Prędkość, droga i czas na egzaminie ósmoklasisty

Odpowiedź: B

1. Ze wzoru $v = \dfrac{s}{t}$ wyliczamy czas: $t = \dfrac{s}{v}$.
2. Tutaj jednostki od razu pasują — droga w metrach, prędkość w metrach na sekundę, więc czas wyjdzie w sekundach.
3. $t = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{100}}{5} = 20$ sekund.
4. Odpowiedź B.
5. Sens fizyczny: skoro rowerzysta pokonuje 5 m w każdej sekundzie, to na 100 m potrzebuje 20 takich sekund.

💡 Wskazówka: Zapamiętaj trójkąt $s = v \cdot t$: zasłaniasz palcem to, czego szukasz, a reszta pokazuje działanie. Zasłaniasz $t$ — zostaje $\dfrac{s}{v}$.

⚠ Najczęstszy błąd: pomnożenie zamiast podzielenia ($100 \cdot 5 = 500$ — kusząca odpowiedź C). Kontrola zdroworozsądkowa: 500 sekund to ponad 8 minut na 100 metrów — to tempo wolniejsze od spaceru.

Odpowiedź: C

1. Odpowiedź ma być w $\tfrac{\text{km}}{\text{h}}$, więc czas musimy zamienić z minut na godziny.
2. $2$ minuty $= \textcolor{#E0453A}{\dfrac{2}{60}} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{1}{30}}$ godziny.
3. $v = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{3}}{\textcolor{#E0453A}{\tfrac{1}{30}}} = \textcolor{#16A06A}{3} \cdot 30 = 90\ \dfrac{\text{km}}{\text{h}}$.
4. Odpowiedź C.
5. Prościej „na proporcję”: w 2 minuty samochód robi 3 km, a godzina to 30 razy po 2 minuty — czyli $30 \cdot 3 = 90$ km na godzinę.

💡 Wskazówka: Sposób proporcjonalny bywa szybszy niż wzór: sprawdź, ile razy podany czas mieści się w godzinie, i tyle razy pomnóż drogę.

⚠ Najczęstszy błąd: podzielenie $3 : 2$ i podanie 1,5 albo pomnożenie $3 \cdot 2 = 6$. Zawsze najpierw zamień jednostki, potem podstawiaj do wzoru.

Odpowiedź: C

1. Zamieniamy czas na godziny: $12$ minut $= \textcolor{#E0453A}{\dfrac{12}{60}} = \textcolor{#E0453A}{0{,}2}$ godziny.
2. $v = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{18}}{\textcolor{#E0453A}{0{,}2}} = 90\ \dfrac{\text{km}}{\text{h}}$.
3. Odpowiedź C.
4. Kontrola „na proporcję”: 12 minut mieści się w godzinie 5 razy, więc $5 \cdot \textcolor{#16A06A}{18} = 90$ km ✓

💡 Wskazówka: Warto znać najczęstsze zamiany na pamięć: $6$ min $= 0{,}1$ h, $12$ min $= 0{,}2$ h, $15$ min $= 0{,}25$ h, $30$ min $= 0{,}5$ h, $45$ min $= 0{,}75$ h.

⚠ Najczęstszy błąd: podstawienie 12 zamiast 0,2 i otrzymanie $18 : 12 = 1{,}5$. Wynik w takich zadaniach powinien być rzędu kilkudziesięciu km/h — 1,5 km/h to tempo wolniejsze od spaceru.

Odpowiedź: P, P

1. Zdanie 1. Liczymy, ile każdy przebył do godziny $10^{30}$.
2. Piechur idzie od $8^{00}$, czyli $\textcolor{#E0453A}{2{,}5}$ godziny: $4 \cdot \textcolor{#E0453A}{2{,}5} = \textcolor{#16A06A}{10}$ km.
3. Kolarz jedzie od $10^{00}$, czyli dopiero $\textcolor{#E0453A}{0{,}5}$ godziny: $16 \cdot \textcolor{#E0453A}{0{,}5} = \textcolor{#16A06A}{8}$ km.
4. Razem pokonali $\textcolor{#16A06A}{10} + \textcolor{#16A06A}{8} = 18$ km, więc dzieli ich $48 - 18 = 30$ km ✓ — prawda.
5. Zdanie 2. Cofamy się do godziny $10^{00}$, gdy kolarz startuje.
6. Piechur ma już za sobą $4 \cdot 2 = 8$ km, więc do pokonania zostaje im razem $48 - 8 = \textcolor{#16A06A}{40}$ km.
7. Idąc naprzeciw siebie, zbliżają się z sumą prędkości: $4 + 16 = 20\ \tfrac{\text{km}}{\text{h}}$.
8. Czas do spotkania: $\textcolor{#16A06A}{40} : 20 = \textcolor{#E0453A}{2}$ godziny, licząc od $10^{00}$ — czyli o $12^{00}$ ✓ — prawda.
9. Odpowiedzi: P, P.

