Większość zadań na tej stronie rozwiązuje się jednym ruchem: sprowadzeniem wszystkiego do wspólnej podstawy. W siedmiu z 29 jest to cały sposób na rozwiązanie, w kolejnych — krok pośredni. Gdy 8, 4 i 2 zapiszemy jako potęgi dwójki, zostaje już tylko dodawanie i odejmowanie wykładników. To jest cała mechanika tego działu.
Dział: Egzamin ósmoklasistyPoziom: klasa 7–8Zadań: 29 — 23 z egzaminu ósmoklasisty i 6 z egzaminu gimnazjalnego
Wzorów na potęgach jest cztery i wszystkie dotyczą sytuacji, gdy coś jest wspólne — albo podstawa, albo wykładnik:
Jak czytać kolory na tej stronie
W każdym wzorze i w każdym rozwiązaniu malujemy tak samo: podstawę na zielono (a), a wykładniki na czerwono (m) i na niebiesko (n). Dzięki temu od razu widać, co się z czym dzieje — czy działanie dotyczy podstawy, czy wykładników. Wynik, gdy jest już policzony, zostaje czarny.
ta sama podstawa, mnożenie: am⋅an=am+n — wykładniki dodajemy
ta sama podstawa, dzielenie: am:an=am−n — wykładniki odejmujemy
potęga potęgi: (am)n=am⋅n — wykładniki mnożymy
ten sam wykładnik: an⋅bn=(ab)n — działamy na podstawach
Rozróżnienie, które decyduje o wyniku: przy mnożeniu potęg o wspólnej podstawie wykładniki się dodają, a przy potęgowaniu potęgi mnożą. To dwie różne sytuacje i najczęstsze źródło pomyłek.
Osobno warto zapamiętać, że a0=1 dla każdego a=0. Wynika to wprost ze wzoru na dzielenie: anan=an−n=a0, a przecież liczba podzielona przez samą siebie daje jeden.
Sprowadzanie do wspólnej podstawy
To najważniejsza umiejętność w całym dziale — siedem zadań na tej stronie opiera się na niej wprost, a w kolejnych jest krokiem pośrednim.
Wzory działają tylko wtedy, gdy podstawy są identyczne. Wyrażenia 84 i 43 nie mają wspólnej podstawy w zapisie, ale obie liczby są potęgami dwójki: 8=23 i 4=22.
Po zamianie: 84=(23)4=23⋅4=212 oraz 43=(22)3=26. Zielony kolor pokazuje, że przez cały rachunek podstawą jest dwójka; czerwony i niebieski — skąd wziął się wykładnik 12. Dalej to już zwykłe odejmowanie wykładników.
Warto mieć w pamięci potęgi dwójki do 210=1024 oraz trójki do 35=243. Bez nich rozpoznanie wspólnej podstawy zajmuje więcej czasu, niż warto na nie poświęcić.
Porównywanie potęg bez liczenia
Pięć zadań pyta, która z potęg jest większa — przy liczbach tak dużych, że wyliczenie ich jest niewykonalne. Metoda polega na sprowadzeniu do wspólnej podstawy albo wspólnego wykładnika.
Dla 230 i 320 wspólnej podstawy nie ma, ale wykładniki mają wspólny dzielnik 10. Zapisujemy 230=(23)10=810 oraz 320=(32)10=910. Wykładnik 10 jest teraz w obu ten sam, więc rozstrzygają zielone podstawy: skoro 8<9, to 230<320.
Reguła ogólna: przy równych wykładnikach większa jest ta potęga, która ma większą podstawę. Przy równych podstawach (większych od jedynki) — ta o większym wykładniku.
Potęgi liczb ujemnych
Znak wyniku zależy wyłącznie od tego, czy wykładnik jest parzysty. Przy parzystym minusy skracają się w pary i wynik jest dodatni; przy nieparzystym jeden minus zostaje i wynik jest ujemny.
