Strona główna › Egzamin ósmoklasisty › Potęgi na egzaminie ósmoklasisty

Potęgi na egzaminie ósmoklasisty

Dwadzieścia jeden z 29 zadań na tej stronie rozwiązuje się jednym ruchem: sprowadzeniem wszystkiego do wspólnej podstawy. Gdy 88, 44 i 22 zapiszemy jako potęgi dwójki, zostają już tylko działania na wykładnikach: dodawanie, odejmowanie i — przy potędze potęgi — mnożenie. To jest cała mechanika tego działu.

Dział: Egzamin ósmoklasistyPoziom: klasa 7–8Zadań z E8: 29

Przejdź od razu do zadań (29) ↓

Najpierw wzory, potem zadania

Zadania egzaminacyjne zakładają, że wzory na działania na potęgach są już opanowane. Jeśli nie — najpierw krótko:

Egzamin w 2027 r.: matematyka we wtorek 11 maja, 125 minut. Potęgi były w 20 z 22 arkuszy.

Cztery wzory i jedno rozróżnienie

Wzorów na potęgach jest cztery i wszystkie dotyczą sytuacji, gdy coś jest wspólne — albo podstawa, albo wykładnik:

Jak czytać kolory na tej stronie

W każdym wzorze i w każdym rozwiązaniu malujemy tak samo: podstawę na zielono (a\textcolor{#16A06A}{a}), a wykładniki na czerwono (m\textcolor{#E0453A}{m}) i na niebiesko (n\textcolor{#2F80D8}{n}). Dzięki temu od razu widać, co się z czym dzieje — czy działanie dotyczy podstawy, czy wykładników. Wynik, gdy jest już policzony, zostaje czarny.

Rozróżnienie, które decyduje o wyniku: przy mnożeniu potęg o wspólnej podstawie wykładniki się dodają, a przy potęgowaniu potęgi mnożą. To dwie różne sytuacje i najczęstsze źródło pomyłek.

Osobno warto zapamiętać, że a0=1\textcolor{#16A06A}{a}^{\textcolor{#E0453A}{0}} = 1 dla każdego a≠0a \ne 0. Wynika to wprost ze wzoru na dzielenie: anan=an−n=a0\dfrac{\textcolor{#16A06A}{a}^{\textcolor{#E0453A}{n}}}{\textcolor{#16A06A}{a}^{\textcolor{#2F80D8}{n}}} = \textcolor{#16A06A}{a}^{\textcolor{#E0453A}{n}-\textcolor{#2F80D8}{n}} = \textcolor{#16A06A}{a}^{\textcolor{#E0453A}{0}}, a przecież liczba podzielona przez samą siebie daje jeden.

Sprowadzanie do wspólnej podstawy

To najważniejsza umiejętność w całym dziale — siedem zadań na tej stronie opiera się na niej wprost, a w kolejnych jest krokiem pośrednim.

Wzory działają tylko wtedy, gdy podstawy są identyczne. Wyrażenia 84\textcolor{#16A06A}{8}^{\textcolor{#2F80D8}{4}} i 43\textcolor{#16A06A}{4}^{\textcolor{#2F80D8}{3}} nie mają wspólnej podstawy w zapisie, ale obie liczby są potęgami dwójki: 8=23\textcolor{#16A06A}{8} = \textcolor{#16A06A}{2}^{\textcolor{#E0453A}{3}} i 4=22\textcolor{#16A06A}{4} = \textcolor{#16A06A}{2}^{\textcolor{#E0453A}{2}}.

Po zamianie: 84=(23)4=23⋅4=212\textcolor{#16A06A}{8}^{\textcolor{#2F80D8}{4}} = (\textcolor{#16A06A}{2}^{\textcolor{#E0453A}{3}})^{\textcolor{#2F80D8}{4}} = \textcolor{#16A06A}{2}^{\textcolor{#E0453A}{3} \cdot \textcolor{#2F80D8}{4}} = \textcolor{#16A06A}{2}^{12} oraz 43=(22)3=26\textcolor{#16A06A}{4}^{\textcolor{#2F80D8}{3}} = (\textcolor{#16A06A}{2}^{\textcolor{#E0453A}{2}})^{\textcolor{#2F80D8}{3}} = \textcolor{#16A06A}{2}^{6}. Zielony kolor pokazuje, że przez cały rachunek podstawą jest dwójka; czerwony i niebieski — skąd wziął się wykładnik 1212. Dalej to już zwykłe odejmowanie wykładników.

Warto mieć w pamięci potęgi dwójki do 210=10242^{10} = 1024 oraz trójki do 35=2433^5 = 243. Bez nich rozpoznanie wspólnej podstawy zajmuje więcej czasu, niż warto na nie poświęcić.

Porównywanie potęg bez liczenia

Pięć zadań pyta, która z potęg jest większa — przy liczbach tak dużych, że wyliczenie ich jest niewykonalne. Metoda polega na sprowadzeniu do wspólnej podstawy albo wspólnego wykładnika.

Dla 230\textcolor{#16A06A}{2}^{30} i 320\textcolor{#16A06A}{3}^{20} wspólnej podstawy nie ma, ale wykładniki mają wspólny dzielnik 1010. Zapisujemy 230=(23)10=810\textcolor{#16A06A}{2}^{30} = (\textcolor{#16A06A}{2}^{\textcolor{#E0453A}{3}})^{\textcolor{#2F80D8}{10}} = \textcolor{#16A06A}{8}^{\textcolor{#2F80D8}{10}} oraz 320=(32)10=910\textcolor{#16A06A}{3}^{20} = (\textcolor{#16A06A}{3}^{\textcolor{#E0453A}{2}})^{\textcolor{#2F80D8}{10}} = \textcolor{#16A06A}{9}^{\textcolor{#2F80D8}{10}}. Wykładnik 10\textcolor{#2F80D8}{10} jest teraz w obu ten sam, więc rozstrzygają zielone podstawy: skoro 8<98 < 9, to 230<3202^{30} < 3^{20}.

Reguła ogólna: przy równych wykładnikach dodatnich (i dodatnich podstawach) większa jest ta potęga, która ma większą podstawę. Przy równych podstawach (większych od jedynki) — ta o większym wykładniku.

Potęgi liczb ujemnych

Znak wyniku zależy wyłącznie od tego, czy wykładnik jest parzysty. Przy parzystym minusy skracają się w pary i wynik jest dodatni; przy nieparzystym jeden minus zostaje i wynik jest ujemny.

Krytyczne jest miejsce nawiasu — i tu kolor rozstrzyga spór od jednego spojrzenia, bo na zielono stoi zawsze to, co jest podnoszone do potęgi. W (−2)4(\textcolor{#16A06A}{-2})^{\textcolor{#E0453A}{4}} zielona jest cała liczba −2-2, więc wynik to 1616. W −24-\textcolor{#16A06A}{2}^{\textcolor{#E0453A}{4}} zielona jest sama dwójka, a minus stoi poza potęgą, więc wynik to −16-16. Potęgowanie wiąże mocniej niż znak minus.

W zadaniach egzaminacyjnych ta różnica bywa całą treścią zadania — odpowiedzi 1616 i −16-16 stoją wtedy obok siebie na liście.

Czego wzory NIE obejmują

Nie ma wzoru na dodawanie potęg. Wyrażenia 23+252^3 + 2^5 nie da się zapisać jako pojedynczej potęgi dwójki — trzeba je po prostu policzyć: 8+32=408 + 32 = 40.

Nie ma też wzoru na potęgę sumy. (a+b)2(a+b)^2 nie równa się a2+b2a^2 + b^2; to typowa pułapka, która wraca też w wyrażeniach algebraicznych.

Dodawanie potęg upraszcza się w dwóch sytuacjach: gdy da się wyłączyć wspólny czynnik (23+25=23(1+22)=5⋅23)(2^3 + 2^{5} = 2^3(1 + 2^2) = 5 \cdot 2^3) i gdy składniki są identyczne: 23+23=2⋅23=242^3 + 2^3 = 2 \cdot 2^3 = 2^4. Ale to już mnożenie, nie dodawanie wykładników.

Przykłady krok po kroku

Cztery zadania krok po kroku: podstawowe działania, sprowadzanie do wspólnej podstawy, porównywanie i potęga liczby ujemnej.

Przykład 11 Mnożenie i dzielenie potęg

Zapisz w postaci jednej potęgi: 32⋅3734\dfrac{\textcolor{#16A06A}{3}^{\textcolor{#E0453A}{2}} \cdot \textcolor{#16A06A}{3}^{\textcolor{#2F80D8}{7}}}{\textcolor{#16A06A}{3}^{\textcolor{#8B5CF6}{4}}}.