💡 Wskazówka: Przy ruchu naprzeciw siebie prędkości się dodają (dystans maleje szybciej). Przy pościgu — odejmują. To jedna reguła, która załatwia większość takich zadań.

⚠ Najczęstszy błąd: liczenie czasu spotkania od godziny $8^{00}$ dla obu. Kolarz rusza dwie godziny później, więc najpierw trzeba „przesunąć start” i policzyć, ile piechur zdążył ujść sam.

Odpowiedź: C

1. Cała trudność tkwi w ustaleniu, jaką drogę naprawdę pokonuje pociąg.
2. Śledźmy jeden punkt — czoło pociągu. Musi ono przejechać przez cały tunel (350 m), a potem jeszcze tyle, żeby ostatni wagon opuścił tunel — czyli dodatkowo całą długość pociągu (150 m).
3. Droga: $\textcolor{#16A06A}{350 + 150} = \textcolor{#16A06A}{500}$ m.
4. Czas: $t = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{500}}{20} = 25$ sekund.
5. Odpowiedź C.

💡 Wskazówka: Reguła dla pociągów, mostów i tuneli: droga = długość przeszkody + długość pociągu. Zawsze śledź jeden punkt (najlepiej czoło) od początku do końca zdarzenia.

⚠ Najczęstszy błąd: policzenie samego tunelu ($350 : 20 = 17{,}5$ s — kusząca odpowiedź B). To czas, po którym z tunelu wyjeżdża czoło, a nie cały pociąg.

Odpowiedź: F, P

1. Liczymy czas przejazdu każdego z osobna: $t = \dfrac{s}{v}$.
2. Matylda (droga leśna): $t = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{6}}{15} = \textcolor{#E0453A}{0{,}4}$ godziny.
3. Zamieniamy na minuty: $\textcolor{#E0453A}{0{,}4} \cdot 60 = 24$ minuty, więc na miejscu jest o $10\!:\!24$ ✓ — zdanie 2 prawdziwe.
4. Karol (droga polna): $t = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{10}}{20} = \textcolor{#E0453A}{0{,}5}$ godziny, czyli 30 minut — na miejscu o $10\!:\!30$.
5. Porównujemy: $10\!:\!24 < 10\!:\!30$, więc to Matylda przyjechała wcześniej — zdanie 1 fałszywe.
6. Odpowiedzi: F, P.

💡 Wskazówka: Zamiana ułamka godziny na minuty: pomnóż przez 60. $0{,}4$ h $= 24$ min, $0{,}25$ h $= 15$ min, $\tfrac13$ h $= 20$ min.

⚠ Najczęstszy błąd: założenie, że skoro Karol jechał szybciej, to dojechał pierwszy. Jechał jednak dłuższą drogą — o samym czasie decyduje dopiero iloraz $\tfrac{s}{v}$.

Odpowiedź: B

1. Najpierw czas jazdy. Od $10^{45}$ do $14^{45}$ byłyby równe 4 godziny, ale rowerzysta dotarł wcześniej — o $14^{05}$.
2. Liczymy „na raty”: od $10^{45}$ do $14^{00}$ to 3 godziny 15 minut, plus jeszcze 5 minut do $14^{05}$ — razem 3 godziny 20 minut.
3. Zamieniamy na godziny: 20 minut to $\tfrac13$ godziny, więc $t = \textcolor{#E0453A}{3\tfrac13} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{10}{3}}$ h.
4. $s = v \cdot t = 15 \cdot \textcolor{#E0453A}{\dfrac{10}{3}} = \dfrac{150}{3} = 50$ km.
5. Odpowiedź B.

💡 Wskazówka: Przy takich czasach ułamek zwykły jest wygodniejszy od dziesiętnego: $3\tfrac13$ h to $\tfrac{10}{3}$ h, a $15 \cdot \tfrac{10}{3}$ liczy się w pamięci. Zapis $3{,}33$ dałby wynik niedokładny.

⚠ Najczęstszy błąd: policzenie czasu jako $14{,}05 - 10{,}45 = 3{,}6$ godziny. Godziny nie są liczbami dziesiętnymi — 60 minut to jedna godzina, nie 100.

