Próbny egzamin ósmoklasisty marzec 2020 z matematyki – odpowiedzi i rozwiązania

Odpowiedź: F, P

1. Krok 1 — ile procent to sok pomidorowy.
2. $100\% - \textcolor{#16A06A}{30\%} - \textcolor{#16A06A}{20\%} - \textcolor{#16A06A}{37{,}5\%} = \textcolor{#16A06A}{12{,}5\%}$
3. Krok 2 — całość. Kotwica: $\textcolor{#16A06A}{12{,}5\%}$ to $\textcolor{#16A06A}{15}$ kartonów. Ponieważ $12{,}5\% = \tfrac18$, całość jest osiem razy większa:
4. $\textcolor{#E0453A}{8 \cdot 15} = \textcolor{#E0453A}{120}$ kartonów.
5. Zdanie 1. Sprzedano $\textcolor{#E0453A}{120}$, a nie $125$ kartonów — fałsz.
6. Zdanie 2. Sok jabłkowy: $\textcolor{#16A06A}{37{,}5\%}$ ze $\textcolor{#E0453A}{120}$, czyli $\tfrac38 \cdot \textcolor{#E0453A}{120} = 45$ kartonów.
7. Różnica: $45 - \textcolor{#16A06A}{15} = 30$ ✓ — prawda.
8. Odpowiedzi: F, P.

💡 Wskazówka: Warto znać zamiany: $12{,}5\% = \tfrac18$,  $37{,}5\% = \tfrac38$,  $62{,}5\% = \tfrac58$. Zamiast mnożyć przez liczby dziesiętne, wystarczy wtedy dzielić przez 8.

⚠ Najczęstszy błąd: przyjęcie, że $15$ kartonów to $10\%$ (i całość $150$). Procent trzeba najpierw wyliczyć jako dopełnienie do $100\%$ — na diagramie nie był podany.

Odpowiedź: D

1. Mamy dwa warunki naraz — sprawdzamy każdy osobno i dopiero potem łączymy.
2. Warunek 1 — podzielna przez 4. Decydują dwie ostatnie cyfry, czyli $\textcolor{#16A06A}{\#4}$. Sprawdzamy: $04$ ✓, $14$ ✗, $24$ ✓, $34$ ✗, $44$ ✓, $54$ ✗, $64$ ✓, $74$ ✗, $84$ ✓, $94$ ✗.
3. Zatem $\textcolor{#16A06A}{\#}$ musi być parzyste: 0, 2, 4, 6 lub 8.
4. Warunek 2 — NIEpodzielna przez 3. Suma cyfr: $2+5+8+\#+4 = \textcolor{#E0453A}{19 + \#}$. Ta suma nie może dzielić się przez 3.
5. Sprawdzamy nasze parzyste kandydatki: $\#=0 \to 19$ ✗niepodz. ✓, $\#=2 \to \textcolor{#E0453A}{21}$ (dzieli się przez 3 — odpada), $\#=4 \to 23$ ✓, $\#=6 \to 25$ ✓, $\#=8 \to \textcolor{#E0453A}{27}$ (dzieli się przez 3 — odpada).
6. Pasują więc 0, 4 i 6, a nie może być 2 ani 8. Wśród odpowiedzi jest tylko 8 — odpowiedź D.

💡 Wskazówka: Przy dwóch warunkach naraz rób to zawsze etapami: najpierw jedno sito (parzystość), potem drugie (suma cyfr) — nie próbuj sprawdzać wszystkiego naraz.

⚠ Uwaga na słowo „nie zastąpiono” — pytanie jest odwrotne niż zwykle. Łatwo znaleźć poprawne cyfry (0, 4, 6) i odruchowo zaznaczyć jedną z nich.

Odpowiedź: B

1. Najpierw potęga: $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$.
2. Potem mnożenie: $\dfrac{4}{3} \cdot 3 = \dfrac{12}{3} = 4$ (trójki się skracają).
3. Na końcu odejmowanie: $4 - 8 = -4$.
4. Odpowiedź B.

