Egzamin ósmoklasisty · matematyka · maj 2026

Egzamin ósmoklasisty 2026 z matematyki – odpowiedzi i rozwiązania

Egzamin ósmoklasisty z matematyki 2026, sesja główna (maj). Arkusz OMAP-100-2605 miał 20 zadań: 14 zamkniętych i 6 otwartych, razem 30 punktów, a na rozwiązanie było 125 minut. Niżej jest tabela odpowiedzi, a pod nią każde zadanie w kolejności z arkusza z naszym rozwiązaniem krok po kroku.

Tabela odpowiedzi ↓

20zadań · 30 pkt

Odpowiedzi – egzamin ósmoklasisty 2026, matematyka

Odpowiedzi do zadań zamkniętych zgadzają się z kluczem w zasadach oceniania CKE. Przy zadaniach otwartych podajemy wynik; pełny tok obliczeń jest przy zadaniu.

Zadanie	Punkty	Odpowiedź
Zadanie 1	1 pkt	A
Zadanie 2	1 pkt	B
Zadanie 3	1 pkt	C
Zadanie 4	1 pkt	A
Zadanie 5	1 pkt	D
Zadanie 6	1 pkt	AC
Zadanie 7	1 pkt	B
Zadanie 8	1 pkt	BD
Zadanie 9	1 pkt	D
Zadanie 10	1 pkt	PP
Zadanie 11	1 pkt	C
Zadanie 12	1 pkt	PP
Zadanie 13	1 pkt	D
Zadanie 14	1 pkt	A
Zadanie 15	2 pkt	57 kartek niebieskich
Zadanie 16	3 pkt	dowód (prędkość 72 km/h, a odcinek ma 75 km > 72 km)
Zadanie 17	3 pkt	29%
Zadanie 18	2 pkt	$12$ razy
Zadanie 19	3 pkt	142,80 zł
Zadanie 20	3 pkt	18 + 6√2

Zadania z rozwiązaniami krok po kroku

Rozwiązanie każdego zadania otwiera się po kliknięciu „Zobacz rozwiązanie”. Najpierw spróbuj samodzielnie, a potem porównaj swój tok rozumowania z naszym.

Zadanie 1 – odczytywanie danych z tabel, diagramów i wykresów (1 pkt)

Zadanie 11 pktłatwe

Test z matematyki składa się z 40 zadań. Na diagramie kołowym przedstawiono procentowy podział zadań na pięć działów:

Dane z rysunku — wersja tekstowa

Dział	statystyka	algebra	planimetria	stereometria	arytmetyka
Udział	20%	25%	15%	5%	?

Liczba zadań z arytmetyki w tym teście jest równa

A. $14$
B. $18$
C. $26$
D. $35$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Udział arytmetyki nie jest podany wprost — musimy go dopełnić do 100%.
Sumujemy pozostałe działy: $20\% + 25\% + 15\% + 5\% = \textcolor{#E0453A}{65\%}$ .
Arytmetyka: $100\% - \textcolor{#E0453A}{65\%} = \textcolor{#16A06A}{35\%}$ .
Teraz zamieniamy procent na liczbę zadań: $\textcolor{#16A06A}{0{,}35} \cdot \textcolor{#E0453A}{40} = 14$ .
Odpowiedź A.

💡 Wskazówka: Na diagramie kołowym wszystkie części zawsze sumują się do $100\%$ . Jeśli jednej brakuje — po prostu odejmij resztę od setki.

⚠ Najczęstszy błąd: zaznaczenie odpowiedzi D (35), czyli podanie procentu zamiast liczby zadań. Zadanie pyta „ile zadań”, a nie „ile procent”.

To zadanie na osobnej stronie Więcej zadań: odczytywanie danych z tabel, diagramów i wykresów

Zadanie 2 – podzielność, cyfry i zaokrąglanie (1 pkt)

Zadanie 21 pktłatwe

Ola otwiera swoją szafkę za pomocą czterocyfrowego kodu

YXXY

, gdzie

X

jest największym wspólnym dzielnikiem liczb 18 i 27, a

Y

jest najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb 2 i 4. Jaki jest kod do otwarcia szafki Oli?

A. $4334$
B. $4994$
C. $8338$
D. $8998$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Szukamy $X$ — największego wspólnego dzielnika liczb 18 i 27. Dzielniki 18 to 1, 2, 3, 6, 9, 18; dzielniki 27 to 1, 3, 9, 27.
Największy wspólny: $X = \textcolor{#16A06A}{9}$ .
Szukamy $Y$ — najmniejszej wspólnej wielokrotności liczb 2 i 4. Wielokrotności 4 to 4, 8, 12…, a 4 dzieli się przez 2, więc $Y = \textcolor{#E0453A}{4}$ .
Podstawiamy do wzoru kodu $YXXY$ : $\textcolor{#E0453A}{4}\,\textcolor{#16A06A}{9}\,\textcolor{#16A06A}{9}\,\textcolor{#E0453A}{4}$ , czyli 4994.
Odpowiedź B.

💡 Wskazówka: NWD jest zawsze nie większy od mniejszej z liczb, a NWW nie mniejszy od większej. Tu: $X \le 18$ , $Y \ge 4$ — dobra kontrola wyniku.

⚠ Najczęstszy błąd: pomylenie kolejności liter i wpisanie $XYYX$ , czyli 9449. Warto podkreślić sobie wzór $YXXY$ i podstawiać po kolei.

