Zadania tekstowe na egzaminie ósmoklasisty

Odpowiedź: C

1. Sprytny trik: skoro znamy sumę wszystkich trzech klas i sumę dwóch z nich, to odejmowanie od razu daje trzecią.
2. $8C = 132{,}9 - \textcolor{#E0453A}{90{,}6} = \textcolor{#16A06A}{42{,}3}$ kg (bo $90{,}6$ to razem 8A i 8B).
3. Teraz z drugiej informacji: $8B = \textcolor{#E0453A}{86{,}8} - \textcolor{#16A06A}{42{,}3} = 44{,}5$ kg.
4. Odpowiedź C.
5. Sprawdzenie: $8A = 90{,}6 - 44{,}5 = 46{,}1$, a $46{,}1 + 44{,}5 + 42{,}3 = 132{,}9$ ✓

💡 Wskazówka: Nie buduj układu trzech równań — wystarczy zauważyć, że „wszystko minus dwie klasy” daje trzecią klasę. Dwa odejmowania i zadanie zrobione.

⚠ Najczęstszy błąd: dodanie $90{,}6 + 86{,}8$ i odjęcie od 132,9. To daje $44{,}5$ — akurat poprawny wynik, ale przez przypadek: klasa 8B jest w tej sumie liczona dwa razy, więc metoda działa tylko tutaj.

Odpowiedź: D

1. Zapisujemy wiek każdej dziewczyny przez $\textcolor{#16A06A}{x}$ — wiek Ani.
2. Ania: $\textcolor{#16A06A}{x}$.   Kasia (3 razy starsza): $\textcolor{#E0453A}{3x}$.   Ola (o 2 lata starsza od Kasi): $\textcolor{#E0453A}{3x} + 2$.
3. Sumujemy: $\textcolor{#16A06A}{x} + \textcolor{#E0453A}{3x} + (\textcolor{#E0453A}{3x} + 2)$.
4. Grupujemy: $\textcolor{#16A06A}{x} + \textcolor{#E0453A}{3x} + \textcolor{#E0453A}{3x} = 7x$, a dwójka zostaje osobno.
5. Wynik: $7x + 2$ — odpowiedź D.

💡 Wskazówka: Zapisuj wiek każdej osoby w osobnej linijce, zanim zaczniesz sumować. Wtedy nie zgubisz żadnego składnika ani stałej.

⚠ Najczęstszy błąd: zapisanie wieku Oli jako $x + 2$ (o 2 lata starsza od Ani, a nie od Kasi) — wychodzi wtedy $5x + 2$, czyli kusząca odpowiedź C.

Odpowiedź: A, D

1. Oznaczamy przez $\textcolor{#16A06A}{c}$ wiek córki — bo to ona jest wielkością odniesienia („4 razy młodsza”).
2. Mama ma wtedy $\textcolor{#E0453A}{4c}$ lat.
3. Razem 60 lat: $\textcolor{#16A06A}{c} + \textcolor{#E0453A}{4c} = 60$, czyli $5\textcolor{#16A06A}{c} = 60$, więc $\textcolor{#16A06A}{c} = 12$.
4. Mama: $\textcolor{#E0453A}{4} \cdot 12 = 48$ lat — odpowiedź A.
5. Córka za 8 lat: $12 + 8 = 20$ lat — odpowiedź D. Razem: A, D.

💡 Wskazówka: Zawsze oznaczaj literą mniejszą z porównywanych wielkości. Gdybyśmy oznaczyli wiek mamy, córka miałaby $\tfrac{m}{4}$ — i doszłyby ułamki.

⚠ Najczęstszy błąd w drugim podpunkcie: dodanie 8 lat do wieku mamy albo podanie obecnego wieku córki (12). Warto podkreślać w treści, o kogo i o kiedy pyta zadanie.

Odpowiedź: D

1. Idziemy miesiąc po miesiącu i pilnujemy, od czego liczymy każdy ułamek.
2. Maj: zużył $\tfrac13$ całości, więc zostało $\textcolor{#16A06A}{x - \dfrac{1}{3}x}$.
3. Czerwiec: kluczowe słowa — „połowę masy ziemi, która została”. Czyli połowę tego, co zostało po maju: $\textcolor{#E0453A}{\dfrac{1}{2}\left(x - \dfrac{1}{3}x\right)}$.
4. Lipiec: od tego, co było po maju, odejmujemy to, co poszło w czerwcu — i ma zostać 60 kg:
5. $\textcolor{#16A06A}{\left(x - \dfrac{1}{3}x\right)} - \textcolor{#E0453A}{\dfrac{1}{2}\left(x - \dfrac{1}{3}x\right)} = 60$ — odpowiedź D.
6. Dla ciekawości: po uproszczeniu $\tfrac13 x = 60$, czyli ogrodnik kupił 180 kg ziemi.

💡 Wskazówka: Gdy w zadaniu pada zwrot „z tego, co zostało”, podstawa liczenia się zmienia. Zapisz najpierw resztę w nawiasie i dopiero od niej licz kolejny ułamek.

⚠ Dwa typowe błędy: (1) liczenie połowy z całości zamiast z reszty (odpowiedzi A i C); (2) dodawanie zużycia zamiast odejmowania (odpowiedzi A i B) — ziemi przecież ubywa.

Odpowiedź: D

1. Oznaczamy przez $\textcolor{#16A06A}{b}$ wiek jednego bliźniaka. Drugi ma tyle samo, a Oskar $\textcolor{#E0453A}{b + 6}$.
2. Uwaga: bliźniaków jest dwóch, więc w sumie ich wiek liczymy dwa razy.
3. $\textcolor{#16A06A}{b} + \textcolor{#16A06A}{b} + \textcolor{#E0453A}{(b + 6)} = 42$, czyli $3\textcolor{#16A06A}{b} + 6 = 42$.
4. $3\textcolor{#16A06A}{b} = 36$, więc $\textcolor{#16A06A}{b} = 12$ lat.
5. Odpowiedź D. Sprawdzenie: $12 + 12 + 18 = 42$ ✓

💡 Wskazówka: Bliźniacy to dwie osoby w tym samym wieku — łatwo policzyć ich jako jedną. Wypisz wszystkie trzy wieki osobno, zanim je zsumujesz.

⚠ Najczęstszy błąd: policzenie bliźniaków jako jednej osoby ($2b + 6 = 42$, czyli $b = 18$ — kusząca odpowiedź A). Drugi błąd: podanie wieku Oskara (18) zamiast bliźniaków.

