Egzamin ósmoklasisty 2025 z matematyki – odpowiedzi i rozwiązania

Odpowiedź: B, D

1. Pierwsze zdanie. Styczeń i luty razem: $50 + 40 = \textcolor{#16A06A}{90}$ zł.
2. Odnosimy to do ceny deskorolki: $\dfrac{\textcolor{#16A06A}{90}}{\textcolor{#E0453A}{180}} = 0{,}5 = 50\%$ — odpowiedź B.
3. Drugie zdanie. Marzec to $\textcolor{#16A06A}{60}$ zł, styczeń $\textcolor{#E0453A}{50}$ zł. Różnica: $\textcolor{#16A06A}{60} - \textcolor{#E0453A}{50} = 10$ zł.
4. Uwaga — pytanie brzmi „o ile procent większą od kwoty ze stycznia”, więc dzielimy przez styczeń:
5. $\dfrac{10}{\textcolor{#E0453A}{50}} = 0{,}2 = 20\%$ — odpowiedź D. Razem: B, D.

💡 Wskazówka: W obu podpunktach mianownik jest inny: raz cena deskorolki, raz kwota ze stycznia. Zawsze sprawdź, od czego liczysz procent — to jest w zdaniu po słowie „od”.

⚠ Najczęstszy błąd w drugim zdaniu: podzielenie różnicy przez marzec ($10 : 60 \approx 17\%$) albo przez cenę deskorolki. Porównujemy do wartości wyjściowej, czyli do stycznia.

Odpowiedź: C

1. Sprowadzamy obie liczby do ułamków zwykłych: $2{,}4 = \textcolor{#16A06A}{\dfrac{12}{5}}$, a $5\dfrac13 = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{16}{3}}$ (bo $5 \cdot 3 + 1 = 16$).
2. Wspólny mianownik dla 5 i 3 to 15. Rozszerzamy: pierwszy ułamek razy 3, drugi razy 5.
3. $\textcolor{#16A06A}{\dfrac{12}{5}} = \textcolor{#16A06A}{\dfrac{36}{15}}$  oraz  $\textcolor{#E0453A}{\dfrac{16}{3}} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{80}{15}}$.
4. Odejmujemy: $\textcolor{#16A06A}{\dfrac{36}{15}} - \textcolor{#E0453A}{\dfrac{80}{15}} = -\dfrac{44}{15}$.
5. Dzielimy przez $(-2)$: $-\dfrac{44}{15} : (-2) = \dfrac{44}{30} = \dfrac{22}{15}$.
6. Zamieniamy na liczbę mieszaną: $\dfrac{22}{15} = 1\dfrac{7}{15}$ — odpowiedź C.

💡 Wskazówka: Kontrola znaku bez rachunków: w nawiasie od mniejszej liczby (2,4) odejmujemy większą ($5\tfrac13$), więc wynik jest ujemny. Ujemna dzielona przez ujemną daje dodatnią — to od razu skreśla odpowiedzi A i B.

⚠ Dwa typowe błędy: (1) zamiana $5\tfrac13$ na $\tfrac{15}{3}$ zamiast $\tfrac{16}{3}$ (zapomniana jedynka); (2) zgubienie minusa przy dzieleniu i wybór odpowiedzi B.

Odpowiedź: B

1. Szukamy najbliższej wielokrotności siódemki: $7 \cdot 13 = \textcolor{#16A06A}{91}$.
2. Skoro $\textcolor{#16A06A}{91}$ dzieli się przez 7 bez reszty, to reszta 1 pojawi się przy liczbie o jeden większej.
3. $92 = \textcolor{#16A06A}{91} + 1$, czyli $92 = 7 \cdot 13 + 1$ — reszta wynosi 1 ✓.
4. Dla porządku pozostałe: $95 = 91 + 4$ (reszta 4), $97 = 91 + 6$ (reszta 6).
5. Odpowiedź B.

💡 Wskazówka: Zamiast dzielić każdą liczbę osobno, znajdź jedną wielokrotność dzielnika w pobliżu — resztę odczytasz jako różnicę.

