Strona główna › Egzamin ósmoklasisty › Kąty w figurach na egzaminie ósmoklasisty

Kąty w figurach na egzaminie ósmoklasisty

Prawie cały ten dział stoi na dwóch zdaniach: suma kątów w trójkącie wynosi 180°180° i w trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie są równe. Pierwsze wraca w jedenastu z 24 zadań, drugie w dziewięciu. Reszta to umiejętność zobaczenia, gdzie na rysunku te reguły można zastosować.

Dział: Egzamin ósmoklasistyPoziom: klasa 7–8Zadań z E8: 24

Przejdź od razu do zadań (24) ↓

Suma kątów w trójkącie — reguła, z której wszystko wynika

W każdym trójkącie suma miar kątów wewnętrznych wynosi 180°180°. Z tego jednego faktu wyprowadza się prawie wszystko inne w tym dziale.

Jeśli znasz dwa kąty, trzeci liczysz odejmowaniem. Jeśli znasz zależności między nimi — układasz równanie. Zadanie „jeden kąt jest dwa razy większy od drugiego, a trzeci ma 60°60°” staje się równaniem x+2x+60=180x + 2x + 60 = 180.

Stąd też wynika suma kątów w czworokącie. Każdy czworokąt da się przekątną podzielić na dwa trójkąty, więc jego kąty sumują się do 2⋅180°=360°2 \cdot 180° = 360°. W pięciokącie będzie to trzy trójkąty, czyli 540°540°.

Trójkąt równoramienny: dwa kąty przy podstawie

W trójkącie równoramiennym dwa boki są równe, a kąty leżące przy podstawie — czyli naprzeciw tych równych ramion — mają tę samą miarę.

To daje krótką drogę: znając kąt przy wierzchołku, oba pozostałe liczysz jako 180°−α2\dfrac{180° - \alpha}{2}. Znając kąt przy podstawie, kąt przy wierzchołku to 180°−2β180° - 2\beta.

Najczęstsza pomyłka polega na pomyleniu, który kąt jest który. Podstawa to bok leżący naprzeciw kąta między ramionami — a nie ten, który na rysunku jest na dole. Rysunek bywa obrócony i to wystarczy, żeby zgubić się w rozwiązaniu.

Trójkąt równoboczny jest szczególnym przypadkiem: wszystkie boki równe, więc wszystkie kąty mają po 60°60°.

Kąty przyległe, wierzchołkowe i przy prostych równoległych

Kąty przyległe mają wspólne ramię i razem tworzą kąt półpełny, więc sumują się do 180°180°. Kąty wierzchołkowe leżą naprzeciw siebie przy przecięciu dwóch prostych i są równe.

Gdy dwie proste równoległe przecina trzecia, powstaje osiem kątów, a wśród nich co najwyżej dwie różne miary. Kąty odpowiadające i naprzemianległe są równe, a każdy kąt z pierwszej grupy dopełnia się do 180°180° z każdym kątem z drugiej. (Uwaga na słowo: kąty przy drugim punkcie przecięcia nie są przyległe do tych przy pierwszym — przyległość wymaga wspólnego wierzchołka i wspólnego ramienia. Dopełnianie się do półpełnego to co innego niż przyleganie.)

Miary są dwie, chyba że poprzeczna jest prostopadła do obu prostych — wtedy wszystkie osiem kątów ma po 90°90° i miara jest jedna.

Praktyczna wskazówka: zamiast uczyć się nazw, sprawdź na rysunku, czy dwa kąty „wyglądają tak samo”, czy „domykają się do prostej”. Przy prostych równoległych każdy kąt ma tylko dwie możliwe miary — swoją albo jej dopełnienie do 180°180°.

Kąty w trapezie i innych czworokątach

W trapezie kąty leżące przy tym samym ramieniu sumują się do 180°180°, bo podstawy są równoległe, a ramię jest ich poprzeczną. To zależność, która rozwiązuje większość zadań o trapezach.

W równoległoboku kąty przeciwległe są równe, a sąsiednie sumują się do 180°180°. W rombie dodatkowo przekątne przecinają się pod kątem prostym i dzielą kąty na połowy.

W deltoidzie równe są kąty między bokami różnej długości — te dwa, przez które przechodzi oś symetrii, są różne.

