W klasie IIIa liczba dziewcząt stanowi 2/3 liczby wszystkich uczniów tej klasy. Dokończ zdanie. W klasie IIIa

jest dwa razy więcej dziewcząt niż chłopców.

jest więcej chłopców niż dziewcząt.

liczba dziewcząt stanowi 2/3 liczby chłopców.

stosunek liczby chłopców do liczby dziewcząt jest równy 1 : 3.

Strona główna › Egzamin ósmoklasisty › Wyrażenia algebraiczne na egzaminie ósmoklasisty

Wyrażenia algebraiczne na egzaminie ósmoklasisty

Q: Jak zapisać „o 5 więcej niż x”?

Jako x + 5. Zwrot „o tyle więcej” zawsze oznacza dodawanie. Gdyby w treści było „5 razy więcej”, zapis brzmiałby 5x — to zupełnie inne wyrażenie i dla x = 10 daje 50 zamiast 15.

Q: Czym są wyrazy podobne?

To wyrazy mające identyczną część literową, na przykład 3a i 7a. Tylko takie wolno łączyć, dodając współczynniki. Wyrazy 3a i 3b podobne nie są, podobnie jak 3a i 3a^2 — potęga też należy do części literowej.

Litera w miejscu liczby to cała idea algebry — i jednocześnie miejsce, w którym najwięcej uczniów się zatrzymuje. Egzamin nie sprawdza tu skomplikowanych przekształceń. Sprawdza dwie rzeczy: czy potrafisz zapisać treść symbolami i czy nie zgubisz znaku przy minusie przed nawiasem.

Dział: Egzamin ósmoklasistyPoziom: klasa 7–8Zadań: 33 — 26 z egzaminu ósmoklasisty i 7 z egzaminu gimnazjalnego

Przejdź od razu do zadań (33) ↓

Po co w ogóle litery zamiast liczb

Litera oznacza liczbę, której jeszcze nie znamy albo która może się zmieniać. Zapis $2a$ znaczy „dwa razy tyle, ile wynosi $a$ ” — i mówi to o każdej wartości $a$ naraz, zamiast o jednej konkretnej.

Stąd bierze się użyteczność: zamiast liczyć obwód dla boku 3, potem dla 5, potem dla 7, zapisujemy raz $Ob = 4a$ i mamy odpowiedź dla wszystkich przypadków.

Warto pamiętać o skrótach zapisu. $2a$ to $2 \cdot a$ — znak mnożenia się pomija. $a^2$ to $a \cdot a$ , czyli coś zupełnie innego niż $2a$ . Dla $a = 3$ pierwsze daje 9, drugie 6.

Zapisywanie treści wyrażeniem

To najczęstsze polecenie w tym dziale — siedem zadań na tej stronie zaczyna się od zdania, które trzeba przetłumaczyć na symbole. Kilka zwrotów wraca regularnie:

„o 5 więcej niż $x$ ” → $x + 5$
„5 razy więcej niż $x$ ” → $5x$
„o 5 mniej niż $x$ ” → $x - 5$
„5 razy mniej niż $x$ ” → $\dfrac{x}{5}$
„suma $x$ i $y$ powiększona o 3” → $x + y + 3$
„suma $x$ i $y$ powiększona trzykrotnie” → $3(x+y)$

Dwa ostatnie różnią się nawiasem i to on decyduje o wyniku. Zwrot „powiększona trzykrotnie” dotyczy całej sumy, więc trzeba ją najpierw zamknąć w nawias.

Praktyczna wskazówka: po zapisaniu wyrażenia podstaw jakąś prostą liczbę i sprawdź, czy wynik zgadza się z tym, co mówi treść. Dla $x = 10$ „o 5 więcej” musi dać 15, a „5 razy więcej” 50.

Wyrazy podobne i redukcja

Wyrazy podobne to takie, które mają tę samą część literową. $3a$ i $7a$ są podobne, $3a$ i $3b$ nie są, $3a$ i $3a^2$ też nie.

Redukcja polega na dodaniu współczynników przy wyrazach podobnych: $3a + 7a = 10a$ . Wyrazów niepodobnych nie da się połączyć — $3a + 2b$ zostaje w tej postaci i to jest pełna, poprawna odpowiedź.

Pomocny obraz: $3a$ to trzy jabłka, $2b$ to dwa banany. Trzy jabłka i dwa banany to nie „pięć jabłkobananów”. Ten sam mechanizm blokuje zapis $3a + 2b = 5ab$ .

Minus przed nawiasem — gdzie znika najwięcej punktów

Gdy przed nawiasem stoi minus, przy opuszczaniu nawiasu wszystkie znaki w środku się odwracają. Nie tylko pierwszy.

5x - (3x - 7) = 5x - 3x + 7 = 2x + 7

Najczęstszy błąd to odwrócenie znaku tylko przy pierwszym wyrazie: $5x - 3x - 7$ . Wynik różni się wtedy o 14 i prawie zawsze jest jedną z podanych odpowiedzi.

Sposób na uniknięcie: potraktuj minus jak mnożenie przez -1 i wymnóż go przez każdy wyraz osobno. Przy dłuższych nawiasach warto zapisać ten krok pośredni, zamiast robić go w pamięci.

Obliczanie wartości wyrażenia

Podstawianie liczby za literę jest proste, dopóki liczba jest dodatnia. Przy ujemnej trzeba zapisać ją w nawiasie, inaczej znika znak.

Dla $x = -3$ wyrażenie $x^2$ to $(-3)^2 = 9$ , a nie $-3^2 = -9$ . To dwie różne rzeczy: w pierwszym przypadku podnosimy do kwadratu liczbę ujemną, w drugim — tylko trójkę, a minus zostaje z przodu.

Kolejność działań obowiązuje jak zwykle: najpierw nawiasy i potęgi, potem mnożenie i dzielenie, na końcu dodawanie i odejmowanie.

Wyrażenia zapisane na rysunku

Osobny blok ośmiu zadań na tej stronie dotyczy figur, których boki opisano literami. Pytanie brzmi wtedy: zapisz obwód albo pole tej figury.

Metoda jest ta sama co przy zwykłym obwodzie — sumujemy wszystkie boki — tylko zamiast liczb dodajemy wyrażenia, a na końcu redukujemy wyrazy podobne.

Trudność pojawia się przy figurach złożonych z klocków: niektóre krawędzie są wspólne i nie należą do brzegu, więc nie wchodzą do obwodu. Warto obrysować brzeg ołówkiem przed liczeniem.

Uzasadnianie: „wykaż, że wyrażenie jest zawsze parzyste”

Cztery zadania na tej stronie proszą o uzasadnienie, a nie o wynik. Schemat jest krótki: zapisz wyrażenie, przekształć je i wyłącz przed nawias czynnik, który przesądza o tezie.

Jeśli po przekształceniu wyrażenie ma postać $2 \cdot (\text{coś całkowitego})$ , to jest parzyste — bo dwójka jest jego dzielnikiem niezależnie od tego, co wyjdzie w nawiasie.

Liczby zapisujemy przez wspólną literę: kolejne liczby całkowite to $n$ , $n+1$ , $n+2$ ; kolejne parzyste to $2n$ , $2n+2$ ; nieparzyste to $2n+1$ .

Przykłady krok po kroku

Cztery zadania krok po kroku: zapis treści symbolami, redukcja, minus przed nawiasem i uzasadnienie parzystości.

Przykład 1 Zapisanie treści wyrażeniem

Zapisz wyrażeniem: „suma liczby $x$ i liczby o 4 od niej większej, powiększona dwukrotnie”.

Liczba o 4 większa od $x$ to $x + 4$ .
Suma obu liczb: $x + (x+4) = 2x + 4$ .
„Powiększona dwukrotnie” dotyczy całej sumy, więc zamykam ją w nawias i mnożę: $2(2x+4)$ .
Można to jeszcze rozwinąć: $4x + 8$ .
Sprawdzenie dla $x = 3$ : liczby to 3 i 7, ich suma 10, podwojona 20. Ze wzoru: $4 \cdot 3 + 8 = 20$ ✓

Odpowiedź: Wyrażenie to $2(2x+4)$ , czyli $4x + 8$ .

Przykład 2 Redukcja wyrazów podobnych

Uprość wyrażenie $3a + 5b - a + 2b$ .

Grupuję wyrazy podobne — osobno te z literą $a$ , osobno z $b$ .
Wyrazy z $a$ : $3a - a = 2a$ . Pamiętam, że $-a$ znaczy $-1a$ .
Wyrazy z $b$ : $5b + 2b = 7b$ .
Zapisuję razem: $2a + 7b$ . Dalej się nie da — to wyrazy niepodobne.
Sprawdzenie dla $a = 1$ , $b = 1$ : pierwotne wyrażenie daje $3+5-1+2 = 9$ , uproszczone $2+7 = 9$ ✓

Odpowiedź: $3a + 5b - a + 2b = 2a + 7b$ .

Przykład 3 Minus przed nawiasem

Uprość wyrażenie $5x - (3x - 7)$ .

Przed nawiasem stoi minus, więc odwracam znaki wszystkich wyrazów w środku.
$-(3x - 7) = -3x + 7$ . Drugi znak też się zmienił — to jest ten krok, o którym najłatwiej zapomnieć.
Składam całość: $5x - 3x + 7$ .
Redukuję: $2x + 7$ .
Sprawdzenie dla $x = 2$ : pierwotne $10 - (6-7) = 10 - (-1) = 11$ , uproszczone $2 \cdot 2 + 7 = 11$ ✓

Odpowiedź: $5x - (3x - 7) = 2x + 7$ .

Przykład 4 Uzasadnienie parzystości

Wykaż, że suma dwóch kolejnych liczb parzystych jest podzielna przez 2, ale niekoniecznie przez 4.

Kolejne liczby parzyste zapisuję przez wspólną literę: $2n$ oraz $2n+2$ , gdzie $n$ jest liczbą całkowitą.
Ich suma: $2n + (2n+2) = 4n + 2$ .
Wyłączam dwójkę przed nawias: $4n + 2 = 2(2n+1)$ . Skoro $2n+1$ jest liczbą całkowitą, suma jest podzielna przez 2.
Czy przez 4? Wyrażenie $2n+1$ jest zawsze nieparzyste, więc iloczyn $2 \cdot (2n+1)$ nie zawiera drugiej dwójki.
Sprawdzenie na liczbach: $2+4 = 6$ , $6:4$ nie jest całkowite ✓

Odpowiedź: Suma zawsze dzieli się przez 2, ale przez 4 nie — ma postać $2(2n+1)$ , a $2n+1$ jest nieparzyste.

