Egzamin ósmoklasisty · matematyka · kwiecień 2019

Zadanie z E8 (kwiecień 2019) – kąty w figurach

Dany jest równoległobok ABCD oraz trójkąt równoramienny AED, w którym |DE| = |AE| (punkt E leży na boku DC ). Kąt BCE ma miarę 106°. Jaką miarę ma kąt AEC?

Zobacz rozwiązanie w obrazku

1pkt · trudniejsze

Zadanie 16 (kwiecień 2019)1 pkttrudniejsze

Dany jest równoległobok

ABCD

oraz trójkąt równoramienny

AED

, w którym

|DE| = |AE|

(punkt

E

leży na boku

DC

). Kąt

BCE

ma miarę $106°$ . Jaką miarę ma kąt

AEC

A. $148°$
B. $122°$
C. $74°$
D. $58°$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Punkt $E$ leży na boku $DC$ , więc kąt $BCE$ to po prostu kąt $BCD$ równoległoboku: $\textcolor{#16A06A}{106°}$ .
W równoległoboku kąty sąsiednie dopełniają się do $\textcolor{#E0453A}{180°}$ , więc kąt przy $D$ : $\angle ADC = \textcolor{#E0453A}{180°} - \textcolor{#16A06A}{106°} = \textcolor{#16A06A}{74°}$ .
Trójkąt $AED$ . Skoro $DE = AE$ , kąty przy podstawie $AD$ są równe. Kąt $\angle ADE$ to ten sam co $\angle ADC = \textcolor{#16A06A}{74°}$ (bo $E$ leży na $DC$ ).
Zatem $\angle DAE = \textcolor{#16A06A}{74°}$ , a kąt przy wierzchołku $E$ : $\angle AED = \textcolor{#E0453A}{180°} - \textcolor{#16A06A}{74°} - \textcolor{#16A06A}{74°} = \textcolor{#16A06A}{32°}$ .
Ostatni krok. Punkty $D$ , $E$ , $C$ leżą na jednej prostej, więc kąty $AED$ i $AEC$ są przyległe:
$\angle AEC = \textcolor{#E0453A}{180°} - \textcolor{#16A06A}{32°} = 148°$ — odpowiedź A.

💡 Wskazówka: W trójkącie równoramiennym równe boki wskazują, gdzie są równe kąty: $DE = AE$ oznacza, że kąty przy $D$ i przy $A$ (czyli naprzeciw tych boków) są równe.

⚠ Najczęstszy błąd: podanie kąta $AED$ ( $32°$ ) albo zatrzymanie się na kącie $74°$ (odpowiedź C). Zadanie pyta o kąt $AEC$ — ten po drugiej stronie punktu $E$ .