Strona główna › Egzamin ósmoklasisty › Obwody figur na egzaminie ósmoklasisty

Obwody figur na egzaminie ósmoklasisty

Obwód to najprostsza definicja w całej geometrii: suma długości wszystkich boków. Cała trudność egzaminacyjna polega na czymś innym — na tym, że połowy tych boków nie ma w danych i trzeba je najpierw odzyskać. Ta strona jest o odzyskiwaniu.

Dział: Egzamin ósmoklasistyPoziom: klasa 7–8Zadań: 17 — 16 z egzaminu ósmoklasisty i 1 z egzaminu gimnazjalnego

Przejdź od razu do zadań (17) ↓

Obwód a pole — dwa różne pytania o tę samą figurę

Obwód mierzy brzeg figury, pole mierzy jej wnętrze. Obwód podaje się w centymetrach, pole w centymetrach kwadratowych — i to jest pierwszy sygnał kontrolny: jeśli w odpowiedzi na pytanie o obwód pojawia się cm², coś poszło nie tak.

Dwie figury o tym samym polu mogą mieć zupełnie różne obwody. Prostokąt 1×361 \times 36 i kwadrat 6×66 \times 6 mają po 36 jednostek pola, ale obwody 74 i 24. Ta niezależność bywa treścią zadań typu prawda/fałsz.

Wzory są krótkie: prostokąt 2(a+b)2(a+b), kwadrat 4a4a, romb i równoległobok 4a4a oraz 2(a+b)2(a+b), trójkąt — suma trzech boków. Dla koła obwód to 2πr2\pi r, czyli πd\pi d.

Obwód rombu — wszystkie boki są równe

Romb ma cztery boki tej samej długości, więc jego obwód to po prostu 4a4a. Przekątne nie wchodzą do wzoru na obwód — służą wyłącznie do policzenia boku, gdy nie jest podany.

A liczy się go Pitagorasem: przekątne rombu przecinają się pod kątem prostym i dzielą nawzajem na połowy, więc bok jest przeciwprostokątną trójkąta o przyprostokątnych e2\tfrac{e}{2} i f2\tfrac{f}{2}.

a=(e2)2+(f2)2Ob=4aa = \sqrt{\left(\dfrac{e}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{f}{2}\right)^2} \qquad Ob = 4a

W równoległoboku boki są równe tylko parami, więc obwód to 2(a+b)2(a+b) — jak w prostokącie.

Obwód trapezu, gdy brakuje ramienia

Trapez ma cztery różne boki i w zadaniach zwykle podane są trzy. Brakujące ramię pochyłe odzyskuje się tak samo jak przy liczeniu pola: prowadzi się odcinek prostopadły do dłuższej podstawy i powstaje trójkąt prostokątny.

Przyprostokątnymi tego trójkąta są wysokość trapezu i różnica podstaw, a przeciwprostokątną — szukane ramię. Przy podstawach 10 i 4 przyprostokątna wynosi 6, nie 10.

W trapezie równoramiennym różnicę podstaw dzieli się jeszcze na pół, bo odcina się ją symetrycznie z obu stron. To jedna z częstszych pomyłek: użycie całej różnicy zamiast jej połowy.

Podział figury: obwód rośnie, pole nie

Przetnij prostokąt na dwie części. Pole rozdzieli się między nie — suma pól obu kawałków jest równa polu wyjściowemu. Z obwodem jest inaczej: linia cięcia staje się brzegiem dla obu części naraz, więc suma obwodów jest większa od obwodu wyjściowego.

To najczęstsze nieporozumienie w tym dziale i wraca w zadaniach typu prawda/fałsz. Prostokąt 6×46 \times 4 ma obwód 20. Po przecięciu na dwa prostokąty 3×43 \times 4 każdy ma obwód 14, razem 28 — o 8 więcej, czyli dokładnie dwa razy długość cięcia.

Odwrotnie przy sklejaniu: obwód figury złożonej z kilku kawałków jest mniejszy niż suma ich obwodów, bo sklejone krawędzie przestają być brzegiem.

Okrąg: obwód, średnica i cięciwa

Obwód okręgu to L=2πrL = 2\pi r, a że średnica d=2rd = 2r, można też napisać L=πdL = \pi d. Na egzaminie wynik zwykle zostawia się z symbolem π\pi — nie trzeba przybliżać.

Cięciwa to odcinek łączący dwa punkty okręgu. Średnica jest szczególnym przypadkiem cięciwy — i zarazem najdłuższą z możliwych. Ta obserwacja bywa całym rozwiązaniem zadania.

Gdy w figurze pojawia się półokrąg, do obwodu wchodzi połowa długości okręgu plus średnica, jeśli stanowi ona brzeg figury. Pominięcie tej średnicy to typowy błąd.

Ta sekcja celowo dotyka tylko obwodu, bo taki jest temat strony. Pole koła, liczenie promienia z obwodu i promienia z pola — czyli pozostałe trzy z czterech punktów tego działu podstawy — opisuję osobno, razem z figurami złożonymi i pierścieniem kołowym.

Przykłady krok po kroku

Cztery zadania krok po kroku. Dwa pierwsze pokazują odzyskiwanie brakującego boku, trzecie — co dzieje się z obwodem przy podziale, czwarte dotyczy okręgu.

Przykład 1 Obwód rombu z przekątnych

Przekątne rombu mają długości 10 cm i 24 cm. Oblicz obwód rombu.

  1. Przekątne nie wchodzą do wzoru na obwód — najpierw liczę bok.
  2. Połówki przekątnych: 5 cm i 12 cm. Przecinają się pod kątem prostym, więc bok jest przeciwprostokątną.
  3. Z Pitagorasa: a2=52+122=25+144=169a^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169, czyli a=13a = 13 cm.
  4. Obwód: Ob=4⋅13=52Ob = 4 \cdot 13 = 52 cm.
  5. Kontrola: bok rombu musi być krótszy od dłuższej przekątnej i dłuższy od jej połowy. 12<13<2412 < 13 < 24 ✓

Odpowiedź: Obwód rombu wynosi 52 cm.

Przykład 2 Obwód trapezu prostokątnego

Trapez prostokątny ma podstawy 10 cm i 4 cm oraz wysokość 8 cm. Oblicz jego obwód.

  1. Trzy boki znam od razu: podstawy 10 i 4 oraz krótsze ramię, które w trapezie prostokątnym jest wysokością, czyli 8 cm.
  2. Brakuje ramienia pochyłego. Prowadzę odcinek prostopadły do dłuższej podstawy — powstaje trójkąt o przyprostokątnych 8 (wysokość) i 10−4=610 - 4 = 6 (różnica podstaw).
  3. Z Pitagorasa: r2=82+62=100r^2 = 8^2 + 6^2 = 100, więc r=10r = 10 cm.
  4. Sumuję wszystkie cztery boki: Ob=10+4+8+10=32Ob = 10 + 4 + 8 + 10 = 32 cm.