Odpowiedź: C

1. Uwaga na to, co oznacza litera: $\textcolor{#16A06A}{t}$ to liczba tulipanów — czyli tych, których jest więcej.
2. Skoro tulipanów jest o 50 więcej niż róż, to róż jest o 50 mniej: $\textcolor{#E0453A}{t - 50}$.
3. Zapisujemy koszty: tulipany $1{,}2 \cdot \textcolor{#16A06A}{t}$, róże $4 \cdot \textcolor{#E0453A}{(t - 50)}$.
4. Razem 580 zł: $1{,}2\textcolor{#16A06A}{t} + 4\textcolor{#E0453A}{(t - 50)} = 580$ — odpowiedź C.
5. (Rozwiązując: $1{,}2t + 4t - 200 = 580 \Rightarrow 5{,}2t = 780 \Rightarrow t = 150$ tulipanów i 100 róż.)

💡 Wskazówka: Zawsze sprawdź, czy litera oznacza wielkość większą czy mniejszą. Jeśli większą — przy drugiej stawiasz minus, jeśli mniejszą — plus.

⚠ Najczęstszy błąd: dopisanie $+50$ do róż (odpowiedź D), czyli odwrócenie relacji. Kontrola zdroworozsądkowa: róże są droższe, więc jeśli byłoby ich więcej, kwota szybko przekroczyłaby 580 zł.

Odpowiedź: C

1. Zdanie „A jest o $k$ większe od B” zapisujemy jako $A = B + k$ — dodajemy do tej mniejszej strony.
2. Tutaj $A = \textcolor{#16A06A}{\dfrac{1}{3}x}$ (ta większa), $B = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{1}{6}x}$, a $k = \dfrac34$.
3. Zatem $\textcolor{#16A06A}{\dfrac{1}{3}x} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{1}{6}x} + \dfrac{3}{4}$ — odpowiedź C.
4. Sprawdzenie sensu: $\tfrac13$ jest rzeczywiście większe od $\tfrac16$, więc kierunek się zgadza ✓
5. (Rozwiązując: $\tfrac16 x = \tfrac34$, czyli $x = 4{,}5$.)

💡 Wskazówka: Trik pamięciowy: dodajesz do tego, czego jest mniej, żeby zrównać strony. Odpowiedź D robi odwrotnie — dodaje do większej strony.

⚠ Najczęstszy błąd: odpowiedź D, czyli dopisanie $\tfrac34$ po niewłaściwej stronie. Warto sprawdzić, czy równanie ma sensowne rozwiązanie — w D wychodzi $x$ ujemne, co przy „liczbie większej o” powinno zapalić lampkę.

Odpowiedź: B

1. Kluczowa obserwacja: kwota 120 zł to sama obniżka, czyli $\textcolor{#E0453A}{8\%}$ ceny początkowej.
2. Zapisujemy: $\textcolor{#E0453A}{0{,}08} \cdot \textcolor{#16A06A}{c} = 120$.
3. Stąd $\textcolor{#16A06A}{c} = 120 : \textcolor{#E0453A}{0{,}08} = 1500$ zł.
4. Odpowiedź B.
5. Sposób „na 1 procent”: skoro $\textcolor{#E0453A}{8\%}$ to 120 zł, to $1\%$ to $15$ zł, a $100\%$ — $1500$ zł ✓

💡 Wskazówka: Rozróżnij, co jest podane: kwota obniżki (jak tutaj) czy cena po obniżce. W pierwszym przypadku dzielisz przez $8\%$, w drugim przez $92\%$ — to zupełnie inne rachunki.

⚠ Najczęstszy błąd: potraktowanie 120 zł jako ceny po obniżce albo pomnożenie $120 \cdot 8 = 960$ (kusząca odpowiedź D) zamiast podzielenia przez 0,08.

Odpowiedź: C

1. $25\%$ to $\tfrac14$, więc sok ma stanowić jedną czwartą całego napoju.
2. Skoro $\textcolor{#16A06A}{2}$ butelki soku to $\tfrac14$ całości, to cały napój ma $\textcolor{#16A06A}{2} \cdot 4 = \textcolor{#E0453A}{8}$ butelek.
3. Wody trzeba dolać: $\textcolor{#E0453A}{8} - \textcolor{#16A06A}{2} = 6$ butelek.
4. Odpowiedź C. Sprawdzenie: $\dfrac{\textcolor{#16A06A}{2}}{\textcolor{#E0453A}{8}} = 0{,}25 = 25\%$ ✓

💡 Wskazówka: Zamieniaj procenty na ułamki: $25\% = \tfrac14$, $20\% = \tfrac15$, $50\% = \tfrac12$. Wtedy takie zadania robi się w pamięci.

⚠ Najczęstszy błąd: podanie całkowitej liczby butelek (8 — kusząca odpowiedź D) zamiast liczby butelek wody do dolania. Dwie butelki soku są już w dzbanku.

Odpowiedź: B

1. Oznaczamy przez $\textcolor{#16A06A}{n}$ liczbę wszystkich uczestników.
2. Polska: $\tfrac12 \textcolor{#16A06A}{n}$.   Niemcy („co trzeci”): $\tfrac13 \textcolor{#16A06A}{n}$.   Francja: $\textcolor{#E0453A}{5}$ osób.
3. Wszyscy razem dają całość: $\tfrac12 \textcolor{#16A06A}{n} + \tfrac13 \textcolor{#16A06A}{n} + \textcolor{#E0453A}{5} = \textcolor{#16A06A}{n}$.
4. Sprowadzamy ułamki do mianownika 6: $\tfrac36 \textcolor{#16A06A}{n} + \tfrac26 \textcolor{#16A06A}{n} = \tfrac56 \textcolor{#16A06A}{n}$.
5. Zatem piątka to reszta: $\textcolor{#E0453A}{5} = \textcolor{#16A06A}{n} - \tfrac56 \textcolor{#16A06A}{n} = \tfrac16 \textcolor{#16A06A}{n}$, więc $\textcolor{#16A06A}{n} = 30$.
6. Odpowiedź B. Sprawdzenie: $15 + 10 + 5 = 30$ ✓

💡 Wskazówka: Zamiast układać równanie, można od razu policzyć jaką część stanowią Francuzi: $1 - \tfrac12 - \tfrac13 = \tfrac16$. Skoro $\tfrac16$ to 5 osób, całość to 30.

⚠ Najczęstszy błąd: dodanie $\tfrac12 + \tfrac13 = \tfrac25$ („licznik do licznika”) — wychodzi wtedy zupełnie inna reszta. Ułamki zawsze wymagają wspólnego mianownika.

