Strona główna › Egzamin ósmoklasisty › Kąty w figurach na egzaminie ósmoklasisty
Kąty w figurach na egzaminie ósmoklasisty
Prawie cały ten dział stoi na dwóch zdaniach: suma kątów w trójkącie wynosi i w trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie są równe. Pierwsze wraca w jedenastu z 24 zadań, drugie w dziewięciu. Reszta to umiejętność zobaczenia, gdzie na rysunku te reguły można zastosować.
Przejdź od razu do zadań (24) ↓
Suma kątów w trójkącie — reguła, z której wszystko wynika
W każdym trójkącie suma miar kątów wewnętrznych wynosi . Z tego jednego faktu wyprowadza się prawie wszystko inne w tym dziale.
Jeśli znasz dwa kąty, trzeci liczysz odejmowaniem. Jeśli znasz zależności między nimi — układasz równanie. Zadanie „jeden kąt jest dwa razy większy od drugiego, a trzeci ma ” staje się równaniem .
Stąd też wynika suma kątów w czworokącie. Każdy czworokąt da się przekątną podzielić na dwa trójkąty, więc jego kąty sumują się do . W pięciokącie będzie to trzy trójkąty, czyli .
Trójkąt równoramienny: dwa kąty przy podstawie
W trójkącie równoramiennym dwa boki są równe, a kąty leżące przy podstawie — czyli naprzeciw tych równych ramion — mają tę samą miarę.
To daje krótką drogę: znając kąt przy wierzchołku, oba pozostałe liczysz jako . Znając kąt przy podstawie, kąt przy wierzchołku to .
Najczęstsza pomyłka polega na pomyleniu, który kąt jest który. Podstawa to bok leżący naprzeciw kąta między ramionami — a nie ten, który na rysunku jest na dole. Rysunek bywa obrócony i to wystarczy, żeby zgubić się w rozwiązaniu.
Trójkąt równoboczny jest szczególnym przypadkiem: wszystkie boki równe, więc wszystkie kąty mają po .
Kąty przyległe, wierzchołkowe i przy prostych równoległych
Kąty przyległe mają wspólne ramię i razem tworzą kąt półpełny, więc sumują się do . Kąty wierzchołkowe leżą naprzeciw siebie przy przecięciu dwóch prostych i są równe.
Gdy dwie proste równoległe przecina trzecia, powstaje osiem kątów, a wśród nich co najwyżej dwie różne miary. Kąty odpowiadające i naprzemianległe są równe, a każdy kąt z pierwszej grupy dopełnia się do z każdym kątem z drugiej. (Uwaga na słowo: kąty przy drugim punkcie przecięcia nie są przyległe do tych przy pierwszym — przyległość wymaga wspólnego wierzchołka i wspólnego ramienia. Dopełnianie się do półpełnego to co innego niż przyleganie.)
Miary są dwie, chyba że poprzeczna jest prostopadła do obu prostych — wtedy wszystkie osiem kątów ma po i miara jest jedna.
Praktyczna wskazówka: zamiast uczyć się nazw, sprawdź na rysunku, czy dwa kąty „wyglądają tak samo”, czy „domykają się do prostej”. Przy prostych równoległych każdy kąt ma tylko dwie możliwe miary — swoją albo jej dopełnienie do .
Kąty w trapezie i innych czworokątach
W trapezie kąty leżące przy tym samym ramieniu sumują się do , bo podstawy są równoległe, a ramię jest ich poprzeczną. To zależność, która rozwiązuje większość zadań o trapezach.
W równoległoboku kąty przeciwległe są równe, a sąsiednie sumują się do . W rombie dodatkowo przekątne przecinają się pod kątem prostym i dzielą kąty na połowy.
W deltoidzie równe są kąty między bokami różnej długości — te dwa, przez które przechodzi oś symetrii, są różne.
Przystawanie trójkątów
Dwa trójkąty są przystające, gdy mają identyczne wszystkie boki i kąty — czyli można je na siebie nałożyć. Do stwierdzenia przystawania nie trzeba sprawdzać wszystkiego; wystarczy jedna z trzech cech:
- bok-bok-bok — trzy pary równych boków,
- bok-kąt-bok — dwa boki i kąt między nimi,
- kąt-bok-kąt — dwa kąty i bok między nimi.
Słowo „między” jest tu istotne. Dwa boki i kąt leżący nie między nimi nie wystarczają — istnieją dwa różne trójkąty spełniające taki warunek.
Przystawanie wraca w zadaniach na uzasadnianie: pokazujemy, że dwa trójkąty są przystające, i stąd wnioskujemy, że jakieś odcinki albo kąty są równe.
Gdy kąt trzeba wyliczyć równaniem
Częsty format: miary kątów podane są wyrażeniami, na przykład , i . Rozwiązanie to zwykłe równanie — suma musi dać .
Po obliczeniu trzeba jeszcze wrócić do treści i policzyć konkretne miary. Sam prawie nigdy nie jest odpowiedzią, a to najczęstsze przeoczenie w tych zadaniach.
Kontrola na koniec: podstaw wyliczone miary z powrotem i sprawdź, czy sumują się do oraz czy wszystkie wyszły dodatnie.
Przykłady krok po kroku
Cztery zadania krok po kroku, po jednym z każdego typu, który wraca w arkuszach: trójkąt równoramienny, równanie na kątach, proste równoległe i trapez.
Przykład 1 Kąty w trójkącie równoramiennym
W trójkącie równoramiennym kąt między ramionami ma . Oblicz miary pozostałych kątów.
- Kąt między ramionami to kąt przy wierzchołku. Pozostałe dwa leżą przy podstawie i są równe.