Odpowiedź: Obwód trapezu wynosi 32 cm.

Przykład 3 Co się dzieje z obwodem po przecięciu

Prostokąt o wymiarach 6 cm × 4 cm przecięto na dwa równe prostokąty. O ile wzrosła suma obwodów?

  1. Obwód wyjściowego prostokąta: 2⋅(6+4)=202 \cdot (6 + 4) = 20 cm.
  2. Cięcie równoległe do krótszego boku daje dwa prostokąty 3×43 \times 4. Obwód każdego: 2⋅(3+4)=142 \cdot (3 + 4) = 14 cm.
  3. Suma obwodów obu części: 2⋅14=282 \cdot 14 = 28 cm.
  4. Wzrost: 28−20=828 - 20 = 8 cm — dokładnie dwa razy długość cięcia, bo linia cięcia stała się brzegiem dla obu kawałków.

Odpowiedź: Suma obwodów wzrosła o 8 cm.

Przykład 4 Obwód figury z półokręgiem

Figura powstała z półkola o promieniu 7 cm domkniętego średnicą. Oblicz jej obwód.

  1. Obwód całego okręgu: L=2π⋅7=14πL = 2\pi \cdot 7 = 14\pi cm.
  2. Łuk półkola to połowa: 7π7\pi cm.
  3. Ale brzeg figury domyka jeszcze średnica, czyli 2⋅7=142 \cdot 7 = 14 cm — bez niej figura nie byłaby zamknięta.
  4. Obwód: Ob=7π+14Ob = 7\pi + 14 cm.
  5. Kontrola liczbowa: 7π≈227\pi \approx 22, więc obwód to około 36 cm — więcej niż sama średnica, mniej niż cały okrąg ✓

Odpowiedź: Obwód figury wynosi 7π+147\pi + 14 cm, czyli około 36 cm.

Najczęstsze błędy

Cztery błędy, które w tym dziale kosztują najwięcej punktów. Trzy z nich dotyczą boku, którego nie było w danych.

Obwód rombu liczony z przekątnych

Skąd się bierze: Przekątne są podane, więc trafiają do rachunku — powstaje e+fe + f albo 2(e+f)2(e+f). Przekątne rombu nie są jednak jego bokami; leżą w środku figury i do brzegu nie należą.

Jak zrobić dobrze: Przekątne służą wyłącznie do policzenia boku Pitagorasem z ich połówek. Dopiero potem Ob=4aOb = 4a. Jeśli w rachunku na obwód pojawia się przekątna bez pierwiastka, coś jest nie tak.

Pominięcie ramienia pochyłego w trapezie

Skąd się bierze: Trzy boki są podane wprost, czwarty trzeba policzyć — i o nim najłatwiej zapomnieć, bo w treści go nie ma. Wynik wychodzi zaniżony o kilka centymetrów.

Jak zrobić dobrze: Przed sumowaniem policz boki na rysunku: czworokąt ma ich cztery. Jeśli w sumie masz trzy składniki, brakuje jednego boku.

Cała różnica podstaw zamiast połowy w trapezie równoramiennym

Skąd się bierze: Schemat z trapezu prostokątnego przenosi się bez zmian. W trapezie równoramiennym różnicę odcina się jednak symetrycznie z obu stron, więc przyprostokątną jest połowa tej różnicy.

Jak zrobić dobrze: Narysuj obie wysokości. Zobaczysz wtedy prostokąt w środku i dwa jednakowe trójkąty po bokach — każdy z przyprostokątną a−b2\dfrac{a-b}{2}.

Pomylenie obwodu koła z polem

Skąd się bierze: Wzory 2πr2\pi r i πr2\pi r^2 różnią się jednym elementem i oba zawierają π\pi. Podpowiedzią jest jednostka: obwód w cm, pole w cm².

Jak zrobić dobrze: Powiąż wzór z wymiarem: obwód to długość, więc promień występuje w pierwszej potędze. Pole to powierzchnia — promień w kwadracie.

Zadania z arkuszy CKE — obwody figur

Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminu ósmoklasisty (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem. W zestawie jest 1 zadanie z arkuszy egzaminu gimnazjalnego (do 2019 roku) — dokładamy je jako dodatkowe ćwiczenie tych samych umiejętności. Zakres gimnazjum był miejscami szerszy niż wymagania dla klas 7–8, dlatego każde takie zadanie jest podpisane osobno.

Kolor rozdziela dwie rzeczy, które w zadaniach o obwodach najłatwiej pomylić: zielone to odcinki, które wchodzą do obwodu, a czerwone to te, które leżą wewnątrz figury i do obwodu nie należą (linie podziału, wysokości, przekątne). Obwód to zawsze tylko brzeg — nawet jeśli figura jest posklejana z kilku części.

Sprawdź się bez zaglądania do odpowiedzi. Dostaniesz wszystkie 7 zadań zamkniętych z tego zestawu — klucz i rozwiązania schowam do czasu sprawdzenia. To komplet zadań zamkniętych z tego działu, więc kolejne podejście będzie powtórką tych samych zadań.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (maj 2025)1 pkttrudniejsze

Trapez ABCDABCD podzielono na trzy figury: kwadrat AEGDAEGD, trójkąt EFGEFG i romb FBCGFBCG. Punkty EE i FF leżą na dolnej podstawie ABAB, a GG na górnej podstawie DCDC. Podano długości boków trójkąta EFGEFG: EG=6EG = 6, EF=8EF = 8, GF=10GF = 10. Dokończ zdanie.
Obwód trapezu ABCDABCD jest równy
Trapez ABCD podzielony na kwadrat, trójkąt i rombABCDEFG6810
  • A. 56
  • B. 72
  • C. 88
  • D. 120
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

  1. Trójkąt EFGEFG „przekazuje” swoje boki obu sąsiednim figurom — to od niego zaczynamy.
  2. Kwadrat AEGDAEGD ma bok równy EG=6EG = \textcolor{#E0453A}{6}, więc AE=AD=DG=6AE = AD = DG = \textcolor{#16A06A}{6}.
  3. Romb FBCGFBCG ma bok równy GF=10GF = \textcolor{#E0453A}{10}, więc FB=BC=CG=10FB = BC = CG = \textcolor{#16A06A}{10}.
  4. Teraz składamy obwód trapezu z samych zewnętrznych odcinków:
  5. AB=AE+EF+FB=6+8+10=24AB = \textcolor{#16A06A}{AE} + \textcolor{#E0453A}{EF} + \textcolor{#16A06A}{FB} = \textcolor{#16A06A}{6} + \textcolor{#E0453A}{8} + \textcolor{#16A06A}{10} = \textcolor{#16A06A}{24}
  6. DC=DG+GC=6+10=16DC = \textcolor{#16A06A}{DG} + \textcolor{#16A06A}{GC} = \textcolor{#16A06A}{6} + \textcolor{#16A06A}{10} = \textcolor{#16A06A}{16},   AD=6AD = \textcolor{#16A06A}{6},   BC=10BC = \textcolor{#16A06A}{10}
  7. Obwód: 24+16+6+10=56\textcolor{#16A06A}{24} + \textcolor{#16A06A}{16} + \textcolor{#16A06A}{6} + \textcolor{#16A06A}{10} = 56 — odpowiedź A.

