Strona główna › Egzamin ósmoklasisty › Prędkość, droga i czas na egzaminie ósmoklasisty

Prędkość, droga i czas na egzaminie ósmoklasisty

Wzór na prędkość zna każdy. A jednak to najbardziej punktożerny dział arytmetyki na egzaminie — bo w sześciu z 26 zadań trzeba najpierw zamienić jednostki czasu, a dwanaście jest otwartych, więc liczy się także zapis. Ta strona jest przede wszystkim o minutach, sekundach i o tym, jak nie stracić punktu za sam sposób notacji.

Dział: Egzamin ósmoklasistyPoziom: klasa 7–8Zadań: 26 — 20 z egzaminu ósmoklasisty i 6 z egzaminu gimnazjalnego

Przejdź od razu do zadań (26) ↓

Wzór na prędkość i dwa jego przekształcenia

Podstawowa zależność wiąże trzy wielkości: prędkość, drogę i czas.

v = \frac{s}{t}, \qquad s = v \cdot t, \qquad t = \frac{s}{v}

Przekształceń nie trzeba pamiętać osobno. Wystarczy znać jedno z nich i traktować pozostałe jak zwykłe przekształcenie równania — dokładnie tak, jak w dziale przekształcanie wzorów.

Pomocna jest kontrola jednostkowa. Skoro prędkość podaje się w kilometrach na godzinę, to droga musi być dzielona przez czas — sama nazwa jednostki mówi, które działanie wykonać. Ta sama kontrola ratuje przy $s = v \cdot t$ : kilometry na godzinę razy godziny daje kilometry.

Zamiana jednostek czasu — najczęstsze źródło błędów

To jest sedno tego działu. Prędkość w km/h wymaga czasu w godzinach, a zadania podają czas w minutach — i tu zaczynają się kłopoty.

Godzina ma 60 minut, więc minuty zamienia się na godziny przez podzielenie przez 60. Warto zapamiętać cztery najczęstsze wartości:

15 min $= 0{,}25$ h
20 min $= \tfrac{1}{3}$ h
30 min $= 0{,}5$ h
45 min $= 0{,}75$ h

Najgroźniejszy błąd całego działu: zapisanie „1 godzina 30 minut” jako 1,30 h. To nie jest ta sama liczba — poprawnie jest 1,5 h. Zapis czasu wygląda jak liczba dziesiętna, ale nią nie jest, bo po przecinku kryje się układ sześćdziesiątkowy.

Przy 20 minutach lepiej pracować na ułamku $\tfrac{1}{3}$ niż na przybliżeniu 0,33 — wynik wychodzi dokładny i nie trzeba się zastanawiać nad zaokrągleniem.

Kilometry na godzinę a metry na sekundę

Obie jednostki opisują prędkość, ale różnią się o czynnik 3,6. Bierze się on stąd, że kilometr to 1000 metrów, a godzina to 3600 sekund, więc $1000 : 3600 = \tfrac{1}{3{,}6}$ .

1\ \tfrac{\text{km}}{\text{h}} = \frac{1}{3{,}6}\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}, \qquad 1\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}} = 3{,}6\ \tfrac{\text{km}}{\text{h}}

Kierunek przeliczenia łatwo pomylić, więc zamiast zapamiętywać, mnożyć czy dzielić, warto sprawdzić sensowność wyniku. Prędkość w m/s jest zawsze liczbowo mniejsza niż ta sama prędkość w km/h — bo sekunda jest krótsza od godziny, więc w krótszym czasie pokonuje się mniejszy dystans.

Kontrola na znanej wartości: 72 km/h to 20 m/s. Jeśli po przeliczeniu wyszła liczba większa niż wyjściowa, przeliczenie poszło w złą stronę.

Ile trwała droga: różnica czasów

Trzy zadania na tej stronie podają godzinę wyjazdu i godzinę przyjazdu, a szukany jest czas przejazdu. To odejmowanie, ale w układzie sześćdziesiątkowym.

Bezpieczny sposób: dojść do pełnej godziny osobno. Z $9{:}40$ do $10{:}00$ jest 20 minut, z $10{:}00$ do $13{:}15$ — trzy godziny i piętnaście minut. Razem: 3 h 35 min.

Odejmowanie w słupku daje tu błąd, bo pożyczka wynosi 60, nie 100. To ten sam mechanizm, który stoi za pułapką z 1,30 h.

Dopiero po znalezieniu czasu przejazdu zamienia się go na godziny w postaci dziesiętnej — jeśli w ogóle jest potrzebny do dalszych rachunków.

Dwa pojazdy: kiedy się spotkają

Najtrudniejszy typ w tym dziale, choć występuje tylko w dwóch zadaniach. Klucz jest jeden: gdy pojazdy jadą naprzeciw siebie, odległość między nimi maleje z prędkością równą sumie ich prędkości.

Nie trzeba więc rozpatrywać dwóch ruchów osobno. Traktuje się to jak jeden ruch: cała dzieląca ich droga, pokonywana z prędkością będącą sumą.

Gdy jeden pojazd dogania drugi, jadąc w tę samą stronę, odległość maleje z prędkością równą różnicy prędkości. Jeśli różnica wynosi zero, dogonienie nigdy nie nastąpi — i to bywa treścią zadania.

Osobny wariant to wyjazd o różnych godzinach. Wtedy najpierw liczy się drogę, którą pierwszy pojazd przebył samotnie, i dopiero pozostałą odległość dzieli przez sumę prędkości.

Prędkość średnia to nie średnia prędkości

Gdy pojazd jedzie dwoma odcinkami z różną prędkością, prędkości średniej nie liczy się jako średniej arytmetycznej tych dwóch liczb.

Prędkość średnia to zawsze cała droga podzielona przez cały czas — bez wyjątków i bez skrótów.

Uśrednianie prędkości dałoby poprawny wynik tylko wtedy, gdyby oba odcinki trwały tyle samo czasu. W zadaniach równe bywają odcinki drogi, a to nie to samo: wolniejszy odcinek zajmuje więcej czasu, więc waży w wyniku mocniej.

Dlatego przy równych odcinkach drogi prędkość średnia wypada zawsze bliżej tej mniejszej z prędkości. (Gdy odcinki są różnej długości, reguła nie działa: sto kilometrów po 100 km/h i jeden kilometr po 10 km/h daje średnią blisko 92 km/h, czyli bliżej większej.) To gotowa kontrola wyniku — podobnie jak przy średniej arytmetycznej dwóch grup o różnej liczebności.

Zapis rozwiązania w zadaniach otwartych

Dwanaście zadań na tej stronie to zadania otwarte, więc oceniany jest cały tok rozumowania, a nie tylko liczba na końcu.

Trzy rzeczy dają punkty niezależnie od wyniku:

zapisanie zamiany jednostek jako osobnego kroku — widać, że czas był w godzinach,
podstawienie do wzoru w widocznej postaci, a nie od razu wynik dzielenia,
wynik z jednostką i pełnym zdaniem odpowiedzi.

Sama jednostka przy wyniku bywa warunkiem punktu. Liczba 80 bez dopisku nie jest odpowiedzią na pytanie o prędkość — dopiero 80 km/h nią jest.

Przykłady krok po kroku

Cztery zadania krok po kroku: podstawowe przekształcenie wzoru, zamiana jednostek czasu, przeliczenie km/h na m/s i prędkość średnia.

Przykład 1 Prędkość z drogi i czasu

Samochód przejechał 120 km w czasie 1 godziny i 30 minut. Z jaką jechał prędkością średnią?

Najpierw czas w godzinach. 30 min to pół godziny, więc $t = 1{,}5$ h — nie 1,30 h.
Podstawiam do wzoru: $v = \dfrac{s}{t} = \dfrac{120}{1{,}5}$ .
$120 : 1{,}5 = 80$ .
Kontrola: przy 80 km/h w półtorej godziny pokonuje się $80 \cdot 1{,}5 = 120$ km ✓
Gdyby ktoś podstawił 1,30, wyszłoby około 92 km/h — i to byłby błąd wyłącznie jednostkowy.

Odpowiedź: Prędkość średnia wynosiła 80 km/h.

Przykład 2 Czas przejazdu przy minutach

Rowerzysta jedzie ze stałą prędkością 18 km/h. Ile kilometrów przejedzie w ciągu 45 minut?

