Egzamin ósmoklasisty · matematyka · maj 2021

Egzamin ósmoklasisty 2021 z matematyki – odpowiedzi i rozwiązania

Egzamin ósmoklasisty z matematyki 2021, sesja główna (maj). Arkusz OMAP-100-2105 miał 19 zadań: 15 zamkniętych i 4 otwartych, razem 25 punktów, a na rozwiązanie było 100 minut. Niżej jest tabela odpowiedzi, a pod nią każde zadanie w kolejności z arkusza z naszym rozwiązaniem krok po kroku.

Tabela odpowiedzi ↓

19zadań · 25 pkt

Odpowiedzi – egzamin ósmoklasisty 2021, matematyka

Odpowiedzi do zadań zamkniętych zgadzają się z kluczem w zasadach oceniania CKE. Przy zadaniach otwartych podajemy wynik; pełny tok obliczeń jest przy zadaniu.

Zadanie	Punkty	Odpowiedź
Zadanie 1	1 pkt	FP
Zadanie 2	1 pkt	B
Zadanie 3	1 pkt	BC
Zadanie 4	1 pkt	A
Zadanie 5	1 pkt	A, 3
Zadanie 6	1 pkt	AD
Zadanie 7	1 pkt	A
Zadanie 8	1 pkt	BC
Zadanie 9	1 pkt	A
Zadanie 10	1 pkt	D
Zadanie 11	1 pkt	BC
Zadanie 12	1 pkt	D
Zadanie 13	1 pkt	B
Zadanie 14	1 pkt	C
Zadanie 15	1 pkt	B
Zadanie 16	2 pkt	Nie — części sumują się do 13/12, czyli więcej niż cała tabliczka
Zadanie 17	3 pkt	Adam dotarł o godzinie $17{:}56$ , czyli $4$ minuty przed umówioną godziną
Zadanie 18	2 pkt	3,60 zł
Zadanie 19	3 pkt	9,6 cm

Zadania z rozwiązaniami krok po kroku

Rozwiązanie każdego zadania otwiera się po kliknięciu „Zobacz rozwiązanie”. Najpierw spróbuj samodzielnie, a potem porównaj swój tok rozumowania z naszym.

Zadanie 1 – odczytywanie danych z tabel, diagramów i wykresów (1 pkt)

Zadanie 11 pktśrednie

Na diagramie słupkowym przedstawiono liczby medali zdobytych na czterech letnich igrzyskach olimpijskich przez reprezentację Polski.

Dane z rysunku — wersja tekstowa

Igrzyska	złote	srebrne	brązowe
2004	3	2	5
2008	4	5	2
2012	3	1	7
2016	2	3	6

Oceń prawdziwość podanych zdań dotyczących medali zdobytych w latach 2004–2016.

Liczba zdobytych złotych medali stanowi więcej niż jedną trzecią liczby wszystkich zdobytych medali.	P	F
Podczas letnich igrzysk olimpijskich średnio zdobywano 3 złote medale.	P	F

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: F, P

Krok 1 — sumujemy złote medale. $\textcolor{#16A06A}{3} + \textcolor{#16A06A}{4} + \textcolor{#16A06A}{3} + \textcolor{#16A06A}{2} = \textcolor{#16A06A}{12}$ .
Krok 2 — sumujemy wszystkie medale. Najprościej igrzyskami:
$2004$ : $3+2+5 = 10$ • $2008$ : $4+5+2 = 11$ • $2012$ : $3+1+7 = 11$ • $2016$ : $2+3+6 = 11$
Razem: $\textcolor{#E0453A}{43}$ medale.
Zdanie 1. Jedna trzecia wszystkich to $\textcolor{#E0453A}{43} : 3 \approx 14{,}3$ . Złotych jest $\textcolor{#16A06A}{12}$ , czyli mniej — fałsz.
Zdanie 2. Średnia liczba złotych medali na jedne igrzyska:
$\textcolor{#16A06A}{12} : 4 = 3$ ✓ — prawda.
Odpowiedzi: F, P.

💡 Wskazówka: Porównanie z jedną trzecią da się zrobić bez dzielenia: sprawdź, czy $3 \cdot 12 = 36$ przekracza $43$ . Nie przekracza, więc złote to mniej niż trzecia część.

⚠ Najczęstszy błąd: podzielenie liczby wszystkich medali przez 4 przy liczeniu średniej. Zdanie mówi o średniej liczbie złotych medali, więc dzielimy tylko je.

To zadanie na osobnej stronie Więcej zadań: odczytywanie danych z tabel, diagramów i wykresów

Zadanie 2 – działania na ułamkach (1 pkt)

Zadanie 21 pktśrednie

Dane są cztery liczby zapisane za pomocą wyrażeń arytmetycznych:

x = -62{,}5 + 30

y = -14{,}4 - 12{,}6

t = -12 : 0{,}3

u = -8{,}02 \cdot 6

Która z tych liczb jest największa?

A. $x$
B. $y$
C. $t$
D. $u$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Liczymy każdą wartość osobno:
$x = -62{,}5 + 30 = -32{,}5$
$y = -14{,}4 - 12{,}6 = -27$
$t = -12 : 0{,}3 = -40$ (dzielenie przez liczbę mniejszą od 1 zwiększa wartość bezwzględną)
$u = -8{,}02 \cdot 6 = -48{,}12$
Wszystkie są ujemne, więc największa jest ta najbliższa zera: $-27$ , czyli liczba $y$ .
Odpowiedź B.

💡 Wskazówka: Wśród liczb ujemnych największa to ta o najmniejszej wartości bezwzględnej — najbliżej zera na osi liczbowej.