💡 Wskazówka: Mnożenie ułamka przez jego mianownik zawsze „zjada” mianownik — zostaje sam licznik. Stąd $\tfrac43 \cdot 3 = 4$ bez żadnych rachunków.

⚠ Najczęstszy błąd: policzenie $2^3$ jako $2 \cdot 3 = 6$ (wyszłoby $-2$) albo pomnożenie tylko licznika i mianownika przez 3.

Odpowiedź: F, P

1. Liczymy czas przejazdu każdego z osobna: $t = \dfrac{s}{v}$.
2. Matylda (droga leśna): $t = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{6}}{15} = \textcolor{#E0453A}{0{,}4}$ godziny.
3. Zamieniamy na minuty: $\textcolor{#E0453A}{0{,}4} \cdot 60 = 24$ minuty, więc na miejscu jest o $10\!:\!24$ ✓ — zdanie 2 prawdziwe.
4. Karol (droga polna): $t = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{10}}{20} = \textcolor{#E0453A}{0{,}5}$ godziny, czyli 30 minut — na miejscu o $10\!:\!30$.
5. Porównujemy: $10\!:\!24 < 10\!:\!30$, więc to Matylda przyjechała wcześniej — zdanie 1 fałszywe.
6. Odpowiedzi: F, P.

💡 Wskazówka: Zamiana ułamka godziny na minuty: pomnóż przez 60. $0{,}4$ h $= 24$ min, $0{,}25$ h $= 15$ min, $\tfrac13$ h $= 20$ min.

⚠ Najczęstszy błąd: założenie, że skoro Karol jechał szybciej, to dojechał pierwszy. Jechał jednak dłuższą drogą — o samym czasie decyduje dopiero iloraz $\tfrac{s}{v}$.

Odpowiedź: A

1. Rozbijamy ćwiczenie Oli na trzy kawałki — po jednym z każdego cyklu.
2. Cykl 1: Ola weszła po 2 minutach, więc ćwiczyła $15 - 2 = 13$ minut.
3. Cykl 2: przećwiczyła go w całości — $15$ minut.
4. Cykl 3: skończyła, gdy zostało 7 minut, więc przećwiczyła $15 - 7 = 8$ minut.
5. Razem: $13 + 15 + 8 = 36$ minut — odpowiedź A.
6. Sprawdzenie inną drogą: trzy pełne cykle to $\textcolor{#16A06A}{45}$ minut. Ola opuściła $\textcolor{#E0453A}{2}$ minuty na początku i $\textcolor{#E0453A}{7}$ na końcu, czyli $\textcolor{#16A06A}{45} - \textcolor{#E0453A}{2} - \textcolor{#E0453A}{7} = 36$ ✓

💡 Wskazówka: Sposób „od całości”: policz wszystkie cykle, a potem odejmij to, czego Ola nie ćwiczyła (początek i koniec). Zwykle szybciej niż sumowanie kawałków.

⚠ Najczęstszy błąd: potraktowanie „do końca trzeciego cyklu zostało 7 minut” jako „ćwiczyła 7 minut trzeciego cyklu”. To odwrotnie — ćwiczyła $15 - 7 = 8$ minut.

Odpowiedź: D

1. Oznaczamy przez $\textcolor{#16A06A}{b}$ wiek jednego bliźniaka. Drugi ma tyle samo, a Oskar $\textcolor{#E0453A}{b + 6}$.
2. Uwaga: bliźniaków jest dwóch, więc w sumie ich wiek liczymy dwa razy.
3. $\textcolor{#16A06A}{b} + \textcolor{#16A06A}{b} + \textcolor{#E0453A}{(b + 6)} = 42$, czyli $3\textcolor{#16A06A}{b} + 6 = 42$.
4. $3\textcolor{#16A06A}{b} = 36$, więc $\textcolor{#16A06A}{b} = 12$ lat.
5. Odpowiedź D. Sprawdzenie: $12 + 12 + 18 = 42$ ✓

💡 Wskazówka: Bliźniacy to dwie osoby w tym samym wieku — łatwo policzyć ich jako jedną. Wypisz wszystkie trzy wieki osobno, zanim je zsumujesz.