Zamiana czasu: 45 min $= \dfrac{45}{60}$ h $= 0{,}75$ h.
Ze wzoru na drogę: $s = v \cdot t = 18 \cdot 0{,}75$ .
$18 \cdot 0{,}75 = 13{,}5$ .
Kontrola jednostek: km/h razy h daje km ✓
Kontrola sensowności: w całej godzinie byłoby 18 km, a 45 minut to trzy czwarte godziny — wynik musi być trochę mniejszy niż 18 ✓

Odpowiedź: Rowerzysta przejedzie 13,5 km.

Przykład 3 Z km/h na m/s

Pociąg jedzie z prędkością 72 km/h. Ile to metrów na sekundę?

W ciągu godziny pociąg pokonuje 72 km, czyli $72\,000$ m.
Godzina to 3600 sekund, więc dzielę: $72\,000 : 3600 = 20$ .
Skrótowo: dzielenie przez 3,6 daje ten sam wynik, bo $72 : 3{,}6 = 20$ .
Kontrola kierunku: wynik w m/s jest liczbowo mniejszy niż wyjściowe 72 ✓ — gdyby wyszło 259,2, przeliczenie poszłoby w złą stronę.

Odpowiedź: Prędkość pociągu to 20 m/s.

Przykład 4 Prędkość średnia dwóch odcinków

Samochód przejechał 60 km z prędkością 60 km/h, a kolejne 60 km z prędkością 30 km/h. Jaka była jego prędkość średnia na całej trasie?

Uśrednienie prędkości dałoby $\dfrac{60+30}{2} = 45$ km/h — i to jest błąd.
Liczę czasy osobno. Pierwszy odcinek: $t_1 = \dfrac{60}{60} = 1$ h. Drugi: $t_2 = \dfrac{60}{30} = 2$ h.
Cała droga: $60 + 60 = 120$ km. Cały czas: $1 + 2 = 3$ h.
Prędkość średnia: $v = \dfrac{120}{3} = 40$ km/h.
Kontrola: wynik jest bliżej 30 niż 60 — słusznie, bo wolniejszy odcinek zajął dwa razy więcej czasu ✓

Odpowiedź: Prędkość średnia wyniosła 40 km/h.

Najczęstsze błędy

Cztery błędy odpowiadające za większość strat punktowych w tym dziale. Pierwszy z nich jest zdecydowanie najczęstszy.

Zapisywanie godzin i minut jako liczby dziesiętnej

Skąd się bierze: „Godzina trzydzieści” brzmi jak 1,30, ale minuty liczy się do sześćdziesięciu, nie do stu. Poprawnie jest 1,5 h, a różnica przenosi się wprost na wynik — przy 120 km daje 92 zamiast 80 km/h.

Jak zrobić dobrze: Zamieniaj minuty osobnym działaniem: podziel przez sześćdziesiąt i zapisz wynik jako oddzielny krok. Cztery wartości warto znać na pamięć — piętnaście, dwadzieścia, trzydzieści i czterdzieści pięć minut.

Prędkość średnia liczona jako średnia prędkości

Skąd się bierze: Dwie prędkości w treści zachęcają do policzenia z nich średniej arytmetycznej. Wolniejszy odcinek zajmuje jednak więcej czasu, więc wpływa na wynik mocniej — a przy równych odcinkach drogi uśrednienie zawsze zawyża rezultat.

Jak zrobić dobrze: Licz cała droga przez cały czas. Czasy obu odcinków wyznacz osobno ze wzoru, potem dodaj. Kontrola: wynik musi wypaść bliżej mniejszej z prędkości.

Przeliczanie km/h na m/s w złą stronę

Skąd się bierze: Czynnik 3,6 jest zapamiętany, ale kierunek — nie. Pomnożenie zamiast podzielenia daje liczbę kilkanaście razy za dużą, a przy prędkościach samochodowych wynik i tak wygląda „jakoś sensownie”.

Jak zrobić dobrze: Nie pamiętaj kierunku, tylko sprawdź go na wyniku: ta sama prędkość w m/s jest zawsze liczbowo mniejsza niż w km/h. Wzorzec do zapamiętania: siedemdziesiąt dwa kilometry na godzinę to dwadzieścia metrów na sekundę.

Brak jednostki przy wyniku w zadaniu otwartym

Skąd się bierze: Rachunek bywa poprawny, a odpowiedź niepełna. Sama liczba nie rozstrzyga, czy chodzi o kilometry na godzinę, czy o metry na sekundę, więc egzaminator nie ma podstaw do przyznania pełnej punktacji.

Jak zrobić dobrze: Kończ pełnym zdaniem z jednostką. Przy zadaniach otwartych zostaw też widoczne podstawienie do wzoru i osobny krok zamiany jednostek — oba bywają punktowane niezależnie od końcowej liczby.

Zadania z arkuszy CKE — prędkość, droga, czas

Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminu ósmoklasisty (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem. W zestawie jest 6 zadań z arkuszy egzaminu gimnazjalnego (do 2019 roku) — dokładamy je jako dodatkowe ćwiczenie tych samych umiejętności. Zakres gimnazjum był miejscami szerszy niż wymagania dla klas 7–8, dlatego każde takie zadanie jest podpisane osobno.

Kolor prowadzi przez wzór

v = \frac{s}{t}

: zielona to droga, a czerwona to czas — zawsze już zamieniony na jednostkę pasującą do prędkości. Właśnie zamiana minut na godziny (albo metrów na kilometry) to miejsce, w którym najczęściej gubi się punkty — dlatego jest zaznaczona osobno.

Sprawdź się bez zaglądania do odpowiedzi. Wylosuję 10 zadań zamkniętych z tego zestawu — klucz i rozwiązania schowam do czasu sprawdzenia. Pula liczy 11 zadań, więc kolejne podejście podmieni najwyżej jedno zadanie.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (maj 2025)1 pktłatwe

Rowerzysta pokonał odcinek drogi o długości 100 m z prędkością

5\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}}

. Dokończ zdanie.
Rowerzysta pokonał ten odcinek drogi w czasie

A. 50 sekund.
B. 20 sekund.
C. 500 sekund.
D. 200 sekund.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Ze wzoru $v = \dfrac{s}{t}$ wyliczamy czas: $t = \dfrac{s}{v}$ .
Tutaj jednostki od razu pasują — droga w metrach, prędkość w metrach na sekundę, więc czas wyjdzie w sekundach.
$t = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{100}}{5} = 20$ sekund.
Odpowiedź B.
Sens fizyczny: skoro rowerzysta pokonuje 5 m w każdej sekundzie, to na 100 m potrzebuje 20 takich sekund.

💡 Wskazówka: Zapamiętaj trójkąt $s = v \cdot t$ : zasłaniasz palcem to, czego szukasz, a reszta pokazuje działanie. Zasłaniasz $t$ — zostaje $\dfrac{s}{v}$ .

⚠ Najczęstszy błąd: pomnożenie zamiast podzielenia ( $100 \cdot 5 = 500$ — kusząca odpowiedź C). Kontrola zdroworozsądkowa: 500 sekund to ponad 8 minut na 100 metrów — to tempo wolniejsze od spaceru.

Zadanie 2 (grudzień 2024)1 pktśrednie

Odcinkowy pomiar prędkości polega na wyznaczeniu średniej prędkości samochodu na określonym odcinku drogi. Samochód osobowy przejechał w 2 minuty taki odcinek drogi o długości 3 km. Dokończ zdanie.
Wyznaczona prędkość tego samochodu na objętym pomiarem odcinku drogi była równa

A. $40\ \dfrac{\text{km}}{\text{h}}$
B. $60\ \dfrac{\text{km}}{\text{h}}$
C. $90\ \dfrac{\text{km}}{\text{h}}$
D. $150\ \dfrac{\text{km}}{\text{h}}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Odpowiedź ma być w $\tfrac{\text{km}}{\text{h}}$ , więc czas musimy zamienić z minut na godziny.
2 minuty $= \textcolor{#E0453A}{\dfrac{2}{60}} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{1}{30}}$ godziny.
$v = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{3}}{\textcolor{#E0453A}{\tfrac{1}{30}}} = \textcolor{#16A06A}{3} \cdot 30 = 90\ \dfrac{\text{km}}{\text{h}}$ .
Odpowiedź C.
Prościej „na proporcję”: w 2 minuty samochód robi 3 km, a godzina to 30 razy po 2 minuty — czyli $30 \cdot 3 = 90$ km na godzinę.

💡 Wskazówka: Sposób proporcjonalny bywa szybszy niż wzór: sprawdź, ile razy podany czas mieści się w godzinie, i tyle razy pomnóż drogę.

