Strona główna › Egzamin ósmoklasisty › Podział proporcjonalny i stosunki — egzamin ósmoklasisty

Podział proporcjonalny i stosunki — egzamin ósmoklasisty

Siedem z dziewięciu zadań w tym dziale to ten sam schemat: podzielić coś w zadanym stosunku. Cała umiejętność sprowadza się do jednego pytania, które trzeba zadać przed jakimkolwiek rachunkiem — ile w sumie jest części. Dwa z tych siedmiu dokładają pułapkę, przez którą przewraca się najwięcej ósmoklasistów: mylenie stosunku z procentem. Pozostałe dwa zadania nie każą nic dzielić — pytają, co sam stosunek mówi o figurze (rodzaj trójkąta o kątach 2:3:72 : 3 : 7 i trójkąt egipski 3:4:53 : 4 : 5).

Dział: Egzamin ósmoklasistyPoziom: klasa 7–8Zadań: 9 — 6 z egzaminu ósmoklasisty i 3 z egzaminu gimnazjalnego

Przejdź od razu do zadań (9) ↓

Stosunek — co znaczy zapis 5 : 3

Zapis 5:35 : 3 nie mówi nic o wielkościach bezwzględnych. Mówi wyłącznie o proporcji między nimi — że na każde pięć jednostek pierwszej wielkości przypadają trzy jednostki drugiej.

Ta sama proporcja opisuje 5 kg i 3 kg, 50 kg i 30 kg oraz 500 g i 300 g. Stosunek 5:35 : 3 to to samo, co 10:610 : 6 czy 15:915 : 9 — dokładnie tak, jak ułamki 53\tfrac{5}{3} i 106\tfrac{10}{6} są równe.

Stąd wynika, że sam stosunek nigdy nie wystarczy do policzenia konkretnych wartości. Zadanie musi podać jeszcze jedną informację: całość albo jedną z części.

Kolejność w zapisie ma znaczenie. 5:35 : 3 to nie to samo, co 3:53 : 5 — pierwsza liczba odnosi się do tej wielkości, która została wymieniona w treści jako pierwsza.

Ile jest części, a ile wynosi jedna

To jest cała metoda podziału proporcjonalnego i mieści się w trzech krokach.

  1. Dodaj liczby ze stosunku — dostajesz liczbę wszystkich części,
  2. podziel całość przez tę liczbę — dostajesz wartość jednej części,
  3. pomnóż wartość jednej części przez każdą liczbę ze stosunku osobno.

Przy stosunku 5:35 : 3 części jest 5+3=85 + 3 = 8. To najważniejsza liczba w całym zadaniu i jednocześnie ta, o której najłatwiej zapomnieć.

Metoda działa identycznie dla trzech i więcej części. Stosunek 2:3:52 : 3 : 5 daje dziesięć części, więc jedna część to dziesiąta całości.

Wartość jednej części warto zapisać osobno i podkreślić. Wszystkie dalsze rachunki to już tylko mnożenia.

Podział kwoty, długości i masy

Rodzaj dzielonej wielkości nie zmienia metody — złotówki, centymetry i gramy dzieli się tak samo. Zmienia się tylko jednostka przy wyniku.

Jedna rzecz wymaga uwagi: jednostki muszą być zgodne przed podziałem. Jeśli całość podano w metrach, a odpowiedzi mają być w centymetrach, przelicz najpierw całość.

Zadania o mieszaninach (syrop i woda, cement i piasek) to ten sam schemat, tylko całość bywa podana pośrednio — jako suma składników albo jako masa gotowej mieszaniny.

Częsty wariant: zadanie podaje nie całość, lecz jedną z części. Wtedy wartość jednej części wyznacza się dzieleniem tej danej przez odpowiadającą jej liczbę ze stosunku.

Stosunek a procent — dlaczego 5 : 3 to nie 53 %

To najcenniejsza rzecz na tej stronie i jednocześnie najczęstszy błąd. Liczby ze stosunku nie są procentami i nie są nawet ułamkami całości.