Krytyczne jest miejsce nawiasu — i tu kolor rozstrzyga spór od jednego spojrzenia, bo na zielono stoi zawsze to, co jest podnoszone do potęgi. W (−2)4 zielona jest cała liczba -2, więc wynik to 16. W −24 zielona jest sama dwójka, a minus stoi poza potęgą, więc wynik to -16. Potęgowanie wiąże mocniej niż znak minus.
W zadaniach egzaminacyjnych ta różnica bywa całą treścią zadania — odpowiedzi 16 i -16 stoją wtedy obok siebie na liście.
Czego wzory NIE obejmują
Nie ma wzoru na dodawanie potęg. Wyrażenia 23+25 nie da się zapisać jako pojedynczej potęgi dwójki — trzeba je po prostu policzyć: 8+32=40.
Nie ma też wzoru na potęgę sumy. (a+b)2nie równa się a2+b2; to typowa pułapka, która wraca też w wyrażeniach algebraicznych.
Jedyna sytuacja, w której dodawanie potęg się upraszcza, to identyczne składniki: 23+23=2⋅23=24. Ale to już mnożenie, nie dodawanie wykładników.
Przykłady krok po kroku
Cztery zadania krok po kroku: podstawowe działania, sprowadzanie do wspólnej podstawy, porównywanie i potęga liczby ujemnej.
Przykład 1 Mnożenie i dzielenie potęg
Zapisz w postaci jednej potęgi: 3432⋅37.
Podstawa jest wszędzie ta sama (zielona trójka), więc działam wyłącznie na wykładnikach.
W liczniku mnożę potęgi o tej samej podstawie, więc dodaję wykładniki: 32⋅37=32+7=39.
Teraz dzielenie — wykładniki odejmuję: 39:34=39−4=35.
Wynik: 35, czyli 243.
Kontrola rzędu wielkości: licznik to 39, mianownik 34, więc wynik musi być między 34 a 39 ✓
Odpowiedź: 3432⋅37=35=243.
Przykład 2 Sprowadzanie do wspólnej podstawy
Zapisz w postaci potęgi liczby 2: 84:43.
Podstawy 8 i 4 są różne, ale obie są potęgami dwójki: 8=23, 4=22.
Zamieniam: 84=(23)4. Przy potędze potęgi wykładniki mnożę: 23⋅4=212.
Tak samo drugie: 43=(22)3=26.
Teraz podstawa jest wszędzie zielona i ta sama, więc dzielenie to odejmowanie wykładników: 212:26=26.
Kontrola: 26=64, a bezpośrednio 84:43=4096:64=64 ✓
Odpowiedź: 84:43=26=64.
Przykład 3 Porównywanie potęg
Która liczba jest większa: 230 czy 320?
Wyliczenie obu jest niewykonalne, więc sprowadzam je do wspólnego wykładnika.
Wykładniki 30 i 20 mają wspólny dzielnik 10. Zapisuję 230=(23)10=810.
Tak samo drugą: 320=(32)10=910.
Niebieski wykładnik jest już w obu ten sam, więc decyduje zielona podstawa: 8<9, więc 810<910.
Zatem 230<320.
Odpowiedź: Większa jest liczba 320.
Przykład 4 Potęga liczby ujemnej
Oblicz (−2)4 oraz −24. Czy to ta sama liczba?
(−2)4 — nawias oznacza, że do potęgi podnosimy całą liczbę -2, dlatego na zielono jest tu minus razem z dwójką.
Wykładnik jest parzysty, więc minusy skracają się w pary: (−2)4=16.
−24 — tu nawiasu nie ma, więc na zielono jest sama dwójka: potęgowanie dotyczy tylko jej, a minus zostaje z przodu.
Liczę: 24=16, więc −24=−16.
To dwie różne liczby. Kontrola: przy nieparzystym wykładniku byłoby inaczej — (−2)3=−8 i −23=−8 dają ten sam wynik.
Odpowiedź: (−2)4=16, a −24=−16 — to różne liczby.
Najczęstsze błędy
Cztery błędy, które w tym dziale wracają najczęściej. Pierwszy odpowiada za większość utraconych punktów.