Najczęstsze błędy

Cztery błędy, przez które w tym dziale traci się najwięcej punktów. Pierwszy odpowiada za większość z nich.

Odwrócenie znaku tylko przy pierwszym wyrazie w nawiasie

Skąd się bierze: Minus przed nawiasem jest widziany jako znak przy najbliższym wyrazie, a nie jako mnożnik całego nawiasu. Z $5x - (3x - 7)$ powstaje $5x - 3x - 7$ zamiast $5x - 3x + 7$ .

Jak zrobić dobrze: Potraktuj minus jak mnożenie przez -1 i wymnóż osobno przez każdy wyraz. Przy dłuższych nawiasach zapisz ten krok pośredni zamiast liczyć w pamięci.

Dodawanie wyrazów niepodobnych

Skąd się bierze: Wyrażenie $3a + 2b$ wygląda na „niedokończone”, więc uczeń domyka je do $5ab$ albo $5a$ . To zmienia sens: część literowa musi być identyczna, żeby wolno było dodać współczynniki.

Jak zrobić dobrze: Sprawdź, czy części literowe są takie same. Jeśli nie — wyrażenie już jest w najprostszej postaci. Kontrola: podstaw $a=1$ , $b=2$ i porównaj wyniki przed i po.

Podstawianie liczby ujemnej bez nawiasu

Skąd się bierze: Za $x = -3$ w wyrażeniu $x^2$ wpisuje się $-3^2$ , co daje -9. Potęgowanie wiąże mocniej niż minus, więc bez nawiasu podnosimy do kwadratu samą trójkę.

Jak zrobić dobrze: Każdą liczbę ujemną wstawiaj w nawiasie: $(-3)^2 = 9$ . To jeden dodatkowy znak, który ratuje cały rachunek.

Mylenie $2x$ z $x^2$

Skąd się bierze: Oba zapisy zawierają dwójkę i literę, a różnią się tylko pozycją. $2x$ to podwojenie, $x^2$ to pomnożenie liczby przez siebie — dla $x = 3$ daje to 6 i 9.

Jak zrobić dobrze: Czytaj zapis na głos: „dwa razy iks” kontra „iks do kwadratu”. Przy sprawdzaniu podstaw $x = 3$ — jeśli oba wyrażenia dają tę samą wartość, gdzieś jest pomyłka.

Zadania z arkuszy CKE — wyrażenia algebraiczne

Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminu ósmoklasisty (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem. W zestawie jest 5 zadań z arkuszy egzaminu gimnazjalnego (do 2019 roku) — dokładamy je jako dodatkowe ćwiczenie tych samych umiejętności. Zakres gimnazjum był miejscami szerszy niż wymagania dla klas 7–8, dlatego każde takie zadanie jest podpisane osobno.

Kolor grupuje wyrazy podobne — czyli te, które wolno ze sobą połączyć. Zieloną barwą oznaczamy jedną grupę (np. wszystkie wyrazy z

x^2

), czerwoną drugą (np. wszystkie z

x

). Wyrazy z różnych grup nigdy się nie sumują. W zadaniach o opuszczaniu nawiasu kolorem zaznaczamy to, co zmienia znak.

Sprawdź się bez zaglądania do odpowiedzi. Wylosuję 10 zadań zamkniętych z tego zestawu — klucz i rozwiązania schowam do czasu sprawdzenia. Pula liczy 16 zadań, więc za każdym razem dostaniesz inny zestaw.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (styczeń 2026)1 pktśrednie

Uzupełnij zdania.

Równość

3a - 4 = a + 2

jest spełniona dla liczby

a

równej AB.

A. 3
B. 1

Wyrażenie

(3a - 4) - (a + 2)

jest równe CD.

C. $2a - 2$
D. $2a - 6$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A, D

Pierwsze zdanie — rozwiązujemy równanie. Przenosimy $a$ na lewo, a liczby na prawo: $3a - a = 2 + 4$ .
$2a = 6$ , więc $a = 3$ — odpowiedź A. (Sprawdzenie: $3 \cdot 3 - 4 = 5$ oraz $3 + 2 = 5$ ✓)
Drugie zdanie — opuszczamy nawiasy. Uwaga: przed drugim nawiasem stoi minus, więc znaki w jego wnętrzu się odwracają.
$(3a - 4) - (a + 2) = 3a - 4 \textcolor{#E0453A}{- a - 2}$ — zauważ, że $+2$ zamieniło się na $\textcolor{#E0453A}{-2}$ .
Redukujemy wyrazy podobne: $\textcolor{#16A06A}{3a} \textcolor{#16A06A}{- a} = \textcolor{#16A06A}{2a}$ oraz $\textcolor{#E0453A}{-4} \textcolor{#E0453A}{- 2} = \textcolor{#E0453A}{-6}$ .
Wynik: $2a - 6$ — odpowiedź D. Razem: A, D.

💡 Wskazówka: Minus przed nawiasem działa jak mnożenie przez $(-1)$ — każdy wyraz w środku zmienia znak, nie tylko pierwszy.

⚠ Najczęstszy błąd w drugim zdaniu: odjęcie tylko pierwszego wyrazu i otrzymanie $2a - 2$ (kusząca odpowiedź C). To znaczy, że $+2$ nie zmieniło znaku.

Zadanie 2 (styczeń 2026)1 pktśrednie

Aleks kupił jeden komplet słuchawek bezprzewodowych, dwie jednakowe ładowarki i dwa jednakowe dyski USB. Jeden dysk USB był 2 razy tańszy od ładowarki, a komplet słuchawek był 4 razy droższy od jednej ładowarki. Dokończ zdanie.
Jeżeli przez

x

oznaczymy cenę jednej ładowarki, to wartość zakupów Aleksa opiszemy wyrażeniem

A. $10{,}5x$
B. $7x$
C. $6{,}5x$
D. $6x$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Zapisujemy cenę każdego produktu przez $x$ — cenę jednej ładowarki.
Ładowarka: $x$ . Dysk USB (2 razy tańszy): $\dfrac{x}{2} = 0{,}5x$ . Słuchawki (4 razy droższe): $4x$ .
Teraz mnożymy przez liczby sztuk i sumujemy:
słuchawki: $1 \cdot \textcolor{#16A06A}{4x} = \textcolor{#16A06A}{4x}$ · ładowarki: $2 \cdot \textcolor{#16A06A}{x} = \textcolor{#16A06A}{2x}$ · dyski: $2 \cdot \textcolor{#16A06A}{0{,}5x} = \textcolor{#16A06A}{1x}$ .
Razem: $\textcolor{#16A06A}{4x} + \textcolor{#16A06A}{2x} + \textcolor{#16A06A}{x} = 7x$ — odpowiedź B.

💡 Wskazówka: Zauważ przyjemny zbieg okoliczności: dwa dyski po pół ceny ładowarki kosztują dokładnie tyle, co jedna ładowarka. To upraszcza rachunek.

⚠ Najczęstszy błąd: „2 razy tańszy” rozumiane jako $2x$ zamiast $\tfrac{x}{2}$ . Wtedy wychodzi $4x + 2x + 4x = 10x$ — blisko kuszącej odpowiedzi A. „Tańszy” zawsze oznacza dzielenie.

Zadanie 3 (maj 2025)1 pktśrednie

W pudełku znajdują się wyłącznie piłki białe, fioletowe i czarne. Piłek białych jest 4 razy więcej niż fioletowych i o 3 mniej niż czarnych. Liczbę piłek fioletowych oznaczymy przez

x

. Dokończ zdanie.
Łączną liczbę wszystkich piłek w pudełku opisuje wyrażenie

A. $9x + 3$
B. $9x - 3$
C. $6x + 3$
D. $6x - 3$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Fioletowe: $x$ (tak podano w treści).
Białe: 4 razy więcej niż fioletowych, czyli $4x$ .
Czarne: białych jest o 3 mniej niż czarnych, więc czarnych jest o 3 więcej niż białych: $4x + 3$ .
Sumujemy wszystkie: $\textcolor{#16A06A}{x} + \textcolor{#16A06A}{4x} + (\textcolor{#16A06A}{4x} + \textcolor{#E0453A}{3})$ .
Grupujemy wyrazy podobne: $\textcolor{#16A06A}{x + 4x + 4x} = \textcolor{#16A06A}{9x}$ , a liczba $\textcolor{#E0453A}{3}$ zostaje osobno.
Wynik: $9x + 3$ — odpowiedź A.

💡 Wskazówka: Zdanie „A jest o 3 mniej niż B” zapisz jako $A = B - 3$ , a stąd $B = A + 3$ . Przestawianie w pamięci to najczęstsze źródło błędu ze znakiem.

⚠ Najczęstszy błąd: zapisanie czarnych jako $4x - 3$ (odpowiedź B). To odwrócenie relacji — czarnych jest więcej niż białych, bo białych jest o 3 mniej.

Zadanie 4 (grudzień 2024)1 pkttrudniejsze

Dokończ zdanie.
Wyrażenie

2(a - 2b) - (a - b)(2 - b) + b^2

można przekształcić równoważnie do postaci

A. $ab$
B. $ab - 2b$
C. $b^2 - 2b - ab$
D. $b^2 - 6b + a - 2$
E. $b^2 + ab$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Rozpisujemy po kolei — najpierw pierwszy nawias: $2(a - 2b) = 2a - 4b$ .
Teraz iloczyn dwóch nawiasów. Mnożymy każdy z każdym: $(a - b)(2 - b) = 2a - ab - 2b + b^2$ .
Przed tym iloczynem stoi minus, więc wszystkie cztery znaki się odwracają: $-2a + ab + 2b - b^2$ .
Składamy całość: $2a - 4b \;-2a + ab + 2b - b^2\; + b^2$ .
Grupujemy wyrazy podobne: $\textcolor{#16A06A}{2a - 2a} = 0$ , $\textcolor{#E0453A}{-4b + 2b} = \textcolor{#E0453A}{-2b}$ , $\textcolor{#16A06A}{-b^2 + b^2} = 0$ , zostaje jeszcze $ab$ .
Wynik: $ab - 2b$ — odpowiedź B.