⚠ Najczęstszy błąd: podzielenie $3 : 2$ i podanie 1,5 albo pomnożenie $3 \cdot 2 = 6$ . Zawsze najpierw zamień jednostki, potem podstawiaj do wzoru.

Zadanie 3 (czerwiec 2023)1 pktłatwe

Samochód przejechał ze stałą prędkością trasę o długości 18 kilometrów w czasie 12 minut. Dokończ zdanie.
Samochód przejechał tę trasę z prędkością

A. $30\ \dfrac{\text{km}}{\text{h}}$
B. $60\ \dfrac{\text{km}}{\text{h}}$
C. $90\ \dfrac{\text{km}}{\text{h}}$
D. $120\ \dfrac{\text{km}}{\text{h}}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Zamieniamy czas na godziny: 12 minut $= \textcolor{#E0453A}{\dfrac{12}{60}} = \textcolor{#E0453A}{0{,}2}$ godziny.
$v = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{18}}{\textcolor{#E0453A}{0{,}2}} = 90\ \dfrac{\text{km}}{\text{h}}$ .
Odpowiedź C.
Kontrola „na proporcję”: 12 minut mieści się w godzinie 5 razy, więc $5 \cdot \textcolor{#16A06A}{18} = 90$ km ✓

💡 Wskazówka: Warto znać najczęstsze zamiany na pamięć: 6 min $= 0{,}1$ h, 12 min $= 0{,}2$ h, 15 min $= 0{,}25$ h, 30 min $= 0{,}5$ h, 45 min $= 0{,}75$ h.

⚠ Najczęstszy błąd: podstawienie 12 zamiast 0,2 i otrzymanie $18 : 12 = 1{,}5$ . Wynik w takich zadaniach powinien być rzędu kilkudziesięciu km/h — 1,5 km/h to tempo wolniejsze od spaceru.

Zadanie 4 (czerwiec 2020)1 pkttrudniejsze

Piechur i kolarz wyruszyli naprzeciw siebie tą samą drogą. Droga, która ich dzieliła, miała długość 48 km. Piechur wyszedł o

8^{00}

i szedł ze stałą prędkością

4\ \tfrac{\text{km}}{\text{h}}

. Kolarz wyjechał o

10^{00}

i jechał ze stałą prędkością

16\ \tfrac{\text{km}}{\text{h}}

. Oceń prawdziwość podanych zdań.

O godzinie $10^{30}$ piechura i kolarza dzieliła droga o długości 30 km.	P	F
Piechur i kolarz spotkają się o godzinie $12^{00}$ .	P	F

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P, P

Zdanie 1. Liczymy, ile każdy przebył do godziny $10^{30}$ .
Piechur idzie od $8^{00}$ , czyli $\textcolor{#E0453A}{2{,}5}$ godziny: $4 \cdot \textcolor{#E0453A}{2{,}5} = \textcolor{#16A06A}{10}$ km.
Kolarz jedzie od $10^{00}$ , czyli dopiero $\textcolor{#E0453A}{0{,}5}$ godziny: $16 \cdot \textcolor{#E0453A}{0{,}5} = \textcolor{#16A06A}{8}$ km.
Razem pokonali $\textcolor{#16A06A}{10} + \textcolor{#16A06A}{8} = 18$ km, więc dzieli ich $48 - 18 = 30$ km ✓ — prawda.
Zdanie 2. Cofamy się do godziny $10^{00}$ , gdy kolarz startuje.
Piechur ma już za sobą $4 \cdot 2 = 8$ km, więc do pokonania zostaje im razem $48 - 8 = \textcolor{#16A06A}{40}$ km.
Idąc naprzeciw siebie, zbliżają się z sumą prędkości: $4 + 16 = 20\ \tfrac{\text{km}}{\text{h}}$ .
Czas do spotkania: $\textcolor{#16A06A}{40} : 20 = \textcolor{#E0453A}{2}$ godziny, licząc od $10^{00}$ — czyli o $12^{00}$ ✓ — prawda.
Odpowiedzi: P, P.

💡 Wskazówka: Przy ruchu naprzeciw siebie prędkości się dodają (dystans maleje szybciej). Przy pościgu — odejmują. To jedna reguła, która załatwia większość takich zadań.

⚠ Najczęstszy błąd: liczenie czasu spotkania od godziny $8^{00}$ dla obu. Kolarz rusza dwie godziny później, więc najpierw trzeba „przesunąć start” i policzyć, ile piechur zdążył ujść sam.

Zadanie 5 (kwiecień 2020)1 pkttrudniejsze

Pociąg o długości

l = 150

m przejechał przez tunel o długości

d = 350

m ze stałą prędkością

v = 20\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}

. Ile czasu upłynęło od momentu wjazdu czoła pociągu do tunelu do momentu wyjazdu z tunelu końca ostatniego wagonu?

A. 7,5 s
B. 17,5 s
C. 25 s
D. 36 s

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Cała trudność tkwi w ustaleniu, jaką drogę naprawdę pokonuje pociąg.
Śledźmy jeden punkt — czoło pociągu. Musi ono przejechać przez cały tunel (350 m), a potem jeszcze tyle, żeby ostatni wagon opuścił tunel — czyli dodatkowo całą długość pociągu (150 m).
Droga: $\textcolor{#16A06A}{350 + 150} = \textcolor{#16A06A}{500}$ m.
Czas: $t = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{500}}{20} = 25$ sekund.
Odpowiedź C.

💡 Wskazówka: Reguła dla pociągów, mostów i tuneli: droga = długość przeszkody + długość pociągu. Zawsze śledź jeden punkt (najlepiej czoło) od początku do końca zdarzenia.

⚠ Najczęstszy błąd: policzenie samego tunelu ( $350 : 20 = 17{,}5$ s — kusząca odpowiedź B). To czas, po którym z tunelu wyjeżdża czoło, a nie cały pociąg.

Zadanie 6 (marzec 2020)1 pktśrednie

Miejscowości

A

B

na przeciwległych brzegach jeziora łączą dwie drogi: polna (przez punkt

P

) o długości 10 km i leśna (przez punkt

L

) o długości 6 km. Matylda i Karol wyruszyli na rowerach z

A

B

o godzinie

10\!:\!00

. Matylda jechała drogą leśną ze średnią prędkością

15\ \tfrac{\text{km}}{\text{h}}

, a Karol drogą polną ze średnią prędkością

20\ \tfrac{\text{km}}{\text{h}}

. Oceń prawdziwość podanych zdań.

Do miejscowości $B$ Karol przyjechał wcześniej niż Matylda.	P	F
Matylda przyjechała do miejscowości $B$ o godzinie $10\!:\!24$ .	P	F

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: F, P

Liczymy czas przejazdu każdego z osobna: $t = \dfrac{s}{v}$ .
Matylda (droga leśna): $t = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{6}}{15} = \textcolor{#E0453A}{0{,}4}$ godziny.
Zamieniamy na minuty: $\textcolor{#E0453A}{0{,}4} \cdot 60 = 24$ minuty, więc na miejscu jest o $10\!:\!24$ ✓ — zdanie 2 prawdziwe.
Karol (droga polna): $t = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{10}}{20} = \textcolor{#E0453A}{0{,}5}$ godziny, czyli 30 minut — na miejscu o $10\!:\!30$ .
Porównujemy: $10\!:\!24 < 10\!:\!30$ , więc to Matylda przyjechała wcześniej — zdanie 1 fałszywe.
Odpowiedzi: F, P.

💡 Wskazówka: Zamiana ułamka godziny na minuty: pomnóż przez 60. 0,4 h $= 24$ min, 0,25 h $= 15$ min, $\tfrac13$ h $= 20$ min.

⚠ Najczęstszy błąd: założenie, że skoro Karol jechał szybciej, to dojechał pierwszy. Jechał jednak dłuższą drogą — o samym czasie decyduje dopiero iloraz $\tfrac{s}{v}$ .

Zadanie 7 (czerwiec 2019)1 pktśrednie

Rowerzysta wyruszył w trasę o godzinie

10^{45}

, a do celu przyjechał o godzinie

14^{05}

. Jego prędkość średnia na całej trasie była równa

15\ \tfrac{\text{km}}{\text{h}}

. Jaki dystans przejechał rowerzysta?