- Suma wszystkich kątów to , więc na oba kąty przy podstawie zostaje .
- Dzielę na dwa równe: .
- Kontrola: ✓
Odpowiedź: Kąty przy podstawie mają po .
Przykład 2 Kąty przyległe zapisane wyrażeniem
Dwa kąty przyległe mają miary i . Oblicz miarę każdego z nich.
- Kąty przyległe sumują się do , więc .
- Redukuję: , czyli .
- Wracam do treści — nie jest odpowiedzią. Pierwszy kąt: . Drugi: .
- Kontrola: ✓, a większy kąt jest rzeczywiście półtora raza większy od mniejszego.
Odpowiedź: Kąty mają i .
Przykład 3 Proste równoległe przecięte poprzeczną
Dwie proste równoległe przecina trzecia. Jeden z powstałych kątów ma . Jakie miary mają pozostałe kąty?
- Przy prostych równoległych występują dwie różne miary kątów — jedna jest dana, druga dopełnia ją do . (Gdyby poprzeczna była prostopadła, miara byłaby jedna, ale tu jest , więc tak nie jest.)
- Kąt wierzchołkowy do danego jest równy: . Kąty odpowiadające i naprzemianległe też mają .
- Każdy kąt przyległy do nich dopełnia do prostej: .
- Zatem cztery kąty mają po , a cztery po .
- Kontrola: ✓
Odpowiedź: Cztery kąty mają po , a pozostałe cztery po .
Przykład 4 Kąty w trapezie
W trapezie kąt przy dłuższej podstawie ma . Oblicz kąt przy tym samym ramieniu, leżący przy krótszej podstawie.
- Podstawy trapezu są równoległe, a ramię jest ich poprzeczną.
- Kąty leżące przy tym samym ramieniu są więc kątami jednostronnymi — sumują się do .
- Szukany kąt: .
- Kontrola: kąt rozwarty przy dłuższej podstawie musi się łączyć z ostrym przy krótszej — i tak wyszło ✓
Odpowiedź: Szukany kąt ma .
Najczęstsze błędy
Cztery błędy, które w tym dziale wracają najczęściej. Pierwszy i ostatni biorą się z rysunku, drugi z pomylenia dwóch pojęć, a trzeci z pośpiechu przy zapisie odpowiedzi.
Pomylenie kąta przy wierzchołku z kątem przy podstawie
Skąd się bierze: Uczeń zakłada, że „podstawa jest na dole”. Gdy rysunek jest obrócony, bierze zły kąt jako ten między ramionami i dzieli na pół niewłaściwą resztę.
Jak zrobić dobrze: Znajdź dwa równe boki — to są ramiona. Kąt między nimi to kąt przy wierzchołku, a dwa pozostałe są równe. Orientacja rysunku nie ma znaczenia.
Mylenie kątów przyległych z wierzchołkowymi
Skąd się bierze: Oba pojęcia dotyczą przecięcia prostych, więc bywają zamieniane. Przyległe dopełniają się do , wierzchołkowe są równe — pomyłka daje wynik zamiast .
Jak zrobić dobrze: Sprawdź położenie: kąty wierzchołkowe leżą naprzeciw siebie i nie mają wspólnego ramienia. Przyległe mają wspólne ramię i razem tworzą linię prostą.
Zatrzymanie się na wyliczeniu
Skąd się bierze: Zadanie prosi o miary kątów, a uczeń podaje wartość niewiadomej. To najczęstsze przeoczenie w zadaniach z równaniem — rachunek jest poprawny, ale odpowiedź nie odpowiada na pytanie.
Jak zrobić dobrze: Po wyliczeniu wróć do wyrażeń z treści i policz każdą miarę osobno. Na koniec sprawdź, czy sumują się do .
Odczytywanie równości z wyglądu rysunku
Skąd się bierze: Dwa kąty wyglądają podobnie, więc uczeń przyjmuje, że są równe — mimo że treść tego nie mówi. Rysunki w arkuszach bywają celowo nie w skali.
Jak zrobić dobrze: Korzystaj wyłącznie z tego, co oznaczono albo co wynika z twierdzenia. Równe boki są zaznaczone kreskami, kąty proste — łukiem z kropką. Reszta wymaga uzasadnienia.
Zadania z arkuszy CKE — kąty w figurach
Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminu ósmoklasisty (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem. W zestawie jest 4 zadania z arkuszy egzaminu gimnazjalnego (do 2019 roku) — dokładamy je jako dodatkowe ćwiczenie tych samych umiejętności. Zakres gimnazjum był miejscami szerszy niż wymagania dla klas 7–8, dlatego każde takie zadanie jest podpisane osobno.
Sprawdź się bez zaglądania do odpowiedzi. Wylosuję 10 zadań zamkniętych z tego zestawu — klucz i rozwiązania schowam do czasu sprawdzenia. Pula liczy 11 zadań, więc kolejne podejście podmieni najwyżej jedno zadanie.
Zadania zamknięte
Zadanie 1 (maj 2026)1 pktśrednie
- A.
- B.
- C.
- D.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
Odpowiedź: C
- Zapisujemy wszystkie kąty przez : , , .
- Korzystamy z tego, że suma kątów czworokąta to :
- , czyli , więc .
- Pytanie dotyczy : — odpowiedź C.
- Sprawdzenie: ✓
💡 Wskazówka: Suma kątów wielokąta o bokach to — dla czworokąta , dla pięciokąta . Warto to pamiętać zamiast wzoru.