Odpowiedź: C

1. Prędkości podano w różnych jednostkach, więc najpierw sprowadzamy je do wspólnej. Wybierzmy metry na sekundę.
2. Rośliny: $60$ cm na minutę to $\textcolor{#16A06A}{0{,}6}$ m na minutę.
3. Minuta ma 60 sekund, więc na sekundę przypada $\textcolor{#16A06A}{0{,}6} : \textcolor{#E0453A}{60} = \textcolor{#16A06A}{0{,}01}\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$.
4. Porównujemy: $\dfrac{2}{\textcolor{#16A06A}{0{,}01}} = 200$.
5. Odpowiedź C — u człowieka impuls jest około 200 razy szybszy.
6. Można też odwrotnie, w metrach na minutę: człowiek $2 \cdot \textcolor{#E0453A}{60} = 120$ m/min, rośliny $\textcolor{#16A06A}{0{,}6}$ m/min, a $120 : \textcolor{#16A06A}{0{,}6} = 200$ ✓

💡 Wskazówka: Przy porównywaniu prędkości zawsze najpierw ujednolić jednostki. Nieważne, którą wybierzesz — wynik („ile razy”) będzie ten sam.

⚠ Najczęstszy błąd: porównanie samych liczb ($2$ kontra $60$) i odpowiedź „30 razy wolniej”. To porównywanie metrów na sekundę z centymetrami na minutę — dwie różne rzeczy.

Odpowiedź: B

1. Liczymy obie prędkości w metrach na sekundę.
2. Ola: $\dfrac{\textcolor{#16A06A}{400}}{\textcolor{#E0453A}{160}} = 2{,}5\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$.   Jacek: $\dfrac{\textcolor{#16A06A}{400}}{\textcolor{#E0453A}{100}} = 4\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$.
3. Różnica: $4 - 2{,}5 = 1{,}5\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$.
4. Ale odpowiedzi są w $\tfrac{\text{km}}{\text{h}}$ — trzeba jeszcze przeliczyć.
5. W ciągu godziny (3600 s) przy $1{,}5\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ pokonuje się $1{,}5 \cdot 3600 = 5400$ m, czyli $5{,}4$ km.
6. Różnica wynosi $5{,}4\ \tfrac{\text{km}}{\text{h}}$ — odpowiedź B.

💡 Wskazówka: Zapamiętaj mnożnik: $\tfrac{\text{m}}{\text{s}} \to \tfrac{\text{km}}{\text{h}}$ mnożymy przez 3,6, a w drugą stronę dzielimy przez 3,6. Tu $1{,}5 \cdot 3{,}6 = 5{,}4$.

⚠ Najczęstszy błąd: zatrzymanie się na $1{,}5\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ i zaznaczenie odpowiedzi A — bo liczba się zgadza. Ale jednostka jest inna! Zawsze sprawdzaj, w czym mają być wyrażone odpowiedzi.

Odpowiedź: C

1. Najpierw droga: od górnej stacji do $K$ kolejka pokonuje odcinek 750 m plus pętlę 120 m.
2. $s = \textcolor{#16A06A}{750 + 120} = \textcolor{#16A06A}{870}$ m.
3. Czas: $t = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{870}}{150} = \textcolor{#E0453A}{5{,}8}$ minuty.
4. Zamieniamy część ułamkową na sekundy: $0{,}8$ minuty $= 0{,}8 \cdot 60 = 48$ sekund.
5. Zatem $\textcolor{#E0453A}{5{,}8}$ minuty to 5 minut i 48 sekund — odpowiedź C.

💡 Wskazówka: Ułamek minuty zamieniaj na sekundy przez mnożenie przez 60: $0{,}5$ min $= 30$ s, $0{,}8$ min $= 48$ s, $0{,}25$ min $= 15$ s.

⚠ Najczęstszy błąd: odczytanie $5{,}8$ minuty jako „5 minut i 8 sekund” (kusząca odpowiedź B). Cyfra po przecinku to dziesiąte części minuty, a nie sekundy.

Odpowiedź: C

1. Kluczowe zdanie: kolejki równocześnie wjeżdżają na pętlę. Górna wjeżdża na nią od góry, dolna — w punkcie $K$.
2. Górna kolejka pokonuje do pętli 750 m: $t = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{750}}{150} = \textcolor{#E0453A}{5}$ minut.
3. Górna wyruszyła minutę wcześniej, a obie docierają w tym samym momencie — dolna jest więc w drodze o minutę krócej.
4. Czas jazdy dolnej kolejki: $\textcolor{#E0453A}{5} - 1 = \textcolor{#E0453A}{4}$ minuty.
5. Jej droga: $s = 150 \cdot \textcolor{#E0453A}{4} = 600$ m.
6. Odpowiedź C.

💡 Wskazówka: „Wyjeżdża wcześniej, a dociera równocześnie” zawsze oznacza: czas jazdy jest o tyle krótszy. Tu o dokładnie jedną minutę.

⚠ Najczęstszy błąd: dodanie minuty zamiast odjęcia (6 minut $\to$ 900 m — kusząca odpowiedź D). Skoro dolna kolejka wyrusza później, a przyjeżdża w tym samym czasie, to jedzie krócej.