⚠ Błąd: mylenie reszty z ilorazem albo szukanie liczby kończącej się na 1 (stąd kuszące 91).

Odpowiedź: B, C

1. Zamieniamy obie średnie na sumy.
2. Cztery liczby o średniej 9: $a + b + c + d = 9 \cdot 4 = \textcolor{#16A06A}{36}$.
3. Dwie liczby o średniej 6: $e + f = 6 \cdot 2 = \textcolor{#E0453A}{12}$.
4. Pierwsze zdanie — różnica sum: $\textcolor{#16A06A}{36} - \textcolor{#E0453A}{12} = 24$, odpowiedź B.
5. Drugie zdanie — teraz bierzemy wszystkie sześć liczb: suma to $\textcolor{#16A06A}{36} + \textcolor{#E0453A}{12} = 48$.
6. Średnia: $48 : 6 = 8$, odpowiedź C.

💡 Wskazówka: Średnia dwóch grup to nie średnia ze średnich. Trzeba dodać sumy i podzielić przez łączną liczbę elementów.

⚠ Klasyczna pułapka: policzenie $(9 + 6) : 2 = 7{,}5$ — stąd wzięła się odpowiedź D. To działa tylko wtedy, gdy grupy są równoliczne, a tu jest 4 kontra 2.

Odpowiedź: A

1. Chcemy zostawić $\textcolor{#16A06A}{a}$ samo po jednej stronie. Przeszkadzają mu dwie rzeczy: dodane $\textcolor{#E0453A}{2b + c}$ oraz mnożnik $\textcolor{#E0453A}{2}$.
2. Krok 1 — cofamy dodawanie. Odejmujemy $\textcolor{#E0453A}{2b}$ i $\textcolor{#E0453A}{c}$ od obu stron:
3. $L - \textcolor{#E0453A}{2b} - \textcolor{#E0453A}{c} = 2\textcolor{#16A06A}{a}$.
4. Krok 2 — cofamy mnożenie. Dzielimy obie strony przez $\textcolor{#E0453A}{2}$:
5. $\textcolor{#16A06A}{a} = \dfrac{L - \textcolor{#E0453A}{2b} - \textcolor{#E0453A}{c}}{\textcolor{#E0453A}{2}}$ — odpowiedź A.

💡 Wskazówka: Kolejność jest zawsze odwrotna niż przy liczeniu: najpierw cofnij dodawanie, potem mnożenie. I pamiętaj, że dzielisz całą stronę, więc kreska ułamkowa obejmuje wszystko.

⚠ Najczęstszy błąd: pominięcie dzielenia przez 2 (odpowiedź D) albo podzielenie tylko litery $L$. Dwójka stoi przy $a$, więc trzeba się jej pozbyć — dzieląc całą drugą stronę.

Odpowiedź: A

1. Fioletowe: $x$ (tak podano w treści).
2. Białe: 4 razy więcej niż fioletowych, czyli $4x$.
3. Czarne: białych jest o 3 mniej niż czarnych, więc czarnych jest o 3 więcej niż białych: $4x + 3$.
4. Sumujemy wszystkie: $\textcolor{#16A06A}{x} + \textcolor{#16A06A}{4x} + (\textcolor{#16A06A}{4x} + \textcolor{#E0453A}{3})$.
5. Grupujemy wyrazy podobne: $\textcolor{#16A06A}{x + 4x + 4x} = \textcolor{#16A06A}{9x}$, a liczba $\textcolor{#E0453A}{3}$ zostaje osobno.
6. Wynik: $9x + 3$ — odpowiedź A.

💡 Wskazówka: Zdanie „A jest o 3 mniej niż B” zapisz jako $A = B - 3$, a stąd $B = A + 3$. Przestawianie w pamięci to najczęstsze źródło błędu ze znakiem.

⚠ Najczęstszy błąd: zapisanie czarnych jako $4x - 3$ (odpowiedź B). To odwrócenie relacji — czarnych jest więcej niż białych, bo białych jest o 3 mniej.

