Dwadzieścia jeden z 29 zadań na tej stronie rozwiązuje się jednym ruchem: sprowadzeniem wszystkiego do wspólnej podstawy. Gdy 8, 4 i 2 zapiszemy jako potęgi dwójki, zostają już tylko działania na wykładnikach: dodawanie, odejmowanie i — przy potędze potęgi — mnożenie. To jest cała mechanika tego działu.
Dział: Egzamin ósmoklasistyPoziom: klasa 7–8Zadań z E8: 29
Egzamin w 2027 r.: matematyka we wtorek 11 maja, 125 minut. Potęgi były w 20 z 22 arkuszy.
Cztery wzory i jedno rozróżnienie
Wzorów na potęgach jest cztery i wszystkie dotyczą sytuacji, gdy coś jest wspólne — albo podstawa, albo wykładnik:
Jak czytać kolory na tej stronie
W każdym wzorze i w każdym rozwiązaniu malujemy tak samo: podstawę na zielono (a), a wykładniki na czerwono (m) i na niebiesko (n). Dzięki temu od razu widać, co się z czym dzieje — czy działanie dotyczy podstawy, czy wykładników. Wynik, gdy jest już policzony, zostaje czarny.
ta sama podstawa, mnożenie: am⋅an=am+n — wykładniki dodajemy
ta sama podstawa, dzielenie: am:an=am−n — wykładniki odejmujemy
potęga potęgi: (am)n=am⋅n — wykładniki mnożymy
ten sam wykładnik: an⋅bn=(ab)n — działamy na podstawach
Rozróżnienie, które decyduje o wyniku: przy mnożeniu potęg o wspólnej podstawie wykładniki się dodają, a przy potęgowaniu potęgi mnożą. To dwie różne sytuacje i najczęstsze źródło pomyłek.
Osobno warto zapamiętać, że a0=1 dla każdego a=0. Wynika to wprost ze wzoru na dzielenie: anan=an−n=a0, a przecież liczba podzielona przez samą siebie daje jeden.
Sprowadzanie do wspólnej podstawy
To najważniejsza umiejętność w całym dziale — siedem zadań na tej stronie opiera się na niej wprost, a w kolejnych jest krokiem pośrednim.
Wzory działają tylko wtedy, gdy podstawy są identyczne. Wyrażenia 84 i 43 nie mają wspólnej podstawy w zapisie, ale obie liczby są potęgami dwójki: 8=23 i 4=22.
Po zamianie: 84=(23)4=23⋅4=212 oraz 43=(22)3=26. Zielony kolor pokazuje, że przez cały rachunek podstawą jest dwójka; czerwony i niebieski — skąd wziął się wykładnik 12. Dalej to już zwykłe odejmowanie wykładników.
Warto mieć w pamięci potęgi dwójki do 210=1024 oraz trójki do 35=243. Bez nich rozpoznanie wspólnej podstawy zajmuje więcej czasu, niż warto na nie poświęcić.
Grupa A gratis · B–E w sklepie
Sprawdź, czy to już umieją: sprawdzian z kluczem z działu „Próbny egzamin ósmoklasisty 2027, matematyka” (klasa 8), gotowy do druku
Grupę A pobierzesz za darmo i sprawdzisz na niej, jak wygląda arkusz. Grupy B, C, D i E mają inne liczby w tych samych zadaniach, więc sąsiedzi w ławce nie przepiszą od siebie. Klucz z punktacją do każdej grupy.
✓ PDF od razu po płatności BLIK✓ Bez zakładania konta✓ Faktura dla szkoły
Porównywanie potęg bez liczenia
Pięć zadań pyta, która z potęg jest większa — przy liczbach tak dużych, że wyliczenie ich jest niewykonalne. Metoda polega na sprowadzeniu do wspólnej podstawy albo wspólnego wykładnika.
Dla 230 i 320 wspólnej podstawy nie ma, ale wykładniki mają wspólny dzielnik 10. Zapisujemy 230=(23)10=810 oraz 320=(32)10=910. Wykładnik 10 jest teraz w obu ten sam, więc rozstrzygają zielone podstawy: skoro 8<9, to 230<320.
Reguła ogólna: przy równych wykładnikach dodatnich (i dodatnich podstawach) większa jest ta potęga, która ma większą podstawę. Przy równych podstawach (większych od jedynki) — ta o większym wykładniku.