⚠ Dwa typowe błędy: (1) wybór $u$ jako „największej”, bo 48,12 to największa liczba — ale ze znakiem minus jest najmniejsza; (2) policzenie $-12 : 0{,}3$ jako $-4$ zamiast $-40$ .

To zadanie na osobnej stronie Więcej zadań: działania na ułamkach

Zadanie 3 – działania na ułamkach (1 pkt)

Zadanie 31 pktśrednie

Uzupełnij zdania.

Wartość wyrażenia

\dfrac{3}{7} + \dfrac{3}{5}

jest liczbą AB.

A. mniejszą od 1
B. większą od 1

Wartość wyrażenia

\dfrac{3}{7} - \dfrac{3}{5}

jest liczbą CD.

C. ujemną
D. dodatnią

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B, C

Wspólny mianownik dla 7 i 5 to 35. Rozszerzamy: $\textcolor{#16A06A}{\dfrac{3}{7}} = \textcolor{#16A06A}{\dfrac{15}{35}}$ (razy 5), a $\textcolor{#E0453A}{\dfrac{3}{5}} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{21}{35}}$ (razy 7).
Suma: $\textcolor{#16A06A}{\dfrac{15}{35}} + \textcolor{#E0453A}{\dfrac{21}{35}} = \dfrac{36}{35} > 1$ — odpowiedź B.
Różnica: $\textcolor{#16A06A}{\dfrac{15}{35}} - \textcolor{#E0453A}{\dfrac{21}{35}} = -\dfrac{6}{35}$ — liczba ujemna, odpowiedź C.
Razem: B, C.

💡 Wskazówka: Można odpowiedzieć bez liczenia. Ułamki mają ten sam licznik, więc większy jest ten o mniejszym mianowniku: $\tfrac35 > \tfrac37$ . Skoro odejmujemy większy od mniejszego — wynik ujemny. A skoro $\tfrac35$ to ponad połowa i $\tfrac37$ też ponad jedną trzecią — suma przekracza 1.

⚠ Najczęstszy błąd: dodawanie „licznik do licznika, mianownik do mianownika” ( $\tfrac{3}{7} + \tfrac{3}{5} = \tfrac{6}{12}$ ). Tak się ułamków nie dodaje — potrzebny jest wspólny mianownik.

To zadanie na osobnej stronie Więcej zadań: działania na ułamkach

Zadanie 4 – potęgi (1 pkt)

Zadanie 41 pktśrednie

Z reguł działań na potęgach wynika, że

(200\,000)^3 = (2 \cdot 10^5)^3 = 2^3 \cdot 10^{15}

. Z tych samych reguł wynika, że liczba

(60\,000\,000)^3

jest równa:

A. $6^3 \cdot 10^{21}$
B. $6 \cdot 10^{21}$
C. $6^3 \cdot 10^{10}$
D. $6 \cdot 10^{10}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Zapisujemy liczbę w notacji wykładniczej: $60\,000\,000 = \textcolor{#16A06A}{6} \cdot \textcolor{#16A06A}{10}^{7}$ (siedem zer).
Podnosimy do sześcianu — potęgujemy oba czynniki: $(\textcolor{#16A06A}{6} \cdot \textcolor{#16A06A}{10}^{7})^{\textcolor{#E0453A}{3}} = \textcolor{#16A06A}{6}^{\textcolor{#E0453A}{3}} \cdot (\textcolor{#16A06A}{10}^{7})^{\textcolor{#E0453A}{3}}$ .
$(\textcolor{#16A06A}{10}^{7})^{\textcolor{#E0453A}{3}} = \textcolor{#16A06A}{10}^{21}$ , więc wynik to $6^{3} \cdot 10^{21}$ .

💡 Wskazówka: Potęga iloczynu: $(ab)^n = a^n b^n$ — potęgujemy oba czynniki.

⚠ Częsty błąd: spotęgowanie tylko dziesiątki i zostawienie samotnej szóstki — stąd odpowiedź B.

To zadanie na osobnej stronie Więcej zadań: potęgi

Zadanie 5 – podzielność, cyfry i zaokrąglanie (1 pkt)

Zadanie 51 pkttrudniejsze

Czy iloczyn dowolnych pięciu kolejnych liczb całkowitych jest podzielny przez 10? Wybierz odpowiedź A albo B i jej uzasadnienie spośród 1., 2. albo 3.

A	Tak,	ponieważ wśród dowolnych pięciu kolejnych liczb całkowitych	1.	nie musi znajdować się liczba podzielna przez 10.

			2.	jest co najmniej jedna liczba nieparzysta i co najmniej jedna parzysta.
B	Nie,
			3.	jest co najmniej jedna liczba podzielna przez 5 i co najmniej jedna parzysta.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A, 3

Rozkładamy dzielnik na czynniki pierwsze: $10 = \textcolor{#16A06A}{2} \cdot \textcolor{#E0453A}{5}$ . Żeby iloczyn dzielił się przez 10, musi zawierać czynnik $\textcolor{#16A06A}{2}$ i czynnik $\textcolor{#E0453A}{5}$ .
Wśród pięciu kolejnych liczb zawsze jest dokładnie jedna podzielna przez $\textcolor{#E0453A}{5}$ — bo co piąta liczba jest wielokrotnością piątki.
Wśród pięciu kolejnych są też co najmniej dwie liczby parzyste, czyli czynnik $\textcolor{#16A06A}{2}$ na pewno się znajdzie.
Skoro iloczyn zawiera i $\textcolor{#16A06A}{2}$ , i $\textcolor{#E0453A}{5}$ , to dzieli się przez $\textcolor{#16A06A}{2} \cdot \textcolor{#E0453A}{5} = 10$ — odpowiedź A, uzasadnienie 3.
Przykład: $3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 = 2520$ , a $2520 : 10 = 252$ ✓.