Przystawanie trójkątów

Dwa trójkąty są przystające, gdy mają identyczne wszystkie boki i kąty — czyli można je na siebie nałożyć. Do stwierdzenia przystawania nie trzeba sprawdzać wszystkiego; wystarczy jedna z trzech cech:

Słowo „między” jest tu istotne. Dwa boki i kąt leżący nie między nimi nie wystarczają — istnieją dwa różne trójkąty spełniające taki warunek.

Przystawanie wraca w zadaniach na uzasadnianie: pokazujemy, że dwa trójkąty są przystające, i stąd wnioskujemy, że jakieś odcinki albo kąty są równe.

Gdy kąt trzeba wyliczyć równaniem

Częsty format: miary kątów podane są wyrażeniami, na przykład 2x2x, 3x+103x + 10 i x−5x - 5. Rozwiązanie to zwykłe równanie — suma musi dać 180°180°.

Po obliczeniu xx trzeba jeszcze wrócić do treści i policzyć konkretne miary. Sam xx prawie nigdy nie jest odpowiedzią, a to najczęstsze przeoczenie w tych zadaniach.

Kontrola na koniec: podstaw wyliczone miary z powrotem i sprawdź, czy sumują się do 180°180° oraz czy wszystkie wyszły dodatnie.

Przykłady krok po kroku

Cztery zadania krok po kroku, po jednym z każdego typu, który wraca w arkuszach: trójkąt równoramienny, równanie na kątach, proste równoległe i trapez.

Przykład 1 Kąty w trójkącie równoramiennym

W trójkącie równoramiennym kąt między ramionami ma 40°40°. Oblicz miary pozostałych kątów.

  1. Kąt między ramionami to kąt przy wierzchołku. Pozostałe dwa leżą przy podstawie i są równe.
  2. Suma wszystkich kątów to 180°180°, więc na oba kąty przy podstawie zostaje 180°−40°=140°180° - 40° = 140°.
  3. Dzielę na dwa równe: 140°:2=70°140° : 2 = 70°.
  4. Kontrola: 40°+70°+70°=180°40° + 70° + 70° = 180° ✓

Odpowiedź: Kąty przy podstawie mają po 70°70°.

Przykład 2 Kąty przyległe zapisane wyrażeniem

Dwa kąty przyległe mają miary 3x3x i 2x2x. Oblicz miarę każdego z nich.

  1. Kąty przyległe sumują się do 180°180°, więc 3x+2x=1803x + 2x = 180.
  2. Redukuję: 5x=1805x = 180, czyli x=36x = 36.
  3. Wracam do treści — xx nie jest odpowiedzią. Pierwszy kąt: 3⋅36=108°3 \cdot 36 = 108°. Drugi: 2⋅36=72°2 \cdot 36 = 72°.
  4. Kontrola: 108°+72°=180°108° + 72° = 180° ✓, a większy kąt jest rzeczywiście półtora raza większy od mniejszego.

Odpowiedź: Kąty mają 108°108° i 72°72°.

Przykład 3 Proste równoległe przecięte poprzeczną

Dwie proste równoległe przecina trzecia. Jeden z powstałych kątów ma 65°65°. Jakie miary mają pozostałe kąty?

  1. Przy prostych równoległych występują dwie różne miary kątów — jedna jest dana, druga dopełnia ją do 180°180°. (Gdyby poprzeczna była prostopadła, miara byłaby jedna, ale tu jest 65°65°, więc tak nie jest.)
  2. Kąt wierzchołkowy do danego jest równy: 65°65°. Kąty odpowiadające i naprzemianległe też mają 65°65°.
  3. Każdy kąt przyległy do nich dopełnia do prostej: 180°−65°=115°180° - 65° = 115°.
  4. Zatem cztery kąty mają po 65°65°, a cztery po 115°115°.
  5. Kontrola: 65°+115°=180°65° + 115° = 180° ✓

Odpowiedź: Cztery kąty mają po 65°65°, a pozostałe cztery po 115°115°.

Przykład 4 Kąty w trapezie

W trapezie kąt przy dłuższej podstawie ma 105°105°. Oblicz kąt przy tym samym ramieniu, leżący przy krótszej podstawie.

