Strona główna › Egzamin ósmoklasisty › Zadania tekstowe na egzaminie ósmoklasisty

Zadania tekstowe na egzaminie ósmoklasisty

Q: Jak zamienić treść zadania na równanie?

Znajdź w treści jedno zdanie, które wiąże znane z nieznanym — najczęściej zaczyna się od „razem”, „w sumie” albo „łącznie”. To zdanie jest równaniem zapisanym słowami. Reszta treści opisuje tylko zależności między wielkościami.

Q: Jak sprawdzić, czy wynik jest sensowny?

Podstaw go do treści zadania, nie do swojego równania. Sprawdź też realność: liczba osób i przedmiotów musi być całkowita, wiek dodatni, a cena po obniżce niższa od wyjściowej.

To jest dział, w którym traci się najwięcej punktów — i prawie nigdy nie z powodu rachunków. Uczeń, który umie rozwiązać $4x + 6 = 26$ , potrafi się zaciąć, gdy to samo równanie trzeba najpierw zbudować z tekstu. Ta strona jest o tym przejściu: od zdania do symbolu.

Dział: Egzamin ósmoklasistyPoziom: klasa 7–8Zadań: 34 — 28 z egzaminu ósmoklasisty i 6 z egzaminu gimnazjalnego

Przejdź od razu do zadań (34) ↓

Cztery pytania, które zadaję zawsze

Zanim napiszę pierwszą literę, odpowiadam sobie na cztery pytania. Ten sam zestaw działa na zadanie o wieku, o pieniądzach i o polu działki.

Co wiem? — wypisuję dane liczby razem z tym, czego dotyczą.
Czego szukam? — to jest kandydat na niewiadomą.
Co je łączy? — jedno zdanie z treści, które wiąże znane z nieznanym. To zdanie stanie się równaniem.
Czy wynik ma sens? — sprawdzenie, czy liczba pasuje do sytuacji z zadania.

Trzecie pytanie jest najważniejsze i jednocześnie najczęściej pomijane. W treści prawie zawsze da się wskazać jedno konkretne zdanie, które jest równaniem zapisanym słowami — reszta to opis sytuacji. Warto je podkreślić ołówkiem.

Co oznaczyć jako $x$

Reguła praktyczna: oznaczaj najmniejszą albo najprostszą z porównywanych wielkości. Wtedy pozostałe zapiszesz przez dodawanie i mnożenie, a nie przez ułamki.

Przykład: „ojciec ma trzy razy więcej lat niż syn”. Jeśli $x$ to wiek syna, ojciec ma $3x$ — czysto. Jeśli $x$ to wiek ojca, syn ma $\tfrac{x}{3}$ i rachunek robi się niepotrzebnie ułamkowy.

Drugi nawyk wart wyrobienia: podpisz, co oznacza $x$ , zanim ułożysz równanie. Jedno zdanie — „niech $x$ oznacza liczbę zeszytów”. Na egzaminie to bywa punktowane, a przy dłuższym zadaniu ratuje przed pomyleniem, do czego odnosi się wynik.

Zadania o wieku

Cała mechanika tych zadań opiera się na jednej własności: różnica wieku nigdy się nie zmienia. Jeśli teraz ojciec jest o 28 lat starszy, to był i będzie starszy o 28 lat.

Zmienia się natomiast stosunek wieków — i to on jest zwykle treścią zadania („za ile lat ojciec będzie dwa razy starszy”). Za $n$ lat obaj mają o $n$ lat więcej, więc do obu wyrażeń dopisujemy to samo $n$ .

Najczęstsza pułapka: dopisanie lat tylko jednej osobie. Jeśli syn ma $x$ , a ojciec $3x$ , to za 5 lat mają $x+5$ i $3x+5$ — nie $x+5$ i $3x$ .

Zadania o pieniądzach i zakupach

Tu równanie prawie zawsze wynika z jednego zdania o sumie: „razem zapłacił”, „w sumie kosztowały”. Reszta treści opisuje zależności między cenami.

Warto trzymać się jednej jednostki. Jeśli w treści mieszają się złote i grosze, przelicz wszystko na złote, zanim ułożysz równanie — inaczej równanie będzie poprawne, a wynik sto razy za duży.

Uwaga na sformułowanie „o ile” kontra „ile razy”. „Zeszyt jest o 2 zł droższy” to $d + 2$ . „Zeszyt jest dwa razy droższy” to $2d$ . To dwa różne równania i dwa różne wyniki.

Równania z ułamkami

Gdy w równaniu pojawiają się ułamki, pierwszy ruch jest zawsze ten sam: pomnóż obie strony przez wspólny mianownik. Ułamki znikają i zostaje równanie, które umiesz rozwiązać.

Przy $\dfrac{x}{3} + \dfrac{x}{4} = 14$ wspólnym mianownikiem jest 12. Po pomnożeniu: $4x + 3x = 168$ . Dalej to już zwykłe równanie.

Częsty błąd: pomnożenie tylko tych składników, które mają ułamek. Mnożenie obejmuje każdy wyraz po obu stronach, także liczbę stojącą samodzielnie.

Jak zapisać rozwiązanie na pełne punkty

Dwadzieścia dwa z 34 zadań na tej stronie to zadania otwarte, w których punktuje się nie tylko wynik. Egzaminator ocenia drogę, więc musi ją zobaczyć.

podpisz, co oznacza niewiadoma („niech $x$ oznacza…”),
zapisz równanie — samo w sobie bywa warte punkt,
pokaż przekształcenia, nie tylko wynik,
napisz odpowiedź pełnym zdaniem, z jednostką.

Sam poprawny wynik bez zapisanego równania zwykle nie daje kompletu punktów. Odwrotnie też: poprawne równanie z błędem rachunkowym dalej jest warte część punktów — dlatego zawsze warto je zapisać, nawet gdy nie ma pewności co do dalszych obliczeń.

Sprawdzenie: czy wynik ma sens

Ostatni krok, który zajmuje kilkanaście sekund i wyłapuje większość pomyłek. Podstaw wynik do treści zadania, nie do własnego równania — bo jeśli równanie było źle ułożone, podstawienie do niego niczego nie wykryje.

Sprawdzaj też sensowność: liczba osób ani liczba zeszytów nie może być ułamkiem, wiek nie może być ujemny, a cena po obniżce nie może przewyższać ceny wyjściowej.

Przykłady krok po kroku

Cztery zadania rozpisane tak, jak rozpisuję je uczniowi. Każde reprezentuje inny typ, który wraca w arkuszach: wiek, zakupy, równanie z ułamkami i zadanie z dwiema wielkościami.

Przykład 1 Zadanie o wieku

Ojciec ma trzy razy więcej lat niż syn. Razem mają 48 lat. Ile lat ma każdy z nich?

Oznaczam mniejszą wielkość: niech $x$ oznacza wiek syna. Wtedy ojciec ma $3x$ lat.
Zdanie, które łączy dane: „razem mają 48 lat”. Stąd równanie $x + 3x = 48$ .
Redukuję: $4x = 48$ , czyli $x = 12$ .
Wiek ojca: $3 \cdot 12 = 36$ lat.
Sprawdzenie z treścią: 36 to trzy razy 12 ✓, a $12 + 36 = 48$ ✓

Odpowiedź: Syn ma 12 lat, a ojciec 36 lat.

Przykład 2 Zadanie o zakupach

Ania kupiła trzy zeszyty i jeden długopis, płacąc 26 zł. Zeszyt był o 2 zł droższy od długopisu. Ile kosztował długopis?

Oznaczam tańszy przedmiot: niech $d$ oznacza cenę długopisu. Zeszyt kosztuje wtedy $d + 2$ .
Zdanie łączące: „płacąc 26 zł”. Trzy zeszyty i długopis: $3(d+2) + d = 26$ .
Opuszczam nawias — mnożę oba wyrazy: $3d + 6 + d = 26$ .
Redukuję wyrazy podobne: $4d + 6 = 26$ , więc $4d = 20$ i $d = 5$ .
Sprawdzenie z treścią: zeszyt kosztuje 7 zł, trzy zeszyty to 21 zł, plus długopis 5 zł daje 26 zł ✓

Odpowiedź: Długopis kosztował 5 zł.

Przykład 3 Równanie z ułamkami

Suma jednej trzeciej i jednej czwartej pewnej liczby wynosi 14. Znajdź tę liczbę.

Niech $x$ oznacza szukaną liczbę. Zapisuję: $\dfrac{x}{3} + \dfrac{x}{4} = 14$ .
Wspólny mianownik dla 3 i 4 to 12. Mnożę przez 12 obie strony i każdy wyraz.
$12 \cdot \dfrac{x}{3} = 4x$ , $12 \cdot \dfrac{x}{4} = 3x$ , a $12 \cdot 14 = 168$ .
Zostaje $4x + 3x = 168$ , czyli $7x = 168$ i $x = 24$ .
Sprawdzenie z treścią: $\tfrac{24}{3} = 8$ , $\tfrac{24}{4} = 6$ , a $8 + 6 = 14$ ✓

Odpowiedź: Szukana liczba to 24.

Przykład 4 Zadanie z dwiema wielkościami

W klasie jest 27 uczniów. Dziewcząt jest o 3 więcej niż chłopców. Ilu jest chłopców?

Oznaczam mniejszą grupę: niech $x$ oznacza liczbę chłopców. Dziewcząt jest wtedy $x + 3$ .
Zdanie łączące: „w klasie jest 27 uczniów”, czyli $x + (x + 3) = 27$ .
Redukuję: $2x + 3 = 27$ , więc $2x = 24$ i $x = 12$ .
Dziewcząt: $12 + 3 = 15$ .
Sprawdzenie z treścią: $12 + 15 = 27$ ✓, a 15 to o 3 więcej niż 12 ✓. Obie liczby są całkowite — w zadaniu o uczniach to warunek konieczny.

Odpowiedź: W klasie jest 12 chłopców i 15 dziewcząt.

Najczęstsze błędy

Cztery błędy, przez które traci się punkty w zadaniach tekstowych. Żaden nie dotyczy rachunków — wszystkie powstają na etapie układania równania albo zapisu.

Pomylenie „o ile” z „ile razy”

Skąd się bierze: Oba zwroty opisują porównanie, więc w pośpiechu wyglądają podobnie. „O 3 więcej” to dodawanie, „3 razy więcej” to mnożenie — a równania wychodzą zupełnie różne.

Jak zrobić dobrze: Podkreśl w treści słowo o albo razy, zanim zaczniesz pisać. „O” → $x + 3$ . „Razy” → $3x$ . Przy sprawdzeniu podstaw wynik do zdania z treści, a nie do własnego równania.