A. 48 km
B. 50 km
C. 51 km
D. 55 km

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Najpierw czas jazdy. Od $10^{45}$ do $14^{45}$ byłyby równe 4 godziny, ale rowerzysta dotarł wcześniej — o $14^{05}$ .
Liczymy „na raty”: od $10^{45}$ do $14^{00}$ to 3 godziny 15 minut, plus jeszcze 5 minut do $14^{05}$ — razem 3 godziny 20 minut.
Zamieniamy na godziny: 20 minut to $\tfrac13$ godziny, więc $t = \textcolor{#E0453A}{3\tfrac13} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{10}{3}}$ h.
$s = v \cdot t = 15 \cdot \textcolor{#E0453A}{\dfrac{10}{3}} = \dfrac{150}{3} = 50$ km.
Odpowiedź B.

💡 Wskazówka: Przy takich czasach ułamek zwykły jest wygodniejszy od dziesiętnego: $3\tfrac13$ h to $\tfrac{10}{3}$ h, a $15 \cdot \tfrac{10}{3}$ liczy się w pamięci. Zapis 3,33 dałby wynik niedokładny.

⚠ Najczęstszy błąd: policzenie czasu jako $14{,}05 - 10{,}45 = 3{,}6$ godziny. Godziny nie są liczbami dziesiętnymi — 60 minut to jedna godzina, nie 100.

Zadanie 8 (grudzień 2018)1 pkttrudniejsze

Prędkość rozchodzenia się impulsu elektrycznego u człowieka wynosi około 2 metrów na sekundę. U roślin impuls elektryczny może rozchodzić się z prędkością około 60 centymetrów na minutę. Ile razy prędkość rozchodzenia się impulsu u człowieka jest większa niż u roślin?

A. W przybliżeniu 2 razy.
B. W przybliżeniu 20 razy.
C. W przybliżeniu 200 razy.
D. W przybliżeniu 2000 razy.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Prędkości podano w różnych jednostkach, więc najpierw sprowadzamy je do wspólnej. Wybierzmy metry na sekundę.
Rośliny: 60 cm na minutę to $\textcolor{#16A06A}{0{,}6}$ m na minutę.
Minuta ma 60 sekund, więc na sekundę przypada $\textcolor{#16A06A}{0{,}6} : \textcolor{#E0453A}{60} = \textcolor{#16A06A}{0{,}01}\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ .
Porównujemy: $\dfrac{2}{\textcolor{#16A06A}{0{,}01}} = 200$ .
Odpowiedź C — u człowieka impuls jest około 200 razy szybszy.
Można też odwrotnie, w metrach na minutę: człowiek $2 \cdot \textcolor{#E0453A}{60} = 120$ m/min, rośliny $\textcolor{#16A06A}{0{,}6}$ m/min, a $120 : \textcolor{#16A06A}{0{,}6} = 200$ ✓

💡 Wskazówka: Przy porównywaniu prędkości zawsze najpierw ujednolić jednostki. Nieważne, którą wybierzesz — wynik („ile razy”) będzie ten sam.

⚠ Najczęstszy błąd: porównanie samych liczb (2 kontra 60) i odpowiedź „30 razy wolniej”. To porównywanie metrów na sekundę z centymetrami na minutę — dwie różne rzeczy.

Zadanie 9 (grudzień 2017)1 pkttrudniejsze

Jacek i Ola testują swoje elektryczne deskorolki. Zmierzyli czasy przejazdu na trasie 400 m. Ola pokonała tę trasę w czasie 160 s, a Jacek w czasie 100 s. Dokończ zdanie.
Różnica średnich prędkości uzyskanych przez Jacka i przez Olę jest równa

A. $1{,}5\ \dfrac{\text{km}}{\text{h}}$
B. $5{,}4\ \dfrac{\text{km}}{\text{h}}$
C. $9\ \dfrac{\text{km}}{\text{h}}$
D. $14{,}4\ \dfrac{\text{km}}{\text{h}}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Liczymy obie prędkości w metrach na sekundę.
Ola: $\dfrac{\textcolor{#16A06A}{400}}{\textcolor{#E0453A}{160}} = 2{,}5\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ . Jacek: $\dfrac{\textcolor{#16A06A}{400}}{\textcolor{#E0453A}{100}} = 4\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ .
Różnica: $4 - 2{,}5 = 1{,}5\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ .
Ale odpowiedzi są w $\tfrac{\text{km}}{\text{h}}$ — trzeba jeszcze przeliczyć.
W ciągu godziny (3600 s) przy $1{,}5\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ pokonuje się $1{,}5 \cdot 3600 = 5400$ m, czyli 5,4 km.
Różnica wynosi $5{,}4\ \tfrac{\text{km}}{\text{h}}$ — odpowiedź B.

💡 Wskazówka: Zapamiętaj mnożnik: $\tfrac{\text{m}}{\text{s}} \to \tfrac{\text{km}}{\text{h}}$ mnożymy przez 3,6, a w drugą stronę dzielimy przez 3,6. Tu $1{,}5 \cdot 3{,}6 = 5{,}4$ .

⚠ Najczęstszy błąd: zatrzymanie się na $1{,}5\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ i zaznaczenie odpowiedzi A — bo liczba się zgadza. Ale jednostka jest inna! Zawsze sprawdzaj, w czym mają być wyrażone odpowiedzi.

Zadanie 10 (kwiecień 2015, egzamin gimnazjalny)1 pktśrednie

Każda z dwóch kolejek górskich przebywa drogę 150 metrów w ciągu minuty. Trasa biegnie od dolnej stacji do górnej; w połowie znajduje się pętla mijania. Od górnej stacji do początku pętli jest 750 m, a sama pętla (do punktu $K$ na jej dolnym końcu) ma 120 m.
Jak długo trwa przejazd kolejki od górnej stacji do punktu

K

A. 5 minut
B. 5 minut i 8 sekund
C. 5 minut i 48 sekund
D. 6 minut

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Najpierw droga: od górnej stacji do $K$ kolejka pokonuje odcinek 750 m plus pętlę 120 m.
$s = \textcolor{#16A06A}{750 + 120} = \textcolor{#16A06A}{870}$ m.
Czas: $t = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{870}}{150} = \textcolor{#E0453A}{5{,}8}$ minuty.
Zamieniamy część ułamkową na sekundy: 0,8 minuty $= 0{,}8 \cdot 60 = 48$ sekund.
Zatem $\textcolor{#E0453A}{5{,}8}$ minuty to 5 minut i 48 sekund — odpowiedź C.

💡 Wskazówka: Ułamek minuty zamieniaj na sekundy przez mnożenie przez 60: 0,5 min $= 30$ s, 0,8 min $= 48$ s, 0,25 min $= 15$ s.

⚠ Najczęstszy błąd: odczytanie 5,8 minuty jako „5 minut i 8 sekund” (kusząca odpowiedź B). Cyfra po przecinku to dziesiąte części minuty, a nie sekundy.

Zadanie 11 (kwiecień 2015, egzamin gimnazjalny)1 pkttrudniejsze

Każda z dwóch kolejek górskich przebywa drogę 150 metrów w ciągu minuty. Od górnej stacji do początku pętli mijania jest 750 m.
Z górnej stacji kolejka wyjeżdża o 1 minutę wcześniej niż z dolnej. Kolejki równocześnie wjeżdżają na pętlę mijania. Dokończ zdanie.
Długość trasy kolejki od dolnej stacji do punktu

K

jest równa

A. 240 m
B. 450 m
C. 600 m
D. 900 m

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Kluczowe zdanie: kolejki równocześnie wjeżdżają na pętlę. Górna wjeżdża na nią od góry, dolna — w punkcie $K$ .
Górna kolejka pokonuje do pętli 750 m: $t = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{750}}{150} = \textcolor{#E0453A}{5}$ minut.
Górna wyruszyła minutę wcześniej, a obie docierają w tym samym momencie — dolna jest więc w drodze o minutę krócej.
Czas jazdy dolnej kolejki: $\textcolor{#E0453A}{5} - 1 = \textcolor{#E0453A}{4}$ minuty.
Jej droga: $s = 150 \cdot \textcolor{#E0453A}{4} = 600$ m.
Odpowiedź C.

💡 Wskazówka: „Wyjeżdża wcześniej, a dociera równocześnie” zawsze oznacza: czas jazdy jest o tyle krótszy. Tu o dokładnie jedną minutę.

⚠ Najczęstszy błąd: dodanie minuty zamiast odjęcia (6 minut $\to$ 900 m — kusząca odpowiedź D). Skoro dolna kolejka wyrusza później, a przyjeżdża w tym samym czasie, to jedzie krócej.