⚠ Najczęstszy błąd: policzenie bliźniaków jako jednej osoby ($2b + 6 = 42$, czyli $b = 18$ — kusząca odpowiedź A). Drugi błąd: podanie wieku Oskara (18) zamiast bliźniaków.

Odpowiedź: D

1. Żeton $1$: $-5^2$ oznacza $-(5^2) = -25$ (minus nie jest podnoszony do kwadratu, bo nie ma nawiasu).
2. Aby suma dała zero, po drugiej stronie musi być liczba przeciwna: $25$.
3. Żeton $2$: $(-2)^3 = -8$ (nawias — minus też jest potęgowany, a trzecia potęga zachowuje znak minus).
4. Liczba przeciwna do $-8$ to $8$. Zatem: $25$ i $8$.

💡 Wskazówka: $-5^2 = -25$, ale $(-5)^2 = 25$. Nawias zmienia wszystko!

⚠ Najczęstszy błąd: policzenie $-5^2$ jako $25$ (potraktowanie minusa jak części podstawy).

Odpowiedź: P, P

1. Zdanie 1. Trójkąty $PAB$ i $PAC$ mają wspólny wierzchołek $A$, a ich podstawy $PB$ i $PC$ leżą na tej samej prostej $BC$. Mają więc tę samą wysokość — o polach decydują wyłącznie długości podstaw.
2. Sprawdźmy, czy $P$ jest środkiem $BC$:
3. $x$: $\dfrac{\textcolor{#16A06A}{-5} + \textcolor{#16A06A}{1}}{2} = \textcolor{#E0453A}{-2}$    $y$: $\dfrac{\textcolor{#16A06A}{3} + (\textcolor{#16A06A}{-3})}{2} = \textcolor{#E0453A}{0}$
4. Środek $BC$ to $(\textcolor{#E0453A}{-2}, \textcolor{#E0453A}{0})$, czyli dokładnie punkt $P$ ✓ Podstawy są równe, więc i pola są równe — prawda.
5. Zdanie 2. Pole trójkąta $ABC$ policzymy metodą „prostokąt minus trójkąty”.
6. Najmniejszy prostokąt obejmujący trójkąt rozciąga się od $x = \textcolor{#16A06A}{-5}$ do $x = \textcolor{#16A06A}{4}$ i od $y = \textcolor{#16A06A}{-3}$ do $y = \textcolor{#16A06A}{3}$, ma więc wymiary $\textcolor{#E0453A}{9} \times \textcolor{#E0453A}{6}$ i pole $\textcolor{#E0453A}{54}$.
7. Odcinamy trzy trójkąty prostokątne w narożnikach:
8. przy $B$: $\tfrac12 \cdot 6 \cdot 6 = 18$  •  przy $C$: $\tfrac12 \cdot 3 \cdot 4 = 6$  •  przy $A$: $\tfrac12 \cdot 9 \cdot 2 = 9$
9. $P_{ABC} = \textcolor{#E0453A}{54} - 18 - 6 - 9 = 21$ ✓ — prawda.
10. Odpowiedzi: P, P.

💡 Wskazówka: Pole trójkąta o „krzywych” wierzchołkach najłatwiej policzyć, otaczając go prostokątem i odejmując trzy narożne trójkąty prostokątne. Wszystkie ich boki są pionowe albo poziome, więc odczytuje się je wprost z kratek.

⚠ Najczęstszy błąd w zdaniu 1: uznanie, że skoro trójkąty wyglądają różnie, mają różne pola. Przy wspólnej wysokości liczy się tylko długość podstawy — a tu $P$ dzieli $BC$ dokładnie na pół.