Oznaczenie $x$ jako większej wielkości

Skąd się bierze: Uczeń oznacza to, o co pyta zadanie — a pyta zwykle o wielkość większą. Wtedy mniejszą trzeba zapisać ułamkiem i rachunek robi się niepotrzebnie trudny, co zwiększa szansę na pomyłkę.

Jak zrobić dobrze: Oznacz mniejszą wielkość, rozwiąż równanie, a na końcu policz to, o co pytano. Odpowiedź i tak podajesz osobnym zdaniem, więc nic nie tracisz.

Dopisanie lat tylko jednej osobie

Skąd się bierze: W zadaniach o wieku „za 5 lat” dotyczy wszystkich naraz, ale przy zapisie łatwo dodać 5 tylko do tej wielkości, o którą pyta zadanie. Różnica wieku wtedy sztucznie się zmienia, a ona jest stała.

Jak zrobić dobrze: Zapisz oba wieki w jednej linii i dopisz $+5$ do obu jednocześnie: $x+5$ oraz $3x+5$ . Kontrola: różnica przed i po musi być taka sama.

Brak zapisanego równania i odpowiedzi zdaniem

Skąd się bierze: Uczeń liczy w pamięci albo na brudno i wpisuje sam wynik. W zadaniu otwartym punktuje się drogę, więc nawet poprawna liczba nie daje kompletu punktów.

Jak zrobić dobrze: Zapisz cztery rzeczy: co oznacza $x$ , równanie, przekształcenia i odpowiedź pełnym zdaniem z jednostką. Samo równanie bywa warte punkt nawet wtedy, gdy dalszy rachunek się nie uda.

Zadania z arkuszy CKE — zadania tekstowe

Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminu ósmoklasisty (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem. W zestawie jest 6 zadań z arkuszy egzaminu gimnazjalnego (do 2019 roku) — dokładamy je jako dodatkowe ćwiczenie tych samych umiejętności. Zakres gimnazjum był miejscami szerszy niż wymagania dla klas 7–8, dlatego każde takie zadanie jest podpisane osobno.

Kolor pokazuje najważniejszą decyzję w każdym zadaniu tekstowym: zielona to wielkość, którą oznaczamy literą — zawsze ta, do której odnoszą się pozostałe. Czerwona to reszta, zapisana już przez nią. Dobry wybór zielonej rozwiązuje połowę zadania; zły — zamienia je w gąszcz ułamków.

Sprawdź się bez zaglądania do odpowiedzi. Dostaniesz wszystkie 9 zadań zamkniętych z tego zestawu — klucz i rozwiązania schowam do czasu sprawdzenia. To komplet zadań zamkniętych z tego działu, więc kolejne podejście będzie powtórką tych samych zadań.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (styczeń 2026)1 pktśrednie

Uczniowie trzech klas: 8A, 8B i 8C zebrali łącznie 132,9 kg makulatury. Uczniowie klas 8A i 8B zebrali łącznie 90,6 kg, a uczniowie klas 8B i 8C — 86,8 kg. Ile kilogramów makulatury zebrali uczniowie klasy 8B?

A. 43,4
B. 44,3
C. 44,5
D. 47,2

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Sprytny trik: skoro znamy sumę wszystkich trzech klas i sumę dwóch z nich, to odejmowanie od razu daje trzecią.
$8C = 132{,}9 - \textcolor{#E0453A}{90{,}6} = \textcolor{#16A06A}{42{,}3}$ kg (bo 90,6 to razem 8A i 8B).
Teraz z drugiej informacji: $8B = \textcolor{#E0453A}{86{,}8} - \textcolor{#16A06A}{42{,}3} = 44{,}5$ kg.
Odpowiedź C.
Sprawdzenie: $8A = 90{,}6 - 44{,}5 = 46{,}1$ , a $46{,}1 + 44{,}5 + 42{,}3 = 132{,}9$ ✓

💡 Wskazówka: Nie buduj układu trzech równań — wystarczy zauważyć, że „wszystko minus dwie klasy” daje trzecią klasę. Dwa odejmowania i zadanie zrobione.

⚠ Najczęstszy błąd: dodanie $90{,}6 + 86{,}8$ i odjęcie od 132,9. To daje 44,5 — akurat poprawny wynik, ale przez przypadek: klasa 8B jest w tej sumie liczona dwa razy, więc metoda działa tylko tutaj.

Zadanie 2 (czerwiec 2025)1 pktłatwe

Kasia jest 3 razy starsza od Ani. Ola jest o 2 lata starsza od Kasi. Oznaczymy przez

x

wiek Ani. Dokończ zdanie.
Łączny wiek Kasi, Ani i Oli opisuje wyrażenie

A. $3x + 5$
B. $4x + 2$
C. $5x + 2$
D. $7x + 2$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Zapisujemy wiek każdej dziewczyny przez $\textcolor{#16A06A}{x}$ — wiek Ani.
Ania: $\textcolor{#16A06A}{x}$ . Kasia (3 razy starsza): $\textcolor{#E0453A}{3x}$ . Ola (o 2 lata starsza od Kasi): $\textcolor{#E0453A}{3x} + 2$ .
Sumujemy: $\textcolor{#16A06A}{x} + \textcolor{#E0453A}{3x} + (\textcolor{#E0453A}{3x} + 2)$ .
Grupujemy: $\textcolor{#16A06A}{x} + \textcolor{#E0453A}{3x} + \textcolor{#E0453A}{3x} = 7x$ , a dwójka zostaje osobno.
Wynik: $7x + 2$ — odpowiedź D.

💡 Wskazówka: Zapisuj wiek każdej osoby w osobnej linijce, zanim zaczniesz sumować. Wtedy nie zgubisz żadnego składnika ani stałej.

⚠ Najczęstszy błąd: zapisanie wieku Oli jako $x + 2$ (o 2 lata starsza od Ani, a nie od Kasi) — wychodzi wtedy $5x + 2$ , czyli kusząca odpowiedź C.

Zadanie 3 (czerwiec 2022)1 pktłatwe

Córka obecnie jest 4 razy młodsza od swojej mamy. Razem mają 60 lat. Uzupełnij zdania.

Mama obecnie ma AB lat.

A. 48
B. 45

Córka za 8 lat będzie miała CD.

C. 23 lata
D. 20 lat

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A, D

Oznaczamy przez $\textcolor{#16A06A}{c}$ wiek córki — bo to ona jest wielkością odniesienia („4 razy młodsza”).
Mama ma wtedy $\textcolor{#E0453A}{4c}$ lat.
Razem 60 lat: $\textcolor{#16A06A}{c} + \textcolor{#E0453A}{4c} = 60$ , czyli $5\textcolor{#16A06A}{c} = 60$ , więc $\textcolor{#16A06A}{c} = 12$ .
Mama: $\textcolor{#E0453A}{4} \cdot 12 = 48$ lat — odpowiedź A.
Córka za 8 lat: $12 + 8 = 20$ lat — odpowiedź D. Razem: A, D.

💡 Wskazówka: Zawsze oznaczaj literą mniejszą z porównywanych wielkości. Gdybyśmy oznaczyli wiek mamy, córka miałaby $\tfrac{m}{4}$ — i doszłyby ułamki.

⚠ Najczęstszy błąd w drugim podpunkcie: dodanie 8 lat do wieku mamy albo podanie obecnego wieku córki (12). Warto podkreślać w treści, o kogo i o kiedy pyta zadanie.

Zadanie 4 (maj 2022)1 pkttrudniejsze

Ogrodnik kupił ziemię ogrodową, którą zaplanował zużyć w maju, czerwcu i lipcu. W maju zużył

\dfrac{1}{3}

masy kupionej ziemi. W czerwcu zużył połowę masy ziemi, która została. Na lipiec pozostało mu jeszcze 60 kg. Dokończ zdanie.
Jeżeli przez

x

oznaczymy masę zakupionej ziemi, to sytuację opisuje równanie

A. $\left(x - \dfrac{1}{3}x\right) + \dfrac{1}{2}x = 60$
B. $\left(x - \dfrac{1}{3}x\right) + \dfrac{1}{2}\left(x - \dfrac{1}{3}x\right) = 60$
C. $\left(x - \dfrac{1}{3}x\right) - \dfrac{1}{2}x = 60$
D. $\left(x - \dfrac{1}{3}x\right) - \dfrac{1}{2}\left(x - \dfrac{1}{3}x\right) = 60$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Idziemy miesiąc po miesiącu i pilnujemy, od czego liczymy każdy ułamek.
Maj: zużył $\tfrac13$ całości, więc zostało $\textcolor{#16A06A}{x - \dfrac{1}{3}x}$ .
Czerwiec: kluczowe słowa — „połowę masy ziemi, która została”. Czyli połowę tego, co zostało po maju: $\textcolor{#E0453A}{\dfrac{1}{2}\left(x - \dfrac{1}{3}x\right)}$ .
Lipiec: od tego, co było po maju, odejmujemy to, co poszło w czerwcu — i ma zostać 60 kg:
$\textcolor{#16A06A}{\left(x - \dfrac{1}{3}x\right)} - \textcolor{#E0453A}{\dfrac{1}{2}\left(x - \dfrac{1}{3}x\right)} = 60$ — odpowiedź D.
Dla ciekawości: po uproszczeniu $\tfrac13 x = 60$ , czyli ogrodnik kupił 180 kg ziemi.

💡 Wskazówka: Gdy w zadaniu pada zwrot „z tego, co zostało”, podstawa liczenia się zmienia. Zapisz najpierw resztę w nawiasie i dopiero od niej licz kolejny ułamek.

⚠ Dwa typowe błędy: (1) liczenie połowy z całości zamiast z reszty (odpowiedzi A i C); (2) dodawanie zużycia zamiast odejmowania (odpowiedzi A i B) — ziemi przecież ubywa.

Zadanie 5 (marzec 2020)1 pktłatwe

Oskar jest o 6 lat starszy od swoich braci bliźniaków. Obecnie Oskar i jego dwaj bracia mają razem 42 lata. Ile lat ma obecnie każdy z bliźniaków?

A. 18
B. 16
C. 14
D. 12

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Oznaczamy przez $\textcolor{#16A06A}{b}$ wiek jednego bliźniaka. Drugi ma tyle samo, a Oskar $\textcolor{#E0453A}{b + 6}$ .
Uwaga: bliźniaków jest dwóch, więc w sumie ich wiek liczymy dwa razy.
$\textcolor{#16A06A}{b} + \textcolor{#16A06A}{b} + \textcolor{#E0453A}{(b + 6)} = 42$ , czyli $3\textcolor{#16A06A}{b} + 6 = 42$ .
$3\textcolor{#16A06A}{b} = 36$ , więc $\textcolor{#16A06A}{b} = 12$ lat.
Odpowiedź D. Sprawdzenie: $12 + 12 + 18 = 42$ ✓

💡 Wskazówka: Bliźniacy to dwie osoby w tym samym wieku — łatwo policzyć ich jako jedną. Wypisz wszystkie trzy wieki osobno, zanim je zsumujesz.