💡 Wskazówka: Zwróć uwagę, jak wiele się skraca: $2a$ z $-2a$ oraz $-b^2$ z $+b^2$ . To typowe dla zadań egzaminacyjnych — jeśli nic się nie skraca, warto sprawdzić rachunki.

⚠ Najczęstszy błąd: odwrócenie znaku tylko przy pierwszym składniku iloczynu (czyli $-2a - ab - 2b + b^2$ ). Minus przed nawiasem dotyczy wszystkich czterech wyrazów.

Zadanie 5 (maj 2024)1 pktśrednie

Dokończ zdanie.
Wyrażenie

x(x + 4) - 3(2x - 5)

można przekształcić równoważnie do postaci

A. $x^2 + 2x - 5$
B. $x^2 - 2x + 5$
C. $x^2 + 2x - 15$
D. $x^2 - 2x + 15$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Wymnażamy pierwszy nawias: $x(x + 4) = \textcolor{#16A06A}{x^2} \textcolor{#E0453A}{+ 4x}$ .
Teraz drugi: $-3(2x - 5)$ . Mnożymy przez -3 oba wyrazy: $\textcolor{#E0453A}{-6x} + 15$ .
Uwaga na drugi znak: $-3 \cdot (-5) = +15$ , a nie -15.
Składamy: $\textcolor{#16A06A}{x^2} \textcolor{#E0453A}{+ 4x} \textcolor{#E0453A}{- 6x} + 15$ .
Redukujemy wyrazy z $x$ : $\textcolor{#E0453A}{4x - 6x} = \textcolor{#E0453A}{-2x}$ .
Wynik: $x^2 - 2x + 15$ — odpowiedź D.

💡 Wskazówka: Przy mnożeniu przez liczbę ujemną wypisz sobie osobno oba iloczyny ze znakami — $(-3) \cdot 2x$ i $(-3) \cdot (-5)$ — zamiast liczyć „w głowie naraz”.

⚠ Najczęstszy błąd: $-3 \cdot (-5) = -15$ (kusząca odpowiedź C). Minus razy minus daje plus — to najczęściej gubiony znak w całym dziale.

Zadanie 6 (czerwiec 2023)1 pktśrednie

W naczyniu znajdowało się

k

litrów wody. Marcin odlał z tego naczynia

\dfrac{1}{3}

tej objętości, a następnie Magda odlała 3 litry wody. Dokończ zdanie.
Objętość wody (w litrach), która pozostała w naczyniu, opisuje wyrażenie

A. $k - \left(\dfrac{1}{3} \cdot k + 3\right)$
B. $\dfrac{1}{3} \cdot k - 3$
C. $k - \dfrac{1}{3} - 3$
D. $k - \left(\dfrac{1}{3} \cdot k - 3\right)$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Zapisujemy, ile ubyło wody z naczynia.
Marcin odlał $\dfrac13$ objętości, czyli $\textcolor{#16A06A}{\dfrac{1}{3} \cdot k}$ litrów. Uwaga — to jedna trzecia całej objętości $k$ , a nie po prostu $\tfrac13$ litra.
Magda odlała $\textcolor{#E0453A}{3}$ litry.
Razem ubyło $\textcolor{#16A06A}{\dfrac{1}{3} \cdot k} + \textcolor{#E0453A}{3}$ litrów.
Zostało: $k - \left(\textcolor{#16A06A}{\dfrac{1}{3} \cdot k} + \textcolor{#E0453A}{3}\right)$ — odpowiedź A.

💡 Wskazówka: Zwróć uwagę, że odpowiedź A można zapisać także jako $\tfrac23 k - 3$ — to ta sama wartość. W arkuszu podano jednak postać z nawiasem, więc jej szukamy.

⚠ Dwie pułapki: (1) odpowiedź C, w której odjęto samą liczbę $\tfrac13$ zamiast $\tfrac13$ objętości; (2) odpowiedź D ze złym znakiem przy trójce — Magda odlała wodę, więc trzeba ją odjąć, a nie dodać.

Zadanie 7 (maj 2023)1 pktśrednie

Dane są cztery wyrażenia:

\;G = 2x^2 + 2\;

\;H = 2x^2 + 2x\;

\;J = 2x^2 - 2\;

\;K = 2x^2 - 2x

. Jedno z tych wyrażeń przyjmuje wartość 0 zarówno dla

x = 1

, jak i dla

x = -1

. Które to wyrażenie?

A. $G$
B. $H$
C. $J$
D. $K$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Kluczowa obserwacja: dla obu wartości $x$ mamy $x^2 = 1$ , więc $2x^2 = \textcolor{#16A06A}{2}$ w każdym przypadku.
$G = \textcolor{#16A06A}{2} + 2 = 4$ — nigdy nie zeruje się ✗
$H = \textcolor{#16A06A}{2} + 2x$ : dla $x=1$ daje 4 ✗
$J = \textcolor{#16A06A}{2} - 2 = 0$ — i to niezależnie od znaku $x$ , bo $x$ występuje tylko w kwadracie ✓
$K = \textcolor{#16A06A}{2} - 2x$ : dla $x=1$ daje 0 ✓, ale dla $x=-1$ daje $2 + 2 = 4$ ✗
Odpowiedź C.

💡 Wskazówka: Wyrażenia, w których $x$ występuje tylko w parzystej potędze ( $x^2$ , $x^4$ ), dają tę samą wartość dla $x$ i dla $-x$ . To od razu zawęża wybór do $G$ i $J$ .

⚠ Najczęstszy błąd: sprawdzenie tylko $x = 1$ i wybór $K$ (bo $2 - 2 = 0$ ). Warunek dotyczy obu liczb — trzeba sprawdzić także $x = -1$ .

Zadanie 8 (maj 2023)1 pktłatwe

Liczbę

x

powiększono o 7, a następnie otrzymany wynik zwiększono 4-krotnie. Liczbę

y

zwiększono 5-krotnie, a otrzymany wynik powiększono o 3. Która para wyrażeń algebraicznych poprawnie opisuje wykonane działania?

A. $4(x + 7)$ oraz $5y + 3$
B. $4x + 7$ oraz $5y + 3$
C. $4(x + 7)$ oraz $5(y + 3)$
D. $4x + 7$ oraz $5(y + 3)$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Kluczem jest kolejność działań opisana w treści — i to, czy potrzebny jest nawias.
Liczba $x$ : najpierw dodajemy 7, więc powstaje $\textcolor{#16A06A}{(x + 7)}$ . Dopiero ten wynik mnożymy przez 4: $4\textcolor{#16A06A}{(x + 7)}$ .
Nawias jest tu konieczny — bez niego mnożylibyśmy tylko $x$ , a siódemka zostałaby nietknięta.
Liczba $y$ : najpierw mnożymy przez 5, powstaje $\textcolor{#E0453A}{5y}$ . Dopiero potem dodajemy 3: $\textcolor{#E0453A}{5y} + 3$ .
Tutaj nawias jest niepotrzebny, bo mnożenie i tak wykonuje się przed dodawaniem.
Odpowiedź A.

💡 Wskazówka: Prosta reguła: jeśli najpierw dodajesz, potem mnożysz — nawias jest konieczny. Jeśli najpierw mnożysz, potem dodajesz — nawias jest zbędny.

⚠ Najczęstszy błąd: zapisanie $4x + 7$ , czyli pominięcie nawiasu. To wyrażenie opisuje zupełnie inną kolejność: „pomnóż $x$ przez 4, a potem dodaj 7”.

Zadanie 9 (czerwiec 2022)1 pktśrednie

Uzupełnij zdania.

Wartość wyrażenia

2 - 2a^2

dla

a = -3

jest równa AB.

A. -16
B. 20

Wyrażenie

\dfrac{1}{2}(2 - 2a^2)

można przekształcić do postaci CD.

C. $1 - 2a^2$
D. $1 - a^2$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A, D

Pierwsze zdanie. Podstawiamy $a = -3$ , pamiętając o kolejności działań: najpierw potęga, potem mnożenie, na końcu odejmowanie.
$a^2 = (-3)^2 = \textcolor{#16A06A}{9}$ — kwadrat liczby ujemnej jest dodatni.
$2 - 2 \cdot \textcolor{#16A06A}{9} = 2 - 18 = -16$ — odpowiedź A.
Drugie zdanie. Mnożymy przez $\tfrac12$ każdy wyraz w nawiasie:
$\dfrac12 \cdot \textcolor{#E0453A}{2} = 1$ oraz $\dfrac12 \cdot \textcolor{#E0453A}{(-2a^2)} = -a^2$ .
Wynik: $1 - a^2$ — odpowiedź D. Razem: A, D.

💡 Wskazówka: Uwaga na zapis $2 - 2a^2$ : kwadrat dotyczy tylko $a$ , nie całego iloczynu $2a$ . Gdyby było $(2a)^2$ , wyszłoby 36 zamiast 18.

⚠ Dwa typowe błędy: (1) $(-3)^2 = -9$ (zgubiony nawias — kwadrat zawsze daje wynik nieujemny); (2) w drugim zdaniu pomnożenie przez $\tfrac12$ tylko pierwszego wyrazu (kusząca odpowiedź C).

Zadanie 10 (maj 2022)1 pkttrudniejsze

Dane jest wyrażenie

\dfrac{n^4 - 3}{6}

oraz liczby: -3, -1, 0, 1, 3. Dla której z danych liczb wartość podanego wyrażenia jest najmniejsza?

A. -3
B. -1
C. 0
D. 1

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Kluczowa obserwacja: mianownik (6) jest stały, a w liczniku odejmujemy stałą trójkę. O wyniku decyduje więc wyłącznie $\textcolor{#16A06A}{n^4}$ — im mniejsze, tym mniejsza cała wartość.
Czwarta potęga to parzysta potęga, więc zawsze wychodzi liczba nieujemna, a znak $n$ nie ma znaczenia:
$n = -3$ lub 3: $\textcolor{#16A06A}{n^4} = \textcolor{#16A06A}{81}$ · $n = -1$ lub 1: $\textcolor{#16A06A}{n^4} = \textcolor{#16A06A}{1}$ · $n = 0$ : $\textcolor{#16A06A}{n^4} = \textcolor{#16A06A}{0}$ .
Najmniejsze $\textcolor{#16A06A}{n^4}$ daje $n = 0$ , więc tam wartość wyrażenia jest najmniejsza: $\dfrac{\textcolor{#16A06A}{0} - 3}{6} = -\dfrac{1}{2}$ .
Dla porównania: dla $n = \pm 1$ wychodzi $-\dfrac{1}{3}$ (więcej), a dla $n = \pm 3$ aż 13.
Odpowiedź C.