  1. Podstawa jest wszędzie ta sama (zielona trójka), więc działam wyłącznie na wykładnikach.
  2. W liczniku mnożę potęgi o tej samej podstawie, więc dodaję wykładniki: 32⋅37=32+7=39\textcolor{#16A06A}{3}^{\textcolor{#E0453A}{2}} \cdot \textcolor{#16A06A}{3}^{\textcolor{#2F80D8}{7}} = \textcolor{#16A06A}{3}^{\textcolor{#E0453A}{2}+\textcolor{#2F80D8}{7}} = \textcolor{#16A06A}{3}^{9}.
  3. Teraz dzielenie — wykładniki odejmuję: 39:34=39−4=35\textcolor{#16A06A}{3}^{9} : \textcolor{#16A06A}{3}^{\textcolor{#8B5CF6}{4}} = \textcolor{#16A06A}{3}^{9-\textcolor{#8B5CF6}{4}} = \textcolor{#16A06A}{3}^{5}.
  4. Wynik: 353^5, czyli 243243.
  5. Kontrola mnożeniem (35⋅34=39)(3^{5} \cdot 3^{4} = 3^{9}): licznik to 393^9, mianownik 343^4, więc wynik pomnożony przez 343^4 musi dać 393^9 ✓

Odpowiedź: 32⋅3734=35=243\dfrac{3^2 \cdot 3^7}{3^4} = 3^5 = 243.

Przykład 22 Sprowadzanie do wspólnej podstawy

Zapisz w postaci potęgi liczby 22: 84:43\textcolor{#16A06A}{8}^{\textcolor{#2F80D8}{4}} : \textcolor{#16A06A}{4}^{\textcolor{#2F80D8}{3}}.

  1. Podstawy 8\textcolor{#16A06A}{8} i 4\textcolor{#16A06A}{4} są różne, ale obie są potęgami dwójki: 8=23\textcolor{#16A06A}{8} = \textcolor{#16A06A}{2}^{\textcolor{#E0453A}{3}}, 4=22\textcolor{#16A06A}{4} = \textcolor{#16A06A}{2}^{\textcolor{#E0453A}{2}}.
  2. Zamieniam: 84=(23)4\textcolor{#16A06A}{8}^{\textcolor{#2F80D8}{4}} = (\textcolor{#16A06A}{2}^{\textcolor{#E0453A}{3}})^{\textcolor{#2F80D8}{4}}. Przy potędze potęgi wykładniki mnożę: 23⋅4=212\textcolor{#16A06A}{2}^{\textcolor{#E0453A}{3} \cdot \textcolor{#2F80D8}{4}} = \textcolor{#16A06A}{2}^{12}.
  3. Tak samo drugie: 43=(22)3=26\textcolor{#16A06A}{4}^{\textcolor{#2F80D8}{3}} = (\textcolor{#16A06A}{2}^{\textcolor{#E0453A}{2}})^{\textcolor{#2F80D8}{3}} = \textcolor{#16A06A}{2}^{6}.
  4. Teraz podstawa jest wszędzie zielona i ta sama, więc dzielenie to odejmowanie wykładników: 212:26=26\textcolor{#16A06A}{2}^{12} : \textcolor{#16A06A}{2}^{6} = \textcolor{#16A06A}{2}^{6}.
  5. Kontrola: 26=642^6 = 64, a bezpośrednio 84:43=4096:64=648^4 : 4^3 = 4096 : 64 = 64 ✓

Odpowiedź: 84:43=26=648^4 : 4^3 = 2^6 = 64.

Przykład 33 Porównywanie potęg

Która liczba jest większa: 2302^{30} czy 3203^{20}?

  1. Wyliczenie obu jest niewykonalne, więc sprowadzam je do wspólnego wykładnika.
  2. Wykładniki 3030 i 2020 mają wspólny dzielnik 1010. Zapisuję 230=(23)10=810\textcolor{#16A06A}{2}^{30} = (\textcolor{#16A06A}{2}^{\textcolor{#E0453A}{3}})^{\textcolor{#2F80D8}{10}} = \textcolor{#16A06A}{8}^{\textcolor{#2F80D8}{10}}.
  3. Tak samo drugą: 320=(32)10=910\textcolor{#16A06A}{3}^{20} = (\textcolor{#16A06A}{3}^{\textcolor{#E0453A}{2}})^{\textcolor{#2F80D8}{10}} = \textcolor{#16A06A}{9}^{\textcolor{#2F80D8}{10}}.
  4. Niebieski wykładnik jest już w obu ten sam, więc decyduje zielona podstawa: 8<98 < 9, więc 810<910\textcolor{#16A06A}{8}^{\textcolor{#2F80D8}{10}} < \textcolor{#16A06A}{9}^{\textcolor{#2F80D8}{10}}.
  5. Zatem 230<3202^{30} < 3^{20}.

Odpowiedź: Większa jest liczba 3203^{20}.

Przykład 44 Potęga liczby ujemnej

Oblicz (−2)4(\textcolor{#16A06A}{-2})^{\textcolor{#E0453A}{4}} oraz −24-\textcolor{#16A06A}{2}^{\textcolor{#E0453A}{4}}. Czy to ta sama liczba?

  1. (−2)4(\textcolor{#16A06A}{-2})^{\textcolor{#E0453A}{4}} — nawias oznacza, że do potęgi podnosimy całą liczbę −2-2, dlatego na zielono jest tu minus razem z dwójką.
  2. Wykładnik jest parzysty, więc minusy skracają się w pary: (−2)4=16(\textcolor{#16A06A}{-2})^{\textcolor{#E0453A}{4}} = 16.
  3. −24-\textcolor{#16A06A}{2}^{\textcolor{#E0453A}{4}} — tu nawiasu nie ma, więc na zielono jest sama dwójka: potęgowanie dotyczy tylko jej, a minus zostaje z przodu.
  4. Liczę: 24=16\textcolor{#16A06A}{2}^{\textcolor{#E0453A}{4}} = 16, więc −24=−16-\textcolor{#16A06A}{2}^{\textcolor{#E0453A}{4}} = -16.
  5. To dwie różne liczby. Kontrola: przy nieparzystym wykładniku byłoby inaczej — (−2)3=−8(-2)^3 = -8 i −23=−8-2^3 = -8 dają ten sam wynik.

Odpowiedź: (−2)4=16(-2)^4 = 16, a −24=−16-2^4 = -16 — to różne liczby.

Najczęstsze błędy

Cztery błędy, które w tym dziale wracają najczęściej. Pierwszy odpowiada za większość utraconych punktów.

Mnożenie wykładników zamiast dodawania

Skąd się bierze: Skoro w wyrażeniu jest znak mnożenia, wykładniki też „chce się” pomnożyć. Z 25⋅232^5 \cdot 2^3 powstaje wtedy 2152^{15} zamiast 282^8 — a obie wartości zwykle stoją wśród odpowiedzi.

Jak zrobić dobrze: Rozpisz krótki przypadek: 22⋅23=4⋅8=32=252^2 \cdot 2^3 = 4 \cdot 8 = 32 = 2^5. Widać, że wykładniki się dodały. Mnożenie wykładników pojawia się tylko przy potędze potęgi, czyli gdy potęga stoi w nawiasie, a za nawiasem jest drugi wykładnik.

Pominięcie ukrytej jedynki w wykładniku

Skąd się bierze: W wyrażeniu 3⋅343 \cdot 3^4 pierwsza trójka wygląda jak zwykła liczba, więc bywa pomijana przy dodawaniu wykładników. Wynik wychodzi wtedy 343^4 zamiast 353^5.

Jak zrobić dobrze: Zapisz każdą samotną liczbę jako potęgę z jedynką: 3=313 = 3^1. Wtedy 31⋅34=353^1 \cdot 3^4 = 3^5 i nic nie umyka.

Mylenie (−2)4(-2)^4 z −24-2^4

Skąd się bierze: Oba zapisy różnią się tylko nawiasem, a wyglądają prawie tak samo. Potęgowanie wiąże jednak mocniej niż minus, więc bez nawiasu do potęgi idzie sama dwójka.

Jak zrobić dobrze: Przeczytaj zapis na głos: „(minus dwa) do czwartej” kontra „minus (dwa do czwartej)”. Jeśli w zadaniu jest nawias — podnosisz liczbę ujemną i przy parzystym wykładniku wynik jest dodatni.

Dodawanie potęg tak, jakby istniał na to wzór

Skąd się bierze: Cztery wzory dotyczą mnożenia, dzielenia i potęgowania — dla dodawania żadnego nie ma. Mimo to 23+252^3 + 2^5 bywa zapisywane jako 282^8, przez analogię do mnożenia.

Jak zrobić dobrze: Przy dodawaniu po prostu policz obie potęgi i dodaj wyniki: 8+32=408 + 32 = 40. Wyjątki to wyłączenie wspólnego czynnika (23+25=23(1+22)=5⋅23)(2^3 + 2^{5} = 2^3(1 + 2^2) = 5 \cdot 2^3) i identyczne składniki: 23+23=2⋅23=242^3 + 2^3 = 2 \cdot 2^3 = 2^4.