Przy stosunku 5:35 : 3 pierwsza wielkość stanowi 58\tfrac{5}{8} całości, czyli 62,5 %62{,}5\,\% — a nie 50 %50\,\% ani 53 %53\,\%. Mianownikiem jest suma części, nie druga liczba ze stosunku.

Dokładnie ten błąd rozstrzyga zadanie o syropie z arkusza z kwietnia 2019. Kto podzielił przez 5 zamiast przez 8, dostał odpowiedź, która w arkuszu figurowała jako dystraktor.

Zamiana stosunku na procent to zawsze dwa kroki: najpierw ułamek części do sumy części, potem ten ułamek na procent. Skrótu tu nie ma.

Sprawdzenie wyniku: czy części sumują się do całości

Podział proporcjonalny ma wbudowaną kontrolę, której nie ma większość działów: wyliczone części muszą dodawać się do całości. Jeśli się nie dodają, gdzieś jest błąd.

Sprawdzenie zajmuje kilka sekund i wyłapuje dwie z trzech typowych pomyłek: złą liczbę części i złą wartość jednej części. Obie zmieniają sumę, więc od razu widać, że coś nie gra.

Trzecia pomyłka — przypisanie części na krzyż — przez tę kontrolę przechodzi, i to jest w niej najbardziej zdradliwe. Przy 240 zł w stosunku 5:35 : 3 zamiana daje 90 zł i 150 zł, a suma nadal wynosi 240 zł. Dlatego potrzebna jest druga kontrola — kierunku: większej liczbie ze stosunku musi odpowiadać większa część. Jeśli wyszło odwrotnie, liczby zostały przypisane na krzyż.

W zadaniach otwartych warto to sprawdzenie zapisać. Pokazuje tok rozumowania i bywa punktowane, podobnie jak w zadaniach tekstowych.

Przykłady krok po kroku

Cztery zadania krok po kroku: podstawowy podział kwoty, podział na trzy części, zamiana stosunku na procent i przypadek, gdy dana jest jedna z części.

Przykład 1 Podział kwoty w stosunku 5 : 3

Kwotę 240 zł podzielono w stosunku 5:35 : 3. Ile wynosi każda z części?

  1. Liczę części: 5+3=85 + 3 = 8.
  2. Wartość jednej części: 240:8=30240 : 8 = 30 zł.
  3. Pierwsza część: 5⋅30=1505 \cdot 30 = 150 zł. Druga: 3⋅30=903 \cdot 30 = 90 zł.
  4. Kontrola sumy: 150+90=240150 + 90 = 240 zł ✓
  5. Kontrola kierunku: większej liczbie ze stosunku (5) odpowiada większa kwota (150 zł) ✓

Odpowiedź: Części wynoszą 150 zł i 90 zł.

Przykład 2 Podział na trzy części

Odcinek długości 60 cm podzielono w stosunku 2:3:52 : 3 : 5. Jak długi jest najdłuższy z powstałych odcinków?

  1. Liczę części: 2+3+5=102 + 3 + 5 = 10.
  2. Jedna część: 60:10=660 : 10 = 6 cm.
  3. Najdłuższy odcinek odpowiada liczbie 5: 5⋅6=305 \cdot 6 = 30 cm.
  4. Pozostałe: 2⋅6=122 \cdot 6 = 12 cm oraz 3⋅6=183 \cdot 6 = 18 cm.
  5. Kontrola: 12+18+30=6012 + 18 + 30 = 60 cm ✓ — i najdłuższy odcinek to dokładnie połowa całości, bo 5 z 10 części.

Odpowiedź: Najdłuższy odcinek ma 30 cm.

Przykład 3 Ze stosunku na procent

Syrop sporządzono z cukru i wody. Stosunek masy cukru do masy wody wynosi 5:35 : 3. Ile procent masy syropu stanowi masa cukru?