💡 Wskazówka: Nie musisz liczyć wszystkich pięciu wartości. Wystarczy zauważyć, że wyrażenie rośnie razem z $n^4$ — a $n^4$ jest najmniejsze dla $n$ najbliższego zeru.

⚠ Najczęstszy błąd: wybór $n = -3$ , bo „to najmniejsza z podanych liczb”. Czwarta potęga zamienia -3 w 81 — największą wartość ze wszystkich. Drugi błąd: uznanie $(-1)^4 = -1$ .

Zadanie 11 (czerwiec 2021)1 pktśrednie

Suma dwóch dodatnich liczb

a

b

jest równa 46. Oceń prawdziwość podanych zdań.

Po zmniejszeniu każdej z tych liczb o 6 suma otrzymanych liczb będzie równa 34.	P	F
Po zwiększeniu każdej z tych liczb o połowę suma otrzymanych liczb będzie równa 69.	P	F

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P, P

Nie znamy $a$ ani $b$ osobno — i nie musimy. Wystarczy, że $\textcolor{#16A06A}{a + b} = \textcolor{#16A06A}{46}$ .
Zdanie 1. Nowa suma: $(a - 6) + (b - 6) = \textcolor{#16A06A}{a + b} - 12 = \textcolor{#16A06A}{46} - 12 = 34$ ✓ — prawda.
Sens: skoro od każdej z dwóch liczb odjęliśmy 6, to suma zmalała o $2 \cdot 6 = 12$ .
Zdanie 2. „Zwiększyć o połowę” znaczy pomnożyć przez $\textcolor{#E0453A}{1{,}5}$ .
Nowa suma: $\textcolor{#E0453A}{1{,}5}a + \textcolor{#E0453A}{1{,}5}b = \textcolor{#E0453A}{1{,}5}(\textcolor{#16A06A}{a + b}) = \textcolor{#E0453A}{1{,}5} \cdot \textcolor{#16A06A}{46} = 69$ ✓ — prawda.
Odpowiedzi: P, P.

💡 Wskazówka: Gdy w zadaniu operujesz na obu liczbach tak samo, pracuj na ich sumie — nie trzeba znać każdej z osobna. To skraca zadanie do jednego działania.

⚠ Najczęstszy błąd w zdaniu 1: odjęcie 6 tylko raz (wyszłoby 40). Odejmujemy od każdej z dwóch liczb, więc suma maleje o 12.

Zadanie 12 (czerwiec 2021)1 pkttrudniejsze

Dane są trzy liczby

a

b

c

. Uzupełnij zdania.

Gdy

a + b + c = -1

oraz

a

jest liczbą mniejszą od

(-1)

, to suma

(b + c)

jest AB.

A. dodatnia
B. ujemna

Gdy

a \cdot b \cdot c = 1

oraz

a

jest liczbą większą od zera, to iloczyn

(b \cdot c)

jest CD.

C. dodatni
D. ujemny

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A, C

Pierwsze zdanie. Z równania wyznaczamy sumę: $\textcolor{#16A06A}{b + c} = -1 - a$ .
Wiemy, że $a < -1$ . Wtedy $-a > 1$ , więc $-1 - a > -1 + 1 = 0$ — suma jest dodatnia, odpowiedź A.
Sprawdzenie na przykładzie: gdy $a = -5$ , to $\textcolor{#16A06A}{b + c} = -1 - (-5) = 4 > 0$ ✓
Drugie zdanie. Z równania: $\textcolor{#E0453A}{b \cdot c} = \dfrac{1}{a}$ .
Skoro $a > 0$ , to $\dfrac{1}{a}$ też jest dodatnie — odpowiedź C.
Można też rozumować przez znaki: iloczyn trzech liczb jest dodatni ( $=1$ ), a $a$ jest dodatnie, więc $\textcolor{#E0453A}{b \cdot c}$ musi być dodatnie. Razem: A, C.

💡 Wskazówka: W obu podpunktach po prostu wyznacz szukane wyrażenie z danego równania, a potem oceń jego znak. Nie próbuj zgadywać wartości $b$ i $c$ osobno.

⚠ Najczęstszy błąd w pierwszym zdaniu: rozumowanie „suma jest ujemna (-1), a $a$ jest ujemne, więc $b+c$ też ujemne”. Skoro $a$ jest bardziej ujemne niż cała suma, reszta musi to nadrobić na plus.

Zadanie 13 (czerwiec 2019)1 pkttrudniejsze

Dokończ zdanie.
Wyrażenie

(x - 2)(4x - 3) - x(1 - x)

po uproszczeniu jest równe

A. $5x^2 - x - 6$
B. $5x^2 - 9x + 6$
C. $5x^2 - 12x + 6$
D. $3x^2 - x - 6$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Mnożymy pierwsze dwa nawiasy — każdy wyraz przez każdy:
$(x - 2)(4x - 3) = \textcolor{#16A06A}{4x^2} \textcolor{#E0453A}{- 3x} \textcolor{#E0453A}{- 8x} + 6 = \textcolor{#16A06A}{4x^2} \textcolor{#E0453A}{- 11x} + 6$ .
Teraz drugi składnik: $-x(1 - x) = \textcolor{#E0453A}{-x} \textcolor{#16A06A}{+ x^2}$ .
Uwaga na znaki: $-x \cdot 1 = \textcolor{#E0453A}{-x}$ , a $-x \cdot (-x) = \textcolor{#16A06A}{+x^2}$ .
Składamy: $\textcolor{#16A06A}{4x^2} \textcolor{#E0453A}{- 11x} + 6 \textcolor{#E0453A}{- x} \textcolor{#16A06A}{+ x^2}$ .
Grupujemy: $\textcolor{#16A06A}{4x^2 + x^2} = \textcolor{#16A06A}{5x^2}$ , $\textcolor{#E0453A}{-11x - x} = \textcolor{#E0453A}{-12x}$ , zostaje $+6$ .
Wynik: $5x^2 - 12x + 6$ — odpowiedź C.

💡 Wskazówka: Szybka kontrola bez pełnego mnożenia: podstaw $x = 0$ . Wyrażenie daje $(-2)(-3) - 0 = 6$ , więc wyraz wolny musi wynosić $+6$ — to od razu skreśla odpowiedzi A i D.

⚠ Najczęstszy błąd: potraktowanie $-x(1 - x)$ jako $-x + x^2$ bez zmiany znaku przy pierwszym wyrazie albo jako $-x - x^2$ . Oba dają błędne grupowanie.

Zadanie 14 (kwiecień 2019)1 pktśrednie

Dokończ zdanie.
Wyrażenie

(2a + 3b)(3b - 2a)

jest równe

A. $4a^2 - 12ab + 9b^2$
B. $9b^2 + 12ab + 4a^2$
C. $9b^2 - 4a^2$
D. $4a^2 - 9b^2$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Przestawiamy pierwszy nawias, żeby zobaczyć znajomy wzór: $(2a + 3b) = (\textcolor{#16A06A}{3b} + \textcolor{#E0453A}{2a})$ .
Teraz wyrażenie wygląda tak: $(\textcolor{#16A06A}{3b} + \textcolor{#E0453A}{2a})(\textcolor{#16A06A}{3b} - \textcolor{#E0453A}{2a})$ — to wzór na różnicę kwadratów.
Wzór: $(\textcolor{#16A06A}{A} + \textcolor{#E0453A}{B})(\textcolor{#16A06A}{A} - \textcolor{#E0453A}{B}) = \textcolor{#16A06A}{A}^2 - \textcolor{#E0453A}{B}^2$ , gdzie $\textcolor{#16A06A}{A} = \textcolor{#16A06A}{3b}$ , a $\textcolor{#E0453A}{B} = \textcolor{#E0453A}{2a}$ .
Podstawiamy: $\textcolor{#16A06A}{(3b)}^2 - \textcolor{#E0453A}{(2a)}^2 = \textcolor{#16A06A}{9b^2} - \textcolor{#E0453A}{4a^2}$ — odpowiedź C.
Kontrola przez zwykłe mnożenie: $6ab - 4a^2 + 9b^2 - 6ab$ — wyrazy $6ab$ i $-6ab$ się skracają, zostaje $9b^2 - 4a^2$ ✓

💡 Wskazówka: Rozpoznawaj wzór po tym, że te same dwa składniki występują w obu nawiasach — raz z plusem, raz z minusem. Kolejność w nawiasie nie ma znaczenia, więc wolno je przestawić.

⚠ Najczęstszy błąd: odwrócenie kolejności odejmowania i wybór $4a^2 - 9b^2$ (odpowiedź D). Na kwadrat podnosimy ten składnik, który w obu nawiasach ma plus — tutaj $3b$ .

Zadanie 15 (kwiecień 2016, egzamin gimnazjalny)1 pkttrudniejsze

Dane są liczby

a

b

takie, że

2 < a < 3

oraz

-1 < b < 1

. Oceń prawdziwość podanych zdań.

