patrzenie na liczniki: 1 wobec 2.

⚠ Najczęstszy błąd: pomnożenie 29P\tfrac29 P przez 3 zamiast przez 4 (odpowiedź A). Ostrosłup czworokątny ma cztery ściany boczne — tyle, ile boków ma podstawa.

Zadanie 5 (maj 2023)1 pktśrednie

Pewien ostrosłup ma 16 wierzchołków. Ile wierzchołków ma graniastosłup o takiej samej podstawie, jaką ma ten ostrosłup?
Ostrosłup i graniastosłup o tej samej wielokątnej podstawie
  • A. 17
  • B. 30
  • C. 32
  • D. 45
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

  1. Krok 1 — ile boków ma podstawa. Ostrosłup ma tyle wierzchołków, ile podstawa, plus jeden (ten na górze):
  2. n+1=16\textcolor{#16A06A}{n} + \textcolor{#E0453A}{1} = 16, czyli podstawa jest 15\textcolor{#16A06A}{15}-kątem.
  3. Krok 2 — graniastosłup o tej samej podstawie. Ma dwie takie podstawy, jedną nad drugą:
  4. 2⋅15=302 \cdot \textcolor{#16A06A}{15} = 30 wierzchołków.
  5. Odpowiedź B.

💡 Wskazówka: Dwie reguły warte zapamiętania: ostrosłup o nn-kątnej podstawie ma n+1n+1 wierzchołków, n+1n+1 ścian i 2n2n krawędzi; graniastosłup — 2n2n wierzchołków, n+2n+2 ściany i 3n3n krawędzi.

⚠ Najczęstszy błąd: pomnożenie przez 2 samej liczby 16 (odpowiedź C, 32). Wierzchołek na szczycie ostrosłupa nie należy do podstawy, więc najpierw trzeba go odjąć.

Zadanie 6 (czerwiec 2022)1 pkttrudniejsze

Dane są trzy wielokąty: prostokąt o bokach 3 cm i 8 cm, trójkąt równoramienny T1T_1 o ramionach 5 cm i podstawie 3 cm oraz trójkąt równoramienny T2T_2 o ramionach 6 cm i podstawie 8 cm. Czy te trzy wielokąty mogą być ścianami jednego ostrosłupa?
Prostokąt i dwa trójkąty równoramienne8 cm3 cm3 cm5 cm8 cm6 cmT₁T₂
ATak,ponieważ1.długości boków prostokąta są równe długościom podstaw trójkątów T1T_1 i T2T_2.
2.trójkąty T1T_1 i T2T_2 mają podstawy różnej długości.
BNie,
3.ramiona trójkąta T1T_1 mają inną długość niż ramiona trójkąta T2T_2.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B, 3

  1. Gdyby taki ostrosłup istniał, prostokąt byłby jego podstawą, a trójkąty — ścianami bocznymi opartymi na jego bokach.
  2. Podstawy trójkątów faktycznie pasują do boków prostokąta: 3\textcolor{#16A06A}{3} do boku 3\textcolor{#16A06A}{3} cm i 8\textcolor{#16A06A}{8} do boku 8\textcolor{#16A06A}{8} cm. Do tego miejsca wszystko się zgadza.
  3. Kluczowa obserwacja: ramiona ścian bocznych to krawędzie boczne ostrosłupa, a te schodzą się w jednym wspólnym wierzchołku.
  4. Każda krawędź boczna należy jednocześnie do dwóch sąsiednich ścian, więc trójkąty T1T_1 i T2T_2 muszą mieć identyczne ramiona.
  5. Tymczasem T1T_1 ma ramiona 5\textcolor{#E0453A}{5} cm, a T2T_2 — 6\textcolor{#E0453A}{6} cm. Sprzeczność, taki ostrosłup nie istnieje.
  6. Odpowiedź: B, 3.

💡 Wskazówka: Rysując ostrosłup na kartce, prześledź jedną krawędź boczną: należy do dwóch trójkątów naraz. Dlatego sąsiednie ściany boczne muszą się zgadzać co do długości wspólnej krawędzi.

⚠ Najczęstszy błąd: wybór uzasadnienia 2 („podstawy różnej długości”). Różne podstawy trójkątów są tu jak najbardziej w porządku — podstawa jest prostokątem, więc jego sąsiednie boki mają się różnić.

Zadanie 7 (czerwiec 2021)1 pktśrednie

Suma długości wszystkich krawędzi ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego jest równa 450. Krawędź boczna jest w tym ostrosłupie czterokrotnie dłuższa od krawędzi podstawy. Dokończ zdanie.
Długość krawędzi podstawy tego ostrosłupa jest równa
Ostrosłup prawidłowy sześciokątny
  • A. 15
  • B. 25
  • C. 50
  • D. 60
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

  1. Krok 1 — ile jest krawędzi. Podstawa to sześciokąt, więc jest 6\textcolor{#16A06A}{6} krawędzi podstawy i 6\textcolor{#E0453A}{6} krawędzi bocznych.
  2. Krok 2 — oznaczenia. Krawędź podstawy: a\textcolor{#16A06A}{a}. Krawędź boczna: 4a\textcolor{#E0453A}{4a}.
  3. Krok 3 — równanie.
  4. 6a+6⋅4a=450\textcolor{#16A06A}{6a} + \textcolor{#E0453A}{6 \cdot 4a} = 450
  5. 6a+24a=450\textcolor{#16A06A}{6a} + \textcolor{#E0453A}{24a} = 450, czyli 30a=45030a = 450.
  6. Krok 4 — wynik. a=15a = 15.
  7. Odpowiedź A.

💡 Wskazówka: Sprawdzenie: krawędź boczna to 4⋅15=604 \cdot 15 = 60. Razem 6⋅15+6⋅60=90+360=4506 \cdot 15 + 6 \cdot 60 = 90 + 360 = 450 ✓

⚠ Najczęstszy błąd: podanie 60 (odpowiedź D) — czyli długości krawędzi bocznej zamiast podstawy. Warto podkreślić w treści, o co zadanie pyta.

Zadanie 8 (czerwiec 2021)1 pkttrudniejsze

Siatka pewnego graniastosłupa prostego składa się z dwóch trójkątów prostokątnych i trzech prostokątów. W trójkącie będącym podstawą jedna przyprostokątna ma długość 3, a przeciwprostokątna — 5. Wysokość graniastosłupa (szerokość pasa ścian bocznych) jest równa 7. Oceń prawdziwość podanych zdań.
Siatka graniastosłupa prostego o podstawie trójkąta prostokątnego735
Pole największej ściany bocznej tego graniastosłupa jest równe 35.PF
Pole podstawy tego graniastosłupa jest równe 12.PF
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P, F

  1. Krok 1 — brakujący bok podstawy. Z twierdzenia Pitagorasa:
  2. b=52−32=25−9=16=4\textcolor{#16A06A}{b} = \sqrt{\textcolor{#E0453A}{5}^2 - \textcolor{#16A06A}{3}^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = \textcolor{#16A06A}{4}.
  3. Podstawa to więc znajomy trójkąt 3\textcolor{#16A06A}{3}–4\textcolor{#16A06A}{4}–5\textcolor{#E0453A}{5}.
  4. Zdanie 1. Każda ściana boczna to prostokąt: bok podstawy razy wysokość 7\textcolor{#E0453A}{7}. Największa opiera się na najdłuższym boku, czyli na 5\textcolor{#E0453A}{5}:
  5. 5⋅7=35\textcolor{#E0453A}{5} \cdot \textcolor{#E0453A}{7} = 35 ✓ — prawda.
  6. Zdanie 2. Podstawa to trójkąt prostokątny o przyprostokątnych 3\textcolor{#16A06A}{3} i 4\textcolor{#16A06A}{4}:
  7. Pp=12⋅3⋅4=6P_p = \tfrac12 \cdot \textcolor{#16A06A}{3} \cdot \textcolor{#16A06A}{4} = 6, a nie 12 — fałsz.
  8. Odpowiedzi: P, F.