  1. Podstawy trapezu są równoległe, a ramię jest ich poprzeczną.
  2. Kąty leżące przy tym samym ramieniu są więc kątami jednostronnymi — sumują się do 180°180°.
  3. Szukany kąt: 180°−105°=75°180° - 105° = 75°.
  4. Kontrola: kąt rozwarty przy dłuższej podstawie musi się łączyć z ostrym przy krótszej — i tak wyszło ✓

Odpowiedź: Szukany kąt ma 75°75°.

Najczęstsze błędy

Cztery błędy, które w tym dziale wracają najczęściej. Pierwszy i ostatni biorą się z rysunku, drugi z pomylenia dwóch pojęć, a trzeci z pośpiechu przy zapisie odpowiedzi.

Pomylenie kąta przy wierzchołku z kątem przy podstawie

Skąd się bierze: Uczeń zakłada, że „podstawa jest na dole”. Gdy rysunek jest obrócony, bierze zły kąt jako ten między ramionami i dzieli na pół niewłaściwą resztę.

Jak zrobić dobrze: Znajdź dwa równe boki — to są ramiona. Kąt między nimi to kąt przy wierzchołku, a dwa pozostałe są równe. Orientacja rysunku nie ma znaczenia.

Mylenie kątów przyległych z wierzchołkowymi

Skąd się bierze: Oba pojęcia dotyczą przecięcia prostych, więc bywają zamieniane. Przyległe dopełniają się do 180°180°, wierzchołkowe są równe — pomyłka daje wynik 180°−α180° - \alpha zamiast α\alpha.

Jak zrobić dobrze: Sprawdź położenie: kąty wierzchołkowe leżą naprzeciw siebie i nie mają wspólnego ramienia. Przyległe mają wspólne ramię i razem tworzą linię prostą.

Zatrzymanie się na wyliczeniu xx

Skąd się bierze: Zadanie prosi o miary kątów, a uczeń podaje wartość niewiadomej. To najczęstsze przeoczenie w zadaniach z równaniem — rachunek jest poprawny, ale odpowiedź nie odpowiada na pytanie.

Jak zrobić dobrze: Po wyliczeniu xx wróć do wyrażeń z treści i policz każdą miarę osobno. Na koniec sprawdź, czy sumują się do 180°180°.

Odczytywanie równości z wyglądu rysunku

Skąd się bierze: Dwa kąty wyglądają podobnie, więc uczeń przyjmuje, że są równe — mimo że treść tego nie mówi. Rysunki w arkuszach bywają celowo nie w skali.

Jak zrobić dobrze: Korzystaj wyłącznie z tego, co oznaczono albo co wynika z twierdzenia. Równe boki są zaznaczone kreskami, kąty proste — łukiem z kropką. Reszta wymaga uzasadnienia.

Zadania z egzaminu ósmoklasisty — kąty w figurach

Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminu ósmoklasisty (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem. W zestawie jest 4 zadania z arkuszy egzaminu gimnazjalnego (do 2019 roku) — dokładamy je jako dodatkowe ćwiczenie tych samych umiejętności. Zakres gimnazjum był miejscami szerszy niż wymagania dla klas 7–8, dlatego każde takie zadanie jest podpisane osobno.

Kolor pokazuje, co się z czym sumuje: zielone to kąty, które już znamy albo które są sobie równe (np. przy podstawie trójkąta równoramiennego), a czerwona to suma docelowa — 180°180° w trójkącie, 360°360° w czworokącie, 180°180° dla kątów przyległych. Prawie każde zadanie o kątach to jedno z tych trzech równań.