Odpowiedź: F, P

1. Oznaczamy obecny wiek: Ania $\textcolor{#16A06A}{a}$, Tomek $\textcolor{#E0453A}{t}$. Wiemy, że $\textcolor{#16A06A}{a} + \textcolor{#E0453A}{t} = 14$.
2. Kluczowy krok: dwa lata temu oboje byli o 2 lata młodsi — Ania miała $\textcolor{#16A06A}{a-2}$, a Tomek $\textcolor{#E0453A}{t-2}$.
3. Warunek z przeszłości: $\textcolor{#E0453A}{t-2} = 4(\textcolor{#16A06A}{a-2})$, czyli $\textcolor{#E0453A}{t} - 2 = 4\textcolor{#16A06A}{a} - 8$, stąd $\textcolor{#E0453A}{t} = 4\textcolor{#16A06A}{a} - 6$.
4. Wstawiamy do pierwszego równania: $\textcolor{#16A06A}{a} + 4\textcolor{#16A06A}{a} - 6 = 14$, czyli $5\textcolor{#16A06A}{a} = 20$, więc $\textcolor{#16A06A}{a} = 4$ i $\textcolor{#E0453A}{t} = 10$.
5. Zdanie 1: czy Ania jest dwa razy młodsza? Byłoby tak przy $4$ i $8$, a Tomek ma 10 — fałsz.
6. Zdanie 2: $10 - 4 = 6$ ✓ — prawda. Odpowiedzi: F, P.
7. Sprawdzenie warunku: dwa lata temu Ania miała 2 lata, Tomek 8, a $8 = 4 \cdot 2$ ✓

💡 Wskazówka: W zadaniach „ile lat temu / za ile lat” odejmij (lub dodaj) tę samą liczbę każdej osobie. Różnica wieku nigdy się nie zmienia — to bardzo przydatna kontrola.

⚠ Najczęstszy błąd: odjęcie 2 lat tylko jednej osobie. Drugi błąd: potraktowanie „4 razy starszy” jako warunku obecnego, mimo że dotyczy przeszłości.

Odpowiedź: P, F

1. Zapisujemy wszystkie kolory przez $\textcolor{#16A06A}{n}$ — liczbę niebieskich.
2. Czarne: o $20\%$ mniej niż niebieskich, czyli $\textcolor{#E0453A}{0{,}8n}$.
3. Zielone: niebieskich jest o 6 mniej niż zielonych, więc zielonych jest o 6 więcej: $\textcolor{#E0453A}{n + 6}$.
4. Zdanie 1. „Niebieskich i zielonych łącznie o 48 więcej niż czarnych” zapisujemy: $\textcolor{#16A06A}{n} + \textcolor{#E0453A}{(n+6)} = \textcolor{#E0453A}{0{,}8n} + 48$ ✓ — dokładnie to równanie — prawda.
5. Zdanie 2. Rozwiązujemy: $2\textcolor{#16A06A}{n} + 6 = \textcolor{#E0453A}{0{,}8n} + 48$, czyli $1{,}2\textcolor{#16A06A}{n} = 42$, więc $\textcolor{#16A06A}{n} = 35$.
6. Zielonych jest $\textcolor{#E0453A}{35 + 6} = 41$, a nie 29 — fałsz. Odpowiedzi: P, F.

💡 Wskazówka: „O 20% mniej” to mnożnik $0{,}8$ — nie odejmowanie liczby 20. Warto ten mnożnik zapisać od razu, zanim zacznie się budować równanie.

⚠ Najczęstszy błąd w zdaniu 2: podanie liczby niebieskich (35) zamiast zielonych. Drugi błąd: zapisanie zielonych jako $n - 6$, czyli odwrócenie relacji.

Odpowiedź: 57 kartek niebieskich

1. Oznaczamy przez $\textcolor{#16A06A}{c}$ liczbę kartek czerwonych — bo do nich odnoszą się dwa pozostałe kolory.
2. Niebieskie: $\textcolor{#E0453A}{1{,}5c}$.   Zielone: $\textcolor{#E0453A}{c - 10}$.   Białe: 37 (podane wprost).
3. Wszystkie razem dają 160: $37 + \textcolor{#E0453A}{1{,}5c} + \textcolor{#16A06A}{c} + \textcolor{#E0453A}{(c - 10)} = 160$.
4. Porządkujemy: $3{,}5\textcolor{#16A06A}{c} + 27 = 160$, czyli $3{,}5\textcolor{#16A06A}{c} = 133$, więc $\textcolor{#16A06A}{c} = 38$.
5. Pytanie dotyczy niebieskich: $\textcolor{#E0453A}{1{,}5} \cdot 38 = 57$.
6. Odpowiedź: Ela przygotowała 57 kartek niebieskich.
7. Sprawdzenie: $37 + 57 + 38 + 28 = 160$ ✓

💡 Wskazówka: Wybierz na niewiadomą ten kolor, do którego odnoszą się pozostałe — tu czerwony. Gdybyś oznaczył niebieskie, czerwone wyszłyby jako $\tfrac{n}{1{,}5}$, a zielone jeszcze gorzej.

⚠ Najczęstszy błąd: zatrzymanie się na $c = 38$ i podanie tej liczby. Zadanie pyta o niebieskie, więc trzeba jeszcze pomnożyć przez 1,5.

Odpowiedź: 28 osób

1. Oznaczamy przez $\textcolor{#16A06A}{n}$ liczbę harcerzy w drużynie.
2. Liczba zespołów 4-osobowych: $\dfrac{\textcolor{#16A06A}{n}}{4}$.
3. Gdyby było o 3 osoby mniej, zespołów 5-osobowych byłoby: $\dfrac{\textcolor{#16A06A}{n} - 3}{5}$.
4. Warunek — zespołów pięcioosobowych jest o $\textcolor{#E0453A}{2}$ mniej: $\dfrac{\textcolor{#16A06A}{n} - 3}{5} = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{n}}{4} - \textcolor{#E0453A}{2}$.
5. Mnożymy obie strony przez 20, żeby pozbyć się ułamków: $4(\textcolor{#16A06A}{n} - 3) = 5\textcolor{#16A06A}{n} - 40$.
6. $4\textcolor{#16A06A}{n} - 12 = 5\textcolor{#16A06A}{n} - 40$, czyli $\textcolor{#16A06A}{n} = 28$.
7. Odpowiedź: w drużynie jest 28 osób.
8. Sprawdzenie: $28 : 4 = 7$ zespołów czteroosobowych, $(28-3) : 5 = 5$ zespołów pięcioosobowych, a $7 - 5 = 2$ ✓

💡 Wskazówka: Przy równaniu z dwoma ułamkami pomnóż obie strony przez NWW mianowników (tu 20). Zadanie zamienia się wtedy w proste równanie liniowe.