Zadania z egzaminu ósmoklasisty — potęgi

Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminu ósmoklasisty (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem. W zestawie jest 6 zadań z arkuszy egzaminu gimnazjalnego (do 2019 roku) — dokładamy je jako dodatkowe ćwiczenie tych samych umiejętności. Zakres gimnazjum był miejscami szerszy niż wymagania dla klas 7–8, dlatego każde takie zadanie jest podpisane osobno.

W rozwiązaniach malujemy zawsze tak samo: podstawę na zielono, a wykładniki na czerwono i na niebiesko (gdy w rachunku pojawia się trzeci — na fioletowo). Dzięki temu od razu widać, czy działanie dotyczy podstawy, czy wykładników — a to właśnie tu rozstrzyga się, czy wykładniki się dodają, czy mnożą. Sam wynik, gdy jest już policzony, zostaje czarny.

Sprawdź się bez zaglądania do odpowiedzi. Wylosuję 10 zadań zamkniętych z tego zestawu — klucz i rozwiązania schowam do czasu sprawdzenia. Pula liczy 17 zadań, więc za każdym razem dostaniesz inny zestaw.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (maj 2026)1 pktłatwe

Wartość wyrażenia 25⋅3⋅34⋅232^5 \cdot 3 \cdot 3^4 \cdot 2^3 jest równa wartości wyrażenia:
  • A. 28⋅352^8 \cdot 3^5
  • B. 48⋅954^8 \cdot 9^5
  • C. 215⋅342^{15} \cdot 3^4
  • D. 415⋅944^{15} \cdot 9^4
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

  1. Grupujemy potęgi o tej samej podstawie: dwójki z dwójkami, trójki z trójkami.
  2. Dwójki: 25⋅23=25+3=28\textcolor{#16A06A}{2}^{\textcolor{#E0453A}{5}} \cdot \textcolor{#16A06A}{2}^{\textcolor{#2F80D8}{3}} = \textcolor{#16A06A}{2}^{\textcolor{#E0453A}{5}+\textcolor{#2F80D8}{3}} = 2^{8} — przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie dodajemy wykładniki.
  3. Trójki: pamiętamy, że 3=313 = \textcolor{#16A06A}{3}^{\textcolor{#E0453A}{1}}, więc 31⋅34=35\textcolor{#16A06A}{3}^{\textcolor{#E0453A}{1}} \cdot \textcolor{#16A06A}{3}^{\textcolor{#2F80D8}{4}} = 3^{5}.
  4. Razem otrzymujemy 28⋅352^{8} \cdot 3^{5}.

💡 Wskazówka: Samotna liczba bez wykładnika to zawsze potęga pierwsza: 3=313 = 3^1.

⚠ Częsty błąd: pomnożenie wykładników zamiast dodania — wyszłoby 2152^{15}, czyli odpowiedź C.

Zadanie 2 (styczeń 2026)1 pktłatwe

Wartość wyrażenia 43−82:244^3 - 8^2 : 2^4 jest równa:
  • A. 00
  • B. 1010
  • C. 5656
  • D. 6060
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

  1. Najpierw potęgi: 43=644^3 = 64, 82=648^2 = 64, 24=162^4 = 16.
  2. Potem dzielenie (przed odejmowaniem): 64:16=464 : 16 = 4.
  3. Na końcu odejmowanie: 64−4=6064 - 4 = 60.

💡 Wskazówka: Kolejność działań: najpierw potęgi, potem mnożenie i dzielenie, na końcu dodawanie i odejmowanie.

⚠ Częsty błąd: odjęcie 64−6464-64 na starcie i podzielenie wyniku przez 1616 — wyszłoby 00 (odpowiedź A).

Zadanie 3 (czerwiec 2025)1 pktśrednie

Oceń prawdziwość podanych zdań.
Iloraz 94:329^4 : 3^2 jest równy 323^2.PF
Liczba 383^8 jest trzy razy większa od iloczynu 35⋅323^5 \cdot 3^2.PF
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: F, P

  1. Zdanie 11: sprowadzamy do wspólnej podstawy — 9=329 = \textcolor{#16A06A}{3}^{2}, więc 94=(32)4=389^4 = (\textcolor{#16A06A}{3}^{2})^{4} = \textcolor{#16A06A}{3}^{8}.
  2. Zatem 94:32=38:32=38−2=369^4 : 3^2 = \textcolor{#16A06A}{3}^{\textcolor{#E0453A}{8}} : \textcolor{#16A06A}{3}^{\textcolor{#2F80D8}{2}} = \textcolor{#16A06A}{3}^{\textcolor{#E0453A}{8}-\textcolor{#2F80D8}{2}} = 3^{6}, a nie 323^2 — zdanie fałszywe.
  3. Zdanie 22: 35⋅32=37\textcolor{#16A06A}{3}^{\textcolor{#E0453A}{5}} \cdot \textcolor{#16A06A}{3}^{\textcolor{#2F80D8}{2}} = 3^{7}. Sprawdzamy: 3⋅37=383 \cdot 3^{7} = 3^{8} ✓ — zdanie prawdziwe.

💡 Wskazówka: Gdy podstawy są różne (99 i 33), najpierw sprowadź je do wspólnej: 9=329 = 3^2.

⚠ Częsty błąd w zdaniu 11: potraktowanie 94:329^4:3^2 jak (9:3)4−2(9:3)^{4-2} — tak nie wolno, bo wykładniki są różne.

Zadanie 4 (maj 2025)1 pktśrednie

Wartość wyrażenia 86:438^6 : 4^3 zapisana w postaci potęgi liczby 22 jest równa:
  • A. 222^2
  • B. 232^3
  • C. 242^4
  • D. 2122^{12}
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

  1. Zapisujemy wszystko jako potęgi dwójki: 8=238 = \textcolor{#16A06A}{2}^{3} oraz 4=224 = \textcolor{#16A06A}{2}^{2}.
  2. 86=(23)6=2188^6 = (\textcolor{#16A06A}{2}^{3})^{6} = \textcolor{#16A06A}{2}^{\textcolor{#E0453A}{18}} — przy potędze potęgi mnożymy wykładniki.
  3. 43=(22)3=264^3 = (\textcolor{#16A06A}{2}^{2})^{3} = \textcolor{#16A06A}{2}^{\textcolor{#2F80D8}{6}}.
  4. Dzielimy: 218:26=218−6=212\textcolor{#16A06A}{2}^{\textcolor{#E0453A}{18}} : \textcolor{#16A06A}{2}^{\textcolor{#2F80D8}{6}} = \textcolor{#16A06A}{2}^{\textcolor{#E0453A}{18}-\textcolor{#2F80D8}{6}} = 2^{12}.

💡 Wskazówka: Zamiana na wspólną podstawę to najpewniejsza droga — wtedy działasz tylko na wykładnikach.

⚠ Częsty błąd: odjęcie wykładników bez zamiany podstaw (6−3=36-3=3) — wyszłoby 232^3, odpowiedź B.

Zadanie 5 (grudzień 2024)1 pktśrednie

Oceń prawdziwość podanych zdań.
Wartość wyrażenia 52⋅53⋅555^2 \cdot 5^3 \cdot 5^5 jest równa (55)2(5^5)^2.PF
Wyrażenia 23⋅336\dfrac{2^3 \cdot 3^3}{6} oraz (125:25)2\left(\dfrac{12}{5} : \dfrac{2}{5}\right)^2 mają taką samą wartość.PF
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P, P

  1. Zdanie 11: 52⋅53⋅55=52+3+5=510\textcolor{#16A06A}{5}^{\textcolor{#E0453A}{2}} \cdot \textcolor{#16A06A}{5}^{\textcolor{#2F80D8}{3}} \cdot \textcolor{#16A06A}{5}^{\textcolor{#8B5CF6}{5}} = \textcolor{#16A06A}{5}^{\textcolor{#E0453A}{2}+\textcolor{#2F80D8}{3}+\textcolor{#8B5CF6}{5}} = 5^{10}, a (55)2=55⋅2=510(\textcolor{#16A06A}{5}^{\textcolor{#E0453A}{5}})^{\textcolor{#2F80D8}{2}} = \textcolor{#16A06A}{5}^{\textcolor{#E0453A}{5} \cdot \textcolor{#2F80D8}{2}} = 5^{10} — równe, prawda.
  2. Zdanie 22, lewa strona: 23⋅33=8⋅27=2162^3 \cdot 3^3 = 8 \cdot 27 = 216, więc 2166=36\dfrac{216}{6} = 36.
  3. Prawa strona: 125:25=125⋅52=6\dfrac{12}{5} : \dfrac{2}{5} = \dfrac{12}{5} \cdot \dfrac{5}{2} = 6, a 62=366^2 = 36.
  4. Obie strony dają 3636 — prawda.

💡 Wskazówka: Dzielenie ułamków = mnożenie przez odwrotność drugiego ułamka.

⚠ Częsty błąd: mylenie 52⋅53⋅555^2 \cdot 5^3 \cdot 5^5 (dodajemy wykładniki) z (55)2(5^5)^2 (mnożymy) — tu akurat wychodzi to samo, ale to przypadek.