⚠ Najczęstszy błąd: zatrzymanie się na i zaznaczenie odpowiedzi A. Zadanie pyta o , więc trzeba jeszcze dodać .
Zadanie 2 (styczeń 2026)1 pkttrudniejsze
• W trójkącie kąt między ramionami (przy wierzchołku ) ma miarę .
• W trójkącie kąt między ramionami (przy wierzchołku ) ma miarę , przy czym .
Punkt jest punktem przecięcia odcinków i . Uzupełnij zdania.
- A. ostry
- B. prosty
- C.
- D.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
Odpowiedź: B, C
- Trójkąt . Ramiona , kąt przy to . Kąty przy podstawie są równe: .
- Zatem .
- Trójkąt . Ramiona , kąt przy to . Kąty przy podstawie : .
- Zatem .
- Pierwsze zdanie. W trójkącie : kąt przy to , kąt przy to .
- — to kąt prosty, odpowiedź B.
- Drugie zdanie. Kąt to różnica dwóch kątów przy wierzchołku : — odpowiedź C.
- Razem: B, C.
💡 Wskazówka: W trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie liczysz zawsze tak samo: . Warto od razu wypisać wszystkie kąty obu trójkątów — dalej to już samo odejmowanie.
⚠ Najczęstszy błąd: uznanie, że kąt między ramionami zawsze leży „na górze” figury. W trójkącie jest on przy wierzchołku , a nie przy — trzeba czytać, które boki są ramionami.
Zadanie 3 (czerwiec 2025)1 pkttrudniejsze
Wniosek 1. Skoro suma miar kątów wewnętrznych trójkąta jest równa , to trójkąt nie może mieć dwóch kątów wewnętrznych prostych ani dwóch kątów wewnętrznych rozwartych.
Wniosek 2. Ponieważ trójkąt nie może mieć dwóch kątów wewnętrznych rozwartych, więc nie istnieje trójkąt rozwartokątny równoramienny.
Wniosek 3. Jeśli suma miar dwóch kątów wewnętrznych trójkąta jest większa od , to trzeci kąt wewnętrzny tego trójkąta jest ostry.
Które z wniosków są prawdziwe?
- A. Tylko 1. i 3.
- B. Tylko 1. i 2.
- C. Tylko 2. i 3.
- D. Tylko 1., 2. i 3.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
Odpowiedź: A
- Wniosek 1 ✓ Dwa kąty proste dałyby już — na trzeci kąt zostałoby zero, co jest niemożliwe. Dwa kąty rozwarte dałyby ponad — tym bardziej niemożliwe.
- Wniosek 2 ✗ Tu Karol pomylił się w rozumowaniu. To prawda, że dwóch kątów rozwartych być nie może — ale trójkąt rozwartokątny ma tylko jeden kąt rozwarty i nic nie stoi na przeszkodzie, by był równoramienny.
- Kontrprzykład: trójkąt o kątach , , — rozwartokątny i równoramienny.
- Wniosek 3 ✓ Jeśli dwa kąty dają razem więcej niż , to trzeci wynosi minus coś większego od , czyli mniej niż — jest ostry.
- Prawdziwe są wnioski 1. i 3. — odpowiedź A.
💡 Wskazówka: Żeby obalić zdanie zaczynające się od „nie istnieje”, wystarczy podać jeden przykład. Tutaj trójkąt –– rozstrzyga sprawę natychmiast.
⚠ Najczęstszy błąd: przyjęcie wniosku 2. za prawdziwy, bo jego pierwsza część („nie może mieć dwóch kątów rozwartych”) jest prawdziwa. Prawdziwa przesłanka nie gwarantuje prawdziwego wniosku.
Zadanie 4 (grudzień 2024)1 pkttrudniejsze
Miara kąta jest równa
- A.
- B.
- C.
- D.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
Odpowiedź: C
- Krok 1 — jaki kąt tworzy prosta z poziomem? Kąt i szukany kąt nachylenia są przyległe, więc razem dają .
- Nachylenie prostej : .
- Krok 2 — przenosimy ten kąt na prostą . Proste i są równoległe, a je przecina, więc kąty odpowiadające są równe: prosta tworzy z również kąt .
- Krok 3 — korzystamy z prostopadłości. W punkcie proste i tworzą kąt .
- Kąt między a to więc .
- Odpowiedź C.
💡 Wskazówka: Przy prostych równoległych przeciętych trzecią prostą wszystkie powstałe kąty mają tylko dwie różne miary — tutaj i . Wystarczy rozpoznać, która jest która.
⚠ Najczęstszy błąd: podanie (odpowiedź A) — czyli kąta nachylenia prostej zamiast . Te dwie proste są prostopadłe, więc ich kąty z poziomem dopełniają się do , a nie są równe.
Zadanie 5 (grudzień 2024)1 pktśrednie
• — bok ma długość 7, kąt przy ma , kąt przy ma ;
• — bok ma długość 7, kąt przy ma , kąt przy ma .
Oceń prawdziwość podanych zdań.
| Trójkąt nie jest równoramienny. | P | F |
| Trójkąty i są przystające. | P | F |
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
Odpowiedź: F, P
- Najpierw dopełniamy brakujące kąty do .
- Trójkąt : kąt przy .
- Trójkąt : kąt przy .
- Zdanie 1. W trójkącie dwa kąty są równe ( przy i przy ), więc trójkąt jest równoramienny. Zdanie twierdzi, że nie jest — fałsz.
- Zdanie 2. Oba trójkąty mają te same kąty: , , . Bok długości 7 leży w obu przypadkach między kątami i (w między i , w między i ).
- To cecha kąt–bok–kąt, więc trójkąty są przystające ✓ — prawda.