To zadanie na osobnej stronie Więcej zadań: podzielność, cyfry i zaokrąglanie

Zadanie 3 – pierwiastki (1 pkt)

Zadanie 31 pktłatwe

Dane są cztery liczby:

w = \sqrt{100-64} - 2

x = 12 - \sqrt{64+36}

y = \sqrt{25-16} - 3

z = 7 - \sqrt{9+16}

. Która z tych liczb jest równa 0?

A. $w$
B. $x$
C. $y$
D. $z$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Najpierw liczymy to, co jest pod pierwiastkiem — pierwiastek działa jak nawias.
$w = \sqrt{36} - 2 = 6 - 2 = 4$
$x = 12 - \sqrt{100} = 12 - 10 = 2$
$y = \sqrt{9} - 3 = 3 - 3 = 0$ ✓
$z = 7 - \sqrt{25} = 7 - 5 = 2$
Zero daje tylko liczba $y$ .

💡 Wskazówka: Pierwiastek obejmuje całe wyrażenie pod znakiem — najpierw dodaj lub odejmij, dopiero potem pierwiastkuj.

⚠ Najczęstszy błąd: rozdzielanie pierwiastka na sumę, np. $\sqrt{9+16} = 3+4 = 7$ . To nieprawda — $\sqrt{25} = 5$ .

To zadanie na osobnej stronie Więcej zadań: pierwiastki

Zadanie 4 – potęgi (1 pkt)

Zadanie 41 pktłatwe

Wartość wyrażenia

2^5 \cdot 3 \cdot 3^4 \cdot 2^3

jest równa wartości wyrażenia:

A. $2^8 \cdot 3^5$
B. $4^8 \cdot 9^5$
C. $2^{15} \cdot 3^4$
D. $4^{15} \cdot 9^4$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Grupujemy potęgi o tej samej podstawie: dwójki z dwójkami, trójki z trójkami.
Dwójki: $\textcolor{#16A06A}{2}^{\textcolor{#E0453A}{5}} \cdot \textcolor{#16A06A}{2}^{\textcolor{#2F80D8}{3}} = \textcolor{#16A06A}{2}^{\textcolor{#E0453A}{5}+\textcolor{#2F80D8}{3}} = 2^{8}$ — przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie dodajemy wykładniki.
Trójki: pamiętamy, że $3 = \textcolor{#16A06A}{3}^{\textcolor{#E0453A}{1}}$ , więc $\textcolor{#16A06A}{3}^{\textcolor{#E0453A}{1}} \cdot \textcolor{#16A06A}{3}^{\textcolor{#2F80D8}{4}} = 3^{5}$ .
Razem otrzymujemy $2^{8} \cdot 3^{5}$ .

💡 Wskazówka: Samotna liczba bez wykładnika to zawsze potęga pierwsza: $3 = 3^1$ .

⚠ Częsty błąd: pomnożenie wykładników zamiast dodania — wyszłoby $2^{15}$ , czyli odpowiedź C.

To zadanie na osobnej stronie Więcej zadań: potęgi

Zadanie 5 – procenty (1 pkt)

Zadanie 51 pktśrednie

W pewnej hodowli rasowy kocur kosztuje

x

złotych, a rasowa kotka kosztuje

y

złotych. Janek kupił z tej hodowli rasowego kocura ze zniżką 40% oraz rasową kotkę ze zniżką 20%. Które wyrażenie poprawnie opisuje, ile złotych zapłacił Janek za te koty?

A. $0{,}4x + 0{,}2y$
B. $0{,}2x + 0{,}4y$
C. $0{,}8x + 0{,}6y$
D. $0{,}6x + 0{,}8y$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Kluczowe pytanie przy każdej zniżce: ile procent ceny faktycznie płacimy?
Kocur — zniżka $\textcolor{#E0453A}{40\%}$ , więc Janek płaci $100\% - \textcolor{#E0453A}{40\%} = \textcolor{#16A06A}{60\%}$ ceny, czyli $\textcolor{#16A06A}{0{,}6}x$ .
Kotka — zniżka $\textcolor{#E0453A}{20\%}$ , więc płaci $100\% - \textcolor{#E0453A}{20\%} = \textcolor{#16A06A}{80\%}$ ceny, czyli $\textcolor{#16A06A}{0{,}8}y$ .
Razem: $\textcolor{#16A06A}{0{,}6}x + \textcolor{#16A06A}{0{,}8}y$ — odpowiedź D.

💡 Wskazówka: Zamiast liczyć zniżkę i odejmować, od razu policz mnożnik: zniżka 40% to mnożenie przez 0,6; zniżka 20% to mnożenie przez 0,8. Jeden krok zamiast dwóch.

⚠ Najczęstszy błąd w tym zadaniu: wpisanie samej zniżki zamiast tego, co zostaje — czyli wybór odpowiedzi A ( $0{,}4x + 0{,}2y$ ). To wyrażenie opisuje, ile Janek zaoszczędził, a nie ile zapłacił.

To zadanie na osobnej stronie Więcej zadań: procenty

Zadanie 6 – obliczenia praktyczne (1 pkt)

Zadanie 61 pkttrudniejsze

W pudełku było jedenaście kul ponumerowanych kolejnymi liczbami naturalnymi od 1 do 11. Z pudełka wylosowano pięć kul. Suma liczb na dowolnych dwóch kulach, które pozostały w pudełku, jest parzysta. Uzupełnij zdania.