⚠ Najczęstszy błąd: policzenie bliźniaków jako jednej osoby ( $2b + 6 = 42$ , czyli $b = 18$ — kusząca odpowiedź A). Drugi błąd: podanie wieku Oskara (18) zamiast bliźniaków.

Zadanie 6 (marzec 2020)1 pktśrednie

Sprzedawca kupił od ogrodnika róże i tulipany za łączną kwotę 580 zł. Jeden tulipan kosztował 1,20 zł, a cena jednej róży wynosiła 4 zł. Sprzedawca kupił o 50 tulipanów więcej niż róż. Dokończ zdanie.
Jeśli liczbę zakupionych tulipanów oznaczymy przez

t

, to zależności opisuje równanie

A. $1{,}2(t + 50) + 4t = 580$
B. $1{,}2(t - 50) + 4t = 580$
C. $1{,}2t + 4(t - 50) = 580$
D. $1{,}2t + 4(t + 50) = 580$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Uwaga na to, co oznacza litera: $\textcolor{#16A06A}{t}$ to liczba tulipanów — czyli tych, których jest więcej.
Skoro tulipanów jest o 50 więcej niż róż, to róż jest o 50 mniej: $\textcolor{#E0453A}{t - 50}$ .
Zapisujemy koszty: tulipany $1{,}2 \cdot \textcolor{#16A06A}{t}$ , róże $4 \cdot \textcolor{#E0453A}{(t - 50)}$ .
Razem 580 zł: $1{,}2\textcolor{#16A06A}{t} + 4\textcolor{#E0453A}{(t - 50)} = 580$ — odpowiedź C.
(Rozwiązując: $1{,}2t + 4t - 200 = 580 \Rightarrow 5{,}2t = 780 \Rightarrow t = 150$ tulipanów i 100 róż.)

💡 Wskazówka: Zawsze sprawdź, czy litera oznacza wielkość większą czy mniejszą. Jeśli większą — przy drugiej stawiasz minus, jeśli mniejszą — plus.

⚠ Najczęstszy błąd: dopisanie $+50$ do róż (odpowiedź D), czyli odwrócenie relacji. Kontrola zdroworozsądkowa: róże są droższe, więc jeśli byłoby ich więcej, kwota szybko przekroczyłaby 580 zł.

Zadanie 7 (grudzień 2018)1 pktśrednie

O liczbie

x

wiemy, że

\dfrac{1}{3}

tej liczby jest o

\dfrac{3}{4}

większa od

\dfrac{1}{6}

tej liczby. Które równanie pozwoli wyznaczyć liczbę

x

A. $\dfrac{2}{3}x = \dfrac{1}{6}x + \dfrac{3}{4}$
B. $\dfrac{1}{3}x + \dfrac{3}{4} = \dfrac{5}{6}x$
C. $\dfrac{1}{3}x = \dfrac{1}{6}x + \dfrac{3}{4}$
D. $\dfrac{1}{3}x + \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{6}x$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Zdanie „A jest o $k$ większe od B” zapisujemy jako $A = B + k$ — dodajemy do tej mniejszej strony.
Tutaj $A = \textcolor{#16A06A}{\dfrac{1}{3}x}$ (ta większa), $B = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{1}{6}x}$ , a $k = \dfrac34$ .
Zatem $\textcolor{#16A06A}{\dfrac{1}{3}x} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{1}{6}x} + \dfrac{3}{4}$ — odpowiedź C.
Sprawdzenie sensu: $\tfrac13$ jest rzeczywiście większe od $\tfrac16$ , więc kierunek się zgadza ✓
(Rozwiązując: $\tfrac16 x = \tfrac34$ , czyli $x = 4{,}5$ .)

💡 Wskazówka: Trik pamięciowy: dodajesz do tego, czego jest mniej, żeby zrównać strony. Odpowiedź D robi odwrotnie — dodaje do większej strony.

⚠ Najczęstszy błąd: odpowiedź D, czyli dopisanie $\tfrac34$ po niewłaściwej stronie. Warto sprawdzić, czy równanie ma sensowne rozwiązanie — w D wychodzi $x$ ujemne, co przy „liczbie większej o” powinno zapalić lampkę.

Zadanie 8 (kwiecień 2016, egzamin gimnazjalny)1 pktśrednie

Cenę roweru obniżono o 8%. Klient kupił rower po obniżonej cenie i dzięki temu zapłacił o 120 zł mniej, niż zapłaciłby przed obniżką. Dokończ zdanie.
Przed obniżką ten rower kosztował

A. 2000 zł
B. 1500 zł
C. 1380 zł
D. 960 zł

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Kluczowa obserwacja: kwota 120 zł to sama obniżka, czyli $\textcolor{#E0453A}{8\%}$ ceny początkowej.
Zapisujemy: $\textcolor{#E0453A}{0{,}08} \cdot \textcolor{#16A06A}{c} = 120$ .
Stąd $\textcolor{#16A06A}{c} = 120 : \textcolor{#E0453A}{0{,}08} = 1500$ zł.
Odpowiedź B.
Sposób „na 1 procent”: skoro $\textcolor{#E0453A}{8\%}$ to 120 zł, to 1% to 15 zł, a 100% — 1500 zł ✓

💡 Wskazówka: Rozróżnij, co jest podane: kwota obniżki (jak tutaj) czy cena po obniżce. W pierwszym przypadku dzielisz przez 8%, w drugim przez 92% — to zupełnie inne rachunki.

⚠ Najczęstszy błąd: potraktowanie 120 zł jako ceny po obniżce albo pomnożenie $120 \cdot 8 = 960$ (kusząca odpowiedź D) zamiast podzielenia przez 0,08.

Zadanie 9 (listopad 2012, egzamin gimnazjalny)1 pktśrednie

Do dzbanka wlano 2 jednakowe butelki soku. Ile takich samych butelek wody należy dolać do dzbanka, aby sok stanowił 25% napoju?

A. 2
B. 4
C. 6
D. 8

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

25% to $\tfrac14$ , więc sok ma stanowić jedną czwartą całego napoju.
Skoro $\textcolor{#16A06A}{2}$ butelki soku to $\tfrac14$ całości, to cały napój ma $\textcolor{#16A06A}{2} \cdot 4 = \textcolor{#E0453A}{8}$ butelek.
Wody trzeba dolać: $\textcolor{#E0453A}{8} - \textcolor{#16A06A}{2} = 6$ butelek.
Odpowiedź C. Sprawdzenie: $\dfrac{\textcolor{#16A06A}{2}}{\textcolor{#E0453A}{8}} = 0{,}25 = 25\%$ ✓

💡 Wskazówka: Zamieniaj procenty na ułamki: $25\% = \tfrac14$ , $20\% = \tfrac15$ , $50\% = \tfrac12$ . Wtedy takie zadania robi się w pamięci.

⚠ Najczęstszy błąd: podanie całkowitej liczby butelek (8 — kusząca odpowiedź D) zamiast liczby butelek wody do dolania. Dwie butelki soku są już w dzbanku.

Zadanie 10 (kwiecień 2012, egzamin gimnazjalny)1 pktśrednie

Połowa uczestników wycieczki urodziła się w Polsce, co trzeci urodził się w Niemczech, a pięciu pozostałych we Francji. W wycieczce brało udział

A. 26 osób.
B. 30 osób.
C. 46 osób.
D. 60 osób.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Oznaczamy przez $\textcolor{#16A06A}{n}$ liczbę wszystkich uczestników.
Polska: $\tfrac12 \textcolor{#16A06A}{n}$ . Niemcy („co trzeci”): $\tfrac13 \textcolor{#16A06A}{n}$ . Francja: $\textcolor{#E0453A}{5}$ osób.
Wszyscy razem dają całość: $\tfrac12 \textcolor{#16A06A}{n} + \tfrac13 \textcolor{#16A06A}{n} + \textcolor{#E0453A}{5} = \textcolor{#16A06A}{n}$ .
Sprowadzamy ułamki do mianownika 6: $\tfrac36 \textcolor{#16A06A}{n} + \tfrac26 \textcolor{#16A06A}{n} = \tfrac56 \textcolor{#16A06A}{n}$ .
Zatem piątka to reszta: $\textcolor{#E0453A}{5} = \textcolor{#16A06A}{n} - \tfrac56 \textcolor{#16A06A}{n} = \tfrac16 \textcolor{#16A06A}{n}$ , więc $\textcolor{#16A06A}{n} = 30$ .
Odpowiedź B. Sprawdzenie: $15 + 10 + 5 = 30$ ✓

💡 Wskazówka: Zamiast układać równanie, można od razu policzyć jaką część stanowią Francuzi: $1 - \tfrac12 - \tfrac13 = \tfrac16$ . Skoro $\tfrac16$ to 5 osób, całość to 30.

⚠ Najczęstszy błąd: dodanie $\tfrac12 + \tfrac13 = \tfrac25$ („licznik do licznika”) — wychodzi wtedy zupełnie inna reszta. Ułamki zawsze wymagają wspólnego mianownika.

Zadanie 11 (grudzień 2011, egzamin gimnazjalny)1 pkttrudniejsze

Ania i Tomek mają razem 14 lat. Dwa lata temu Tomek był 4 razy starszy od Ani. Oceń prawdziwość podanych zdań.

Ania jest dwa razy młodsza od Tomka.	P	F
Tomek jest o 6 lat starszy od Ani.	P	F

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: F, P

Oznaczamy obecny wiek: Ania $\textcolor{#16A06A}{a}$ , Tomek $\textcolor{#E0453A}{t}$ . Wiemy, że $\textcolor{#16A06A}{a} + \textcolor{#E0453A}{t} = 14$ .
Kluczowy krok: dwa lata temu oboje byli o 2 lata młodsi — Ania miała $\textcolor{#16A06A}{a-2}$ , a Tomek $\textcolor{#E0453A}{t-2}$ .
Warunek z przeszłości: $\textcolor{#E0453A}{t-2} = 4(\textcolor{#16A06A}{a-2})$ , czyli $\textcolor{#E0453A}{t} - 2 = 4\textcolor{#16A06A}{a} - 8$ , stąd $\textcolor{#E0453A}{t} = 4\textcolor{#16A06A}{a} - 6$ .
Wstawiamy do pierwszego równania: $\textcolor{#16A06A}{a} + 4\textcolor{#16A06A}{a} - 6 = 14$ , czyli $5\textcolor{#16A06A}{a} = 20$ , więc $\textcolor{#16A06A}{a} = 4$ i $\textcolor{#E0453A}{t} = 10$ .
Zdanie 1: czy Ania jest dwa razy młodsza? Byłoby tak przy 4 i 8, a Tomek ma 10 — fałsz.
Zdanie 2: $10 - 4 = 6$ ✓ — prawda. Odpowiedzi: F, P.
Sprawdzenie warunku: dwa lata temu Ania miała 2 lata, Tomek 8, a $8 = 4 \cdot 2$ ✓

💡 Wskazówka: W zadaniach „ile lat temu / za ile lat” odejmij (lub dodaj) tę samą liczbę każdej osobie. Różnica wieku nigdy się nie zmienia — to bardzo przydatna kontrola.