Zadanie 6 (czerwiec 2024)1 pkttrudniejsze

Oceń prawdziwość podanych zdań.
(15)8>(15)6\left(\dfrac{1}{5}\right)^8 > \left(\dfrac{1}{5}\right)^6PF
22⋅(12)2=(−2)3⋅(−12)32^2 \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = (-2)^3 \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right)^3PF
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: F, P

  1. Zdanie 11: gdy podstawa jest dodatnia i mniejsza od 1\boldsymbol{1}, im większy wykładnik, tym mniejszy wynik.
  2. (15)8=1390625\left(\tfrac{1}{5}\right)^8 = \tfrac{1}{390625}, a (15)6=115625\left(\tfrac{1}{5}\right)^6 = \tfrac{1}{15625} — czyli lewa jest mniejsza. Zdanie fałszywe.
  3. Zdanie 22, lewa strona: 22⋅(12)2=4⋅14=12^2 \cdot \left(\tfrac{1}{2}\right)^2 = 4 \cdot \tfrac{1}{4} = 1.
  4. Prawa strona: (−2)3⋅(−12)3=(−8)⋅(−18)=1(-2)^3 \cdot \left(-\tfrac{1}{2}\right)^3 = (-8) \cdot \left(-\tfrac{1}{8}\right) = 1. Równe — prawda.

💡 Wskazówka: Dla ułamka z przedziału (0, 1)(0,\ 1) podnoszenie do potęgi o wykładniku naturalnym większym od 11 zmniejsza liczbę — odwrotnie niż dla liczb większych od 11.

⚠ Częsty błąd: automatyczne założenie „większy wykładnik = większa liczba”. To prawda tylko dla podstaw większych od 11.

Zadanie 7 (maj 2024)1 pktśrednie

Oceń prawdziwość podanych zdań.
Iloczyn 3⋅953 \cdot 9^5 jest równy wartości wyrażenia 3113^{11}.PF
Wyrażenie 28⋅27210\dfrac{2^8 \cdot 2^7}{2^{10}} można zapisać w postaci 252^5.PF
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P, P

  1. Zdanie 11: 9=329 = \textcolor{#16A06A}{3}^{2}, więc 95=(32)5=3109^5 = (\textcolor{#16A06A}{3}^{2})^{5} = \textcolor{#16A06A}{3}^{10}.
  2. Zatem 3⋅95=31⋅310=3113 \cdot 9^5 = \textcolor{#16A06A}{3}^{\textcolor{#E0453A}{1}} \cdot \textcolor{#16A06A}{3}^{\textcolor{#2F80D8}{10}} = 3^{11} — prawda.
  3. Zdanie 22: licznik 28⋅27=215\textcolor{#16A06A}{2}^{\textcolor{#E0453A}{8}} \cdot \textcolor{#16A06A}{2}^{\textcolor{#2F80D8}{7}} = \textcolor{#16A06A}{2}^{15}.
  4. Dzielimy: 215:210=215−10=25\textcolor{#16A06A}{2}^{\textcolor{#E0453A}{15}} : \textcolor{#16A06A}{2}^{\textcolor{#2F80D8}{10}} = \textcolor{#16A06A}{2}^{\textcolor{#E0453A}{15}-\textcolor{#2F80D8}{10}} = 2^{5} — prawda.

💡 Wskazówka: Najpierw uprość licznik, potem odejmij wykładnik mianownika.

⚠ Częsty błąd w zdaniu 11: policzenie 959^5 jako 353^5 (zamiana podstawy bez podniesienia wykładnika).

Zadanie 8 (czerwiec 2023)1 pktśrednie

Oceń prawdziwość podanych zdań.
Wartość wyrażenia (44)3(4^4)^3 jest równa 474^7.PF
Wartości wyrażeń 53⋅1035^3 \cdot 10^3 oraz 56⋅235^6 \cdot 2^3 są równe.PF
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: F, P

  1. Zdanie 11: przy potędze potęgi mnożymy wykładniki: (44)3=44⋅3=412(\textcolor{#16A06A}{4}^{\textcolor{#E0453A}{4}})^{\textcolor{#2F80D8}{3}} = \textcolor{#16A06A}{4}^{\textcolor{#E0453A}{4} \cdot \textcolor{#2F80D8}{3}} = 4^{12}, a nie 474^7 — fałsz.
  2. Zdanie 22: rozkładamy 10=2⋅510 = 2 \cdot 5, więc 103=23⋅5310^3 = 2^3 \cdot 5^3.
  3. Lewa strona: 53⋅23⋅53=56⋅23\textcolor{#16A06A}{5}^{3} \cdot 2^3 \cdot \textcolor{#16A06A}{5}^{3} = \textcolor{#16A06A}{5}^{6} \cdot 2^3 — dokładnie prawa strona. Prawda.

💡 Wskazówka: Nawias z potęgą na zewnątrz → mnożysz wykładniki. Zwykły iloczyn → dodajesz.

⚠ Częsty błąd: dodanie wykładników w (44)3(4^4)^3 (4+3=74+3=7) — stąd kusząca odpowiedź „prawda”.

Zadanie 9 (maj 2023)1 pktśrednie

Uzupełnij zdania. Wybierz odpowiedź spośród A i B oraz spośród C i D.
Iloraz 10858\dfrac{10^8}{5^8} jest równy AB.
  • A. 585^8
  • B. 282^8
Iloczyn 26⋅2532^6 \cdot 25^3 jest równy CD.
  • C. 50950^9
  • D. 10610^6
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B, D

  1. Pierwsze: wykładniki są takie same, więc dzielimy podstawy: 10858=(105)8=28\dfrac{\textcolor{#16A06A}{10}^{\textcolor{#E0453A}{8}}}{\textcolor{#16A06A}{5}^{\textcolor{#E0453A}{8}}} = \left(\dfrac{\textcolor{#16A06A}{10}}{\textcolor{#16A06A}{5}}\right)^{\textcolor{#E0453A}{8}} = 2^{8}.
  2. Drugie: 25=5225 = \textcolor{#16A06A}{5}^{2}, więc 253=(52)3=5625^3 = (\textcolor{#16A06A}{5}^{2})^{3} = \textcolor{#16A06A}{5}^{6}.
  3. Mamy 26⋅56\textcolor{#16A06A}{2}^{\textcolor{#E0453A}{6}} \cdot \textcolor{#16A06A}{5}^{\textcolor{#E0453A}{6}} — te same wykładniki, więc mnożymy podstawy: (2⋅5)6=106(\textcolor{#16A06A}{2} \cdot \textcolor{#16A06A}{5})^{\textcolor{#E0453A}{6}} = 10^{6}.

💡 Wskazówka: Gdy wykładniki są równe, działasz na podstawach: an⋅bn=(ab)na^n \cdot b^n = (ab)^n oraz anbn=(ab)n\dfrac{a^n}{b^n} = \left(\dfrac{a}{b}\right)^n.

⚠ Częsty błąd w drugim: pomnożenie podstaw (2⋅25=50)(2 \cdot 25 = 50) i jednoczesne dodanie wykładników (6+3=9)(6 + 3 = 9) — wyszłoby 50950^9 (odpowiedź C).

Zadanie 10 (czerwiec 2022)1 pktłatwe

Liczba 35⋅963^5 \cdot 9^6 jest równa:
  • A. 273027^{30}
  • B. 271127^{11}
  • C. 3173^{17}
  • D. 3133^{13}
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

  1. Sprowadzamy do wspólnej podstawy: 9=329 = \textcolor{#16A06A}{3}^{2}, więc 96=(32)6=3129^6 = (\textcolor{#16A06A}{3}^{2})^{6} = \textcolor{#16A06A}{3}^{12}.
  2. Mnożymy potęgi o tej samej podstawie: 35⋅312=35+12=317\textcolor{#16A06A}{3}^{\textcolor{#E0453A}{5}} \cdot \textcolor{#16A06A}{3}^{\textcolor{#2F80D8}{12}} = \textcolor{#16A06A}{3}^{\textcolor{#E0453A}{5}+\textcolor{#2F80D8}{12}} = 3^{17}.

💡 Wskazówka: Gdy widzisz 99, 2727, 8181 — to potęgi trójki. Zamień je i działaj na jednej podstawie.

⚠ Częsty błąd: 96=369^6 = 3^6 (zapomnienie o podniesieniu wykładnika) — wyszłoby 3113^{11}.

Zadanie 11 (maj 2022)1 pkttrudniejsze

Dane są trzy liczby: x=1030⋅107010x = \dfrac{10^{30} \cdot 10^{70}}{10}, y=(103)15⋅1060y = (10^3)^{15} \cdot 10^{60}, z=1050⋅10801020z = 10^{50} \cdot \dfrac{10^{80}}{10^{20}}. Która z tych liczb jest mniejsza od liczby 1010010^{100}?
  • A. Tylko xx.
  • B. Tylko yy.
  • C. Tylko zz.
  • D. Każda z liczb xx, yy, zz.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

  1. x=1030⋅107010=10100101=1099x = \dfrac{10^{30} \cdot 10^{70}}{10} = \dfrac{10^{100}}{10^1} = 10^{99} — mniejsza od 1010010^{100}.
  2. y=(103)15⋅1060=1045⋅1060=10105y = (10^3)^{15} \cdot 10^{60} = 10^{45} \cdot 10^{60} = 10^{105} — większa.
  3. z=1050⋅10801020=1050⋅1060=10110z = 10^{50} \cdot \dfrac{10^{80}}{10^{20}} = 10^{50} \cdot 10^{60} = 10^{110} — większa.
  4. Tylko xx spełnia warunek.