Odpowiedź: F, F

1. Pierwiastek z ułamka: $\sqrt{\dfrac{1}{16}} = \dfrac{1}{4}$ oraz $\sqrt{\dfrac{1}{9}} = \dfrac{1}{3}$.
2. $K = \dfrac{1}{9} \cdot \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{16} \cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{36} - \dfrac{1}{48}$.
3. Sprowadzamy do wspólnego mianownika 144: $\dfrac{4}{144} - \dfrac{3}{144} = \dfrac{1}{144}$ — liczba dodatnia, więc pierwsze zdanie jest fałszywe.
4. $L = 9 \cdot 4 - 16 \cdot 3 = 36 - 48 = -12$ — liczba ujemna.
5. Skoro $L = -12$, a $K = \dfrac{1}{144} > 0$, to $L$ jest mniejsze od $K$ — drugie zdanie też fałszywe.

💡 Wskazówka: Pierwiastek z ułamka liczymy osobno w liczniku i mianowniku: $\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$.

⚠ Częsty błąd: uznanie, że skoro $L$ zawiera większe liczby, to musi być większe. Znak minus decyduje o wszystkim.

Odpowiedź: D

1. Zapisujemy wszystko jako potęgi dwójki: $8 = \textcolor{#16A06A}{2}^{3}$ oraz $4 = \textcolor{#16A06A}{2}^{2}$.
2. $8^6 = (\textcolor{#16A06A}{2}^{3})^{6} = \textcolor{#16A06A}{2}^{\textcolor{#E0453A}{18}}$ — przy potędze potęgi mnożymy wykładniki.
3. $4^3 = (\textcolor{#16A06A}{2}^{2})^{3} = \textcolor{#16A06A}{2}^{\textcolor{#2F80D8}{6}}$.
4. Dzielimy: $\textcolor{#16A06A}{2}^{\textcolor{#E0453A}{18}} : \textcolor{#16A06A}{2}^{\textcolor{#2F80D8}{6}} = \textcolor{#16A06A}{2}^{\textcolor{#E0453A}{18}-\textcolor{#2F80D8}{6}} = 2^{12}$.

💡 Wskazówka: Zamiana na wspólną podstawę to najpewniejsza droga — wtedy działasz tylko na wykładnikach.

⚠ Częsty błąd: odjęcie wykładników bez zamiany podstaw ($6-3=3$) — wyszłoby $2^3$, odpowiedź B.

Odpowiedź: B

1. Ze wzoru $v = \dfrac{s}{t}$ wyliczamy czas: $t = \dfrac{s}{v}$.
2. Tutaj jednostki od razu pasują — droga w metrach, prędkość w metrach na sekundę, więc czas wyjdzie w sekundach.
3. $t = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{100}}{5} = 20$ sekund.
4. Odpowiedź B.
5. Sens fizyczny: skoro rowerzysta pokonuje 5 m w każdej sekundzie, to na 100 m potrzebuje 20 takich sekund.

💡 Wskazówka: Zapamiętaj trójkąt $s = v \cdot t$: zasłaniasz palcem to, czego szukasz, a reszta pokazuje działanie. Zasłaniasz $t$ — zostaje $\dfrac{s}{v}$.

⚠ Najczęstszy błąd: pomnożenie zamiast podzielenia ($100 \cdot 5 = 500$ — kusząca odpowiedź C). Kontrola zdroworozsądkowa: 500 sekund to ponad 8 minut na 100 metrów — to tempo wolniejsze od spaceru.

Odpowiedź: D

1. Liczymy losy wygrywające w dwóch grupach.
2. Numery od 1 do 9 — to po prostu 9 losów.
3. Numery od 46 do 72 — tu nie wolno odejmować „na skróty”. Liczba liczb od $a$ do $b$ włącznie to $b - a + 1$, czyli $72 - 46 + 1 = 27$ losów.
4. Wygrywających jest razem $9 + 27 = 36$.
5. Pustych jest więc $\textcolor{#16A06A}{72 - 36} = \textcolor{#16A06A}{36}$, a wszystkich losów $\textcolor{#E0453A}{72}$.
6. $P = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{36}}{\textcolor{#E0453A}{72}}$ — odpowiedź D. (Można też skrócić do $\tfrac12$, ale w odpowiedziach podano postać nieskróconą.)