Po losowaniu w pudełku zostały wyłącznie kule ponumerowane liczbami AB.

A. nieparzystymi
B. parzystymi

Suma liczb na pięciu wylosowanych kulach jest równa CD.

C. $30$
D. $36$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A, C

Suma dwóch liczb jest parzysta tylko wtedy, gdy obie są parzyste albo obie nieparzyste. Skoro warunek dotyczy dowolnych dwóch pozostałych kul, wszystkie muszą mieć tę samą parzystość.
Wylosowano 5 kul z 11, więc w pudełku zostało $\textcolor{#E0453A}{6}$ kul.
Liczymy, ile jest kul każdego rodzaju: nieparzystych (1, 3, 5, 7, 9, 11) jest $\textcolor{#16A06A}{6}$ , parzystych (2, 4, 6, 8, 10) — tylko $\textcolor{#16A06A}{5}$ .
Sześciu parzystych kul po prostu nie ma, więc zostało $\textcolor{#E0453A}{6}$ kul nieparzystych — odpowiedź A.
Skoro wszystkie nieparzyste zostały, to wylosowano wszystkie parzyste: $2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30$ — odpowiedź C.
Razem: A, C.

💡 Wskazówka: Zapamiętaj trzy reguły: parzysta + parzysta = parzysta, nieparzysta + nieparzysta = parzysta, ale parzysta + nieparzysta = nieparzysta. Stąd wniosek o jednakowej parzystości.

⚠ Najczęstszy błąd: wybór odpowiedzi B — bo „parzysta suma kojarzy się z parzystymi liczbami”. Kluczowe jest policzenie, że parzystych kul jest tylko 5, a musi zostać 6.

To zadanie na osobnej stronie Więcej zadań: obliczenia praktyczne

Zadanie 7 – obliczenia praktyczne (1 pkt)

Zadanie 71 pktśrednie

Do 10 pustych koszy włożono jabłka i pomarańcze — łącznie 400 sztuk. W każdym koszu łączna liczba owoców jest taka sama oraz w każdym koszu liczba jabłek jest o 6 większa od liczby pomarańczy. Ile sztuk jabłek jest łącznie w tych 10 koszach?

A. $210$
B. $230$
C. $240$
D. $260$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Krok 1 — ile owoców w jednym koszu? $400 : \textcolor{#E0453A}{10} = \textcolor{#16A06A}{40}$ owoców.
Krok 2 — jak dzielą się na jabłka i pomarańcze? Oznaczmy pomarańcze przez $p$ ; jabłek jest $p + 6$ .
$p + (p + 6) = \textcolor{#16A06A}{40}$ , czyli $2p = 34$ , więc $p = 17$ pomarańczy i $\textcolor{#16A06A}{23}$ jabłka w koszu.
Krok 3 — łącznie. $\textcolor{#16A06A}{23} \cdot \textcolor{#E0453A}{10} = 230$ jabłek.
Odpowiedź B. Sprawdzenie: pomarańczy jest $17 \cdot 10 = 170$ , a $230 + 170 = 400$ ✓

💡 Wskazówka: Zamiast liczyć przez równanie, można tak: gdyby owoców było po równo, byłoby po 20. Nadwyżka 6 dzieli się po połowie — jabłek 23, pomarańczy 17.

⚠ Najczęstszy błąd: doliczenie 6 jabłek tylko raz do połowy wszystkich owoców ( $200 + 6 = 206$ ) albo do wszystkich koszy naraz. Różnica 6 dotyczy każdego kosza osobno.

To zadanie na osobnej stronie Więcej zadań: obliczenia praktyczne

Zadanie 8 – obliczanie i przekształcanie wzorów (1 pkt)

Zadanie 81 pktśrednie

Sumę

S = 1 + 2 + 3 + \ldots + n

kolejnych liczb naturalnych od

1

n

można obliczyć ze wzoru

\;S = \dfrac{1}{2}n(n + 1)

. Uzupełnij zdania.

Suma stu kolejnych liczb naturalnych od

1

100

jest równa AB.

A. $5001$
B. $5050$

Wzór na sumę

S

po poprawnym przekształceniu ma postać CD.

C. $S = \dfrac{1}{2}n^2 + 1$
D. $S = \dfrac{1}{2}n^2 + \dfrac{1}{2}n$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B, D

Pierwsze zdanie. Podstawiamy $n = 100$ do wzoru:
$S = \dfrac{1}{2} \cdot 100 \cdot (100 + 1) = 50 \cdot 101 = 5050$ — odpowiedź B.
Drugie zdanie. Przekształcamy wzór, wymnażając nawias. Mnożymy $\dfrac{1}{2}n$ przez każdy wyraz w nawiasie:
$\dfrac{1}{2}\textcolor{#16A06A}{n} \cdot \textcolor{#E0453A}{n} = \dfrac{1}{2}n^2$ oraz $\dfrac{1}{2}\textcolor{#16A06A}{n} \cdot \textcolor{#E0453A}{1} = \dfrac{1}{2}n$ .
Zatem $S = \dfrac{1}{2}n^2 + \dfrac{1}{2}n$ — odpowiedź D. Razem: B, D.

💡 Wskazówka: Wzór $S = \tfrac12 n(n+1)$ warto znać — to słynna sztuczka Gaussa. Sumę $1+2+\ldots+100$ liczy się, parując $1{+}100$ , $2{+}99$ itd.: pięćdziesiąt par po $101$ .