💡 Wskazówka: Sprowadź każdą liczbę do jednej potęgi dziesiątki i porównaj same wykładniki.

⚠ Częsty błąd: pominięcie dzielenia przez 1010 w xx i uznanie, że x=10100x = 10^{100} (a wtedy nie jest mniejsza).

Zadanie 12 (czerwiec 2021)1 pktśrednie

Uzupełnij zdania.
Wartość wyrażenia 27636\dfrac{27^6}{3^6} jest równa AB.
  • A. 323^2
  • B. 3123^{12}
Wartość wyrażenia 25854\dfrac{25^8}{5^4} jest równa CD.
  • C. 545^4
  • D. 5125^{12}
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B, D

  1. Pierwsze: 27=3327 = \textcolor{#16A06A}{3}^{3}, więc 276=(33)6=31827^6 = (\textcolor{#16A06A}{3}^{3})^{6} = \textcolor{#16A06A}{3}^{\textcolor{#E0453A}{18}}. Dalej 318:36=312\textcolor{#16A06A}{3}^{\textcolor{#E0453A}{18}} : \textcolor{#16A06A}{3}^{\textcolor{#2F80D8}{6}} = 3^{12}.
  2. Drugie: 25=5225 = \textcolor{#16A06A}{5}^{2}, więc 258=(52)8=51625^8 = (\textcolor{#16A06A}{5}^{2})^{8} = \textcolor{#16A06A}{5}^{\textcolor{#E0453A}{16}}. Dalej 516:54=512\textcolor{#16A06A}{5}^{\textcolor{#E0453A}{16}} : \textcolor{#16A06A}{5}^{\textcolor{#2F80D8}{4}} = 5^{12}.

💡 Wskazówka: Można też skorzystać z tego, że wykładniki są równe w pierwszym: (273)6=96=312\left(\tfrac{27}{3}\right)^6 = 9^6 = 3^{12}.

⚠ Częsty błąd: samo odjęcie wykładników bez zamiany podstawy (6−6=06-6=0, 8−4=48-4=4).

Zadanie 13 (maj 2021)1 pktśrednie

Z reguł działań na potęgach wynika, że (200 000)3=(2⋅105)3=23⋅1015(200\,000)^3 = (2 \cdot 10^5)^3 = 2^3 \cdot 10^{15}. Z tych samych reguł wynika, że liczba (60 000 000)3(60\,000\,000)^3 jest równa:
  • A. 63⋅10216^3 \cdot 10^{21}
  • B. 6⋅10216 \cdot 10^{21}
  • C. 63⋅10106^3 \cdot 10^{10}
  • D. 6⋅10106 \cdot 10^{10}
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

  1. Zapisujemy liczbę w notacji wykładniczej: 60 000 000=6⋅10760\,000\,000 = \textcolor{#16A06A}{6} \cdot \textcolor{#16A06A}{10}^{7} (siedem zer).
  2. Podnosimy do sześcianu — potęgujemy oba czynniki: (6⋅107)3=63⋅(107)3(\textcolor{#16A06A}{6} \cdot \textcolor{#16A06A}{10}^{7})^{\textcolor{#E0453A}{3}} = \textcolor{#16A06A}{6}^{\textcolor{#E0453A}{3}} \cdot (\textcolor{#16A06A}{10}^{7})^{\textcolor{#E0453A}{3}}.
  3. (107)3=1021(\textcolor{#16A06A}{10}^{7})^{\textcolor{#E0453A}{3}} = \textcolor{#16A06A}{10}^{21}, więc wynik to 63⋅10216^{3} \cdot 10^{21}.

💡 Wskazówka: Potęga iloczynu: (ab)n=anbn(ab)^n = a^n b^n — potęgujemy oba czynniki.

⚠ Częsty błąd: spotęgowanie tylko dziesiątki i zostawienie samotnej szóstki — stąd odpowiedź B.

Zadanie 14 (marzec 2021)1 pkttrudniejsze

Wartość wyrażenia 6824\dfrac{6^8}{2^4} jest równa:
  • A. 323^2
  • B. 343^4
  • C. 22⋅382^2 \cdot 3^8
  • D. 24⋅382^4 \cdot 3^8
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

  1. Rozkładamy podstawę: 6=2⋅36 = \textcolor{#16A06A}{2} \cdot \textcolor{#16A06A}{3}, więc 68=(2⋅3)8=28⋅386^8 = (\textcolor{#16A06A}{2} \cdot \textcolor{#16A06A}{3})^{\textcolor{#E0453A}{8}} = \textcolor{#16A06A}{2}^{\textcolor{#E0453A}{8}} \cdot \textcolor{#16A06A}{3}^{\textcolor{#E0453A}{8}}.
  2. Dzielimy: 28⋅3824=28−4⋅38=24⋅38\dfrac{\textcolor{#16A06A}{2}^{\textcolor{#E0453A}{8}} \cdot \textcolor{#16A06A}{3}^{\textcolor{#E0453A}{8}}}{\textcolor{#16A06A}{2}^{\textcolor{#2F80D8}{4}}} = \textcolor{#16A06A}{2}^{\textcolor{#E0453A}{8}-\textcolor{#2F80D8}{4}} \cdot \textcolor{#16A06A}{3}^{\textcolor{#E0453A}{8}} = 2^{4} \cdot 3^{8}.

💡 Wskazówka: Gdy podstawy nie są takie same, rozłóż je na czynniki pierwsze — wtedy widać, co się skraca.

⚠ Częsty błąd: potraktowanie tego jak (62)8−4=34\left(\tfrac{6}{2}\right)^{8-4} = 3^4 — tak wolno tylko przy równych wykładnikach.

Zadanie 15 (czerwiec 2020)1 pktśrednie

Uzupełnij zdania.
Wartość wyrażenia (−2)4:(−2)3(-2)^4 : (-2)^3 jest równa AB.
  • A. −2-2
  • B. 22
Wartość wyrażenia (−2)2⋅(−2)3(-2)^2 \cdot (-2)^3 jest równa CD.
  • C. (−4)5(-4)^5
  • D. (−2)5(-2)^5
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A, D

  1. Pierwsze: podstawy takie same, więc odejmujemy wykładniki: (−2)4:(−2)3=(−2)4−3=(−2)1=−2\textcolor{#16A06A}{(-2)}^{\textcolor{#E0453A}{4}} : \textcolor{#16A06A}{(-2)}^{\textcolor{#2F80D8}{3}} = \textcolor{#16A06A}{(-2)}^{\textcolor{#E0453A}{4}-\textcolor{#2F80D8}{3}} = (-2)^{1} = -2.
  2. Drugie: podstawy takie same, więc dodajemy wykładniki: (−2)2⋅(−2)3=(−2)2+3=(−2)5\textcolor{#16A06A}{(-2)}^{\textcolor{#E0453A}{2}} \cdot \textcolor{#16A06A}{(-2)}^{\textcolor{#2F80D8}{3}} = \textcolor{#16A06A}{(-2)}^{\textcolor{#E0453A}{2}+\textcolor{#2F80D8}{3}} = (-2)^{5}.
  3. Sprawdzenie: (−2)5=−32(-2)^5 = -32, a 4⋅(−8)=−324 \cdot (-8) = -32 ✓.

💡 Wskazówka: Podstawa (−2)(-2) zostaje bez zmian — zmieniają się tylko wykładniki.

⚠ Częsty błąd w drugim: dodanie podstaw razem z wykładnikami ((−2)+(−2)=−4(-2) + (-2) = -4) i otrzymanie (−4)5(-4)^5 — odpowiedź C.