Mnożenie wykładników zamiast dodawania
Skąd się bierze: Skoro w wyrażeniu jest znak mnożenia, wykładniki też „chce się” pomnożyć. Z 25⋅23 powstaje wtedy 215 zamiast 28 — a obie wartości zwykle stoją wśród odpowiedzi.
Jak zrobić dobrze: Rozpisz krótki przypadek: 22⋅23=4⋅8=32=25. Widać, że wykładniki się dodały. Mnożenie wykładników pojawia się tylko przy potędze potęgi, czyli gdy jest drugi nawias.
Pominięcie ukrytej jedynki w wykładniku
Skąd się bierze: W wyrażeniu 3⋅34 pierwsza trójka wygląda jak zwykła liczba, więc bywa pomijana przy dodawaniu wykładników. Wynik wychodzi wtedy 34 zamiast 35.
Jak zrobić dobrze: Zapisz każdą samotną liczbę jako potęgę z jedynką: 3=31. Wtedy 31⋅34=35 i nic nie umyka.
Mylenie (−2)4 z −24
Skąd się bierze: Oba zapisy różnią się tylko nawiasem, a wyglądają prawie tak samo. Potęgowanie wiąże jednak mocniej niż minus, więc bez nawiasu do potęgi idzie sama dwójka.
Jak zrobić dobrze: Przeczytaj zapis na głos: „minus dwa do czwartej” kontra „minus, dwa do czwartej”. Jeśli w zadaniu jest nawias — podnosisz liczbę ujemną i przy parzystym wykładniku wynik jest dodatni.
Dodawanie potęg tak, jakby istniał na to wzór
Skąd się bierze: Cztery wzory dotyczą mnożenia, dzielenia i potęgowania — dla dodawania żadnego nie ma. Mimo to 23+25 bywa zapisywane jako 28, przez analogię do mnożenia.
Jak zrobić dobrze: Przy dodawaniu po prostu policz obie potęgi i dodaj wyniki: 8+32=40. Jedyny wyjątek to identyczne składniki: 23+23=2⋅23=24.
Zadania z arkuszy CKE — potęgi
Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminu ósmoklasisty (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem. W zestawie jest 6 zadań z arkuszy egzaminu gimnazjalnego (do 2019 roku) — dokładamy je jako dodatkowe ćwiczenie tych samych umiejętności. Zakres gimnazjum był miejscami szerszy niż wymagania dla klas 7–8, dlatego każde takie zadanie jest podpisane osobno.
W rozwiązaniach malujemy zawsze tak samo: podstawę na zielono, a wykładniki na czerwono i na niebiesko (gdy w rachunku pojawia się trzeci — na fioletowo). Dzięki temu od razu widać, czy działanie dotyczy podstawy, czy wykładników — a to właśnie tu rozstrzyga się, czy wykładniki się dodają, czy mnożą. Sam wynik, gdy jest już policzony, zostaje czarny.
Sprawdź się bez zaglądania do odpowiedzi. Wylosuję 10 zadań zamkniętych z tego zestawu — klucz i rozwiązania schowam do czasu sprawdzenia. Pula liczy 17 zadań, więc za każdym razem dostaniesz inny zestaw.
Zadania zamknięte
Zadanie 1(maj 2026)1 pktłatwe
Wartość wyrażenia 25⋅3⋅34⋅23 jest równa wartości wyrażenia:
A.28⋅35
B.48⋅95
C.215⋅34
D.415⋅94
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
Odpowiedź: A
Grupujemy potęgi o tej samej podstawie: dwójki z dwójkami, trójki z trójkami.
Dwójki: 25⋅23=25+3=28 — przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie dodajemy wykładniki.
Trójki: pamiętamy, że 3=31, więc 31⋅34=35.
Razem otrzymujemy 28⋅35.
💡 Wskazówka: Samotna liczba bez wykładnika to zawsze potęga pierwsza: 3=31.
⚠ Częsty błąd: pomnożenie wykładników zamiast dodania — wyszłoby 215, czyli odpowiedź C.
Zadanie 2(styczeń 2026)1 pktłatwe
Wartość wyrażenia 43−82:24 jest równa:
A. 0
B. 10
C. 56
D. 60
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
Odpowiedź: D
Najpierw potęgi: 43=64, 82=64, 24=16.