⚠ Najczęstszy błąd w drugim zdaniu: pomnożenie $\tfrac12 n$ tylko przez $n$ i przepisanie jedynki bez zmian (odpowiedź C). Mnożenie przez nawias dotyczy obu składników.

To zadanie na osobnej stronie Więcej zadań: obliczanie i przekształcanie wzorów

Zadanie 9 – średnia arytmetyczna (1 pkt)

Zadanie 91 pktłatwe

Średnia arytmetyczna dwóch liczb

x

y

jest równa 4, a średnia arytmetyczna trzech liczb

x

y

z

jest równa 5. Liczba

z

jest równa

A. $4$
B. $5$
C. $6$
D. $7$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Cała sztuczka: średnia razy liczba składników daje sumę. Zamieniamy średnie na sumy.
Dwie liczby o średniej 4: $x + y = 4 \cdot 2 = \textcolor{#E0453A}{8}$ .
Trzy liczby o średniej 5: $x + y + z = 5 \cdot 3 = \textcolor{#16A06A}{15}$ .
Liczba $z$ to dokładnie to, co zostaje po odjęciu: $z = \textcolor{#16A06A}{15} - \textcolor{#E0453A}{8} = 7$ .
Odpowiedź D.

💡 Wskazówka: Ilekroć w zadaniu pojawia się średnia, od razu zamień ją na sumę: $\text{suma} = \text{średnia} \cdot \text{ile liczb}$ .

⚠ Typowy błąd: liczenie „średnia minus średnia”, czyli $5 - 4 = 1$ . Średnich nie odejmujemy — odejmujemy sumy.

To zadanie na osobnej stronie Więcej zadań: średnia arytmetyczna

Zadanie 10 – pola figur (1 pkt)

Zadanie 101 pktśrednie

Dany jest trójkąt równoboczny o boku długości 2 cm. Oceń prawdziwość podanych zdań.

Wysokość tego trójkąta jest równa $\sqrt{3}$ cm.	P	F
Pole tego trójkąta jest równe $\sqrt{3}$ cm².	P	F

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P, P

Korzystamy ze wzorów na trójkąt równoboczny o boku $\textcolor{#16A06A}{a}$ : wysokość $\textcolor{#E0453A}{h} = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{a}\sqrt3}{2}$ , pole $P = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{a}^2\sqrt3}{4}$ .
Zdanie 1. $\textcolor{#E0453A}{h} = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{2}\sqrt3}{2} = \sqrt3$ cm ✓ — prawda.
Zdanie 2. $P = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{2}^2\sqrt3}{4} = \dfrac{4\sqrt3}{4} = \sqrt3$ cm² ✓ — prawda.
Odpowiedzi: P, P. (Można też wprost: $P = \tfrac12 \cdot \textcolor{#16A06A}{2} \cdot \textcolor{#E0453A}{\sqrt3} = \sqrt3$ .)

💡 Wskazówka: Dla boku $a = 2$ oba wzory dają tę samą liczbę $\sqrt3$ — to przypadek, ale wygodny do zapamiętania jako punkt odniesienia.

⚠ Najczęstszy błąd: pomylenie wzorów i policzenie wysokości ze wzoru na pole. Warto zapamiętać, że wysokość ma dwójkę w mianowniku, a pole czwórkę.

To zadanie na osobnej stronie Więcej zadań: pola figur

Zadanie 11 – kąty w figurach (1 pkt)

Zadanie 111 pktśrednie

Kąty wewnętrzne czworokąta oznaczono:

\alpha

\beta

\gamma

oraz

\delta

. Miara kąta

\beta

jest o

70°

większa od miary kąta

\alpha

, miara kąta

\gamma

jest dwukrotnie większa od miary kąta

\alpha

, a

\delta

jest kątem prostym. Miara kąta

\beta

jest równa

A. $50°$
B. $85°$
C. $120°$
D. $155°$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Zapisujemy wszystkie kąty przez $\textcolor{#16A06A}{\alpha}$ : $\beta = \textcolor{#16A06A}{\alpha} + 70°$ , $\gamma = 2\textcolor{#16A06A}{\alpha}$ , $\delta = 90°$ .
Korzystamy z tego, że suma kątów czworokąta to $\textcolor{#E0453A}{360°}$ :
$\textcolor{#16A06A}{\alpha} + (\textcolor{#16A06A}{\alpha} + 70°) + 2\textcolor{#16A06A}{\alpha} + 90° = \textcolor{#E0453A}{360°}$
$4\textcolor{#16A06A}{\alpha} + 160° = \textcolor{#E0453A}{360°}$ , czyli $4\textcolor{#16A06A}{\alpha} = 200°$ , więc $\textcolor{#16A06A}{\alpha} = 50°$ .
Pytanie dotyczy $\beta$ : $\beta = 50° + 70° = 120°$ — odpowiedź C.
Sprawdzenie: $50° + 120° + 100° + 90° = \textcolor{#E0453A}{360°}$ ✓

💡 Wskazówka: Suma kątów wielokąta o $n$ bokach to $(n-2) \cdot 180°$ — dla czworokąta $2 \cdot 180° = 360°$ , dla pięciokąta $540°$ . Warto to pamiętać zamiast wzoru.

⚠ Najczęstszy błąd: zatrzymanie się na $\alpha = 50°$ i zaznaczenie odpowiedzi A. Zadanie pyta o $\beta$ , więc trzeba jeszcze dodać $70°$ .