💡 Wskazówka: Największa ściana boczna zawsze stoi na najdłuższym boku podstawy — wszystkie mają przecież tę samą wysokość. Nie trzeba liczyć wszystkich trzech.

⚠ Najczęstszy błąd w zdaniu 2: pomnożenie przyprostokątnych bez dzielenia przez 2 (3⋅4=123 \cdot 4 = 12). To pole prostokąta, a nie trójkąta — i właśnie na to zadanie zastawia pułapkę.

Zadanie 9 (maj 2021)1 pkttrudniejsze

Staś ma dwa jednakowe klocki w kształcie ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, każdy o polu powierzchni całkowitej 80 cm². Podstawa i ściana boczna klocka mają równe pola. Staś skleił oba klocki podstawami. Jakie pole powierzchni ma bryła otrzymana przez Stasia?
Dwa ostrosłupy sklejone podstawami
  • A. 112 cm²
  • B. 128 cm²
  • C. 144 cm²
  • D. 160 cm²
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

  1. Krok 1 — pole jednej ściany. Klocek ma 1\textcolor{#16A06A}{1} podstawę i 4\textcolor{#E0453A}{4} ściany boczne, a wszystkie pięć pól jest równych (tak mówi treść).
  2. Zatem każde z nich wynosi 80:5=1680 : 5 = \textcolor{#16A06A}{16} cm².
  3. Krok 2 — co znika przy sklejeniu. Bryły stykają się podstawami, więc z powierzchni wypadają dwie podstawy:
  4. 2⋅16=322 \cdot \textcolor{#16A06A}{16} = \textcolor{#E0453A}{32} cm².
  5. Krok 3 — pole nowej bryły.
  6. 2⋅80−32=160−32=1282 \cdot 80 - \textcolor{#E0453A}{32} = 160 - \textcolor{#E0453A}{32} = 128 cm².
  7. Odpowiedź B.
  8. (Można też inaczej: zostaje 8\textcolor{#E0453A}{8} ścian bocznych po 16\textcolor{#16A06A}{16} cm², czyli 8⋅16=1288 \cdot \textcolor{#16A06A}{16} = 128 cm² ✓)

💡 Wskazówka: Zdanie „podstawa i ściana boczna mają równe pola” jest tu całym kluczem — dzięki niemu pole całkowite dzieli się na pięć jednakowych kawałków.

⚠ Najczęstszy błąd: odjęcie tylko jednej podstawy (wychodzi 144 — odpowiedź C). Przy sklejeniu chowają się obie stykające się ściany.

Zadanie 10 (kwiecień 2019)1 pktśrednie

Na fragmencie siatki ostrosłupa prawidłowego czworokątnego widać kwadratową podstawę o boku 40 cm oraz przylegający do niej trójkąt równoramienny o ramionach długości 50 cm. Dokończ zdanie.
Suma długości wszystkich krawędzi tego ostrosłupa jest równa
Fragment siatki ostrosłupa prawidłowego czworokątnego40 cm50 cm50 cm
  • A. 560 cm
  • B. 360 cm
  • C. 260 cm
  • D. 220 cm
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

  1. Krok 1 — co jest czym na siatce. Bok kwadratu to krawędź podstawy: 40\textcolor{#16A06A}{40} cm. Ramiona trójkąta to krawędzie boczne: 50\textcolor{#E0453A}{50} cm.
  2. Krok 2 — ile ich jest. Ostrosłup czworokątny ma 4\textcolor{#16A06A}{4} krawędzie podstawy i 4\textcolor{#E0453A}{4} krawędzie boczne.
  3. Krok 3 — suma.
  4. 4⋅40+4⋅50=160+200=3604 \cdot \textcolor{#16A06A}{40} + 4 \cdot \textcolor{#E0453A}{50} = 160 + 200 = 360 cm.
  5. Odpowiedź B.

💡 Wskazówka: Na siatce ostrosłupa podstawa trójkąta pokrywa się z bokiem kwadratu — to ta sama krawędź bryły. Liczy się ją tylko raz.

⚠ Najczęstszy błąd: potraktowanie podstawy trójkąta jako osobnej krawędzi i policzenie ośmiu krawędzi podstawy. Ostrosłup ma ich cztery.

Zadanie 11 (grudzień 2018)1 pkttrudniejsze

Dane są dwie bryły: ostrosłup prawidłowy czworokątny (podstawa kwadrat, ściany boczne — trójkąty równoboczne) oraz graniastosłup prawidłowy trójkątny (podstawy — trójkąty równoboczne, ściany boczne — kwadraty). Wszystkie krawędzie obu brył są jednakowej długości. Oceń prawdziwość podanych zdań.
Ostrosłup prawidłowy czworokątny i graniastosłup prawidłowy trójkątny
Suma długości wszystkich krawędzi ostrosłupa jest większa niż suma długości wszystkich krawędzi graniastosłupa.PF
Całkowite pole powierzchni ostrosłupa jest większe niż całkowite pole powierzchni graniastosłupa.PF
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: F, F

  1. Oznaczmy wspólną długość krawędzi przez aa.
  2. Zdanie 1 — liczymy krawędzie.
  3. Ostrosłup czworokątny: 4\textcolor{#16A06A}{4} krawędzie podstawy + 4+\ \textcolor{#E0453A}{4} boczne =8= \textcolor{#16A06A}{8}, czyli suma 8a8a.
  4. Graniastosłup trójkątny: 3+3\textcolor{#16A06A}{3} + \textcolor{#16A06A}{3} krawędzie dwóch podstaw + 3+\ \textcolor{#E0453A}{3} boczne =9= \textcolor{#16A06A}{9}, czyli suma 9a9a.
  5. 8a<9a8a < 9a, więc suma dla ostrosłupa jest mniejsza — fałsz.
  6. Zdanie 2 — liczymy pola. Trójkąt równoboczny o boku aa ma pole a234≈0,43a2\tfrac{a^2\sqrt3}{4} \approx 0{,}43a^2, kwadrat — a2a^2.
  7. Ostrosłup: 1\textcolor{#16A06A}{1} kwadrat + 4+\ \textcolor{#E0453A}{4} trójkąty =a2+4⋅0,43a2≈2,73 a2= a^2 + 4 \cdot 0{,}43a^2 \approx \textcolor{#16A06A}{2{,}73}\,a^2.
  8. Graniastosłup: 2\textcolor{#16A06A}{2} trójkąty + 3+\ \textcolor{#E0453A}{3} kwadraty =2⋅0,43a2+3a2≈3,87 a2= 2 \cdot 0{,}43a^2 + 3a^2 \approx \textcolor{#16A06A}{3{,}87}\,a^2.
  9. Ostrosłup ma mniejsze pole — fałsz.
  10. Odpowiedzi: F, F.