💡 Wskazówka: Wzór na liczbę kolejnych liczb: $b - a + 1$. Sprawdź go na czymś oczywistym: od 1 do 9 mamy $9 - 1 + 1 = 9$ ✓.

⚠ Najczęstszy błąd: policzenie $72 - 46 = 26$ zamiast 27 (zapomniana jedynka). Wtedy pustych wyszłoby 37, a przy dalszej pomyłce — kusząca odpowiedź A lub B.

Odpowiedź: P, P

1. Krok 1 — wyznaczamy $BC$. Trójkąt $DBC$ jest prostokątny (kąt prosty przy $B$), a $DC = 50$ to jego przeciwprostokątna.
2. Z twierdzenia Pitagorasa: $BC = \sqrt{50^2 - \textcolor{#16A06A}{30}^2} = \sqrt{2500 - 900} = \sqrt{1600} = \textcolor{#E0453A}{40}$ cm.
3. Zdanie 1. $P_{DBC} = \tfrac12 \cdot \textcolor{#16A06A}{30} \cdot \textcolor{#E0453A}{40} = 600$ cm² ✓ — prawda.
4. Zdanie 2. Trójkąty $ADC$ i $DBC$ mają równe podstawy ($AD = DB = \textcolor{#16A06A}{30}$) i wspólną wysokość (odcinek $BC$ opuszczony z $C$).
5. Mają więc równe pola: $P_{ADC} = P_{DBC} = 600$ cm².
6. Cały trójkąt: $P_{ABC} = 600 + 600 = 1200$ cm², czyli dokładnie dwa razy więcej niż $P_{ADC}$ ✓ — prawda.
7. Odpowiedzi: P, P.

💡 Wskazówka: Środkowa trójkąta (odcinek do środka boku) zawsze dzieli go na dwa trójkąty o równych polach — niezależnie od kształtu. Warto to znać, bo oszczędza liczenia.

⚠ Najczęstszy błąd: liczenie pola $ADC$ osobno, z próbą wyznaczenia jego wysokości. Wystarczy zauważyć równe podstawy i wspólną wysokość.

Odpowiedź: A

1. Trójkąt $EFG$ „przekazuje” swoje boki obu sąsiednim figurom — to od niego zaczynamy.
2. Kwadrat $AEGD$ ma bok równy $EG = \textcolor{#E0453A}{6}$, więc $AE = AD = DG = \textcolor{#16A06A}{6}$.
3. Romb $FBCG$ ma bok równy $GF = \textcolor{#E0453A}{10}$, więc $FB = BC = CG = \textcolor{#16A06A}{10}$.
4. Teraz składamy obwód trapezu z samych zewnętrznych odcinków:
5. $AB = \textcolor{#16A06A}{AE} + \textcolor{#E0453A}{EF} + \textcolor{#16A06A}{FB} = \textcolor{#16A06A}{6} + \textcolor{#E0453A}{8} + \textcolor{#16A06A}{10} = \textcolor{#16A06A}{24}$
6. $DC = \textcolor{#16A06A}{DG} + \textcolor{#16A06A}{GC} = \textcolor{#16A06A}{6} + \textcolor{#16A06A}{10} = \textcolor{#16A06A}{16}$,   $AD = \textcolor{#16A06A}{6}$,   $BC = \textcolor{#16A06A}{10}$
7. Obwód: $\textcolor{#16A06A}{24} + \textcolor{#16A06A}{16} + \textcolor{#16A06A}{6} + \textcolor{#16A06A}{10} = 56$ — odpowiedź A.

💡 Wskazówka: Odcinki $EG$ i $GF$ leżą wewnątrz trapezu, więc do obwodu nie wchodzą — ale to właśnie one podają wymiary kwadratu i rombu. Rozdziel te dwie role.