Potem dzielenie (przed odejmowaniem): 64:16=4.
Na końcu odejmowanie: 64−4=60.
💡 Wskazówka: Kolejność działań: najpierw potęgi, potem mnożenie i dzielenie, na końcu dodawanie i odejmowanie.
⚠ Częsty błąd: odjęcie 64−64 na starcie i podzielenie wyniku przez 16 — wyszłoby 0 (odpowiedź A).
Zadanie 3(czerwiec 2025)1 pktśrednie
Oceń prawdziwość podanych zdań.
Iloraz 94:32 jest równy 32.
P
F
Liczba 38 jest trzy razy większa od iloczynu 35⋅32.
P
F
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
Odpowiedź: F, P
Zdanie 1: sprowadzamy do wspólnej podstawy — 9=32, więc 94=(32)4=38.
Zatem 94:32=38:32=38−2=36, a nie 32 — zdanie fałszywe.
Dane są trzy liczby: x=101030⋅1070, y=(103)15⋅1060, z=1050⋅10201080. Która z tych liczb jest mniejsza od liczby 10100?
A. Tylko x.
B. Tylko y.
C. Tylko z.
D. Każda z liczb x, y, z.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
Odpowiedź: A
x=101030⋅1070=10110100=1099 — mniejsza od 10100.
y=(103)15⋅1060=1045⋅1060=10105 — większa.
z=1050⋅10201080=1050⋅1060=10110 — większa.
Tylko x spełnia warunek.
💡 Wskazówka: Sprowadź każdą liczbę do jednej potęgi dziesiątki i porównaj same wykładniki.
⚠ Częsty błąd: pominięcie dzielenia przez 10 w x i uznanie, że x=10100 (a wtedy nie jest mniejsza).
Zadanie 12(czerwiec 2021)1 pktśrednie
Uzupełnij zdania.
Wartość wyrażenia 36276 jest równa AB.
A.32
B.312
Wartość wyrażenia 54258 jest równa CD.
C.54
D.512
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
Odpowiedź: B, D
Pierwsze: 27=33, więc 276=(33)6=318. Dalej 318:36=312.
Drugie: 25=52, więc 258=(52)8=516. Dalej 516:54=512.
💡 Wskazówka: Można też skorzystać z tego, że wykładniki są równe w pierwszym: (327)6=96=312.
⚠ Częsty błąd: samo odjęcie wykładników bez zamiany podstawy (6−6=0, 8−4=4).
Zadanie 13(maj 2021)1 pktśrednie
Z reguł działań na potęgach wynika, że (200000)3=(2⋅105)3=23⋅1015. Z tych samych reguł wynika, że liczba (60000000)3 jest równa:
A.63⋅1021
B.6⋅1021
C.63⋅1010
D.6⋅1010
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
Odpowiedź: A
Zapisujemy liczbę w notacji wykładniczej: 60000000=6⋅107 (siedem zer).
Podnosimy do sześcianu — potęgujemy oba czynniki: (6⋅107)3=63⋅(107)3.
(107)3=1021, więc wynik to 63⋅1021.
💡 Wskazówka: Potęga iloczynu: (ab)n=anbn — potęgujemy oba czynniki.
⚠ Częsty błąd: spotęgowanie tylko dziesiątki i zostawienie samotnej szóstki — stąd odpowiedź B.
Zadanie 14(marzec 2021)1 pkttrudniejsze
Wartość wyrażenia 2468 jest równa:
A.32
B.34
C.22⋅38
D.24⋅38
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
Odpowiedź: D
Rozkładamy podstawę: 6=2⋅3, więc 68=(2⋅3)8=28⋅38.
Dzielimy: 2428⋅38=28−4⋅38=24⋅38.
💡 Wskazówka: Gdy podstawy nie są takie same, rozłóż je na czynniki pierwsze — wtedy widać, co się skraca.
⚠ Częsty błąd: potraktowanie tego jak (26)8−4=34 — tak wolno tylko przy równych wykładnikach.