💡 Wskazówka: Przy porównywaniu brył o jednakowych krawędziach wystarczy policzyć ściany po rodzajach. Kwadrat jest ponad dwa razy „większy” od trójkąta równobocznego o tym samym boku — a graniastosłup ma ich aż trzy.

⚠ Najczęstszy błąd: intuicja „ostrosłup wygląda na większy, bo jest wyższy”. Wygląd bryły nie decyduje — trzeba policzyć ściany i krawędzie.

Zadanie 12 (kwiecień 2015, egzamin gimnazjalny)1 pkttrudniejsze

Dane są ostrosłup prawidłowy czworokątny i sześcian. Bryły mają jednakowe podstawy i równe wysokości, a suma objętości tych brył jest równa 36 cm³. Oceń prawdziwość podanych zdań.
Ostrosłup i sześcian o jednakowych podstawach i wysokościach
Objętość sześcianu jest trzy razy większa od objętości ostrosłupa.PF
Krawędź sześcianu ma długość 3 cm.PF
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P, P

  1. Oznaczmy krawędź sześcianu przez aa. Wtedy podstawa obu brył ma pole a2\textcolor{#16A06A}{a^2}, a wysokość obu wynosi a\textcolor{#E0453A}{a} (bo sześcian ma wszystkie krawędzie równe).
  2. Zdanie 1. Objętości liczymy ze wzorów:
  3. Vszesˊcianu=a2⋅a=a3V_{\text{sześcianu}} = \textcolor{#16A06A}{a^2} \cdot \textcolor{#E0453A}{a} = a^3,   Vostrosłupa=13⋅a2⋅a=13a3V_{\text{ostrosłupa}} = \tfrac13 \cdot \textcolor{#16A06A}{a^2} \cdot \textcolor{#E0453A}{a} = \tfrac13 a^3.
  4. Sześcian jest dokładnie trzy razy większy — prawda. (To zresztą ogólna zasada: przy tej samej podstawie i wysokości ostrosłup ma trzy razy mniejszą objętość niż graniastosłup.)
  5. Zdanie 2. Sumujemy objętości:
  6. a3+13a3=43a3=36a^3 + \tfrac13 a^3 = \tfrac43 a^3 = 36
  7. a3=36⋅34=27a^3 = 36 \cdot \tfrac34 = 27, więc a=3a = 3 cm — prawda.
  8. Odpowiedzi: P, P.

💡 Wskazówka: Skoro sześcian jest trzy razy większy, to suma dzieli się na cztery równe części: ostrosłup ma 36:4=936 : 4 = 9 cm³, a sześcian 27 cm³. Stąd od razu a=3a = 3.

⚠ Najczęstszy błąd: podzielenie 36 na pół i przypisanie każdej bryle 18 cm³. Bryły mają wspólną podstawę i wysokość, ale nie równe objętości — dzieli je właśnie ta jedna trzecia.

Zadanie 13 (kwiecień 2014, egzamin gimnazjalny)1 pkttrudniejsze

Podstawą graniastosłupa prostego jest trójkąt równoboczny o boku długości 3, a wysokość tego graniastosłupa jest równa 424\sqrt{2}. Dokończ zdanie tak, aby otrzymać zdanie prawdziwe.
Objętość tego graniastosłupa jest równa
Graniastosłup prosty o podstawie trójkąta równobocznego34√2
  • A. 969\sqrt{6}
  • B. 18218\sqrt{2}
  • C. 18618\sqrt{6}
  • D. 36236\sqrt{2}
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

  1. Krok 1 — pole podstawy. Wzór na pole trójkąta równobocznego: P=a234P = \dfrac{a^2\sqrt3}{4}.
  2. Pp=3234=934\textcolor{#16A06A}{P_p} = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{3}^2\sqrt3}{4} = \textcolor{#16A06A}{\dfrac{9\sqrt3}{4}}.
  3. Krok 2 — objętość. V=Pp⋅HV = \textcolor{#16A06A}{P_p} \cdot \textcolor{#E0453A}{H}:
  4. V=934⋅42=93⋅2V = \textcolor{#16A06A}{\dfrac{9\sqrt3}{4}} \cdot \textcolor{#E0453A}{4\sqrt2} = 9\sqrt3 \cdot \sqrt2
  5. Krok 3 — mnożenie pierwiastków. 3⋅2=6\sqrt3 \cdot \sqrt2 = \sqrt6, więc V=96V = 9\sqrt6.
  6. Odpowiedź A.

💡 Wskazówka: Pierwiastki mnoży się „pod jedną kreską”: m⋅n=mn\sqrt{m} \cdot \sqrt{n} = \sqrt{mn}. Czwórka z mianownika skróciła się tu z czwórką z wysokości — warto szukać takich skróceń, zanim się cokolwiek policzy.

⚠ Najczęstszy błąd: dodanie liczb pod pierwiastkami (3⋅2=5\sqrt3 \cdot \sqrt2 = \sqrt5) albo pominięcie dzielenia przez 4 we wzorze na pole trójkąta równobocznego.

Zadanie 14 (kwiecień 2014, egzamin gimnazjalny)1 pkttrudniejsze

Maciek rysuje siatkę ostrosłupa prawidłowego, którego podstawą jest kwadrat o środku w punkcie OO i boku długości 8. Punkt EE jest środkiem boku ABAB tego kwadratu, a WW — wierzchołkiem doklejanego trójkąta. Czy trójkąt ABWABW o bokach długości odpowiednio: 8, 5, 5 może być ścianą boczną takiego ostrosłupa?
Siatka ostrosłupa: kwadrat ABCD i trójkąt ABWABCDW855OE
TTak (T),ponieważA.trójkąt ABWABW jest równoramienny.
B.odległość OEOE jest mniejsza niż wysokość EWEW trójkąta ABWABW.
NNie (N),
C.odległość OEOE jest większa niż wysokość EWEW trójkąta ABWABW.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: N, C

  1. Krok 1 — odległość OEOE. Punkt OO to środek kwadratu, EE — środek boku. Odległość między nimi to połowa boku:
  2. OE=8:2=4\textcolor{#16A06A}{OE} = \textcolor{#16A06A}{8} : 2 = \textcolor{#16A06A}{4}.
  3. Krok 2 — wysokość trójkąta ABWABW. Trójkąt jest równoramienny (5, 5, podstawa 8), więc wysokość EWEW dzieli podstawę na połowy:
  4. EW=52−42=25−16=9=3\textcolor{#E0453A}{EW} = \sqrt{\textcolor{#E0453A}{5}^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = \textcolor{#E0453A}{3}.
  5. Krok 3 — dlaczego to nie może się złożyć. Po złożeniu siatki odcinek EW\textcolor{#E0453A}{EW} podnosi się nad podstawę i tworzy trójkąt prostokątny razem z wysokością ostrosłupa HH oraz odcinkiem OE\textcolor{#16A06A}{OE}:
  6. EW2=H2+OE2\textcolor{#E0453A}{EW}^2 = H^2 + \textcolor{#16A06A}{OE}^2
  7. Odcinek EW\textcolor{#E0453A}{EW} jest w nim przeciwprostokątną, więc musi być dłuższy od OE\textcolor{#16A06A}{OE}.
  8. Tymczasem 3<4\textcolor{#E0453A}{3} < \textcolor{#16A06A}{4} — ściana boczna jest za krótka, żeby sięgnąć nad środek podstawy. Taki ostrosłup nie istnieje.
  9. Odpowiedź: N, C.