💡 Wskazówka: Odcinki EGEG i GFGF leżą wewnątrz trapezu, więc do obwodu nie wchodzą — ale to właśnie one podają wymiary kwadratu i rombu. Rozdziel te dwie role.

⚠ Najczęstszy błąd: dodanie do obwodu boków trójkąta EFGEFG (czyli 6 i 10 dodatkowo). Linie podziału figury nigdy nie należą do jej brzegu.

Zadanie 2 (maj 2025)1 pktśrednie

Obwód pewnego pięciokąta wyraża się wzorem   L=2a+2b+c\;L = 2a + 2b + c. Dokończ zdanie.
Wielkość aa wyznaczoną poprawnie z podanego wzoru opisuje równanie
  • A. a=L−2b−c2a = \dfrac{L - 2b - c}{2}
  • B. a=L−2b+c2a = \dfrac{L - 2b + c}{2}
  • C. a=L+2b−ca = L + 2b - c
  • D. a=L−2b−ca = L - 2b - c
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

  1. Chcemy zostawić a\textcolor{#16A06A}{a} samo po jednej stronie. Przeszkadzają mu dwie rzeczy: dodane 2b+c\textcolor{#E0453A}{2b + c} oraz mnożnik 2\textcolor{#E0453A}{2}.
  2. Krok 1 — cofamy dodawanie. Odejmujemy 2b\textcolor{#E0453A}{2b} i c\textcolor{#E0453A}{c} od obu stron:
  3. L−2b−c=2aL - \textcolor{#E0453A}{2b} - \textcolor{#E0453A}{c} = 2\textcolor{#16A06A}{a}.
  4. Krok 2 — cofamy mnożenie. Dzielimy obie strony przez 2\textcolor{#E0453A}{2}:
  5. a=L−2b−c2\textcolor{#16A06A}{a} = \dfrac{L - \textcolor{#E0453A}{2b} - \textcolor{#E0453A}{c}}{\textcolor{#E0453A}{2}} — odpowiedź A.

💡 Wskazówka: Kolejność jest zawsze odwrotna niż przy liczeniu: najpierw cofnij dodawanie, potem mnożenie. I pamiętaj, że dzielisz całą stronę, więc kreska ułamkowa obejmuje wszystko.

⚠ Najczęstszy błąd: pominięcie dzielenia przez 2 (odpowiedź D) albo podzielenie tylko litery LL. Dwójka stoi przy aa, więc trzeba się jej pozbyć — dzieląc całą drugą stronę.

Zadanie 3 (grudzień 2024)1 pktśrednie

Dany jest okrąg OO, którego średnica ma długość 20 cm. Odcinek ABAB ma długość 12 cm i jest cięciwą tego okręgu. Punkty AA i BB połączono z punktem SS — środkiem okręgu. Oceń prawdziwość podanych zdań.
Okrąg o średnicy 20 cm z cięciwą AB20 cmSAB12 cm
Obwód trójkąta ASBASB jest równy 36 cm.PF
Długość okręgu OO jest równa 20π20\pi cm.PF
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: F, P

  1. Ze średnicy 20 cm wynika promień: r=10\textcolor{#16A06A}{r} = 10 cm.
  2. Zdanie 1. Odcinki SASA i SBSB łączą środek z punktami okręgu, więc oba są promieniami: SA=SB=10SA = SB = \textcolor{#16A06A}{10} cm.
  3. Obwód trójkąta: 10+10+12=32\textcolor{#16A06A}{10} + \textcolor{#16A06A}{10} + \textcolor{#E0453A}{12} = 32 cm — a nie 36 cm — fałsz.
  4. Zdanie 2. Długość okręgu liczymy ze wzoru L=2πrL = 2\pi \textcolor{#16A06A}{r} albo L=πdL = \pi d:
  5. L=π⋅20=20πL = \pi \cdot 20 = 20\pi cm ✓ — prawda.
  6. Odpowiedzi: F, P.

💡 Wskazówka: Trójkąt zbudowany na dwóch promieniach jest zawsze równoramienny — to bardzo częsty motyw w zadaniach o okręgach.

⚠ Najczęstszy błąd w zdaniu 1: użycie średnicy (20) zamiast promienia (10) jako boku trójkąta. Wychodzi wtedy właśnie kuszące 20+20+12=5220 + 20 + 12 = 52 albo pomyłkowo 36.

Zadanie 4 (maj 2023)1 pkttrudniejsze

W prostokącie ABCDABCD punkty EE i FF są środkami boków BCBC i CDCD. Długość odcinka ECEC jest równa 6 cm, a długość odcinka EFEF jest równa 10 cm. Obwód prostokąta ABCDABCD jest równy
Prostokąt ABCD z punktami E i F — środkami bokówABCDEF6 cm10 cm
  • A. 64 cm
  • B. 56 cm
  • C. 40 cm
  • D. 28 cm
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

  1. Krok 1 — bok BCBC. Punkt EE jest środkiem BCBC, a EC=6EC = \textcolor{#E0453A}{6} cm to połowa tego boku.
  2. BC=2⋅6=12BC = 2 \cdot \textcolor{#E0453A}{6} = \textcolor{#16A06A}{12} cm.
  3. Krok 2 — odcinek FCFC. Trójkąt FCEFCE jest prostokątny (kąt prosty przy narożniku CC), a EF=10EF = 10 cm to jego przeciwprostokątna.
  4. FC=102−62=100−36=64=8FC = \sqrt{10^2 - \textcolor{#E0453A}{6}^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = \textcolor{#E0453A}{8} cm.
  5. Krok 3 — bok CDCD. Punkt FF jest środkiem CDCD, więc CD=2⋅8=16CD = 2 \cdot \textcolor{#E0453A}{8} = \textcolor{#16A06A}{16} cm.
  6. Krok 4 — obwód. 2⋅(12+16)=2⋅28=562 \cdot (\textcolor{#16A06A}{12} + \textcolor{#16A06A}{16}) = 2 \cdot 28 = 56 cm — odpowiedź B.