To zadanie na osobnej stronie Więcej zadań: kąty w figurach

Zadanie 12 – skala i mapa (1 pkt)

Zadanie 121 pkttrudniejsze

Jurek narysował na kratce położenia trzech obiektów: muzeum (

M

), wieży widokowej (

W

) i schroniska (

S

). Wieża widokowa znajduje się 3 km na północ i 4 km na zachód od schroniska. Muzeum znajduje się 5 km na wschód od schroniska. Oceń prawdziwość podanych zdań.

Odległość w linii prostej schroniska od muzeum jest równa odległości w linii prostej schroniska od wieży widokowej.	P	F
Odległość w linii prostej muzeum od wieży widokowej jest mniejsza niż 10 km.	P	F

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P, P

Najwygodniej ustawić schronisko $S$ w początku układu: kierunek wschodni to „w prawo”, północny — „w górę”.
$S = (0,\ 0)$ • $W = (\textcolor{#16A06A}{-4},\ \textcolor{#16A06A}{3})$ • $M = (\textcolor{#16A06A}{5},\ 0)$
Zdanie 1. Odległość $S$ od $M$ mierzymy wzdłuż linii wschód–zachód: $\textcolor{#16A06A}{5}$ km.
Odległość $S$ od $W$ liczymy z twierdzenia Pitagorasa (przesunięcie $\textcolor{#16A06A}{4}$ km w bok i $\textcolor{#16A06A}{3}$ km w górę):
$\sqrt{\textcolor{#16A06A}{4}^2 + \textcolor{#16A06A}{3}^2} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = \textcolor{#E0453A}{5}$ km
Obie odległości wynoszą $5$ km ✓ — prawda. (To znajomy trójkąt $3$ – $4$ – $5$ .)
Zdanie 2. Z $W$ do $M$ przesuwamy się o $\textcolor{#16A06A}{4} + \textcolor{#16A06A}{5} = \textcolor{#16A06A}{9}$ km na wschód i $\textcolor{#16A06A}{3}$ km na południe:
$\sqrt{\textcolor{#16A06A}{9}^2 + \textcolor{#16A06A}{3}^2} = \sqrt{81 + 9} = \sqrt{90} \approx \textcolor{#E0453A}{9{,}5}$ km
$\textcolor{#E0453A}{9{,}5} < 10$ ✓ — prawda.
Odpowiedzi: P, P.

💡 Wskazówka: Porównanie z 10 km można zrobić bez pierwiastkowania: $\sqrt{90}$ wobec $10$ to to samo co $90$ wobec $100$ . Mniejsza liczba pod pierwiastkiem — mniejsza odległość.

⚠ Najczęstszy błąd: dodanie przesunięć zamiast użycia Pitagorasa ( $9 + 3 = 12$ km). Odległość „w linii prostej” to przeciwprostokątna, a nie suma drogi na wschód i na południe.

To zadanie na osobnej stronie Więcej zadań: skala i mapa

Zadanie 13 – pola figur (1 pkt)

Zadanie 131 pktśrednie

Przekątna

AD

dzieli pięciokąt

ABCDE

na trójkąt

ADE

(u góry) i kwadrat

ABCD

(u dołu). Pole trójkąta

ADE

jest równe 28, a wysokość poprowadzona z wierzchołka

E

na bok

AD

jest równa 7. Pole kwadratu

ABCD

jest równe

A. $16$
B. $32$
C. $49$
D. $64$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Odcinek $AD$ jest jednocześnie podstawą trójkąta i bokiem kwadratu — to on łączy obie figury.
Ze wzoru na pole trójkąta: $28 = \tfrac12 \cdot \textcolor{#16A06A}{AD} \cdot \textcolor{#E0453A}{7}$ .
Stąd $\textcolor{#16A06A}{AD} \cdot \textcolor{#E0453A}{7} = 56$ , czyli $\textcolor{#16A06A}{AD} = 8$ .
Kwadrat ma więc bok $\textcolor{#16A06A}{8}$ , a jego pole: $\textcolor{#16A06A}{8}^2 = 64$ .
Odpowiedź D.

💡 Wskazówka: W figurach złożonych zawsze szukaj odcinka wspólnego dla obu części — to on przenosi informację z jednej figury do drugiej.

⚠ Najczęstszy błąd: podzielenie $28 : 7 = 4$ i przyjęcie tego za bok kwadratu (odpowiedź A). We wzorze na pole trójkąta jest jeszcze mnożenie przez $\tfrac12$ — trzeba je cofnąć.

To zadanie na osobnej stronie Więcej zadań: pola figur

Zadanie 14 – prostopadłościan i sześcian (1 pkt)

Zadanie 141 pktśrednie

Trzy jednakowe sześciany o krawędzi długości 5 ustawiono jeden na drugim i otrzymano prostopadłościan. Dokończ zdanie.
Pole powierzchni całkowitej otrzymanego prostopadłościanu jest równe

A. $350$
B. $375$
C. $400$
D. $450$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Krok 1 — wymiary wieży. Podstawa zostaje taka jak jednego sześcianu, rośnie tylko wysokość:
$\textcolor{#16A06A}{5} \times \textcolor{#16A06A}{5} \times (3 \cdot 5) = \textcolor{#16A06A}{5} \times \textcolor{#16A06A}{5} \times \textcolor{#E0453A}{15}$ .
Krok 2 — pole powierzchni. Dwie ściany kwadratowe (góra i dół) plus cztery prostokątne (boki):
$P = 2 \cdot (\textcolor{#16A06A}{5} \cdot \textcolor{#16A06A}{5}) + 4 \cdot (\textcolor{#16A06A}{5} \cdot \textcolor{#E0453A}{15}) = 50 + 300 = 350$ .
Odpowiedź A.