⚠ Najczęstszy błąd: zapisanie warunku odwrotnie ($\tfrac{n-3}{5} + 2 = \tfrac{n}{4}$ jest poprawne, ale $\tfrac{n-3}{5} = \tfrac{n}{4} + 2$ już nie). Zespołów pięcioosobowych jest mniej, bo są liczniejsze.

Odpowiedź: trzeci składnik to 1/10

1. Trzeci składnik wyznaczamy przez odejmowanie: $x = \dfrac{7}{15} - \dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{6}$.
2. Szukamy wspólnego mianownika dla 15, 5 i 6. Rozkładamy: $15 = 3 \cdot 5$, $5$, $6 = 2 \cdot 3$ — najmniejszy wspólny to $\textcolor{#E0453A}{30}$.
3. Rozszerzamy każdy ułamek: $\dfrac{7}{15} = \textcolor{#16A06A}{\dfrac{14}{30}}$,   $\dfrac{1}{5} = \textcolor{#16A06A}{\dfrac{6}{30}}$,   $\dfrac{1}{6} = \textcolor{#16A06A}{\dfrac{5}{30}}$.
4. Odejmujemy: $x = \textcolor{#16A06A}{\dfrac{14}{30}} - \textcolor{#16A06A}{\dfrac{6}{30}} - \textcolor{#16A06A}{\dfrac{5}{30}} = \dfrac{3}{30}$.
5. Skracamy przez 3: $\dfrac{3}{30} = \dfrac{1}{10}$.
6. Otrzymaliśmy ułamek o liczniku 1 i mianowniku 10 — czyli liczbie całkowitej dodatniej. To należało uzasadnić.
7. Sprawdzenie: $\dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{10} = \dfrac{6 + 5 + 3}{30} = \dfrac{14}{30} = \dfrac{7}{15}$ ✓

💡 Wskazówka: Nie zatrzymuj się na $\tfrac{3}{30}$ — dopiero po skróceniu widać, że licznik wynosi 1. Właśnie o to pyta zadanie.

⚠ Najczęstszy błąd: podanie wyniku $\tfrac{3}{30}$ bez skrócenia. Formalnie to ta sama liczba, ale zadanie wymaga pokazania postaci z licznikiem 1 — bez skrócenia uzasadnienie jest niepełne.

Odpowiedź: Basia 42, Andrzej 70, Marek 14

1. Oznaczamy przez $\textcolor{#16A06A}{b}$ liczbę plakatów Basi — do niej odnoszą się obaj chłopcy.
2. Andrzej: $\textcolor{#E0453A}{b + 28}$.   Marek: $\textcolor{#E0453A}{\dfrac{b}{3}}$.
3. Trzeci warunek: Andrzej i Marek razem mają 2 razy więcej niż Basia:
4. $\textcolor{#E0453A}{(b + 28)} + \textcolor{#E0453A}{\dfrac{b}{3}} = 2\textcolor{#16A06A}{b}$.
5. Mnożymy obie strony przez 3: $3b + 84 + b = 6b$, czyli $4b + 84 = 6b$.
6. $84 = 2b$, więc $\textcolor{#16A06A}{b} = 42$.
7. Andrzej: $42 + 28 = 70$.   Marek: $42 : 3 = 14$.
8. Odpowiedź: Basia ma 42 plakaty, Andrzej 70, a Marek 14.
9. Sprawdzenie: $70 + 14 = 84 = 2 \cdot 42$ ✓

💡 Wskazówka: Gdy trzy osoby są porównywane, oznacz literą tę, która występuje w największej liczbie porównań — tu Basię. Pozostałe wyrażą się przez nią bez kombinowania.

⚠ Najczęstszy błąd: zapisanie Marka jako $3b$ zamiast $\tfrac{b}{3}$. „Trzy razy mniej” oznacza dzielenie, a nie mnożenie.

Odpowiedź: 600 elementów

1. Oznaczamy przez $\textcolor{#16A06A}{n}$ liczbę elementów w jednym zestawie (oba są takie same).
2. Ela ułożyła $\textcolor{#E0453A}{\dfrac{2}{5}n}$, Ania $\textcolor{#E0453A}{\dfrac{1}{3}n}$, a razem 440 elementów:
3. $\textcolor{#E0453A}{\dfrac{2}{5}\textcolor{#16A06A}{n}} + \textcolor{#E0453A}{\dfrac{1}{3}\textcolor{#16A06A}{n}} = 440$.
4. Sprowadzamy ułamki do mianownika 15: $\dfrac{6}{15}\textcolor{#16A06A}{n} + \dfrac{5}{15}\textcolor{#16A06A}{n} = \dfrac{11}{15}\textcolor{#16A06A}{n}$.
5. Zatem $\dfrac{11}{15}\textcolor{#16A06A}{n} = 440$, więc $\textcolor{#16A06A}{n} = 440 \cdot \dfrac{15}{11} = 600$.
6. Odpowiedź: jeden zestaw składa się z 600 elementów.
7. Sprawdzenie: Ela ułożyła $240$, Ania $200$, a $240 + 200 = 440$ ✓

💡 Wskazówka: Uwaga na pytanie: zadanie prosi o jeden zestaw, a nie o oba razem. Ułamki $\tfrac25$ i $\tfrac13$ odnoszą się do własnych zestawów każdej z dziewczynek.

⚠ Najczęstszy błąd: potraktowanie 440 jako części wspólnej puli dwóch zestawów i podzielenie wyniku przez 2. Każda dziewczynka układała swój zestaw.

Odpowiedź: 40 książek

1. Oznaczamy przez $\textcolor{#16A06A}{n}$ liczbę książek niemieckich — to do nich odnoszą się dwa pozostałe języki.
2. Włoskie: $\textcolor{#E0453A}{\dfrac{n}{3}}$.   Angielskie: $\textcolor{#E0453A}{2n}$.   Francuskie: $\textcolor{#E0453A}{\dfrac{n}{3} + 20}$.
3. Sumujemy wszystkie cztery: $\textcolor{#E0453A}{\dfrac{n}{3}} + \textcolor{#16A06A}{n} + \textcolor{#E0453A}{2n} + \textcolor{#E0453A}{\left(\dfrac{n}{3} + 20\right)} = 240$.
4. Mnożymy wszystko przez 3: $n + 3n + 6n + n + 60 = 720$, czyli $11n = 660$, więc $\textcolor{#16A06A}{n} = 60$.
5. Włoskie: $60 : 3 = 20$. Francuskie: $20 + 20 = 40$.
6. Odpowiedź: dostarczono 40 książek w języku francuskim.
7. Sprawdzenie: $20 + 60 + 120 + 40 = 240$ ✓

💡 Wskazówka: Przy czterech wielkościach narysuj sobie krótką listę: „niemiecki = $n$, włoski = …, angielski = …, francuski = …”. Dopiero potem sumuj — inaczej łatwo o pominięcie jednego składnika.

