Egzamin ósmoklasisty · matematyka · kwiecień 2019

Zadanie z E8 (kwiecień 2019) – obwody figur

Paweł wyciął z kartonu trójkąt prostokątny ABC o przyprostokątnych 12 cm ( AB ) i 16 cm ( AC ). Połączył środki dłuższej przyprostokątnej i przeciwprostokątnej linią równoległą do krótszej przyprostokątnej, a potem rozciął trójkąt wzdłuż tej linii na dwie figury. Z tych figur złożył trapez PRST…

Zobacz rozwiązanie w obrazku

3pkt · trudniejsze

Zadanie 17 (kwiecień 2019)3 pkttrudniejsze

Paweł wyciął z kartonu trójkąt prostokątny

ABC

o przyprostokątnych 12 cm (

AB

) i 16 cm (

AC

). Połączył środki dłuższej przyprostokątnej i przeciwprostokątnej linią równoległą do krótszej przyprostokątnej, a potem rozciął trójkąt wzdłuż tej linii na dwie figury. Z tych figur złożył trapez

PRST

. Oblicz różnicę obwodów trójkąta

ABC

i trapezu

PRST

. Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 4 cm

Krok 1 — przeciwprostokątna trójkąta. $BC = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = \textcolor{#16A06A}{20}$ cm.
Obwód trójkąta $ABC$ : $12 + 16 + \textcolor{#16A06A}{20} = \textcolor{#16A06A}{48}$ cm.
Krok 2 — co powstaje po cięciu. Linia łączy środki dwóch boków, więc odcina mniejszy trójkąt podobny w skali $\tfrac12$ : jego boki to $\textcolor{#E0453A}{6}$ , $\textcolor{#E0453A}{8}$ i $\textcolor{#E0453A}{10}$ cm.
Druga figura to trapez prostokątny o bokach: $12$ , $\textcolor{#E0453A}{8}$ , $\textcolor{#E0453A}{6}$ i $\textcolor{#E0453A}{10}$ cm (obwód $36$ cm).
Krok 3 — sklejenie. Składając obie części w trapez $PRST$ , łączymy je wzdłuż boku o długości $\textcolor{#E0453A}{8}$ cm — ten bok znika z obwodu po obu stronach.
Obwód trapezu: $36 + (\textcolor{#E0453A}{6} + \textcolor{#E0453A}{8} + \textcolor{#E0453A}{10}) - 2 \cdot \textcolor{#E0453A}{8} = 36 + 24 - 16 = \textcolor{#16A06A}{44}$ cm.
Krok 4 — różnica. $\textcolor{#16A06A}{48} - \textcolor{#16A06A}{44} = 4$ cm.
Odpowiedź: obwód trójkąta jest o 4 cm większy od obwodu trapezu.

💡 Wskazówka: Przy sklejaniu dwóch figur wzdłuż wspólnego boku obwód maleje o dwie jego długości — bo znika z brzegu i jednej, i drugiej części.

⚠ Najczęstszy błąd: odjęcie długości sklejenia tylko raz. Warto sobie wyobrazić, że oba kawałki miały ten bok „na zewnątrz”, a po złączeniu oba go tracą.