Wspólna podstawa i wspólny wykładnik w zadaniach z potęg
Potęgi liczb ujemnych
Znak wyniku zależy wyłącznie od tego, czy wykładnik jest parzysty. Przy parzystym minusy skracają się w pary i wynik jest dodatni; przy nieparzystym jeden minus zostaje i wynik jest ujemny.
Krytyczne jest miejsce nawiasu — i tu kolor rozstrzyga spór od jednego spojrzenia, bo na zielono stoi zawsze to, co jest podnoszone do potęgi. W (−2)4 zielona jest cała liczba −2, więc wynik to 16. W −24 zielona jest sama dwójka, a minus stoi poza potęgą, więc wynik to −16. Potęgowanie wiąże mocniej niż znak minus.
W zadaniach egzaminacyjnych ta różnica bywa całą treścią zadania — odpowiedzi 16 i −16 stoją wtedy obok siebie na liście.
(−2)⁴ a −2⁴: nawias zmienia wynik
Czego wzory NIE obejmują
Nie ma wzoru na dodawanie potęg. Wyrażenia 23+25 nie da się zapisać jako pojedynczej potęgi dwójki — trzeba je po prostu policzyć: 8+32=40.
Nie ma też wzoru na potęgę sumy. (a+b)2nie równa się a2+b2; to typowa pułapka, która wraca też w wyrażeniach algebraicznych.
Dodawanie potęg upraszcza się w dwóch sytuacjach: gdy da się wyłączyć wspólny czynnik (23+25=23(1+22)=5⋅23) i gdy składniki są identyczne: 23+23=2⋅23=24. Ale to już mnożenie, nie dodawanie wykładników.
Przykłady krok po kroku
Cztery zadania krok po kroku: podstawowe działania, sprowadzanie do wspólnej podstawy, porównywanie i potęga liczby ujemnej.
Przykład 1 Mnożenie i dzielenie potęg
Zapisz w postaci jednej potęgi: 3432⋅37.
Podstawa jest wszędzie ta sama (zielona trójka), więc działam wyłącznie na wykładnikach.
W liczniku mnożę potęgi o tej samej podstawie, więc dodaję wykładniki: 32⋅37=32+7=39.
Teraz dzielenie — wykładniki odejmuję: 39:34=39−4=35.
Wynik: 35, czyli 243.
Kontrola mnożeniem (35⋅34=39): licznik to 39, mianownik 34, więc wynik pomnożony przez 34 musi dać 39 ✓
Odpowiedź: 3432⋅37=35=243.
Przykład 2 Sprowadzanie do wspólnej podstawy
Zapisz w postaci potęgi liczby 2: 84:43.
Podstawy 8 i 4 są różne, ale obie są potęgami dwójki: 8=23, 4=22.
Zamieniam: 84=(23)4. Przy potędze potęgi wykładniki mnożę: 23⋅4=212.
Tak samo drugie: 43=(22)3=26.
Teraz podstawa jest wszędzie zielona i ta sama, więc dzielenie to odejmowanie wykładników: 212:26=26.
Kontrola: 26=64, a bezpośrednio 84:43=4096:64=64 ✓
Odpowiedź: 84:43=26=64.
Przykład 3 Porównywanie potęg
Która liczba jest większa: 230 czy 320?
Wyliczenie obu jest niewykonalne, więc sprowadzam je do wspólnego wykładnika.
Wykładniki 30 i 20 mają wspólny dzielnik 10. Zapisuję 230=(23)10=810.
Tak samo drugą: 320=(32)10=910.
Niebieski wykładnik jest już w obu ten sam, więc decyduje zielona podstawa: 8<9, więc 810<910.
Zatem 230<320.
Odpowiedź: Większa jest liczba 320.
Przykład 4 Potęga liczby ujemnej
Oblicz (−2)4 oraz −24. Czy to ta sama liczba?
(−2)4 — nawias oznacza, że do potęgi podnosimy całą liczbę −2, dlatego na zielono jest tu minus razem z dwójką.
Wykładnik jest parzysty, więc minusy skracają się w pary: (−2)4=16.
−24 — tu nawiasu nie ma, więc na zielono jest sama dwójka: potęgowanie dotyczy tylko jej, a minus zostaje z przodu.
Liczę: 24=16, więc −24=−16.