Zadanie 16 (kwiecień 2020)1 pkttrudniejsze

Która z podanych liczb nie jest równa 3153^{15}?
  • A. 3⋅3143 \cdot 3^{14}
  • B. 39⋅363^9 \cdot 3^6
  • C. 317:93^{17} : 9
  • D. (35)3(3^5)^3
  • E. 915:39^{15} : 3
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: E

  1. A: 31⋅314=315\textcolor{#16A06A}{3}^{\textcolor{#E0453A}{1}} \cdot \textcolor{#16A06A}{3}^{\textcolor{#2F80D8}{14}} = 3^{15} ✓
  2. B: 39⋅36=315\textcolor{#16A06A}{3}^{\textcolor{#E0453A}{9}} \cdot \textcolor{#16A06A}{3}^{\textcolor{#2F80D8}{6}} = 3^{15} ✓
  3. C: 9=329 = \textcolor{#16A06A}{3}^{2}, więc 317:32=315\textcolor{#16A06A}{3}^{\textcolor{#E0453A}{17}} : \textcolor{#16A06A}{3}^{\textcolor{#2F80D8}{2}} = 3^{15} ✓
  4. D: (35)3=35⋅3=315(\textcolor{#16A06A}{3}^{\textcolor{#E0453A}{5}})^{\textcolor{#2F80D8}{3}} = \textcolor{#16A06A}{3}^{\textcolor{#E0453A}{5} \cdot \textcolor{#2F80D8}{3}} = 3^{15} ✓
  5. E: 915=(32)15=3309^{15} = (\textcolor{#16A06A}{3}^{2})^{15} = \textcolor{#16A06A}{3}^{\textcolor{#E0453A}{30}}, więc 330:31=329≠315\textcolor{#16A06A}{3}^{\textcolor{#E0453A}{30}} : \textcolor{#16A06A}{3}^{\textcolor{#2F80D8}{1}} = 3^{29} \neq 3^{15} — to ta liczba.

💡 Wskazówka: W zadaniach „która NIE jest równa” sprawdzaj po kolei i zaznacz pierwszą, która odstaje.

⚠ Częsty błąd: uznanie 9159^{15} za 3153^{15} — a to 3303^{30}, czyli liczba ogromnie większa.

Zadanie 17 (marzec 2020)1 pkttrudniejsze

Marta przygotowała dwa żetony takie, że suma liczb zapisanych na obu stronach każdego żetonu jest równa zero. Na widocznych stronach zapisano −52-5^2 oraz (−2)3(-2)^3. Jakie liczby znajdują się na niewidocznych stronach tych żetonów?
  • A. −25-25 i −8-8
  • B. −25-25 i 88
  • C. 2525 i −8-8
  • D. 2525 i 88
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

  1. Żeton 11: −52-5^2 oznacza −(52)=−25-(5^2) = -25 (minus nie jest podnoszony do kwadratu, bo nie ma nawiasu).
  2. Aby suma dała zero, po drugiej stronie musi być liczba przeciwna: 2525.
  3. Żeton 22: (−2)3=−8(-2)^3 = -8 (nawias — minus też jest potęgowany, a trzecia potęga zachowuje znak minus).
  4. Liczba przeciwna do −8-8 to 88. Zatem: 2525 i 88.

💡 Wskazówka: −52=−25-5^2 = -25, ale (−5)2=25(-5)^2 = 25. Nawias zmienia wszystko!

⚠ Najczęstszy błąd: policzenie −52-5^2 jako 2525 (potraktowanie minusa jak części podstawy).

Zadanie 18 (kwiecień 2019)1 pkttrudniejsze

Dane są trzy wyrażenia: I. 52⋅108⋅545^2 \cdot 10^8 \cdot 5^4, II. (510:52)⋅108(5^{10} : 5^2) \cdot 10^8, III. 28⋅58⋅582^8 \cdot 5^8 \cdot 5^8. Które z tych wyrażeń są równe 50850^8?
  • A. Tylko I i II.
  • B. Tylko II i III.
  • C. Tylko II.
  • D. Tylko III.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

  1. Najpierw rozkładamy cel: 50=2⋅5250 = 2 \cdot 5^2, więc 508=28⋅51650^8 = 2^8 \cdot 5^{16}.
  2. I: 52⋅108⋅54=56⋅(28⋅58)=28⋅5145^2 \cdot 10^8 \cdot 5^4 = 5^6 \cdot (2^8 \cdot 5^8) = 2^8 \cdot 5^{14} — nie pasuje.
  3. II: (510:52)⋅108=58⋅28⋅58=28⋅516(5^{10} : 5^2) \cdot 10^8 = 5^8 \cdot 2^8 \cdot 5^8 = 2^8 \cdot 5^{16} ✓
  4. III: 28⋅58⋅58=28⋅5162^8 \cdot 5^8 \cdot 5^8 = 2^8 \cdot 5^{16} ✓
  5. Pasują II i III.

💡 Wskazówka: Rozłóż wszystko na potęgi dwójki i piątki — wtedy porównanie jest mechaniczne.

⚠ Częsty błąd: zapomnienie, że 108=28⋅5810^8 = 2^8 \cdot 5^8 (a nie samo 10810^8 jako osobna podstawa).

Zadanie 19 (grudzień 2017)1 pkttrudniejsze

Kwadrat 3×33 \times 3 wypełniamy tak, aby iloczyny liczb w każdym wierszu, każdej kolumnie i na obu przekątnych były takie same. Dane: pierwszy wiersz 56, 5, 585^6,\ 5,\ 5^8; drugi wiersz zaczyna się od 575^7, środek to 555^5; trzeci wiersz zaczyna się od 525^2. Oceń prawdziwość zdań.
Kwadrat 3 × 3 o równych iloczynach w wierszach, kolumnach i na przekątnych56558575552
Iloczyn liczb na przekątnej kwadratu jest równy 5155^{15}.PF
W zacieniowane pole (środek dolnego wiersza) należy wpisać liczbę 595^9.PF
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P, P

  1. Z pierwszego wiersza wyliczamy stałą: 56⋅51⋅58=56+1+8=515\textcolor{#16A06A}{5}^{\textcolor{#E0453A}{6}} \cdot \textcolor{#16A06A}{5}^{\textcolor{#2F80D8}{1}} \cdot \textcolor{#16A06A}{5}^{\textcolor{#8B5CF6}{8}} = \textcolor{#16A06A}{5}^{\textcolor{#E0453A}{6}+\textcolor{#2F80D8}{1}+\textcolor{#8B5CF6}{8}} = 5^{15}.
  2. Skoro każdy wiersz, kolumna i przekątna dają ten sam iloczyn, to jest on równy 5155^{15} — pierwsze zdanie prawdziwe.
  3. Sprawdzamy środkową kolumnę: 51⋅55⋅x=515\textcolor{#16A06A}{5}^{\textcolor{#E0453A}{1}} \cdot \textcolor{#16A06A}{5}^{\textcolor{#2F80D8}{5}} \cdot x = 5^{15}.
  4. Zatem 51+5⋅x=515\textcolor{#16A06A}{5}^{\textcolor{#E0453A}{1}+\textcolor{#2F80D8}{5}} \cdot x = 5^{15}, czyli x=515−6=59x = \textcolor{#16A06A}{5}^{15-6} = 5^{9} — drugie zdanie prawdziwe.

💡 Wskazówka: W kwadracie magicznym „na potęgach” wystarczy dodawać i odejmować wykładniki — to zwykły kwadrat magiczny na wykładnikach.

⚠ Częsty błąd: zapomnienie, że samo 55 to 515^1 przy sumowaniu wykładników.

Zadanie 20 (kwiecień 2016, egzamin gimnazjalny)1 pkttrudniejsze

Dane są liczby: I. 254125^{41}, II. 12541125^{41}, III. 28622^{862}, IV. 54315^{431}. Która z tych liczb jest największa?
  • A. I
  • B. II
  • C. III
  • D. IV
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

  1. Sprowadzamy do potęg piątki: 2541=(52)41=58225^{41} = (\textcolor{#16A06A}{5}^{2})^{41} = \textcolor{#16A06A}{5}^{82}, 12541=(53)41=5123125^{41} = (\textcolor{#16A06A}{5}^{3})^{41} = \textcolor{#16A06A}{5}^{123}.
  2. Wśród potęg piątki największa jest IV: 5431\textcolor{#16A06A}{5}^{431} (bo 431>123>82431 > 123 > 82).
  3. Zostaje porównać 5431\textcolor{#16A06A}{5}^{\textcolor{#E0453A}{431}} z 28622^{862}. Zauważmy, że 862=2⋅431862 = 2 \cdot 431, więc 2862=(22)431=44312^{862} = (2^2)^{431} = \textcolor{#16A06A}{4}^{\textcolor{#E0453A}{431}}.
  4. Porównujemy 5431\textcolor{#16A06A}{5}^{\textcolor{#E0453A}{431}} i 4431\textcolor{#16A06A}{4}^{\textcolor{#E0453A}{431}} — ten sam wykładnik, więc decyduje podstawa: 5>4\textcolor{#16A06A}{5} > \textcolor{#16A06A}{4}.
  5. Największa jest liczba IV.

💡 Wskazówka: Gdy wykładniki są równe, wystarczy porównać podstawy — dlatego warto „wyrównać” wykładniki.

⚠ Częsty błąd: wybranie III, bo wykładnik 862862 wygląda najgroźniej — a liczy się też podstawa.

Zadanie 21 (kwiecień 2014, egzamin gimnazjalny)1 pktłatwe

Dane są liczby: 3, 34, 3123,\ 3^4,\ 3^{12}. Iloczyn tych liczb jest równy:
  • A. 3163^{16}
  • B. 3173^{17}
  • C. 3483^{48}
  • D. 3493^{49}
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

  1. Zapisujemy pierwszą liczbę jako potęgę: 3=313 = \textcolor{#16A06A}{3}^{\textcolor{#E0453A}{1}}.
  2. Mnożymy potęgi o tej samej podstawie, dodając wykładniki: 31+4+12=317\textcolor{#16A06A}{3}^{\textcolor{#E0453A}{1}+\textcolor{#2F80D8}{4}+\textcolor{#8B5CF6}{12}} = 3^{17}.