💡 Wskazówka: Przy podzielności iloczynu zawsze rozłóż dzielnik na czynniki pierwsze i sprawdź, czy każdy z nich gdzieś się znajdzie.

⚠ Kuszące uzasadnienie 2. („jest liczba parzysta i nieparzysta”) gwarantuje tylko podzielność przez 2 — nic nie mówi o piątce. A uzasadnienie 1. jest prawdziwe (liczby podzielnej przez 10 faktycznie może nie być), ale prowadzi do złej odpowiedzi: dziesiątka powstaje z iloczynu 2 i 5, nie musi być gotowa w jednej liczbie.

To zadanie na osobnej stronie Więcej zadań: podzielność, cyfry i zaokrąglanie

Zadanie 6 – procenty (1 pkt)

Zadanie 61 pkttrudniejsze

Podatek od dochodów za rok 2016 w Polsce był obliczany według sposobów przedstawionych w tabeli.

Podstawa obliczenia podatku	Sposób obliczenia podatku
kwota mniejsza lub równa 85 528 zł	18% podstawy obliczenia podatku pomniejszone o 556,02 zł
kwota większa niż 85 528 zł	14 839,02 zł plus 32% nadwyżki ponad 85 528 zł

Uzupełnij zdania.

Podstawa obliczenia podatku dla pana Jana wyniosła 84 500 zł. Wysokość podatku (w zł) opisuje wyrażenie AB.

A. $0{,}18 \cdot 84\,500 - 556{,}02$
B. $0{,}18 \cdot (84\,500 - 556{,}02)$

Podstawa obliczenia podatku dla pani Zofii wyniosła 97 300 zł. Wysokość podatku (w zł) opisuje wyrażenie CD.

C. $14\,839{,}02 + 0{,}32 \cdot 85\,528$
D. $14\,839{,}02 + 0{,}32 \cdot (97\,300 - 85\,528)$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A, D

Pan Jan — jego podstawa to 84 500 zł, czyli mniej niż 85 528 zł. Bierzemy więc pierwszy wiersz tabeli.
Instrukcja mówi: „ $18\%$ podstawy pomniejszone o 556,02 zł”. Czyli najpierw liczymy procent, a dopiero potem odejmujemy.
$\textcolor{#16A06A}{0{,}18} \cdot 84\,500 - 556{,}02$ — odpowiedź A.
Pani Zofia — 97 300 zł to więcej niż 85 528 zł, więc drugi wiersz tabeli.
Kluczowe słowo: nadwyżka ponad 85 528 zł. Nadwyżka to nie cały dochód, tylko to, co przekracza próg: $\textcolor{#E0453A}{97\,300 - 85\,528}$ .
Zatem podatek to $14\,839{,}02 + \textcolor{#16A06A}{0{,}32} \cdot \textcolor{#E0453A}{(97\,300 - 85\,528)}$ — odpowiedź D.
Razem: A, D.

💡 Wskazówka: W zadaniach z tabelą czytaj instrukcję słowo po słowie i zapisuj wyrażenie w tej samej kolejności. „Pomniejszone o” na końcu zdania oznacza odejmowanie na końcu obliczeń.

⚠ Dwa typowe błędy: (1) u pana Jana — wciągnięcie odejmowania do nawiasu (odpowiedź B), co zmienia wynik o kilkaset złotych; (2) u pani Zofii — policzenie 32% od progu zamiast od nadwyżki (odpowiedź C). Wtedy podatek wyszedłby ponad dwa razy za wysoki.

To zadanie na osobnej stronie Więcej zadań: procenty

Zadanie 7 – pierwiastki (1 pkt)

Zadanie 71 pktśrednie

Do liczby

(-\sqrt{10})

dodajemy 5. Otrzymany wynik jest liczbą:

A. większą od 1.
B. dodatnią mniejszą od 1.
C. mniejszą od $(-8)$ .
D. ujemną większą od $(-8)$ .

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Obliczamy wyrażenie: $5 - \sqrt{10}$ .
Szacujemy $\sqrt{10}$ : leży między $3$ a $4$ (bo $9 < 10 < 16$ ), a bliżej trójki — około $3{,}16$ .
Zatem $5 - \sqrt{10} \approx 5 - 3{,}16 = 1{,}84$ .
Wynik jest większy od 1 — odpowiedź A.
Pewniej bez przybliżeń: skoro $\sqrt{10} < 4$ , to $5 - \sqrt{10} > 5 - 4 = 1$ ✓

💡 Wskazówka: Zamiast liczyć przybliżenie, oszacuj pierwiastek z góry — często to wystarcza do wskazania odpowiedzi.

⚠ Częsty błąd: uznanie, że $\sqrt{10} \approx 10$ lub $5$ , i wybranie odpowiedzi z liczbą ujemną.

To zadanie na osobnej stronie Więcej zadań: pierwiastki

Zadanie 8 – obliczanie i przekształcanie wzorów (1 pkt)

Zadanie 81 pkttrudniejsze

Trójki liczb naturalnych $a$ , $b$ , $c$ spełniające warunek $a^2 + b^2 = c^2$ nazywamy trójkami pitagorejskimi. Niektóre z nich znajdujemy ze wzorów:

\;a = 2n + 1

\;b = 2n(n + 1)

\;c = 2n^2 + 2n + 1

, gdzie $n$ to dowolna liczba naturalna ( $n \ge 1$ ).
Uzupełnij zdania.

Liczba

a

zawsze będzie AB.

A. parzysta
B. nieparzysta

Liczby

b

c

różnią się o CD.