Odpowiedź: C

1. Liczymy oba czasy osobno ze wzoru $t = \dfrac{s}{v}$.
2. Piechur: $t = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{10}}{5} = \textcolor{#E0453A}{2}$ godziny.
3. Rowerzysta: $t = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{10}}{20} = \textcolor{#E0453A}{0{,}5}$ godziny.
4. Różnica: $\textcolor{#E0453A}{2} - \textcolor{#E0453A}{0{,}5} = 1{,}5$ godziny.
5. Zamieniamy na minuty: $1{,}5 \cdot 60 = 90$ minut.
6. Odpowiedź C.

💡 Wskazówka: Pytanie brzmi „o ile minut”, więc na końcu koniecznie przelicz godziny na minuty. Odpowiedź 1,5 nie występuje wśród opcji — to podpowiedź, że czegoś brakuje.

⚠ Najczęstszy błąd: policzenie różnicy prędkości ($20 - 5 = 15$) zamiast różnicy czasów. Prędkości i czasy to zupełnie różne wielkości — nie da się jednej zamienić na drugą przez odejmowanie.

Odpowiedź: P, P

1. Najpierw wyznaczamy długość trasy — ona się nie zmienia w żadnym z rozważanych wariantów.
2. $s = v \cdot t = 60 \cdot 4 = \textcolor{#16A06A}{240}$ km.
3. Zdanie 1: czas o godzinę krótszy to $\textcolor{#E0453A}{3}$ godziny. Potrzebna prędkość: $\dfrac{\textcolor{#16A06A}{240}}{\textcolor{#E0453A}{3}} = 80\ \tfrac{\text{km}}{\text{h}}$ ✓ — prawda.
4. Zdanie 2: przy prędkości $40\ \tfrac{\text{km}}{\text{h}}$ czas wynosi $\dfrac{\textcolor{#16A06A}{240}}{40} = \textcolor{#E0453A}{6}$ godzin ✓ — prawda.
5. Odpowiedzi: P, P.

💡 Wskazówka: W takich zadaniach zawsze najpierw policz stałą wielkość (tu drogę). Potem każde pytanie „co gdyby” to już jedno dzielenie.

⚠ Częsty błąd: zakładanie proporcjonalności prostej — „prędkość mniejsza o $\tfrac13$, więc czas dłuższy o $\tfrac13$”. Prędkość i czas są odwrotnie proporcjonalne: gdy prędkość maleje 1,5 raza, czas rośnie 1,5 raza.

Odpowiedź: A

1. Krok pierwszy — jaką drogę pokona piechur w 12 minut?
2. Zamieniamy czas: $12$ minut $= \textcolor{#E0453A}{0{,}2}$ godziny.
3. $s = 4 \cdot \textcolor{#E0453A}{0{,}2} = 0{,}8$ km, czyli $\textcolor{#16A06A}{800}$ metrów.
4. Krok drugi — ile kroków po 0,8 m mieści się w tej drodze?
5. $\textcolor{#16A06A}{800} : 0{,}8 = 1000$ kroków.
6. Odpowiedź A.

💡 Wskazówka: Uważaj na zbieżność liczb: 0,8 km i 0,8 m to dwie różne rzeczy, które pojawiają się w tym samym zadaniu. Zawsze zamień drogę na metry, zanim podzielisz przez długość kroku.

⚠ Najczęstszy błąd: podzielenie $0{,}8$ km przez $0{,}8$ m bez zamiany jednostek — wychodzi 1, co oczywiście nie ma sensu. Drugi błąd: pomnożenie $800 \cdot 0{,}8 = 640$ (kusząca odpowiedź C) zamiast dzielenia.

Odpowiedź: 18,52 km

1. Liczymy drogi obu kutrów po 2 godzinach — w milach morskich, bo w takich jednostkach podano prędkości.
2. Kuter na północ: $4 \cdot 2 = \textcolor{#16A06A}{8}$ mil morskich.
3. Kuter na wschód: $3 \cdot 2 = \textcolor{#E0453A}{6}$ mil morskich.
4. Północ i wschód to kierunki prostopadłe, więc kutry i port tworzą trójkąt prostokątny, w którym szukana odległość jest przeciwprostokątną.
5. Z twierdzenia Pitagorasa: $d^2 = \textcolor{#16A06A}{8}^2 + \textcolor{#E0453A}{6}^2 = 64 + 36 = 100$, więc $d = 10$ mil morskich.
6. Zamieniamy na kilometry: $10 \cdot 1852$ m $= 18\,520$ m $= 18{,}52$ km.
7. Odpowiedź: kutry dzieli odległość 18,52 km.

💡 Wskazówka: Liczby 6, 8, 10 to trójka pitagorejska (podwojone 3, 4, 5) — warto ją rozpoznawać, bo oszczędza liczenia pierwiastka.