Sprawdź się bez zaglądania do odpowiedzi. Wylosuję 10 zadań zamkniętych z tego zestawu — klucz i rozwiązania schowam do czasu sprawdzenia. Pula liczy 11 zadań, więc za każdym razem dostaniesz inny zestaw.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (maj 2026)1 pktśrednie

Kąty wewnętrzne czworokąta oznaczono: α\alpha, β\beta, γ\gamma oraz δ\delta. Miara kąta β\beta jest o 70°70° większa od miary kąta α\alpha, miara kąta γ\gamma jest dwukrotnie większa od miary kąta α\alpha, a δ\delta jest kątem prostym. Miara kąta β\beta jest równa
Czworokąt o kątach α, β, γ i kącie prostym δαβγδ
  • A. 50°50°
  • B. 85°85°
  • C. 120°120°
  • D. 155°155°
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

  1. Zapisujemy wszystkie kąty przez α\textcolor{#16A06A}{\alpha}:   β=α+70°\beta = \textcolor{#16A06A}{\alpha} + 70°,   γ=2α\gamma = 2\textcolor{#16A06A}{\alpha},   δ=90°\delta = 90°.
  2. Korzystamy z tego, że suma kątów czworokąta to 360°\textcolor{#E0453A}{360°}:
  3. α+(α+70°)+2α+90°=360°\textcolor{#16A06A}{\alpha} + (\textcolor{#16A06A}{\alpha} + 70°) + 2\textcolor{#16A06A}{\alpha} + 90° = \textcolor{#E0453A}{360°}
  4. 4α+160°=360°4\textcolor{#16A06A}{\alpha} + 160° = \textcolor{#E0453A}{360°}, czyli 4α=200°4\textcolor{#16A06A}{\alpha} = 200°, więc α=50°\textcolor{#16A06A}{\alpha} = 50°.
  5. Pytanie dotyczy β\beta: β=50°+70°=120°\beta = 50° + 70° = 120° — odpowiedź C.
  6. Sprawdzenie: 50°+120°+100°+90°=360°50° + 120° + 100° + 90° = \textcolor{#E0453A}{360°} ✓

💡 Wskazówka: Suma kątów wielokąta o nn bokach to (n−2)⋅180°(n-2) \cdot 180° — dla czworokąta 2⋅180°=360°2 \cdot 180° = 360°, dla pięciokąta 540°540°. Warto to pamiętać zamiast wzoru.

⚠ Najczęstszy błąd: zatrzymanie się na α=50°\alpha = 50° i zaznaczenie odpowiedzi A. Zadanie pyta o β\beta, więc trzeba jeszcze dodać 70°70°.

Zadanie 2 (styczeń 2026)1 pkttrudniejsze

Trójkąty ABCABC i ABDABD są równoramienne i mają wspólną podstawę ABAB.
• W trójkącie ABCABC kąt między ramionami (przy wierzchołku CC) ma miarę 80°80°.
• W trójkącie ABDABD kąt między ramionami (przy wierzchołku BB) ma miarę 40°40°, przy czym BA=BDBA = BD.
Punkt SS jest punktem przecięcia odcinków ACAC i BDBD. Uzupełnij zdania.
Trójkąty równoramienne ABC i ABD o wspólnej podstawie AB80°ABCD
Kąt ASBASB jest AB.
  • A. ostry
  • B. prosty
Miara kąta DACDAC jest równa CD.
  • C. 20°20°
  • D. 40°40°
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B, C

  1. Trójkąt ABCABC. Ramiona CA=CBCA = CB, kąt przy CC to 80°\textcolor{#16A06A}{80°}. Kąty przy podstawie są równe: (180°−80°):2=50°(\textcolor{#E0453A}{180°} - \textcolor{#16A06A}{80°}) : 2 = \textcolor{#16A06A}{50°}.
  2. Zatem ∠CAB=∠CBA=50°\angle CAB = \angle CBA = \textcolor{#16A06A}{50°}.
  3. Trójkąt ABDABD. Ramiona BA=BDBA = BD, kąt przy BB to 40°\textcolor{#16A06A}{40°}. Kąty przy podstawie ADAD: (180°−40°):2=70°(\textcolor{#E0453A}{180°} - \textcolor{#16A06A}{40°}) : 2 = \textcolor{#16A06A}{70°}.
  4. Zatem ∠DAB=70°\angle DAB = \textcolor{#16A06A}{70°}.
  5. Pierwsze zdanie. W trójkącie ABSABS: kąt przy AA to ∠SAB=∠CAB=50°\angle SAB = \angle CAB = \textcolor{#16A06A}{50°}, kąt przy BB to ∠ABS=∠ABD=40°\angle ABS = \angle ABD = \textcolor{#16A06A}{40°}.
  6. ∠ASB=180°−50°−40°=90°\angle ASB = \textcolor{#E0453A}{180°} - \textcolor{#16A06A}{50°} - \textcolor{#16A06A}{40°} = 90° — to kąt prosty, odpowiedź B.
  7. Drugie zdanie. Kąt DACDAC to różnica dwóch kątów przy wierzchołku AA: ∠DAC=∠DAB−∠CAB=70°−50°=20°\angle DAC = \angle DAB - \angle CAB = \textcolor{#16A06A}{70°} - \textcolor{#16A06A}{50°} = 20° — odpowiedź C.
  8. Razem: B, C.