- Odpowiedzi: F, P.
💡 Wskazówka: Sama zgodność kątów daje tylko podobieństwo. Do przystawania potrzebny jest jeszcze bok — i musi leżeć w obu trójkątach w tym samym miejscu względem kątów.
⚠ Najczęstszy błąd w zdaniu 1: uznanie trójkąta za nierównoramienny, bo „boki mają różne nazwy”. Równe kąty przy podstawie zawsze oznaczają równe ramiona.
Zadanie 6 (czerwiec 2024)1 pktśrednie
| Kąt ma miarę . | P | F |
| Różnica miar między kątem największym a kątem najmniejszym w tym trójkącie jest równa . | P | F |
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
Odpowiedź: P, P
- Kluczowa obserwacja: gdy dodamy oba warunki, kąt policzymy dwa razy.
- , czyli .
- Ale (suma kątów trójkąta), więc .
- Stąd ✓ — zdanie 1 prawdziwe.
- Wyznaczamy pozostałe: , .
- Zdanie 2. Największy kąt to , najmniejszy , a ich różnica to ✓ — prawda.
- Odpowiedzi: P, P. Sprawdzenie: ✓
💡 Wskazówka: Sztuczka z dodawaniem obu warunków działa zawsze, gdy w każdym występuje ta sama niewiadoma. Po dodaniu pojawia się pełna suma kątów, którą znasz.
⚠ Najczęstszy błąd: rozwiązywanie układu „na piechotę” przez podstawianie i pogubienie się w znakach. Sposób z dodawaniem to jedna linijka.
Zadanie 7 (maj 2024)1 pkttrudniejsze
Kąt ma miarę
- A.
- B.
- C.
- D.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
Odpowiedź: A
- Kluczowa obserwacja: skoro oraz , to czworokąt jest równoległobokiem.
- Wierzchołki idą po kolei , więc naprzeciw wierzchołka leży wierzchołek .
- W równoległoboku kąty przeciwległe są równe, zatem .
- Teraz przechodzimy do trójkąta . Punkty , , leżą na jednej prostej, więc kąty i są przyległe:
- .
- W trójkącie znamy już dwa kąty — pozostaje dopełnić trzeci:
- — odpowiedź A.
💡 Wskazówka: Gdy w trapezie poprowadzisz odcinek równoległy do ramienia, zawsze powstaje równoległobok i trójkąt. To najskuteczniejszy sposób na zadania z trapezem — warto szukać takiego podziału.
⚠ Najczęstszy błąd: pomylenie kątów przeciwległych z sąsiednimi w równoległoboku. Kąt przy leży naprzeciw kąta przy , więc jest mu równy (), a nie dopełniający.
Zadanie 8 (czerwiec 2023)1 pkttrudniejsze
| Trójkąty, które powstały w sposób pokazany na rysunku, są równoramienne. | P | F |
| Gdyby kąty ostre trapezów miały miarę , to powstałe trójkąty byłyby równoboczne. | P | F |
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
Odpowiedź: P, P
- Zdanie 1. Cały podział jest symetryczny względem poziomej osi prostokąta.
- Każdy trójkąt ma podstawę na krótszym boku prostokąta, a jego dwa pozostałe boki to ramiona trapezów — górnego i dolnego. Trapezy są identyczne, więc te ramiona mają tę samą długość.
- Trójkąt ma zatem dwa równe boki — jest równoramienny ✓ — prawda.
- Zdanie 2. Przyjrzyjmy się narożnikowi prostokąta. Kąt prosty dzieli się tam na kąt ostry trapezu i kąt trójkąta.
- Jeśli kąt trapezu to , to kąt trójkąta przy tym narożniku wynosi .
- To samo dzieje się przy drugim narożniku (symetria), więc oba kąty przy podstawie trójkąta mają po .
- Trzeci kąt: — wszystkie kąty równe, czyli trójkąt jest równoboczny ✓ — prawda.
- Odpowiedzi: P, P.
💡 Wskazówka: Trójkąt o wszystkich kątach po jest równoboczny — nie trzeba sprawdzać boków. To najszybsza droga w takich zadaniach.
⚠ Najczęstszy błąd w zdaniu 2: policzenie kąta trójkąta jako (przepisanie kąta trapezu) zamiast dopełnienia do kąta prostego narożnika.
Zadanie 9 (maj 2023)1 pkttrudniejsze
| Kąt ma miarę . | P | F |
| Kąt ma miarę . | P | F |
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
Odpowiedź: F, P
- Trójkąt jest równoboczny, więc wszystkie jego kąty mają po — w tym i . Ponadto .
- Kąt dzieli się przekątną na dwie części: .
- Stąd .
- Trójkąt . Skoro , a (bok trójkąta równobocznego), to — trójkąt jest równoramienny o wierzchołku .
- Kąty przy podstawie są więc równe: .
- Zdanie 1. Kąt ma , a nie — fałsz.
- Zdanie 2. Kąt przy w trójkącie : .
- Cały kąt to suma: ✓ — prawda.
- Odpowiedzi: F, P.
💡 Wskazówka: Kluczem jest zauważenie, że też ma długość boku trójkąta równobocznego — dzięki temu i wiadomo, gdzie w trójkącie leżą równe kąty.
⚠ Najczęstszy błąd: uznanie, że skoro trójkąt jest równoboczny, to kąty pojawiają się też w trójkącie . Ten drugi jest tylko równoramienny — jego kąty trzeba policzyć osobno.
Zadanie 10 (maj 2022)1 pkttrudniejsze
Kąt ma miarę
- A.
- B.
- C.