⚠ Dwa typowe błędy: (1) dodanie dróg ($8 + 6 = 14$ mil) — to byłaby odległość, gdyby płynęły w tę samą stronę; (2) zapomnienie o zamianie na kilometry i podanie odpowiedzi „10 mil morskich”.

Odpowiedź: dowód (prędkość 72 km/h, a odcinek ma 75 km > 72 km)

1. Najpierw wyznaczamy prędkość samochodu na pierwszym odcinku.
2. Czas: $40$ minut $= \textcolor{#E0453A}{\dfrac{40}{60}} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{2}{3}}$ godziny.
3. $v = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{48}}{\textcolor{#E0453A}{\tfrac{2}{3}}} = \textcolor{#16A06A}{48} \cdot \dfrac{3}{2} = 72\ \dfrac{\text{km}}{\text{h}}$.
4. Teraz długość drugiego odcinka: $123 - \textcolor{#16A06A}{48} = \textcolor{#16A06A}{75}$ km.
5. Kluczowa obserwacja: w ciągu godziny samochód przy tej prędkości pokonuje 72 km, a do przejechania ma $\textcolor{#16A06A}{75}$ km — czyli więcej.
6. Skoro $\textcolor{#16A06A}{75} > 72$, przejazd musi trwać dłużej niż godzinę. co należało uzasadnić
7. Dla ścisłości można podać dokładny czas: $t = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{75}}{72} = 1\dfrac{1}{24}$ godziny, czyli 1 godzina i 2,5 minuty.

💡 Wskazówka: W zadaniach „uzasadnij, że dłużej niż godzinę” nie trzeba liczyć dokładnego czasu — wystarczy porównać drogę do przejechania z drogą pokonywaną w ciągu godziny (czyli z prędkością).

⚠ Najczęstszy błąd: policzenie czasu dla całej trasy 123 km zamiast dla odcinka Jodłowo–Dębina. Drugi błąd: podanie samej odpowiedzi „tak, dłużej” bez pokazania prędkości 72 km/h — komisja nie przyzna punktów.

Odpowiedź: 64 km/h

1. Z wykresu odczytujemy początek i koniec drugiego odcinka — i to zarówno na osi czasu, jak i na osi drogi.
2. Odcinek II trwa od 105 do 180 minuty, a droga rośnie w tym czasie od 120 do 200 km.
3. Droga przebyta na tym odcinku: $200 - 120 = \textcolor{#16A06A}{80}$ km.
4. Czas przejazdu: $180 - 105 = 75$ minut $= \textcolor{#E0453A}{1{,}25}$ godziny.
5. $v = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{80}}{\textcolor{#E0453A}{1{,}25}} = 64\ \dfrac{\text{km}}{\text{h}}$.
6. Odpowiedź: kierowca pokonał II odcinek z prędkością 64 km/h.

💡 Wskazówka: Na wykresie droga–czas postój to odcinek poziomy (droga nie rośnie), a im bardziej stromy odcinek, tym większa prędkość. Warto to sprawdzić wzrokiem, zanim się liczy.

⚠ Najczęstszy błąd: odczytanie wartości od zera zamiast od początku odcinka — czyli policzenie $\tfrac{200}{180}$ zamiast $\tfrac{200-120}{180-105}$. Drugi błąd: pominięcie zamiany 75 minut na 1,25 godziny.

Odpowiedź: Kuba (22 min wobec 25 min Pawła)

1. Kuba — czas odczytujemy wprost z zegara: od $8\!:\!44$ do $9\!:\!06$.
2. Do pełnej godziny brakuje 16 minut, potem jeszcze 6 minut — razem $\textcolor{#E0453A}{22}$ minuty.
3. Paweł — czas liczymy ze wzoru: $t = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{7{,}5}}{18} = \dfrac{5}{12}$ godziny.
4. Zamieniamy na minuty: $\dfrac{5}{12} \cdot 60 = \textcolor{#E0453A}{25}$ minut.
5. Porównujemy: $\textcolor{#E0453A}{22} < \textcolor{#E0453A}{25}$.
6. Odpowiedź: krótszy czas uzyskał Kuba — jechał 22 minuty, a Paweł 25 minut.

💡 Wskazówka: Porównuj w tych samych jednostkach. Skoro czas Kuby wychodzi naturalnie w minutach, przelicz na minuty także wynik Pawła — zamiast zamieniać 22 minuty na ułamek godziny.

⚠ Najczęstszy błąd przy liczeniu czasu Kuby: odjęcie „na liczbach” $9{,}06 - 8{,}44$. Godziny to nie ułamki dziesiętne — przechodząc przez pełną godzinę, liczymy do 60, a nie do 100.