  1. Uwaga na role: syropem jest cała mieszanina, a cukier i woda to jego dwie części. Szukamy udziału części w całości.
  2. Liczba wszystkich części: 5+3=85 + 3 = 8. To jest mianownik — nie 5 i nie 3.
  3. Cukier stanowi 58\dfrac{5}{8} masy syropu.
  4. Zamieniam ułamek na procent: 58=0,625=62,5 %\dfrac{5}{8} = 0{,}625 = 62{,}5\,\%.
  5. Kontrola: woda to 38=37,5 %\dfrac{3}{8} = 37{,}5\,\%, a 62,5+37,5=10062{,}5 + 37{,}5 = 100 ✓
  6. Uwaga na pułapkę: w arkuszu z kwietnia 2019 (zadanie 6) wśród odpowiedzi stoi 60 %60\,\%. Ta liczba to 35\tfrac{3}{5} — powstaje, gdy ktoś podzieli jedną część przez drugą zamiast przez sumę części, czyli policzy 3 : 5 zamiast 5 : 8. Dystraktorem jest tam również 37,5 %37{,}5\,\%, czyli poprawny udział wody, i 40 %40\,\%.

Odpowiedź: Cukier stanowi 62,5 %62{,}5\,\% masy syropu.

Przykład 4 Gdy dana jest jedna z części

Dwie osoby podzieliły się nagrodą w stosunku 4:74 : 7. Osoba, która dostała mniej, otrzymała 80 zł. Jaka była cała nagroda?

  1. Mniejszej kwocie odpowiada liczba 4 ze stosunku.
  2. Wartość jednej części: 80:4=2080 : 4 = 20 zł.
  3. Wszystkich części jest 4+7=114 + 7 = 11, więc całość to 11⋅20=22011 \cdot 20 = 220 zł.
  4. Sprawdzenie: druga osoba dostała 7⋅20=1407 \cdot 20 = 140 zł, a 80+140=22080 + 140 = 220 zł ✓
  5. Tu całość była szukana, więc kroki metody wykonuje się w innej kolejności — ale wartość jednej części nadal jest kluczem.

Odpowiedź: Cała nagroda wynosiła 220 zł.

Najczęstsze błędy

Cztery błędy tego działu. Pierwszy odpowiada za większość strat i wraca w każdym roczniku.

Dzielenie całości przez jedną z liczb ze stosunku

Skąd się bierze: Uczeń widzi dwie liczby i dzieli przez pierwszą z nich zamiast przez ich sumę. Wynik bywa wtedy większy od dzielonej całości albo części nie dodają się do niej — a mimo to często zostaje zapisany jako odpowiedź.

Jak zrobić dobrze: Zawsze zacznij od dodania liczb ze stosunku i zapisz sumę osobno. To ona jest dzielnikiem, bo mówi, na ile równych części dzielimy całość.

Traktowanie liczb ze stosunku jak procentów

Skąd się bierze: Zapis pięć do trzech sugeruje jakiś podział procentowy, więc pojawiają się odpowiedzi w rodzaju pięćdziesiąt procent albo pięćdziesiąt trzy procent. Tymczasem pierwsza wielkość stanowi pięć ósmych całości, czyli sześćdziesiąt dwa i pół procenta.

Jak zrobić dobrze: Zamieniaj w dwóch krokach: najpierw ułamek, którego mianownikiem jest suma części, potem ten ułamek na procent. Kontrolą jest to, że oba procenty muszą dać razem sto.

Przypisanie części na krzyż

Skąd się bierze: Kolejność liczb w stosunku odpowiada kolejności wielkości wymienionych w treści. Odwrócenie przypisania daje wynik poprawny rachunkowo, ale przydzielony niewłaściwej osobie czy substancji.

Jak zrobić dobrze: Podpisz liczby ze stosunku nazwami z zadania, zanim zaczniesz liczyć. Kontrola końcowa: większej liczbie musi odpowiadać większa część.

Mieszanie jednostek przed podziałem

Skąd się bierze: Gdy całość podano w metrach, a odpowiedź ma być w centymetrach, przeliczenie robione dopiero na końcu obejmuje czasem tylko jedną z części. Powstaje wynik, w którym części nie sumują się do całości.