💡 Wskazówka: Warunek istnienia ostrosłupa prawidłowego: wysokość ściany bocznej musi być większa od połowy krawędzi podstawy. Inaczej ściany nie dosięgną do siebie na górze.

⚠ Najczęstszy błąd: sprawdzenie tylko, czy trójkąt ABWABW w ogóle istnieje (5+5>85 + 5 > 8 ✓) i odpowiedź „Tak”. Warunek trójkąta jest konieczny, ale nie wystarcza — ściana musi się jeszcze dać złożyć w bryłę.

Zadanie 15 (kwiecień 2013, egzamin gimnazjalny)1 pkttrudniejsze

Siatka pewnego ostrosłupa składa się z kwadratu i czterech trójkątów równobocznych zbudowanych na bokach tego kwadratu. Oceń prawdziwość podanych zdań.
Siatka ostrosłupa: kwadrat i cztery trójkąty równoboczne
Wszystkie krawędzie tego ostrosłupa mają taką samą długość.PF
Wysokość tego ostrosłupa jest mniejsza niż wysokość jego ściany bocznej.PF
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P, P

  1. Oznaczmy bok kwadratu przez a\textcolor{#16A06A}{a}.
  2. Zdanie 1. Każdy trójkąt jest zbudowany na boku kwadratu, więc jego podstawa ma długość a\textcolor{#16A06A}{a}. Skoro trójkąt jest równoboczny, jego ramiona też mają a\textcolor{#16A06A}{a} — a ramiona to krawędzie boczne ostrosłupa.
  3. Wszystkie krawędzie mają więc długość a\textcolor{#16A06A}{a} — prawda.
  4. Zdanie 2. Wysokość ściany bocznej (trójkąta równobocznego o boku a\textcolor{#16A06A}{a}):
  5. h=a32≈0,87a\textcolor{#E0453A}{h} = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{a}\sqrt3}{2} \approx \textcolor{#E0453A}{0{,}87a}.
  6. Wysokość ostrosłupa HH liczymy z trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych HH i a2\tfrac{\textcolor{#16A06A}{a}}{2} oraz przeciwprostokątnej h\textcolor{#E0453A}{h}:
  7. H=h2−(a2)2=3a24−a24=a22≈0,71aH = \sqrt{\textcolor{#E0453A}{h}^2 - \left(\tfrac{\textcolor{#16A06A}{a}}{2}\right)^2} = \sqrt{\tfrac{3a^2}{4} - \tfrac{a^2}{4}} = \sqrt{\tfrac{a^2}{2}} \approx 0{,}71a.
  8. 0,71a<0,87a0{,}71a < \textcolor{#E0453A}{0{,}87a} — prawda.
  9. Odpowiedzi: P, P.

💡 Wskazówka: Wysokość ostrosłupa jest zawsze krótsza od wysokości ściany bocznej — bo jest przyprostokątną w trójkącie, w którym ta druga jest przeciwprostokątną. Można to stwierdzić bez żadnych rachunków.

⚠ Najczęstszy błąd: mylenie trzech różnych „wysokości”: wysokości bryły, wysokości ściany bocznej i krawędzi bocznej. Najkrótsza jest zawsze wysokość bryły, najdłuższa — krawędź boczna.

Zadanie 16 (listopad 2012, egzamin gimnazjalny)1 pkttrudniejsze

Dokończ zdanie tak, aby otrzymać zdanie prawdziwe.
Jeżeli długość każdej krawędzi podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego zwiększymy 2 razy, a jego wysokość zmniejszymy 2 razy, to objętość ostrosłupa
Dwa ostrosłupy: drugi o dwa razy dłuższej krawędzi podstawy i dwa razy niższy
  • A. zwiększy się czterokrotnie.
  • B. zwiększy się dwukrotnie.
  • C. zmniejszy się dwukrotnie.
  • D. nie zmieni się.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

  1. Objętość początkowa: V=13⋅a2⋅HV = \tfrac13 \cdot \textcolor{#16A06A}{a}^2 \cdot \textcolor{#E0453A}{H}.
  2. Po zmianach: krawędź podstawy to 2a\textcolor{#16A06A}{2a}, a wysokość H2\textcolor{#E0453A}{\tfrac{H}{2}}.
  3. V′=13⋅(2a)2⋅H2=13⋅4a2⋅H2=13⋅2a2⋅HV' = \tfrac13 \cdot (\textcolor{#16A06A}{2a})^2 \cdot \textcolor{#E0453A}{\dfrac{H}{2}} = \tfrac13 \cdot \textcolor{#16A06A}{4a^2} \cdot \textcolor{#E0453A}{\dfrac{H}{2}} = \tfrac13 \cdot \textcolor{#16A06A}{2a^2} \cdot \textcolor{#E0453A}{H}
  4. Porównanie: V′=2⋅(13a2H)=2VV' = 2 \cdot \left(\tfrac13 \textcolor{#16A06A}{a}^2 \textcolor{#E0453A}{H}\right) = 2V.
  5. Objętość zwiększy się dwukrotnie — odpowiedź B.

💡 Wskazówka: Krawędź podstawy wchodzi do wzoru w kwadracie, więc jej podwojenie daje czterokrotny wzrost pola podstawy. Wysokość wchodzi liniowo, więc jej połowienie dzieli wynik przez 2. Razem: 4:2=24 : 2 = 2.

⚠ Najczęstszy błąd: uznanie, że „razy 2 i przez 2 się znosi”, czyli odpowiedź D. Nie znosi się, bo krawędź podstawy występuje w kwadracie, a wysokość — w pierwszej potędze.