To dwie różne liczby. Kontrola: przy nieparzystym wykładniku byłoby inaczej — (−2)3=−8 i −23=−8 dają ten sam wynik.
Odpowiedź: (−2)4=16, a −24=−16 — to różne liczby.
Najczęstsze błędy
Cztery błędy, które w tym dziale wracają najczęściej. Pierwszy odpowiada za większość utraconych punktów.
Mnożenie wykładników zamiast dodawania
Skąd się bierze: Skoro w wyrażeniu jest znak mnożenia, wykładniki też „chce się” pomnożyć. Z 25⋅23 powstaje wtedy 215 zamiast 28 — a obie wartości zwykle stoją wśród odpowiedzi.
Jak zrobić dobrze: Rozpisz krótki przypadek: 22⋅23=4⋅8=32=25. Widać, że wykładniki się dodały. Mnożenie wykładników pojawia się tylko przy potędze potęgi, czyli gdy potęga stoi w nawiasie, a za nawiasem jest drugi wykładnik.
Pominięcie ukrytej jedynki w wykładniku
Skąd się bierze: W wyrażeniu 3⋅34 pierwsza trójka wygląda jak zwykła liczba, więc bywa pomijana przy dodawaniu wykładników. Wynik wychodzi wtedy 34 zamiast 35.
Jak zrobić dobrze: Zapisz każdą samotną liczbę jako potęgę z jedynką: 3=31. Wtedy 31⋅34=35 i nic nie umyka.
Mylenie (−2)4 z −24
Skąd się bierze: Oba zapisy różnią się tylko nawiasem, a wyglądają prawie tak samo. Potęgowanie wiąże jednak mocniej niż minus, więc bez nawiasu do potęgi idzie sama dwójka.
Jak zrobić dobrze: Przeczytaj zapis na głos: „(minus dwa) do czwartej” kontra „minus (dwa do czwartej)”. Jeśli w zadaniu jest nawias — podnosisz liczbę ujemną i przy parzystym wykładniku wynik jest dodatni.
Dodawanie potęg tak, jakby istniał na to wzór
Skąd się bierze: Cztery wzory dotyczą mnożenia, dzielenia i potęgowania — dla dodawania żadnego nie ma. Mimo to 23+25 bywa zapisywane jako 28, przez analogię do mnożenia.
Jak zrobić dobrze: Przy dodawaniu po prostu policz obie potęgi i dodaj wyniki: 8+32=40. Wyjątki to wyłączenie wspólnego czynnika (23+25=23(1+22)=5⋅23) i identyczne składniki: 23+23=2⋅23=24.
Zadania z egzaminu ósmoklasisty — potęgi
Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminu ósmoklasisty (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem. W zestawie jest 6 zadań z arkuszy egzaminu gimnazjalnego (do 2019 roku) — dokładamy je jako dodatkowe ćwiczenie tych samych umiejętności. Zakres gimnazjum był miejscami szerszy niż wymagania dla klas 7–8, dlatego każde takie zadanie jest podpisane osobno.
W rozwiązaniach malujemy zawsze tak samo: podstawę na zielono, a wykładniki na czerwono i na niebiesko (gdy w rachunku pojawia się trzeci — na fioletowo). Dzięki temu od razu widać, czy działanie dotyczy podstawy, czy wykładników — a to właśnie tu rozstrzyga się, czy wykładniki się dodają, czy mnożą. Sam wynik, gdy jest już policzony, zostaje czarny.
Sprawdź się bez zaglądania do odpowiedzi. Wylosuję 10 zadań zamkniętych z tego zestawu — klucz i rozwiązania schowam do czasu sprawdzenia. Pula liczy 17 zadań, więc za każdym razem dostaniesz inny zestaw.
Zadania zamknięte
Zadanie 1(maj 2026)1 pktłatwe
Wartość wyrażenia 25⋅3⋅34⋅23 jest równa wartości wyrażenia:
A.28⋅35
B.48⋅95
C.215⋅34
D.415⋅94
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
Odpowiedź: A
Grupujemy potęgi o tej samej podstawie: dwójki z dwójkami, trójki z trójkami.
Dwójki: 25⋅23=25+3=28 — przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie dodajemy wykładniki.
Trójki: pamiętamy, że 3=31, więc 31⋅34=35.
Razem otrzymujemy 28⋅35.