Zadanie 12 (kwiecień 2014, egzamin gimnazjalny)1 pktśrednie

Prędkość średnia piechura na trasie 10 km wyniosła

5\ \tfrac{\text{km}}{\text{h}}

, a prędkość średnia rowerzysty na tej samej trasie była równa

20\ \tfrac{\text{km}}{\text{h}}

. O ile minut więcej zajęło pokonanie tej trasy piechurowi niż rowerzyście?

A. 30 minut
B. 60 minut
C. 90 minut
D. 120 minut

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Liczymy oba czasy osobno ze wzoru $t = \dfrac{s}{v}$ .
Piechur: $t = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{10}}{5} = \textcolor{#E0453A}{2}$ godziny.
Rowerzysta: $t = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{10}}{20} = \textcolor{#E0453A}{0{,}5}$ godziny.
Różnica: $\textcolor{#E0453A}{2} - \textcolor{#E0453A}{0{,}5} = 1{,}5$ godziny.
Zamieniamy na minuty: $1{,}5 \cdot 60 = 90$ minut.
Odpowiedź C.

💡 Wskazówka: Pytanie brzmi „o ile minut”, więc na końcu koniecznie przelicz godziny na minuty. Odpowiedź 1,5 nie występuje wśród opcji — to podpowiedź, że czegoś brakuje.

⚠ Najczęstszy błąd: policzenie różnicy prędkości ( $20 - 5 = 15$ ) zamiast różnicy czasów. Prędkości i czasy to zupełnie różne wielkości — nie da się jednej zamienić na drugą przez odejmowanie.

Zadanie 13 (kwiecień 2013, egzamin gimnazjalny)1 pktśrednie

Średnia prędkość samochodu na trasie przebytej w czasie 4 godzin wyniosła

60\ \tfrac{\text{km}}{\text{h}}

. Oceń prawdziwość podanych zdań.

Aby czas przejazdu był o 1 godzinę krótszy, średnia prędkość samochodu na tej trasie musiałaby wynosić $80\ \tfrac{\text{km}}{\text{h}}$ .	P	F
Gdyby średnia prędkość samochodu na tej trasie była równa $40\ \tfrac{\text{km}}{\text{h}}$ , to czas przejazdu byłby równy 6 godzin.	P	F

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P, P

Najpierw wyznaczamy długość trasy — ona się nie zmienia w żadnym z rozważanych wariantów.
$s = v \cdot t = 60 \cdot 4 = \textcolor{#16A06A}{240}$ km.
Zdanie 1: czas o godzinę krótszy to $\textcolor{#E0453A}{3}$ godziny. Potrzebna prędkość: $\dfrac{\textcolor{#16A06A}{240}}{\textcolor{#E0453A}{3}} = 80\ \tfrac{\text{km}}{\text{h}}$ ✓ — prawda.
Zdanie 2: przy prędkości $40\ \tfrac{\text{km}}{\text{h}}$ czas wynosi $\dfrac{\textcolor{#16A06A}{240}}{40} = \textcolor{#E0453A}{6}$ godzin ✓ — prawda.
Odpowiedzi: P, P.

💡 Wskazówka: W takich zadaniach zawsze najpierw policz stałą wielkość (tu drogę). Potem każde pytanie „co gdyby” to już jedno dzielenie.

⚠ Częsty błąd: zakładanie proporcjonalności prostej — „prędkość mniejsza o $\tfrac13$ , więc czas dłuższy o $\tfrac13$ ”. Prędkość i czas są odwrotnie proporcjonalne: gdy prędkość maleje 1,5 raza, czas rośnie 1,5 raza.

Zadanie 14 (kwiecień 2012, egzamin gimnazjalny)1 pkttrudniejsze

Piechur porusza się z prędkością

4\ \tfrac{\text{km}}{\text{h}}

. Każdy jego krok ma długość 0,8 m. Ile kroków wykona piechur w czasie 12 minut?

A. 1000 kroków
B. 800 kroków
C. 640 kroków
D. 100 kroków

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Krok pierwszy — jaką drogę pokona piechur w 12 minut?
Zamieniamy czas: 12 minut $= \textcolor{#E0453A}{0{,}2}$ godziny.
$s = 4 \cdot \textcolor{#E0453A}{0{,}2} = 0{,}8$ km, czyli $\textcolor{#16A06A}{800}$ metrów.
Krok drugi — ile kroków po 0,8 m mieści się w tej drodze?
$\textcolor{#16A06A}{800} : 0{,}8 = 1000$ kroków.
Odpowiedź A.

💡 Wskazówka: Uważaj na zbieżność liczb: 0,8 km i 0,8 m to dwie różne rzeczy, które pojawiają się w tym samym zadaniu. Zawsze zamień drogę na metry, zanim podzielisz przez długość kroku.

⚠ Najczęstszy błąd: podzielenie 0,8 km przez 0,8 m bez zamiany jednostek — wychodzi 1, co oczywiście nie ma sensu. Drugi błąd: pomnożenie $800 \cdot 0{,}8 = 640$ (kusząca odpowiedź C) zamiast dzielenia.

Zadania otwarte

Zadanie 15 (grudzień 2011, egzamin gimnazjalny)3 pkttrudniejsze

Z portu rybackiego (punkt

P

) wypłynęły jednocześnie na połów dwa kutry: jeden na północ ze stałą prędkością 4 węzłów, drugi na wschód ze stałą prędkością 3 węzłów. Oblicz odległość między tymi kutrami po dwóch godzinach od wypłynięcia. Wynik podaj w kilometrach.
Skorzystaj z informacji: 1 węzeł to 1 mila morska na godzinę, 1 mila morska $= 1852$ m.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 18,52 km

Liczymy drogi obu kutrów po 2 godzinach — w milach morskich, bo w takich jednostkach podano prędkości.
Kuter na północ: $4 \cdot 2 = \textcolor{#16A06A}{8}$ mil morskich.
Kuter na wschód: $3 \cdot 2 = \textcolor{#E0453A}{6}$ mil morskich.
Północ i wschód to kierunki prostopadłe, więc kutry i port tworzą trójkąt prostokątny, w którym szukana odległość jest przeciwprostokątną.
Z twierdzenia Pitagorasa: $d^2 = \textcolor{#16A06A}{8}^2 + \textcolor{#E0453A}{6}^2 = 64 + 36 = 100$ , więc $d = 10$ mil morskich.
Zamieniamy na kilometry: $10 \cdot 1852$ m $= 18\,520$ m $= 18{,}52$ km.
Odpowiedź: kutry dzieli odległość 18,52 km.

💡 Wskazówka: Liczby 6, 8, 10 to trójka pitagorejska (podwojone 3, 4, 5) — warto ją rozpoznawać, bo oszczędza liczenia pierwiastka.

⚠ Dwa typowe błędy: (1) dodanie dróg ( $8 + 6 = 14$ mil) — to byłaby odległość, gdyby płynęły w tę samą stronę; (2) zapomnienie o zamianie na kilometry i podanie odpowiedzi „10 mil morskich”.

Zadanie 16 (maj 2026)3 pkttrudniejsze

Z Polanki do Dębiny prowadzi jedna droga przez Jodłowo i ma długość 123 km. Droga z Polanki do Jodłowa ma długość 48 km i samochód przejechał ją w czasie 40 minut. Drogę z Jodłowa do Dębiny ten samochód pokonał z taką samą prędkością. Uzasadnij, że przejazd z Jodłowa do Dębiny trwał dłużej niż godzinę.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: dowód (prędkość 72 km/h, a odcinek ma 75 km > 72 km)

Najpierw wyznaczamy prędkość samochodu na pierwszym odcinku.
Czas: 40 minut $= \textcolor{#E0453A}{\dfrac{40}{60}} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{2}{3}}$ godziny.
$v = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{48}}{\textcolor{#E0453A}{\tfrac{2}{3}}} = \textcolor{#16A06A}{48} \cdot \dfrac{3}{2} = 72\ \dfrac{\text{km}}{\text{h}}$ .
Teraz długość drugiego odcinka: $123 - \textcolor{#16A06A}{48} = \textcolor{#16A06A}{75}$ km.
Kluczowa obserwacja: w ciągu godziny samochód przy tej prędkości pokonuje 72 km, a do przejechania ma $\textcolor{#16A06A}{75}$ km — czyli więcej.
Skoro $\textcolor{#16A06A}{75} > 72$ , przejazd musi trwać dłużej niż godzinę. co należało uzasadnić
Dla ścisłości można podać dokładny czas: $t = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{75}}{72} = 1\dfrac{1}{24}$ godziny, czyli 1 godzina i 2,5 minuty.