⚠ Najczęstszy błąd: odjęcie 2 lat tylko jednej osobie. Drugi błąd: potraktowanie „4 razy starszy” jako warunku obecnego, mimo że dotyczy przeszłości.

Zadanie 12 (materiały CKE)1 pkttrudniejsze

W pojemniku znajdują się niebieskie, czarne i zielone piłeczki. Piłeczek czarnych jest o 20% mniej niż niebieskich, a niebieskich o 6 mniej niż zielonych. Niebieskich i zielonych piłeczek jest łącznie o 48 więcej niż czarnych. Przez

n

oznaczamy liczbę piłeczek niebieskich. Oceń prawdziwość podanych zdań.

Treść tego zadania opisuje równanie $n + (n + 6) = 0{,}8n + 48$ .	P	F
W pojemniku jest 29 piłeczek zielonych.	P	F

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P, F

Zapisujemy wszystkie kolory przez $\textcolor{#16A06A}{n}$ — liczbę niebieskich.
Czarne: o 20% mniej niż niebieskich, czyli $\textcolor{#E0453A}{0{,}8n}$ .
Zielone: niebieskich jest o 6 mniej niż zielonych, więc zielonych jest o 6 więcej: $\textcolor{#E0453A}{n + 6}$ .
Zdanie 1. „Niebieskich i zielonych łącznie o 48 więcej niż czarnych” zapisujemy: $\textcolor{#16A06A}{n} + \textcolor{#E0453A}{(n+6)} = \textcolor{#E0453A}{0{,}8n} + 48$ ✓ — dokładnie to równanie — prawda.
Zdanie 2. Rozwiązujemy: $2\textcolor{#16A06A}{n} + 6 = \textcolor{#E0453A}{0{,}8n} + 48$ , czyli $1{,}2\textcolor{#16A06A}{n} = 42$ , więc $\textcolor{#16A06A}{n} = 35$ .
Zielonych jest $\textcolor{#E0453A}{35 + 6} = 41$ , a nie 29 — fałsz. Odpowiedzi: P, F.

💡 Wskazówka: „O 20% mniej” to mnożnik 0,8 — nie odejmowanie liczby 20. Warto ten mnożnik zapisać od razu, zanim zacznie się budować równanie.

⚠ Najczęstszy błąd w zdaniu 2: podanie liczby niebieskich (35) zamiast zielonych. Drugi błąd: zapisanie zielonych jako $n - 6$ , czyli odwrócenie relacji.

Zadania otwarte

Zadanie 13 (maj 2026)2 pktśrednie

Do wykonania origami Ela przygotowała łącznie 160 kartek w czterech kolorach: białym, niebieskim, zielonym i czerwonym. Kartek białych było 37. Kartek niebieskich było 1,5 raza więcej niż czerwonych, a kartek zielonych było o 10 mniej niż czerwonych. Oblicz, ile kartek niebieskich przygotowała Ela.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 57 kartek niebieskich

Oznaczamy przez $\textcolor{#16A06A}{c}$ liczbę kartek czerwonych — bo do nich odnoszą się dwa pozostałe kolory.
Niebieskie: $\textcolor{#E0453A}{1{,}5c}$ . Zielone: $\textcolor{#E0453A}{c - 10}$ . Białe: 37 (podane wprost).
Wszystkie razem dają 160: $37 + \textcolor{#E0453A}{1{,}5c} + \textcolor{#16A06A}{c} + \textcolor{#E0453A}{(c - 10)} = 160$ .
Porządkujemy: $3{,}5\textcolor{#16A06A}{c} + 27 = 160$ , czyli $3{,}5\textcolor{#16A06A}{c} = 133$ , więc $\textcolor{#16A06A}{c} = 38$ .
Pytanie dotyczy niebieskich: $\textcolor{#E0453A}{1{,}5} \cdot 38 = 57$ .
Odpowiedź: Ela przygotowała 57 kartek niebieskich.
Sprawdzenie: $37 + 57 + 38 + 28 = 160$ ✓

💡 Wskazówka: Wybierz na niewiadomą ten kolor, do którego odnoszą się pozostałe — tu czerwony. Gdybyś oznaczył niebieskie, czerwone wyszłyby jako $\tfrac{n}{1{,}5}$ , a zielone jeszcze gorzej.

⚠ Najczęstszy błąd: zatrzymanie się na $c = 38$ i podanie tej liczby. Zadanie pyta o niebieskie, więc trzeba jeszcze pomnożyć przez 1,5.

Zadanie 14 (styczeń 2026)3 pkttrudniejsze

Drużynę harcerską można podzielić na 4-osobowe zespoły. Gdyby ta drużyna liczyła o 3 osoby mniej, to harcerzy można by podzielić na zespoły 5-osobowe. Liczba zespołów 5-osobowych byłaby o 2 mniejsza od liczby zespołów 4-osobowych. Oblicz, ile osób jest w tej drużynie. Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 28 osób

Oznaczamy przez $\textcolor{#16A06A}{n}$ liczbę harcerzy w drużynie.
Liczba zespołów 4-osobowych: $\dfrac{\textcolor{#16A06A}{n}}{4}$ .
Gdyby było o 3 osoby mniej, zespołów 5-osobowych byłoby: $\dfrac{\textcolor{#16A06A}{n} - 3}{5}$ .
Warunek — zespołów pięcioosobowych jest o $\textcolor{#E0453A}{2}$ mniej: $\dfrac{\textcolor{#16A06A}{n} - 3}{5} = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{n}}{4} - \textcolor{#E0453A}{2}$ .
Mnożymy obie strony przez 20, żeby pozbyć się ułamków: $4(\textcolor{#16A06A}{n} - 3) = 5\textcolor{#16A06A}{n} - 40$ .
$4\textcolor{#16A06A}{n} - 12 = 5\textcolor{#16A06A}{n} - 40$ , czyli $\textcolor{#16A06A}{n} = 28$ .
Odpowiedź: w drużynie jest 28 osób.
Sprawdzenie: $28 : 4 = 7$ zespołów czteroosobowych, $(28-3) : 5 = 5$ zespołów pięcioosobowych, a $7 - 5 = 2$ ✓

💡 Wskazówka: Przy równaniu z dwoma ułamkami pomnóż obie strony przez NWW mianowników (tu 20). Zadanie zamienia się wtedy w proste równanie liniowe.

⚠ Najczęstszy błąd: zapisanie warunku odwrotnie ( $\tfrac{n-3}{5} + 2 = \tfrac{n}{4}$ jest poprawne, ale $\tfrac{n-3}{5} = \tfrac{n}{4} + 2$ już nie). Zespołów pięcioosobowych jest mniej, bo są liczniejsze.

Zadanie 15 (maj 2025)2 pktśrednie

Liczbę

\dfrac{7}{15}

zapisano w postaci sumy trzech ułamków zwykłych, z których jeden jest równy

\dfrac{1}{5}

, a drugi

\dfrac{1}{6}

. Uzasadnij, że trzeci składnik tej sumy można przedstawić w postaci ułamka zwykłego, którego licznik jest równy 1, a mianownik jest liczbą całkowitą dodatnią. Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: trzeci składnik to 1/10

Trzeci składnik wyznaczamy przez odejmowanie: $x = \dfrac{7}{15} - \dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{6}$ .
Szukamy wspólnego mianownika dla 15, 5 i 6. Rozkładamy: $15 = 3 \cdot 5$ , 5, $6 = 2 \cdot 3$ — najmniejszy wspólny to $\textcolor{#E0453A}{30}$ .
Rozszerzamy każdy ułamek: $\dfrac{7}{15} = \textcolor{#16A06A}{\dfrac{14}{30}}$ , $\dfrac{1}{5} = \textcolor{#16A06A}{\dfrac{6}{30}}$ , $\dfrac{1}{6} = \textcolor{#16A06A}{\dfrac{5}{30}}$ .
Odejmujemy: $x = \textcolor{#16A06A}{\dfrac{14}{30}} - \textcolor{#16A06A}{\dfrac{6}{30}} - \textcolor{#16A06A}{\dfrac{5}{30}} = \dfrac{3}{30}$ .
Skracamy przez 3: $\dfrac{3}{30} = \dfrac{1}{10}$ .
Otrzymaliśmy ułamek o liczniku 1 i mianowniku 10 — czyli liczbie całkowitej dodatniej. To należało uzasadnić.
Sprawdzenie: $\dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{10} = \dfrac{6 + 5 + 3}{30} = \dfrac{14}{30} = \dfrac{7}{15}$ ✓

💡 Wskazówka: Nie zatrzymuj się na $\tfrac{3}{30}$ — dopiero po skróceniu widać, że licznik wynosi 1. Właśnie o to pyta zadanie.

⚠ Najczęstszy błąd: podanie wyniku $\tfrac{3}{30}$ bez skrócenia. Formalnie to ta sama liczba, ale zadanie wymaga pokazania postaci z licznikiem 1 — bez skrócenia uzasadnienie jest niepełne.

Zadanie 16 (maj 2025)3 pkttrudniejsze

Troje przyjaciół — Andrzej, Basia i Marek — zbiera plakaty. Andrzej ma o 28 plakatów więcej od Basi, a Marek ma ich 3 razy mniej od Basi. Andrzej i Marek mają razem 2 razy więcej plakatów od Basi. Oblicz, ile plakatów ma każde z tych przyjaciół. Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: Basia 42, Andrzej 70, Marek 14

Oznaczamy przez $\textcolor{#16A06A}{b}$ liczbę plakatów Basi — do niej odnoszą się obaj chłopcy.
Andrzej: $\textcolor{#E0453A}{b + 28}$ . Marek: $\textcolor{#E0453A}{\dfrac{b}{3}}$ .
Trzeci warunek: Andrzej i Marek razem mają 2 razy więcej niż Basia:
$\textcolor{#E0453A}{(b + 28)} + \textcolor{#E0453A}{\dfrac{b}{3}} = 2\textcolor{#16A06A}{b}$ .
Mnożymy obie strony przez 3: $3b + 84 + b = 6b$ , czyli $4b + 84 = 6b$ .
$84 = 2b$ , więc $\textcolor{#16A06A}{b} = 42$ .
Andrzej: $42 + 28 = 70$ . Marek: $42 : 3 = 14$ .
Odpowiedź: Basia ma 42 plakaty, Andrzej 70, a Marek 14.
Sprawdzenie: $70 + 14 = 84 = 2 \cdot 42$ ✓

💡 Wskazówka: Gdy trzy osoby są porównywane, oznacz literą tę, która występuje w największej liczbie porównań — tu Basię. Pozostałe wyrażą się przez nią bez kombinowania.