💡 Wskazówka: Samotna liczba bez wykładnika to zawsze potęga pierwsza: 3=31.
⚠ Częsty błąd: pomnożenie wykładników zamiast dodania — wyszłoby 215, czyli odpowiedź C.
Zdanie 1: gdy podstawa jest dodatnia i mniejsza od 1, im większy wykładnik, tym mniejszy wynik.
(51)8=3906251, a (51)6=156251 — czyli lewa jest mniejsza. Zdanie fałszywe.
Zdanie 2, lewa strona: 22⋅(21)2=4⋅41=1.
Prawa strona: (−2)3⋅(−21)3=(−8)⋅(−81)=1. Równe — prawda.
💡 Wskazówka: Dla ułamka z przedziału (0,1) podnoszenie do potęgi o wykładniku naturalnym większym od 1zmniejsza liczbę — odwrotnie niż dla liczb większych od 1.
⚠ Częsty błąd: automatyczne założenie „większy wykładnik = większa liczba”. To prawda tylko dla podstaw większych od 1.
Marta przygotowała dwa żetony takie, że suma liczb zapisanych na obu stronach każdego żetonu jest równa zero. Na widocznych stronach zapisano −52 oraz (−2)3. Jakie liczby znajdują się na niewidocznych stronach tych żetonów?
A.−25 i −8
B.−25 i 8
C.25 i −8
D.25 i 8
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
Odpowiedź: D
Żeton 1: −52 oznacza −(52)=−25 (minus nie jest podnoszony do kwadratu, bo nie ma nawiasu).
Aby suma dała zero, po drugiej stronie musi być liczba przeciwna: 25.
Żeton 2: (−2)3=−8 (nawias — minus też jest potęgowany, a trzecia potęga zachowuje znak minus).
Liczba przeciwna do −8 to 8. Zatem: 25 i 8.
💡 Wskazówka:−52=−25, ale (−5)2=25. Nawias zmienia wszystko!
⚠ Najczęstszy błąd: policzenie −52 jako 25 (potraktowanie minusa jak części podstawy).
Kwadrat 3×3 wypełniamy tak, aby iloczyny liczb w każdym wierszu, każdej kolumnie i na obu przekątnych były takie same. Dane: pierwszy wiersz 56,5,58; drugi wiersz zaczyna się od 57, środek to 55; trzeci wiersz zaczyna się od 52. Oceń prawdziwość zdań.
Iloczyn liczb na przekątnej kwadratu jest równy 515.
P
F
W zacieniowane pole (środek dolnego wiersza) należy wpisać liczbę 59.
P
F
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
Odpowiedź: P, P
Z pierwszego wiersza wyliczamy stałą: 56⋅51⋅58=56+1+8=515.
Skoro każdy wiersz, kolumna i przekątna dają ten sam iloczyn, to jest on równy 515 — pierwsze zdanie prawdziwe.
Sprawdzamy środkową kolumnę: 51⋅55⋅x=515.
Zatem 51+5⋅x=515, czyli x=515−6=59 — drugie zdanie prawdziwe.
💡 Wskazówka: W kwadracie magicznym „na potęgach” wystarczy dodawać i odejmować wykładniki — to zwykły kwadrat magiczny na wykładnikach.
⚠ Częsty błąd: zapomnienie, że samo 5 to 51 przy sumowaniu wykładników.
Blaszkę o powierzchni S=0,001m2 pokryto warstwą złota o grubości y=0,000001m. Gęstość złota wynosi d=19300kg/m3, a gęstość wyraża się wzorem d=Vm. Oblicz masę złotej powłoki. Wynik zapisz w notacji wykładniczej a⋅10k, gdzie 1≤a<10.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
Odpowiedź: 1,93⋅10−5kg
Objętość warstwy to pole razy grubość: V=S⋅y.
Zapisujemy dane w notacji wykładniczej: S=10−3m2, y=10−6m.
V=10−3⋅10−6=10−3+(−6)=10−9m3.
Ze wzoru d=Vm wyznaczamy masę: m=d⋅V.
m=19300⋅10−9=1,93⋅104⋅10−9=1,93⋅10−5kg.
💡 Wskazówka: Zamiana danych na notację wykładniczą na starcie oszczędza liczenia zer.
⚠ Częsty błąd: pomylenie kierunku wzoru i policzenie m=Vd zamiast d⋅V.
Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.
