Egzamin ósmoklasisty · matematyka · kwiecień 2019

Zadanie z E8 (kwiecień 2019) – twierdzenie pitagorasa

Czworokąt ABCD zbudowano z dwóch trójkątów prostokątnych: trójkąta ABD z kątem prostym przy A oraz trójkąta BCD z kątem prostym przy B. Dane są długości boków |AB| = |BC| = 1 oraz |AD| = √2. Dokończ zdanie. Długość boku CD jest równa

Zobacz rozwiązanie w obrazku

1pkt · średnie

Zadanie 6 (kwiecień 2019)1 pktśrednie

Czworokąt

ABCD

zbudowano z dwóch trójkątów prostokątnych: trójkąta

ABD

z kątem prostym przy

A

oraz trójkąta

BCD

z kątem prostym przy

B

. Dane są długości boków

|AB| = |BC| = 1

oraz

|AD| = \sqrt{2}

. Dokończ zdanie.
Długość boku

CD

jest równa

A. $\sqrt{3}$
B. $2$
C. $3$
D. $2\sqrt{2}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Do celu prowadzi wspólny bok $BD$ — najpierw go wyznaczamy, potem używamy w drugim trójkącie.
Trójkąt $ABD$ (kąt prosty przy $A$ ): przyprostokątne to $\textcolor{#16A06A}{AB} = \textcolor{#16A06A}{1}$ i $\textcolor{#16A06A}{AD} = \textcolor{#16A06A}{\sqrt2}$ .
$\textcolor{#E0453A}{BD} = \sqrt{\textcolor{#16A06A}{1}^2 + \textcolor{#16A06A}{\sqrt2}^2} = \sqrt{1 + 2} = \textcolor{#E0453A}{\sqrt3}$ .
Trójkąt $BCD$ (kąt prosty przy $B$ ): teraz $\textcolor{#E0453A}{BD}$ staje się przyprostokątną, razem z $\textcolor{#16A06A}{BC} = \textcolor{#16A06A}{1}$ .
$CD = \sqrt{\textcolor{#E0453A}{\sqrt3}^2 + \textcolor{#16A06A}{1}^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt4 = 2$ .
Odpowiedź B.

💡 Wskazówka: Zwróć uwagę na zmianę roli odcinka $BD$ : w pierwszym trójkącie jest przeciwprostokątną, w drugim przyprostokątną. Decyduje o tym, gdzie leży kąt prosty.

⚠ Najczęstszy błąd: $\left(\sqrt2\right)^2 = 2\sqrt2$ albo $4$ . Podnosząc pierwiastek do kwadratu, po prostu zdejmujemy go: $\left(\sqrt2\right)^2 = 2$ .