Odpowiedź: 210 m

1. Najpierw prędkość pociągu — mamy komplet danych z pierwszego zdania.
2. $v = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{700}}{\textcolor{#E0453A}{50}} = 14\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$.
3. Drugie zdanie mówi, że pociąg pokonał drogę równą swojej długości w ciągu $\textcolor{#E0453A}{15}$ sekund.
4. Zatem długość pociągu to droga przebyta w tym czasie: $l = 14 \cdot \textcolor{#E0453A}{15} = 210$ m.
5. Odpowiedź: pociąg ma długość 210 m.

💡 Wskazówka: „Droga równa długości pociągu” to sytuacja, gdy mijamy stojący punkt (np. słupek): od chwili, gdy mija go czoło, do chwili, gdy mija go ostatni wagon.

⚠ Częsty błąd: proporcja „skoro 50 s to 700 m, to 15 s to $\tfrac{15}{50} \cdot 700$” — akurat tutaj daje ten sam poprawny wynik 210 m, ale bez policzenia prędkości trudniej sprawdzić rachunek. Prawdziwy błąd to podzielenie $700 : 15$.

Odpowiedź: 90 km/h

1. Czas przejazdu: od $7\!:\!50$ do $8\!:\!05$ to 10 minut do pełnej godziny plus 5 minut, czyli 15 minut.
2. Zamieniamy na godziny: $15$ minut $= \textcolor{#E0453A}{0{,}25}$ godziny.
3. $v = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{22{,}5}}{\textcolor{#E0453A}{0{,}25}} = 90\ \dfrac{\text{km}}{\text{h}}$.
4. Odpowiedź: kierowca jechał z prędkością 90 km/h.
5. Kontrola: 15 minut mieści się w godzinie 4 razy, więc $4 \cdot \textcolor{#16A06A}{22{,}5} = 90$ km ✓

💡 Wskazówka: Dzielenie przez $0{,}25$ to to samo co mnożenie przez 4. Podobnie: dzielenie przez $0{,}5$ to mnożenie przez 2, a przez $0{,}2$ — przez 5.

⚠ Najczęstszy błąd: podanie wyniku $22{,}5 : 15 = 1{,}5$ — czyli prędkości w kilometrach na minutę, mimo że zadanie wyraźnie prosi o km/h.

Odpowiedź: 57 km/h

1. Zamieniamy czas na godziny: $40$ minut $= \textcolor{#E0453A}{\dfrac{40}{60}} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{2}{3}}$ godziny.
2. $v = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{38}}{\textcolor{#E0453A}{\tfrac{2}{3}}}$ — dzielenie przez ułamek to mnożenie przez odwrotność:
3. $v = \textcolor{#16A06A}{38} \cdot \dfrac{3}{2} = \dfrac{114}{2} = 57\ \dfrac{\text{km}}{\text{h}}$.
4. Odpowiedź: nawigacja przyjęła prędkość 57 km/h.
5. Kontrola: przy 57 km/h w 40 minut (czyli $\tfrac23$ godziny) samochód pokonuje $57 \cdot \tfrac23 = 38$ km ✓

💡 Wskazówka: Tutaj ułamek zwykły jest lepszy od dziesiętnego: $\tfrac23$ h to dokładnie 40 minut, a $0{,}67$ h dałoby wynik przybliżony (56,7 zamiast 57).

⚠ Najczęstszy błąd: przyjęcie $40$ minut $= 0{,}4$ godziny. To nieprawda — $0{,}4$ h to 24 minuty. Godzinę dzielimy na 60, nie na 100 części.

Odpowiedź: 6 minut

1. Droga A to po prostu suma dwóch odcinków: $800 + 600 = \textcolor{#16A06A}{1400}$ m.
2. Droga B to przekątna prostokąta — a że ulice są prostopadłe, korzystamy z twierdzenia Pitagorasa.
3. $B^2 = 800^2 + 600^2 = 640\,000 + 360\,000 = 1\,000\,000$, więc $B = \textcolor{#E0453A}{1000}$ m.
4. Różnica dróg: $\textcolor{#16A06A}{1400} - \textcolor{#E0453A}{1000} = 400$ m.
5. Teraz zamieniamy tę różnicę na czas. Prędkość $4\ \tfrac{\text{km}}{\text{h}}$ to $4000$ m na 60 minut, czyli na 1 minutę przypada $4000 : 60 = \dfrac{200}{3}$ m.
6. Czas na 400 m: $400 : \dfrac{200}{3} = 400 \cdot \dfrac{3}{200} = 6$ minut.
7. Odpowiedź: drogą B Ula idzie o 6 minut krócej.

💡 Wskazówka: Nie trzeba liczyć obu czasów osobno — wystarczy policzyć różnicę dróg i ją zamienić na czas. Mniej rachunków, mniej okazji do pomyłki.