⚠ Najczęstszy błąd: dodanie do obwodu boków trójkąta $EFG$ (czyli 6 i 10 dodatkowo). Linie podziału figury nigdy nie należą do jej brzegu.

Odpowiedź: C

1. W równoległoboku $ABCD$ boki $AB$ i $DC$ są równoległe i równe, więc przesunięcie z $A$ do $B$ jest takie samo jak z $D$ do $C$.
2. Krok 1 — wyznaczamy przesunięcie z $D$ do $C$.
3. w poziomie: $\textcolor{#16A06A}{4} - (\textcolor{#16A06A}{-1}) = \textcolor{#E0453A}{+5}$
4. w pionie: $\textcolor{#16A06A}{2} - \textcolor{#16A06A}{2} = \textcolor{#E0453A}{0}$
5. Krok 2 — stosujemy je do punktu $A$.
6. $x_B = \textcolor{#16A06A}{-3} + \textcolor{#E0453A}{5} = 2$
7. $y_B = \textcolor{#16A06A}{-2} + \textcolor{#E0453A}{0} = -2$
8. Zatem $B = (2, -2)$ — odpowiedź C. Współrzędna $x$ jest dodatnia ✓
9. Sprawdzenie: przekątne równoległoboku dzielą się na połowy. Środek $AC$ to $\left(\tfrac{-3+4}{2}, \tfrac{-2+2}{2}\right) = (0{,}5;\ 0)$, a środek $BD$ to $\left(\tfrac{2-1}{2}, \tfrac{-2+2}{2}\right) = (0{,}5;\ 0)$ ✓

💡 Wskazówka: Uważaj na kolejność liter: w czworokącie $ABCD$ bok $AB$ leży naprzeciw boku $CD$. Dlatego przesunięcie $A \to B$ porównujemy z $D \to C$, a nie z $C \to D$.

⚠ Najczęstszy błąd: przyjęcie przesunięcia z $C$ do $D$ (czyli $-5$ zamiast $+5$) — wychodzi wtedy punkt $(-8,-2)$ o ujemnej współrzędnej $x$. Warunek „$x$ dodatnia” jest w treści właśnie po to, żeby to wykluczyć.

Odpowiedź: D

1. Trzy krawędzie z jednego wierzchołka to po prostu trzy wymiary bryły: $5$, $6$ i $7$.
2. Prostopadłościan ma trzy pary jednakowych ścian, więc:
3. $P = 2(5 \cdot 6 + 5 \cdot 7 + 6 \cdot 7) = 2(30 + 35 + 42) = 2 \cdot 107 = 214$.
4. Odpowiedź D.

💡 Wskazówka: Najpierw dodaj pola trzech różnych ścian, a dopiero na końcu pomnóż przez $2$. Mniej rachunków i mniejsza szansa na pomyłkę.

⚠ Najczęstszy błąd: podanie $107$ (odpowiedź A) — czyli zapomnienie o mnożeniu przez $2$. Ta odpowiedź jest w zestawie właśnie po to.

Odpowiedź: trzeci składnik to 1/10

1. Trzeci składnik wyznaczamy przez odejmowanie: $x = \dfrac{7}{15} - \dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{6}$.
2. Szukamy wspólnego mianownika dla 15, 5 i 6. Rozkładamy: $15 = 3 \cdot 5$, $5$, $6 = 2 \cdot 3$ — najmniejszy wspólny to $\textcolor{#E0453A}{30}$.
3. Rozszerzamy każdy ułamek: $\dfrac{7}{15} = \textcolor{#16A06A}{\dfrac{14}{30}}$,   $\dfrac{1}{5} = \textcolor{#16A06A}{\dfrac{6}{30}}$,   $\dfrac{1}{6} = \textcolor{#16A06A}{\dfrac{5}{30}}$.
4. Odejmujemy: $x = \textcolor{#16A06A}{\dfrac{14}{30}} - \textcolor{#16A06A}{\dfrac{6}{30}} - \textcolor{#16A06A}{\dfrac{5}{30}} = \dfrac{3}{30}$.
5. Skracamy przez 3: $\dfrac{3}{30} = \dfrac{1}{10}$.
6. Otrzymaliśmy ułamek o liczniku 1 i mianowniku 10 — czyli liczbie całkowitej dodatniej. To należało uzasadnić.
7. Sprawdzenie: $\dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{10} = \dfrac{6 + 5 + 3}{30} = \dfrac{14}{30} = \dfrac{7}{15}$ ✓