Jak zrobić dobrze: Przelicz całość na jednostkę docelową przed podziałem. Wtedy wszystkie części wychodzą od razu w tej samej jednostce i kontrola sumy działa.

Zadania z arkuszy CKE — podział proporcjonalny i stosunki

Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminu ósmoklasisty (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem. W zestawie jest 3 zadania z arkuszy egzaminu gimnazjalnego (do 2019 roku) — dokładamy je jako dodatkowe ćwiczenie tych samych umiejętności. Zakres gimnazjum był miejscami szerszy niż wymagania dla klas 7–8, dlatego każde takie zadanie jest podpisane osobno.

Kolor pokazuje mechanizm, który rozwiązuje niemal każde z tych zadań: zielona to liczba wszystkich części (suma liczb ze stosunku), a czerwona to wartość jednej części. Gdy już znasz jedną część, reszta to zwykłe mnożenie.

Sprawdź się bez zaglądania do odpowiedzi. Dostaniesz wszystkie 7 zadań zamkniętych z tego zestawu — klucz i rozwiązania schowam do czasu sprawdzenia. To komplet zadań zamkniętych z tego działu, więc kolejne podejście będzie powtórką tych samych zadań.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (czerwiec 2023)1 pktłatwe

Stosunek długości trzech boków trójkąta jest równy 2:4:52 : 4 : 5. Obwód tego trójkąta jest równy 33 cm. Dokończ zdanie.
Najkrótszy bok tego trójkąta ma długość
  • A. 2 cm
  • B. 3 cm
  • C. 6 cm
  • D. 11 cm
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

  1. Stosunek 2:4:52 : 4 : 5 czytamy tak: boki składają się z 2, 4 i 5 jednakowych części.
  2. Liczymy, ile jest części łącznie: 2+4+5=112 + 4 + 5 = \textcolor{#16A06A}{11}.
  3. Te 11\textcolor{#16A06A}{11} części to cały obwód, czyli 33 cm. Zatem jedna część ma 33:11=333 : \textcolor{#16A06A}{11} = \textcolor{#E0453A}{3} cm.
  4. Najkrótszy bok to ten o 2 częściach: 2⋅3=62 \cdot \textcolor{#E0453A}{3} = 6 cm.
  5. Odpowiedź C. Sprawdzenie: boki to 6, 12 i 15 cm, a 6+12+15=336 + 12 + 15 = 33 cm ✓

💡 Wskazówka: Schemat na wszystkie zadania ze stosunkiem: dodaj liczby ze stosunku → podziel całość przez tę sumę → pomnóż przez odpowiednią liczbę części.

⚠ Najczęstszy błąd: podanie liczby 2 jako długości boku (kusząca odpowiedź A). Liczba ze stosunku to liczba części, a nie długość w centymetrach.

Zadanie 2 (marzec 2021)1 pktśrednie

W trójkącie stosunek miar kątów jest równy 2:3:72 : 3 : 7. Dokończ zdanie.
Trójkąt o podanych własnościach jest
  • A. rozwartokątny
  • B. prostokątny
  • C. ostrokątny
  • D. równoramienny
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

  1. Kluczowa wiedza: suma kątów w każdym trójkącie wynosi 180°180° — to jest nasza „całość”.
  2. Liczba wszystkich części: 2+3+7=122 + 3 + 7 = \textcolor{#16A06A}{12}.
  3. Jedna część: 180°:12=15°180° : \textcolor{#16A06A}{12} = \textcolor{#E0453A}{15°}.
  4. Liczymy kąty: 2⋅15°=30°2 \cdot \textcolor{#E0453A}{15°} = 30°,   3⋅15°=45°3 \cdot \textcolor{#E0453A}{15°} = 45°,   7⋅15°=105°7 \cdot \textcolor{#E0453A}{15°} = 105°.
  5. Największy kąt ma 105°105°, czyli więcej niż 90°90° — trójkąt jest rozwartokątny.
  6. Odpowiedź A. Sprawdzenie: 30°+45°+105°=180°30° + 45° + 105° = 180° ✓

💡 Wskazówka: Wystarczy sprawdzić największy kąt: jeśli przekracza 90°90° — rozwartokątny, jeśli równy 90°90° — prostokątny, jeśli mniejszy — ostrokątny.