Odpowiedź: C

1. Trójki liczb są w stosunku $3 : 4 : 5$ wtedy, gdy powstają przez pomnożenie 3, 4 i 5 przez tę samą liczbę.
2. A. $6 : 8 : 10$ — wszystkie podzielone przez 2 dają $3 : 4 : 5$ ✓ (mnożnik $\textcolor{#E0453A}{2}$)
3. B. $9 : 12 : 15$ — dzielimy przez 3: $3 : 4 : 5$ ✓ (mnożnik $\textcolor{#E0453A}{3}$)
4. C. $12 : 20 : 25$ — sprawdzamy mnożniki po kolei: $12 : 3 = \textcolor{#E0453A}{4}$, ale $20 : 4 = \textcolor{#E0453A}{5}$, a $25 : 5 = \textcolor{#E0453A}{5}$. Mnożniki nie są równe ✗
5. D. $21 : 28 : 35$ — dzielimy przez 7: $3 : 4 : 5$ ✓ (mnożnik $\textcolor{#E0453A}{7}$)
6. Odpowiedź C — te odcinki nie tworzą trójkąta egipskiego.
7. Dla porządku: gdyby zachować proporcję przy pierwszym boku 12, pozostałe musiałyby wynosić 16 i 20.

💡 Wskazówka: Najszybszy test: podziel każdą liczbę przez odpowiadającą jej liczbę ze stosunku. Jeśli za każdym razem wyjdzie ten sam iloraz — proporcja się zgadza.

⚠ Pułapka w odpowiedzi C: dwa ostatnie stosunki ($20:4$ i $25:5$) dają zgodnie 5, więc przy pobieżnym sprawdzeniu wygląda to poprawnie. Trzeba sprawdzić wszystkie trzy.

Odpowiedź: C

1. Uwaga na to, co oznacza litera: $\textcolor{#16A06A}{t}$ to liczba tulipanów — czyli tych, których jest więcej.
2. Skoro tulipanów jest o 50 więcej niż róż, to róż jest o 50 mniej: $\textcolor{#E0453A}{t - 50}$.
3. Zapisujemy koszty: tulipany $1{,}2 \cdot \textcolor{#16A06A}{t}$, róże $4 \cdot \textcolor{#E0453A}{(t - 50)}$.
4. Razem 580 zł: $1{,}2\textcolor{#16A06A}{t} + 4\textcolor{#E0453A}{(t - 50)} = 580$ — odpowiedź C.
5. (Rozwiązując: $1{,}2t + 4t - 200 = 580 \Rightarrow 5{,}2t = 780 \Rightarrow t = 150$ tulipanów i 100 róż.)

💡 Wskazówka: Zawsze sprawdź, czy litera oznacza wielkość większą czy mniejszą. Jeśli większą — przy drugiej stawiasz minus, jeśli mniejszą — plus.

⚠ Najczęstszy błąd: dopisanie $+50$ do róż (odpowiedź D), czyli odwrócenie relacji. Kontrola zdroworozsądkowa: róże są droższe, więc jeśli byłoby ich więcej, kwota szybko przekroczyłaby 580 zł.

Odpowiedź: P, P

1. Krok 1 — wyznaczamy $\alpha$. Kąt $\textcolor{#16A06A}{135°}$ i kąt $\alpha$ są przyległe, więc razem dają $\textcolor{#E0453A}{180°}$:
2. $\alpha = \textcolor{#E0453A}{180°} - \textcolor{#16A06A}{135°} = \textcolor{#16A06A}{45°}$.
3. Krok 2 — wyznaczamy $\beta$. W równoległoboku kąty sąsiednie dopełniają się do $\textcolor{#E0453A}{180°}$:
4. $\beta = \textcolor{#E0453A}{180°} - \textcolor{#16A06A}{45°} = \textcolor{#16A06A}{135°}$.
5. Zdanie 1. $\textcolor{#16A06A}{45°} + \textcolor{#16A06A}{135°} = \textcolor{#E0453A}{180°}$ ✓ — prawda. (To zresztą własność każdego równoległoboku dla kątów sąsiednich.)
6. Zdanie 2. $\textcolor{#16A06A}{135°} : \textcolor{#16A06A}{45°} = 3$, więc $\alpha$ jest trzy razy mniejszy od $\beta$ ✓ — prawda.
7. Odpowiedzi: P, P.