💡 Wskazówka: W trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie liczysz zawsze tak samo: (180°−kąt przy wierzchołku):2(180° - \text{kąt przy wierzchołku}) : 2. Warto od razu wypisać wszystkie kąty obu trójkątów — dalej to już samo odejmowanie.

⚠ Najczęstszy błąd: uznanie, że kąt między ramionami zawsze leży „na górze” figury. W trójkącie ABDABD jest on przy wierzchołku BB, a nie przy DD — trzeba czytać, które boki są ramionami.

Zadanie 3 (czerwiec 2025)1 pkttrudniejsze

Karol wie, że suma miar kątów wewnętrznych trójkąta jest równa 180°180°, i na tej podstawie zapisał trzy wnioski:
Wniosek 1. Skoro suma miar kątów wewnętrznych trójkąta jest równa 180°180°, to trójkąt nie może mieć dwóch kątów wewnętrznych prostych ani dwóch kątów wewnętrznych rozwartych.
Wniosek 2. Ponieważ trójkąt nie może mieć dwóch kątów wewnętrznych rozwartych, więc nie istnieje trójkąt rozwartokątny równoramienny.
Wniosek 3. Jeśli suma miar dwóch kątów wewnętrznych trójkąta jest większa od 90°90°, to trzeci kąt wewnętrzny tego trójkąta jest ostry.
Które z wniosków są prawdziwe?
  • A. Tylko 1. i 3.
  • B. Tylko 1. i 2.
  • C. Tylko 2. i 3.
  • D. Tylko 1., 2. i 3.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

  1. Wniosek 1 ✓ Dwa kąty proste dałyby już 90°+90°=180°\textcolor{#16A06A}{90°} + \textcolor{#16A06A}{90°} = \textcolor{#E0453A}{180°} — na trzeci kąt zostałoby zero, co jest niemożliwe. Dwa kąty rozwarte dałyby ponad 180°\textcolor{#E0453A}{180°} — tym bardziej niemożliwe.
  2. Wniosek 2 ✗ Tu Karol pomylił się w rozumowaniu. To prawda, że dwóch kątów rozwartych być nie może — ale trójkąt rozwartokątny ma tylko jeden kąt rozwarty i nic nie stoi na przeszkodzie, by był równoramienny.
  3. Kontrprzykład: trójkąt o kątach 120°\textcolor{#16A06A}{120°}, 30°\textcolor{#16A06A}{30°}, 30°\textcolor{#16A06A}{30°} — rozwartokątny i równoramienny.
  4. Wniosek 3 ✓ Jeśli dwa kąty dają razem więcej niż 90°90°, to trzeci wynosi 180°\textcolor{#E0453A}{180°} minus coś większego od 90°90°, czyli mniej niż 90°90° — jest ostry.
  5. Prawdziwe są wnioski 1. i 3. — odpowiedź A.

💡 Wskazówka: Żeby obalić zdanie zaczynające się od „nie istnieje”, wystarczy podać jeden przykład. Tutaj trójkąt 120°120°–30°30°–30°30° rozstrzyga sprawę natychmiast.

⚠ Najczęstszy błąd: przyjęcie wniosku 2. za prawdziwy, bo jego pierwsza część („nie może mieć dwóch kątów rozwartych”) jest prawdziwa. Prawdziwa przesłanka nie gwarantuje prawdziwego wniosku.