⚠ Odpowiedź D (równoramienny) odpada, bo wszystkie trzy liczby stosunku są różne — czyli wszystkie kąty są różne, a więc i wszystkie boki.

Zadanie 3 (kwiecień 2020)1 pktłatwe

Trzej właściciele firmy — Adam, Janusz i Oskar — kupili samochód dostawczy za kwotę 154 000 zł. Kwoty wpłacone przez Adama, Janusza i Oskara są odpowiednio w stosunku 2:3:62 : 3 : 6. Jaką kwotę wpłacił Janusz?
  • A. 14 00014\,000 zł
  • B. 28 00028\,000 zł
  • C. 42 00042\,000 zł
  • D. 84 00084\,000 zł
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

  1. Liczba wszystkich części: 2+3+6=112 + 3 + 6 = \textcolor{#16A06A}{11}.
  2. Jedna część: 154 000:11=14 000154\,000 : \textcolor{#16A06A}{11} = \textcolor{#E0453A}{14\,000} zł.
  3. Janusz jest w środku stosunku, więc przypada mu 3 części: 3⋅14 000=42 0003 \cdot \textcolor{#E0453A}{14\,000} = 42\,000 zł.
  4. Odpowiedź C.
  5. Sprawdzenie: Adam 2⋅14 000=28 0002 \cdot \textcolor{#E0453A}{14\,000} = 28\,000 zł, Oskar 6⋅14 000=84 0006 \cdot \textcolor{#E0453A}{14\,000} = 84\,000 zł, a 28 000+42 000+84 000=154 00028\,000 + 42\,000 + 84\,000 = 154\,000 zł ✓

💡 Wskazówka: Zwróć uwagę, że wszystkie cztery odpowiedzi to poprawne wpłaty — tylko różnych osób. To typowa konstrukcja: A to jedna część (Adam), C to Janusz, D to Oskar.

⚠ Najczęstszy błąd: pomylenie kolejności i podanie kwoty Adama (28 000 zł) lub Oskara (84 000 zł). Warto podkreślić w treści, o kogo pyta zadanie.

Zadanie 4 (marzec 2020)1 pktśrednie

Trójkąt, w którym długości boków są do siebie w stosunku 3:4:53 : 4 : 5, nazywa się trójkątem egipskim. Z odcinków o jakich długościach nie można zbudować trójkąta egipskiego?
  • A. 6, 8, 106,\ 8,\ 10
  • B. 9, 12, 159,\ 12,\ 15
  • C. 12, 20, 2512,\ 20,\ 25
  • D. 21, 28, 3521,\ 28,\ 35
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

  1. Trójki liczb są w stosunku 3:4:53 : 4 : 5 wtedy, gdy powstają przez pomnożenie 3, 4 i 5 przez tę samą liczbę.
  2. A. 6:8:106 : 8 : 10 — wszystkie podzielone przez 2 dają 3:4:53 : 4 : 5 ✓ (mnożnik 2\textcolor{#E0453A}{2})
  3. B. 9:12:159 : 12 : 15 — dzielimy przez 3: 3:4:53 : 4 : 5 ✓ (mnożnik 3\textcolor{#E0453A}{3})
  4. C. 12:20:2512 : 20 : 25 — sprawdzamy mnożniki po kolei: 12:3=412 : 3 = \textcolor{#E0453A}{4}, ale 20:4=520 : 4 = \textcolor{#E0453A}{5}, a 25:5=525 : 5 = \textcolor{#E0453A}{5}. Mnożniki nie są równe ✗
  5. D. 21:28:3521 : 28 : 35 — dzielimy przez 7: 3:4:53 : 4 : 5 ✓ (mnożnik 7\textcolor{#E0453A}{7})
  6. Odpowiedź C — te odcinki nie tworzą trójkąta egipskiego.
  7. Dla porządku: gdyby zachować proporcję przy pierwszym boku 12, pozostałe musiałyby wynosić 16 i 20.