💡 Wskazówka: Zauważ ładną zbieżność: kąt $\beta$ wyszedł równy $135°$, czyli tyle samo co kąt zewnętrzny obok $\alpha$. To nie przypadek — oba są kątami odpowiadającymi przy prostych równoległych.

⚠ Najczęstszy błąd: przyjęcie $\alpha = 135°$ (przepisanie kąta z rysunku). Kąt $135°$ leży poza równoległobokiem — jest do $\alpha$ przyległy, a nie z nim tożsamy.

Odpowiedź: B, D

1. Ramionami są $KM$ i $LM$, więc podstawą jest $KL$, a kąty przy podstawie (przy $K$ i przy $L$) są równe.
2. Oznaczmy $\angle KLM = \textcolor{#16A06A}{x}$. Wtedy również $\angle LKM = \textcolor{#16A06A}{x}$, a kąt przy wierzchołku $\angle KML = \textcolor{#16A06A}{2x}$.
3. Suma kątów trójkąta: $\textcolor{#16A06A}{x} + \textcolor{#16A06A}{x} + \textcolor{#16A06A}{2x} = \textcolor{#E0453A}{180°}$, czyli $4\textcolor{#16A06A}{x} = \textcolor{#E0453A}{180°}$.
4. Stąd $\textcolor{#16A06A}{x} = 45°$ — kąt $KLM$ ma $45°$, odpowiedź B.
5. Kąt przy wierzchołku: $\textcolor{#16A06A}{2x} = 90°$ — trójkąt jest więc prostokątny, odpowiedź D.
6. Razem: B, D. (Kąty: $45°$, $45°$, $90°$ — to połówka kwadratu.)

💡 Wskazówka: Zwróć uwagę, które boki są ramionami — to one wskazują, gdzie leży podstawa, a więc gdzie są równe kąty. Zamiana ramion z podstawą całkowicie zmienia rozwiązanie.

⚠ Najczęstszy błąd: przyjęcie, że równe kąty są przy $M$ i przy $L$. Wtedy równanie wyglądałoby inaczej i wyszłoby $x = 36°$ — odpowiedź nieobecna wśród opcji, co samo w sobie jest sygnałem pomyłki.

Odpowiedź: C

1. Wypisujemy, co już wiemy: podstawa $\textcolor{#E0453A}{1} \to \textcolor{#16A06A}{1}$ trójkąt, podstawa $\textcolor{#E0453A}{2} \to \textcolor{#16A06A}{4}$, podstawa $\textcolor{#E0453A}{3} \to \textcolor{#16A06A}{9}$.
2. Liczby $\textcolor{#16A06A}{1}$, $\textcolor{#16A06A}{4}$, $\textcolor{#16A06A}{9}$ to kwadraty kolejnych liczb: $\textcolor{#E0453A}{1}^2$, $\textcolor{#E0453A}{2}^2$, $\textcolor{#E0453A}{3}^2$.
3. Reguła: trójkąt o podstawie $\textcolor{#E0453A}{n}$ składa się z $\textcolor{#E0453A}{n}^2$ małych trójkątów.
4. Dla podstawy $\textcolor{#E0453A}{5}$: $\textcolor{#E0453A}{5}^2 = 25$ — odpowiedź C.
5. Można to sprawdzić inaczej: kolejne rzędy trójkąta zawierają 1, 3, 5, 7, 9 małych trójkątów, a $1+3+5+7+9 = 25$ ✓

💡 Wskazówka: Ładna własność: suma kolejnych liczb nieparzystych zawsze daje kwadrat. $1 = 1^2$, $1+3 = 2^2$, $1+3+5 = 3^2$ — i tak dalej. Właśnie dlatego w tym zadaniu wychodzą kwadraty.

⚠ Najczęstszy błąd: doliczenie do 16 (bo „kolejny po 9”) — czyli pomylenie podstawy 4 z podstawą 5. Drugi błąd: mnożenie $5 \cdot 10 = 50$ „bo trójkątów zawsze przybywa”.