💡 Wskazówka: Nie zatrzymuj się na $\tfrac{3}{30}$ — dopiero po skróceniu widać, że licznik wynosi 1. Właśnie o to pyta zadanie.

⚠ Najczęstszy błąd: podanie wyniku $\tfrac{3}{30}$ bez skrócenia. Formalnie to ta sama liczba, ale zadanie wymaga pokazania postaci z licznikiem 1 — bez skrócenia uzasadnienie jest niepełne.

Odpowiedź: Basia 42, Andrzej 70, Marek 14

1. Oznaczamy przez $\textcolor{#16A06A}{b}$ liczbę plakatów Basi — do niej odnoszą się obaj chłopcy.
2. Andrzej: $\textcolor{#E0453A}{b + 28}$.   Marek: $\textcolor{#E0453A}{\dfrac{b}{3}}$.
3. Trzeci warunek: Andrzej i Marek razem mają 2 razy więcej niż Basia:
4. $\textcolor{#E0453A}{(b + 28)} + \textcolor{#E0453A}{\dfrac{b}{3}} = 2\textcolor{#16A06A}{b}$.
5. Mnożymy obie strony przez 3: $3b + 84 + b = 6b$, czyli $4b + 84 = 6b$.
6. $84 = 2b$, więc $\textcolor{#16A06A}{b} = 42$.
7. Andrzej: $42 + 28 = 70$.   Marek: $42 : 3 = 14$.
8. Odpowiedź: Basia ma 42 plakaty, Andrzej 70, a Marek 14.
9. Sprawdzenie: $70 + 14 = 84 = 2 \cdot 42$ ✓

💡 Wskazówka: Gdy trzy osoby są porównywane, oznacz literą tę, która występuje w największej liczbie porównań — tu Basię. Pozostałe wyrażą się przez nią bez kombinowania.

⚠ Najczęstszy błąd: zapisanie Marka jako $3b$ zamiast $\tfrac{b}{3}$. „Trzy razy mniej” oznacza dzielenie, a nie mnożenie.

Odpowiedź: DAB = 75°, BCD = 132°, CDA = 105°

1. Krok 1 — trójkąt $EBC$. Znamy dwa kąty, więc trzeci dopełniamy do $\textcolor{#E0453A}{180°}$:
2. $\angle CEB = \textcolor{#E0453A}{180°} - \textcolor{#16A06A}{48°} - \textcolor{#16A06A}{57°} = \textcolor{#16A06A}{75°}$.
3. Krok 2 — kąt $AEC$. Punkty $A$, $E$, $B$ leżą na jednej prostej, więc kąty $AEC$ i $CEB$ są przyległe:
4. $\angle AEC = \textcolor{#E0453A}{180°} - \textcolor{#16A06A}{75°} = \textcolor{#16A06A}{105°}$.
5. Krok 3 — kąt $DAB$. W równoległoboku $AECD$ kąty przy $A$ i przy $E$ są sąsiednie, więc dopełniają się do $\textcolor{#E0453A}{180°}$:
6. $\angle DAE = \textcolor{#E0453A}{180°} - \textcolor{#16A06A}{105°} = 75°$. To właśnie kąt $DAB$ trapezu.
7. Krok 4 — kąt $CDA$. W równoległoboku kąty przeciwległe są równe, a $\angle ADC$ leży naprzeciw $\angle AEC$:
8. $\angle CDA = \textcolor{#16A06A}{105°}$.
9. Krok 5 — kąt $BCD$. Składa się z dwóch części: $\angle DCE$ (kąt równoległoboku, równy przeciwległemu $\angle DAE = 75°$) oraz $\angle ECB = \textcolor{#16A06A}{57°}$.
10. $\angle BCD = 75° + \textcolor{#16A06A}{57°} = 132°$.
11. Odpowiedź: $\angle DAB = 75°$, $\angle BCD = 132°$, $\angle CDA = 105°$.
12. Kontrola: suma kątów czworokąta $75° + 48° + 132° + 105° = 360°$ ✓

💡 Wskazówka: Na koniec zawsze sprawdź sumę kątów czworokąta — musi wyjść $360°$. To najprostsza kontrola, która wyłapuje niemal każdą pomyłkę.

