Egzamin ósmoklasisty · matematyka · kwiecień 2019

Zadanie z E8 (kwiecień 2019) – kąty w figurach

Dane są trzy trójkąty: • ABC — kąt przy A ma 45°, kąt przy C ma 76°, bok CB ma długość 7; • KLM — kąt przy M ma 49°, kąt przy L ma 55°, bok KL ma długość 7; • PQR — kąt przy R ma 76°, kąt przy P ma 55°, bok PR ma długość 7. Na podstawie tych informacji można stwierdzić, że

Zobacz rozwiązanie w obrazku

1pkt · trudniejsze

Zadanie 15 (kwiecień 2019)1 pkttrudniejsze

Dane są trzy trójkąty:
• $ABC$ — kąt przy

A

45°

, kąt przy

C

76°

, bok

CB

ma długość 7;
• $KLM$ — kąt przy

M

49°

, kąt przy

L

55°

, bok

KL

ma długość 7;
• $PQR$ — kąt przy

R

76°

, kąt przy

P

55°

, bok

PR

ma długość 7.
Na podstawie tych informacji można stwierdzić, że

A. trójkąt $ABC$ jest przystający do trójkąta $KLM$ .
B. trójkąt $KLM$ jest przystający do trójkąta $PQR$ .
C. trójkąt $PQR$ jest przystający do trójkąta $ABC$ .
D. wszystkie trójkąty są przystające.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Dla każdego trójkąta dopełniamy trzeci kąt do $\textcolor{#E0453A}{180°}$ :
$ABC$ : kąt przy $B = \textcolor{#E0453A}{180°} - 45° - 76° = 59°$ . Zestaw kątów: $\{45°, 76°, 59°\}$ .
$KLM$ : kąt przy $K = \textcolor{#E0453A}{180°} - 49° - 55° = 76°$ . Zestaw: $\textcolor{#16A06A}{\{49°, 55°, 76°\}}$ .
$PQR$ : kąt przy $Q = \textcolor{#E0453A}{180°} - 76° - 55° = 49°$ . Zestaw: $\textcolor{#16A06A}{\{76°, 55°, 49°\}}$ .
Trójkąt $ABC$ ma inny zestaw kątów niż pozostałe — odpada z każdej pary (odpowiedzi A, C i D).
Zostają $KLM$ i $PQR$ . Sprawdzamy bok długości 7: w $KLM$ leży między kątami $\textcolor{#16A06A}{76°}$ (przy $K$ ) i $\textcolor{#16A06A}{55°}$ (przy $L$ ); w $PQR$ — między $\textcolor{#16A06A}{55°}$ (przy $P$ ) i $\textcolor{#16A06A}{76°}$ (przy $R$ ).
Ta sama para kątów przy tym samym boku — cecha kąt–bok–kąt ✓ Trójkąty są przystające.
Odpowiedź B.

💡 Wskazówka: Zacznij od dopełnienia kątów we wszystkich trójkątach — dopiero wtedy widać, które mają szansę być przystające. Trójkąt o innym zestawie kątów odpada od razu.

⚠ Najczęstszy błąd: wybór odpowiedzi D, bo we wszystkich trójkątach występuje bok długości 7 i po kilka wspólnych kątów. Trójkąt $ABC$ ma jednak kąt $45°$ , którego nie ma nigdzie indziej.