C. $1$
D. $n$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B, C

Pierwsze zdanie. Wyrażenie $a = \textcolor{#16A06A}{2n} + \textcolor{#E0453A}{1}$ — składnik $\textcolor{#16A06A}{2n}$ jest zawsze parzysty (bo to dwójka razy coś), a dodanie $\textcolor{#E0453A}{1}$ czyni całość nieparzystą.
Odpowiedź B. (Sprawdzenie: dla $n = 1, 2, 3$ mamy $a = 3, 5, 7$ — same nieparzyste ✓)
Drugie zdanie. Liczymy różnicę, wcześniej wymnażając nawias w $b$ : $b = 2n(n+1) = \textcolor{#16A06A}{2n^2 + 2n}$ .
Zauważ, że $c = \textcolor{#16A06A}{2n^2 + 2n} + \textcolor{#E0453A}{1}$ — to dokładnie $b$ powiększone o $\textcolor{#E0453A}{1}$ .
Zatem $c - b = \textcolor{#E0453A}{1}$ — odpowiedź C. Razem: B, C.

💡 Wskazówka: Zawsze warto wymnożyć nawias, zanim porównasz dwa wyrażenia. Po rozpisaniu $b$ od razu widać, że $c$ to po prostu $b + 1$ .

⚠ Częsty błąd w drugim zdaniu: odejmowanie „na oko” bez rozpisania $2n(n+1)$ i wybór odpowiedzi D. Litera $n$ pojawia się w obu wzorach, ale to nie znaczy, że jest różnicą.

To zadanie na osobnej stronie Więcej zadań: obliczanie i przekształcanie wzorów

Zadanie 9 – obliczanie i przekształcanie wzorów (1 pkt)

Zadanie 91 pkttrudniejsze

Trójki pitagorejskie wyznaczamy ze wzorów:

\;a = 2n + 1

\;b = 2n(n + 1)

\;c = 2n^2 + 2n + 1

, gdzie $n \ge 1$ jest liczbą naturalną.
Dokończ zdanie.
Jeżeli najmniejsza z liczb

a

b

c

jest równa

9

, to największa z tych liczb jest równa

A. $41$
B. $73$
C. $145$
D. $181$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Najpierw ustalmy, która z trzech liczb jest najmniejsza, a która największa.
Po wymnożeniu $b = 2n(n + 1) = 2n^2 + 2n$ widać, że $c = b + 1$ , więc $c$ jest zawsze największa.
Zostaje porównać $a$ i $b$ . Sprawdźmy $n = 1$ : $a = 3$ , $b = 4$ . Dla większych $n$ różnica tylko rośnie, bo $b$ zawiera $n^2$ . Zatem $\textcolor{#16A06A}{a}$ jest najmniejsza.
Skoro $\textcolor{#16A06A}{a} = 9$ , to $2n + 1 = 9$ , czyli $\textcolor{#E0453A}{n} = 4$ .
Liczymy największą: $c = 2 \cdot \textcolor{#E0453A}{4}^2 + 2 \cdot \textcolor{#E0453A}{4} + 1 = 32 + 8 + 1 = 41$ — odpowiedź A.
Sprawdzenie, czy to naprawdę trójka pitagorejska: $b = 2 \cdot 4 \cdot 5 = 40$ , a $9^2 + 40^2 = 81 + 1600 = 1681 = 41^2$ ✓

💡 Wskazówka: Zadanie ma dwa etapy: najpierw z jednej danej wyznacz parametr $n$ , a dopiero potem policz to, o co pytają. To typowa konstrukcja zadań ze wzorem z parametrem.

⚠ Najczęstszy błąd: podstawienie $n = 9$ zamiast rozwiązania równania $2n + 1 = 9$ . Wtedy wychodzi $c = 181$ — kusząca odpowiedź D.

To zadanie na osobnej stronie Więcej zadań: obliczanie i przekształcanie wzorów

Zadanie 10 – średnia arytmetyczna (1 pkt)

Zadanie 101 pktłatwe

Ala kupiła trzy zeszyty i blok rysunkowy. Średnia arytmetyczna cen tych czterech artykułów była równa 6 zł. Zeszyty kosztowały łącznie 15 zł. Ile kosztował blok rysunkowy?

A. $4$ zł
B. $5$ zł
C. $8$ zł
D. $9$ zł

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Artykułów są cztery (trzy zeszyty + blok), a średnia cena to 6 zł.
Łączny koszt zakupów: $6 \cdot 4 = \textcolor{#16A06A}{24}$ zł.
Zeszyty kosztowały razem $\textcolor{#E0453A}{15}$ zł.
Blok: $\textcolor{#16A06A}{24} - \textcolor{#E0453A}{15} = 9$ zł.
Odpowiedź D.

💡 Wskazówka: Cena jednego zeszytu jest tu niepotrzebna — wystarczy, że znamy ich łączny koszt.

⚠ Częsty błąd: dzielenie przez 2 („zeszyty i blok”) zamiast przez 4. Liczymy artykuły, nie rodzaje.

To zadanie na osobnej stronie Więcej zadań: średnia arytmetyczna

Zadanie 11 – prawdopodobieństwo (1 pkt)

Zadanie 111 pkttrudniejsze

W pewnej loterii wśród 150 losów co szósty był wygrywający, a pozostałe losy były puste. Wyciągnięto 30 losów i żaden z nich nie był wygrywający. Uzupełnij zdania.

Na loterię przygotowano AB losów wygrywających.

A. $120$
B. $25$

Wyciągnięto jeszcze jeden los. Prawdopodobieństwo, że będzie to los wygrywający, wynosi CD.