Odpowiedź: P, F

1. Zdanie 1. Odległość środka od cięciwy to długość odcinka prostopadłego do niej. Taki odcinek dzieli cięciwę na połowy.
2. Powstaje trójkąt prostokątny: przeciwprostokątna to promień $\textcolor{#E0453A}{5}$ cm, jedna przyprostokątna to połowa cięciwy $\textcolor{#16A06A}{4}$ cm.
3. Odległość: $\sqrt{\textcolor{#E0453A}{5}^2 - \textcolor{#16A06A}{4}^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3$ cm ✓ — prawda.
4. Zdanie 2. Trójkąt $ASB$ ma boki: dwa promienie po $\textcolor{#E0453A}{5}$ cm i cięciwę $\textcolor{#16A06A}{8}$ cm.
5. Obwód: $\textcolor{#E0453A}{5} + \textcolor{#E0453A}{5} + \textcolor{#16A06A}{8} = 18$ cm — a nie 16 cm — fałsz.
6. Odpowiedzi: P, F.

💡 Wskazówka: Odcinek poprowadzony ze środka okręgu prostopadle do cięciwy zawsze przecina ją dokładnie w połowie. To najważniejsza własność cięciwy w tym dziale.

⚠ Najczęstszy błąd w zdaniu 1: użycie całej cięciwy (8 cm) zamiast jej połowy (4 cm) — pod pierwiastkiem wychodzi wtedy liczba ujemna, co powinno od razu zwrócić uwagę.

Odpowiedź: C

1. Suma dwóch dotychczasowych ocen: $3{,}5 \cdot 2 = \textcolor{#E0453A}{7}$.
2. Docelowo mają być trzy oceny o średniej 4, czyli suma $4 \cdot 3 = \textcolor{#16A06A}{12}$.
3. Trzecia ocena to różnica: $\textcolor{#16A06A}{12} - \textcolor{#E0453A}{7} = 5$.
4. Odpowiedź C.

💡 Wskazówka: Zwróć uwagę, że mnożysz przez różne liczby: starą sumę przez 2, docelową przez 3.

⚠ Błąd: liczenie „o ile ma wzrosnąć średnia” ($4 - 3{,}5 = 0{,}5$) i wybranie oceny 4. Nowa ocena musi nadrobić braki za wszystkie oceny naraz.

Odpowiedź: 6 km

1. Oznaczamy przez $\textcolor{#16A06A}{k}$ długość trasy w kilometrach.
2. Koszt u „Jedynki”: $3{,}20 + 3{,}20\textcolor{#16A06A}{k}$.   Koszt u „Dwójki”: $8{,}00 + 2{,}40\textcolor{#16A06A}{k}$.
3. Skoro zapłacili tyle samo, przyrównujemy: $3{,}20 + 3{,}20\textcolor{#16A06A}{k} = 8{,}00 + 2{,}40\textcolor{#16A06A}{k}$.
4. Przenosimy: $3{,}20\textcolor{#16A06A}{k} - 2{,}40\textcolor{#16A06A}{k} = 8{,}00 - 3{,}20$, czyli $\textcolor{#E0453A}{0{,}80}\textcolor{#16A06A}{k} = \textcolor{#E0453A}{4{,}80}$.
5. $\textcolor{#16A06A}{k} = \textcolor{#E0453A}{4{,}80} : \textcolor{#E0453A}{0{,}80} = 6$ km.
6. Odpowiedź: trasa miała 6 kilometrów.
7. Sprawdzenie: Jedynka $3{,}20 + 6 \cdot 3{,}20 = 22{,}40$ zł, Dwójka $8 + 6 \cdot 2{,}40 = 22{,}40$ zł ✓

💡 Wskazówka: Sens zadania: „Dwójka” ma wyższą opłatę początkową (o 4,80 zł), ale tańszy kilometr (o 0,80 zł). Ta przewaga nadrabia różnicę dokładnie po $4{,}80 : 0{,}80 = 6$ km.

⚠ Najczęstszy błąd: pominięcie opłaty początkowej u jednej z korporacji albo doliczenie jej do każdego kilometra. To opłata jednorazowa.