💡 Wskazówka: Trzy czynniki — dodajesz trzy wykładniki, nic więcej.

⚠ Częsty błąd: pomnożenie wykładników (1⋅4⋅12=481 \cdot 4 \cdot 12 = 48) — stąd odpowiedź C.

Zadanie 22 (kwiecień 2013, egzamin gimnazjalny)1 pktśrednie

Dane są liczby: a=(−2)12a = (-2)^{12}, b=(−2)11b = (-2)^{11}, c=210c = 2^{10}. Liczby te uporządkowane od najmniejszej do największej to:
  • A. c, b, ac,\ b,\ a
  • B. a, b, ca,\ b,\ c
  • C. c, a, bc,\ a,\ b
  • D. b, c, ab,\ c,\ a
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

  1. Ustalamy znaki: wykładnik parzysty daje wynik dodatni, nieparzysty — ujemny.
  2. a=(−2)12=212a = (-2)^{12} = 2^{12} (dodatnia), b=(−2)11=−211b = (-2)^{11} = -2^{11} (ujemna), c=210c = 2^{10} (dodatnia).
  3. Najmniejsza jest bb — jako jedyna ujemna.
  4. Pozostałe: 210<2122^{10} < 2^{12}, czyli c<ac < a.
  5. Kolejność: b, c, ab,\ c,\ a.

💡 Wskazówka: Najpierw ustal znaki — liczba ujemna zawsze przegrywa z dodatnimi, niezależnie od wielkości wykładnika.

⚠ Częsty błąd: porównywanie samych wykładników (10<11<12)(10 < 11 < 12) bez sprawdzenia znaku — wyszłaby kolejność c, b, a (odpowiedź A).

Zadanie 23 (listopad 2012, egzamin gimnazjalny)1 pktśrednie

Wyrażenie 33⋅34(33)4\dfrac{3^3 \cdot 3^4}{(3^3)^4} ma wartość:
  • A. 3−53^{-5}
  • B. 303^0
  • C. 353^5
  • D. 3−13^{-1}
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

  1. Licznik: 33⋅34=33+4=37\textcolor{#16A06A}{3}^{\textcolor{#E0453A}{3}} \cdot \textcolor{#16A06A}{3}^{\textcolor{#2F80D8}{4}} = \textcolor{#16A06A}{3}^{\textcolor{#E0453A}{3}+\textcolor{#2F80D8}{4}} = \textcolor{#16A06A}{3}^{7} (dodajemy wykładniki).
  2. Mianownik: (33)4=33⋅4=312(\textcolor{#16A06A}{3}^{\textcolor{#E0453A}{3}})^{\textcolor{#2F80D8}{4}} = \textcolor{#16A06A}{3}^{\textcolor{#E0453A}{3} \cdot \textcolor{#2F80D8}{4}} = \textcolor{#16A06A}{3}^{12} (mnożymy wykładniki).
  3. Dzielimy: 37:312=37−12=3−5\textcolor{#16A06A}{3}^{\textcolor{#E0453A}{7}} : \textcolor{#16A06A}{3}^{\textcolor{#2F80D8}{12}} = \textcolor{#16A06A}{3}^{\textcolor{#E0453A}{7}-\textcolor{#2F80D8}{12}} = 3^{-5}.

💡 Wskazówka: Gdy wykładnik licznika jest mniejszy, wynik ma wykładnik ujemny — to normalne, nie błąd.

⚠ Częsty błąd: potraktowanie mianownika jako 373^7 (dodanie zamiast pomnożenia) — wynik wyszedłby 303^0.

Zadanie 24 (kwiecień 2012, egzamin gimnazjalny)1 pkttrudniejsze

Liczba 32+32+3233\dfrac{3^2 + 3^2 + 3^2}{3^3} jest równa:
  • A. 303^0
  • B. 313^1
  • C. 323^2
  • D. 333^3
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

  1. Uwaga: w liczniku jest dodawanie, a nie mnożenie — nie wolno dodawać wykładników.
  2. Mamy trzy takie same składniki: 32+32+32=3⋅32=31⋅32=333^2 + 3^2 + 3^2 = 3 \cdot 3^2 = \textcolor{#16A06A}{3}^{\textcolor{#E0453A}{1}} \cdot \textcolor{#16A06A}{3}^{\textcolor{#2F80D8}{2}} = \textcolor{#16A06A}{3}^{3}.
  3. Zatem 3333=30=1\dfrac{\textcolor{#16A06A}{3}^{3}}{\textcolor{#16A06A}{3}^{3}} = 3^{0} = 1.

💡 Wskazówka: Suma trzech jednakowych składników to ten składnik razy 33 — i dopiero wtedy działamy na potęgach.

⚠ Najczęstszy błąd: potraktowanie licznika jak iloczynu i policzenie 363^6.

Zadanie 25 (grudzień 2011, egzamin gimnazjalny)1 pkttrudniejsze

W tabeli zapisano cztery liczby: I. (0,2)10(0{,}2)^{10}, II. (2,5)−5(2{,}5)^{-5}, III. (25)2⋅(25)3\left(\dfrac{2}{5}\right)^2 \cdot \left(\dfrac{2}{5}\right)^3, IV. 25⋅5−12^5 \cdot 5^{-1}. Liczba (0,4)5(0{,}4)^5 jest równa liczbom:
  • A. I i II
  • B. I i III
  • C. II i IV
  • D. II i III
  • E. III i IV
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

  1. Zamieniamy cel na ułamek: 0,4=250{,}4 = \dfrac{2}{5}, więc (0,4)5=(25)5(0{,}4)^5 = \left(\dfrac{2}{5}\right)^5.
  2. I: (0,2)10=(15)10(0{,}2)^{10} = \left(\tfrac{1}{5}\right)^{10} — nie pasuje.
  3. II: (2,5)−5=(52)−5=(25)5(2{,}5)^{-5} = \left(\tfrac{5}{2}\right)^{-5} = \left(\tfrac{2}{5}\right)^{5} ✓ (ujemny wykładnik odwraca ułamek).
  4. III: (25)2⋅(25)3=(25)5\left(\tfrac{2}{5}\right)^2 \cdot \left(\tfrac{2}{5}\right)^3 = \left(\tfrac{2}{5}\right)^5 ✓
  5. IV: 25⋅5−1=3252^5 \cdot 5^{-1} = \dfrac{32}{5} — nie pasuje.
  6. Pasują II i III.

💡 Wskazówka: Ujemny wykładnik = odwrotność: (ab)−n=(ba)n\left(\tfrac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\tfrac{b}{a}\right)^{n}.

⚠ Częsty błąd: uznanie (0,2)10(0{,}2)^{10} za równe (0,4)5(0{,}4)^5 — bo „podwojenie podstawy i połowa wykładnika”. Tak to nie działa.

Zadanie 26 (materiały CKE)1 pktśrednie

Najmniejszą liczbą całkowitą większą od liczby (−123)2\left(-1\tfrac{2}{3}\right)^2 jest:
  • A. −2-2
  • B. −1-1
  • C. 11
  • D. 22
  • E. 33
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: E

  1. Zamieniamy liczbę mieszaną na ułamek niewłaściwy: −123=−53-1\tfrac{2}{3} = -\dfrac{5}{3}.
  2. Podnosimy do kwadratu (kwadrat liczby ujemnej jest dodatni): (−53)2=259\left(-\dfrac{5}{3}\right)^2 = \dfrac{25}{9}.
  3. 259=279≈2,78\dfrac{25}{9} = 2\tfrac{7}{9} \approx 2{,}78.
  4. Najmniejsza liczba całkowita większa od 2,782{,}78 to 33.

💡 Wskazówka: Kwadrat liczby nigdy nie jest ujemny — odpowiedzi ujemne można od razu odrzucić.

⚠ Częsty błąd: podniesienie do kwadratu tylko części ułamkowej albo wybranie 22 (liczby mniejszej od wyniku).

