Strona główna › Egzamin ósmoklasisty › Prostopadłościan i sześcian na egzaminie ósmoklasisty

Prostopadłościan i sześcian na egzaminie ósmoklasisty

Piętnaście z 26 zadań dotyczy objętości — to najbardziej jednorodny dział w całym zestawie. Sam wzór jest jednak trywialny; punkty gubi się gdzie indziej. W trzech zadaniach o wyniku przesądzają jednostki objętości, a pomyłka między decymetrem sześciennym a litrem wraca w każdym roczniku. Siedem zadań osadzono w sytuacji z życia — akwarium, basen, skrzynia z piaskiem, paczkomat, szklane naczynie z wodą, pudełko czekoladek i drewniany model sześcianu — i to one pokazują, po co to wszystko.

Dział: Egzamin ósmoklasistyPoziom: klasa 7–8Zadań: 26 — 19 z egzaminu ósmoklasisty i 7 z egzaminu gimnazjalnego

Przejdź od razu do zadań (26) ↓

Prostopadłościan i sześcian — wymiary, ściany, krawędzie

Prostopadłościan ma sześć ścian, z których każda jest prostokątem, dwanaście krawędzi i osiem wierzchołków. Sześcian to jego szczególny przypadek, w którym wszystkie krawędzie są równe, a ściany są kwadratami.

Krawędzie prostopadłościanu dzielą się na trzy grupy po cztery — każda grupa odpowiada jednemu wymiarowi. Dlatego suma długości krawędzi to poczwórna suma trzech wymiarów, a nie dwunastokrotność jednego z nich.

Ściany też występują parami: przednia i tylna są identyczne, podobnie boczne i podstawy. Ta obserwacja skraca liczenie pola powierzchni o połowę.

Sześcian ma wszystkie krawędzie równe, więc wszystkie jego ściany są przystającymi kwadratami. Stąd wzory upraszczają się do jednego mnożenia.

Objętość: wzór i jednostki, które mylą najczęściej

Objętość prostopadłościanu to iloczyn trzech wymiarów, a objętość sześcianu — krawędź podniesiona do trzeciej potęgi.

Vprostopadłosˊcianu=a⋅b⋅c,Vszesˊcianu=a3V_{\text{prostopadłościanu}} = a \cdot b \cdot c, \qquad V_{\text{sześcianu}} = a^3

Warunek, o którym łatwo zapomnieć: wszystkie trzy wymiary muszą być podane w tej samej jednostce. Wymnożenie centymetrów przez metry nie daje żadnej sensownej wielkości.

Jednostka wyniku jest sześcienna, bo mnożymy trzy długości. To nie jest formalność — brak sześcianu przy jednostce bywa traktowany jak brak jednostki w ogóle.

Kontrola sensowności działa tu wyjątkowo dobrze, bo objętości da się wyobrazić. Pudełko o boku dziesięciu centymetrów mieści litr, a nie dziesięć litrów.

Pole powierzchni

Pole powierzchni to suma pól wszystkich sześciu ścian. Dzięki temu, że ściany występują w trzech parach, liczy się je krótko.

Pc=2(ab+bc+ac),Pcszesˊcianu=6a2P_c = 2(ab + bc + ac), \qquad P_c^{\text{sześcianu}} = 6a^2

Najważniejsze rozróżnienie w całym dziale: pole powierzchni mierzy się w jednostkach kwadratowych, objętość w sześciennych. To nie są wielkości porównywalne i nie da się jednej przeliczyć na drugą.

Praktyczny sposób na zapamiętanie, czego szuka zadanie: pole odpowiada na pytanie „ile materiału na opakowanie”, objętość — „ile się zmieści w środku”.

Przy sześcianie oba wzory zależą od tej samej liczby, więc łatwo je pomylić. Wskazówka: pole ma kwadrat i mnożnik sześć, objętość ma sześcian i żadnego mnożnika.

Litry, decymetry sześcienne i centymetry

W trzech zadaniach na tej stronie to właśnie ta zamiana przesądza o odpowiedzi — nie jest w nich jedyną czynnością, ale jest tą, na której najłatwiej stracić wszystko. To najczęstsza pojedyncza pomyłka działu, bo przeliczniki objętości są inne niż długości.