💡 Wskazówka: Znów pojawia się trójka 6–8–10 (czyli 3–4–5 podwojone). Warto ją rozpoznawać od razu, zamiast liczyć pierwiastek.

⚠ Najczęstszy błąd: pominięcie podwojenia połówek i policzenie obwodu z boków 6 i 8 (wychodzi 28 cm — kusząca odpowiedź D). Punkty EE i FF są środkami, więc każdy odcinek to połowa boku.

Zadanie 5 (czerwiec 2022)1 pkttrudniejsze

W pewnym rombie jeden z kątów wewnętrznych ma miarę 120°120°. Obwód tego rombu jest równy 24 cm. Dokończ zdanie.
Dłuższa przekątna tego rombu ma długość
Romb o boku 6 cm i kącie 120°120°ABCD
  • A. 333\sqrt{3} cm
  • B. 6 cm
  • C. 636\sqrt{3} cm
  • D. 12 cm
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

  1. Krok 1 — bok rombu. Romb ma cztery równe boki, więc bok =24:4=6= 24 : 4 = \textcolor{#16A06A}{6} cm.
  2. Krok 2 — który to trójkąt? Dłuższa przekątna łączy wierzchołki kątów ostrych, czyli odcina trójkąt zawierający kąt 120°\textcolor{#E0453A}{120°}.
  3. Ten trójkąt jest równoramienny (dwa boki rombu po 6\textcolor{#16A06A}{6} cm) z kątem 120°\textcolor{#E0453A}{120°} między nimi.
  4. Krok 3 — długość przekątnej. Wysokość opuszczona z wierzchołka kąta 120°\textcolor{#E0453A}{120°} dzieli trójkąt na dwie połówki o kątach 30°30°, 60°60°, 90°90°.
  5. W takim trójkącie przy przeciwprostokątnej 6\textcolor{#16A06A}{6} cm bok naprzeciw kąta 60°60° ma 632=33\dfrac{\textcolor{#16A06A}{6}\sqrt3}{2} = 3\sqrt3 cm — to połowa przekątnej.
  6. Cała dłuższa przekątna: 2⋅33=632 \cdot 3\sqrt3 = 6\sqrt3 cm — odpowiedź C.

💡 Wskazówka: Kontrola sensowności: 63≈10,46\sqrt3 \approx 10{,}4 cm. Przekątna rombu o boku 6 musi być krótsza od 12 cm (sumy dwóch boków) i to się zgadza. Odpowiedź D (12 cm) jest więc niemożliwa.

⚠ Najczęstszy błąd: pomylenie przekątnych. Krótsza przekątna leży naprzeciw kąta 120°\textcolor{#E0453A}{120°}… nie — naprzeciw kąta ostrego 60°60°, i wynosi wtedy dokładnie 6 cm (trójkąt równoboczny). Stąd kusząca odpowiedź B.

Zadanie 6 (czerwiec 2021)1 pkttrudniejsze

W trójkącie ABCABC o obwodzie 34 cm poprowadzono odcinek DEDE (punkt DD leży na boku ACAC, a punkt EE na boku ABAB), dzielący go na trójkąt AEDAED i czworokąt EBCDEBCD. Obwód trójkąta AEDAED jest równy 16 cm, a obwód czworokąta EBCDEBCD — 30 cm. Dokończ zdanie.
Długość odcinka DEDE jest równa
Trójkąt ABC z odcinkiem DEABCDE
  • A. 4 cm
  • B. 6 cm
  • C. 7 cm
  • D. 12 cm
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

  1. Kluczowa obserwacja: odcinek DE\textcolor{#E0453A}{DE} należy do obwodu obu figur, więc w sumie ich obwodów jest policzony dwa razy.
  2. Sumujemy oba obwody: 16+30=4616 + 30 = \textcolor{#16A06A}{46} cm.
  3. Co składa się na tę sumę? Wszystkie boki trójkąta ABCABC (czyli jego obwód 34\textcolor{#16A06A}{34} cm) oraz odcinek DE\textcolor{#E0453A}{DE} liczony dwukrotnie:
  4. 46=34+2⋅DE\textcolor{#16A06A}{46} = \textcolor{#16A06A}{34} + 2 \cdot \textcolor{#E0453A}{DE}
  5. 2⋅DE=122 \cdot \textcolor{#E0453A}{DE} = \textcolor{#16A06A}{12}, więc DE=6\textcolor{#E0453A}{DE} = 6 cm.
  6. Odpowiedź B.

💡 Wskazówka: Ta sztuczka działa zawsze, gdy figurę dzielimy jednym odcinkiem: suma obwodów części = obwód całości + 2 × długość cięcia. Warto ją zapamiętać.

⚠ Najczęstszy błąd: policzenie 46−34=1246 - 34 = 12 i podanie tej liczby (kusząca odpowiedź D). To podwojona długość odcinka — trzeba jeszcze podzielić przez 2.

Zadanie 7 (kwiecień 2020)1 pkttrudniejsze

Dany jest trójkąt równoboczny ABCABC o boku długości 10 cm. W tym trójkącie poprowadzono wysokość CDCD (punkt DD leży na boku ABAB). Dokończ zdanie.
Obwód trójkąta ADCADC jest równy
Trójkąt równoboczny ABC z wysokością CD10 cmABCD
  • A. 10310\sqrt{3} cm
  • B. 20320\sqrt{3} cm
  • C. (5+53)(5 + 5\sqrt{3}) cm
  • D. (15+53)(15 + 5\sqrt{3}) cm
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

  1. Trójkąt ADCADC ma trzy boki — wyznaczamy każdy z osobna.
  2. Bok ACAC to bok trójkąta równobocznego: 10\textcolor{#16A06A}{10} cm.
  3. Bok ADAD — wysokość w trójkącie równobocznym pada w środek podstawy, więc AD=10:2=5AD = \textcolor{#16A06A}{10} : 2 = \textcolor{#16A06A}{5} cm.
  4. Bok CDCD to wysokość: h=1032=53\textcolor{#E0453A}{h} = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{10}\sqrt3}{2} = \textcolor{#E0453A}{5\sqrt3} cm.
  5. Obwód: 10+5+53=(15+53)\textcolor{#16A06A}{10} + \textcolor{#16A06A}{5} + \textcolor{#E0453A}{5\sqrt3} = (15 + 5\sqrt3) cm — odpowiedź D.

💡 Wskazówka: Wyrazów z pierwiastkiem nie łączymy z liczbami całkowitymi — 15 i 535\sqrt3 zostają osobno. To dwa różne „rodzaje” liczb, jak jabłka i gruszki.