⚠ Najczęstszy błąd: zatrzymanie się na $n = 60$ albo podanie liczby włoskich (20). Zadanie pyta o francuskie, więc trzeba zrobić jeszcze dwa kroki.

Odpowiedź: 200 banknotów

1. Oznaczamy przez $\textcolor{#16A06A}{b}$ liczbę banknotów każdego rodzaju — jest ich tyle samo.
2. Wartość banknotów 50-złotowych: $\textcolor{#E0453A}{50b}$.   Wartość 20-złotowych: $\textcolor{#E0453A}{20b}$.
3. Warunek: pięćdziesiątek jest o 6000 zł więcej: $\textcolor{#E0453A}{50\textcolor{#16A06A}{b}} - \textcolor{#E0453A}{20\textcolor{#16A06A}{b}} = 6000$.
4. $30\textcolor{#16A06A}{b} = 6000$, więc $\textcolor{#16A06A}{b} = 200$.
5. Odpowiedź: w kasie jest 200 banknotów 20-złotowych.
6. Sprawdzenie: $200 \cdot 50 = 10\,000$ zł, $200 \cdot 20 = 4000$ zł, a różnica to $6000$ zł ✓

💡 Wskazówka: Skoro banknotów jest po tyle samo, każda para (jedna dwudziestka + jedna pięćdziesiątka) daje różnicę 30 zł. Wystarczy więc podzielić $6000 : 30$.

⚠ Najczęstszy błąd: dodanie wartości zamiast odjęcia ($70b = 6000$) albo pomylenie liczby banknotów z ich wartością. Sześć tysięcy to różnica kwot, nie liczba sztuk.

Odpowiedź: 24 osoby

1. Oznaczamy przez $\textcolor{#16A06A}{c}$ liczbę chłopców w całym zespole. Dziewcząt jest dwa razy więcej: $\textcolor{#E0453A}{2c}$.
2. Na próbie zabrakło 2 chłopców i 1 dziewczyny, więc obecnych było: chłopców $\textcolor{#16A06A}{c - 2}$, dziewcząt $\textcolor{#E0453A}{2c - 1}$.
3. Warunek: obecni chłopcy to $\tfrac25$ obecnych dziewcząt:
4. $\textcolor{#16A06A}{c - 2} = \dfrac{2}{5}\textcolor{#E0453A}{(2c - 1)}$.
5. Mnożymy obie strony przez 5: $5\textcolor{#16A06A}{c} - 10 = 2\textcolor{#E0453A}{(2c - 1)} = 4c - 2$.
6. $5c - 10 = 4c - 2$, czyli $\textcolor{#16A06A}{c} = 8$ chłopców, a dziewcząt $\textcolor{#E0453A}{2 \cdot 8} = 16$.
7. Cały zespół: $8 + 16 = 24$ osoby.
8. Odpowiedź: zespół składa się z 24 osób.
9. Sprawdzenie: obecnych było 6 chłopców i 15 dziewcząt, a $\tfrac25 \cdot 15 = 6$ ✓

💡 Wskazówka: Pilnuj, które liczby dotyczą całego zespołu, a które tylko obecnych na próbie. Warto zapisać je w dwóch kolumnach — inaczej łatwo pomieszać warunki.

⚠ Najczęstszy błąd: zatrzymanie się na $c = 8$ i podanie liczby chłopców. Zadanie pyta o cały zespół, więc trzeba dodać dziewczęta.

Odpowiedź: 3,60 zł

1. Sprytne podejście: patrzymy na różnicę obu sytuacji, dzięki czemu nie musimy znać kwoty, którą Ania miała.
2. Gdyby kupiła 10 puszek, brakowałoby jej 11 zł. Kupując 6 puszek, zostało jej 3,40 zł.
3. Różnica w liczbie puszek: $10 - 6 = \textcolor{#E0453A}{4}$ puszki.
4. Różnica w pieniądzach: od „zostało 3,40 zł” do „brakuje 11 zł” to $3{,}40 + 11 = \textcolor{#16A06A}{14{,}40}$ zł.
5. Zatem $\textcolor{#E0453A}{4}$ puszki kosztują $\textcolor{#16A06A}{14{,}40}$ zł, czyli jedna: $\textcolor{#16A06A}{14{,}40} : \textcolor{#E0453A}{4} = 3{,}60$ zł.
6. Odpowiedź: jedna puszka karmy kosztuje 3,60 zł.
7. Sprawdzenie: Ania miała $6 \cdot 3{,}60 + 3{,}40 = 25$ zł. Na 10 puszek trzeba $36$ zł, więc brakowałoby jej $11$ zł ✓

💡 Wskazówka: Klasyczny schemat „za mało / za dużo”: dodaj brakującą kwotę do reszty, żeby otrzymać wartość różnicy w sztukach. Nie trzeba wtedy dwóch niewiadomych.

⚠ Najczęstszy błąd: odjęcie $11 - 3{,}40$ zamiast dodania. Brakujące 11 zł i pozostałe 3,40 zł są po przeciwnych stronach — dlatego się sumują.

Odpowiedź: 16 białych róż

1. Oznaczamy przez $\textcolor{#16A06A}{b}$ liczbę róż białych. Czerwonych było trzy razy więcej: $\textcolor{#E0453A}{3b}$.
2. Po zakupie 40 czerwonych zostało ich $\textcolor{#E0453A}{3b - 40}$. Białych nie ubyło — nadal jest $\textcolor{#16A06A}{b}$.
3. Warunek: teraz białych jest dwa razy więcej niż czerwonych: $\textcolor{#16A06A}{b} = 2\textcolor{#E0453A}{(3b - 40)}$.
4. $\textcolor{#16A06A}{b} = 6b - 80$, czyli $80 = 5b$, więc $\textcolor{#16A06A}{b} = 16$.
5. Odpowiedź: w kwiaciarni było 16 białych róż.
6. Sprawdzenie: czerwonych było $3 \cdot 16 = 48$; po sprzedaniu 40 zostało 8, a $16 = 2 \cdot 8$ ✓

💡 Wskazówka: Zwróć uwagę, że relacja się odwraca: na początku czerwonych było więcej, a po zakupie więcej jest białych. To normalne — ubyło tylko czerwonych.

⚠ Najczęstszy błąd: zapisanie warunku jako $2\textcolor{#16A06A}{b} = \textcolor{#E0453A}{3b - 40}$, czyli pomnożenie niewłaściwej strony. „Białych dwa razy więcej niż czerwonych” znaczy: $\text{białe} = 2 \cdot \text{czerwone}$.