Zadanie 27 (materiały CKE)1 pkttrudniejsze

Oceń prawdziwość podanych zdań.
Wartość wyrażenia 12⋅71312 \cdot 7^{13} jest większa od wartości wyrażenia 13⋅71213 \cdot 7^{12}.PF
Liczba 3503^{50} jest większa od liczby 6256^{25}.PF
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P, P

  1. Zdanie 11: zapisujemy 12⋅713=12⋅71⋅712=84⋅71212 \cdot 7^{13} = 12 \cdot \textcolor{#16A06A}{7}^{\textcolor{#E0453A}{1}} \cdot \textcolor{#16A06A}{7}^{\textcolor{#2F80D8}{12}} = 84 \cdot \textcolor{#16A06A}{7}^{12}.
  2. Porównujemy 84⋅71284 \cdot \textcolor{#16A06A}{7}^{12} z 13⋅71213 \cdot \textcolor{#16A06A}{7}^{12} — ten sam czynnik, więc decyduje 84>1384 > 13. Prawda.
  3. Zdanie 22: wyrównujemy wykładniki. 350=(32)25=9253^{50} = (\textcolor{#16A06A}{3}^{2})^{25} = \textcolor{#16A06A}{9}^{\textcolor{#E0453A}{25}}.
  4. Porównujemy 925\textcolor{#16A06A}{9}^{\textcolor{#E0453A}{25}} z 625\textcolor{#16A06A}{6}^{\textcolor{#E0453A}{25}} — ten sam wykładnik, więc decyduje podstawa: 9>6\textcolor{#16A06A}{9} > \textcolor{#16A06A}{6}. Prawda.

💡 Wskazówka: Sztuczka na porównywanie potęg: wyrównaj albo podstawy, albo wykładniki — wtedy porównanie jest oczywiste.

⚠ Częsty błąd w zdaniu 22: porównanie „na oko” 33 z 66 i uznanie, że 6256^{25} musi być większe.

Zadania otwarte

Zadanie 28 (materiały CKE)2 pkttrudniejsze

Oblicz wartość wyrażenia 366275⋅85\dfrac{36^6}{27^5 \cdot 8^5}
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 1216\dfrac{1}{216}

  1. Zauważamy, że mianownik ma ten sam wykładnik przy obu czynnikach: 275⋅85=(27⋅8)5=216527^5 \cdot 8^5 = (27 \cdot 8)^{\textcolor{#E0453A}{5}} = 216^{\textcolor{#E0453A}{5}}.
  2. A 216=63216 = \textcolor{#16A06A}{6}^{3}, więc 2165=(63)5=615216^5 = (\textcolor{#16A06A}{6}^{3})^{5} = \textcolor{#16A06A}{6}^{\textcolor{#2F80D8}{15}}.
  3. Licznik: 36=6236 = \textcolor{#16A06A}{6}^{2}, więc 366=(62)6=61236^6 = (\textcolor{#16A06A}{6}^{2})^{6} = \textcolor{#16A06A}{6}^{\textcolor{#E0453A}{12}}.
  4. Dzielimy: 612615=612−15=6−3=1216\dfrac{\textcolor{#16A06A}{6}^{\textcolor{#E0453A}{12}}}{\textcolor{#16A06A}{6}^{\textcolor{#2F80D8}{15}}} = \textcolor{#16A06A}{6}^{\textcolor{#E0453A}{12}-\textcolor{#2F80D8}{15}} = 6^{-3} = \dfrac{1}{216}.

💡 Wskazówka: Kluczowy ruch: sprowadzenie wszystkiego do potęg szóstki (36=6236 = 6^2, 216=63216 = 6^3).

⚠ Częsty błąd: liczenie ogromnych liczb „na piechotę” zamiast rozkładu na czynniki.

Zadanie 29 (materiały CKE)3 pkttrudniejsze

Blaszkę o powierzchni S=0,001 m2S = 0{,}001\ \mathrm{m}^2 pokryto warstwą złota o grubości y=0,000001 my = 0{,}000001\ \mathrm{m}. Gęstość złota wynosi d=19 300 kg/m3d = 19\,300\ \mathrm{kg/m^3}, a gęstość wyraża się wzorem d=mVd = \dfrac{m}{V}. Oblicz masę złotej powłoki. Wynik zapisz w notacji wykładniczej a⋅10ka \cdot 10^k, gdzie 1≤a<101 \le a < 10.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 1,93⋅10−5 kg1{,}93 \cdot 10^{-5}\ \mathrm{kg}

  1. Objętość warstwy to pole razy grubość: V=S⋅yV = S \cdot y.
  2. Zapisujemy dane w notacji wykładniczej: S=10−3 m2S = \textcolor{#16A06A}{10}^{\textcolor{#E0453A}{-3}}\ \mathrm{m^2}, y=10−6 my = \textcolor{#16A06A}{10}^{\textcolor{#2F80D8}{-6}}\ \mathrm{m}.
  3. V=10−3⋅10−6=10−3+(−6)=10−9 m3V = \textcolor{#16A06A}{10}^{\textcolor{#E0453A}{-3}} \cdot \textcolor{#16A06A}{10}^{\textcolor{#2F80D8}{-6}} = \textcolor{#16A06A}{10}^{\textcolor{#E0453A}{-3}+(\textcolor{#2F80D8}{-6})} = 10^{-9}\ \mathrm{m^3}.
  4. Ze wzoru d=mVd = \dfrac{m}{V} wyznaczamy masę: m=d⋅Vm = d \cdot V.
  5. m=19 300⋅10−9=1,93⋅104⋅10−9=1,93⋅10−5 kgm = 19\,300 \cdot 10^{-9} = 1{,}93 \cdot \textcolor{#16A06A}{10}^{\textcolor{#E0453A}{4}} \cdot \textcolor{#16A06A}{10}^{\textcolor{#2F80D8}{-9}} = 1{,}93 \cdot 10^{-5}\ \mathrm{kg}.

💡 Wskazówka: Zamiana danych na notację wykładniczą na starcie oszczędza liczenia zer.

⚠ Częsty błąd: pomylenie kierunku wzoru i policzenie m=dVm = \dfrac{d}{V} zamiast d⋅Vd \cdot V.

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. A2. D3. F, P4. D5. P, P6. F, P
7. P, P8. F, P9. B, D10. C11. A12. B, D
13. A14. D15. A, D16. E17. D18. B
19. P, P20. D21. B22. D23. A24. A
25. D26. E27. P, P28. 1216\dfrac{1}{216}29. 1,93⋅10−5 kg1{,}93 \cdot 10^{-5}\ \mathrm{kg}

Treści zadań pochodzą z arkuszy egzaminu ósmoklasisty oraz z arkuszy egzaminu gimnazjalnego (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

Pytania i odpowiedzi

Kiedy dodajemy wykładniki, a kiedy mnożymy?

Dodajemy przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie, na przykład przy iloczynie dwóch potęg dwójki. Mnożymy przy potędze potęgi, czyli wtedy, gdy cała potęga stoi w nawiasie i jest podnoszona do kolejnego wykładnika.

Jak sprowadzić 848^4 i 434^3 do wspólnej podstawy?

Zauważ, że obie podstawy są potęgami dwójki: osiem to dwójka do trzeciej, a cztery to dwójka do drugiej. Po podstawieniu i wymnożeniu wykładników otrzymasz dwie potęgi dwójki, na których wzory już działają.

Ile wynosi potęga liczby ujemnej?

Przy wykładniku parzystym wynik jest dodatni, bo minusy skracają się w pary. Przy nieparzystym zostaje jeden minus i wynik jest ujemny. Kluczowy jest nawias — bez niego potęgowana jest sama liczba, a minus zostaje z przodu.

Jak porównać dwie duże potęgi bez liczenia?

Sprowadź je do wspólnej podstawy albo wspólnego wykładnika. Przy równych wykładnikach dodatnich (i dodatnich podstawach) większa jest ta o większej podstawie; przy równych podstawach większych od jedynki — ta o większym wykładniku.

Dlaczego liczba do potęgi zerowej równa się jeden?

Wynika to ze wzoru na dzielenie potęg o tej samej podstawie. Liczba podzielona przez samą siebie daje jeden, a z reguły odejmowania wykładników wychodzi ta sama liczba do potęgi zerowej. Zastrzeżenie: podstawa nie może być zerem.

Czy można dodać dwie potęgi o tej samej podstawie?

Nie ma na to wzoru — trzeba policzyć obie i dodać wyniki albo wyłączyć wspólny czynnik przed nawias. Gdy składniki są identyczne, suma jest równa podwojonej potędze, ale potęgą o wykładniku większym o jeden jest tylko przy podstawie 2: 23+23=242^3 + 2^3 = 2^{4}, a 32+32=183^2 + 3^2 = 18, nie 333^3.

Czytaj dalej

Potęgi — teoriaPodstawa, wykładnik, wykładnik ujemny i notacja wykładnicza od podstawPierwiastki na egzaminieDziałanie odwrotne — te same reguły czytane z drugiej stronyDziałania na ułamkach na egzaminieKolejność działań i potęga jako element wyrażeniaPrzekształcanie wzorów na egzaminieGdy potęga stoi we wzorze, który trzeba przekształcićEgzamin ósmoklasisty z matematykiJak zbudowany jest arkusz i jak się do niego przygotować
Mateusz Będkowski — nauczyciel matematyki, autor serwisu Nie każ mu liczyć

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-09-23. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

Mateusz Będkowski — nauczyciel matematyki, autor serwisu Nie każ mu liczyć

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki i pedagog

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Wszystkie materiały na tej stronie przygotowuję sam. Poznaj moje podejście →

Ostatnia aktualizacja: 2026-08-22