💡 Wskazówka: Najszybszy test: podziel każdą liczbę przez odpowiadającą jej liczbę ze stosunku. Jeśli za każdym razem wyjdzie ten sam iloraz — proporcja się zgadza.

⚠ Pułapka w odpowiedzi C: dwa ostatnie stosunki (20:420:4 i 25:525:5) dają zgodnie 5, więc przy pobieżnym sprawdzeniu wygląda to poprawnie. Trzeba sprawdzić wszystkie trzy.

Zadanie 5 (kwiecień 2019)1 pktśrednie

Dorota sporządziła z cukru i wody syrop do deseru. Stosunek masy cukru do masy wody w tym syropie jest równy 5:35 : 3. Ile procent masy tego syropu stanowi masa cukru?
  • A. 25%
  • B. 37,5%
  • C. 40%
  • D. 60%
  • E. 62,5%
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: E

  1. Uwaga na pułapkę: stosunek 5:35 : 3 mówi o cukrze względem wody, a pytanie dotyczy cukru względem całego syropu.
  2. Cały syrop to cukier plus woda, czyli 5+3=85 + 3 = \textcolor{#16A06A}{8} części.
  3. Cukier to 5 z tych 8\textcolor{#16A06A}{8} części: 58\dfrac{5}{\textcolor{#16A06A}{8}}.
  4. Zamieniamy na procenty: 58=0,625=62,5%\dfrac{5}{8} = 0{,}625 = 62{,}5\%.
  5. Odpowiedź E. (Dla porządku: woda stanowi 38=37,5%\dfrac{3}{8} = 37{,}5\% — stąd kusząca odpowiedź B.)

💡 Wskazówka: Przy zamianie stosunku na procent zawsze pytaj: co jest całością? Tu całością jest syrop (8 części), a nie sama woda (3 części).

⚠ Dwa typowe błędy: (1) policzenie 53\tfrac53 zamiast 58\tfrac58 — ale to daje ponad 100%, co od razu powinno zapalić lampkę; (2) podanie procentu wody (37,5%) zamiast cukru.

Zadanie 6 (kwiecień 2012, egzamin gimnazjalny)1 pktśrednie

W turnieju szachowym wzięło udział 48 uczniów. Liczby uczestników z klas pierwszych, drugich i trzecich są do siebie w proporcji 3:8:53 : 8 : 5.
Jaki procent uczestników turnieju stanowili drugoklasiści?
  • A. 17%
  • B. 24%
  • C. 33%
  • D. 50%
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

  1. Do policzenia procentu liczba 48 wcale nie jest potrzebna — wystarczy sam stosunek.
  2. Liczba wszystkich części: 3+8+5=163 + 8 + 5 = \textcolor{#16A06A}{16}.
  3. Drugoklasiści to 8 części z 16\textcolor{#16A06A}{16}, czyli 816=12=50%\dfrac{8}{\textcolor{#16A06A}{16}} = \dfrac{1}{2} = 50\%.
  4. Odpowiedź D.
  5. Sprawdzenie „na liczbach”: jedna część to 48:16=348 : \textcolor{#16A06A}{16} = \textcolor{#E0453A}{3} uczniów, więc drugoklasistów jest 8⋅3=248 \cdot \textcolor{#E0453A}{3} = 24 — i rzeczywiście 2448=50%\dfrac{24}{48} = 50\% ✓

💡 Wskazówka: Kiedy pytanie dotyczy procentu, często można pominąć liczbę uczestników i liczyć wprost ze stosunku. Szybciej i mniej okazji do pomyłki.

⚠ Najczęstszy błąd: podanie liczby drugoklasistów (24) jako procentu — stąd kusząca odpowiedź B. To dwie różne wielkości, które przypadkiem obie pojawiają się w zadaniu.