⚠ Najczęstszy błąd: zapisanie Marka jako $3b$ zamiast $\tfrac{b}{3}$ . „Trzy razy mniej” oznacza dzielenie, a nie mnożenie.

Zadanie 17 (maj 2024)2 pktśrednie

Ela i Ania dostały w prezencie po jednym zestawie puzzli o takiej samej liczbie elementów. Ela ułożyła

\dfrac{2}{5}

swoich puzzli, a Ania

\dfrac{1}{3}

swoich. Dziewczynki ułożyły łącznie 440 elementów. Oblicz, z ilu elementów składa się jeden zestaw puzzli. Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 600 elementów

Oznaczamy przez $\textcolor{#16A06A}{n}$ liczbę elementów w jednym zestawie (oba są takie same).
Ela ułożyła $\textcolor{#E0453A}{\dfrac{2}{5}n}$ , Ania $\textcolor{#E0453A}{\dfrac{1}{3}n}$ , a razem 440 elementów:
$\textcolor{#E0453A}{\dfrac{2}{5}\textcolor{#16A06A}{n}} + \textcolor{#E0453A}{\dfrac{1}{3}\textcolor{#16A06A}{n}} = 440$ .
Sprowadzamy ułamki do mianownika 15: $\dfrac{6}{15}\textcolor{#16A06A}{n} + \dfrac{5}{15}\textcolor{#16A06A}{n} = \dfrac{11}{15}\textcolor{#16A06A}{n}$ .
Zatem $\dfrac{11}{15}\textcolor{#16A06A}{n} = 440$ , więc $\textcolor{#16A06A}{n} = 440 \cdot \dfrac{15}{11} = 600$ .
Odpowiedź: jeden zestaw składa się z 600 elementów.
Sprawdzenie: Ela ułożyła 240, Ania 200, a $240 + 200 = 440$ ✓

💡 Wskazówka: Uwaga na pytanie: zadanie prosi o jeden zestaw, a nie o oba razem. Ułamki $\tfrac25$ i $\tfrac13$ odnoszą się do własnych zestawów każdej z dziewczynek.

⚠ Najczęstszy błąd: potraktowanie 440 jako części wspólnej puli dwóch zestawów i podzielenie wyniku przez 2. Każda dziewczynka układała swój zestaw.

Zadanie 18 (czerwiec 2023)3 pkttrudniejsze

Do księgarni dostarczono łącznie 240 książek w czterech językach. Książek w języku włoskim było 3 razy mniej niż w niemieckim, książek w angielskim było 2 razy więcej niż w niemieckim, a w francuskim o 20 więcej niż we włoskim. Oblicz, ile książek w języku francuskim dostarczono. Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 40 książek

Oznaczamy przez $\textcolor{#16A06A}{n}$ liczbę książek niemieckich — to do nich odnoszą się dwa pozostałe języki.
Włoskie: $\textcolor{#E0453A}{\dfrac{n}{3}}$ . Angielskie: $\textcolor{#E0453A}{2n}$ . Francuskie: $\textcolor{#E0453A}{\dfrac{n}{3} + 20}$ .
Sumujemy wszystkie cztery: $\textcolor{#E0453A}{\dfrac{n}{3}} + \textcolor{#16A06A}{n} + \textcolor{#E0453A}{2n} + \textcolor{#E0453A}{\left(\dfrac{n}{3} + 20\right)} = 240$ .
Mnożymy wszystko przez 3: $n + 3n + 6n + n + 60 = 720$ , czyli $11n = 660$ , więc $\textcolor{#16A06A}{n} = 60$ .
Włoskie: $60 : 3 = 20$ . Francuskie: $20 + 20 = 40$ .
Odpowiedź: dostarczono 40 książek w języku francuskim.
Sprawdzenie: $20 + 60 + 120 + 40 = 240$ ✓

💡 Wskazówka: Przy czterech wielkościach narysuj sobie krótką listę: „niemiecki = $n$ , włoski = …, angielski = …, francuski = …”. Dopiero potem sumuj — inaczej łatwo o pominięcie jednego składnika.

⚠ Najczęstszy błąd: zatrzymanie się na $n = 60$ albo podanie liczby włoskich (20). Zadanie pyta o francuskie, więc trzeba zrobić jeszcze dwa kroki.

Zadanie 19 (czerwiec 2022)2 pktśrednie

W kasie są banknoty 20-złotowe i 50-złotowe. Liczba banknotów 20-złotowych jest taka sama jak liczba banknotów 50-złotowych. Łączna wartość wszystkich banknotów 50-złotowych jest o 6 tysięcy złotych większa od łącznej wartości banknotów 20-złotowych. Oblicz, ile banknotów 20-złotowych jest w kasie. Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 200 banknotów

Oznaczamy przez $\textcolor{#16A06A}{b}$ liczbę banknotów każdego rodzaju — jest ich tyle samo.
Wartość banknotów 50-złotowych: $\textcolor{#E0453A}{50b}$ . Wartość 20-złotowych: $\textcolor{#E0453A}{20b}$ .
Warunek: pięćdziesiątek jest o 6000 zł więcej: $\textcolor{#E0453A}{50\textcolor{#16A06A}{b}} - \textcolor{#E0453A}{20\textcolor{#16A06A}{b}} = 6000$ .
$30\textcolor{#16A06A}{b} = 6000$ , więc $\textcolor{#16A06A}{b} = 200$ .
Odpowiedź: w kasie jest 200 banknotów 20-złotowych.
Sprawdzenie: $200 \cdot 50 = 10\,000$ zł, $200 \cdot 20 = 4000$ zł, a różnica to 6000 zł ✓

💡 Wskazówka: Skoro banknotów jest po tyle samo, każda para (jedna dwudziestka + jedna pięćdziesiątka) daje różnicę 30 zł. Wystarczy więc podzielić $6000 : 30$ .

⚠ Najczęstszy błąd: dodanie wartości zamiast odjęcia ( $70b = 6000$ ) albo pomylenie liczby banknotów z ich wartością. Sześć tysięcy to różnica kwot, nie liczba sztuk.

Zadanie 20 (czerwiec 2021)3 pkttrudniejsze

W zespole tańca nowoczesnego liczba dziewcząt jest dwa razy większa od liczby chłopców. Gdy na próbie nieobecnych było 2 chłopców i 1 dziewczyna, to liczba obecnych chłopców stanowiła

\dfrac{2}{5}

liczby obecnych dziewcząt. Z ilu osób składa się zespół? Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 24 osoby

Oznaczamy przez $\textcolor{#16A06A}{c}$ liczbę chłopców w całym zespole. Dziewcząt jest dwa razy więcej: $\textcolor{#E0453A}{2c}$ .
Na próbie zabrakło 2 chłopców i 1 dziewczyny, więc obecnych było: chłopców $\textcolor{#16A06A}{c - 2}$ , dziewcząt $\textcolor{#E0453A}{2c - 1}$ .
Warunek: obecni chłopcy to $\tfrac25$ obecnych dziewcząt:
$\textcolor{#16A06A}{c - 2} = \dfrac{2}{5}\textcolor{#E0453A}{(2c - 1)}$ .
Mnożymy obie strony przez 5: $5\textcolor{#16A06A}{c} - 10 = 2\textcolor{#E0453A}{(2c - 1)} = 4c - 2$ .
$5c - 10 = 4c - 2$ , czyli $\textcolor{#16A06A}{c} = 8$ chłopców, a dziewcząt $\textcolor{#E0453A}{2 \cdot 8} = 16$ .
Cały zespół: $8 + 16 = 24$ osoby.
Odpowiedź: zespół składa się z 24 osób.
Sprawdzenie: obecnych było 6 chłopców i 15 dziewcząt, a $\tfrac25 \cdot 15 = 6$ ✓

💡 Wskazówka: Pilnuj, które liczby dotyczą całego zespołu, a które tylko obecnych na próbie. Warto zapisać je w dwóch kolumnach — inaczej łatwo pomieszać warunki.

⚠ Najczęstszy błąd: zatrzymanie się na $c = 8$ i podanie liczby chłopców. Zadanie pyta o cały zespół, więc trzeba dodać dziewczęta.

Zadanie 21 (maj 2021)2 pkttrudniejsze

Ania chciała kupić 10 jednakowych puszek karmy dla psa, ale zabrakło jej 11 złotych. Kupiła 6 takich puszek karmy i zostało jej 3,40 złotych. Ile kosztuje jedna puszka karmy? Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 3,60 zł

Sprytne podejście: patrzymy na różnicę obu sytuacji, dzięki czemu nie musimy znać kwoty, którą Ania miała.
Gdyby kupiła 10 puszek, brakowałoby jej 11 zł. Kupując 6 puszek, zostało jej 3,40 zł.
Różnica w liczbie puszek: $10 - 6 = \textcolor{#E0453A}{4}$ puszki.
Różnica w pieniądzach: od „zostało 3,40 zł” do „brakuje 11 zł” to $3{,}40 + 11 = \textcolor{#16A06A}{14{,}40}$ zł.
Zatem $\textcolor{#E0453A}{4}$ puszki kosztują $\textcolor{#16A06A}{14{,}40}$ zł, czyli jedna: $\textcolor{#16A06A}{14{,}40} : \textcolor{#E0453A}{4} = 3{,}60$ zł.
Odpowiedź: jedna puszka karmy kosztuje 3,60 zł.
Sprawdzenie: Ania miała $6 \cdot 3{,}60 + 3{,}40 = 25$ zł. Na 10 puszek trzeba 36 zł, więc brakowałoby jej 11 zł ✓

💡 Wskazówka: Klasyczny schemat „za mało / za dużo”: dodaj brakującą kwotę do reszty, żeby otrzymać wartość różnicy w sztukach. Nie trzeba wtedy dwóch niewiadomych.

⚠ Najczęstszy błąd: odjęcie $11 - 3{,}40$ zamiast dodania. Brakujące 11 zł i pozostałe 3,40 zł są po przeciwnych stronach — dlatego się sumują.