Zadania otwarte

Zadanie 17 (maj 2026)2 pkttrudniejsze

Dany jest sześcian ABCDEFGHABCDEFGH o krawędzi długości aa (ściana ABCDABCD jest dolną podstawą, a EFGHEFGH — górną, przy czym EE leży nad AA, FF nad BB, GG nad CC i HH nad DD). Punkt SS jest środkiem krawędzi DHDH tego sześcianu. Punkty AA, CC, DD, SS są wierzchołkami ostrosłupa trójkątnego. Oblicz, ile razy objętość ostrosłupa ACDSACDS jest mniejsza od objętości sześcianu ABCDEFGHABCDEFGH.
Sześcian ABCDEFGH z ostrosłupem ACDSABCDEFGHS
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 12 razy

  1. Krok 1 — wybór podstawy ostrosłupa. Najwygodniej wziąć trójkąt ACDACD, bo leży w dolnej ścianie sześcianu. To połowa kwadratu ABCDABCD przecięta przekątną:
  2. PACD=12⋅a⋅a=a22\textcolor{#16A06A}{P_{ACD}} = \tfrac12 \cdot \textcolor{#16A06A}{a} \cdot \textcolor{#16A06A}{a} = \textcolor{#16A06A}{\dfrac{a^2}{2}}.
  3. Krok 2 — wysokość ostrosłupa. Wierzchołkiem jest SS, więc wysokość to jego odległość od dolnej ściany. Punkt SS leży w połowie pionowej krawędzi DHDH:
  4. H=a2\textcolor{#E0453A}{H} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{a}{2}}.
  5. Krok 3 — objętość ostrosłupa.
  6. VACDS=13⋅a22⋅a2=a312V_{ACDS} = \tfrac13 \cdot \textcolor{#16A06A}{\dfrac{a^2}{2}} \cdot \textcolor{#E0453A}{\dfrac{a}{2}} = \dfrac{a^3}{12}.
  7. Krok 4 — porównanie z sześcianem. Sześcian ma objętość a3a^3, więc:
  8. a3  a312  =12\dfrac{a^3}{\ \ \dfrac{a^3}{12}\ \ } = 12.
  9. Odpowiedź: objętość ostrosłupa jest 12 razy mniejsza od objętości sześcianu.

💡 Wskazówka: W bryłach wpisanych w sześcian zawsze szukaj podstawy leżącej na ścianie sześcianu — wtedy wysokość odczytasz wprost z rysunku, bez żadnego liczenia.

⚠ Najczęstszy błąd: przyjęcie jako wysokości całej krawędzi aa zamiast połowy. Punkt SS jest środkiem krawędzi DHDH, więc leży na wysokości a2\tfrac{a}{2}.

Zadanie 18 (styczeń 2026)2 pktśrednie

Graniastosłup prawidłowy czworokątny o objętości 567 cm³ ma wysokość równą 7 cm. Oblicz, ile cm² ma pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa. Zapisz obliczenia.
Graniastosłup prawidłowy czworokątny7 cm
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 414 cm²

  1. Krok 1 — pole podstawy. Z wzoru V=Pp⋅HV = \textcolor{#16A06A}{P_p} \cdot \textcolor{#E0453A}{H} wyznaczamy pole podstawy:
  2. Pp=5677=81\textcolor{#16A06A}{P_p} = \dfrac{567}{\textcolor{#E0453A}{7}} = \textcolor{#16A06A}{81} cm².
  3. Krok 2 — krawędź podstawy. Podstawą jest kwadrat, więc a=81=9\textcolor{#16A06A}{a} = \sqrt{\textcolor{#16A06A}{81}} = \textcolor{#16A06A}{9} cm.
  4. Krok 3 — pole boczne. Cztery jednakowe prostokąty 9×7\textcolor{#16A06A}{9} \times \textcolor{#E0453A}{7}:
  5. Pb=4⋅9⋅7=252P_b = 4 \cdot \textcolor{#16A06A}{9} \cdot \textcolor{#E0453A}{7} = 252 cm².
  6. Krok 4 — pole całkowite. Dokładamy dwie podstawy:
  7. Pc=2⋅81+252=162+252=414P_c = 2 \cdot \textcolor{#16A06A}{81} + 252 = 162 + 252 = 414 cm².
  8. Odpowiedź: pole powierzchni całkowitej wynosi 414 cm².

💡 Wskazówka: Pole boczne graniastosłupa prostego można też policzyć jako obwód podstawy razy wysokość: 36⋅7=25236 \cdot 7 = 252 cm² ✓ To szybsze niż liczenie czterech ścian osobno.

⚠ Najczęstszy błąd: doliczenie tylko jednej podstawy albo pomylenie krawędzi podstawy (9 cm) z polem podstawy (81 cm²). Warto zapisywać jednostki — cm² przy polu, cm przy długości.

Zadanie 19 (czerwiec 2025)3 pkttrudniejsze

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny, którego krawędź podstawy ma długość 3,5 cm. Wysokość ostrosłupa jest o 8 cm mniejsza od obwodu jego podstawy. Oblicz objętość tego ostrosłupa. Zapisz obliczenia.
Ostrosłup prawidłowy czworokątny o wysokości 6 cm3,5 cm
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 24,5 cm³

  1. Krok 1 — obwód podstawy. Podstawą jest kwadrat o boku 3,5\textcolor{#16A06A}{3{,}5} cm:
  2. Ob=4⋅3,5=14\textcolor{#16A06A}{Ob} = 4 \cdot \textcolor{#16A06A}{3{,}5} = \textcolor{#16A06A}{14} cm.
  3. Krok 2 — wysokość ostrosłupa. Jest o 8 cm mniejsza od obwodu:
  4. H=14−8=6\textcolor{#E0453A}{H} = \textcolor{#16A06A}{14} - 8 = \textcolor{#E0453A}{6} cm.
  5. Krok 3 — pole podstawy. Pp=3,52=12,25\textcolor{#16A06A}{P_p} = \textcolor{#16A06A}{3{,}5}^2 = \textcolor{#16A06A}{12{,}25} cm².
  6. Krok 4 — objętość. Pamiętamy o jednej trzeciej:
  7. V=13⋅12,25⋅6=12,25⋅2=24,5V = \tfrac13 \cdot \textcolor{#16A06A}{12{,}25} \cdot \textcolor{#E0453A}{6} = \textcolor{#16A06A}{12{,}25} \cdot 2 = 24{,}5 cm³.
  8. Odpowiedź: objętość ostrosłupa wynosi 24,5 cm³.

💡 Wskazówka: Gdy wysokość dzieli się przez 3 (tu 6:3=26 : 3 = 2), skracaj przed mnożeniem — unikniesz rachunków na ułamkach dziesiętnych.

⚠ Najczęstszy błąd: pomylenie obwodu podstawy z polem podstawy przy wyznaczaniu wysokości. Wysokość liczymy tu od obwodu (14 cm), a nie od pola (12,25 cm²).

Zadanie 20 (maj 2025)3 pkttrudniejsze

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny, w którym wysokość ściany bocznej poprowadzona do krawędzi podstawy jest równa 12 cm. Pole powierzchni jednej ściany bocznej tego ostrosłupa jest równe 108 cm². Oblicz sumę długości wszystkich krawędzi tego ostrosłupa. Zapisz obliczenia.
Ostrosłup prawidłowy czworokątny z wysokością ściany bocznej12 cm
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 132 cm

  1. Krok 1 — krawędź podstawy. Ściana boczna to trójkąt o podstawie a\textcolor{#16A06A}{a} i wysokości 12\textcolor{#E0453A}{12} cm:
  2. 12⋅a⋅12=108\tfrac12 \cdot \textcolor{#16A06A}{a} \cdot \textcolor{#E0453A}{12} = 108, czyli 6a=1086\textcolor{#16A06A}{a} = 108, więc a=18\textcolor{#16A06A}{a} = \textcolor{#16A06A}{18} cm.
  3. Krok 2 — krawędź boczna. Wysokość ściany bocznej dzieli ten trójkąt równoramienny na dwa prostokątne o przyprostokątnych 12\textcolor{#E0453A}{12} cm i 18:2=9\textcolor{#16A06A}{18} : 2 = \textcolor{#16A06A}{9} cm.
  4. b=122+92=144+81=225=15\textcolor{#E0453A}{b} = \sqrt{\textcolor{#E0453A}{12}^2 + \textcolor{#16A06A}{9}^2} = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = \textcolor{#E0453A}{15} cm.
  5. Krok 3 — suma krawędzi. Cztery krawędzie podstawy i cztery boczne:
  6. 4⋅18+4⋅15=72+60=1324 \cdot \textcolor{#16A06A}{18} + 4 \cdot \textcolor{#E0453A}{15} = 72 + 60 = 132 cm.
  7. Odpowiedź: suma długości wszystkich krawędzi wynosi 132 cm.