Zadanie 7 (kwiecień 2012, egzamin gimnazjalny)1 pktłatwe

W turnieju szachowym wzięło udział 48 uczniów. Liczby uczestników z klas pierwszych, drugich i trzecich są do siebie w proporcji 3:8:53 : 8 : 5.
Dokończ zdanie tak, aby otrzymać zdanie prawdziwe.
Liczba uczniów klas pierwszych, którzy wzięli udział w turnieju, jest równa
  • A. 8
  • B. 9
  • C. 10
  • D. 11
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

  1. Liczba wszystkich części: 3+8+5=163 + 8 + 5 = \textcolor{#16A06A}{16}.
  2. Jedna część: 48:16=348 : \textcolor{#16A06A}{16} = \textcolor{#E0453A}{3} uczniów.
  3. Pierwszoklasiści to 3 części: 3⋅3=93 \cdot \textcolor{#E0453A}{3} = 9 uczniów.
  4. Odpowiedź B.
  5. Sprawdzenie całości: 9+24+15=489 + 24 + 15 = 48 ✓

💡 Wskazówka: Gdy dwa zadania korzystają z tych samych danych, policz jedną część raz i wykorzystaj ją w obu — tu 3\textcolor{#E0453A}{3} uczniów na część.

⚠ Częsty błąd: podanie liczby 8 (kusząca odpowiedź A) — to liczba części przypadająca drugoklasistom, a nie liczba pierwszoklasistów.

Zadania otwarte

Zadanie 8 (czerwiec 2020)2 pktśrednie

Rada rodziców na nagrody dla dwóch klas ósmych przeznaczyła 1080 zł. W klasie 8a jest 32 uczniów, a w klasie 8b jest 28 uczniów. Pieniądze podzielono proporcjonalnie do liczby uczniów w danej klasie. Oblicz kwotę, jaką każda z klas otrzymała na nagrody. Zapisz obliczenia.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 8a: 576 zł, 8b: 504 zł

  1. Tu „częścią” jest po prostu jeden uczeń — pieniądze dzielimy proporcjonalnie do liczby uczniów.
  2. Wszystkich uczniów: 32+28=6032 + 28 = \textcolor{#16A06A}{60}.
  3. Kwota na jednego ucznia: 1080:60=181080 : \textcolor{#16A06A}{60} = \textcolor{#E0453A}{18} zł.
  4. Klasa 8a: 32⋅18=57632 \cdot \textcolor{#E0453A}{18} = 576 zł.
  5. Klasa 8b: 28⋅18=50428 \cdot \textcolor{#E0453A}{18} = 504 zł.
  6. Odpowiedź: klasa 8a otrzymała 576 zł, a klasa 8b — 504 zł.
  7. Sprawdzenie: 576+504=1080576 + 504 = 1080 zł ✓

💡 Wskazówka: Zawsze na koniec sprawdź, czy obie kwoty sumują się do całości. To najprostsza kontrola poprawności w zadaniach o podziale.

⚠ Najczęstszy błąd: podzielenie 1080 zł na pół (po 540 zł) — ale klasy mają różną liczbę uczniów, więc podział „po równo” nie jest proporcjonalny.

Zadanie 9 (listopad 2012, egzamin gimnazjalny)2 pkttrudniejsze

Na zakup biletów do kina klasa 3a zebrała 360 zł, klasy 3b i 3c po 300 zł, a klasa 3d — 240 zł. Szkole udzielono rabatu i wszystkie bilety kosztowały 1000 zł. Uzyskany rabat podzielono między cztery klasy proporcjonalnie do zebranych kwot. Jaką kwotę zwrócono klasie 3a? Zapisz obliczenia.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 60 zł