💡 Wskazówka: W zadaniach „uzasadnij, że dłużej niż godzinę” nie trzeba liczyć dokładnego czasu — wystarczy porównać drogę do przejechania z drogą pokonywaną w ciągu godziny (czyli z prędkością).

⚠ Najczęstszy błąd: policzenie czasu dla całej trasy 123 km zamiast dla odcinka Jodłowo–Dębina. Drugi błąd: podanie samej odpowiedzi „tak, dłużej” bez pokazania prędkości 72 km/h — komisja nie przyzna punktów.

Zadanie 17 (styczeń 2026)3 pkttrudniejsze

Kierowca pokonał drogę podzieloną na trzy odcinki (I, II, III). Po przejechaniu każdego odcinka zatrzymywał się na postój. Z wykresu zależności przebytej drogi od czasu odczytujemy:

Dane z rysunku — wersja tekstowa

Etap	odcinek I	postój	odcinek II	postój	odcinek III
Czas (min)	0 → 90	90 → 105	105 → 180	180 → 195	195 → 240
Droga (km)	0 → 120	120	120 → 200	200	200 → 240

Oblicz, z jaką prędkością (w

\tfrac{\text{km}}{\text{h}}

) kierowca pokonał II odcinek drogi. Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 64 km/h

Z wykresu odczytujemy początek i koniec drugiego odcinka — i to zarówno na osi czasu, jak i na osi drogi.
Odcinek II trwa od 105 do 180 minuty, a droga rośnie w tym czasie od 120 do 200 km.
Droga przebyta na tym odcinku: $200 - 120 = \textcolor{#16A06A}{80}$ km.
Czas przejazdu: $180 - 105 = 75$ minut $= \textcolor{#E0453A}{1{,}25}$ godziny.
$v = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{80}}{\textcolor{#E0453A}{1{,}25}} = 64\ \dfrac{\text{km}}{\text{h}}$ .
Odpowiedź: kierowca pokonał II odcinek z prędkością 64 km/h.

💡 Wskazówka: Na wykresie droga–czas postój to odcinek poziomy (droga nie rośnie), a im bardziej stromy odcinek, tym większa prędkość. Warto to sprawdzić wzrokiem, zanim się liczy.

⚠ Najczęstszy błąd: odczytanie wartości od zera zamiast od początku odcinka — czyli policzenie $\tfrac{200}{180}$ zamiast $\tfrac{200-120}{180-105}$ . Drugi błąd: pominięcie zamiany 75 minut na 1,25 godziny.

Zadanie 18 (czerwiec 2025)2 pktśrednie

Kuba i Paweł wyruszyli o godzinie

8\!:\!44

ze szkoły na basen tą samą trasą o długości 7,5 km. Kuba wyruszył skuterem i dojechał na basen o

9\!:\!06

. Paweł przejechał tę trasę rowerem elektrycznym z prędkością

18\ \tfrac{\text{km}}{\text{h}}

. Oblicz, który z chłopców przejechał tę trasę w krótszym czasie. Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: Kuba (22 min wobec 25 min Pawła)

Kuba — czas odczytujemy wprost z zegara: od $8\!:\!44$ do $9\!:\!06$ .
Do pełnej godziny brakuje 16 minut, potem jeszcze 6 minut — razem $\textcolor{#E0453A}{22}$ minuty.
Paweł — czas liczymy ze wzoru: $t = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{7{,}5}}{18} = \dfrac{5}{12}$ godziny.
Zamieniamy na minuty: $\dfrac{5}{12} \cdot 60 = \textcolor{#E0453A}{25}$ minut.
Porównujemy: $\textcolor{#E0453A}{22} < \textcolor{#E0453A}{25}$ .
Odpowiedź: krótszy czas uzyskał Kuba — jechał 22 minuty, a Paweł 25 minut.

💡 Wskazówka: Porównuj w tych samych jednostkach. Skoro czas Kuby wychodzi naturalnie w minutach, przelicz na minuty także wynik Pawła — zamiast zamieniać 22 minuty na ułamek godziny.

⚠ Najczęstszy błąd przy liczeniu czasu Kuby: odjęcie „na liczbach” $9{,}06 - 8{,}44$ . Godziny to nie ułamki dziesiętne — przechodząc przez pełną godzinę, liczymy do 60, a nie do 100.

Zadanie 19 (maj 2023)2 pktśrednie

Pociąg przebył ze stałą prędkością drogę 700 metrów w czasie 50 sekund. Przy zachowaniu tej samej, stałej prędkości ten sam pociąg drogę równą jego długości przebył w czasie 15 sekund. Oblicz długość tego pociągu. Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 210 m

Najpierw prędkość pociągu — mamy komplet danych z pierwszego zdania.
$v = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{700}}{\textcolor{#E0453A}{50}} = 14\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$ .
Drugie zdanie mówi, że pociąg pokonał drogę równą swojej długości w ciągu $\textcolor{#E0453A}{15}$ sekund.
Zatem długość pociągu to droga przebyta w tym czasie: $l = 14 \cdot \textcolor{#E0453A}{15} = 210$ m.
Odpowiedź: pociąg ma długość 210 m.

💡 Wskazówka: „Droga równa długości pociągu” to sytuacja, gdy mijamy stojący punkt (np. słupek): od chwili, gdy mija go czoło, do chwili, gdy mija go ostatni wagon.

⚠ Częsty błąd: proporcja „skoro 50 s to 700 m, to 15 s to $\tfrac{15}{50} \cdot 700$ ” — akurat tutaj daje ten sam poprawny wynik 210 m, ale bez policzenia prędkości trudniej sprawdzić rachunek. Prawdziwy błąd to podzielenie $700 : 15$ .

Zadanie 20 (maj 2022)2 pktłatwe

Kierowca przejechał ze stałą prędkością trasę o długości 22,5 km od godziny

7\!:\!50

do godziny

8\!:\!05

. Oblicz prędkość, z jaką kierowca przejechał tę trasę. Wynik wyraź w

\tfrac{\text{km}}{\text{h}}

. Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 90 km/h

Czas przejazdu: od $7\!:\!50$ do $8\!:\!05$ to 10 minut do pełnej godziny plus 5 minut, czyli 15 minut.
Zamieniamy na godziny: 15 minut $= \textcolor{#E0453A}{0{,}25}$ godziny.
$v = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{22{,}5}}{\textcolor{#E0453A}{0{,}25}} = 90\ \dfrac{\text{km}}{\text{h}}$ .
Odpowiedź: kierowca jechał z prędkością 90 km/h.
Kontrola: 15 minut mieści się w godzinie 4 razy, więc $4 \cdot \textcolor{#16A06A}{22{,}5} = 90$ km ✓

💡 Wskazówka: Dzielenie przez 0,25 to to samo co mnożenie przez 4. Podobnie: dzielenie przez 0,5 to mnożenie przez 2, a przez 0,2 — przez 5.

⚠ Najczęstszy błąd: podanie wyniku $22{,}5 : 15 = 1{,}5$ — czyli prędkości w kilometrach na minutę, mimo że zadanie wyraźnie prosi o km/h.

Zadanie 21 (czerwiec 2021)2 pktśrednie

Pan Piotr odczytał na nawigacji samochodowej, że na pokonanie trasy długości 38 km potrzebuje 40 minut. Jaką prędkość jazdy wyrażoną w

\tfrac{\text{km}}{\text{h}}

przyjęła nawigacja w celu wyznaczenia czasu potrzebnego na pokonanie tej trasy? Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 57 km/h

Zamieniamy czas na godziny: 40 minut $= \textcolor{#E0453A}{\dfrac{40}{60}} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{2}{3}}$ godziny.
$v = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{38}}{\textcolor{#E0453A}{\tfrac{2}{3}}}$ — dzielenie przez ułamek to mnożenie przez odwrotność:
$v = \textcolor{#16A06A}{38} \cdot \dfrac{3}{2} = \dfrac{114}{2} = 57\ \dfrac{\text{km}}{\text{h}}$ .
Odpowiedź: nawigacja przyjęła prędkość 57 km/h.
Kontrola: przy 57 km/h w 40 minut (czyli $\tfrac23$ godziny) samochód pokonuje $57 \cdot \tfrac23 = 38$ km ✓

💡 Wskazówka: Tutaj ułamek zwykły jest lepszy od dziesiętnego: $\tfrac23$ h to dokładnie 40 minut, a 0,67 h dałoby wynik przybliżony (56,7 zamiast 57).