Zadanie 22 (marzec 2021)2 pkttrudniejsze

W kwiaciarni było trzy razy więcej czerwonych róż niż białych. Pan Nowak kupił 40 czerwonych róż i wtedy w kwiaciarni zostało dwa razy więcej białych róż niż czerwonych. Ile białych róż było w kwiaciarni? Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 16 białych róż

Oznaczamy przez $\textcolor{#16A06A}{b}$ liczbę róż białych. Czerwonych było trzy razy więcej: $\textcolor{#E0453A}{3b}$ .
Po zakupie 40 czerwonych zostało ich $\textcolor{#E0453A}{3b - 40}$ . Białych nie ubyło — nadal jest $\textcolor{#16A06A}{b}$ .
Warunek: teraz białych jest dwa razy więcej niż czerwonych: $\textcolor{#16A06A}{b} = 2\textcolor{#E0453A}{(3b - 40)}$ .
$\textcolor{#16A06A}{b} = 6b - 80$ , czyli $80 = 5b$ , więc $\textcolor{#16A06A}{b} = 16$ .
Odpowiedź: w kwiaciarni było 16 białych róż.
Sprawdzenie: czerwonych było $3 \cdot 16 = 48$ ; po sprzedaniu 40 zostało 8, a $16 = 2 \cdot 8$ ✓

💡 Wskazówka: Zwróć uwagę, że relacja się odwraca: na początku czerwonych było więcej, a po zakupie więcej jest białych. To normalne — ubyło tylko czerwonych.

⚠ Najczęstszy błąd: zapisanie warunku jako $2\textcolor{#16A06A}{b} = \textcolor{#E0453A}{3b - 40}$ , czyli pomnożenie niewłaściwej strony. „Białych dwa razy więcej niż czerwonych” znaczy: $\text{białe} = 2 \cdot \text{czerwone}$ .

Zadanie 23 (czerwiec 2020)3 pkttrudniejsze

Do pracowni komputerowej kupiono 6 myszek bezprzewodowych i 6 myszek przewodowych. Cena myszki bezprzewodowej była o 11 zł wyższa od ceny myszki z przewodem. Za zakup wszystkich myszek zapłacono 234 zł. Ile najwięcej myszek bezprzewodowych można by kupić za tę kwotę? Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 9 myszek

Oznaczamy przez $\textcolor{#16A06A}{p}$ cenę myszki przewodowej (tańszej). Bezprzewodowa kosztuje $\textcolor{#E0453A}{p + 11}$ .
Kupiono po 6 sztuk każdego rodzaju za 234 zł: $6\textcolor{#16A06A}{p} + 6\textcolor{#E0453A}{(p + 11)} = 234$ .
$6p + 6p + 66 = 234$ , czyli $12\textcolor{#16A06A}{p} = 168$ , więc $\textcolor{#16A06A}{p} = 14$ zł.
Myszka bezprzewodowa kosztuje $\textcolor{#E0453A}{14 + 11} = \textcolor{#E0453A}{25}$ zł.
Teraz drugie pytanie: ile takich myszek kupimy za 234 zł? $234 : \textcolor{#E0453A}{25} = 9{,}36$ .
Myszek nie kupuje się na sztuki ułamkowe, więc zaokrąglamy w dół: 9 myszek (za 225 zł, zostaje 9 zł).
Odpowiedź: za tę kwotę można kupić najwyżej 9 myszek bezprzewodowych.

💡 Wskazówka: Zadanie ma dwa etapy: najpierw równanie na cenę, potem dzielenie z zaokrągleniem w dół. Przy „ile najwięcej” resztę zawsze się odrzuca.

⚠ Dwa typowe błędy: (1) zaokrąglenie 9,36 w górę do 10 (zabrakłoby 16 zł); (2) podzielenie 234 zł przez cenę myszki przewodowej — zadanie pyta o bezprzewodowe.

Zadanie 24 (kwiecień 2020)2 pktśrednie

W domu kultury zorganizowano konkurs recytatorski. Dla uczestników kupiono nagrody: książki i e-booki. Książki stanowiły

\dfrac{2}{3}

liczby kupionych nagród. E-booków było o 8 mniej niż książek. Ile kupiono książek? Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 16 książek

Oznaczamy przez $\textcolor{#16A06A}{n}$ liczbę wszystkich nagród.
Książki to $\tfrac23$ całości: $\textcolor{#E0453A}{\dfrac{2}{3}n}$ . Reszta to e-booki: $\textcolor{#E0453A}{\dfrac{1}{3}n}$ .
Warunek: e-booków jest o 8 mniej niż książek, czyli różnica wynosi 8:
$\textcolor{#E0453A}{\dfrac{2}{3}\textcolor{#16A06A}{n}} - \textcolor{#E0453A}{\dfrac{1}{3}\textcolor{#16A06A}{n}} = 8$ , czyli $\dfrac{1}{3}\textcolor{#16A06A}{n} = 8$ .
Stąd $\textcolor{#16A06A}{n} = 24$ nagrody łącznie.
Książek: $\textcolor{#E0453A}{\dfrac{2}{3}} \cdot 24 = 16$ .
Odpowiedź: kupiono 16 książek.
Sprawdzenie: e-booków było $24 - 16 = 8$ , a $16 - 8 = 8$ ✓

💡 Wskazówka: Skoro książki to $\tfrac23$ całości, e-booki muszą być pozostałą $\tfrac13$ . Ich różnica to więc dokładnie $\tfrac13$ całości — i to od razu daje rozwiązanie.

⚠ Najczęstszy błąd: podanie liczby wszystkich nagród (24) zamiast samych książek. Drugi błąd: potraktowanie $\tfrac23$ jako stosunku książek do e-booków, a nie do całości.

Zadanie 25 (kwiecień 2020)3 pkttrudniejsze

Boisko szkolne ma kształt prostokąta o wymiarach 46 m i 30 m. Postanowiono posiać na nim trawę. Do obsiania 40 m² powierzchni potrzebny jest jeden kilogram nasion. Nasiona sprzedawane są tylko w 10-kilogramowych workach, po 163 zł za worek. Oblicz koszt zakupu nasion potrzebnych do obsiania boiska. Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 652 zł

Krok 1 — pole boiska: $46 \cdot 30 = \textcolor{#16A06A}{1380}$ m².
Krok 2 — ile nasion? Na $\textcolor{#E0453A}{40}$ m² idzie 1 kg, więc $\textcolor{#16A06A}{1380} : \textcolor{#E0453A}{40} = \textcolor{#16A06A}{34{,}5}$ kg.
Krok 3 — ile worków? Worek ma $\textcolor{#E0453A}{10}$ kg: $\textcolor{#16A06A}{34{,}5} : \textcolor{#E0453A}{10} = 3{,}45$ worka.
Worków nie kupimy na ułamki, a nasion musi wystarczyć — zaokrąglamy więc w górę do 4 worków (3 worki dałyby tylko 30 kg, za mało).
Krok 4 — koszt: $4 \cdot 163 = 652$ zł.
Odpowiedź: zakup nasion kosztuje 652 zł.

💡 Wskazówka: W jednym zadaniu mogą wystąpić oba kierunki zaokrąglania. Tu w górę, bo nasion musi wystarczyć — inaczej niż przy „ile najwięcej można kupić”, gdzie zaokrągla się w dół.

⚠ Najczęstszy błąd: zaokrąglenie 3,45 w dół do 3 worków (wyszłoby 489 zł) albo zapłacenie za 34,5 kg „na wagę”. Nasiona sprzedają tylko w całych workach.

Zadanie 26 (marzec 2020)2 pktśrednie

Cenniki dwóch korporacji taksówkowych (należność = opłata początkowa + opłata za kilometry):

	Taxi „Jedynka”	Taxi „Dwójka”
Opłata początkowa	3,20 zł	8,00 zł
Cena za 1 km trasy	3,20 zł	2,40 zł

Pan Jan korzystał z Taxi „Jedynka”, a pan Wojciech z Taxi „Dwójka”. Obaj pokonali trasę o tej samej długości i zapłacili tyle samo. Ile kilometrów miała ta trasa? Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 6 km

Oznaczamy przez $\textcolor{#16A06A}{k}$ długość trasy w kilometrach.
Koszt u „Jedynki”: $3{,}20 + 3{,}20\textcolor{#16A06A}{k}$ . Koszt u „Dwójki”: $8{,}00 + 2{,}40\textcolor{#16A06A}{k}$ .
Skoro zapłacili tyle samo, przyrównujemy: $3{,}20 + 3{,}20\textcolor{#16A06A}{k} = 8{,}00 + 2{,}40\textcolor{#16A06A}{k}$ .
Przenosimy: $3{,}20\textcolor{#16A06A}{k} - 2{,}40\textcolor{#16A06A}{k} = 8{,}00 - 3{,}20$ , czyli $\textcolor{#E0453A}{0{,}80}\textcolor{#16A06A}{k} = \textcolor{#E0453A}{4{,}80}$ .
$\textcolor{#16A06A}{k} = \textcolor{#E0453A}{4{,}80} : \textcolor{#E0453A}{0{,}80} = 6$ km.
Odpowiedź: trasa miała 6 kilometrów.
Sprawdzenie: Jedynka $3{,}20 + 6 \cdot 3{,}20 = 22{,}40$ zł, Dwójka $8 + 6 \cdot 2{,}40 = 22{,}40$ zł ✓

💡 Wskazówka: Sens zadania: „Dwójka” ma wyższą opłatę początkową (o 4,80 zł), ale tańszy kilometr (o 0,80 zł). Ta przewaga nadrabia różnicę dokładnie po $4{,}80 : 0{,}80 = 6$ km.

⚠ Najczęstszy błąd: pominięcie opłaty początkowej u jednej z korporacji albo doliczenie jej do każdego kilometra. To opłata jednorazowa.

Zadanie 27 (marzec 2020)2 pktśrednie

Zmieszano 40 dag rodzynek w cenie 12 zł za kilogram oraz 60 dag pestek dyni w cenie 17 zł za kilogram. Ile kosztuje 1 kilogram tej mieszanki? Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 15 zł

Najpierw zamieniamy jednostki: 40 dag $= \textcolor{#16A06A}{0{,}4}$ kg, 60 dag $= \textcolor{#16A06A}{0{,}6}$ kg.
Zauważ, że razem daje to $\textcolor{#16A06A}{0{,}4} + \textcolor{#16A06A}{0{,}6} = \textcolor{#16A06A}{1}$ kg — czyli od razu dokładnie kilogram mieszanki.
Koszt rodzynek: $\textcolor{#16A06A}{0{,}4} \cdot \textcolor{#E0453A}{12} = 4{,}80$ zł.
Koszt pestek: $\textcolor{#16A06A}{0{,}6} \cdot \textcolor{#E0453A}{17} = 10{,}20$ zł.
Razem: $4{,}80 + 10{,}20 = 15$ zł — i to jest cena za cały kilogram mieszanki.
Odpowiedź: 1 kilogram mieszanki kosztuje 15 zł.