⚠ Najczęstszy błąd: pominięcie boku ACAC i podanie (5+53)(5 + 5\sqrt3) cm (kusząca odpowiedź C). Trójkąt ADCADC ma trzy boki — łatwo zapomnieć o tym, który jest bokiem oryginalnego trójkąta.

Zadanie 8 (marzec 2020)1 pktśrednie

W okręgu o środku SS i promieniu 5 cm narysowano cięciwę ABAB o długości 8 cm. Oceń prawdziwość podanych zdań.
Okrąg o promieniu 5 cm z cięciwą ABSAB8 cm5 cm
Odległość punktu SS od cięciwy ABAB jest równa 3 cm.PF
Obwód trójkąta ASBASB jest równy 16 cm.PF
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P, F

  1. Zdanie 1. Odległość środka od cięciwy to długość odcinka prostopadłego do niej. Taki odcinek dzieli cięciwę na połowy.
  2. Powstaje trójkąt prostokątny: przeciwprostokątna to promień 5\textcolor{#E0453A}{5} cm, jedna przyprostokątna to połowa cięciwy 4\textcolor{#16A06A}{4} cm.
  3. Odległość: 52−42=25−16=9=3\sqrt{\textcolor{#E0453A}{5}^2 - \textcolor{#16A06A}{4}^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3 cm ✓ — prawda.
  4. Zdanie 2. Trójkąt ASBASB ma boki: dwa promienie po 5\textcolor{#E0453A}{5} cm i cięciwę 8\textcolor{#16A06A}{8} cm.
  5. Obwód: 5+5+8=18\textcolor{#E0453A}{5} + \textcolor{#E0453A}{5} + \textcolor{#16A06A}{8} = 18 cm — a nie 16 cm — fałsz.
  6. Odpowiedzi: P, F.

💡 Wskazówka: Odcinek poprowadzony ze środka okręgu prostopadle do cięciwy zawsze przecina ją dokładnie w połowie. To najważniejsza własność cięciwy w tym dziale.

⚠ Najczęstszy błąd w zdaniu 1: użycie całej cięciwy (8 cm) zamiast jej połowy (4 cm) — pod pierwiastkiem wychodzi wtedy liczba ujemna, co powinno od razu zwrócić uwagę.

Zadanie 9 (czerwiec 2019)1 pkttrudniejsze

W trójkącie ABCABC, w którym ∣AC∣=∣BC∣|AC| = |BC|, poprowadzono wysokość CDCD na podstawę ABAB. Obwód trójkąta ACDACD jest równy 24 cm, a obwód trójkąta ABCABC jest równy 36 cm. Oceń prawdziwość podanych zdań.
Trójkąt równoramienny ABC z wysokością CDABCD
Obwód trójkąta BCDBCD jest równy 18 cm.PF
Wysokość CDCD ma długość 6 cm.PF
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: F, P

  1. Trójkąt jest równoramienny, więc wysokość CDCD pada w środek podstawy — trójkąty ACDACD i BCDBCD są przystające.
  2. Zdanie 1. Skoro są przystające, mają identyczne obwody: PBCD=PACD=24P_{BCD} = P_{ACD} = 24 cm, a nie 18 cm — fałsz.
  3. Zdanie 2. Oznaczmy: ramię AC=BC=bAC = BC = \textcolor{#16A06A}{b}, podstawa AB=aAB = \textcolor{#16A06A}{a}, wysokość CD=hCD = \textcolor{#E0453A}{h}.
  4. Obwód całego trójkąta: 2b+a=362\textcolor{#16A06A}{b} + \textcolor{#16A06A}{a} = 36.
  5. Obwód ACDACD (boki: ramię, wysokość, połowa podstawy): b+h+a2=24\textcolor{#16A06A}{b} + \textcolor{#E0453A}{h} + \tfrac{\textcolor{#16A06A}{a}}{2} = 24.
  6. Mnożymy drugie równanie przez 2: 2b+2h+a=482\textcolor{#16A06A}{b} + 2\textcolor{#E0453A}{h} + \textcolor{#16A06A}{a} = 48.
  7. Odejmujemy od niego pierwsze: 2h=48−36=122\textcolor{#E0453A}{h} = 48 - 36 = 12, czyli h=6\textcolor{#E0453A}{h} = 6 cm ✓ — prawda.
  8. Odpowiedzi: F, P.

💡 Wskazówka: Zauważ, że pierwsze zdanie da się rozstrzygnąć bez żadnych rachunków — wystarczy dostrzec przystawanie obu połówek. Warto zawsze szukać takich skrótów.

⚠ Najczęstszy błąd w zdaniu 1: przyjęcie, że skoro obwód całości to 36, a jednej połówki 24, to druga ma 36−24=1236 - 24 = 12. Obwody połówek nie sumują się do obwodu całości — wysokość liczy się dwa razy.

Zadanie 10 (grudzień 2017)1 pktśrednie

Prosta EFEF dzieli prostokąt ABCDABCD na kwadrat EFCDEFCD o obwodzie 32 cm oraz prostokąt ABFEABFE, którego obwód jest o 6 cm mniejszy od obwodu kwadratu. Dokończ zdanie.
Długość odcinka AEAE jest równa
Prostokąt ABCD podzielony na kwadrat EFCD i prostokąt ABFEABCDEFkwadrat EFCDprostokąt ABFE
  • A. 2 cm
  • B. 4 cm
  • C. 5 cm
  • D. 8 cm
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

  1. Krok 1 — bok kwadratu. Obwód kwadratu to 32 cm, więc jego bok: 32:4=832 : 4 = \textcolor{#16A06A}{8} cm.
  2. To zarazem szerokość całego prostokąta ABCDABCD, a więc również szerokość prostokąta ABFEABFE: EF=8EF = \textcolor{#16A06A}{8} cm.
  3. Krok 2 — obwód mniejszego prostokąta. Jest o 6 cm mniejszy: 32−6=2632 - 6 = \textcolor{#E0453A}{26} cm.
  4. Krok 3 — szukany odcinek. Prostokąt ABFEABFE ma boki 8\textcolor{#16A06A}{8} cm i AEAE:
  5. 2⋅(8+AE)=262 \cdot (\textcolor{#16A06A}{8} + AE) = \textcolor{#E0453A}{26}, czyli 8+AE=13\textcolor{#16A06A}{8} + AE = 13, więc AE=5AE = 5 cm.
  6. Odpowiedź C.

💡 Wskazówka: Obie części mają wspólny bok EFEF — to on przenosi informację z kwadratu na prostokąt. W zadaniach o podziale figury zawsze szukaj tego wspólnego odcinka.

⚠ Najczęstszy błąd: potraktowanie różnicy 6 cm jako różnicy boków, a nie obwodów. Wtedy AEAE wyszłoby 8−6=28 - 6 = 2 cm — kusząca odpowiedź A.