⚠ Najczęstszy błąd: przyjęcie 40 minut $= 0{,}4$ godziny. To nieprawda — 0,4 h to 24 minuty. Godzinę dzielimy na 60, nie na 100 części.

Zadanie 22 (marzec 2021)3 pkttrudniejsze

Ula chodzi do szkoły dwiema drogami. Droga A prowadzi wzdłuż dwóch prostopadłych ulic: najpierw 800 m, potem 600 m. Droga B to skrót biegnący na wprost — po przekątnej, od domu Uli prosto do szkoły. Przyjmij, że Ula porusza się ze stałą prędkością

4\ \tfrac{\text{km}}{\text{h}}

. Oblicz, o ile minut krócej Ula idzie do szkoły drogą B niż drogą A. Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 6 minut

Droga A to po prostu suma dwóch odcinków: $800 + 600 = \textcolor{#16A06A}{1400}$ m.
Droga B to przekątna prostokąta — a że ulice są prostopadłe, korzystamy z twierdzenia Pitagorasa.
$B^2 = 800^2 + 600^2 = 640\,000 + 360\,000 = 1\,000\,000$ , więc $B = \textcolor{#E0453A}{1000}$ m.
Różnica dróg: $\textcolor{#16A06A}{1400} - \textcolor{#E0453A}{1000} = 400$ m.
Teraz zamieniamy tę różnicę na czas. Prędkość $4\ \tfrac{\text{km}}{\text{h}}$ to 4000 m na 60 minut, czyli na 1 minutę przypada $4000 : 60 = \dfrac{200}{3}$ m.
Czas na 400 m: $400 : \dfrac{200}{3} = 400 \cdot \dfrac{3}{200} = 6$ minut.
Odpowiedź: drogą B Ula idzie o 6 minut krócej.

💡 Wskazówka: Nie trzeba liczyć obu czasów osobno — wystarczy policzyć różnicę dróg i ją zamienić na czas. Mniej rachunków, mniej okazji do pomyłki.

⚠ Najczęstszy błąd: uznanie drogi B za $800 + 600$ podzielone na pół albo za 700 m „na oko”. Przekątna zawsze wymaga Pitagorasa — i zawsze jest krótsza od sumy boków, ale dłuższa od każdego z nich.

Zadanie 23 (marzec 2020)3 pkttrudniejsze

Pan Kazimierz przejechał trasę o długości 90 km w czasie 1,5 godziny. W drodze powrotnej tę samą trasę pokonał w czasie o 15 minut krótszym. O ile kilometrów na godzinę była większa jego średnia prędkość jazdy w drodze powrotnej? Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: o 12 km/h

Droga tam: $v_1 = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{90}}{\textcolor{#E0453A}{1{,}5}} = 60\ \dfrac{\text{km}}{\text{h}}$ .
Droga powrotna — czas krótszy o 15 minut, czyli o 0,25 godziny: $\textcolor{#E0453A}{1{,}5} - 0{,}25 = \textcolor{#E0453A}{1{,}25}$ godziny.
$v_2 = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{90}}{\textcolor{#E0453A}{1{,}25}} = 72\ \dfrac{\text{km}}{\text{h}}$ .
Różnica prędkości: $72 - 60 = 12\ \dfrac{\text{km}}{\text{h}}$ .
Odpowiedź: w drodze powrotnej średnia prędkość była większa o 12 km/h.

💡 Wskazówka: Zwróć uwagę na nieoczywistą proporcję: czas skrócił się o $\tfrac16$ (z 90 na 75 minut), ale prędkość wzrosła o $\tfrac15$ (z 60 na 72). To dlatego, że prędkość i czas są odwrotnie proporcjonalne.

⚠ Najczęstszy błąd: potraktowanie „15 minut” jako 0,15 godziny. Kwadrans to 0,25 godziny — pomyłka tutaj przekłada się na całkowicie błędny wynik.

Zadanie 24 (kwiecień 2019)2 pktśrednie

Samochód osobowy przebył drogę 120 km w czasie 75 minut. Prędkość średnia busa na tej samej trasie wyniosła

80\ \tfrac{\text{km}}{\text{h}}

. O ile krótszy był czas przejazdu tej drogi samochodem osobowym od czasu przejazdu busem? Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: o 15 minut

Czas samochodu osobowego znamy wprost z treści: $\textcolor{#E0453A}{75}$ minut.
Czas busa liczymy ze wzoru: $t = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{120}}{80} = 1{,}5$ godziny.
Zamieniamy na minuty, żeby porównać: $1{,}5 \cdot 60 = \textcolor{#E0453A}{90}$ minut.
Różnica: $\textcolor{#E0453A}{90} - \textcolor{#E0453A}{75} = 15$ minut.
Odpowiedź: samochód osobowy jechał o 15 minut krócej niż bus.
Dla ciekawości — prędkość samochodu osobowego: 75 min $= 1{,}25$ h, więc $120 : 1{,}25 = 96\ \tfrac{\text{km}}{\text{h}}$ .

💡 Wskazówka: Zanim odejmiesz, sprowadź oba czasy do tej samej jednostki. Tu najwygodniej do minut, bo w minutach podano czas samochodu.

⚠ Najczęstszy błąd: odjęcie „ $1{,}5 - 75$ ” albo „ $90 - 1{,}25$ ” — czyli mieszanie godzin z minutami w jednym działaniu.

Zadanie 25 (grudzień 2018)3 pkttrudniejsze

Ania pojechała autobusem do babci do Sokółki. Z domu wyszła o godzinie

8\!:\!00

, kilka minut czekała na przystanku, a następnie jechała autobusem. Do Sokółki dotarła o

9\!:\!30

. Z wykresu zależności prędkości od czasu odczytujemy:

Dane z rysunku — wersja tekstowa

Etap	marsz na przystanek	czekanie	jazda autobusem
Godziny	8:00 → 8:10	8:10 → 8:15	8:15 → 9:30
Prędkość	6 km/h	0	60 km/h

Oblicz długość trasy pokonanej przez Anię od wyjścia z domu do chwili spotkania z babcią. Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 76 km

Trasa składa się z dwóch części, w których Ania faktycznie się przemieszczała. Czas czekania na przystanku nie dodaje żadnych kilometrów.
Marsz: od $8\!:\!00$ do $8\!:\!10$ to 10 minut $= \textcolor{#E0453A}{\tfrac16}$ godziny. Droga: $6 \cdot \textcolor{#E0453A}{\tfrac16} = \textcolor{#16A06A}{1}$ km.
Czekanie: od $8\!:\!10$ do $8\!:\!15$ prędkość wynosi 0, więc droga to 0 km.
Autobus: od $8\!:\!15$ do $9\!:\!30$ to 75 minut $= \textcolor{#E0453A}{1{,}25}$ godziny. Droga: $60 \cdot \textcolor{#E0453A}{1{,}25} = \textcolor{#16A06A}{75}$ km.
Sumujemy: $\textcolor{#16A06A}{1} + 0 + \textcolor{#16A06A}{75} = 76$ km.
Odpowiedź: Ania pokonała trasę o długości 76 km.

💡 Wskazówka: Na wykresie prędkość–czas (inaczej niż na wykresie droga–czas) odcinek poziomy na wysokości zero oznacza postój, a przebytą drogę liczy się jako $v \cdot t$ dla każdego etapu osobno.

⚠ Dwa typowe błędy: (1) doliczenie czasu czekania do jazdy autobusem (od $8\!:\!10$ zamiast od $8\!:\!15$ ) — wychodzi wtedy 80 km zamiast 75; (2) pominięcie 1 km przejścia na przystanek, bo „to tylko marsz”.

Zadanie 26 (maj 2021)3 pkttrudniejsze

Adam mieszka w miejscowości Bocianowo, a jego kolega Bartek — w miejscowości Żabno. Adam umówił się z Bartkiem w Żabnie na godzinę

18{:}00

. Wyjechał z Bocianowa na skuterze o godzinie

17{:}20

. Średnia prędkość jazdy Adama była równa

25\ \text{km/h}

. Na kwadratowej siatce Adam przedstawił schemat trasy, którą jechał (zobacz rysunek). O której godzinie Adam dotarł na spotkanie z Bartkiem? Zapisz obliczenia.