⚠ Najczęstszy błąd: pominięcie tego, że kąt $BCD$ składa się z dwóch części — kąta równoległoboku i kąta trójkąta. Podanie samego $57°$ albo samego $75°$ daje zły wynik.

Odpowiedź: 6 razy

1. Krok 1 — rzeczywisty rozmiar małej tablicy. Skala $1:20$ oznacza, że rysunek jest 20 razy mniejszy od rzeczywistości.
2. Rzeczywisty bok: $3 \cdot \textcolor{#E0453A}{20} = \textcolor{#16A06A}{60}$ cm.
3. Krok 2 — pola. Mała tablica: $\textcolor{#16A06A}{60}^2 = \textcolor{#16A06A}{3600}$ cm². Duża: $240 \cdot 90 = \textcolor{#16A06A}{21\,600}$ cm².
4. Krok 3 — porównanie. $\textcolor{#16A06A}{21\,600} : \textcolor{#16A06A}{3600} = 6$.
5. Odpowiedź: pole dużej tablicy jest 6 razy większe od pola małej.

💡 Wskazówka: W skali $1:20$ mnożymy przez 20, żeby dostać rzeczywistość. Kontrola sensu: tablica o boku 60 cm jest realistyczna, o boku 0,15 cm — nie.

⚠ Najczęstszy błąd: podzielenie przez 20 zamiast pomnożenia. Drugi: porównanie samych boków (60 cm kontra 240 cm, czyli „4 razy”) zamiast pól.

Odpowiedź: $132\ \text{cm}$

1. Krok $\boldsymbol{1}$ — krawędź podstawy. Ściana boczna to trójkąt o podstawie $\textcolor{#16A06A}{a}$ i wysokości $\textcolor{#E0453A}{12}$ cm:
2. $\tfrac12 \cdot \textcolor{#16A06A}{a} \cdot \textcolor{#E0453A}{12} = 108$, czyli $6\textcolor{#16A06A}{a} = 108$, więc $\textcolor{#16A06A}{a} = \textcolor{#16A06A}{18}$ cm.
3. Krok $\boldsymbol{2}$ — krawędź boczna. Wysokość ściany bocznej dzieli ten trójkąt równoramienny na dwa prostokątne o przyprostokątnych $\textcolor{#E0453A}{12}$ cm i $\textcolor{#16A06A}{18} : 2 = \textcolor{#16A06A}{9}$ cm.
4. $\textcolor{#E0453A}{b} = \sqrt{\textcolor{#E0453A}{12}^2 + \textcolor{#16A06A}{9}^2} = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = \textcolor{#E0453A}{15}$ cm.
5. Krok $\boldsymbol{3}$ — suma krawędzi. Cztery krawędzie podstawy i cztery boczne:
6. $4 \cdot \textcolor{#16A06A}{18} + 4 \cdot \textcolor{#E0453A}{15} = 72 + 60 = 132$ cm.
7. Odpowiedź: suma długości wszystkich krawędzi wynosi $\boldsymbol{132\ \text{cm}}$.

💡 Wskazówka: Krawędź boczna, wysokość ściany bocznej i połowa krawędzi podstawy tworzą trójkąt prostokątny — to najczęściej używana zależność w całej stereometrii ósmoklasisty.

⚠ Najczęstszy błąd: użycie w Pitagorasie całej krawędzi podstawy ($18$) zamiast jej połowy ($9$). Wysokość ściany bocznej pada na środek krawędzi podstawy.