Odpowiedź: 9 myszek

1. Oznaczamy przez $\textcolor{#16A06A}{p}$ cenę myszki przewodowej (tańszej). Bezprzewodowa kosztuje $\textcolor{#E0453A}{p + 11}$.
2. Kupiono po 6 sztuk każdego rodzaju za 234 zł: $6\textcolor{#16A06A}{p} + 6\textcolor{#E0453A}{(p + 11)} = 234$.
3. $6p + 6p + 66 = 234$, czyli $12\textcolor{#16A06A}{p} = 168$, więc $\textcolor{#16A06A}{p} = 14$ zł.
4. Myszka bezprzewodowa kosztuje $\textcolor{#E0453A}{14 + 11} = \textcolor{#E0453A}{25}$ zł.
5. Teraz drugie pytanie: ile takich myszek kupimy za 234 zł? $234 : \textcolor{#E0453A}{25} = 9{,}36$.
6. Myszek nie kupuje się na sztuki ułamkowe, więc zaokrąglamy w dół: 9 myszek (za $225$ zł, zostaje $9$ zł).
7. Odpowiedź: za tę kwotę można kupić najwyżej 9 myszek bezprzewodowych.

💡 Wskazówka: Zadanie ma dwa etapy: najpierw równanie na cenę, potem dzielenie z zaokrągleniem w dół. Przy „ile najwięcej” resztę zawsze się odrzuca.

⚠ Dwa typowe błędy: (1) zaokrąglenie $9{,}36$ w górę do 10 (zabrakłoby 16 zł); (2) podzielenie 234 zł przez cenę myszki przewodowej — zadanie pyta o bezprzewodowe.

Odpowiedź: 16 książek

1. Oznaczamy przez $\textcolor{#16A06A}{n}$ liczbę wszystkich nagród.
2. Książki to $\tfrac23$ całości: $\textcolor{#E0453A}{\dfrac{2}{3}n}$. Reszta to e-booki: $\textcolor{#E0453A}{\dfrac{1}{3}n}$.
3. Warunek: e-booków jest o 8 mniej niż książek, czyli różnica wynosi 8:
4. $\textcolor{#E0453A}{\dfrac{2}{3}\textcolor{#16A06A}{n}} - \textcolor{#E0453A}{\dfrac{1}{3}\textcolor{#16A06A}{n}} = 8$, czyli $\dfrac{1}{3}\textcolor{#16A06A}{n} = 8$.
5. Stąd $\textcolor{#16A06A}{n} = 24$ nagrody łącznie.
6. Książek: $\textcolor{#E0453A}{\dfrac{2}{3}} \cdot 24 = 16$.
7. Odpowiedź: kupiono 16 książek.
8. Sprawdzenie: e-booków było $24 - 16 = 8$, a $16 - 8 = 8$ ✓

💡 Wskazówka: Skoro książki to $\tfrac23$ całości, e-booki muszą być pozostałą $\tfrac13$. Ich różnica to więc dokładnie $\tfrac13$ całości — i to od razu daje rozwiązanie.

⚠ Najczęstszy błąd: podanie liczby wszystkich nagród (24) zamiast samych książek. Drugi błąd: potraktowanie $\tfrac23$ jako stosunku książek do e-booków, a nie do całości.

Odpowiedź: 652 zł

1. Krok 1 — pole boiska: $46 \cdot 30 = \textcolor{#16A06A}{1380}$ m².
2. Krok 2 — ile nasion? Na $\textcolor{#E0453A}{40}$ m² idzie 1 kg, więc $\textcolor{#16A06A}{1380} : \textcolor{#E0453A}{40} = \textcolor{#16A06A}{34{,}5}$ kg.
3. Krok 3 — ile worków? Worek ma $\textcolor{#E0453A}{10}$ kg: $\textcolor{#16A06A}{34{,}5} : \textcolor{#E0453A}{10} = 3{,}45$ worka.
4. Worków nie kupimy na ułamki, a nasion musi wystarczyć — zaokrąglamy więc w górę do 4 worków (3 worki dałyby tylko 30 kg, za mało).
5. Krok 4 — koszt: $4 \cdot 163 = 652$ zł.
6. Odpowiedź: zakup nasion kosztuje 652 zł.

💡 Wskazówka: W jednym zadaniu mogą wystąpić oba kierunki zaokrąglania. Tu w górę, bo nasion musi wystarczyć — inaczej niż przy „ile najwięcej można kupić”, gdzie zaokrągla się w dół.

⚠ Najczęstszy błąd: zaokrąglenie $3{,}45$ w dół do 3 worków (wyszłoby 489 zł) albo zapłacenie za 34,5 kg „na wagę”. Nasiona sprzedają tylko w całych workach.

Odpowiedź: 6 km

1. Oznaczamy przez $\textcolor{#16A06A}{k}$ długość trasy w kilometrach.
2. Koszt u „Jedynki”: $3{,}20 + 3{,}20\textcolor{#16A06A}{k}$.   Koszt u „Dwójki”: $8{,}00 + 2{,}40\textcolor{#16A06A}{k}$.
3. Skoro zapłacili tyle samo, przyrównujemy: $3{,}20 + 3{,}20\textcolor{#16A06A}{k} = 8{,}00 + 2{,}40\textcolor{#16A06A}{k}$.
4. Przenosimy: $3{,}20\textcolor{#16A06A}{k} - 2{,}40\textcolor{#16A06A}{k} = 8{,}00 - 3{,}20$, czyli $\textcolor{#E0453A}{0{,}80}\textcolor{#16A06A}{k} = \textcolor{#E0453A}{4{,}80}$.
5. $\textcolor{#16A06A}{k} = \textcolor{#E0453A}{4{,}80} : \textcolor{#E0453A}{0{,}80} = 6$ km.
6. Odpowiedź: trasa miała 6 kilometrów.
7. Sprawdzenie: Jedynka $3{,}20 + 6 \cdot 3{,}20 = 22{,}40$ zł, Dwójka $8 + 6 \cdot 2{,}40 = 22{,}40$ zł ✓

💡 Wskazówka: Sens zadania: „Dwójka” ma wyższą opłatę początkową (o 4,80 zł), ale tańszy kilometr (o 0,80 zł). Ta przewaga nadrabia różnicę dokładnie po $4{,}80 : 0{,}80 = 6$ km.

⚠ Najczęstszy błąd: pominięcie opłaty początkowej u jednej z korporacji albo doliczenie jej do każdego kilometra. To opłata jednorazowa.