Iloraz $\dfrac{b}{a}$ jest zawsze dodatni.	P	F
Różnica $b - a$ jest zawsze dodatnia.	P	F

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: F, F

Kluczowe słowo w obu zdaniach: „zawsze”. Wystarczy znaleźć jeden kontrprzykład, żeby zdanie obalić.
Zdanie 1. Liczba $\textcolor{#16A06A}{a}$ jest na pewno dodatnia (mieści się między 2 a 3), ale $\textcolor{#E0453A}{b}$ może być ujemne — np. $\textcolor{#E0453A}{b} = -0{,}5$ .
Wtedy $\dfrac{\textcolor{#E0453A}{-0{,}5}}{\textcolor{#16A06A}{2{,}5}}$ jest ujemne — fałsz. (Dla $b = 0$ iloraz jest w dodatku równy zeru, czyli też nie jest dodatni.)
Zdanie 2. Tu odwrotnie — sprawdźmy, czy różnica może być dodatnia.
Największe możliwe $\textcolor{#E0453A}{b}$ jest bliskie $\textcolor{#E0453A}{1}$ , a najmniejsze $\textcolor{#16A06A}{a}$ bliskie $\textcolor{#16A06A}{2}$ .
Nawet w tym najkorzystniejszym przypadku $\textcolor{#E0453A}{b} - \textcolor{#16A06A}{a} < \textcolor{#E0453A}{1} - \textcolor{#16A06A}{2} = -1$ — różnica jest zawsze ujemna, więc zdanie jest fałszywe.
Odpowiedzi: F, F.

💡 Wskazówka: Przy przedziałach sprawdzaj skrajne przypadki: największe możliwe $b$ i najmniejsze możliwe $a$ . Jeśli nawet wtedy warunek nie zachodzi, to nie zachodzi nigdy.

⚠ Najczęstszy błąd w zdaniu 2: porównanie „ $b$ może być bliskie 1, a $a$ bliskie 2, więc czasem $b > a$ ”. Przedziały wcale się nie nakładają — każde $b$ jest mniejsze od każdego $a$ .

Zadanie 16 (kwiecień 2016, egzamin gimnazjalny)1 pktśrednie

W klasie IIIa liczba dziewcząt stanowi

\dfrac{2}{3}

liczby wszystkich uczniów tej klasy. Dokończ zdanie.
W klasie IIIa

A. jest więcej chłopców niż dziewcząt.
B. liczba dziewcząt stanowi $\dfrac{2}{3}$ liczby chłopców.
C. jest dwa razy więcej dziewcząt niż chłopców.
D. stosunek liczby chłopców do liczby dziewcząt jest równy $1 : 3$ .

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Skoro dziewczęta to $\textcolor{#16A06A}{\dfrac{2}{3}}$ całej klasy, to chłopcy stanowią resztę: $1 - \textcolor{#16A06A}{\dfrac23} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{1}{3}}$ .
Porównujemy: $\textcolor{#16A06A}{\dfrac23}$ kontra $\textcolor{#E0453A}{\dfrac13}$ — dziewcząt jest dwa razy więcej niż chłopców. Odpowiedź C.
Najłatwiej sprawdzić na konkretnej klasie 30-osobowej: dziewcząt $\textcolor{#16A06A}{20}$ , chłopców $\textcolor{#E0453A}{10}$ .
A — chłopców jest mniej, nie więcej ✗
B — dziewcząt jest więcej niż chłopców, więc nie mogą stanowić ich $\tfrac23$ (sprawdzenie: $\tfrac{20}{10} = 2$ , a nie $\tfrac23$ ) ✗
D — stosunek chłopców do dziewcząt to $\textcolor{#E0453A}{10} : \textcolor{#16A06A}{20} = 1 : 2$ , a nie $1 : 3$ ✗

💡 Wskazówka: W takich zadaniach podstaw sobie wygodną liczbę uczniów — najlepiej podzielną przez mianownik (tu 30). Wszystkie odpowiedzi sprawdzisz wtedy na liczbach zamiast na ułamkach.

⚠ Klasyczna pułapka: odpowiedź D. Ułamek $\tfrac23$ mówi, że na 3 uczniów przypada 2 dziewczynki i 1 chłopiec, więc stosunek chłopców do dziewcząt to $1 : 2$ , a chłopców do wszystkich $1 : 3$ .

Zadanie 17 (kwiecień 2015, egzamin gimnazjalny)1 pktśrednie

Liczba

x

jest dodatnia, a liczba

y

jest ujemna. Ile spośród liczb

\;x \cdot y

\;x - y

\;\dfrac{x}{y}

\;(y - x)^2\;

jest dodatnich?

A. Jedna.
B. Dwie.
C. Trzy.
D. Cztery.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Sprawdzamy każde wyrażenie osobno, pamiętając: $\textcolor{#16A06A}{x} > 0$ , a $\textcolor{#E0453A}{y} < 0$ .
$\textcolor{#16A06A}{x} \cdot \textcolor{#E0453A}{y}$ — dodatnia razy ujemna daje ujemną ✗
$\textcolor{#16A06A}{x} - \textcolor{#E0453A}{y}$ — odejmujemy liczbę ujemną, czyli w istocie dodajemy: $\textcolor{#16A06A}{x} + |\textcolor{#E0453A}{y}|$ — dodatnia ✓
$\dfrac{\textcolor{#16A06A}{x}}{\textcolor{#E0453A}{y}}$ — dodatnia przez ujemną daje ujemną ✗
$(\textcolor{#E0453A}{y} - \textcolor{#16A06A}{x})^2$ — w nawiasie wychodzi liczba ujemna, ale kwadrat dowolnej liczby różnej od zera jest dodatni ✓
Dodatnie są dwie liczby — odpowiedź B.
Kontrola na przykładzie $x = 2$ , $y = -3$ : -6, 5, $-\tfrac23$ , 25 — rzeczywiście dwie dodatnie ✓

💡 Wskazówka: Gdy gubisz się w znakach, podstaw konkretne liczby (np. $x = 2$ , $y = -3$ ) i policz wszystko na liczbach. To pewniejsze niż rozumowanie w pamięci.

⚠ Najczęstszy błąd: uznanie $(y - x)^2$ za ujemne, bo „w nawiasie jest minus”. Kwadrat zawsze daje wynik nieujemny — to potęga parzysta.

Zadanie 18 (kwiecień 2013, egzamin gimnazjalny)1 pktłatwe

Dane są liczby

x

y

spełniające warunki:

x < 0

oraz

y < x

. Oceń prawdziwość podanych zdań.

Liczba $y$ jest ujemna.	P	F
Liczba $x$ jest większa od liczby $y$ .	P	F

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P, P

Ustawmy obie informacje w jeden ciąg nierówności: $\textcolor{#E0453A}{y} < \textcolor{#16A06A}{x} < 0$ .
Zdanie 1. Skoro $\textcolor{#E0453A}{y}$ leży na lewo od $\textcolor{#16A06A}{x}$ , a $\textcolor{#16A06A}{x}$ jest już ujemne, to $\textcolor{#E0453A}{y}$ tym bardziej jest ujemne ✓ — prawda.
Zdanie 2. Zapis $\textcolor{#E0453A}{y} < \textcolor{#16A06A}{x}$ czytamy: „ $y$ jest mniejsze od $x$ ”, co znaczy dokładnie to samo, co „ $\textcolor{#16A06A}{x}$ jest większe od $\textcolor{#E0453A}{y}$ ” ✓ — prawda.
Odpowiedzi: P, P.

💡 Wskazówka: Zaznacz liczby na osi: $y$ najdalej na lewo, potem $x$ , potem zero. Z rysunku oba zdania widać od razu, bez żadnego liczenia.

⚠ Najczęstszy błąd: mylenie kierunku nierówności przy liczbach ujemnych — np. przekonanie, że skoro $y$ jest „bardziej ujemne”, to jest większe. Na osi liczbowej im dalej w lewo, tym mniej.

Zadanie 19 (grudzień 2011, egzamin gimnazjalny)1 pktśrednie

Dokończ zdanie.
Równość

\dfrac{3}{5} = \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}

będzie prawdziwa, jeśli w miejscu

x

y

zostaną wpisane liczby

A. 5 i 2
B. 6 i 4
C. 10 i 2
D. 10 i 6

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Sprawdzamy odpowiedzi po kolei, za każdym razem sprowadzając ułamki do wspólnego mianownika.
A. $\dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{10} + \dfrac{5}{10} = \dfrac{7}{10}$ ✗
B. $\dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{2}{12} + \dfrac{3}{12} = \dfrac{5}{12}$ ✗
C. $\dfrac{1}{\textcolor{#16A06A}{10}} + \dfrac{1}{\textcolor{#E0453A}{2}} = \dfrac{1}{10} + \dfrac{5}{10} = \dfrac{6}{10} = \dfrac{3}{5}$ ✓
D. $\dfrac{1}{10} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{3}{30} + \dfrac{5}{30} = \dfrac{8}{30} = \dfrac{4}{15}$ ✗
Odpowiedź C.

💡 Wskazówka: Można też szukać wprost: rozpisz $\dfrac35 = \dfrac{6}{10} = \dfrac{1}{10} + \dfrac{5}{10}$ , a $\dfrac{5}{10} = \dfrac12$ . Stąd od razu liczby 10 i 2.

⚠ Najczęstszy błąd: dodawanie „licznik do licznika, mianownik do mianownika” — np. $\tfrac15 + \tfrac12 = \tfrac27$ . Ułamki wymagają wspólnego mianownika.

Zadanie 20 (materiały CKE)1 pkttrudniejsze

Pan Jan spłacił całą pożyczkę w

x

ratach. Każda z pierwszych czterech rat była równa

a

zł, a każda z pozostałych była o 100 zł większa od pierwszej raty. Dokończ zdanie.
Spłaconą kwotę pożyczki opisano wyrażeniem

A. $4a + 100x$
B. $4a + x(a + 100)$
C. $4a + x(100a)$
D. $4a + (x - 4) \cdot (a + 100)$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Rozbijamy spłatę na dwie części — pierwsze cztery raty i całą resztę.
Pierwsze cztery raty: po $a$ zł każda, czyli razem $\textcolor{#16A06A}{4a}$ zł.
Pozostałe raty — ile ich jest? Wszystkich rat jest $x$ , cztery już policzyliśmy, więc zostaje $\textcolor{#E0453A}{x - 4}$ rat.
Każda z nich jest o 100 zł większa od pierwszej, czyli wynosi $\textcolor{#E0453A}{a + 100}$ zł.
Ta część to $\textcolor{#E0453A}{(x - 4)} \cdot \textcolor{#E0453A}{(a + 100)}$ .
Razem: $\textcolor{#16A06A}{4a} + \textcolor{#E0453A}{(x - 4)(a + 100)}$ — odpowiedź D.

💡 Wskazówka: Gdy zadanie dzieli coś na „pierwsze $n$ ” i „pozostałe”, liczba pozostałych to zawsze całość minus $n$ . Tutaj $x - 4$ .