Zadanie 11 (kwiecień 2014, egzamin gimnazjalny)1 pktśrednie

Na rysunku przedstawiono prostokąt, którego wymiary opisano wyrażeniami: górny bok xx, dolny bok 16−x16 - x, lewy bok yy, prawy bok 2y−22y - 2. Oceń prawdziwość podanych zdań.
Prostokąt z bokami opisanymi wyrażeniami algebraicznymix16 − xy2y − 2
Jeden z boków prostokąta ma długość 8.PF
Obwód prostokąta jest równy 20.PF
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P, P

  1. Kluczowa własność: w prostokącie boki przeciwległe są równe. Stąd dwa równania.
  2. Boki poziome: x=16−x\textcolor{#16A06A}{x} = 16 - \textcolor{#16A06A}{x}, czyli 2x=162\textcolor{#16A06A}{x} = 16, więc x=8\textcolor{#16A06A}{x} = 8.
  3. Boki pionowe: y=2y−2\textcolor{#E0453A}{y} = 2\textcolor{#E0453A}{y} - 2, czyli 2=y2 = \textcolor{#E0453A}{y}, więc y=2\textcolor{#E0453A}{y} = 2.
  4. Zdanie 1. Boki prostokąta to 8\textcolor{#16A06A}{8} i 2\textcolor{#E0453A}{2} — jeden z nich rzeczywiście ma długość 8 ✓ — prawda.
  5. Zdanie 2. Obwód: 2⋅(8+2)=202 \cdot (\textcolor{#16A06A}{8} + \textcolor{#E0453A}{2}) = 20 ✓ — prawda.
  6. Odpowiedzi: P, P. (Sprawdzenie: 16−8=816 - 8 = 8 ✓ oraz 2⋅2−2=22 \cdot 2 - 2 = 2 ✓)

💡 Wskazówka: Gdy wymiary figury opisano wyrażeniami, pierwszym krokiem jest zawsze przyrównanie boków, które muszą być równe. Dopiero potem cokolwiek liczysz.

⚠ Najczęstszy błąd: próba obliczenia obwodu jako x+(16−x)+y+(2y−2)x + (16-x) + y + (2y-2) bez wyznaczenia xx i yy. Wyrażenie się uprości, ale wynik będzie zależał od yy — a przecież prostokąt jest jeden konkretny.

Zadania otwarte

Zadanie 12 (maj 2026)3 pkttrudniejsze

Z kartonu wycięto prostokąt ABCDABCD o wymiarach 3 i 9. Następnie rozcięto go na dwie figury: trapez prostokątny oraz trójkąt prostokątny równoramienny (cięcie poprowadzono pod kątem 45°45° od jednego z narożników). Z tych figur złożono równoległobok KLMNKLMN, który nie jest prostokątem. Oblicz obwód równoległoboku KLMNKLMN.
Prostokąt 3 × 9 rozcięty na trapez i trójkąt prostokątny równoramienny93
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 18 + 6√2

  1. Krok 1 — jaki jest odcięty trójkąt? Jest prostokątny i równoramienny, a jego przyprostokątne muszą zmieścić się w prostokącie o szerokości 3.
  2. Obie przyprostokątne mają więc po 3\textcolor{#16A06A}{3}, a przeciwprostokątna: 32\textcolor{#E0453A}{3\sqrt2}.
  3. Krok 2 — co zostaje. Trapez prostokątny ma podstawy 9 i 9−3=69 - \textcolor{#16A06A}{3} = 6, wysokość 3\textcolor{#16A06A}{3} i ramię ukośne 32\textcolor{#E0453A}{3\sqrt2}.
  4. Krok 3 — składamy równoległobok. Trójkąt przesuwamy na drugi koniec trapezu, dostawiając go pionowym bokiem.
  5. Powstaje równoległobok o podstawie 6+3=96 + \textcolor{#16A06A}{3} = \textcolor{#16A06A}{9} i boku ukośnym 32\textcolor{#E0453A}{3\sqrt2}.
  6. Krok 4 — obwód. 2⋅(9+32)=18+622 \cdot (\textcolor{#16A06A}{9} + \textcolor{#E0453A}{3\sqrt2}) = 18 + 6\sqrt2.
  7. Odpowiedź: obwód równoległoboku wynosi 18+6218 + 6\sqrt2.

💡 Wskazówka: Przy przekładaniu kawałków figury pole się nie zmienia, ale obwód zwykle tak — bo inne odcinki trafiają na brzeg. Tutaj dwa boki po 3 zniknęły do środka, a pojawiły się dwa po 323\sqrt2.

⚠ Najczęstszy błąd: przyjęcie, że skoro figury są te same, to obwód równoległoboku równa się obwodowi prostokąta (24). Ukośne boki są dłuższe od pionowych, więc obwód rośnie.

Zadanie 13 (styczeń 2026)3 pkttrudniejsze

Dany jest czworokąt ABCDABCD. Przekątna BDBD o długości 18\sqrt{18} dzieli go na dwa trójkąty prostokątne równoramienne: trójkąt ABDABD z kątem prostym przy wierzchołku AA oraz trójkąt BCDBCD z kątem prostym przy wierzchołku DD. Oblicz obwód czworokąta ABCDABCD. Zapisz obliczenia.
Czworokąt ABCD z przekątną BD√18ABCD
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 12 + 3√2

  1. W trójkącie prostokątnym równoramiennym przeciwprostokątna jest 2\sqrt2 razy dłuższa od przyprostokątnej.
  2. Trójkąt ABDABD — kąt prosty przy AA, więc przeciwprostokątną jest przekątna BD=18BD = \textcolor{#E0453A}{\sqrt{18}}.
  3. Przyprostokątne: AB=AD=182=182=9=3AB = AD = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{\sqrt{18}}}{\sqrt2} = \sqrt{\dfrac{18}{2}} = \sqrt9 = \textcolor{#16A06A}{3}.
  4. Trójkąt BCDBCD — kąt prosty przy DD, więc tym razem BDBD jest przyprostokątną, a nie przeciwprostokątną.
  5. Skoro trójkąt jest równoramienny: DC=DB=18=32DC = DB = \textcolor{#E0453A}{\sqrt{18}} = \textcolor{#E0453A}{3\sqrt2}, a przeciwprostokątna BC=18⋅2=6BC = \textcolor{#E0453A}{\sqrt{18}} \cdot \sqrt2 = \textcolor{#16A06A}{6}.
  6. Obwód czworokąta (przekątna do niego nie wchodzi!):
  7. AB+AD+DC+CB=3+3+32+6=12+32AB + AD + DC + CB = \textcolor{#16A06A}{3} + \textcolor{#16A06A}{3} + \textcolor{#E0453A}{3\sqrt2} + \textcolor{#16A06A}{6} = 12 + 3\sqrt2.
  8. Odpowiedź: obwód czworokąta ABCDABCD wynosi 12+3212 + 3\sqrt2.