- D.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
Odpowiedź: D
- Kąt rozbijamy na dwie części: . Liczymy każdą osobno.
- Część pierwsza — trójkąt . Znamy dwa kąty: i .
- .
- Część druga — trójkąt . Kąt jest przyległy do (punkt leży na odcinku ):
- .
- Skoro , trójkąt jest równoramienny, więc kąty przy podstawie są równe:
- .
- Składamy: — odpowiedź D.
💡 Wskazówka: Gdy punkt leży na boku trójkąta, kąty po obu jego stronach są przyległe — sumują się do . To zwykle pierwszy krok w takich zadaniach.
⚠ Najczęstszy błąd: potraktowanie jako kąta zamiast . Wtedy trójkąt miałby kąty przy podstawie po i cała odpowiedź byłaby błędna.
Zadanie 11 (maj 2021)1 pkttrudniejsze
- A.
- B.
- C.
- D.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
Odpowiedź: D
- Oznaczmy przez punkt przecięcia obu wysokości. Kąt rozwarty przy ma , więc kąt ostry obok niego (przyległy) wynosi .
- Przyglądamy się trójkątowi — tworzą go: wierzchołek , spodek wysokości i punkt przecięcia .
- Kąt przy to , bo jest wysokością opuszczoną na .
- Kąt przy musi być ostry (w trójkącie może być tylko jeden kąt prosty lub rozwarty), więc .
- Zostaje kąt przy : .
- Odpowiedź D.
💡 Wskazówka: Wysokość zawsze daje darmowy kąt — szukaj trójkąta, w którym ten kąt prosty występuje razem ze znanym kątem. Wtedy trzeci kąt liczy się jednym odejmowaniem.
⚠ Najczęstszy błąd: podstawienie do trójkąta . Razem z kątem prostym dałoby to już — czyli więcej niż , co powinno od razu zwrócić uwagę. Do trójkąta wchodzi kąt ostry, .
Zadanie 12 (marzec 2020)1 pktśrednie
| Suma miar kątów i wynosi . | P | F |
| Kąt ma miarę 3 razy mniejszą niż kąt . | P | F |
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
Odpowiedź: P, P
- Krok 1 — wyznaczamy . Kąt i kąt są przyległe, więc razem dają :
- .
- Krok 2 — wyznaczamy . W równoległoboku kąty sąsiednie dopełniają się do :
- .
- Zdanie 1. ✓ — prawda. (To zresztą własność każdego równoległoboku dla kątów sąsiednich.)
- Zdanie 2. , więc jest trzy razy mniejszy od ✓ — prawda.
- Odpowiedzi: P, P.
💡 Wskazówka: Zauważ ładną zbieżność: kąt wyszedł równy , czyli tyle samo co kąt zewnętrzny obok . To nie przypadek — oba są kątami odpowiadającymi przy prostych równoległych.
⚠ Najczęstszy błąd: przyjęcie (przepisanie kąta z rysunku). Kąt leży poza równoległobokiem — jest do przyległy, a nie z nim tożsamy.
Zadanie 13 (marzec 2020)1 pktśrednie
- A.
- B.
- C. rozwartokątny
- D. prostokątny
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
Odpowiedź: B, D
- Ramionami są i , więc podstawą jest , a kąty przy podstawie (przy i przy ) są równe.
- Oznaczmy . Wtedy również , a kąt przy wierzchołku .
- Suma kątów trójkąta: , czyli .
- Stąd — kąt ma , odpowiedź B.
- Kąt przy wierzchołku: — trójkąt jest więc prostokątny, odpowiedź D.
- Razem: B, D. (Kąty: , , — to połówka kwadratu.)
💡 Wskazówka: Zwróć uwagę, które boki są ramionami — to one wskazują, gdzie leży podstawa, a więc gdzie są równe kąty. Zamiana ramion z podstawą całkowicie zmienia rozwiązanie.
⚠ Najczęstszy błąd: przyjęcie, że równe kąty są przy i przy . Wtedy równanie wyglądałoby inaczej i wyszłoby — odpowiedź nieobecna wśród opcji, co samo w sobie jest sygnałem pomyłki.
Zadanie 14 (czerwiec 2019)1 pktśrednie
• Pierwszy — kąty i , bok leży między tymi kątami;
• Drugi — kąty i , bok leży między kątem a trzecim kątem trójkąta.
Oceń prawdziwość podanych zdań.
| Te trójkąty są równoramienne. | P | F |
| Te trójkąty są przystające. | P | F |
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
Odpowiedź: F, P
- Dopełniamy brakujące kąty do .
- Pierwszy trójkąt: trzeci kąt . Kąty: , , .
- Drugi trójkąt: trzeci kąt . Kąty: , , .
- Zdanie 1. W żadnym z trójkątów nie ma dwóch równych kątów (wszystkie trzy są różne), więc nie są równoramienne — fałsz.
- Zdanie 2. Oba mają ten sam zestaw kątów, a bok w obu leży między kątami i .
- To cecha kąt–bok–kąt, więc trójkąty są przystające ✓ — prawda.
- Odpowiedzi: F, P.
💡 Wskazówka: Przy sprawdzaniu przystawania nie wystarczy, że bok ma tę samą długość — musi leżeć w tym samym miejscu względem kątów. Najpewniej: wypisz przy każdym trójkącie kąty sąsiadujące z danym bokiem.
⚠ Najczęstszy błąd w zdaniu 1: uznanie trójkątów za równoramienne, bo „mają dwa takie same kąty ”. Te kąty są w różnych trójkątach — równoramienność dotyczy kątów wewnątrz jednego.