Odpowiedź: 15 zł

1. Najpierw zamieniamy jednostki: $40$ dag $= \textcolor{#16A06A}{0{,}4}$ kg,   $60$ dag $= \textcolor{#16A06A}{0{,}6}$ kg.
2. Zauważ, że razem daje to $\textcolor{#16A06A}{0{,}4} + \textcolor{#16A06A}{0{,}6} = \textcolor{#16A06A}{1}$ kg — czyli od razu dokładnie kilogram mieszanki.
3. Koszt rodzynek: $\textcolor{#16A06A}{0{,}4} \cdot \textcolor{#E0453A}{12} = 4{,}80$ zł.
4. Koszt pestek: $\textcolor{#16A06A}{0{,}6} \cdot \textcolor{#E0453A}{17} = 10{,}20$ zł.
5. Razem: $4{,}80 + 10{,}20 = 15$ zł — i to jest cena za cały kilogram mieszanki.
6. Odpowiedź: 1 kilogram mieszanki kosztuje 15 zł.

💡 Wskazówka: Sprawdź na początku, czy składniki sumują się do okrągłej masy — tutaj do 1 kg, więc na końcu nie trzeba nic przeliczać. To częsty zabieg w zadaniach o mieszankach.

⚠ Najczęstszy błąd: policzenie średniej cen $(12 + 17) : 2 = 14{,}50$ zł. To działałoby tylko przy równych masach — a tu pestek jest więcej, więc mieszanka jest droższa.

Odpowiedź: 15 banknotów

1. Oznaczamy przez $\textcolor{#16A06A}{d}$ liczbę banknotów dwustuzłotowych. Skoro wszystkich jest 22, setek jest $\textcolor{#E0453A}{22 - d}$.
2. Zapisujemy wartość: $200\textcolor{#16A06A}{d} + 100\textcolor{#E0453A}{(22 - d)} = 2900$.
3. Opuszczamy nawias: $200\textcolor{#16A06A}{d} + 2200 - 100\textcolor{#16A06A}{d} = 2900$.
4. $100\textcolor{#16A06A}{d} = 700$, więc $\textcolor{#16A06A}{d} = 7$ banknotów po 200 zł.
5. Setek jest zatem $\textcolor{#E0453A}{22 - 7} = 15$.
6. Odpowiedź: pan Jan wybrał 15 banknotów 100-złotowych.
7. Sprawdzenie: $7 \cdot 200 + 15 \cdot 100 = 1400 + 1500 = 2900$ zł ✓

💡 Wskazówka: Sposób „na wszystkie setki”: gdyby wszystkie 22 banknoty były po 100 zł, dałyby 2200 zł. Brakuje 700 zł, a każda zamiana setki na dwusetkę dodaje 100 zł — stąd 7 dwusetek.

⚠ Najczęstszy błąd: podanie liczby banknotów 200-złotowych (7) zamiast setek. Warto podkreślić w treści, o które banknoty pyta zadanie.

Odpowiedź: 2 ulgowe i 10 normalnych

1. Krok 1 — cena biletu ulgowego: $\dfrac{5}{9} \cdot 45 = \textcolor{#E0453A}{25}$ zł.
2. Krok 2 — oznaczenia. Niech $\textcolor{#16A06A}{u}$ to liczba biletów ulgowych (tych jest mniej). Normalnych jest pięć razy więcej: $\textcolor{#E0453A}{5u}$.
3. Krok 3 — równanie na koszt: $\textcolor{#E0453A}{25}\textcolor{#16A06A}{u} + 45 \cdot \textcolor{#E0453A}{5\textcolor{#16A06A}{u}} = 500$.
4. $25\textcolor{#16A06A}{u} + 225\textcolor{#16A06A}{u} = 500$, czyli $250\textcolor{#16A06A}{u} = 500$, więc $\textcolor{#16A06A}{u} = 2$.
5. Biletów normalnych: $\textcolor{#E0453A}{5} \cdot 2 = 10$.
6. Odpowiedź: Janek kupił 2 bilety ulgowe i 10 normalnych.
7. Sprawdzenie: $2 \cdot 25 + 10 \cdot 45 = 50 + 450 = 500$ zł ✓

💡 Wskazówka: Zawsze oznaczaj literą tę wielkość, której jest mniej — wtedy drugą zapisujesz przez mnożenie. Gdybyśmy oznaczyli bilety normalne, ulgowe wyszłyby jako $\tfrac{n}{5}$.

⚠ Najczęstszy błąd: pominięcie kroku z ceną ulgową i podstawienie $\tfrac59$ do równania kosztów. Najpierw policz konkretną cenę (25 zł), dopiero potem układaj równanie.

Odpowiedź: 36 konkurencji

1. Oznaczamy przez $\textcolor{#16A06A}{n}$ liczbę wszystkich zaplanowanych konkurencji.
2. Rano: przeprowadzono $\tfrac12 \textcolor{#16A06A}{n}$, więc zostało $\textcolor{#E0453A}{\dfrac{1}{2}n}$.
3. Po południu: przeprowadzono $\tfrac13$ z pozostałych, czyli $\tfrac13 \cdot \textcolor{#E0453A}{\dfrac{1}{2}\textcolor{#16A06A}{n}} = \dfrac{1}{6}\textcolor{#16A06A}{n}$.
4. Nieprzeprowadzone to reszta: $\textcolor{#E0453A}{\dfrac{1}{2}\textcolor{#16A06A}{n}} - \dfrac{1}{6}\textcolor{#16A06A}{n} = \dfrac{3}{6}\textcolor{#16A06A}{n} - \dfrac{1}{6}\textcolor{#16A06A}{n} = \dfrac{2}{6}\textcolor{#16A06A}{n} = \dfrac{1}{3}\textcolor{#16A06A}{n}$.
5. Z treści wiemy, że to 12 konkurencji: $\dfrac{1}{3}\textcolor{#16A06A}{n} = 12$, więc $\textcolor{#16A06A}{n} = 36$.
6. Odpowiedź: planowano przeprowadzić 36 konkurencji.
7. Sprawdzenie: rano 18, po południu $\tfrac13 \cdot 18 = 6$, nieprzeprowadzone $36 - 18 - 6 = 12$ ✓

💡 Wskazówka: Zwrot „$\tfrac13$ z pozostałych” zmienia podstawę liczenia. Najpierw zapisz, ile zostało po pierwszym etapie, i dopiero od tej wielkości licz kolejny ułamek.

⚠ Najczęstszy błąd: policzenie $\tfrac13$ z całości zamiast z reszty. Wyszłoby wtedy, że nieprzeprowadzonych jest $\tfrac16 n$, i cała odpowiedź byłaby dwa razy za duża.