⚠ Najczęstszy błąd: pomnożenie $(a + 100)$ przez $x$ zamiast przez $(x - 4)$ — kusząca odpowiedź B. Wtedy pierwsze cztery raty policzylibyśmy dwa razy.

Zadanie 21 (materiały CKE)1 pktłatwe

Dokończ zdanie.
Dla

x = 3

y = -2

wartość 0 przyjmuje wyrażenie

A. $3x + y^2$
B. $3y - 2x$
C. $(x - 7) \cdot (2y - 1)$
D. $(x + 3) \cdot (y + 2)$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Przy iloczynach warto zacząć od sprytnej obserwacji: iloczyn jest zerem wtedy, gdy przynajmniej jeden z czynników jest zerem.
D. Sprawdzamy drugi nawias: $\textcolor{#E0453A}{y + 2} = -2 + 2 = \textcolor{#E0453A}{0}$ — cały iloczyn wynosi 0, niezależnie od pierwszego nawiasu ✓
Dla porządku pozostałe:
A. $3 \cdot 3 + (-2)^2 = 9 + 4 = 13$ ✗ · B. $3 \cdot (-2) - 2 \cdot 3 = -6 - 6 = -12$ ✗
C. $(3 - 7)(2 \cdot (-2) - 1) = (-4) \cdot (-5) = 20$ ✗
Odpowiedź D.

💡 Wskazówka: Przy wyrażeniach w postaci iloczynu nie mnóż od razu — najpierw sprawdź, czy któryś nawias się nie zeruje. To skraca zadanie do jednego działania.

⚠ Najczęstszy błąd: policzenie $(-2)^2$ jako -4 w odpowiedzi A. Kwadrat liczby ujemnej jest dodatni, więc wyrażenie daje 13, a nie 5.

Zadanie 22 (materiały CKE)1 pktśrednie

Paweł zjada średnio

a

jabłek w czasie

b

dni. Którym wyrażeniem opisano, ile średnio jabłek Paweł zjada w ciągu tygodnia?

A. $\dfrac{7a}{b}$
B. $\dfrac{7b}{a}$
C. $\dfrac{ab}{7}$
D. $\dfrac{7}{ab}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Standardowy schemat: najpierw policz wielkość na jeden dzień, potem pomnóż przez liczbę dni.
Na jeden dzień przypada $\textcolor{#16A06A}{\dfrac{a}{b}}$ jabłka (dzielimy liczbę jabłek przez liczbę dni).
Tydzień ma $\textcolor{#E0453A}{7}$ dni, więc w tygodniu: $\textcolor{#E0453A}{7} \cdot \textcolor{#16A06A}{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{7a}{b}$ .
Odpowiedź A.
Kontrola na liczbach: gdyby Paweł zjadał $a = 6$ jabłek w $b = 3$ dni, to dziennie 2 jabłka, a w tygodniu 14. Wzór daje $\dfrac{7 \cdot 6}{3} = 14$ ✓

💡 Wskazówka: Zawsze sprawdzaj wzór na konkretnych, wygodnych liczbach. Jeśli podstawienie daje bzdurę (np. ułamek zamiast liczby jabłek), wzór jest zły.

⚠ Najczęstszy błąd: odwrócenie ułamka i zapisanie $\tfrac{7b}{a}$ . Kontrola liczbowa natychmiast to wyłapuje: $\tfrac{7 \cdot 3}{6} = 3{,}5$ jabłka tygodniowo — mniej niż dziennie, co nie ma sensu.

Zadania otwarte

Zadanie 23 (marzec 2021)2 pkttrudniejsze

Pewną kwotę rozdzielono na trzy nagrody pieniężne. Marcin dostał 2 razy więcej pieniędzy niż Jędrek, a Kamil 2 razy mniej niż Jędrek. Uzasadnij, że Kamil otrzymał

\dfrac{1}{7}

tej kwoty.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: dowód

Za niewiadomą wybieramy nagrodę Jędrka — bo to do niej odnoszą się obie pozostałe. Niech $j$ oznacza jego nagrodę.
Marcin dostał 2 razy więcej: $\textcolor{#16A06A}{2j}$ .
Kamil dostał 2 razy mniej: $\textcolor{#E0453A}{\dfrac{j}{2}}$ .
Cała rozdzielona kwota to suma trzech nagród: $\textcolor{#16A06A}{2j} + j + \textcolor{#E0453A}{\dfrac{j}{2}}$ .
Sprowadzamy do wspólnego mianownika 2: $\dfrac{4j}{2} + \dfrac{2j}{2} + \dfrac{j}{2} = \dfrac{7j}{2}$ .
Teraz liczymy, jaką część całości stanowi nagroda Kamila: $\textcolor{#E0453A}{\dfrac{j}{2}} : \dfrac{7j}{2} = \dfrac{j}{2} \cdot \dfrac{2}{7j} = \dfrac{1}{7}$ .
Kamil otrzymał więc $\dfrac17$ całej kwoty — co należało uzasadnić.
Można też prościej: przyjmijmy, że nagroda Kamila to 1 część. Wtedy Jędrek ma 2 części, a Marcin 4 — razem $1 + 2 + 4 = 7$ części, z których Kamil ma jedną ✓

💡 Wskazówka: Sposób „na części” jest tu najszybszy: zacznij od najmniejszej nagrody jako jednej części, a pozostałe wyrażą się liczbami całkowitymi — bez ułamków.

⚠ Najczęstszy błąd: przyjęcie za niewiadomą nagrody Marcina lub Kamila i pogubienie się w ułamkach. Zawsze wybieraj tę wielkość, do której odnoszą się pozostałe — tu Jędrka.

Zadanie 24 (kwiecień 2019)2 pktśrednie

Adam zamówił bukiet złożony tylko z goździków i róż, w którym goździków było 2 razy więcej niż róż. Jedna róża kosztowała 4 zł, a cena jednego goździka wynosiła 3 zł. Czy wszystkie kwiaty w tym bukiecie mogły kosztować 35 zł? Uzasadnij odpowiedź.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: Nie mogły

Oznaczmy liczbę róż przez $r$ . Goździków było 2 razy więcej, czyli $2r$ .
Koszt róż: $\textcolor{#16A06A}{4r}$ zł. Koszt goździków: $3 \cdot 2r = \textcolor{#E0453A}{6r}$ zł.
Łączny koszt bukietu: $\textcolor{#16A06A}{4r} + \textcolor{#E0453A}{6r} = 10r$ zł.
Zauważ ważną rzecz: koszt jest zawsze wielokrotnością 10 — niezależnie od tego, ile róż kupimy.
Gdyby bukiet kosztował 35 zł, mielibyśmy $10r = 35$ , czyli $r = 3{,}5$ — a liczba róż musi być liczbą całkowitą.
Odpowiedź: nie, bukiet nie mógł kosztować 35 zł. Możliwe kwoty to tylko 10 zł, 20 zł, 30 zł, 40 zł itd.

💡 Wskazówka: Gdy w zadaniu pytają „czy mogło”, a wynik wychodzi ułamkowy — to zwykle właśnie jest odpowiedź. Liczba kwiatów, osób czy przedmiotów zawsze musi być całkowita.

⚠ Najczęstszy błąd: odpowiedź „nie” bez obliczeń. Komisja wymaga pokazania, że koszt wynosi $10r$ , i wyjaśnienia, dlaczego 3,5 róży jest niemożliwe.

Zadanie 25 (materiały CKE)3 pktśrednie

Nauczyciel zadał uczniom takie polecenie: Pomyśl pewną liczbę, pomnóż ją przez 3, do iloczynu dodaj 6, a otrzymany wynik podziel przez 3. Teraz od ostatniego wyniku odejmij liczbę, którą pomyślałeś na początku. Uzasadnij, że każdy uczeń powinien otrzymać taki sam końcowy wynik.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: dowód — zawsze wychodzi 2

Oznaczmy pomyślaną liczbę przez $n$ — jest dowolna, więc dowód obejmie wszystkich uczniów naraz.
Pomnóż przez 3: $\textcolor{#16A06A}{3n}$ .
Dodaj 6: $\textcolor{#16A06A}{3n} + 6$ .
Podziel przez 3: $\dfrac{\textcolor{#16A06A}{3n} + 6}{3} = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{3n}}{3} + \dfrac{6}{3} = \textcolor{#E0453A}{n} + 2$ .
Odejmij pomyślaną liczbę: $(\textcolor{#E0453A}{n} + 2) - \textcolor{#E0453A}{n} = 2$ .
Litera $\textcolor{#E0453A}{n}$ się skróciła — wynik nie zależy więc od pomyślanej liczby.
Odpowiedź: każdy uczeń otrzyma 2, niezależnie od tego, jaką liczbę pomyślał — co należało uzasadnić.
Sprawdzenie na przykładzie: dla $n = 10$ mamy $30 \to 36 \to 12 \to 12 - 10 = 2$ ✓

💡 Wskazówka: Przy dzieleniu sumy przez liczbę rozbij ułamek na dwa: $\dfrac{3n+6}{3} = \dfrac{3n}{3} + \dfrac{6}{3}$ . Widać wtedy od razu, co się skraca.

⚠ Najczęstszy błąd: sprawdzenie zadania na jednej czy dwóch liczbach i napisanie „zawsze wychodzi 2”. Kilka przykładów nie jest dowodem — trzeba przeprowadzić rachunek na literze $n$ .

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. A, D	2. B	3. A	4. B	5. D	6. A
7. C	8. A	9. A, D	10. C	11. P, P	12. A, C
13. C	14. C	15. F, F	16. C	17. B	18. P, P
19. C	20. D	21. D	22. A	23. dowód	24. Nie mogły
25. dowód — zawsze wychodzi 2

Treści zadań pochodzą z arkuszy egzaminu ósmoklasisty oraz z arkuszy egzaminu gimnazjalnego (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów liczę i zapisuję sam — Mateusz Będkowski.

Zadania z arkuszy CKE — wyrażenia algebraiczne na rysunkach

Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminu ósmoklasisty (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem. W zestawie jest 2 zadania z arkuszy egzaminu gimnazjalnego (do 2019 roku) — dokładamy je jako dodatkowe ćwiczenie tych samych umiejętności. Zakres gimnazjum był miejscami szerszy niż wymagania dla klas 7–8, dlatego każde takie zadanie jest podpisane osobno.