Zadanie 4 (grudzień 2024)1 pkttrudniejsze

Dane są proste aa, bb, cc, dd, ee. Proste aa, bb, cc są wzajemnie równoległe (poziome). Proste dd i ee są wzajemnie prostopadłe i przecinają się w punkcie AA leżącym na prostej bb. Prosta dd przecina prostą aa, tworząc z nią kąt 142°142° (kąt po prawej stronie prostej dd, nad prostą aa). Kąt α\alpha to kąt między prostą bb (na lewo od AA) a prostą ee (poniżej AA). Dokończ zdanie.
Miara kąta α\alpha jest równa
Proste równoległe a, b, c przecięte prostymi d i e 142° α A a b c d e
  • A. 38°38°
  • B. 45°45°
  • C. 52°52°
  • D. 60°60°
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

  1. Krok 1 — jaki kąt tworzy prosta dd z poziomem? Kąt 142°\textcolor{#16A06A}{142°} i szukany kąt nachylenia są przyległe, więc razem dają 180°\textcolor{#E0453A}{180°}.
  2. Nachylenie prostej dd: 180°−142°=38°\textcolor{#E0453A}{180°} - \textcolor{#16A06A}{142°} = \textcolor{#16A06A}{38°}.
  3. Krok 2 — przenosimy ten kąt na prostą bb. Proste aa i bb są równoległe, a dd je przecina, więc kąty odpowiadające są równe: prosta dd tworzy z bb również kąt 38°\textcolor{#16A06A}{38°}.
  4. Krok 3 — korzystamy z prostopadłości. W punkcie AA proste dd i ee tworzą kąt 90°\textcolor{#E0453A}{90°}.
  5. Kąt między bb a ee to więc 90°−38°=52°\textcolor{#E0453A}{90°} - \textcolor{#16A06A}{38°} = 52°.
  6. Odpowiedź C.

💡 Wskazówka: Przy prostych równoległych przeciętych trzecią prostą wszystkie powstałe kąty mają tylko dwie różne miary — tutaj 38°38° i 142°142°. Wystarczy rozpoznać, która jest która.

⚠ Najczęstszy błąd: podanie 38°38° (odpowiedź A) — czyli kąta nachylenia prostej dd zamiast ee. Te dwie proste są prostopadłe, więc ich kąty z poziomem dopełniają się do 90°90°, a nie są równe.

Zadanie 5 (grudzień 2024)1 pktśrednie

Dane są dwa trójkąty:
• ABCABC — bok ACAC ma długość 77, kąt przy AA ma 62°62°, kąt przy CC ma 59°59°;
• KLMKLM — bok KLKL ma długość 77, kąt przy KK ma 62°62°, kąt przy MM ma 59°59°.
Oceń prawdziwość podanych zdań.
Trójkąty ABC i KLM o boku 7 i kątach 62° oraz 59°ACBKLM7762°59°62°59°
Trójkąt KLMKLM nie jest równoramienny.PF
Trójkąty ABCABC i KLMKLM są przystające.PF
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: F, P

  1. Najpierw dopełniamy brakujące kąty do 180°\textcolor{#E0453A}{180°}.
  2. Trójkąt ABCABC: kąt przy BB =180°−62°−59°=59°= \textcolor{#E0453A}{180°} - \textcolor{#16A06A}{62°} - \textcolor{#16A06A}{59°} = \textcolor{#16A06A}{59°}.
  3. Trójkąt KLMKLM: kąt przy LL =180°−62°−59°=59°= \textcolor{#E0453A}{180°} - \textcolor{#16A06A}{62°} - \textcolor{#16A06A}{59°} = \textcolor{#16A06A}{59°}.
  4. Zdanie 1. W trójkącie KLMKLM dwa kąty są równe (59°\textcolor{#16A06A}{59°} przy LL i przy MM), więc trójkąt jest równoramienny. Zdanie twierdzi, że nie jest — fałsz.
  5. Zdanie 2. Oba trójkąty mają te same kąty: 62°62°, 59°59°, 59°59°. Bok długości 77 leży w obu przypadkach między kątami 62°62° i 59°59° (w ABCABC między AA i CC, w KLMKLM między KK i LL).
  6. To cecha kąt–bok–kąt, więc trójkąty są przystające ✓ — prawda.
  7. Odpowiedzi: F, P.

💡 Wskazówka: Sama zgodność kątów daje tylko podobieństwo. Do przystawania potrzebny jest jeszcze bok — i musi leżeć w obu trójkątach w tym samym miejscu względem kątów.