C. $\dfrac{25}{120}$
D. $\dfrac{25}{125}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B, C

Pierwsze zdanie. „Co szósty los wygrywający” znaczy, że wygrywające stanowią $\tfrac16$ wszystkich.
$150 : 6 = 25$ losów wygrywających — odpowiedź B. (Liczba 120 to losy puste: $150 - 25$ .)
Drugie zdanie. Wyciągnięto 30 losów i żaden nie był wygrywający.
Wygrywających zostało tyle samo: $\textcolor{#16A06A}{25}$ .
Wszystkich losów zostało: $\textcolor{#E0453A}{150 - 30} = \textcolor{#E0453A}{120}$ .
$P = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{25}}{\textcolor{#E0453A}{120}}$ — odpowiedź C. Razem: B, C.

💡 Wskazówka: „Co szósty” to zawsze $\tfrac16$ całości — podobnie „co trzeci” to $\tfrac13$ , a „co dziesiąty” to $\tfrac{1}{10}$ .

⚠ Dwie pułapki naraz: (1) w pierwszym zdaniu podanie liczby losów pustych (120) zamiast wygrywających; (2) w drugim — mianownik 125, jakby wyciągnięto tylko 25 losów. Wyciągnięto 30, więc zostało 120.

To zadanie na osobnej stronie Więcej zadań: prawdopodobieństwo

Zadanie 12 – kąty w figurach (1 pkt)

Zadanie 121 pkttrudniejsze

W trójkącie

ABC

narysowano dwie wysokości:

CD

(opuszczoną z

C

na bok

AB

, punkt

D

AB

) oraz

AE

(opuszczoną z

A

na bok

BC

, punkt

E

BC

). Kąt rozwarty pomiędzy tymi wysokościami jest równy $138°$ . Kąt

\alpha

to kąt

DAE

— czyli kąt przy wierzchołku

A

między bokiem

AB

a wysokością

AE

. Jaką miarę ma kąt

\alpha

A. $38°$
B. $42°$
C. $45°$
D. $48°$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Oznaczmy przez $H$ punkt przecięcia obu wysokości. Kąt rozwarty przy $H$ ma $\textcolor{#16A06A}{138°}$ , więc kąt ostry obok niego (przyległy) wynosi $\textcolor{#E0453A}{180°} - \textcolor{#16A06A}{138°} = \textcolor{#16A06A}{42°}$ .
Przyglądamy się trójkątowi $ADH$ — tworzą go: wierzchołek $A$ , spodek wysokości $D$ i punkt przecięcia $H$ .
Kąt przy $D$ to $\textcolor{#E0453A}{90°}$ , bo $CD$ jest wysokością opuszczoną na $AB$ .
Kąt przy $H$ musi być ostry (w trójkącie może być tylko jeden kąt prosty lub rozwarty), więc $\angle AHD = \textcolor{#16A06A}{42°}$ .
Zostaje kąt przy $A$ : $\alpha = \textcolor{#E0453A}{180°} - \textcolor{#E0453A}{90°} - \textcolor{#16A06A}{42°} = 48°$ .
Odpowiedź D.

💡 Wskazówka: Wysokość zawsze daje darmowy kąt $90°$ — szukaj trójkąta, w którym ten kąt prosty występuje razem ze znanym kątem. Wtedy trzeci kąt liczy się jednym odejmowaniem.

⚠ Najczęstszy błąd: podstawienie $138°$ do trójkąta $ADH$ . Razem z kątem prostym dałoby to już $228°$ — czyli więcej niż $180°$ , co powinno od razu zwrócić uwagę. Do trójkąta wchodzi kąt ostry, $42°$ .

To zadanie na osobnej stronie Więcej zadań: kąty w figurach

Zadanie 13 – skala i mapa (1 pkt)

Zadanie 131 pkttrudniejsze

Listewkę o długości 50 cm planowano pociąć na równe części. Iwona zaproponowała podział na kawałki po 5 cm i zaznaczyła na listewce czerwonym kolorem linie cięcia. Agata chciała podzielić tę samą listewkę na części po 2 cm i linie cięcia zaznaczyła na zielono. Ile razy linia czerwona pokrywała się z linią zieloną?

A. $5$
B. $4$
C. $3$
D. $2$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Linie pokrywają się tam, gdzie odległość od początku listewki jest jednocześnie wielokrotnością $\textcolor{#16A06A}{5}$ i wielokrotnością $\textcolor{#16A06A}{2}$ — czyli wielokrotnością ich najmniejszej wspólnej wielokrotności:
$\text{NWW}(\textcolor{#16A06A}{5}, \textcolor{#16A06A}{2}) = \textcolor{#E0453A}{10}$ cm
Wypisujemy wielokrotności $\textcolor{#E0453A}{10}$ mieszczące się na listewce:
$\textcolor{#E0453A}{10}$ , $\textcolor{#E0453A}{20}$ , $\textcolor{#E0453A}{30}$ , $\textcolor{#E0453A}{40}$ — to cztery miejsca.
Uwaga na koniec listewki: $50$ cm to nie linia cięcia, tylko koniec deski — nikt tam nie tnie.
Odpowiedź B — linie pokryły się $4$ razy.

💡 Wskazówka: Kontrola: Iwona zaznaczyła 9 linii ( $5, 10, \ldots, 45$ ), a Agata 24 ( $2, 4, \ldots, 48$ ) — w obu przypadkach o jedną mniej, niż wychodzi z dzielenia, bo koniec listewki się nie liczy.

⚠ Najczęstszy błąd: doliczenie $50$ cm i podanie odpowiedzi $5$ . Cięcie na $n$ równych części wymaga $n-1$ nacięć — skrajny punkt to już brzeg materiału.

To zadanie na osobnej stronie Więcej zadań: skala i mapa

Zadanie 14 – prostopadłościan i sześcian (1 pkt)

Zadanie 141 pktłatwe

Skrzynia ma kształt prostopadłościanu. Podłoga skrzyni ma wymiary 1,5 m i 1,2 m, a wysokość skrzyni jest równa 1 m. Piasek wsypany do skrzyni zajmuje

\frac{3}{4}

jej pojemności. Ile metrów sześciennych piasku wsypano do skrzyni?