Cały ten dział opiera się na jednym pomyśle: ten sam odcinek opisano na dwa sposoby. Dlatego zielone są dwa opisy tej samej długości — to z ich zrównania bierze się równanie — a czerwona jest wyliczona wartość niewiadomej, którą potem wstawiamy z powrotem do wyrażeń. Kolor pokazuje więc dokładnie ten moment, w którym rysunek zamienia się w równanie.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (czerwiec 2022)1 pktśrednie

Na rysunku przedstawiono prostokąt. Długość dłuższego boku oznaczono symbolem

x

oraz opisano za pomocą wyrażenia algebraicznego

27 - 2x

. Długość krótszego boku oznaczono symbolem

y

oraz opisano za pomocą wyrażenia algebraicznego

2y - 3

. Które równanie nie opisuje poprawnej zależności między wartościami

x

y

A. $x - y = 6$
B. $x + y = 12$
C. $x \cdot y = 27$
D. $y : x = 3$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Każdy bok opisano dwa razy — raz literą, raz wyrażeniem. Skoro to ten sam odcinek, obydwa opisy muszą być równe.
Dłuższy bok: $\textcolor{#16A06A}{x} = \textcolor{#16A06A}{27 - 2x}$ , czyli $3x = 27$ , więc $\textcolor{#E0453A}{x} = \textcolor{#E0453A}{9}$ .
Krótszy bok: $\textcolor{#16A06A}{y} = \textcolor{#16A06A}{2y - 3}$ , czyli $y = 3$ (przenosimy $2y$ na lewo: $-y = -3$ ), więc $\textcolor{#E0453A}{y} = \textcolor{#E0453A}{3}$ .
Kontrola: $\textcolor{#E0453A}{9} > \textcolor{#E0453A}{3}$ — dłuższy bok faktycznie wyszedł dłuższy ✓
Sprawdzamy kolejne równania:
A. $\textcolor{#E0453A}{9} - \textcolor{#E0453A}{3} = 6$ ✓ opisuje
B. $\textcolor{#E0453A}{9} + \textcolor{#E0453A}{3} = 12$ ✓ opisuje
C. $\textcolor{#E0453A}{9} \cdot \textcolor{#E0453A}{3} = 27$ ✓ opisuje
D. $\textcolor{#E0453A}{3} : \textcolor{#E0453A}{9} = \tfrac13$ , a nie 3 ✗ — to równanie nie opisuje zależności.
Odpowiedź D.

💡 Wskazówka: Pytanie jest „na odwrót” — szukamy równania fałszywego. Warto podkreślić sobie słowo „nie” w treści, zanim zacznie się liczyć.

⚠ Najczęstszy błąd (poza przeoczeniem „nie”): zapisanie ilorazu w złej kolejności. W $y : x$ dzielimy krótszy przez dłuższy, więc wynik musi być mniejszy od 1.

Zadanie 2 (czerwiec 2021)1 pktśrednie

Długości boków trójkąta równoramiennego opisano wyrażeniami algebraicznymi: ramiona mają długości

3x + 1

oraz

2x + 4

, a podstawa (bok leżący między dwoma równymi kątami

\alpha

) —

2x + 1

. Dokończ zdanie.
Obwód tego trójkąta jest równy

A. 13
B. 21
C. 27
D. 30

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Kąty przy podstawie są równe ( $\alpha$ i $\alpha$ ), więc leżące naprzeciw nich ramiona są równe. To daje równanie:
$\textcolor{#16A06A}{3x + 1} = \textcolor{#16A06A}{2x + 4}$
$3x - 2x = 4 - 1$ , czyli $\textcolor{#E0453A}{x} = \textcolor{#E0453A}{3}$ .
Podstawiamy $\textcolor{#E0453A}{x} = \textcolor{#E0453A}{3}$ do wszystkich wyrażeń:
ramię: $3 \cdot \textcolor{#E0453A}{3} + 1 = 10$ • drugie ramię: $2 \cdot \textcolor{#E0453A}{3} + 4 = 10$ ✓ (zgadza się),
podstawa: $2 \cdot \textcolor{#E0453A}{3} + 1 = 7$ .
Obwód: $10 + 10 + 7 = 27$ .
Odpowiedź C.
Kontrola: nierówność trójkąta $10 + 7 > 10$ ✓ — taki trójkąt istnieje.

💡 Wskazówka: Po wyliczeniu $x$ zawsze podstaw je do obu wyrażeń na ramiona — jeśli wyjdą różne liczby, gdzieś jest błąd rachunkowy. To darmowa kontrola.

⚠ Najczęstszy błąd: zatrzymanie się na $x = 3$ i zaznaczenie odpowiedzi z trójką albo obliczenie obwodu jako $3x+1+2x+4+2x+1 = 7x + 6$ i podstawienie źle. Zadanie pyta o obwód, nie o $x$ .

Zadanie 3 (czerwiec 2020)1 pkttrudniejsze

Czworokąt

ABCD

podzielono przekątną

AC

na dwa trójkąty. Długości odcinków opisano wyrażeniami algebraicznymi:

AD = x - 5

DC = x - 7

AC = x - 4

CB = x - 4

oraz

AB = x

. Obwód trójkąta

ABC

jest równy 31. Oceń prawdziwość podanych zdań.

Odcinek $AC$ jest o 4 jednostki dłuższy od odcinka $CD$ .	P	F
Obwód trójkąta $ACD$ jest równy 23.	P	F

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: F, P

Krok 1 — wyznaczamy $x$ z obwodu trójkąta $ABC$ . Jego boki to $AB$ , $BC$ i $CA$ :
$\textcolor{#16A06A}{x} + \textcolor{#16A06A}{(x-4)} + \textcolor{#16A06A}{(x-4)} = 31$
$3x - 8 = 31$ , czyli $3x = 39$ , więc $\textcolor{#E0453A}{x} = \textcolor{#E0453A}{13}$ .
Krok 2 — obliczamy wszystkie odcinki.
$AB = \textcolor{#E0453A}{13}$ • $AC = \textcolor{#E0453A}{13} - 4 = 9$ • $CB = 9$ • $AD = \textcolor{#E0453A}{13} - 5 = 8$ • $DC = \textcolor{#E0453A}{13} - 7 = 6$
Zdanie 1. $AC - CD = 9 - 6 = 3$ , a nie 4 — fałsz.
Zdanie 2. Obwód trójkąta $ACD$ : $9 + 6 + 8 = 23$ ✓ — prawda.
Odpowiedzi: F, P.

💡 Wskazówka: Różnicę z pierwszego zdania można sprawdzić bez liczenia $x$ : $AC - CD = (x-4) - (x-7) = 3$ . Ta różnica jest stała, niezależnie od wartości $x$ .

⚠ Najczęstszy błąd: doliczenie do obwodu trójkąta $ABC$ także boków $AD$ i $DC$ . Przekątna $AC$ dzieli czworokąt na dwa trójkąty, a każdy z nich ma swoje trzy boki.

Zadanie 4 (kwiecień 2019)1 pkttrudniejsze

Kwadrat o boku

a

rozcięto poziomą linią na dwa przystające prostokąty (każdy o wymiarach

a \times \tfrac{a}{2}

). Z tych prostokątów ułożono nową figurę: jeden prostokąt leży poziomo, a drugi stoi pionowo na nim, opierając się o niego całym krótszym bokiem. Pole ułożonej figury jest równe polu kwadratu. Oceń prawdziwość podanych zdań.

Obwód ułożonej figury jest większy o $1{,}5a$ od obwodu kwadratu.	P	F
Obwód ułożonej figury jest równy $5a$ .	P	F

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: F, P

Krok 1 — obwód kwadratu. $\textcolor{#16A06A}{4a}$ .
Krok 2 — obwód każdego prostokąta osobno. Prostokąt ma wymiary $a$ i $\tfrac{a}{2}$ :
$2\left(a + \tfrac{a}{2}\right) = \textcolor{#16A06A}{3a}$ — i tak samo drugi.
Krok 3 — sklejenie. Pionowy prostokąt styka się z poziomym całym krótszym bokiem, czyli odcinkiem długości $\textcolor{#E0453A}{\tfrac{a}{2}}$ . Ten odcinek znika z obwodu dwukrotnie — raz z jednej figury, raz z drugiej:
$P = \textcolor{#16A06A}{3a} + \textcolor{#16A06A}{3a} - 2 \cdot \textcolor{#E0453A}{\tfrac{a}{2}} = 6a - \textcolor{#E0453A}{a} = 5a$ .
Zdanie 1. Różnica wynosi $5a - \textcolor{#16A06A}{4a} = a$ , a nie $1{,}5a$ — fałsz.
Zdanie 2. Obwód wynosi dokładnie $5a$ ✓ — prawda.
Odpowiedzi: F, P.

💡 Wskazówka: Zdanie „pole ułożonej figury jest równe polu kwadratu” to podpowiedź, że pole się nie zmienia przy przekładaniu kawałków — zmienia się tylko obwód. Warto sobie to rozróżnienie utrwalić.

⚠ Najczęstszy błąd: odjęcie linii styku tylko raz (wychodzi wtedy $5{,}5a$ ). Każde sklejenie usuwa z obwodu dwa odcinki tej samej długości — po jednym z każdej łączonej figury.

Zadanie 5 (kwiecień 2014, egzamin gimnazjalny)1 pktśrednie

Płytki o jednakowym kształcie układa się w rzędzie, zazębiając je ze sobą. Jedna płytka ma szerokość 6 cm, a dwie ułożone obok siebie — łącznie 10 cm. Ułożono wzór z 5 płytek. Dokończ zdanie tak, aby otrzymać zdanie prawdziwe.
Odcinek

x

— długość całego wzoru — ma długość

A. 20 cm
B. 22 cm
C. 26 cm
D. 30 cm

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Krok 1 — ile dokłada każda kolejna płytka. Porównujemy dwa podane przypadki:
$\textcolor{#16A06A}{10} - \textcolor{#16A06A}{6} = \textcolor{#E0453A}{4}$ cm — o tyle rośnie wzór po dołożeniu jednej płytki.
(Płytki się zazębiają, więc druga płytka dokłada mniej niż własne 6 cm.)
Krok 2 — pięć płytek. Zaczynamy od pierwszej ( $\textcolor{#16A06A}{6}$ cm) i dokładamy cztery kolejne po $\textcolor{#E0453A}{4}$ cm:
$x = \textcolor{#16A06A}{6} + 4 \cdot \textcolor{#E0453A}{4} = 6 + 16 = 22$ cm.
Odpowiedź B.