💡 Wskazówka: Można też odjąć od pól trzech osobnych sześcianów to, co znika przy sklejeniu. Trzy sześciany mają $3 \cdot 150 = 450$ ; przy dwóch sklejeniach chowają się cztery kwadraty $5 \times 5$ : $450 - 4 \cdot 25 = 350$ ✓

⚠ Najczęstszy błąd: pomnożenie pola jednego sześcianu przez 3 (odpowiedź $450$ ). Sklejone ściany przestają należeć do powierzchni bryły.

To zadanie na osobnej stronie Więcej zadań: prostopadłościan i sześcian

Zadanie 15 – zadania tekstowe (2 pkt)

Zadanie 152 pktśrednie

Do wykonania origami Ela przygotowała łącznie 160 kartek w czterech kolorach: białym, niebieskim, zielonym i czerwonym. Kartek białych było 37. Kartek niebieskich było 1,5 raza więcej niż czerwonych, a kartek zielonych było o 10 mniej niż czerwonych. Oblicz, ile kartek niebieskich przygotowała Ela.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 57 kartek niebieskich

Oznaczamy przez $\textcolor{#16A06A}{c}$ liczbę kartek czerwonych — bo do nich odnoszą się dwa pozostałe kolory.
Niebieskie: $\textcolor{#E0453A}{1{,}5c}$ . Zielone: $\textcolor{#E0453A}{c - 10}$ . Białe: 37 (podane wprost).
Wszystkie razem dają 160: $37 + \textcolor{#E0453A}{1{,}5c} + \textcolor{#16A06A}{c} + \textcolor{#E0453A}{(c - 10)} = 160$ .
Porządkujemy: $3{,}5\textcolor{#16A06A}{c} + 27 = 160$ , czyli $3{,}5\textcolor{#16A06A}{c} = 133$ , więc $\textcolor{#16A06A}{c} = 38$ .
Pytanie dotyczy niebieskich: $\textcolor{#E0453A}{1{,}5} \cdot 38 = 57$ .
Odpowiedź: Ela przygotowała 57 kartek niebieskich.
Sprawdzenie: $37 + 57 + 38 + 28 = 160$ ✓

💡 Wskazówka: Wybierz na niewiadomą ten kolor, do którego odnoszą się pozostałe — tu czerwony. Gdybyś oznaczył niebieskie, czerwone wyszłyby jako $\tfrac{n}{1{,}5}$ , a zielone jeszcze gorzej.

⚠ Najczęstszy błąd: zatrzymanie się na $c = 38$ i podanie tej liczby. Zadanie pyta o niebieskie, więc trzeba jeszcze pomnożyć przez 1,5.

To zadanie na osobnej stronie Więcej zadań: zadania tekstowe

Zadanie 16 – prędkość, droga i czas (3 pkt)

Zadanie 163 pkttrudniejsze

Z Polanki do Dębiny prowadzi jedna droga przez Jodłowo i ma długość 123 km. Droga z Polanki do Jodłowa ma długość 48 km i samochód przejechał ją w czasie 40 minut. Drogę z Jodłowa do Dębiny ten samochód pokonał z taką samą prędkością. Uzasadnij, że przejazd z Jodłowa do Dębiny trwał dłużej niż godzinę.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: dowód (prędkość 72 km/h, a odcinek ma 75 km > 72 km)

Najpierw wyznaczamy prędkość samochodu na pierwszym odcinku.
Czas: $40$ minut $= \textcolor{#E0453A}{\dfrac{40}{60}} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{2}{3}}$ godziny.
$v = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{48}}{\textcolor{#E0453A}{\tfrac{2}{3}}} = \textcolor{#16A06A}{48} \cdot \dfrac{3}{2} = 72\ \dfrac{\text{km}}{\text{h}}$ .
Teraz długość drugiego odcinka: $123 - \textcolor{#16A06A}{48} = \textcolor{#16A06A}{75}$ km.
Kluczowa obserwacja: w ciągu godziny samochód przy tej prędkości pokonuje 72 km, a do przejechania ma $\textcolor{#16A06A}{75}$ km — czyli więcej.
Skoro $\textcolor{#16A06A}{75} > 72$ , przejazd musi trwać dłużej niż godzinę. co należało uzasadnić
Dla ścisłości można podać dokładny czas: $t = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{75}}{72} = 1\dfrac{1}{24}$ godziny, czyli 1 godzina i 2,5 minuty.

💡 Wskazówka: W zadaniach „uzasadnij, że dłużej niż godzinę” nie trzeba liczyć dokładnego czasu — wystarczy porównać drogę do przejechania z drogą pokonywaną w ciągu godziny (czyli z prędkością).

⚠ Najczęstszy błąd: policzenie czasu dla całej trasy 123 km zamiast dla odcinka Jodłowo–Dębina. Drugi błąd: podanie samej odpowiedzi „tak, dłużej” bez pokazania prędkości 72 km/h — komisja nie przyzna punktów.