💡 Wskazówka: Zwróć uwagę na sedno tego zadania: ta sama przekątna BDBD jest przeciwprostokątną w jednym trójkącie i przyprostokątną w drugim. Decyduje o tym położenie kąta prostego.

⚠ Najczęstszy błąd: doliczenie przekątnej BDBD do obwodu. Przekątna leży wewnątrz czworokąta — to linia podziału, a nie brzeg.

Zadanie 14 (maj 2022)3 pktśrednie

Dany jest romb ABCDABCD. Obwód tego rombu jest równy 52 cm, a przekątna ACAC ma długość 24 cm. Oblicz długość przekątnej BDBD rombu ABCDABCD. Zapisz obliczenia.
Romb ABCD z przekątnymi24 cmABCD
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 10 cm

  1. Krok 1 — bok rombu. 52:4=1352 : 4 = \textcolor{#16A06A}{13} cm.
  2. Krok 2 — połowa znanej przekątnej. Przekątne rombu przecinają się pod kątem prostym i dzielą na połowy, więc połowa ACAC to 24:2=1224 : 2 = \textcolor{#E0453A}{12} cm.
  3. Krok 3 — połowa szukanej przekątnej. Powstaje trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej 13\textcolor{#16A06A}{13} cm (bok rombu) i przyprostokątnej 12\textcolor{#E0453A}{12} cm:
  4. 132−122=169−144=25=5\sqrt{\textcolor{#16A06A}{13}^2 - \textcolor{#E0453A}{12}^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = \textcolor{#E0453A}{5} cm.
  5. Krok 4 — cała przekątna. BD=2⋅5=10BD = 2 \cdot \textcolor{#E0453A}{5} = 10 cm.
  6. Odpowiedź: przekątna BDBD ma długość 10 cm.

💡 Wskazówka: Znów trójka 5–12–13. W zadaniach o rombach pojawia się bardzo często, bo daje ładne, całkowite długości.

⚠ Najczęstszy błąd: zatrzymanie się na 5 cm i podanie tej liczby jako odpowiedzi. Pitagoras daje połowę przekątnej — trzeba jeszcze podwoić.

Zadanie 15 (marzec 2021)3 pkttrudniejsze

Kwadrat ABCDABCD o polu 400 cm² podzielono na trzy części: kwadrat K1K_1 o polu 49 cm² (w prawym górnym rogu), kwadrat K2K_2 (w prawym dolnym rogu) oraz figurę FF zajmującą resztę — lewą część na pełną wysokość wraz z paskiem u góry. Oblicz obwód figury FF. Zapisz obliczenia.
Kwadrat podzielony na kwadraty K₁, K₂ i figurę FK₁K₂F
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 66 cm

  1. Krok 1 — bok dużego kwadratu. 400=20\sqrt{400} = \textcolor{#16A06A}{20} cm.
  2. Krok 2 — bok K1K_1. 49=7\sqrt{49} = \textcolor{#E0453A}{7} cm.
  3. Krok 3 — bok K2K_2. Kwadraty K1K_1 i K2K_2 stoją jeden nad drugim przy prawej krawędzi, a razem sięgają od dołu do góry:
  4. bok K2=20−7=13K_2 = \textcolor{#16A06A}{20} - \textcolor{#E0453A}{7} = \textcolor{#E0453A}{13} cm.
  5. Krok 4 — obwód figury FF. Obchodzimy ją dookoła, zaczynając od lewego dolnego rogu kwadratu:
  6. w prawo po dole: 20−13=7\textcolor{#16A06A}{20} - \textcolor{#E0453A}{13} = 7 cm  →  w górę wzdłuż K2K_2: 13\textcolor{#E0453A}{13} cm  →  w prawo pod K1K_1: 13−7=6\textcolor{#E0453A}{13} - \textcolor{#E0453A}{7} = 6 cm
  7. → w górę wzdłuż K1K_1: 7\textcolor{#E0453A}{7} cm  →  w lewo po górze: 20−7=13\textcolor{#16A06A}{20} - \textcolor{#E0453A}{7} = 13 cm  →  w dół lewą krawędzią: 20\textcolor{#16A06A}{20} cm
  8. Sumujemy: 7+13+6+7+13+20=667 + \textcolor{#E0453A}{13} + 6 + \textcolor{#E0453A}{7} + 13 + \textcolor{#16A06A}{20} = 66 cm.
  9. Odpowiedź: obwód figury FF wynosi 66 cm.

💡 Wskazówka: Obwód figury schodkowej licz, obchodząc ją dookoła i zapisując po kolei każdy odcinek. Zapisywanie ich w kolejności chroni przed pominięciem któregoś.

⚠ Najczęstszy błąd: policzenie obwodu jako „obwód dużego kwadratu minus obwody kwadracików”. Obwody nie odejmują się w ten sposób — część odcinków wewnętrznych staje się przecież brzegiem figury FF.

Zadanie 16 (czerwiec 2019)3 pkttrudniejsze

Duży prostokąt podzielono na osiem małych przystających prostokątów. W lewej połowie stoją trzy takie prostokąty ustawione pionowo, a pod nimi jeden ułożony poziomo; w prawej połowie jest jeden poziomy u góry, a pod nim trzy pionowe. Wysokość dużego prostokąta wynosi 8,4. Oblicz obwód dużego prostokąta. Zapisz obliczenia.
Prostokąt podzielony na osiem przystających prostokątów
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 42

  1. Oznaczmy wymiary małego prostokąta: a\textcolor{#16A06A}{a} (krótszy bok) i b\textcolor{#E0453A}{b} (dłuższy).
  2. Warunek pierwszy — szerokość połowy. Trzy pionowe prostokąty stoją obok siebie, więc zajmują 3a3\textcolor{#16A06A}{a}. Leżący pod nimi poziomy prostokąt ma tę samą szerokość, czyli b\textcolor{#E0453A}{b}.
  3. Stąd b=3a\textcolor{#E0453A}{b} = 3\textcolor{#16A06A}{a}.
  4. Warunek drugi — wysokość. Wysokość dużego prostokąta to wysokość pionowego prostokąta plus wysokość poziomego: b+a=8,4\textcolor{#E0453A}{b} + \textcolor{#16A06A}{a} = 8{,}4.
  5. Podstawiamy: 3a+a=8,43\textcolor{#16A06A}{a} + \textcolor{#16A06A}{a} = 8{,}4, czyli 4a=8,44\textcolor{#16A06A}{a} = 8{,}4, więc a=2,1\textcolor{#16A06A}{a} = 2{,}1 i b=6,3\textcolor{#E0453A}{b} = 6{,}3.
  6. Wymiary dużego prostokąta. Szerokość: dwie połowy po 3a3\textcolor{#16A06A}{a}, czyli 2⋅6,3=12,62 \cdot \textcolor{#E0453A}{6{,}3} = 12{,}6. Wysokość: 8,4.
  7. Obwód: 2⋅(12,6+8,4)=2⋅21=422 \cdot (12{,}6 + 8{,}4) = 2 \cdot 21 = 42.
  8. Odpowiedź: obwód dużego prostokąta wynosi 42.