Zadanie 15 (kwiecień 2019)1 pkttrudniejsze
• — kąt przy ma , kąt przy ma , bok ma długość 7;
• — kąt przy ma , kąt przy ma , bok ma długość 7;
• — kąt przy ma , kąt przy ma , bok ma długość 7.
Na podstawie tych informacji można stwierdzić, że
- A. trójkąt jest przystający do trójkąta .
- B. trójkąt jest przystający do trójkąta .
- C. trójkąt jest przystający do trójkąta .
- D. wszystkie trójkąty są przystające.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
Odpowiedź: B
- Dla każdego trójkąta dopełniamy trzeci kąt do :
- : kąt przy . Zestaw kątów: .
- : kąt przy . Zestaw: .
- : kąt przy . Zestaw: .
- Trójkąt ma inny zestaw kątów niż pozostałe — odpada z każdej pary (odpowiedzi A, C i D).
- Zostają i . Sprawdzamy bok długości 7: w leży między kątami (przy ) i (przy ); w — między (przy ) i (przy ).
- Ta sama para kątów przy tym samym boku — cecha kąt–bok–kąt ✓ Trójkąty są przystające.
- Odpowiedź B.
💡 Wskazówka: Zacznij od dopełnienia kątów we wszystkich trójkątach — dopiero wtedy widać, które mają szansę być przystające. Trójkąt o innym zestawie kątów odpada od razu.
⚠ Najczęstszy błąd: wybór odpowiedzi D, bo we wszystkich trójkątach występuje bok długości 7 i po kilka wspólnych kątów. Trójkąt ma jednak kąt , którego nie ma nigdzie indziej.
Zadanie 16 (kwiecień 2019)1 pkttrudniejsze
- A.
- B.
- C.
- D.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
Odpowiedź: A
- Punkt leży na boku , więc kąt to po prostu kąt równoległoboku: .
- W równoległoboku kąty sąsiednie dopełniają się do , więc kąt przy : .
- Trójkąt . Skoro , kąty przy podstawie są równe. Kąt to ten sam co (bo leży na ).
- Zatem , a kąt przy wierzchołku : .
- Ostatni krok. Punkty , , leżą na jednej prostej, więc kąty i są przyległe:
- — odpowiedź A.
💡 Wskazówka: W trójkącie równoramiennym równe boki wskazują, gdzie są równe kąty: oznacza, że kąty przy i przy (czyli naprzeciw tych boków) są równe.
⚠ Najczęstszy błąd: podanie kąta () albo zatrzymanie się na kącie (odpowiedź C). Zadanie pyta o kąt — ten po drugiej stronie punktu .
Zadanie 17 (grudzień 2018)1 pktśrednie
| Kąt przy wierzchołku ma miarę . | P | F |
| Trójkąt jest prostokątny. | P | F |
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
Odpowiedź: F, P
- Zapisujemy warunek z treści: .
- Wstawiamy do sumy kątów trójkąta: .
- Zauważ, co się dzieje: i się skracają, zostaje .
- Stąd , a .
- Zdanie 1. Kąt przy ma , a nie — fałsz.
- Zdanie 2. Kąt przy wynosi , więc trójkąt jest prostokątny ✓ — prawda.
- Odpowiedzi: F, P. Sprawdzenie: ✓, a największy kąt rzeczywiście jest przy ✓
💡 Wskazówka: Ładna własność ukryta w tym zadaniu: gdy jeden kąt jest różnicą dwóch pozostałych, trójkąt zawsze jest prostokątny — niezależnie od konkretnych miar.
⚠ Najczęstszy błąd: potraktowanie zdania „miara kąta jest równa różnicy i ” jako . Kolejność w słowie „różnica” jest istotna: od pierwszej wymienionej odejmujemy drugą.
Zadanie 18 (grudzień 2017)1 pkttrudniejsze
| Kąt ma miarę . | P | F |
| Kąt ma miarę . | P | F |
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
Odpowiedź: F, P
- Kluczowa własność: przekątne prostokąta są równe i dzielą się na połowy. Punkt przecięcia jest więc jednakowo oddalony od wszystkich czterech wierzchołków, przez co powstają cztery trójkąty równoramienne.
- Zdanie 1 — trójkąt . Kąt przy to , a boki i są równe.
- Kąty przy podstawie : .
- Kąt to właśnie kąt , czyli — a nie — fałsz.
- Zdanie 2 — trójkąt . Kąt jest przyległy do kąta : .
- Boki i też są równe, więc kąty przy podstawie : .
- Kąt to kąt , czyli ✓ — prawda.
- Odpowiedzi: F, P. Kontrola: — i rzeczywiście kąt prostokąta jest prosty ✓
💡 Wskazówka: Przekątne prostokąta dzielą go na cztery trójkąty równoramienne — to najważniejsza własność w takich zadaniach. W kwadracie byłyby to dodatkowo trójkąty prostokątne.
⚠ Najczęstszy błąd w zdaniu 1: policzenie i uznanie tego za szukany kąt. To kąt przy punkcie przecięcia w sąsiednim trójkącie, a nie kąt przy wierzchołku .
Zadanie 19 (kwiecień 2016, egzamin gimnazjalny)1 pkttrudniejsze
- A. Ośmiokąt jest foremny.
- B. Wszystkie boki ośmiokąta mają taką samą długość.
- C. Każdy kąt wewnętrzny ośmiokąta ma miarę .
- D. Obwód ośmiokąta jest większy od obwodu kwadratu .
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
Odpowiedź: C
- Przyjmijmy, że jedna część boku ma długość — wtedy bok kwadratu ma .