To zadanie na osobnej stronie Więcej zadań: prędkość, droga i czas

Zadanie 17 – odczytywanie danych z tabel, diagramów i wykresów (3 pkt)

Zadanie 173 pkttrudniejsze

Podczas Dnia Sportu rozegrano trzy turnieje. Każde dziecko wzięło udział w dokładnie jednym turnieju. Łączna liczba dziewcząt była o 8 większa od łącznej liczby chłopców.

	Turniej piłki nożnej	Turniej tańca	Turniej tenisa stołowego
Liczba dziewcząt	15	65	?
Liczba chłopców	46	16	34

Oblicz, ile procent liczby wszystkich uczestników Dnia Sportu stanowi liczba dzieci, które brały udział w turnieju tenisa stołowego. Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 29%

Krok 1 — wszyscy chłopcy. Tu tabela jest kompletna:
$\textcolor{#16A06A}{46} + \textcolor{#16A06A}{16} + \textcolor{#16A06A}{34} = \textcolor{#16A06A}{96}$ chłopców.
Krok 2 — wszystkie dziewczęta. Jest ich o 8 więcej:
$\textcolor{#16A06A}{96} + 8 = \textcolor{#16A06A}{104}$ dziewczęta.
Krok 3 — brakująca liczba w tabeli. Dziewczęta grające w tenisa to reszta:
$\textcolor{#16A06A}{104} - \textcolor{#16A06A}{15} - \textcolor{#16A06A}{65} = \textcolor{#E0453A}{24}$ .
Krok 4 — uczestnicy turnieju tenisa.
$\textcolor{#E0453A}{24} + \textcolor{#16A06A}{34} = \textcolor{#E0453A}{58}$ dzieci.
Krok 5 — wszyscy uczestnicy Dnia Sportu.
$\textcolor{#16A06A}{104} + \textcolor{#16A06A}{96} = \textcolor{#E0453A}{200}$ dzieci.
Krok 6 — jaki to procent.
$\dfrac{\textcolor{#E0453A}{58}}{\textcolor{#E0453A}{200}} = 0{,}29 = 29\%$ .
Odpowiedź: uczestnicy turnieju tenisa stołowego stanowili 29% wszystkich dzieci.

💡 Wskazówka: Ułamek o mianowniku $200$ zamienia się na procent bardzo wygodnie: pomnóż licznik i mianownik przez $\tfrac12$ , żeby dostać $\tfrac{29}{100}$ .

⚠ Najczęstszy błąd: policzenie procentu od samej liczby dziewcząt albo od liczby uczestników jednego turnieju. Całością są wszyscy uczestnicy Dnia Sportu, czyli suma obu wierszy tabeli.

To zadanie na osobnej stronie Więcej zadań: odczytywanie danych z tabel, diagramów i wykresów

Zadanie 18 – graniastosłupy i ostrosłupy (2 pkt)

Zadanie 182 pkttrudniejsze

Dany jest sześcian

ABCDEFGH

o krawędzi długości

a

(ściana

ABCD

jest dolną podstawą, a

EFGH

— górną, przy czym

E

leży nad

A

F

nad

B

G

nad

C

H

nad

D

). Punkt

S

jest środkiem krawędzi

DH

tego sześcianu. Punkty

A

C

D

S

są wierzchołkami ostrosłupa trójkątnego. Oblicz, ile razy objętość ostrosłupa

ACDS

jest mniejsza od objętości sześcianu

ABCDEFGH

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: $12$ razy

Krok $\boldsymbol{1}$ — wybór podstawy ostrosłupa. Najwygodniej wziąć trójkąt $ACD$ , bo leży w dolnej ścianie sześcianu. To połowa kwadratu $ABCD$ przecięta przekątną:
$\textcolor{#16A06A}{P_{ACD}} = \tfrac12 \cdot \textcolor{#16A06A}{a} \cdot \textcolor{#16A06A}{a} = \textcolor{#16A06A}{\dfrac{a^2}{2}}$ .
Krok $\boldsymbol{2}$ — wysokość ostrosłupa. Wierzchołkiem jest $S$ , więc wysokość to jego odległość od dolnej ściany. Punkt $S$ leży w połowie pionowej krawędzi $DH$ :
$\textcolor{#E0453A}{H} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{a}{2}}$ .
Krok $\boldsymbol{3}$ — objętość ostrosłupa.
$V_{ACDS} = \tfrac13 \cdot \textcolor{#16A06A}{\dfrac{a^2}{2}} \cdot \textcolor{#E0453A}{\dfrac{a}{2}} = \dfrac{a^3}{12}$ .
Krok $\boldsymbol{4}$ — porównanie z sześcianem. Sześcian ma objętość $a^3$ , więc:
$\dfrac{a^3}{\ \ \dfrac{a^3}{12}\ \ } = 12$ .
Odpowiedź: objętość ostrosłupa jest $\boldsymbol{12}$ razy mniejsza od objętości sześcianu.

💡 Wskazówka: W bryłach wpisanych w sześcian zawsze szukaj podstawy leżącej na ścianie sześcianu — wtedy wysokość odczytasz wprost z rysunku, bez żadnego liczenia.

⚠ Najczęstszy błąd: przyjęcie jako wysokości całej krawędzi $a$ zamiast połowy. Punkt $S$ jest środkiem krawędzi $DH$ , więc leży na wysokości $\tfrac{a}{2}$ .