Odpowiedź: 15 zł

1. Najpierw zamieniamy jednostki: $40$ dag $= \textcolor{#16A06A}{0{,}4}$ kg,   $60$ dag $= \textcolor{#16A06A}{0{,}6}$ kg.
2. Zauważ, że razem daje to $\textcolor{#16A06A}{0{,}4} + \textcolor{#16A06A}{0{,}6} = \textcolor{#16A06A}{1}$ kg — czyli od razu dokładnie kilogram mieszanki.
3. Koszt rodzynek: $\textcolor{#16A06A}{0{,}4} \cdot \textcolor{#E0453A}{12} = 4{,}80$ zł.
4. Koszt pestek: $\textcolor{#16A06A}{0{,}6} \cdot \textcolor{#E0453A}{17} = 10{,}20$ zł.
5. Razem: $4{,}80 + 10{,}20 = 15$ zł — i to jest cena za cały kilogram mieszanki.
6. Odpowiedź: 1 kilogram mieszanki kosztuje 15 zł.

💡 Wskazówka: Sprawdź na początku, czy składniki sumują się do okrągłej masy — tutaj do 1 kg, więc na końcu nie trzeba nic przeliczać. To częsty zabieg w zadaniach o mieszankach.

⚠ Najczęstszy błąd: policzenie średniej cen $(12 + 17) : 2 = 14{,}50$ zł. To działałoby tylko przy równych masach — a tu pestek jest więcej, więc mieszanka jest droższa.

Odpowiedź: x = 20, wszystkie boki mają po 25 cm

1. Romb to czworokąt, którego wszystkie cztery boki są równe — to trzeba pokazać.
2. Krok 1 — zapisujemy obwód. Dodajemy wszystkie cztery wyrażenia:
3. $(\textcolor{#16A06A}{2x - 15}) + (\textcolor{#16A06A}{x + 5}) + (\textcolor{#16A06A}{\tfrac32 x - 5}) + (\textcolor{#16A06A}{\tfrac12 x + 15})$
4. Osobno litery: $2x + x + \tfrac32 x + \tfrac12 x = 5x$.   Osobno liczby: $-15 + 5 - 5 + 15 = 0$.
5. Obwód wynosi więc $5x$.
6. Krok 2 — wyznaczamy $x$.
7. $5x = 100$,   czyli   $\textcolor{#E0453A}{x} = \textcolor{#E0453A}{20}$
8. Krok 3 — obliczamy każdy bok osobno.
9. $2 \cdot \textcolor{#E0453A}{20} - 15 = 40 - 15 = 25$ cm
10. $\textcolor{#E0453A}{20} + 5 = 25$ cm
11. $\tfrac32 \cdot \textcolor{#E0453A}{20} - 5 = 30 - 5 = 25$ cm
12. $\tfrac12 \cdot \textcolor{#E0453A}{20} + 15 = 10 + 15 = 25$ cm
13. Wniosek: wszystkie cztery boki mają po 25 cm, więc czworokąt jest rombem. ∎
14. Kontrola: $4 \cdot 25 = 100$ cm ✓ zgadza się z podanym obwodem.

💡 Wskazówka: Przy dodawaniu wyrażeń grupuj osobno litery i osobno liczby. Tutaj liczby zredukowały się do zera — dlatego obwód wyszedł tak prosty ($5x$).

⚠ Najczęstszy błąd: zakończenie na $x = 20$ bez policzenia boków. Samo $x$ nie dowodzi, że czworokąt jest rombem — trzeba pokazać wszystkie cztery długości i napisać wniosek.

Odpowiedź: o 12 km/h

1. Droga tam: $v_1 = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{90}}{\textcolor{#E0453A}{1{,}5}} = 60\ \dfrac{\text{km}}{\text{h}}$.
2. Droga powrotna — czas krótszy o 15 minut, czyli o $0{,}25$ godziny: $\textcolor{#E0453A}{1{,}5} - 0{,}25 = \textcolor{#E0453A}{1{,}25}$ godziny.
3. $v_2 = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{90}}{\textcolor{#E0453A}{1{,}25}} = 72\ \dfrac{\text{km}}{\text{h}}$.
4. Różnica prędkości: $72 - 60 = 12\ \dfrac{\text{km}}{\text{h}}$.
5. Odpowiedź: w drodze powrotnej średnia prędkość była większa o 12 km/h.