💡 Wskazówka: Krawędź boczna, wysokość ściany bocznej i połowa krawędzi podstawy tworzą trójkąt prostokątny — to najczęściej używana zależność w całej stereometrii ósmoklasisty.

⚠ Najczęstszy błąd: użycie w Pitagorasie całej krawędzi podstawy (18) zamiast jej połowy (9). Wysokość ściany bocznej pada na środek krawędzi podstawy.

Zadanie 21 (grudzień 2024)2 pkttrudniejsze

Siatka graniastosłupa prawidłowego czworokątnego składa się z pasa czterech jednakowych prostokątów ustawionych obok siebie oraz dwóch kwadratowych podstaw doklejonych do tego pasa. Zaznaczony na siatce wymiar 18 cm obejmuje trzy kolejne prostokąty pasa (czyli trzy krawędzie podstawy). Wysokość HH tego graniastosłupa jest 1,5 raza większa od długości krawędzi podstawy. Oblicz pole powierzchni bocznej tego graniastosłupa. Zapisz obliczenia.
Siatka graniastosłupa prawidłowego czworokątnego18 cmH
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 216 cm²

  1. Krok 1 — krawędź podstawy. Zaznaczony odcinek obejmuje trzy krawędzie podstawy:
  2. 3a=183\textcolor{#16A06A}{a} = 18, czyli a=6\textcolor{#16A06A}{a} = \textcolor{#16A06A}{6} cm.
  3. Krok 2 — wysokość. Jest 1,5 raza większa:
  4. H=1,5⋅6=9\textcolor{#E0453A}{H} = 1{,}5 \cdot \textcolor{#16A06A}{6} = \textcolor{#E0453A}{9} cm.
  5. Krok 3 — pole boczne. To obwód podstawy razy wysokość — czyli cały pas siatki:
  6. Pb=4⋅6⋅9=24⋅9=216P_b = 4 \cdot \textcolor{#16A06A}{6} \cdot \textcolor{#E0453A}{9} = 24 \cdot \textcolor{#E0453A}{9} = 216 cm².
  7. Odpowiedź: pole powierzchni bocznej wynosi 216 cm².

💡 Wskazówka: Pas ścian bocznych na siatce to jeden duży prostokąt: jego długość to obwód podstawy, a szerokość — wysokość bryły. Pole boczne to po prostu pole tego prostokąta.

⚠ Najczęstszy błąd: doliczenie do wyniku dwóch podstaw. Zadanie pyta o pole boczne, więc kwadraty podstaw do niego nie wchodzą.

Zadanie 22 (maj 2024)2 pkttrudniejsze

Z trzech jednakowych klocków w kształcie sześcianu i jednego klocka w kształcie ostrosłupa prawidłowego czworokątnego zbudowano dwie wieże. Wieża I to jeden sześcian z ustawionym na nim ostrosłupem, a wieża II to dwa sześciany jeden na drugim. Krawędź sześcianu ma długość 10 cm. Krawędź podstawy ostrosłupa ma długość 9 cm, a jego objętość jest równa 324 cm³. Oblicz różnicę wysokości obu wież. Zapisz obliczenia.
Wieża I z sześcianu i ostrosłupa oraz wieża II z dwóch sześcianów10 cm9 cm
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 2 cm

  1. Krok 1 — wysokość ostrosłupa. Znamy objętość i krawędź podstawy, więc wysokość wyznaczamy ze wzoru:
  2. 13⋅92⋅H=324\tfrac13 \cdot \textcolor{#16A06A}{9}^2 \cdot \textcolor{#E0453A}{H} = 324
  3. 13⋅81⋅H=324\tfrac13 \cdot \textcolor{#16A06A}{81} \cdot \textcolor{#E0453A}{H} = 324, czyli 27H=32427\textcolor{#E0453A}{H} = 324, więc H=12\textcolor{#E0453A}{H} = \textcolor{#E0453A}{12} cm.
  4. Krok 2 — wysokość wieży I. Sześcian plus ostrosłup:
  5. 10+12=22\textcolor{#16A06A}{10} + \textcolor{#E0453A}{12} = \textcolor{#16A06A}{22} cm.
  6. Krok 3 — wysokość wieży II. Dwa sześciany:
  7. 2⋅10=202 \cdot \textcolor{#16A06A}{10} = \textcolor{#16A06A}{20} cm.
  8. Krok 4 — różnica. 22−20=2\textcolor{#16A06A}{22} - \textcolor{#16A06A}{20} = 2 cm.
  9. Odpowiedź: wieża I jest wyższa od wieży II o 2 cm.

💡 Wskazówka: Zwróć uwagę, że krawędź podstawy ostrosłupa (9 cm) jest mniejsza niż krawędź sześcianu (10 cm) — ostrosłup stoi więc stabilnie na górnej ścianie. Do rachunku ta liczba jest potrzebna tylko po to, by wyznaczyć wysokość.

⚠ Najczęstszy błąd: przyjęcie za wysokość ostrosłupa jego krawędzi bocznej albo krawędzi podstawy. Wysokość trzeba tu wyliczyć z objętości — nie ma jej podanej wprost.

Zadanie 23 (czerwiec 2023)3 pktśrednie

Powierzchnia kartonu ma kształt prostokąta o wymiarach 8 cm i 15 cm. W czterech rogach tego kartonu wycięto kwadraty o boku 2,5 cm, a z pozostałej części — zaginając brzegi do góry — złożono pudełko. Oblicz objętość tego pudełka. Zapisz obliczenia.
Karton 8 cm × 15 cm z wyciętymi narożnikami15 cm8 cm2,5
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 75 cm³

  1. Wycięte kwadraty pełnią podwójną rolę: to, co zostaje po bokach, staje się ściankami pudełka, a ich bok wyznacza wysokość.
  2. Krok 1 — wysokość pudełka. To bok wyciętego kwadratu: h=2,5\textcolor{#E0453A}{h} = \textcolor{#E0453A}{2{,}5} cm.
  3. Krok 2 — wymiary dna. Z każdej strony ubywa po 2,5\textcolor{#E0453A}{2{,}5} cm, czyli z każdego wymiaru — dwa razy tyle:
  4. długość: 15−2⋅2,5=1015 - 2 \cdot \textcolor{#E0453A}{2{,}5} = \textcolor{#16A06A}{10} cm
  5. szerokość: 8−2⋅2,5=38 - 2 \cdot \textcolor{#E0453A}{2{,}5} = \textcolor{#16A06A}{3} cm
  6. Krok 3 — objętość.
  7. V=10⋅3⋅2,5=75V = \textcolor{#16A06A}{10} \cdot \textcolor{#16A06A}{3} \cdot \textcolor{#E0453A}{2{,}5} = 75 cm³.
  8. Odpowiedź: objętość pudełka wynosi 75 cm³.