Podstawa programowa wymienia te jednostki wprost: dział XI. Obliczenia w geometrii żąda, by uczeń „stosował jednostki objętości i pojemności: mililitr, litr, cm³, dm³, m³” (punkt 6) oraz „obliczał objętość i pole powierzchni prostopadłościanu przy danych długościach krawędzi” (punkt 5). Litr i decymetr sześcienny stoją w tym samym punkcie — to nie przypadek, że zadania każą przechodzić między nimi.

Skąd biorą się tysiące zamiast setek: przy przejściu o jeden szczebel w dół każdy z trzech wymiarów mnoży się przez dziesięć, więc objętość rośnie tysiąckrotnie.

Najczęstszy błąd to potraktowanie metra sześciennego jako stu litrów albo dziesięciu. Poprawnie jest tysiąc — i warto to zapamiętać przez obraz: metr sześcienny to duża lodówka, a nie wiadro.

Mechanizm przeliczania opisuję szerzej przy zamianie jednostek; tam chodzi o czas, ale zasada „sprawdź, ile szczebli i o ile mnożysz” jest identyczna.

Bryły sklejane z sześcianów

Zadanie pokazuje figurę zbudowaną z jednakowych kostek i pyta o objętość albo o pole powierzchni. Te dwa pytania rozwiązuje się zupełnie inaczej.

Objętość jest łatwa: policz kostki i pomnóż przez objętość jednej. Sklejanie nie zmienia objętości, bo nic nie ubywa.

Pole powierzchni jest trudniejsze, bo sklejone ściany znikają z powierzchni. Każde zetknięcie dwóch kostek usuwa dwa kwadraciki z widoku.

Metoda pewna: policz widoczne kwadraciki z sześciu kierunków — z góry, z dołu, z przodu, z tyłu i z obu boków. Suma tych sześciu widoków daje pole powierzchni, o ile bryła nie ma wnęk.

Przy liczeniu kostek ukrytych wewnątrz warto rozłożyć bryłę na warstwy poziome i policzyć każdą osobno. Kostki niewidoczne z zewnątrz nadal liczą się do objętości.

Zadania praktyczne: akwarium, pudełko, basen

Siedem zadań osadzonych w sytuacjach codziennych: akwarium, basen, skrzynia z piaskiem, paczkomat, szklane naczynie z wodą, pudełko czekoladek i drewniany model sześcianu. Ich wspólna cecha: trzeba rozpoznać, czy pytanie dotyczy objętości, czy pola.

Ile wody zmieści akwarium — objętość. Ile szkła na jego wykonanie — pole. Ile folii na oklejenie pudełka — pole. Ile piasku wsypać — objętość.

Akwaria i baseny mają jeden haczyk: często nie mają górnej ściany. Przy liczeniu pola trzeba wtedy odjąć jedną ścianę, a zadanie rzadko mówi o tym wprost — wynika to z sytuacji.

Drugi typowy haczyk to napełnienie do części wysokości. „Akwarium napełniono do trzech czwartych” oznacza, że do wzoru wchodzi trzy czwarte wysokości. W prostopadłościanie oba rachunki — przez zmniejszoną wysokość i przez ułamek gotowej objętości — dają ten sam wynik, bo pole dna się nie zmienia, a objętość zależy od wysokości liniowo. Dlatego wolno tu liczyć wygodniejszą drogą.

Nie przenoś jednak tego skrótu na inne kształty. Gdyby naczynie zwężało się ku górze albo leżało na boku jak beczka, „do trzech czwartych wysokości” i „trzy czwarte objętości” oznaczałyby dwie różne ilości wody. Równość obu dróg jest własnością bryły o stałym przekroju poziomym, a nie ogólną regułą.

Odpowiedź warto podać w jednostce, o którą pyta treść. Wynik w centymetrach sześciennych przy pytaniu o litry to niepełna odpowiedź.

Przykłady krok po kroku

Cztery zadania krok po kroku: objętość prostopadłościanu z zamianą na litry, pole powierzchni, sześcian i bryła sklejona z kostek.

Przykład 1 Objętość akwarium w litrach

Akwarium ma wymiary 50 cm, 30 cm i 40 cm. Ile litrów wody się w nim zmieści?

  1. Wszystkie wymiary są w centymetrach, więc mogę mnożyć od razu.
  2. V=50⋅30⋅40=60 000V = 50 \cdot 30 \cdot 40 = 60\,000 cm³.
  3. Zamieniam na litry. Jeden litr to 1 dm³, czyli 1000 cm³.
  4. 60 000:1000=6060\,000 : 1000 = 60 litrów.
  5. Kontrola sensowności: akwarium o boku pół metra mieszczące 60 litrów to wielkość typowego akwarium domowego ✓
  6. Gdyby ktoś podzielił przez 100, wyszłoby 600 litrów — czyli ponad pół metra sześciennego wody w akwarium o boku 50 cm, co jest niemożliwe.