A. $1{,}8$ m³
B. $0{,}45$ m³
C. $1{,}35$ m³
D. $2{,}4$ m³

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Krok 1 — pojemność całej skrzyni. $V = \textcolor{#16A06A}{1{,}5} \cdot \textcolor{#16A06A}{1{,}2} \cdot \textcolor{#16A06A}{1} = \textcolor{#E0453A}{1{,}8}$ m³.
Krok 2 — ile zajmuje piasek. $\tfrac34$ z $\textcolor{#E0453A}{1{,}8}$ :
$\tfrac34 \cdot \textcolor{#E0453A}{1{,}8} = \tfrac{3 \cdot 1{,}8}{4} = \tfrac{5{,}4}{4} = 1{,}35$ m³.
Odpowiedź C.

💡 Wskazówka: Można też podzielić na ćwiartki: $\textcolor{#E0453A}{1{,}8} : 4 = 0{,}45$ , a potem $3 \cdot 0{,}45 = 1{,}35$ . Rachunek jest wtedy w pamięci.

⚠ Najczęstszy błąd: zatrzymanie się na objętości całej skrzyni ( $1{,}8$ m³ — odpowiedź A) albo podanie samej jednej czwartej ( $0{,}45$ m³ — odpowiedź B). Obie są w zestawie właśnie po to, żeby złapać na niedokończonym rachunku.

To zadanie na osobnej stronie Więcej zadań: prostopadłościan i sześcian

Zadanie 15 – graniastosłupy i ostrosłupy (1 pkt)

Zadanie 151 pkttrudniejsze

Staś ma dwa jednakowe klocki w kształcie ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, każdy o polu powierzchni całkowitej

80\ \text{cm}^2

. Podstawa i ściana boczna klocka mają równe pola. Staś skleił oba klocki podstawami. Jakie pole powierzchni ma bryła otrzymana przez Stasia?

A. $112$ cm²
B. $128$ cm²
C. $144$ cm²
D. $160$ cm²

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Krok $\boldsymbol{1}$ — pole jednej ściany. Klocek ma $\textcolor{#16A06A}{1}$ podstawę i $\textcolor{#E0453A}{4}$ ściany boczne, a wszystkie pięć pól jest równych (tak mówi treść).
Zatem każde z nich wynosi $80 : 5 = \textcolor{#16A06A}{16}$ cm².
Krok $\boldsymbol{2}$ — co znika przy sklejeniu. Bryły stykają się podstawami, więc z powierzchni wypadają dwie podstawy:
$2 \cdot \textcolor{#16A06A}{16} = \textcolor{#E0453A}{32}$ cm².
Krok $\boldsymbol{3}$ — pole nowej bryły.
$2 \cdot 80 - \textcolor{#E0453A}{32} = 160 - \textcolor{#E0453A}{32} = 128$ cm².
Odpowiedź B.
(Można też inaczej: zostaje $\textcolor{#E0453A}{8}$ ścian bocznych po $\textcolor{#16A06A}{16}$ cm², czyli $8 \cdot \textcolor{#16A06A}{16} = 128$ cm² ✓)

💡 Wskazówka: Zdanie „podstawa i ściana boczna mają równe pola” jest tu całym kluczem — dzięki niemu pole całkowite dzieli się na pięć jednakowych kawałków.

⚠ Najczęstszy błąd: odjęcie tylko jednej podstawy (wychodzi $144$ — odpowiedź C). Przy sklejeniu chowają się obie stykające się ściany.

To zadanie na osobnej stronie Więcej zadań: graniastosłupy i ostrosłupy

Zadanie 16 – działania na ułamkach (2 pkt)

Zadanie 162 pktśrednie

Paweł powiedział, że podzieli tabliczkę czekolady w taki sposób, że bratu przypadnie

\dfrac{1}{2}

całej tabliczki, siostrze

\dfrac{5}{12}

całej tabliczki, a jemu

\dfrac{1}{6}

całej tabliczki. Czy taki podział tabliczki czekolady jest możliwy? Uzasadnij swoją odpowiedź.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: Nie — części sumują się do 13/12, czyli więcej niż cała tabliczka

Cała tabliczka to jedna całość, czyli 1. Sprawdzamy więc, ile daje suma wszystkich trzech części.
Wspólny mianownik dla 2, 12 i 6 to 12. Rozszerzamy każdy ułamek:
$\textcolor{#16A06A}{\dfrac{1}{2}} = \textcolor{#16A06A}{\dfrac{6}{12}}$ (razy 6) · $\dfrac{5}{12}$ zostaje bez zmian · $\textcolor{#E0453A}{\dfrac{1}{6}} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{2}{12}}$ (razy 2).
Sumujemy: $\textcolor{#16A06A}{\dfrac{6}{12}} + \dfrac{5}{12} + \textcolor{#E0453A}{\dfrac{2}{12}} = \dfrac{13}{12}$ .
Otrzymaliśmy $\dfrac{13}{12} = 1\dfrac{1}{12}$ , czyli więcej niż całą tabliczkę.
Odpowiedź: taki podział nie jest możliwy — Pawłowi zabrakłoby $\dfrac{1}{12}$ tabliczki, bo obiecał łącznie więcej, niż ma.

💡 Wskazówka: W zadaniach „czy taki podział jest możliwy” zawsze sprawdzaj, czy części sumują się do dokładnie 1. Mniej niż 1 oznacza, że coś zostaje; więcej — że podział jest niewykonalny.

⚠ Za samą odpowiedź „nie” bez obliczeń komisja nie przyzna punktów. Trzeba pokazać sumę $\tfrac{13}{12}$ i wyraźnie napisać, że to więcej niż jedna całość.