⚠ Najczęstszy błąd: uznanie drogi B za $800 + 600$ podzielone na pół albo za 700 m „na oko”. Przekątna zawsze wymaga Pitagorasa — i zawsze jest krótsza od sumy boków, ale dłuższa od każdego z nich.

Odpowiedź: o 12 km/h

1. Droga tam: $v_1 = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{90}}{\textcolor{#E0453A}{1{,}5}} = 60\ \dfrac{\text{km}}{\text{h}}$.
2. Droga powrotna — czas krótszy o 15 minut, czyli o $0{,}25$ godziny: $\textcolor{#E0453A}{1{,}5} - 0{,}25 = \textcolor{#E0453A}{1{,}25}$ godziny.
3. $v_2 = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{90}}{\textcolor{#E0453A}{1{,}25}} = 72\ \dfrac{\text{km}}{\text{h}}$.
4. Różnica prędkości: $72 - 60 = 12\ \dfrac{\text{km}}{\text{h}}$.
5. Odpowiedź: w drodze powrotnej średnia prędkość była większa o 12 km/h.

💡 Wskazówka: Zwróć uwagę na nieoczywistą proporcję: czas skrócił się o $\tfrac16$ (z 90 na 75 minut), ale prędkość wzrosła o $\tfrac15$ (z 60 na 72). To dlatego, że prędkość i czas są odwrotnie proporcjonalne.

⚠ Najczęstszy błąd: potraktowanie „15 minut” jako 0,15 godziny. Kwadrans to $0{,}25$ godziny — pomyłka tutaj przekłada się na całkowicie błędny wynik.

Odpowiedź: o 15 minut

1. Czas samochodu osobowego znamy wprost z treści: $\textcolor{#E0453A}{75}$ minut.
2. Czas busa liczymy ze wzoru: $t = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{120}}{80} = 1{,}5$ godziny.
3. Zamieniamy na minuty, żeby porównać: $1{,}5 \cdot 60 = \textcolor{#E0453A}{90}$ minut.
4. Różnica: $\textcolor{#E0453A}{90} - \textcolor{#E0453A}{75} = 15$ minut.
5. Odpowiedź: samochód osobowy jechał o 15 minut krócej niż bus.
6. Dla ciekawości — prędkość samochodu osobowego: $75$ min $= 1{,}25$ h, więc $120 : 1{,}25 = 96\ \tfrac{\text{km}}{\text{h}}$.

💡 Wskazówka: Zanim odejmiesz, sprowadź oba czasy do tej samej jednostki. Tu najwygodniej do minut, bo w minutach podano czas samochodu.

⚠ Najczęstszy błąd: odjęcie „$1{,}5 - 75$” albo „$90 - 1{,}25$” — czyli mieszanie godzin z minutami w jednym działaniu.

Odpowiedź: 76 km

1. Trasa składa się z dwóch części, w których Ania faktycznie się przemieszczała. Czas czekania na przystanku nie dodaje żadnych kilometrów.
2. Marsz: od $8\!:\!00$ do $8\!:\!10$ to 10 minut $= \textcolor{#E0453A}{\tfrac16}$ godziny. Droga: $6 \cdot \textcolor{#E0453A}{\tfrac16} = \textcolor{#16A06A}{1}$ km.
3. Czekanie: od $8\!:\!10$ do $8\!:\!15$ prędkość wynosi 0, więc droga to 0 km.
4. Autobus: od $8\!:\!15$ do $9\!:\!30$ to 75 minut $= \textcolor{#E0453A}{1{,}25}$ godziny. Droga: $60 \cdot \textcolor{#E0453A}{1{,}25} = \textcolor{#16A06A}{75}$ km.
5. Sumujemy: $\textcolor{#16A06A}{1} + 0 + \textcolor{#16A06A}{75} = 76$ km.
6. Odpowiedź: Ania pokonała trasę o długości 76 km.

💡 Wskazówka: Na wykresie prędkość–czas (inaczej niż na wykresie droga–czas) odcinek poziomy na wysokości zero oznacza postój, a przebytą drogę liczy się jako $v \cdot t$ dla każdego etapu osobno.

⚠ Dwa typowe błędy: (1) doliczenie czasu czekania do jazdy autobusem (od $8\!:\!10$ zamiast od $8\!:\!15$) — wychodzi wtedy 80 km zamiast 75; (2) pominięcie 1 km przejścia na przystanek, bo „to tylko marsz”.