Zadanie 15(czerwiec 2020)1 pktśrednie
Uzupełnij zdania.
Wartość wyrażenia (−2)4:(−2)3 jest równa AB.
A. -2
B. 2
Wartość wyrażenia (−2)2⋅(−2)3 jest równa CD.
C.(−4)5
D.(−2)5
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
Odpowiedź: A, D
Pierwsze: podstawy takie same, więc odejmujemy wykładniki: (−2)4:(−2)3=(−2)4−3=(−2)1=−2.
Drugie: podstawy takie same, więc dodajemy wykładniki: (−2)2⋅(−2)3=(−2)2+3=(−2)5.
Sprawdzenie: (−2)5=−32, a 4⋅(−8)=−32 ✓.
💡 Wskazówka: Podstawa (−2) zostaje bez zmian — zmieniają się tylko wykładniki.
⚠ Częsty błąd w drugim: pomnożenie podstaw (−2⋅−2=4) i otrzymanie (−4)5 — odpowiedź C.
Zadanie 16(kwiecień 2020)1 pkttrudniejsze
Która z podanych liczb nie jest równa 315?
A.3⋅314
B.39⋅36
C.317:9
D.(35)3
E.915:3
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
Odpowiedź: E
A: 31⋅314=315 ✓
B: 39⋅36=315 ✓
C: 9=32, więc 317:32=315 ✓
D: (35)3=35⋅3=315 ✓
E: 915=(32)15=330, więc 330:31=329=315 — to ta liczba.
💡 Wskazówka: W zadaniach „która NIE jest równa” sprawdzaj po kolei i zaznacz pierwszą, która odstaje.
⚠ Częsty błąd: uznanie 915 za 315 — a to 330, czyli liczba ogromnie większa.
Zadanie 17(marzec 2020)1 pkttrudniejsze
Marta przygotowała dwa żetony takie, że suma liczb zapisanych na obu stronach każdego żetonu jest równa zero. Na widocznych stronach zapisano −52 oraz (−2)3. Jakie liczby znajdują się na niewidocznych stronach tych żetonów?
A. -25 i -8
B. -25 i 8
C. 25 i -8
D. 25 i 8
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
Odpowiedź: D
Żeton 1: −52 oznacza −(52)=−25 (minus nie jest podnoszony do kwadratu, bo nie ma nawiasu).
Aby suma dała zero, po drugiej stronie musi być liczba przeciwna: 25.
Żeton 2: (−2)3=−8 (nawias — minus też jest potęgowany, a trzecia potęga zachowuje znak minus).
Liczba przeciwna do -8 to 8. Zatem: 25 i 8.
💡 Wskazówka:−52=−25, ale (−5)2=25. Nawias zmienia wszystko!
⚠ Najczęstszy błąd: policzenie −52 jako 25 (potraktowanie minusa jak części podstawy).
Zadanie 18(kwiecień 2019)1 pkttrudniejsze
Dane są trzy wyrażenia: I. 52⋅108⋅54, II. (510:52)⋅108, III. 28⋅58⋅58. Które z tych wyrażeń są równe 508?
A. Tylko I i II.
B. Tylko II i III.
C. Tylko II.
D. Tylko III.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
Odpowiedź: B
Najpierw rozkładamy cel: 50=2⋅52, więc 508=28⋅516.
I: 52⋅108⋅54=56⋅(28⋅58)=28⋅514 — nie pasuje.
II: (510:52)⋅108=58⋅28⋅58=28⋅516 ✓
III: 28⋅58⋅58=28⋅516 ✓
Pasują II i III.
💡 Wskazówka: Rozłóż wszystko na potęgi dwójki i piątki — wtedy porównanie jest mechaniczne.
⚠ Częsty błąd: zapomnienie, że 108=28⋅58 (a nie samo 108 jako osobna podstawa).
Zadanie 19(grudzień 2017)1 pkttrudniejsze
Kwadrat 3×3 wypełniamy tak, aby iloczyny liczb w każdym wierszu, każdej kolumnie i na obu przekątnych były takie same. Dane: pierwszy wiersz 56,5,58; drugi wiersz zaczyna się od 57, środek to 55; trzeci wiersz zaczyna się od 52. Oceń prawdziwość zdań.