To zadanie na osobnej stronie Więcej zadań: działania na ułamkach

Zadanie 17 – prędkość, droga i czas (3 pkt)

Zadanie 173 pkttrudniejsze

Adam mieszka w miejscowości Bocianowo, a jego kolega Bartek — w miejscowości Żabno. Adam umówił się z Bartkiem w Żabnie na godzinę

18{:}00

. Wyjechał z Bocianowa na skuterze o godzinie

17{:}20

. Średnia prędkość jazdy Adama była równa

25\ \text{km/h}

. Na kwadratowej siatce Adam przedstawił schemat trasy, którą jechał (zobacz rysunek). O której godzinie Adam dotarł na spotkanie z Bartkiem? Zapisz obliczenia.

Dane z rysunku — wersja tekstowa

Skala rysunku: bok jednej kratki odpowiada odległości

1

km.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: Adam dotarł o godzinie $17{:}56$ , czyli $4$ minuty przed umówioną godziną

Krok 1 — czytamy trasę z siatki. Bok kratki to $\textcolor{#16A06A}{1}$ km. Trasa składa się z trzech odcinków i tylko środkowy jest ukośny:
• Bocianowo → Stawisko: poziomo, $\textcolor{#E0453A}{3}$ kratki, czyli $\textcolor{#E0453A}{3}$ km,
• Stawisko → Bajorko: ukośnie, $\textcolor{#E0453A}{3}$ kratki w prawo i $\textcolor{#E0453A}{4}$ kratki w górę,
• Bajorko → Żabno: pionowo, $\textcolor{#E0453A}{7}$ kratek, czyli $\textcolor{#E0453A}{7}$ km.
Krok 2 — odcinek ukośny z twierdzenia Pitagorasa. Tego jednego nie da się odczytać przez policzenie kratek — trzeba go policzyć. Przesunięcie w prawo i w górę tworzy trójkąt prostokątny o przyprostokątnych $\textcolor{#E0453A}{3}$ i $\textcolor{#E0453A}{4}$ :
$|SB|^2 = \textcolor{#E0453A}{3}^2 + \textcolor{#E0453A}{4}^2 = 9 + 16 = \textcolor{#E0453A}{25} \qquad \Longrightarrow \qquad |SB| = \textcolor{#E0453A}{5} \text{ km}$
To znana trójka pitagorejska $3$ , $4$ , $5$ — warto ją rozpoznać od razu.
Krok 3 — cała trasa.
$s = \textcolor{#E0453A}{3} + \textcolor{#E0453A}{5} + \textcolor{#E0453A}{7} = \textcolor{#E0453A}{15} \text{ km}$
Krok 4 — czas jazdy. Ze wzoru $t = \dfrac{s}{v}$ :
$t = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{15} \text{ km}}{\textcolor{#16A06A}{25} \text{ km/h}} = \textcolor{#E0453A}{0{,}6} \text{ h}$
Krok 5 — zamiana na minuty. Godzina to $60$ minut, więc
$\textcolor{#E0453A}{0{,}6} \text{ h} = \textcolor{#E0453A}{0{,}6} \cdot 60 = \textcolor{#E0453A}{36} \text{ minut}$
Krok 6 — godzina przyjazdu.
$\textcolor{#16A06A}{17{:}20} + \textcolor{#E0453A}{36} \text{ min} = 17{:}56$
Odpowiedź: Adam dotarł o godzinie $17{:}56$ — czyli $4$ minuty przed umówioną $\textcolor{#16A06A}{18{:}00}$ .
Kontrola: gdyby Adam jechał przez cały czas $\textcolor{#16A06A}{25}$ km/h przez pełne $40$ minut (czyli do $18{:}00$ ), przejechałby $25 \cdot \tfrac{40}{60} \approx \textcolor{#E0453A}{16{,}7}$ km. Trasa jest krótsza niż $16{,}7$ km, więc przyjazd przed czasem jest wynikiem sensownym ✓
Druga kontrola, na odcinku ukośnym: jest on dłuższy od każdej z przyprostokątnych, ale krótszy od ich sumy — $\textcolor{#E0453A}{4} < \textcolor{#E0453A}{5} < \textcolor{#E0453A}{3} + \textcolor{#E0453A}{4}$ ✓ Gdyby ktoś policzył go, licząc kratki „po schodkach”, wyszłoby $7$ km i cała trasa miałaby $17$ km, czyli o $2$ km za dużo.

💡 Wskazówka: Na siatce da się policzyć kratki tylko dla odcinków poziomych i pionowych. Odcinek ukośny trzeba wyliczyć z twierdzenia Pitagorasa, biorąc jako przyprostokątne jego przesunięcie w poziomie i w pionie. To najczęstszy schemat w zadaniach „trasa na kratce”. Druga rzecz: prędkość $25$ km/h i czas w minutach nie pasują do siebie wprost — najpierw licz czas w godzinach ze wzoru $t = \tfrac{s}{v}$ , a dopiero potem zamień na minuty, mnożąc przez $60$ . Ułamek $0{,}6$ h to $36$ minut, a nie $6$ ani $60$ .

⚠ Policzenie odcinka ukośnego przez liczenie kratek „po schodkach”, czyli $3 + 4 = 7$ km zamiast $5$ km. Cała trasa wychodzi wtedy $17$ km, czas $40{,}8$ minuty i godzina $18{:}01$ — czyli spóźnienie zamiast przyjazdu przed czasem. Warto pamiętać: przekątna kratki jest zawsze krótsza niż droga po jej bokach. Drugi błąd: potraktowanie $0{,}6$ h jako $6$ minut albo jako $1$ godziny i $6$ minut; $0{,}6$ h to $36$ minut, bo godzina ma $60$ , a nie $100$ minut. Trzeci błąd: dodanie $36$ minut do godziny $18{:}00$ zamiast do $17{:}20$ — pytanie dotyczy godziny przyjazdu, a $18{:}00$ to godzina umówiona, nie wyjazdu.