💡 Wskazówka: Zwróć uwagę na nieoczywistą proporcję: czas skrócił się o $\tfrac16$ (z 90 na 75 minut), ale prędkość wzrosła o $\tfrac15$ (z 60 na 72). To dlatego, że prędkość i czas są odwrotnie proporcjonalne.

⚠ Najczęstszy błąd: potraktowanie „15 minut” jako 0,15 godziny. Kwadrans to $0{,}25$ godziny — pomyłka tutaj przekłada się na całkowicie błędny wynik.

Odpowiedź: 12 cm²

1. Krok 1 — krótsza podstawa. $CD = 2 \cdot \textcolor{#16A06A}{4} = \textcolor{#16A06A}{8}$ cm.
2. Krok 2 — dłuższa podstawa. Trapez jest równoramienny, więc wysokości z obu górnych wierzchołków odcinają na dole równe odcinki po $\textcolor{#16A06A}{4}$ cm, a środkowy kawałek równa się $CD$:
3. $AB = \textcolor{#16A06A}{4} + \textcolor{#16A06A}{8} + \textcolor{#16A06A}{4} = \textcolor{#16A06A}{16}$ cm.
4. Krok 3 — wysokość. Z pola trapezu: $\dfrac{\textcolor{#16A06A}{16} + \textcolor{#16A06A}{8}}{2} \cdot \textcolor{#E0453A}{h} = 72$, czyli $12\textcolor{#E0453A}{h} = 72$, więc $\textcolor{#E0453A}{h} = 6$ cm.
5. Krok 4 — pole trójkąta $AED$. Ma przyprostokątne $\textcolor{#16A06A}{4}$ cm i $\textcolor{#E0453A}{6}$ cm:
6. $P = \tfrac12 \cdot \textcolor{#16A06A}{4} \cdot \textcolor{#E0453A}{6} = 12$ cm².
7. Odpowiedź: pole trójkąta $AED$ wynosi 12 cm².

💡 Wskazówka: Wysokości trapezu równoramiennego dzielą dolną podstawę na trzy części: $x$, $CD$, $x$. Znając dwie z nich, zawsze wyznaczysz trzecią.

⚠ Najczęstszy błąd: pominięcie drugiego odcinka $4$ cm i przyjęcie $AB = 12$ cm. Wtedy wysokość wyszłaby $7{,}2$ cm i cała odpowiedź byłaby błędna.

Odpowiedź: 20%

1. Krok 1 — objętość pudełka. $V_p = \textcolor{#16A06A}{16} \cdot \textcolor{#16A06A}{24} \cdot \textcolor{#16A06A}{2{,}5} = \textcolor{#E0453A}{960}$ cm³.
2. Krok 2 — objętość jednej czekoladki. $\textcolor{#16A06A}{2} \cdot \textcolor{#16A06A}{2} \cdot \textcolor{#16A06A}{1{,}5} = 6$ cm³.
3. Krok 3 — objętość wszystkich czekoladek. $32 \cdot 6 = \textcolor{#E0453A}{192}$ cm³.
4. Krok 4 — jaki to procent. Dzielimy część przez całość:
5. $\dfrac{\textcolor{#E0453A}{192}}{\textcolor{#E0453A}{960}} = 0{,}2 = 20\%$.
6. Odpowiedź: czekoladki zajmują 20% objętości pudełka.

💡 Wskazówka: Skrót przy liczeniu $16 \cdot 24 \cdot 2{,}5$: najpierw $24 \cdot 2{,}5 = 60$, potem $16 \cdot 60 = 960$. Mnożenie przez $2{,}5$ to po prostu „razy 10 i podzielić przez 4”.

⚠ Najczęstszy błąd: podzielenie objętości pudełka przez objętość czekoladek (wychodzi 5, czyli 500%) zamiast odwrotnie. W procentach zawsze część dzielimy przez całość — wynik musi wyjść mniejszy od 1.