Dane z rysunku — wersja tekstowa

Skala rysunku: bok jednej kratki odpowiada odległości 1 km.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: Adam dotarł o godzinie $17{:}56$ , czyli 4 minuty przed umówioną godziną

Krok 1 — czytamy trasę z siatki. Bok kratki to $\textcolor{#16A06A}{1}$ km. Trasa składa się z trzech odcinków i tylko środkowy jest ukośny:
• Bocianowo → Stawisko: poziomo, $\textcolor{#E0453A}{3}$ kratki, czyli $\textcolor{#E0453A}{3}$ km,
• Stawisko → Bajorko: ukośnie, $\textcolor{#E0453A}{3}$ kratki w prawo i $\textcolor{#E0453A}{4}$ kratki w górę,
• Bajorko → Żabno: pionowo, $\textcolor{#E0453A}{7}$ kratek, czyli $\textcolor{#E0453A}{7}$ km.
Krok 2 — odcinek ukośny z twierdzenia Pitagorasa. Tego jednego nie da się odczytać przez policzenie kratek — trzeba go policzyć. Przesunięcie w prawo i w górę tworzy trójkąt prostokątny o przyprostokątnych $\textcolor{#E0453A}{3}$ i $\textcolor{#E0453A}{4}$ :
$|SB|^2 = \textcolor{#E0453A}{3}^2 + \textcolor{#E0453A}{4}^2 = 9 + 16 = \textcolor{#E0453A}{25} \qquad \Longrightarrow \qquad |SB| = \textcolor{#E0453A}{5} \text{ km}$
To znana trójka pitagorejska 3, 4, 5 — warto ją rozpoznać od razu.
Krok 3 — cała trasa.
$s = \textcolor{#E0453A}{3} + \textcolor{#E0453A}{5} + \textcolor{#E0453A}{7} = \textcolor{#E0453A}{15} \text{ km}$
Krok 4 — czas jazdy. Ze wzoru $t = \dfrac{s}{v}$ :
$t = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{15} \text{ km}}{\textcolor{#16A06A}{25} \text{ km/h}} = \textcolor{#E0453A}{0{,}6} \text{ h}$
Krok 5 — zamiana na minuty. Godzina to 60 minut, więc
$\textcolor{#E0453A}{0{,}6} \text{ h} = \textcolor{#E0453A}{0{,}6} \cdot 60 = \textcolor{#E0453A}{36} \text{ minut}$
Krok 6 — godzina przyjazdu.
$\textcolor{#16A06A}{17{:}20} + \textcolor{#E0453A}{36} \text{ min} = 17{:}56$
Odpowiedź: Adam dotarł o godzinie $17{:}56$ — czyli 4 minuty przed umówioną $\textcolor{#16A06A}{18{:}00}$ .
Kontrola: gdyby Adam jechał przez cały czas $\textcolor{#16A06A}{25}$ km/h przez pełne 40 minut (czyli do $18{:}00$ ), przejechałby $25 \cdot \tfrac{40}{60} \approx \textcolor{#E0453A}{16{,}7}$ km. Trasa jest krótsza niż 16,7 km, więc przyjazd przed czasem jest wynikiem sensownym ✓
Druga kontrola, na odcinku ukośnym: jest on dłuższy od każdej z przyprostokątnych, ale krótszy od ich sumy — $\textcolor{#E0453A}{4} < \textcolor{#E0453A}{5} < \textcolor{#E0453A}{3} + \textcolor{#E0453A}{4}$ ✓ Gdyby ktoś policzył go, licząc kratki „po schodkach”, wyszłoby 7 km i cała trasa miałaby 17 km, czyli o 2 km za dużo.

💡 Wskazówka: Na siatce da się policzyć kratki tylko dla odcinków poziomych i pionowych. Odcinek ukośny trzeba wyliczyć z twierdzenia Pitagorasa, biorąc jako przyprostokątne jego przesunięcie w poziomie i w pionie. To najczęstszy schemat w zadaniach „trasa na kratce”. Druga rzecz: prędkość 25 km/h i czas w minutach nie pasują do siebie wprost — najpierw licz czas w godzinach ze wzoru $t = \tfrac{s}{v}$ , a dopiero potem zamień na minuty, mnożąc przez 60. Ułamek 0,6 h to 36 minut, a nie 6 ani 60.

⚠ Policzenie odcinka ukośnego przez liczenie kratek „po schodkach”, czyli $3 + 4 = 7$ km zamiast 5 km. Cała trasa wychodzi wtedy 17 km, czas 40,8 minuty i godzina $18{:}01$ — czyli spóźnienie zamiast przyjazdu przed czasem. Warto pamiętać: przekątna kratki jest zawsze krótsza niż droga po jej bokach. Drugi błąd: potraktowanie 0,6 h jako 6 minut albo jako 1 godziny i 6 minut; 0,6 h to 36 minut, bo godzina ma 60, a nie 100 minut. Trzeci błąd: dodanie 36 minut do godziny $18{:}00$ zamiast do $17{:}20$ — pytanie dotyczy godziny przyjazdu, a $18{:}00$ to godzina umówiona, nie wyjazdu.

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. B	2. C	3. C	4. P, P	5. C	6. F, P
7. B	8. C	9. B	10. C	11. C	12. C
13. P, P	14. A	15. 18,52 km	16. dowód (prędkość 72 km/h, a odcinek ma 75 km > 72 km)	17. 64 km/h	18. Kuba (22 min wobec 25 min Pawła)
19. 210 m	20. 90 km/h	21. 57 km/h	22. 6 minut	23. o 12 km/h	24. o 15 minut
25. 76 km	26. Adam dotarł o godzinie $17{:}56$ , czyli 4 minuty przed umówioną godziną

Treści zadań pochodzą z arkuszy egzaminu ósmoklasisty oraz z arkuszy egzaminu gimnazjalnego (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów liczę i zapisuję sam — Mateusz Będkowski.

Pytania i odpowiedzi

Jak zamienić 45 minut na godziny?

Podziel liczbę minut przez sześćdziesiąt: czterdzieści pięć podzielone przez sześćdziesiąt daje trzy czwarte godziny, czyli zero i siedemdziesiąt pięć setnych. Warto znać na pamięć cztery wartości: kwadrans to ćwierć godziny, dwadzieścia minut to jedna trzecia, pół godziny to pięć dziesiątych, a trzy kwadranse to siedemdziesiąt pięć setnych.

Dlaczego godzina i trzydzieści minut to nie 1,30 godziny?

Bo zapis dziesiętny opiera się na setnych, a minuty liczy się do sześćdziesięciu. Pół godziny to pięć dziesiątych godziny, więc poprawny zapis to jeden i pięć dziesiątych. To najczęstszy błąd w całym dziale i przekłada się bezpośrednio na zły wynik prędkości.

Jak przeliczyć kilometry na godzinę na metry na sekundę?

Podziel przez trzy i sześć dziesiątych — ten czynnik bierze się stąd, że kilometr ma tysiąc metrów, a godzina trzy tysiące sześćset sekund. Kierunku nie trzeba pamiętać: wynik w metrach na sekundę jest zawsze liczbowo mniejszy. Wzorcowa para do zapamiętania to siedemdziesiąt dwa kilometry na godzinę i dwadzieścia metrów na sekundę.

Jak obliczyć czas, znając drogę i prędkość?

Podziel drogę przez prędkość. Jeżeli prędkość podano w kilometrach na godzinę, wynik wyjdzie w godzinach — i często trzeba go potem zamienić na godziny i minuty, mnożąc część ułamkową przez sześćdziesiąt.

Czy prędkość średnia to średnia z prędkości?

Nie, chyba że oba odcinki trwały dokładnie tyle samo czasu. Prędkość średnia to cała droga podzielona przez cały czas. Przy równych odcinkach drogi wolniejszy fragment zajmuje więcej czasu, więc wynik wypada bliżej mniejszej z prędkości niż środek między nimi.

Jak rozwiązać zadanie o dwóch pojazdach jadących naprzeciw siebie?

Potraktuj to jak jeden ruch: dzieląca je odległość maleje z prędkością równą sumie obu prędkości, więc czas do spotkania to ta odległość podzielona przez sumę. Gdy jeden dogania drugi, jadąc w tę samą stronę, zamiast sumy bierze się różnicę prędkości.

Czytaj dalej

Zamiana jednostek na egzaminieMinuty, sekundy, metry i kilometry — cały mechanizm przeliczania Odczytywanie danych na egzaminieWykres drogi a wykres prędkości — jak je odróżnić Przekształcanie wzorów na egzaminieSkąd biorą się dwa przekształcenia wzoru na prędkość Egzamin ósmoklasisty z matematykiJak zbudowany jest arkusz i jak się do niego przygotować

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-07-30. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa Mateusza Będkowskiego.