To zadanie na osobnej stronie Więcej zadań: prędkość, droga i czas

Zadanie 18 – zadania tekstowe (2 pkt)

Zadanie 182 pkttrudniejsze

Ania chciała kupić 10 jednakowych puszek karmy dla psa, ale zabrakło jej 11 złotych. Kupiła 6 takich puszek karmy i zostało jej 3,40 złotych. Ile kosztuje jedna puszka karmy? Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 3,60 zł

Sprytne podejście: patrzymy na różnicę obu sytuacji, dzięki czemu nie musimy znać kwoty, którą Ania miała.
Gdyby kupiła 10 puszek, brakowałoby jej 11 zł. Kupując 6 puszek, zostało jej 3,40 zł.
Różnica w liczbie puszek: $10 - 6 = \textcolor{#E0453A}{4}$ puszki.
Różnica w pieniądzach: od „zostało 3,40 zł” do „brakuje 11 zł” to $3{,}40 + 11 = \textcolor{#16A06A}{14{,}40}$ zł.
Zatem $\textcolor{#E0453A}{4}$ puszki kosztują $\textcolor{#16A06A}{14{,}40}$ zł, czyli jedna: $\textcolor{#16A06A}{14{,}40} : \textcolor{#E0453A}{4} = 3{,}60$ zł.
Odpowiedź: jedna puszka karmy kosztuje 3,60 zł.
Sprawdzenie: Ania miała $6 \cdot 3{,}60 + 3{,}40 = 25$ zł. Na 10 puszek trzeba $36$ zł, więc brakowałoby jej $11$ zł ✓

💡 Wskazówka: Klasyczny schemat „za mało / za dużo”: dodaj brakującą kwotę do reszty, żeby otrzymać wartość różnicy w sztukach. Nie trzeba wtedy dwóch niewiadomych.

⚠ Najczęstszy błąd: odjęcie $11 - 3{,}40$ zamiast dodania. Brakujące 11 zł i pozostałe 3,40 zł są po przeciwnych stronach — dlatego się sumują.

To zadanie na osobnej stronie Więcej zadań: zadania tekstowe

Zadanie 19 – twierdzenie pitagorasa (3 pkt)

Zadanie 193 pkttrudniejsze

Dany jest prostokąt

ABCD

o wymiarach 12 cm i 16 cm. Odcinek

AC

jest przekątną tego prostokąta. Odcinek

DS

jest wysokością trójkąta

ACD

poprowadzoną na przekątną

AC

. Oblicz długość odcinka

DS

. Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 9,6 cm

Krok 1 — przekątna prostokąta. $\textcolor{#E0453A}{AC} = \sqrt{\textcolor{#16A06A}{12}^2 + \textcolor{#16A06A}{16}^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = \textcolor{#E0453A}{20}$ cm.
Krok 2 — pole trójkąta $ACD$ pierwszym sposobem. Trójkąt jest prostokątny (kąt prosty przy $D$ ), a jego przyprostokątne to boki prostokąta:
$P = \tfrac12 \cdot \textcolor{#16A06A}{12} \cdot \textcolor{#16A06A}{16} = \textcolor{#16A06A}{96}$ cm².
Krok 3 — to samo pole drugim sposobem. Bierzemy za podstawę przekątną $\textcolor{#E0453A}{AC}$ , a za wysokość szukany odcinek $DS$ :
$P = \tfrac12 \cdot \textcolor{#E0453A}{20} \cdot DS$ .
Krok 4 — przyrównujemy. $\tfrac12 \cdot \textcolor{#E0453A}{20} \cdot DS = \textcolor{#16A06A}{96}$ , czyli $10 \cdot DS = \textcolor{#16A06A}{96}$ , więc $DS = 9{,}6$ cm.
Odpowiedź: odcinek $DS$ ma długość 9,6 cm.

💡 Wskazówka: Uniwersalna metoda: policz pole raz „łatwą” parą podstawa–wysokość, drugi raz tą z niewiadomą, i przyrównaj. Działa przy każdej wysokości opuszczonej na nietypowy bok.

⚠ Najczęstszy błąd: przyjęcie, że $DS$ to połowa jednego z boków albo połowa przekątnej (10 cm). Wysokość na przeciwprostokątną jest zawsze krótsza od obu przyprostokątnych.

To zadanie na osobnej stronie Więcej zadań: twierdzenie pitagorasa

Oryginalny arkusz i zasady oceniania

Arkusz i zasady oceniania tej sesji udostępnia Centralna Komisja Egzaminacyjna: arkusz OMAP-100-2105 (PDF) oraz zasady oceniania (PDF). Statystyki wszystkich sesji i podział zadań na działy są na stronie arkusze egzaminu ósmoklasisty z matematyki.

Sesje główne

Arkusze próbne i przykładowe

Sklep Nie każ mu liczyć!

Przygotuj się do E8: zadania i pełne arkusze

Karty pracy i arkusze z kluczem — do druku od razu po zakupie.

E8 z matematyki: procenty i zadania z treścią — 12 kart PDF z kluczem12 kart z tego zakresu, z kluczem7,90 zł · PDF do druku

Egzamin ósmoklasisty z matematyki — 5 arkuszy z rozwiązaniami, cz. 15 pełnych arkuszy E8 z rozwiązaniami24,90 zł · PDF do druku

10 minut do egzaminu ósmoklasisty — matematyka: 30 dni, PDF z kluczemCodziennie 10 minut przez 30 dni14,90 zł · PDF do druku