- Odcięte narożniki to trójkąty prostokątne równoramienne o przyprostokątnych — ich przeciwprostokątna ma .
- Boki ośmiokąta są więc dwojakie: cztery leżące na bokach kwadratu (długości ) i cztery ukośne (długości ).
- A i B odpadają — boki nie są równe, więc ośmiokąt nie jest ani foremny, ani równoboczny.
- C. Odcięty trójkąt ma kąty , , . W każdym wierzchołku ośmiokąta kąt wewnętrzny to ✓ — i tak jest w każdym z ośmiu wierzchołków.
- D. Obwód ośmiokąta: , a obwód kwadratu to — ośmiokąt ma obwód mniejszy ✗
- Odpowiedź C.
💡 Wskazówka: Ośmiokąt może mieć wszystkie kąty równe, a mimo to nie być foremny — foremność wymaga jednocześnie równych kątów i równych boków. Tutaj brakuje tego drugiego.
⚠ Najczęstszy błąd: odpowiedź D — intuicja podpowiada, że „ścinanie rogów wydłuża brzeg”. Jest odwrotnie: przekątna trójkąta jest krótsza od sumy jego przyprostokątnych, więc obwód maleje.
Zadanie 20 (kwiecień 2013, egzamin gimnazjalny)1 pktśrednie
Trójkąt ten jest
- A. równoboczny.
- B. równoramienny.
- C. rozwartokątny.
- D. prostokątny.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
Odpowiedź: D
- Zapisujemy wszystkie trzy kąty przez : , , .
- Suma kątów trójkąta: .
- , czyli , więc .
- Kąty trójkąta: , , .
- Największy kąt ma , więc trójkąt jest prostokątny — odpowiedź D.
- Dla porządku: nie jest równoboczny ani równoramienny (wszystkie kąty różne), nie jest też rozwartokątny (żaden kąt nie przekracza ).
💡 Wskazówka: Po wyliczeniu kątów zawsze sprawdź wszystkie cztery określenia — czasem pasuje więcej niż jedno (np. trójkąt może być jednocześnie prostokątny i równoramienny).
⚠ Najczęstszy błąd: zatrzymanie się na i uznanie, że skoro wychodzi „ładna” liczba, to trójkąt jest równoboczny. Trzeba policzyć wszystkie trzy kąty.
Zadanie 21 (kwiecień 2013, egzamin gimnazjalny)1 pkttrudniejsze
I. Pierwszy ma kąty i oraz bok 4; drugi ma kąty i oraz bok 4 (w obu bok leży między kątami i ).
II. Pierwszy jest równoramienny o ramionach 4 i 4, z kątem między nimi; drugi ma boki 4 i 4 oraz kąt przy podstawie.
III. Oba są prostokątne z bokiem 5; pierwszy ma dodatkowo kąt , drugi kąt .
IV. Pierwszy jest prostokątny o bokach 3 i 5; drugi prostokątny o bokach 5 i 4.
Na którym rysunku trójkąty nie są przystające?
- A. I
- B. II
- C. III
- D. IV
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
Odpowiedź: C
- Sprawdzamy każdą parę, dopełniając kąty do .
- I. Pierwszy: → kąty . Drugi: → . Bok 4 leży w obu między tymi samymi kątami — przystające ✓
- II. Pierwszy: ramiona 4, 4, kąt między nimi . Drugi: kąt przy podstawie, więc kąt między ramionami: . Cecha bok–kąt–bok — przystające ✓
- III. Pierwszy: kąt prosty i → trzeci , zestaw . Drugi: kąt prosty i → trzeci , zestaw .
- Zestawy kątów są różne, więc trójkąty nie mogą być przystające ✗ — to szukana odpowiedź.
- IV. Pierwszy: przyprostokątna 3, przeciwprostokątna 5 → druga przyprostokątna 4. Drugi: przyprostokątna 4, przeciwprostokątna 5 → druga 3. Oba to trójkąty 3–4–5 — przystające ✓
- Odpowiedź C.
💡 Wskazówka: Najszybszy filtr: porównaj zestawy kątów. Jeśli się różnią, trójkąty nie są nawet podobne i można przerwać sprawdzanie.
⚠ Najczęstszy błąd w parze II: potraktowanie jako kąta między ramionami. Z rysunku widać, że leży on przy podstawie — trzeba więc dopełnić do i podzielić.
Zadanie 22 (materiały CKE)1 pkttrudniejsze
| Półprosta jest dwusieczną kąta . | P | F |
| Odcinek jest wysokością w trójkącie . | P | F |
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
Odpowiedź: F, P
- Zdanie 1. Dwusieczna dzieli kąt prosty na dwie równe części: .
- Sprawdźmy, ile wynosi kąt . W trójkącie kąt przy to (bo jest wysokością), więc .
- Aby była dwusieczną kąta , musiałoby zachodzić , czyli — a to niemożliwe wewnątrz trójkąta prostokątnego.
- Dwusieczna kąta pokrywałaby się z tylko wtedy, gdyby trójkąt był równoramienny — a treść wyraźnie mówi, że nie jest — fałsz.
- Zdanie 2. Wysokość to odcinek z wierzchołka, prostopadły do przeciwległego boku.
- W trójkącie bok przeciwległy do to odcinek , który leży na prostej . Odcinek wychodzi z i jest prostopadły do , a punkt leży między a .
- spełnia więc definicję wysokości trójkąta ✓ — prawda.
- Odpowiedzi: F, P.
💡 Wskazówka: Wysokość, dwusieczna i środkowa pokrywają się tylko w trójkącie równoramiennym (poprowadzone z wierzchołka między ramionami). Zastrzeżenie „nie jest równoramienny” w treści to wyraźna podpowiedź.