Odpowiedź: Helena 11, Grzegorz 5

1. Krok 1 — ilu było głosujących? Skoro 9 głosów to $\textcolor{#E0453A}{36\%}$ wszystkich, to wszystkich jest $9 : \textcolor{#E0453A}{0{,}36} = \textcolor{#16A06A}{25}$.
2. (W pamięci: $\textcolor{#E0453A}{36\%}$ to 9, więc $\textcolor{#E0453A}{4\%}$ to 1, a $100\%$ to 25.)
3. Krok 2 — ile głosów zostało dla pozostałych? $\textcolor{#16A06A}{25} - 9 = \textcolor{#16A06A}{16}$ głosów dla Heleny i Grzegorza razem.
4. Krok 3 — podział. Niech $\textcolor{#16A06A}{g}$ to głosy Grzegorza; Helena ma $\textcolor{#E0453A}{g + 6}$.
5. $\textcolor{#16A06A}{g} + \textcolor{#E0453A}{(g + 6)} = \textcolor{#16A06A}{16}$, czyli $2\textcolor{#16A06A}{g} = 10$, więc $\textcolor{#16A06A}{g} = 5$.
6. Helena: $\textcolor{#E0453A}{5 + 6} = 11$ głosów.
7. Odpowiedź: Helena otrzymała 11 głosów, a Grzegorz 5.
8. Sprawdzenie: $9 + 11 + 5 = 25$ ✓ oraz $\tfrac{9}{25} = 0{,}36 = 36\%$ ✓

💡 Wskazówka: Zadania „suma i różnica” mają szybki sposób: od sumy odejmij różnicę i podziel na pół, żeby dostać mniejszą liczbę. Tu: $(16 - 6) : 2 = 5$.

⚠ Najczęstszy błąd: podzielenie 16 głosów na pół (po 8) i zignorowanie różnicy 6. Drugi błąd: policzenie $36\%$ z 9 zamiast potraktowania 9 jako $36\%$ całości.

Odpowiedź: 11 dni

1. Oznaczamy przez $\textcolor{#16A06A}{d}$ całkowitą liczbę dni wypożyczenia. Pierwsze 3 dni są w cenie podstawowej, więc dni dodatkowych jest $\textcolor{#E0453A}{d - 3}$.
2. Gierka: $8 + 2{,}50 \cdot \textcolor{#E0453A}{(d - 3)}$.   Planszówka: $12 + 2 \cdot \textcolor{#E0453A}{(d - 3)}$.
3. Przyrównujemy koszty: $8 + 2{,}50\textcolor{#E0453A}{(d-3)} = 12 + 2\textcolor{#E0453A}{(d-3)}$.
4. Przenosimy wyrazy z nawiasem na jedną stronę: $0{,}50 \cdot \textcolor{#E0453A}{(d-3)} = 4$.
5. Stąd $\textcolor{#E0453A}{d - 3} = 8$, czyli $\textcolor{#16A06A}{d} = 11$ dni.
6. Odpowiedź: koszty zrównują się przy 11 dniach wypożyczenia.
7. Sprawdzenie: Gierka $8 + 8 \cdot 2{,}50 = 28$ zł, Planszówka $12 + 8 \cdot 2 = 28$ zł ✓

💡 Wskazówka: Rozumowanie bez równania: Planszówka startuje o 4 zł drożej, ale każdy dodatkowy dzień jest u niej tańszy o 0,50 zł. Nadrabia więc różnicę po $4 : 0{,}50 = 8$ dodatkowych dniach, czyli w 11. dniu.

⚠ Najczęstszy błąd: podanie odpowiedzi 8 dni — czyli liczby dni dodatkowych zamiast wszystkich. Trzeba doliczyć trzy dni z opłaty podstawowej.

Odpowiedź: 72 uczniów

1. Oznaczamy przez $\textcolor{#16A06A}{u}$ liczbę uczniów. Liczba przedziałów zależy od tego, ilu wsiada do każdego.
2. Po ośmioro: $\dfrac{\textcolor{#16A06A}{u}}{8}$ przedziałów.   Po sześcioro: $\dfrac{\textcolor{#16A06A}{u}}{6}$ przedziałów.
3. Warunek: przy sześciu osobach przedziałów jest o $\textcolor{#E0453A}{3}$ więcej:
4. $\dfrac{\textcolor{#16A06A}{u}}{6} = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{u}}{8} + \textcolor{#E0453A}{3}$.
5. Mnożymy obie strony przez 24 (NWW mianowników): $4\textcolor{#16A06A}{u} = 3\textcolor{#16A06A}{u} + 72$.
6. Stąd $\textcolor{#16A06A}{u} = 72$.
7. Odpowiedź: na wycieczkę pojechało 72 uczniów.
8. Sprawdzenie: $72 : 8 = 9$ przedziałów, $72 : 6 = 12$ przedziałów, a $12 - 9 = 3$ ✓

💡 Wskazówka: Zwróć uwagę na kierunek: mniej osób w przedziale to więcej przedziałów. To zależność odwrotnie proporcjonalna — dlatego plus stoi przy ułamku z szóstką.

⚠ Najczęstszy błąd: zapisanie warunku odwrotnie ($\tfrac{u}{6} + 3 = \tfrac{u}{8}$) — wychodzi wtedy wynik ujemny, co powinno od razu zwrócić uwagę.

Odpowiedź: 15 dziewcząt

1. Oznaczamy przez $\textcolor{#16A06A}{d}$ liczbę dziewcząt — to do nich odnosi się procent.
2. Chłopcy stanowią $80\%$ dziewcząt, czyli jest ich $\textcolor{#E0453A}{0{,}8d}$.
3. Warunek: po dołączeniu 3 chłopców liczby się zrównają: $\textcolor{#E0453A}{0{,}8\textcolor{#16A06A}{d}} + 3 = \textcolor{#16A06A}{d}$.
4. Przenosimy: $3 = \textcolor{#16A06A}{d} - \textcolor{#E0453A}{0{,}8\textcolor{#16A06A}{d}} = \textcolor{#E0453A}{0{,}2}\textcolor{#16A06A}{d}$.
5. Stąd $\textcolor{#16A06A}{d} = 3 : \textcolor{#E0453A}{0{,}2} = 15$.
6. Odpowiedź: w klasie jest 15 dziewcząt.
7. Sprawdzenie: chłopców jest $0{,}8 \cdot 15 = 12$; po dołączeniu trzech byłoby 15 — tyle samo co dziewcząt ✓

💡 Wskazówka: Kluczowa obserwacja: brakujący $20\%$ (różnica między $100\%$ a $80\%$) to dokładnie ci trzej chłopcy. Stąd od razu $20\% = 3$, więc $100\% = 15$.

⚠ Najczęstszy błąd: podanie liczby chłopców (12) zamiast dziewcząt. Drugi błąd: liczenie $80\%$ z całej klasy zamiast z liczby dziewcząt.