💡 Wskazówka: Sprawdź na początku, czy składniki sumują się do okrągłej masy — tutaj do 1 kg, więc na końcu nie trzeba nic przeliczać. To częsty zabieg w zadaniach o mieszankach.

⚠ Najczęstszy błąd: policzenie średniej cen $(12 + 17) : 2 = 14{,}50$ zł. To działałoby tylko przy równych masach — a tu pestek jest więcej, więc mieszanka jest droższa.

Zadanie 28 (czerwiec 2019)2 pktśrednie

Pan Jan wybrał z bankomatu 2900 zł. Na tę kwotę składały się łącznie 22 banknoty 200-złotowe i 100-złotowe. Ile banknotów 100-złotowych wybrał pan Jan? Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 15 banknotów

Oznaczamy przez $\textcolor{#16A06A}{d}$ liczbę banknotów dwustuzłotowych. Skoro wszystkich jest 22, setek jest $\textcolor{#E0453A}{22 - d}$ .
Zapisujemy wartość: $200\textcolor{#16A06A}{d} + 100\textcolor{#E0453A}{(22 - d)} = 2900$ .
Opuszczamy nawias: $200\textcolor{#16A06A}{d} + 2200 - 100\textcolor{#16A06A}{d} = 2900$ .
$100\textcolor{#16A06A}{d} = 700$ , więc $\textcolor{#16A06A}{d} = 7$ banknotów po 200 zł.
Setek jest zatem $\textcolor{#E0453A}{22 - 7} = 15$ .
Odpowiedź: pan Jan wybrał 15 banknotów 100-złotowych.
Sprawdzenie: $7 \cdot 200 + 15 \cdot 100 = 1400 + 1500 = 2900$ zł ✓

💡 Wskazówka: Sposób „na wszystkie setki”: gdyby wszystkie 22 banknoty były po 100 zł, dałyby 2200 zł. Brakuje 700 zł, a każda zamiana setki na dwusetkę dodaje 100 zł — stąd 7 dwusetek.

⚠ Najczęstszy błąd: podanie liczby banknotów 200-złotowych (7) zamiast setek. Warto podkreślić w treści, o które banknoty pyta zadanie.

Zadanie 29 (czerwiec 2019)3 pkttrudniejsze

Bilet normalny na koncert kosztuje 45 zł, a cena biletu ulgowego stanowi

\dfrac{5}{9}

ceny biletu normalnego. Janek zakupił pięć razy więcej biletów normalnych niż ulgowych. Za wszystkie bilety zapłacił 500 zł. Ile biletów każdego rodzaju zakupił Janek? Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 2 ulgowe i 10 normalnych

Krok 1 — cena biletu ulgowego: $\dfrac{5}{9} \cdot 45 = \textcolor{#E0453A}{25}$ zł.
Krok 2 — oznaczenia. Niech $\textcolor{#16A06A}{u}$ to liczba biletów ulgowych (tych jest mniej). Normalnych jest pięć razy więcej: $\textcolor{#E0453A}{5u}$ .
Krok 3 — równanie na koszt: $\textcolor{#E0453A}{25}\textcolor{#16A06A}{u} + 45 \cdot \textcolor{#E0453A}{5\textcolor{#16A06A}{u}} = 500$ .
$25\textcolor{#16A06A}{u} + 225\textcolor{#16A06A}{u} = 500$ , czyli $250\textcolor{#16A06A}{u} = 500$ , więc $\textcolor{#16A06A}{u} = 2$ .
Biletów normalnych: $\textcolor{#E0453A}{5} \cdot 2 = 10$ .
Odpowiedź: Janek kupił 2 bilety ulgowe i 10 normalnych.
Sprawdzenie: $2 \cdot 25 + 10 \cdot 45 = 50 + 450 = 500$ zł ✓

💡 Wskazówka: Zawsze oznaczaj literą tę wielkość, której jest mniej — wtedy drugą zapisujesz przez mnożenie. Gdybyśmy oznaczyli bilety normalne, ulgowe wyszłyby jako $\tfrac{n}{5}$ .

⚠ Najczęstszy błąd: pominięcie kroku z ceną ulgową i podstawienie $\tfrac59$ do równania kosztów. Najpierw policz konkretną cenę (25 zł), dopiero potem układaj równanie.

Zadanie 30 (kwiecień 2019)3 pkttrudniejsze

Z okazji dnia sportu w godzinach od

9\!:\!00

12\!:\!00

przeprowadzono połowę wszystkich zaplanowanych konkurencji, a między

12\!:\!00

14\!:\!00

— jeszcze

\dfrac{1}{3}

z pozostałych. O godzinie

14\!:\!00

z powodu deszczu zakończono zawody. Tego dnia nie przeprowadzono 12 zaplanowanych konkurencji. Ile konkurencji planowano przeprowadzić? Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 36 konkurencji

Oznaczamy przez $\textcolor{#16A06A}{n}$ liczbę wszystkich zaplanowanych konkurencji.
Rano: przeprowadzono $\tfrac12 \textcolor{#16A06A}{n}$ , więc zostało $\textcolor{#E0453A}{\dfrac{1}{2}n}$ .
Po południu: przeprowadzono $\tfrac13$ z pozostałych, czyli $\tfrac13 \cdot \textcolor{#E0453A}{\dfrac{1}{2}\textcolor{#16A06A}{n}} = \dfrac{1}{6}\textcolor{#16A06A}{n}$ .
Nieprzeprowadzone to reszta: $\textcolor{#E0453A}{\dfrac{1}{2}\textcolor{#16A06A}{n}} - \dfrac{1}{6}\textcolor{#16A06A}{n} = \dfrac{3}{6}\textcolor{#16A06A}{n} - \dfrac{1}{6}\textcolor{#16A06A}{n} = \dfrac{2}{6}\textcolor{#16A06A}{n} = \dfrac{1}{3}\textcolor{#16A06A}{n}$ .
Z treści wiemy, że to 12 konkurencji: $\dfrac{1}{3}\textcolor{#16A06A}{n} = 12$ , więc $\textcolor{#16A06A}{n} = 36$ .
Odpowiedź: planowano przeprowadzić 36 konkurencji.
Sprawdzenie: rano 18, po południu $\tfrac13 \cdot 18 = 6$ , nieprzeprowadzone $36 - 18 - 6 = 12$ ✓

💡 Wskazówka: Zwrot „ $\tfrac13$ z pozostałych” zmienia podstawę liczenia. Najpierw zapisz, ile zostało po pierwszym etapie, i dopiero od tej wielkości licz kolejny ułamek.

⚠ Najczęstszy błąd: policzenie $\tfrac13$ z całości zamiast z reszty. Wyszłoby wtedy, że nieprzeprowadzonych jest $\tfrac16 n$ , i cała odpowiedź byłaby dwa razy za duża.

Zadanie 31 (grudzień 2018)3 pkttrudniejsze

W wyborach na przewodniczącego klasy kandydowało troje uczniów: Jacek, Helena i Grzegorz. Każdy uczeń oddał jeden ważny głos. Jacek otrzymał 9 głosów, co stanowiło 36% wszystkich głosów. Helena otrzymała o 6 głosów więcej niż Grzegorz. Oblicz, ile głosów otrzymała Helena, a ile Grzegorz. Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: Helena 11, Grzegorz 5

Krok 1 — ilu było głosujących? Skoro 9 głosów to $\textcolor{#E0453A}{36\%}$ wszystkich, to wszystkich jest $9 : \textcolor{#E0453A}{0{,}36} = \textcolor{#16A06A}{25}$ .
(W pamięci: $\textcolor{#E0453A}{36\%}$ to 9, więc $\textcolor{#E0453A}{4\%}$ to 1, a 100% to 25.)
Krok 2 — ile głosów zostało dla pozostałych? $\textcolor{#16A06A}{25} - 9 = \textcolor{#16A06A}{16}$ głosów dla Heleny i Grzegorza razem.
Krok 3 — podział. Niech $\textcolor{#16A06A}{g}$ to głosy Grzegorza; Helena ma $\textcolor{#E0453A}{g + 6}$ .
$\textcolor{#16A06A}{g} + \textcolor{#E0453A}{(g + 6)} = \textcolor{#16A06A}{16}$ , czyli $2\textcolor{#16A06A}{g} = 10$ , więc $\textcolor{#16A06A}{g} = 5$ .
Helena: $\textcolor{#E0453A}{5 + 6} = 11$ głosów.
Odpowiedź: Helena otrzymała 11 głosów, a Grzegorz 5.
Sprawdzenie: $9 + 11 + 5 = 25$ ✓ oraz $\tfrac{9}{25} = 0{,}36 = 36\%$ ✓

💡 Wskazówka: Zadania „suma i różnica” mają szybki sposób: od sumy odejmij różnicę i podziel na pół, żeby dostać mniejszą liczbę. Tu: $(16 - 6) : 2 = 5$ .

⚠ Najczęstszy błąd: podzielenie 16 głosów na pół (po 8) i zignorowanie różnicy 6. Drugi błąd: policzenie 36% z 9 zamiast potraktowania 9 jako 36% całości.

Zadanie 32 (grudzień 2017)4 pkttrudniejsze

W wypożyczalni Gierka za wypożyczenie gry planszowej płaci się 8 zł za 3 dni i dodatkowo po 2,50 zł za każdy kolejny dzień. W wypożyczalni Planszówka płaci się 12 zł za 3 dni i po 2 zł za każdy kolejny dzień. Przy jakiej liczbie dni koszty wypożyczenia w obu wypożyczalniach są jednakowe? Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 11 dni

Oznaczamy przez $\textcolor{#16A06A}{d}$ całkowitą liczbę dni wypożyczenia. Pierwsze 3 dni są w cenie podstawowej, więc dni dodatkowych jest $\textcolor{#E0453A}{d - 3}$ .
Gierka: $8 + 2{,}50 \cdot \textcolor{#E0453A}{(d - 3)}$ . Planszówka: $12 + 2 \cdot \textcolor{#E0453A}{(d - 3)}$ .
Przyrównujemy koszty: $8 + 2{,}50\textcolor{#E0453A}{(d-3)} = 12 + 2\textcolor{#E0453A}{(d-3)}$ .
Przenosimy wyrazy z nawiasem na jedną stronę: $0{,}50 \cdot \textcolor{#E0453A}{(d-3)} = 4$ .
Stąd $\textcolor{#E0453A}{d - 3} = 8$ , czyli $\textcolor{#16A06A}{d} = 11$ dni.
Odpowiedź: koszty zrównują się przy 11 dniach wypożyczenia.
Sprawdzenie: Gierka $8 + 8 \cdot 2{,}50 = 28$ zł, Planszówka $12 + 8 \cdot 2 = 28$ zł ✓

💡 Wskazówka: Rozumowanie bez równania: Planszówka startuje o 4 zł drożej, ale każdy dodatkowy dzień jest u niej tańszy o 0,50 zł. Nadrabia więc różnicę po $4 : 0{,}50 = 8$ dodatkowych dniach, czyli w 11. dniu.