💡 Wskazówka: Od każdego wymiaru odejmujemy bok kwadratu dwa razy — bo wycięcia są po obu stronach. To najczęstsze miejsce, w którym w tym typie zadań gubi się połowę.

⚠ Najczęstszy błąd: odjęcie 2,5 cm tylko raz (wychodzi wtedy dno 12,5×5,512{,}5 \times 5{,}5). Warto naszkicować karton i zaznaczyć wszystkie cztery wycięcia.

Zadanie 24 (czerwiec 2022)3 pkttrudniejsze

Podstawą pewnego graniastosłupa prostego jest trójkąt prostokątny. Długość jednej z przyprostokątnych jest równa 8 cm, a długość przeciwprostokątnej — 10 cm. Najmniejsza ściana boczna tego graniastosłupa ma pole równe 54 cm². Oblicz sumę długości wszystkich krawędzi tego graniastosłupa. Zapisz obliczenia.
Graniastosłup prosty o podstawie trójkąta prostokątnego8 cm
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 75 cm

  1. Krok 1 — trzeci bok podstawy. Z twierdzenia Pitagorasa:
  2. b=102−82=100−64=36=6\textcolor{#16A06A}{b} = \sqrt{\textcolor{#16A06A}{10}^2 - \textcolor{#16A06A}{8}^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = \textcolor{#16A06A}{6} cm.
  3. Podstawa to trójkąt 6\textcolor{#16A06A}{6}–8\textcolor{#16A06A}{8}–10\textcolor{#16A06A}{10} cm.
  4. Krok 2 — wysokość graniastosłupa. Wszystkie ściany boczne mają tę samą wysokość, więc najmniejsza stoi na najkrótszym boku, czyli na 6\textcolor{#16A06A}{6} cm:
  5. 6⋅H=54\textcolor{#16A06A}{6} \cdot \textcolor{#E0453A}{H} = 54, skąd H=9\textcolor{#E0453A}{H} = \textcolor{#E0453A}{9} cm.
  6. Krok 3 — suma krawędzi. Dwie podstawy (po trzy krawędzie) i trzy krawędzie boczne:
  7. 2⋅(6+8+10)+3⋅9=2⋅24+27=48+27=752 \cdot (\textcolor{#16A06A}{6} + \textcolor{#16A06A}{8} + \textcolor{#16A06A}{10}) + 3 \cdot \textcolor{#E0453A}{9} = 2 \cdot \textcolor{#16A06A}{24} + 27 = 48 + 27 = 75 cm.
  8. Odpowiedź: suma długości wszystkich krawędzi wynosi 75 cm.

💡 Wskazówka: Graniastosłup o nn-kątnej podstawie ma 3n3n krawędzi: 2n2n w podstawach i nn bocznych. Dla trójkątnego to 6+3=96 + 3 = 9 krawędzi.

⚠ Najczęstszy błąd: przypisanie najmniejszej ściany bocznej do przeciwprostokątnej albo policzenie krawędzi podstawy tylko raz. Podstawy są dwie.

Zadanie 25 (maj 2022)3 pkttrudniejsze

Siatka graniastosłupa prawidłowego czworokątnego składa się z pasa czterech jednakowych prostokątów oraz dwóch kwadratowych podstaw. Zaznaczony wymiar 48 cm obejmuje trzy kolejne prostokąty pasa (czyli trzy krawędzie podstawy), a wymiar 41 cm mierzy razem wysokość pasa i bok doklejonego do niego kwadratu podstawy. Oblicz objętość tego graniastosłupa. Zapisz obliczenia.
Siatka graniastosłupa prawidłowego czworokątnego48 cm41 cm
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 6400 cm³

  1. Krok 1 — krawędź podstawy. Odcinek 48 cm obejmuje trzy krawędzie podstawy:
  2. 3a=483\textcolor{#16A06A}{a} = 48, czyli a=16\textcolor{#16A06A}{a} = \textcolor{#16A06A}{16} cm.
  3. Krok 2 — wysokość graniastosłupa. Odcinek 41 cm to wysokość pasa plus bok kwadratu podstawy:
  4. H+a=41\textcolor{#E0453A}{H} + \textcolor{#16A06A}{a} = 41, czyli H=41−16=25\textcolor{#E0453A}{H} = 41 - \textcolor{#16A06A}{16} = \textcolor{#E0453A}{25} cm.
  5. Krok 3 — objętość.
  6. V=a2⋅H=162⋅25=256⋅25=6400V = \textcolor{#16A06A}{a}^2 \cdot \textcolor{#E0453A}{H} = \textcolor{#16A06A}{16}^2 \cdot \textcolor{#E0453A}{25} = \textcolor{#16A06A}{256} \cdot \textcolor{#E0453A}{25} = 6400 cm³.
  7. Odpowiedź: objętość graniastosłupa wynosi 6400 cm³.

💡 Wskazówka: Na siatce każdy zaznaczony odcinek warto rozłożyć na krawędzie bryły — sprawdź, przez ile pól przechodzi i co to za pola. Reszta to już zwykłe równania.

⚠ Najczęstszy błąd: potraktowanie 41 cm jako samej wysokości bryły. Ten wymiar obejmuje pas ścian bocznych razem z doklejoną podstawą, więc trzeba od niego odjąć krawędź podstawy.

Zadanie 26 (kwiecień 2014, egzamin gimnazjalny)3 pkttrudniejsze

Z sześcianu zbudowanego z 64 małych sześcianów o krawędzi 1 cm usunięto z każdego narożnika po jednym małym sześcianie. Oblicz pole powierzchni powstałej bryły i porównaj je z polem powierzchni dużego sześcianu. Zapisz obliczenia.
Sześcian 4 × 4 × 4 z usuniętym małym sześcianem w każdym narożniku
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: Oba pola są równe i wynoszą 96 cm².

  1. Krok 1 — krawędź dużego sześcianu. 64=4364 = 4^3, więc sześcian ma 4×4×4\textcolor{#16A06A}{4} \times \textcolor{#16A06A}{4} \times \textcolor{#16A06A}{4} kostki, czyli krawędź 4\textcolor{#16A06A}{4} cm.
  2. Krok 2 — pole dużego sześcianu.
  3. P=6⋅42=6⋅16=96P = 6 \cdot \textcolor{#16A06A}{4}^2 = 6 \cdot \textcolor{#16A06A}{16} = 96 cm².
  4. Krok 3 — co zmienia usunięcie narożnika. Wycięta kostka stykała się z powierzchnią bryły trzema ściankami:
  5. tracimy 3\textcolor{#E0453A}{3} ścianki 1×11 \times 1 z zewnątrz,
  6. zyskujemy 3\textcolor{#E0453A}{3} nowe ścianki 1×11 \times 1 we wnęce.
  7. Bilans wynosi zero — pole nie zmienia się ani o cm².
  8. Krok 4 — wszystkie narożniki. Narożników jest 8\textcolor{#16A06A}{8} i każdy zachowuje się tak samo, więc łączna zmiana to również zero.
  9. Odpowiedź: pole powstałej bryły wynosi 96 cm² — dokładnie tyle samo, co pole dużego sześcianu.