💡 Wskazówka: W zadaniach z układanki z przystających prostokątów zawsze szukaj miejsca, gdzie kilka krótszych boków równa się jednemu dłuższemu. To daje pierwsze równanie.

⚠ Najczęstszy błąd: przyjęcie, że wysokość 8,4 to długość jednego małego prostokąta. To wysokość całego dużego prostokąta, złożona z dwóch różnych wymiarów.

Zadanie 17 (kwiecień 2019)3 pkttrudniejsze

Paweł wyciął z kartonu trójkąt prostokątny ABCABC o przyprostokątnych 12 cm (ABAB) i 16 cm (ACAC). Połączył środki dłuższej przyprostokątnej i przeciwprostokątnej linią równoległą do krótszej przyprostokątnej, a potem rozciął trójkąt wzdłuż tej linii na dwie figury. Z tych figur złożył trapez PRSTPRST. Oblicz różnicę obwodów trójkąta ABCABC i trapezu PRSTPRST. Zapisz obliczenia.
Trójkąt prostokątny rozcięty odcinkiem równoległym do przyprostokątnej12 cm16 cmABC
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 4 cm

  1. Krok 1 — przeciwprostokątna trójkąta. BC=122+162=144+256=400=20BC = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = \textcolor{#16A06A}{20} cm.
  2. Obwód trójkąta ABCABC: 12+16+20=4812 + 16 + \textcolor{#16A06A}{20} = \textcolor{#16A06A}{48} cm.
  3. Krok 2 — co powstaje po cięciu. Linia łączy środki dwóch boków, więc odcina mniejszy trójkąt podobny w skali 12\tfrac12: jego boki to 6\textcolor{#E0453A}{6}, 8\textcolor{#E0453A}{8} i 10\textcolor{#E0453A}{10} cm.
  4. Druga figura to trapez prostokątny o bokach: 12, 8\textcolor{#E0453A}{8}, 6\textcolor{#E0453A}{6} i 10\textcolor{#E0453A}{10} cm (obwód 36 cm).
  5. Krok 3 — sklejenie. Składając obie części w trapez PRSTPRST, łączymy je wzdłuż boku o długości 8\textcolor{#E0453A}{8} cm — ten bok znika z obwodu po obu stronach.
  6. Obwód trapezu: 36+(6+8+10)−2⋅8=36+24−16=4436 + (\textcolor{#E0453A}{6} + \textcolor{#E0453A}{8} + \textcolor{#E0453A}{10}) - 2 \cdot \textcolor{#E0453A}{8} = 36 + 24 - 16 = \textcolor{#16A06A}{44} cm.
  7. Krok 4 — różnica. 48−44=4\textcolor{#16A06A}{48} - \textcolor{#16A06A}{44} = 4 cm.
  8. Odpowiedź: obwód trójkąta jest o 4 cm większy od obwodu trapezu.

💡 Wskazówka: Przy sklejaniu dwóch figur wzdłuż wspólnego boku obwód maleje o dwie jego długości — bo znika z brzegu i jednej, i drugiej części.

⚠ Najczęstszy błąd: odjęcie długości sklejenia tylko raz. Warto sobie wyobrazić, że oba kawałki miały ten bok „na zewnątrz”, a po złączeniu oba go tracą.

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. A2. A3. F, P4. B5. C6. B
7. D8. P, F9. F, P10. C11. P, P12. 18 + 6√2
13. 12 + 3√214. 10 cm15. 66 cm16. 4217. 4 cm

Treści zadań pochodzą z arkuszy egzaminu ósmoklasisty oraz z arkuszy egzaminu gimnazjalnego (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów liczę i zapisuję sam — Mateusz Będkowski.

Pytania i odpowiedzi

Jak obliczyć obwód prostokąta?

Ob=2(a+b)Ob = 2(a + b), czyli suma wszystkich czterech boków. Dla kwadratu upraszcza się to do 4a4a, bo wszystkie boki są równe.

Jak policzyć obwód rombu, znając przekątne?

Najpierw bok: przekątne przecinają się pod kątem prostym i połowią, więc a=(e2)2+(f2)2a = \sqrt{\left(\tfrac{e}{2}\right)^2 + \left(\tfrac{f}{2}\right)^2}. Dopiero potem Ob=4aOb = 4a. Same przekątne do obwodu nie wchodzą.

Jak znaleźć brakujący bok trapezu?

Poprowadź odcinek prostopadły do dłuższej podstawy. Powstaje trójkąt prostokątny, w którym przyprostokątnymi są wysokość i różnica podstaw (w trapezie równoramiennym — połowa tej różnicy), a przeciwprostokątną szukane ramię.

Czy po przecięciu figury obwód się zmienia?

Suma obwodów części jest większa od obwodu figury wyjściowej — o dwukrotność długości cięcia. Pole natomiast się nie zmienia, tylko rozdziela między części.

Jaki jest wzór na obwód koła?

Obwód koła liczymy ze wzoru L=2πrL = 2\pi r, gdzie rr to promień. Ponieważ średnica jest dwa razy dłuższa od promienia, ten sam wzór można zapisać jako L=πdL = \pi d — wygodniej, gdy w zadaniu podano średnicę. Na egzaminie wynik zwykle zostawia się z symbolem π\pi, bez przybliżania go do 3,14; przybliżenie robimy tylko wtedy, gdy zadanie wprost o to prosi.

Czym różni się cięciwa od średnicy?

Cięciwa to dowolny odcinek łączący dwa punkty okręgu. Średnica to cięciwa przechodząca przez środek — i zarazem najdłuższa z możliwych cięciw.

Czytaj dalej

Pola figur na egzaminieTa sama figura, inne pytanie — i inny zestaw pułapekTwierdzenie Pitagorasa na egzaminieNarzędzie, którym odzyskuje się brakujące boki w trzech zadaniach z tej stronyWyrażenia algebraiczne na egzaminieGdy obwód trzeba zapisać literą, a nie liczbąEgzamin ósmoklasisty z matematykiJak zbudowany jest arkusz i jak się do niego przygotować
Mateusz Będkowski — nauczyciel matematyki, autor serwisu Nie każ mu liczyć

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-07-30. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa Mateusza Będkowskiego.