1. A
2. D
3. F, P
4. D
5. P, P
6. F, P
7. P, P
8. F, P
9. B, D
10. C
11. A
12. B, D
13. A
14. D
15. A, D
16. E
17. D
18. B
19. P, P
20. D
21. B
22. D
23. A
24. A
25. D
26. E
27. P, P
28.2161
29.1,93⋅10−5kg
Treści zadań pochodzą z arkuszy egzaminu ósmoklasisty oraz z arkuszy egzaminu gimnazjalnego (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.
Przed egzaminem: karty pracy i arkusze z kluczem
Wszystko na tej stronie zostaje darmowe. Do ćwiczeń na papierze: zestaw kart z tego tematu i arkusze egzaminacyjne z rozwiązaniami.
Płatny zestaw · sklep
Potęgi, klasa 7 — 11 kart pracy PDF z kluczem
11 kart pracy z matematyki dla klasy 7: potęga jako iloczyn, potęgi liczb ujemnych, mnożenie i dzielenie potęg, potęga potęgi, notacja…
Dodajemy przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie, na przykład przy iloczynie dwóch potęg dwójki. Mnożymy przy potędze potęgi, czyli wtedy, gdy cała potęga stoi w nawiasie i jest podnoszona do kolejnego wykładnika.
Jak sprowadzić 84 i 43 do wspólnej podstawy?
Zauważ, że obie podstawy są potęgami dwójki: osiem to dwójka do trzeciej, a cztery to dwójka do drugiej. Po podstawieniu i wymnożeniu wykładników otrzymasz dwie potęgi dwójki, na których wzory już działają.
Ile wynosi potęga liczby ujemnej?
Przy wykładniku parzystym wynik jest dodatni, bo minusy skracają się w pary. Przy nieparzystym zostaje jeden minus i wynik jest ujemny. Kluczowy jest nawias — bez niego potęgowana jest sama liczba, a minus zostaje z przodu.
Jak porównać dwie duże potęgi bez liczenia?
Sprowadź je do wspólnej podstawy albo wspólnego wykładnika. Przy równych wykładnikach dodatnich (i dodatnich podstawach) większa jest ta o większej podstawie; przy równych podstawach większych od jedynki — ta o większym wykładniku.
Dlaczego liczba do potęgi zerowej równa się jeden?
Wynika to ze wzoru na dzielenie potęg o tej samej podstawie. Liczba podzielona przez samą siebie daje jeden, a z reguły odejmowania wykładników wychodzi ta sama liczba do potęgi zerowej. Zastrzeżenie: podstawa nie może być zerem.
Czy można dodać dwie potęgi o tej samej podstawie?
Nie ma na to wzoru — trzeba policzyć obie i dodać wyniki albo wyłączyć wspólny czynnik przed nawias. Gdy składniki są identyczne, suma jest równa podwojonej potędze, ale potęgą o wykładniku większym o jeden jest tylko przy podstawie 2: 23+23=24, a 32+32=18, nie 33.
Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.
Ostatnia aktualizacja: 2026-09-23. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.
Mateusz Będkowski
nauczyciel matematyki i pedagog
Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Wszystkie materiały na tej stronie przygotowuję sam. Poznaj moje podejście →
Ostatnia aktualizacja: 2026-08-22
Nie każ mu liczyć!
KOLOR I KOD
Kolorowy kod
Sprawdź kod. Pokoloruj każdą figurę tak, jak pokazuje wzór.
2
=
=
=
=
Nie każ mu liczyć!niekazmuliczyc.pl
Nie każ mu liczyć!NIEKAZMULICZYC.PL
KARTY PRACY
Koncentracja krok po kroku
30 ćwiczeń, które uczą uważnego patrzenia, porównywania i kończenia tego, co się zaczęło. Po jednym dziennie — bez pośpiechu.
TA KSIĄŻECZKA NALEŻY DO
DATA ROZPOCZĘCIA
AUTORMateusz Będkowski
SPOSTRZEGAWCZOŚĆ
Połącz te same kolory
Połącz linią kropki w tym samym kolorze.
1
Nie każ mu liczyć!niekazmuliczyc.pl
Nowość · za darmo
Koncentracja krok po kroku
30 kart pracy, które uczą dziecko uważnego patrzenia i kończenia tego, co zaczęło. Cały PDF wrzucam za darmo do grupy na Facebooku — bez zapisów.