⚠ Najczęstszy błąd w zdaniu 1: uznanie trójkąta za nierównoramienny, bo „boki mają różne nazwy”. Równe kąty przy podstawie zawsze oznaczają równe ramiona.

Zadanie 6 (czerwiec 2024)1 pktśrednie

Kąty α\alpha, β\beta, γ\gamma pewnego trójkąta spełniają dwa warunki:   α+β=130°  \;\alpha + \beta = 130°\; oraz   α+γ=120°\;\alpha + \gamma = 120°. Oceń prawdziwość podanych zdań.
Trójkąt o kątach wewnętrznych α, β, γαβγ
Kąt α\alpha ma miarę 70°70°.PF
Różnica miar między kątem największym a kątem najmniejszym w tym trójkącie jest równa 20°20°.PF
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P, P

  1. Kluczowa obserwacja: gdy dodamy oba warunki, kąt α\textcolor{#16A06A}{\alpha} policzymy dwa razy.
  2. (α+β)+(α+γ)=130°+120°=250°(\textcolor{#16A06A}{\alpha} + \beta) + (\textcolor{#16A06A}{\alpha} + \gamma) = 130° + 120° = 250°, czyli α+(α+β+γ)=250°\textcolor{#16A06A}{\alpha} + (\textcolor{#16A06A}{\alpha} + \beta + \gamma) = 250°.
  3. Ale α+β+γ=180°\textcolor{#16A06A}{\alpha} + \beta + \gamma = \textcolor{#E0453A}{180°} (suma kątów trójkąta), więc α+180°=250°\textcolor{#16A06A}{\alpha} + \textcolor{#E0453A}{180°} = 250°.
  4. Stąd α=70°\textcolor{#16A06A}{\alpha} = 70° ✓ — zdanie 1 prawdziwe.
  5. Wyznaczamy pozostałe: β=130°−70°=60°\beta = 130° - 70° = \textcolor{#16A06A}{60°},   γ=120°−70°=50°\gamma = 120° - 70° = \textcolor{#16A06A}{50°}.
  6. Zdanie 2. Największy kąt to 70°70°, najmniejszy 50°\textcolor{#16A06A}{50°}, a ich różnica to 20°20° ✓ — prawda.
  7. Odpowiedzi: P, P. Sprawdzenie: 70°+60°+50°=180°70° + 60° + 50° = \textcolor{#E0453A}{180°} ✓

💡 Wskazówka: Sztuczka z dodawaniem obu warunków działa zawsze, gdy w każdym występuje ta sama niewiadoma. Po dodaniu pojawia się pełna suma kątów, którą znasz.

⚠ Najczęstszy błąd: rozwiązywanie układu „na piechotę” przez podstawianie i pogubienie się w znakach. Sposób z dodawaniem to jedna linijka.

Zadanie 7 (maj 2024)1 pkttrudniejsze

Dany jest trapez ABCDABCD, w którym bok ABAB jest równoległy do boku DCDC. Poprowadzono odcinek ECEC równoległy do boku ADAD (punkt EE leży na ABAB). Kąt ADCADC ma miarę 135°135°, a kąt ABCABC ma miarę 80°80°. Kąt α\alpha to kąt BCEBCE — czyli kąt przy wierzchołku CC w trójkącie EBCEBC. Dokończ zdanie.
Kąt α\alpha ma miarę
Trapez ABCD z odcinkiem EC równoległym do AD135°80°αABCDE
  • A. 55°55°
  • B. 50°50°
  • C. 45°45°
  • D. 20°20°
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

  1. Kluczowa obserwacja: skoro AB∥DCAB \parallel DC oraz AD∥ECAD \parallel EC, to czworokąt AECDAECD jest równoległobokiem.
  2. Wierzchołki idą po kolei A−E−C−DA - E - C - D, więc naprzeciw wierzchołka DD leży wierzchołek EE.
  3. W równoległoboku kąty przeciwległe są równe, zatem ∠AEC=∠ADC=135°\angle AEC = \angle ADC = \textcolor{#16A06A}{135°}.
  4. Teraz przechodzimy do trójkąta EBCEBC. Punkty AA, EE, BB