Iloczyn liczb na przekątnej kwadratu jest równy 515.
P
F
W zacieniowane pole (środek dolnego wiersza) należy wpisać liczbę 59.
P
F
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
Odpowiedź: P, P
Z pierwszego wiersza wyliczamy stałą: 56⋅51⋅58=56+1+8=515.
Skoro każdy wiersz, kolumna i przekątna dają ten sam iloczyn, to jest on równy 515 — pierwsze zdanie prawdziwe.
Sprawdzamy środkową kolumnę: 51⋅55⋅x=515.
Zatem 51+5⋅x=515, czyli x=515−6=59 — drugie zdanie prawdziwe.
💡 Wskazówka: W kwadracie magicznym „na potęgach” wystarczy dodawać i odejmować wykładniki — to zwykły kwadrat magiczny na wykładnikach.
⚠ Częsty błąd: zapomnienie, że samo 5 to 51 przy sumowaniu wykładników.
Zadanie 20(kwiecień 2016, egzamin gimnazjalny)1 pkttrudniejsze
Dane są liczby: I. 2541, II. 12541, III. 2862, IV. 5431. Która z tych liczb jest największa?
A. I
B. II
C. III
D. IV
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
Odpowiedź: D
Sprowadzamy do potęg piątki: 2541=(52)41=582, 12541=(53)41=5123.
Wśród potęg piątki największa jest IV: 5431 (bo 431>123>82).
Zostaje porównać 5431 z 2862. Zauważmy, że 862=2⋅431, więc 2862=(22)431=4431.
Porównujemy 5431 i 4431 — ten sam wykładnik, więc decyduje podstawa: 5>4.
Największa jest liczba IV.
💡 Wskazówka: Gdy wykładniki są równe, wystarczy porównać podstawy — dlatego warto „wyrównać” wykładniki.
⚠ Częsty błąd: wybranie III, bo wykładnik 862 wygląda najgroźniej — a liczy się też podstawa.
Zadanie 21(kwiecień 2014, egzamin gimnazjalny)1 pktłatwe
Dane są liczby: 3,34,312. Iloczyn tych liczb jest równy:
A.316
B.317
C.348
D.349
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
Odpowiedź: B
Zapisujemy pierwszą liczbę jako potęgę: 3=31.
Mnożymy potęgi o tej samej podstawie, dodając wykładniki: 31+4+12=317.
💡 Wskazówka: Trzy czynniki — dodajesz trzy wykładniki, nic więcej.
⚠ Częsty błąd: pomnożenie wykładników (1⋅4⋅12=48) — stąd odpowiedź C.
Zadanie 22(kwiecień 2013, egzamin gimnazjalny)1 pktśrednie
Dane są liczby: a=(−2)12, b=(−2)11, c=210. Liczby te uporządkowane od najmniejszej do największej to:
A.c,b,a
B.a,b,c
C.c,a,b
D.b,c,a
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
Odpowiedź: D
Ustalamy znaki: wykładnik parzysty daje wynik dodatni, nieparzysty — ujemny.
⚠ Częsty błąd: liczenie ogromnych liczb „na piechotę” zamiast rozkładu na czynniki.
Zadanie 29(materiały CKE)3 pkttrudniejsze
Blaszkę o powierzchni S=0,001m2 pokryto warstwą złota o grubości y=0,000001m. Gęstość złota wynosi d=19300kg/m3, a gęstość wyraża się wzorem d=Vm. Oblicz masę złotej powłoki. Wynik zapisz w notacji wykładniczej a⋅10k, gdzie 1≤a<10.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
Odpowiedź: 1,93⋅10−5kg
Objętość warstwy to pole razy grubość: V=S⋅y.
Zapisujemy dane w notacji wykładniczej: S=10−3m2, y=10−6m.
V=10−3⋅10−6=10−3+−6=10−9m3.