Odpowiedź: Adam dotarł o godzinie $17{:}56$, czyli $4$ minuty przed umówioną godziną

1. Krok 1 — czytamy trasę z siatki. Bok kratki to $\textcolor{#16A06A}{1}$ km. Trasa składa się z trzech odcinków i tylko środkowy jest ukośny:
2.   • Bocianowo → Stawisko: poziomo, $\textcolor{#E0453A}{3}$ kratki, czyli $\textcolor{#E0453A}{3}$ km,
3.   • Stawisko → Bajorko: ukośnie, $\textcolor{#E0453A}{3}$ kratki w prawo i $\textcolor{#E0453A}{4}$ kratki w górę,
4.   • Bajorko → Żabno: pionowo, $\textcolor{#E0453A}{7}$ kratek, czyli $\textcolor{#E0453A}{7}$ km.
5. Krok 2 — odcinek ukośny z twierdzenia Pitagorasa. Tego jednego nie da się odczytać przez policzenie kratek — trzeba go policzyć. Przesunięcie w prawo i w górę tworzy trójkąt prostokątny o przyprostokątnych $\textcolor{#E0453A}{3}$ i $\textcolor{#E0453A}{4}$:
6. $|SB|^2 = \textcolor{#E0453A}{3}^2 + \textcolor{#E0453A}{4}^2 = 9 + 16 = \textcolor{#E0453A}{25} \qquad \Longrightarrow \qquad |SB| = \textcolor{#E0453A}{5} \text{ km}$
7. To znana trójka pitagorejska $3$, $4$, $5$ — warto ją rozpoznać od razu.
8. Krok 3 — cała trasa.
9. $s = \textcolor{#E0453A}{3} + \textcolor{#E0453A}{5} + \textcolor{#E0453A}{7} = \textcolor{#E0453A}{15} \text{ km}$
10. Krok 4 — czas jazdy. Ze wzoru $t = \dfrac{s}{v}$:
11. $t = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{15} \text{ km}}{\textcolor{#16A06A}{25} \text{ km/h}} = \textcolor{#E0453A}{0{,}6} \text{ h}$
12. Krok 5 — zamiana na minuty. Godzina to $60$ minut, więc
13. $\textcolor{#E0453A}{0{,}6} \text{ h} = \textcolor{#E0453A}{0{,}6} \cdot 60 = \textcolor{#E0453A}{36} \text{ minut}$
14. Krok 6 — godzina przyjazdu.
15. $\textcolor{#16A06A}{17{:}20} + \textcolor{#E0453A}{36} \text{ min} = 17{:}56$
16. Odpowiedź: Adam dotarł o godzinie $17{:}56$ — czyli $4$ minuty przed umówioną $\textcolor{#16A06A}{18{:}00}$.
17. Kontrola: gdyby Adam jechał przez cały czas $\textcolor{#16A06A}{25}$ km/h przez pełne $40$ minut (czyli do $18{:}00$), przejechałby $25 \cdot \tfrac{40}{60} \approx \textcolor{#E0453A}{16{,}7}$ km. Trasa jest krótsza niż $16{,}7$ km, więc przyjazd przed czasem jest wynikiem sensownym  ✓
18. Druga kontrola, na odcinku ukośnym: jest on dłuższy od każdej z przyprostokątnych, ale krótszy od ich sumy — $\textcolor{#E0453A}{4} < \textcolor{#E0453A}{5} < \textcolor{#E0453A}{3} + \textcolor{#E0453A}{4}$  ✓ Gdyby ktoś policzył go, licząc kratki „po schodkach”, wyszłoby $7$ km i cała trasa miałaby $17$ km, czyli o $2$ km za dużo.

💡 Wskazówka: Na siatce da się policzyć kratki tylko dla odcinków poziomych i pionowych. Odcinek ukośny trzeba wyliczyć z twierdzenia Pitagorasa, biorąc jako przyprostokątne jego przesunięcie w poziomie i w pionie. To najczęstszy schemat w zadaniach „trasa na kratce”. Druga rzecz: prędkość $25$ km/h i czas w minutach nie pasują do siebie wprost — najpierw licz czas w godzinach ze wzoru $t = \tfrac{s}{v}$, a dopiero potem zamień na minuty, mnożąc przez $60$. Ułamek $0{,}6$ h to $36$ minut, a nie $6$ ani $60$.

⚠ Policzenie odcinka ukośnego przez liczenie kratek „po schodkach”, czyli $3 + 4 = 7$ km zamiast $5$ km. Cała trasa wychodzi wtedy $17$ km, czas $40{,}8$ minuty i godzina $18{:}01$ — czyli spóźnienie zamiast przyjazdu przed czasem. Warto pamiętać: przekątna kratki jest zawsze krótsza niż droga po jej bokach. Drugi błąd: potraktowanie $0{,}6$ h jako $6$ minut albo jako $1$ godziny i $6$ minut; $0{,}6$ h to $36$ minut, bo godzina ma $60$, a nie $100$ minut. Trzeci błąd: dodanie $36$ minut do godziny $18{:}00$ zamiast do $17{:}20$ — pytanie dotyczy godziny przyjazdu, a $18{:}00$ to godzina umówiona, nie wyjazdu.