⚠ Najczęstszy błąd w zdaniu 2: uznanie, że skoro była wysokością w trójkącie , to w innym trójkącie już nią nie jest. Liczy się wyłącznie prostopadłość do przeciwległego boku — a ta się nie zmienia.
Zadanie 23 (listopad 2012, egzamin gimnazjalny)1 pkttrudniejsze
| P | F | |
| P | F |
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
Odpowiedź: P, F
- Najpierw wszystkie kąty trójkąta. Skoro , kąty przy podstawie są równe: .
- Kąt przy wierzchołku: .
- Dwusieczna dzieli kąt przy na pół: .
- Zdanie 1 — trójkąt . Znamy dwa kąty: i .
- ✓ — prawda.
- Zdanie 2 — trójkąt . Wysokość w trójkącie równoramiennym dzieli kąt przy wierzchołku na pół, więc .
- Kąt to ten sam co , czyli . Trzeci kąt: .
- Aby zachodziło , trójkąt musiałby być równoramienny o wierzchołku , czyli kąty naprzeciw tych boków ( i ) musiałyby być równe. Nie są — fałsz.
- Odpowiedzi: P, F.
💡 Wskazówka: Reguła „równe boki leżą naprzeciw równych kątów” działa w obie strony — żeby sprawdzić równość odcinków, wystarczy porównać kąty naprzeciw nich.
⚠ Najczęstszy błąd w zdaniu 2: uznanie równości „na oko” z rysunku. Odcinki i wyglądają podobnie, ale rachunek na kątach ( kontra ) rozstrzyga jednoznacznie.
Zadania otwarte
Zadanie 24 (maj 2025)2 pktśrednie
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
Odpowiedź: DAB = 75°, BCD = 132°, CDA = 105°
- Krok 1 — trójkąt . Znamy dwa kąty, więc trzeci dopełniamy do :
- .
- Krok 2 — kąt . Punkty , , leżą na jednej prostej, więc kąty i są przyległe:
- .
- Krok 3 — kąt . W równoległoboku kąty przy i przy są sąsiednie, więc dopełniają się do :
- . To właśnie kąt trapezu.
- Krok 4 — kąt . W równoległoboku kąty przeciwległe są równe, a leży naprzeciw :
- .
- Krok 5 — kąt . Składa się z dwóch części: (kąt równoległoboku, równy przeciwległemu ) oraz .
- .
- Odpowiedź: , , .
- Kontrola: suma kątów czworokąta ✓
💡 Wskazówka: Na koniec zawsze sprawdź sumę kątów czworokąta — musi wyjść . To najprostsza kontrola, która wyłapuje niemal każdą pomyłkę.
⚠ Najczęstszy błąd: pominięcie tego, że kąt składa się z dwóch części — kąta równoległoboku i kąta trójkąta. Podanie samego albo samego daje zły wynik.
Odpowiedzi
Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.
| 1. C | 2. B, C | 3. A | 4. C | 5. F, P | 6. P, P |
| 7. A | 8. P, P | 9. F, P | 10. D | 11. D | 12. P, P |
| 13. B, D | 14. F, P | 15. B | 16. A | 17. F, P | 18. F, P |
| 19. C | 20. D | 21. C | 22. F, P | 23. P, F | 24. DAB = 75°, BCD = 132°, CDA = 105° |
Treści zadań pochodzą z arkuszy egzaminu ósmoklasisty oraz z arkuszy egzaminu gimnazjalnego (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów liczę i zapisuję sam — Mateusz Będkowski.
Pytania i odpowiedzi
Ile wynosi suma kątów w trójkącie?
Zawsze , niezależnie od kształtu trójkąta. Z tej reguły wynika też suma kątów w czworokącie: każdy czworokąt można przekątną podzielić na dwa trójkąty, więc jego kąty sumują się do .
Jak rozpoznać kąty przy podstawie w trójkącie równoramiennym?
Najpierw znajdź dwa boki tej samej długości — to ramiona. Kąt zawarty między nimi jest kątem przy wierzchołku, a dwa pozostałe leżą przy podstawie i mają równe miary. Nie sugeruj się tym, który bok narysowano na dole.
Czym różnią się kąty przyległe od wierzchołkowych?
Kąty przyległe mają wspólne ramię i razem tworzą kąt półpełny, więc ich miary sumują się do . Kąty wierzchołkowe leżą naprzeciw siebie przy przecięciu dwóch prostych, nie mają wspólnego ramienia i są sobie równe.
Jak wyliczyć kąt podany jako wyrażenie, na przykład ?
Ułóż równanie z warunku zadania — najczęściej z tego, że kąty sumują się do albo . Rozwiąż je, a potem koniecznie wróć do wyrażeń i policz konkretne miary. Sama wartość niewiadomej nie jest odpowiedzią.
Kiedy dwa trójkąty są przystające?
Gdy spełniają jedną z trzech cech: mają trzy pary równych boków, dwa boki i kąt zawarty między nimi, albo dwa kąty i bok leżący między nimi. Kąt musi leżeć między wskazanymi bokami — inaczej warunek nie wystarcza.
Ile wynoszą kąty przy tym samym ramieniu trapezu?
Sumują się do . Wynika to z równoległości podstaw: ramię jest ich poprzeczną, a kąty leżące po tej samej stronie poprzecznej dopełniają się do kąta półpełnego.
Czytaj dalej
Mateusz Będkowski
nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”
Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.
Ostatnia aktualizacja: 2026-07-30. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa Mateusza Będkowskiego.