To zadanie na osobnej stronie Więcej zadań: graniastosłupy i ostrosłupy

Zadanie 19 – pola figur (3 pkt)

Zadanie 193 pktśrednie

Ogródek pani Anny ma kształt trapezu, którego podstawy mają długości 18 m i 12 m, a wysokość jest równa 9 m. Pani Anna chce zmienić ogródek w łąkę kwietną. Jedno opakowanie nasion wystarcza na obsianie 25 m² powierzchni i kosztuje 23,80 zł. Oblicz, ile złotych musi zapłacić pani Anna za najmniejszą liczbę opakowań potrzebnych do obsiania całego ogródka.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 142,80 zł

Krok 1 — pole ogródka. $P = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{18} + \textcolor{#16A06A}{12}}{2} \cdot \textcolor{#E0453A}{9} = 15 \cdot \textcolor{#E0453A}{9} = \textcolor{#16A06A}{135}$ m².
Krok 2 — ile opakowań? Jedno wystarcza na $\textcolor{#E0453A}{25}$ m²: $\textcolor{#16A06A}{135} : \textcolor{#E0453A}{25} = 5{,}4$ .
Nasion musi wystarczyć, więc zaokrąglamy w górę: 6 opakowań. (Pięć dałoby tylko $125$ m² — za mało o $10$ m².)
Krok 3 — koszt. $6 \cdot 23{,}80 = 142{,}80$ zł.
Odpowiedź: pani Anna zapłaci 142,80 zł.

💡 Wskazówka: Mnożenie $6 \cdot 23{,}80$ w pamięci: $6 \cdot 23 = 138$ , a $6 \cdot 0{,}80 = 4{,}80$ . Razem $142{,}80$ zł.

⚠ Najczęstszy błąd: zaokrąglenie $5{,}4$ w dół do 5 opakowań. Przy materiałach obowiązuje zasada „musi wystarczyć” — zaokrąglamy zawsze w górę.

To zadanie na osobnej stronie Więcej zadań: pola figur

Zadanie 20 – obwody figur (3 pkt)

Zadanie 203 pkttrudniejsze

Z kartonu wycięto prostokąt

ABCD

o wymiarach 3 i 9. Następnie rozcięto go na dwie figury: trapez prostokątny oraz trójkąt prostokątny równoramienny (cięcie poprowadzono pod kątem

45°

od jednego z narożników). Z tych figur złożono równoległobok $KLMN$ , który nie jest prostokątem. Oblicz obwód równoległoboku

KLMN

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 18 + 6√2

Krok 1 — jaki jest odcięty trójkąt? Jest prostokątny i równoramienny, a jego przyprostokątne muszą zmieścić się w prostokącie o szerokości 3.
Obie przyprostokątne mają więc po $\textcolor{#16A06A}{3}$ , a przeciwprostokątna: $\textcolor{#E0453A}{3\sqrt2}$ .
Krok 2 — co zostaje. Trapez prostokątny ma podstawy $9$ i $9 - \textcolor{#16A06A}{3} = 6$ , wysokość $\textcolor{#16A06A}{3}$ i ramię ukośne $\textcolor{#E0453A}{3\sqrt2}$ .
Krok 3 — składamy równoległobok. Trójkąt przesuwamy na drugi koniec trapezu, dostawiając go pionowym bokiem.
Powstaje równoległobok o podstawie $6 + \textcolor{#16A06A}{3} = \textcolor{#16A06A}{9}$ i boku ukośnym $\textcolor{#E0453A}{3\sqrt2}$ .
Krok 4 — obwód. $2 \cdot (\textcolor{#16A06A}{9} + \textcolor{#E0453A}{3\sqrt2}) = 18 + 6\sqrt2$ .
Odpowiedź: obwód równoległoboku wynosi $18 + 6\sqrt2$ .

💡 Wskazówka: Przy przekładaniu kawałków figury pole się nie zmienia, ale obwód zwykle tak — bo inne odcinki trafiają na brzeg. Tutaj dwa boki po $3$ zniknęły do środka, a pojawiły się dwa po $3\sqrt2$ .

⚠ Najczęstszy błąd: przyjęcie, że skoro figury są te same, to obwód równoległoboku równa się obwodowi prostokąta ( $24$ ). Ukośne boki są dłuższe od pionowych, więc obwód rośnie.

To zadanie na osobnej stronie Więcej zadań: obwody figur

Oryginalny arkusz i zasady oceniania

Arkusz i zasady oceniania tej sesji udostępnia Centralna Komisja Egzaminacyjna: arkusz OMAP-100-2605 (PDF) oraz zasady oceniania (PDF). Statystyki wszystkich sesji i podział zadań na działy są na stronie arkusze egzaminu ósmoklasisty z matematyki.

Sesje główne

Arkusze próbne i przykładowe

Sklep Nie każ mu liczyć!

Przygotuj się do E8: zadania i pełne arkusze

Karty pracy i arkusze z kluczem — do druku od razu po zakupie.

E8 z matematyki: procenty i zadania z treścią — 12 kart PDF z kluczem12 kart z tego zakresu, z kluczem7,90 zł · PDF do druku

Egzamin ósmoklasisty z matematyki — 5 arkuszy z rozwiązaniami, cz. 15 pełnych arkuszy E8 z rozwiązaniami24,90 zł · PDF do druku

10 minut do egzaminu ósmoklasisty — matematyka: 30 dni, PDF z kluczemCodziennie 10 minut przez 30 dni14,90 zł · PDF do druku