💡 Wskazówka: Ten sam bilans działa dla wnęki dowolnej wielkości — byle wycinany sześcian siedział w narożniku. Objętość maleje, ale pole zostaje.

⚠ Najczęstszy błąd: odjęcie od pola 8⋅3=248 \cdot 3 = 24 cm² i podanie 72 cm². Zapomina się wtedy o ściankach wnęki, które dochodzą do powierzchni bryły.

Zadanie 27 (kwiecień 2013, egzamin gimnazjalny)4 pkttrudniejsze

Pole powierzchni bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe 80 cm², a pole jego powierzchni całkowitej wynosi 144 cm². Oblicz długość krawędzi podstawy i długość krawędzi bocznej tego ostrosłupa. Zapisz obliczenia.
Ostrosłup prawidłowy czworokątny z wysokością ściany bocznej
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: krawędź podstawy 8 cm, krawędź boczna √41 cm

  1. Krok 1 — pole podstawy. Pole całkowite to podstawa plus pole boczne:
  2. Pp=144−80=64\textcolor{#16A06A}{P_p} = 144 - 80 = \textcolor{#16A06A}{64} cm².
  3. Krok 2 — krawędź podstawy. Podstawą jest kwadrat:
  4. a=64=8\textcolor{#16A06A}{a} = \sqrt{\textcolor{#16A06A}{64}} = \textcolor{#16A06A}{8} cm.
  5. Krok 3 — wysokość ściany bocznej. Pole boczne to cztery jednakowe trójkąty o podstawie 8\textcolor{#16A06A}{8} i wysokości h\textcolor{#E0453A}{h}:
  6. 4⋅12⋅8⋅h=804 \cdot \tfrac12 \cdot \textcolor{#16A06A}{8} \cdot \textcolor{#E0453A}{h} = 80, czyli 16h=8016\textcolor{#E0453A}{h} = 80, więc h=5\textcolor{#E0453A}{h} = \textcolor{#E0453A}{5} cm.
  7. Krok 4 — krawędź boczna. Wysokość ściany dzieli ją na dwa trójkąty prostokątne o przyprostokątnych 5\textcolor{#E0453A}{5} i 8:2=4\textcolor{#16A06A}{8} : 2 = \textcolor{#16A06A}{4}:
  8. b=52+42=25+16=41\textcolor{#E0453A}{b} = \sqrt{\textcolor{#E0453A}{5}^2 + \textcolor{#16A06A}{4}^2} = \sqrt{25 + 16} = \sqrt{41} cm.
  9. Odpowiedź: krawędź podstawy ma 8 cm, a krawędź boczna 41\sqrt{41} cm (czyli około 6,4 cm).
  10. Kontrola sensu: krawędź boczna musi być dłuższa od wysokości ściany bocznej (41>5\sqrt{41} > 5) ✓

💡 Wskazówka: Zapisz sobie kolejność: pole całkowite → pole podstawy → krawędź podstawy → wysokość ściany bocznej → krawędź boczna. Każdy krok korzysta wyłącznie z poprzedniego.

⚠ Najczęstszy błąd: podzielenie pola bocznego przez 4 i potraktowanie wyniku (20 cm²) jako pola prostokąta zamiast trójkąta — wychodzi wtedy h=2,5h = 2{,}5 zamiast 5. Ściany boczne ostrosłupa to trójkąty.

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. D2. A3. A4. B, C5. B6. B, 3
7. A8. P, F9. B10. B11. F, F12. P, P
13. A14. N, C15. P, P16. B17. 12 razy18. 414 cm²
19. 24,5 cm³20. 132 cm21. 216 cm²22. 2 cm23. 75 cm³24. 75 cm
25. 6400 cm³26. Oba pola są równe i wynoszą 96 cm².27. krawędź podstawy 8 cm, krawędź boczna √41 cm

Treści zadań pochodzą z arkuszy egzaminu ósmoklasisty oraz z arkuszy egzaminu gimnazjalnego (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów liczę i zapisuję sam — Mateusz Będkowski.

Pytania i odpowiedzi

Co to znaczy, że ostrosłup jest prawidłowy?

Że jego podstawa jest wielokątem foremnym, a wierzchołek leży dokładnie nad jej środkiem. Z tego wynika, że wszystkie krawędzie boczne są równe, a ściany boczne to przystające trójkąty równoramienne — więc wystarczy policzyć pole jednej i pomnożyć przez ich liczbę.

Jak policzyć pole powierzchni ostrosłupa?

Dodaj pole podstawy do sumy pól ścian bocznych. Uwaga: ostrosłup ma tylko jedną podstawę, w odróżnieniu od graniastosłupa. Do pola ściany bocznej używa się wysokości tej ściany, a nie wysokości całej bryły — to dwie różne odległości.

Ile ścian ma graniastosłup sześciokątny?

Osiem — dwie podstawy i sześć ścian bocznych. Ogólnie graniastosłup o podstawie n-kątnej ma n plus dwie ściany, trzy razy n krawędzi i dwa razy n wierzchołków. Tych liczb nie trzeba pamiętać, bo odtwarza się je wprost z definicji bryły.

Jak z siatki odczytać wymiary bryły?

Najpierw znajdź podstawy: w siatce graniastosłupa są dwa identyczne wielokąty, w siatce ostrosłupa jeden wielokąt otoczony trójkątami. Potem sprawdź, czy krawędzie, które mają się skleić, są równej długości. Pole całej siatki jest polem powierzchni całkowitej bryły.

Czy wzory na objętość dostanę na egzaminie?

Nie, arkusz egzaminu ósmoklasisty nie zawiera karty wzorów — objętości i pola brył trzeba znać na pamięć. Sam wzór nie rozstrzygnie zresztą, która wielkość jest wysokością bryły, a która wysokością ściany bocznej — i właśnie to sprawdza większość zadań z tego działu.

Skąd bierze się jedna trzecia we wzorze na objętość ostrosłupa?

Z faktu geometrycznego: ostrosłup o tej samej podstawie i wysokości co graniastosłup mieści dokładnie trzecią część jego objętości. Warto zapamiętać to właśnie w ten sposób, bo wtedy trudno pomylić, przy której bryle czynnik występuje.

Czytaj dalej

Prostopadłościan i sześcian na egzaminieNajprostszy graniastosłup — dobry punkt startowyTwierdzenie Pitagorasa na egzaminieTrójkąt prostokątny ukryty wewnątrz bryłyPola figur na egzaminieWzory potrzebne do policzenia podstawy i ścianEgzamin ósmoklasisty z matematykiJak zbudowany jest arkusz i jak się do niego przygotować
Mateusz Będkowski — nauczyciel matematyki, autor serwisu Nie każ mu liczyć

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-07-30. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa Mateusza Będkowskiego.