⚠ Najczęstszy błąd: podanie odpowiedzi 8 dni — czyli liczby dni dodatkowych zamiast wszystkich. Trzeba doliczyć trzy dni z opłaty podstawowej.

Zadanie 33 (kwiecień 2016, egzamin gimnazjalny)3 pkttrudniejsze

Uczniowie klas trzecich pojechali na wycieczkę pociągiem. W każdym zajętym przez nich przedziale było ośmioro uczniów. Jeśli w każdym przedziale byłoby sześcioro uczniów, to zajęliby oni o 3 przedziały więcej. Ilu uczniów pojechało na tę wycieczkę? Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 72 uczniów

Oznaczamy przez $\textcolor{#16A06A}{u}$ liczbę uczniów. Liczba przedziałów zależy od tego, ilu wsiada do każdego.
Po ośmioro: $\dfrac{\textcolor{#16A06A}{u}}{8}$ przedziałów. Po sześcioro: $\dfrac{\textcolor{#16A06A}{u}}{6}$ przedziałów.
Warunek: przy sześciu osobach przedziałów jest o $\textcolor{#E0453A}{3}$ więcej:
$\dfrac{\textcolor{#16A06A}{u}}{6} = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{u}}{8} + \textcolor{#E0453A}{3}$ .
Mnożymy obie strony przez 24 (NWW mianowników): $4\textcolor{#16A06A}{u} = 3\textcolor{#16A06A}{u} + 72$ .
Stąd $\textcolor{#16A06A}{u} = 72$ .
Odpowiedź: na wycieczkę pojechało 72 uczniów.
Sprawdzenie: $72 : 8 = 9$ przedziałów, $72 : 6 = 12$ przedziałów, a $12 - 9 = 3$ ✓

💡 Wskazówka: Zwróć uwagę na kierunek: mniej osób w przedziale to więcej przedziałów. To zależność odwrotnie proporcjonalna — dlatego plus stoi przy ułamku z szóstką.

⚠ Najczęstszy błąd: zapisanie warunku odwrotnie ( $\tfrac{u}{6} + 3 = \tfrac{u}{8}$ ) — wychodzi wtedy wynik ujemny, co powinno od razu zwrócić uwagę.

Zadanie 34 (kwiecień 2013, egzamin gimnazjalny)3 pktśrednie

W pewnej klasie liczba chłopców stanowi 80% liczby dziewcząt. Gdyby do tej klasy doszło jeszcze trzech chłopców, to liczba chłopców byłaby równa liczbie dziewcząt. Ile dziewcząt jest w tej klasie? Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 15 dziewcząt

Oznaczamy przez $\textcolor{#16A06A}{d}$ liczbę dziewcząt — to do nich odnosi się procent.
Chłopcy stanowią 80% dziewcząt, czyli jest ich $\textcolor{#E0453A}{0{,}8d}$ .
Warunek: po dołączeniu 3 chłopców liczby się zrównają: $\textcolor{#E0453A}{0{,}8\textcolor{#16A06A}{d}} + 3 = \textcolor{#16A06A}{d}$ .
Przenosimy: $3 = \textcolor{#16A06A}{d} - \textcolor{#E0453A}{0{,}8\textcolor{#16A06A}{d}} = \textcolor{#E0453A}{0{,}2}\textcolor{#16A06A}{d}$ .
Stąd $\textcolor{#16A06A}{d} = 3 : \textcolor{#E0453A}{0{,}2} = 15$ .
Odpowiedź: w klasie jest 15 dziewcząt.
Sprawdzenie: chłopców jest $0{,}8 \cdot 15 = 12$ ; po dołączeniu trzech byłoby 15 — tyle samo co dziewcząt ✓

💡 Wskazówka: Kluczowa obserwacja: brakujący 20% (różnica między 100% a 80%) to dokładnie ci trzej chłopcy. Stąd od razu $20\% = 3$ , więc $100\% = 15$ .

⚠ Najczęstszy błąd: podanie liczby chłopców (12) zamiast dziewcząt. Drugi błąd: liczenie 80% z całej klasy zamiast z liczby dziewcząt.

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. C	2. D	3. A, D	4. D	5. D	6. C
7. C	8. B	9. C	10. B	11. F, P	12. P, F
13. 57 kartek niebieskich	14. 28 osób	15. trzeci składnik to 1/10	16. Basia 42, Andrzej 70, Marek 14	17. 600 elementów	18. 40 książek
19. 200 banknotów	20. 24 osoby	21. 3,60 zł	22. 16 białych róż	23. 9 myszek	24. 16 książek
25. 652 zł	26. 6 km	27. 15 zł	28. 15 banknotów	29. 2 ulgowe i 10 normalnych	30. 36 konkurencji
31. Helena 11, Grzegorz 5	32. 11 dni	33. 72 uczniów	34. 15 dziewcząt

Treści zadań pochodzą z arkuszy egzaminu ósmoklasisty oraz z arkuszy egzaminu gimnazjalnego (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów liczę i zapisuję sam — Mateusz Będkowski.

Pytania i odpowiedzi

Jak zamienić treść zadania na równanie?

Znajdź w treści jedno zdanie, które wiąże znane z nieznanym — najczęściej zaczyna się od „razem”, „w sumie” albo „łącznie”. To zdanie jest równaniem zapisanym słowami. Reszta treści opisuje tylko zależności między wielkościami.

Co oznaczyć jako

x

Najmniejszą z porównywanych wielkości. Wtedy pozostałe zapiszesz przez dodawanie i mnożenie zamiast przez ułamki. Jeśli zadanie pyta o większą, policzysz ją na końcu — to jeden dodatkowy krok, ale prostszy rachunek.

Jak rozwiązać zadanie o wieku?

Wykorzystaj to, że różnica wieku jest stała. Zapisz oba wieki przez jedną niewiadomą, a jeśli w treści pojawia się „za $n$ lat”, dopisz $+n$ do obu wyrażeń naraz.

Ile punktów można dostać za samo równanie bez wyniku?

W zadaniach otwartych zwykle część punktów — poprawnie ułożone równanie jest osobno punktowanym etapem. Dlatego warto je zapisać nawet wtedy, gdy nie masz pewności co do dalszych obliczeń.

Czy trzeba pisać odpowiedź pełnym zdaniem?

Tak, i z jednostką. To ostatni etap rozwiązania, a przy okazji wymusza sprawdzenie, czy wynik odpowiada na zadane pytanie — a nie na pytanie, które pojawiło się po drodze.

Jak sprawdzić, czy wynik jest sensowny?

Podstaw go do treści zadania, nie do swojego równania. Sprawdź też realność: liczba osób i przedmiotów musi być całkowita, wiek dodatni, a cena po obniżce niższa od wyjściowej.

Czytaj dalej

Wyrażenia algebraiczne na egzaminieZapisywanie treści symbolami — krok, od którego zaczyna się każde z tych zadań Procenty na egzaminieCztery zadania z tej strony to równania z procentem Obliczenia praktyczne na egzaminieZakupy, ceny jednostkowe i kalendarz — te same nawyki, inne dane Egzamin ósmoklasisty z matematykiJak zbudowany jest arkusz i jak się do niego przygotować

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-07-30. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa Mateusza Będkowskiego.

Zadania tekstowe na egzaminie ósmoklasisty

Cztery pytania, które zadaję zawsze

Co oznaczyć jako xxx

Zadania o wieku

Zadania o pieniądzach i zakupach

Równania z ułamkami

Jak zapisać rozwiązanie na pełne punkty

Sprawdzenie: czy wynik ma sens

Przykłady krok po kroku

Najczęstsze błędy

Zadania z arkuszy CKE — zadania tekstowe

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (styczeń 2026)1 pktśrednie

Zadanie 2 (czerwiec 2025)1 pktłatwe

Zadanie 3 (czerwiec 2022)1 pktłatwe

Zadanie 4 (maj 2022)1 pkttrudniejsze

Zadanie 5 (marzec 2020)1 pktłatwe

Zadanie 6 (marzec 2020)1 pktśrednie

Zadanie 7 (grudzień 2018)1 pktśrednie

Zadanie 8 (kwiecień 2016, egzamin gimnazjalny)1 pktśrednie

Zadanie 9 (listopad 2012, egzamin gimnazjalny)1 pktśrednie

Zadanie 10 (kwiecień 2012, egzamin gimnazjalny)1 pktśrednie

Zadanie 11 (grudzień 2011, egzamin gimnazjalny)1 pkttrudniejsze

Zadanie 12 (materiały CKE)1 pkttrudniejsze

Zadania otwarte

Zadanie 13 (maj 2026)2 pktśrednie

Zadanie 14 (styczeń 2026)3 pkttrudniejsze

Zadanie 15 (maj 2025)2 pktśrednie

Zadanie 16 (maj 2025)3 pkttrudniejsze

Zadanie 17 (maj 2024)2 pktśrednie

Zadanie 18 (czerwiec 2023)3 pkttrudniejsze

Zadanie 19 (czerwiec 2022)2 pktśrednie

Zadanie 20 (czerwiec 2021)3 pkttrudniejsze

Zadanie 21 (maj 2021)2 pkttrudniejsze

Zadanie 22 (marzec 2021)2 pkttrudniejsze

Zadanie 23 (czerwiec 2020)3 pkttrudniejsze

Zadanie 24 (kwiecień 2020)2 pktśrednie

Zadanie 25 (kwiecień 2020)3 pkttrudniejsze

Zadanie 26 (marzec 2020)2 pktśrednie

Zadanie 27 (marzec 2020)2 pktśrednie

Zadanie 28 (czerwiec 2019)2 pktśrednie

Zadanie 29 (czerwiec 2019)3 pkttrudniejsze

Zadanie 30 (kwiecień 2019)3 pkttrudniejsze

Zadanie 31 (grudzień 2018)3 pkttrudniejsze

Zadanie 32 (grudzień 2017)4 pkttrudniejsze

Zadanie 33 (kwiecień 2016, egzamin gimnazjalny)3 pkttrudniejsze

Zadanie 34 (kwiecień 2013, egzamin gimnazjalny)3 pktśrednie

Odpowiedzi

Pytania i odpowiedzi

Czytaj dalej

Co oznaczyć jako $x$