Ze wzoru d=Vm wyznaczamy masę: m=d⋅V.
m=19300⋅10−9=1,93⋅104⋅10−9=1,93⋅10−5kg.
💡 Wskazówka: Zamiana danych na notację wykładniczą na starcie oszczędza liczenia zer.
⚠ Częsty błąd: pomylenie kierunku wzoru i policzenie m=Vd zamiast d⋅V.
Odpowiedzi
Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.
1. A
2. D
3. F, P
4. D
5. P, P
6. F, P
7. P, P
8. F, P
9. B, D
10. C
11. A
12. B, D
13. A
14. D
15. A, D
16. E
17. D
18. B
19. P, P
20. D
21. B
22. D
23. A
24. A
25. D
26. E
27. P, P
28.2161
29.1,93⋅10−5kg
Treści zadań pochodzą z arkuszy egzaminu ósmoklasisty oraz z arkuszy egzaminu gimnazjalnego (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów liczę i zapisuję sam — Mateusz Będkowski.
Pytania i odpowiedzi
Kiedy dodajemy wykładniki, a kiedy mnożymy?
Dodajemy przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie, na przykład przy iloczynie dwóch potęg dwójki. Mnożymy przy potędze potęgi, czyli wtedy, gdy cała potęga stoi w nawiasie i jest podnoszona do kolejnego wykładnika.
Jak sprowadzić 84 i 43 do wspólnej podstawy?
Zauważ, że obie podstawy są potęgami dwójki: osiem to dwójka do trzeciej, a cztery to dwójka do drugiej. Po podstawieniu i wymnożeniu wykładników otrzymasz dwie potęgi dwójki, na których wzory już działają.
Ile wynosi potęga liczby ujemnej?
Przy wykładniku parzystym wynik jest dodatni, bo minusy skracają się w pary. Przy nieparzystym zostaje jeden minus i wynik jest ujemny. Kluczowy jest nawias — bez niego potęgowana jest sama liczba, a minus zostaje z przodu.
Jak porównać dwie duże potęgi bez liczenia?
Sprowadź je do wspólnej podstawy albo wspólnego wykładnika. Przy równych wykładnikach większa jest ta o większej podstawie; przy równych podstawach większych od jedynki — ta o większym wykładniku.
Dlaczego liczba do potęgi zerowej równa się jeden?
Wynika to ze wzoru na dzielenie potęg o tej samej podstawie. Liczba podzielona przez samą siebie daje jeden, a z reguły odejmowania wykładników wychodzi ta sama liczba do potęgi zerowej. Zastrzeżenie: podstawa nie może być zerem.
Czy można dodać dwie potęgi o tej samej podstawie?
Nie ma na to wzoru — trzeba policzyć obie i dodać wyniki. Jedyny przypadek, który się upraszcza, to dwa identyczne składniki: wtedy suma jest równa podwojonej potędze, czyli potędze o wykładniku większym o jeden.
Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.
Ostatnia aktualizacja: 2026-08-03. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa Mateusza Będkowskiego.
Nie każ mu liczyć!
KOLOR I KOD
Kolorowy kod
Sprawdź kod. Pokoloruj każdą figurę tak, jak pokazuje wzór.
2
=
=
=
=
Nie każ mu liczyć!niekazmuliczyc.pl
Nie każ mu liczyć!NIEKAZMULICZYC.PL
KARTY PRACY
Koncentracja krok po kroku
30 ćwiczeń, które uczą uważnego patrzenia, porównywania i kończenia tego, co się zaczęło. Po jednym dziennie — bez pośpiechu.
TA KSIĄŻECZKA NALEŻY DO
DATA ROZPOCZĘCIA
AUTORMateusz Będkowski
SPOSTRZEGAWCZOŚĆ
Połącz te same kolory
Połącz linią kropki w tym samym kolorze.
1
Nie każ mu liczyć!niekazmuliczyc.pl
Nowość · za darmo
Koncentracja krok po kroku
30 kart pracy, które uczą dziecko uważnego patrzenia i kończenia tego, co zaczęło. Cały PDF wrzucam za darmo do grupy na Facebooku — bez zapisów.