💡 Wskazówka: Sprawdź regułę na danych z treści: dla 1 płytki $6 + 0 \cdot 4 = 6$ ✓, dla 2 płytek $6 + 1 \cdot 4 = 10$ ✓. Dopiero potem licz dla pięciu.

⚠ Najczęstszy błąd: pomnożenie $5 \cdot 4 = 20$ (odpowiedź A) — czyli policzenie o jeden przyrost za dużo. Pięć płytek to pierwsza plus cztery dołożone.

Zadanie 6 (kwiecień 2014, egzamin gimnazjalny)1 pkttrudniejsze

Płytki o jednakowym kształcie układa się w rzędzie, zazębiając je ze sobą: jedna płytka ma szerokość 6 cm, a dwie ułożone obok siebie — 10 cm. Które wyrażenie algebraiczne opisuje długość całego wzoru złożonego z

n

płytek?

A. $6n$
B. $6n - 4$
C. $4n - 2$
D. $4n + 2$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Krok 1 — budujemy wzór wprost z reguły. Pierwsza płytka daje $\textcolor{#16A06A}{6}$ cm, a każda następna dokłada $\textcolor{#E0453A}{4}$ cm. Płytek „następnych” jest $n - 1$ :
$\textcolor{#16A06A}{6} + \textcolor{#E0453A}{4}(n-1) = \textcolor{#16A06A}{6} + \textcolor{#E0453A}{4n} - \textcolor{#E0453A}{4} = 4n + 2$ .
Odpowiedź D.
Krok 2 — sprawdzenie na znanych przypadkach. To najpewniejszy sposób na wybór właściwej odpowiedzi:
dla $n = 1$ : $4 \cdot 1 + 2 = \textcolor{#16A06A}{6}$ ✓ • dla $n = 2$ : $4 \cdot 2 + 2 = \textcolor{#16A06A}{10}$ ✓ • dla $n = 5$ : $4 \cdot 5 + 2 = 22$ ✓
Pozostałe wzory odpadają już przy $n = 1$ : $6 \cdot 1 = 6$ ✓ ale $6 \cdot 2 = 12 \neq 10$ ✗; $4 \cdot 1 - 2 = 2 \neq 6$ ✗; $6 \cdot 1 - 4 = 2 \neq 6$ ✗

💡 Wskazówka: Przy zadaniach zamkniętych z wzorem najszybciej jest podstawić najmniejsze $n$ i odrzucić wszystko, co nie pasuje. Zwykle wystarczą dwa sprawdzenia.

⚠ Najczęstszy błąd: wzór $6n$ — czyli założenie, że płytki nie zachodzą na siebie. Gdyby tak było, dwie płytki dałyby 12 cm, a nie 10 cm.

Zadania otwarte

Zadanie 7 (grudzień 2024)3 pkttrudniejsze

Dany jest trójkąt

ABC

, w którym długości boków opisano wyrażeniami algebraicznymi:

AC = 3x - 12

BC = 88 - 2x

oraz

AB = 1{,}5x + 18

. Długość boku

AC

w tym trójkącie jest równa długości boku

BC

. Uzasadnij, że trójkąt

ABC

jest równoboczny. Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: x = 20, wszystkie boki mają długość 48

Żeby uzasadnić, że trójkąt jest równoboczny, trzeba pokazać, że wszystkie trzy boki mają tę samą długość.
Krok 1 — wyznaczamy $x$ z warunku $AC = BC$ .
$\textcolor{#16A06A}{3x - 12} = \textcolor{#16A06A}{88 - 2x}$
$3x + 2x = 88 + 12$
$5x = 100$ , czyli $\textcolor{#E0453A}{x} = \textcolor{#E0453A}{20}$ .
Krok 2 — obliczamy każdy bok.
$AC = 3 \cdot \textcolor{#E0453A}{20} - 12 = 60 - 12 = 48$
$BC = 88 - 2 \cdot \textcolor{#E0453A}{20} = 88 - 40 = 48$
$AB = 1{,}5 \cdot \textcolor{#E0453A}{20} + 18 = 30 + 18 = 48$
Krok 3 — wniosek. Wszystkie trzy boki mają długość 48, więc trójkąt $ABC$ jest równoboczny. ∎

💡 Wskazówka: W zadaniach „uzasadnij” nie wystarczy wyliczyć $x$ — trzeba pokazać wszystkie trzy wyniki i wprost napisać wniosek. Za samo $x = 20$ nie ma kompletu punktów.

⚠ Najczęstszy błąd: policzenie tylko $AC$ i $BC$ (bo z założenia są równe) i pominięcie $AB$ . To właśnie trzeci bok jest tu całą treścią dowodu.

Zadanie 8 (materiały CKE)1 pkttrudniejsze

Z każdego narożnika prostokąta odcięto kwadrat o boku

a

i otrzymano figurę w kształcie krzyża. Z wymiarów zaznaczonych na rysunku wynika, że górna krawędź prostokąta składa się z odcinków

a

, 3 i

a

, a prawa krawędź — z odcinków

a

, 1 i

a

. Zapisz wyrażenie algebraiczne opisujące pole zacieniowanej figury i oblicz jego wartość dla

a = 2{,}5

. Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 8a + 3, dla a = 2,5 pole wynosi 23

Krok 1 — wymiary całego prostokąta. Składamy je z zaznaczonych odcinków:
szerokość: $\textcolor{#16A06A}{a} + \textcolor{#16A06A}{3} + \textcolor{#16A06A}{a} = \textcolor{#16A06A}{2a + 3}$
wysokość: $\textcolor{#16A06A}{a} + \textcolor{#16A06A}{1} + \textcolor{#16A06A}{a} = \textcolor{#16A06A}{2a + 1}$
Krok 2 — pole prostokąta.
$(\textcolor{#16A06A}{2a+3})(\textcolor{#16A06A}{2a+1}) = 4a^2 + 2a + 6a + 3 = \textcolor{#E0453A}{4a^2 + 8a + 3}$
Krok 3 — odejmujemy cztery wycięte kwadraty. Każdy ma pole $a^2$ :
$P = \textcolor{#E0453A}{4a^2 + 8a + 3} - \textcolor{#E0453A}{4a^2} = 8a + 3$
Kwadratowe wyrazy się skróciły — zostaje wyrażenie liniowe.
Krok 4 — wartość dla $a = 2{,}5$ .
$8 \cdot 2{,}5 + 3 = 20 + 3 = 23$
Odpowiedź: pole opisuje wyrażenie $8a + 3$ , a dla $a = 2{,}5$ wynosi 23.

💡 Wskazówka: Można też liczyć krzyż wprost, jako trzy prostokąty: pionowa belka $3 \times (2a+1)$ plus dwa boczne kawałki $a \times 1$ każdy. Wychodzi $6a + 3 + 2a = 8a + 3$ ✓ — ta sama odpowiedź, mniej rachunków.

⚠ Najczęstszy błąd przy mnożeniu nawiasów: pomnożenie tylko „pierwszy razy pierwszy i drugi razy drugi” ( $4a^2 + 3$ ). Trzeba wymnożyć każdy składnik przez każdy — stąd biorą się wyrazy $2a$ i $6a$ .

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. D	2. C	3. F, P	4. F, P	5. B	6. D
7. x = 20, wszystkie boki mają długość 48	8. 8a + 3, dla a = 2,5 pole wynosi 23

Pytania i odpowiedzi

Jak zapisać „o 5 więcej niż x”?

Jako $x + 5$ . Zwrot „o tyle więcej” zawsze oznacza dodawanie. Gdyby w treści było „5 razy więcej”, zapis brzmiałby $5x$ — to zupełnie inne wyrażenie i dla $x = 10$ daje 50 zamiast 15.

Czym są wyrazy podobne?

To wyrazy mające identyczną część literową, na przykład $3a$ i $7a$ . Tylko takie wolno łączyć, dodając współczynniki. Wyrazy $3a$ i $3b$ podobne nie są, podobnie jak $3a$ i $3a^2$ — potęga też należy do części literowej.

Co dzieje się ze znakami po minusie przed nawiasem?

Wszystkie znaki wewnątrz nawiasu się odwracają, nie tylko pierwszy. Najprościej potraktować minus jako mnożenie przez -1 i wymnożyć go przez każdy wyraz osobno — wtedy nie da się o żadnym zapomnieć.

Jak zapisać obwód figury, której boki opisano literami?

Tak samo jak dla liczb: dodaj długości wszystkich boków, a potem zredukuj wyrazy podobne. Przy figurach złożonych uważaj na krawędzie wspólne — one nie leżą na brzegu, więc do obwodu nie wchodzą.

Jak wykazać, że wyrażenie jest zawsze parzyste?

Przekształć je i wyłącz dwójkę przed nawias. Jeśli otrzymasz postać $2 \cdot (\text{coś całkowitego})$ , teza jest udowodniona dla każdej wartości niewiadomej. Kolejne liczby parzyste zapisuj jako $2n$ i $2n+2$ .

Czym różni się

2x

x^2

Pierwsze to podwojenie liczby, drugie to pomnożenie jej przez samą siebie. Dla $x = 3$ wychodzi odpowiednio 6 i 9, a dla $x = 2$ oba dają 4 — dlatego sprawdzanie akurat na dwójce niczego nie rozstrzyga.

Czytaj dalej

Wyrażenia algebraiczne — teoriaPo co litery, jednomiany, wyrazy podobne i wartość wyrażenia od podstaw Zadania tekstowe na egzaminieKolejny krok — gdy z wyrażenia trzeba zbudować równanie Przekształcanie wzorów na egzaminieTe same przekształcenia zastosowane do gotowych wzorów Obwody figur na egzaminieObwód zapisany liczbami — wersja bez liter Egzamin ósmoklasisty z matematykiJak zbudowany jest arkusz i jak się do niego przygotować

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-07-30. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa Mateusza Będkowskiego.