  1. Najpierw liczymy, ile klasy zebrały łącznie: 360+300+300+240=1200360 + 300 + 300 + 240 = 1200 zł.
  2. Bilety kosztowały ostatecznie 1000 zł, więc rabat wyniósł 1200−1000=2001200 - 1000 = 200 zł. To właśnie tę kwotę dzielimy.
  3. Teraz „części” to złotówki — dzielimy proporcjonalnie do wpłat. Na każdą zebraną złotówkę przypada rabat 200:1200=16200 : 1200 = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{1}{6}} zł.
  4. Klasa 3a zebrała 360 zł, więc dostaje 360⋅16=60360 \cdot \textcolor{#E0453A}{\dfrac{1}{6}} = 60 zł.
  5. Odpowiedź: klasie 3a zwrócono 60 zł.
  6. Można też przez udział procentowy: 3a wpłaciła 3601200=0,3\dfrac{360}{1200} = \textcolor{#16A06A}{0{,}3} całości, więc dostaje 0,3⋅200=60\textcolor{#16A06A}{0{,}3} \cdot 200 = 60 zł ✓
  7. Kontrola: pozostałe klasy dostają 50 zł, 50 zł i 40 zł, a 60+50+50+40=20060 + 50 + 50 + 40 = 200 zł ✓

💡 Wskazówka: Uważnie czytaj, co się dzieli. Dzielimy tu nie 1200 zł i nie 1000 zł, tylko sam rabat — czyli różnicę 200 zł.

⚠ Najczęstszy błąd: podzielenie rabatu po równo na cztery klasy (po 50 zł). Klasa 3a wpłaciła najwięcej, więc musi dostać więcej niż pozostałe.

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. C2. A3. C4. C5. E6. D
7. B8. 8a: 576 zł, 8b: 504 zł9. 60 zł

Treści zadań pochodzą z arkuszy egzaminu ósmoklasisty oraz z arkuszy egzaminu gimnazjalnego (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów liczę i zapisuję sam — Mateusz Będkowski.

Pytania i odpowiedzi

Co oznacza stosunek pięć do trzech?

Że na każde pięć jednostek pierwszej wielkości przypadają trzy jednostki drugiej. Sam stosunek nie mówi nic o konkretnych wartościach — opisuje tylko proporcję, więc pasuje zarówno do pięciu i trzech kilogramów, jak i do pięciuset i trzystu gramów.

Jak podzielić kwotę w danym stosunku?

Dodaj liczby ze stosunku, żeby wiedzieć, na ile części dzielisz całość. Podziel całość przez tę sumę — dostajesz wartość jednej części. Na koniec pomnóż ją przez każdą liczbę ze stosunku osobno. Sprawdzenie jest wbudowane: wyliczone części muszą dodać się do całości.

Ile procent całości to pięć ze stosunku pięć do trzech?

Sześćdziesiąt dwa i pół procenta, bo pięć ósmych całości. Mianownikiem jest suma części, czyli osiem, a nie druga liczba ze stosunku. To najczęstsza pułapka tego działu i pojawia się w arkuszu z kwietnia dwa tysiące dziewiętnastego.

Jak sprawdzić, czy podział jest poprawny?

Dodaj wyliczone części — muszą dać dokładnie dzieloną całość. Druga kontrola dotyczy kierunku: większej liczbie ze stosunku musi odpowiadać większa część. Te dwa sprawdzenia wyłapują praktycznie wszystkie typowe błędy.

Czym różni się stosunek od proporcji?

Stosunek to porównanie dwóch wielkości, zapisywane z dwukropkiem. Proporcja to równość dwóch stosunków, czyli stwierdzenie, że dwa porównania są sobie równe. Z proporcji wyznacza się nieznaną wielkość, ze stosunku — rozdziela znaną całość.

Co zrobić, gdy zadanie podaje jedną część zamiast całości?

Podziel podaną wartość przez odpowiadającą jej liczbę ze stosunku — wychodzi wartość jednej części. Dalej działa ten sam schemat: całość to wartość jednej części pomnożona przez sumę wszystkich liczb ze stosunku.

Czytaj dalej

Procenty na egzaminieZamiana ułamka na procent i obliczanie procentu z liczbyZadania tekstowe na egzaminieJak wyłuskać z treści całość i szukaną częśćSkala i mapa na egzaminieStosunek w najczystszej postaci — skala to zapis proporcjiEgzamin ósmoklasisty z matematykiJak zbudowany jest arkusz i jak się do niego przygotować
Mateusz Będkowski — nauczyciel matematyki, autor serwisu Nie każ mu liczyć

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-07-30. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa Mateusza Będkowskiego.