Odpowiedź: W akwarium zmieści się 60 litrów wody.

Przykład 2 Pole powierzchni prostopadłościanu

Pudełko ma wymiary 5 cm, 4 cm i 3 cm. Ile papieru potrzeba na jego oklejenie?

  1. Pytanie o materiał na zewnątrz to pytanie o pole powierzchni, nie objętość.
  2. Ściany występują w trzech parach: 5⋅4=205 \cdot 4 = 20, 4⋅3=124 \cdot 3 = 12, 5⋅3=155 \cdot 3 = 15.
  3. Suma pól trzech różnych ścian: 20+12+15=4720 + 12 + 15 = 47 cm².
  4. Każda występuje dwa razy, więc Pc=2⋅47=94P_c = 2 \cdot 47 = 94 cm².
  5. Kontrola jednostki: pole jest kwadratowe, bo mnożyliśmy po dwie długości ✓
  6. Objętość tego pudełka to 60 cm³ — inna liczba i inna jednostka, więc obu wielkości nie da się pomylić w odpowiedzi.

Odpowiedź: Na oklejenie potrzeba 94 cm² papieru.

Przykład 3 Sześcian: objętość i pole

Sześcian ma krawędź długości 4 cm. Oblicz jego objętość i pole powierzchni.

  1. Objętość: krawędź do trzeciej potęgi, czyli V=43=64V = 4^3 = 64 cm³.
  2. Pole powierzchni: sześć jednakowych kwadratów, czyli Pc=6⋅42=6⋅16=96P_c = 6 \cdot 4^2 = 6 \cdot 16 = 96 cm².
  3. Wskazówka na zapamiętanie: objętość ma sześcian i żadnego mnożnika, pole ma kwadrat i mnożnik sześć.
  4. Kontrola jednostek: 64 cm³ i 96 cm² — różne wielkości, różne jednostki ✓
  5. Zauważ, że liczby są zbliżone, ale nie mają ze sobą nic wspólnego. Porównywanie ich nie ma sensu.

Odpowiedź: Objętość wynosi 64 cm³, a pole powierzchni 96 cm².

Przykład 4 Bryła sklejona z kostek

Z sześciennych kostek o krawędzi 2 cm zbudowano bryłę składającą się z 12 kostek. Jaka jest jej objętość?

  1. Objętość jednej kostki: 23=82^3 = 8 cm³.
  2. Sklejanie nie zmienia objętości — nic nie ubywa, więc wystarczy pomnożyć.
  3. V=12⋅8=96V = 12 \cdot 8 = 96 cm³.
  4. Uwaga: przy pytaniu o pole powierzchni takie mnożenie nie zadziała, bo sklejone ściany znikają z widoku.
  5. Kontrola: gdyby te 12 kostek ułożyć w prostopadłościan 2×2×32 \times 2 \times 3 kostki, jego wymiary wyniosłyby 4×4×64 \times 4 \times 6 cm, a objętość 4⋅4⋅6=964 \cdot 4 \cdot 6 = 96 cm³ ✓

Odpowiedź: Objętość bryły wynosi 96 cm³.

Najczęstsze błędy

Cztery błędy tego działu. Pierwszy dotyczy jednostek i wraca w każdym roczniku.

Zamiana jednostek objętości jak jednostek długości

Skąd się bierze: Przy przejściu z decymetrów sześciennych na centymetry sześcienne mnoży się przez tysiąc, a nie przez dziesięć — bo każdy z trzech wymiarów rośnie dziesięciokrotnie. Użycie przelicznika od długości zaniża wynik sto razy.

Jak zrobić dobrze: Zapamiętaj trzy równości: decymetr sześcienny to litr, litr to tysiąc centymetrów sześciennych, metr sześcienny to tysiąc litrów. Pomaga obraz — metr sześcienny to duża lodówka, nie wiadro.

Mylenie pola powierzchni z objętością

Skąd się bierze: Zadania praktyczne nie używają tych słów wprost — pytają o ilość szkła albo o ilość wody. Policzenie nie tej wielkości daje odpowiedź poprawną rachunkowo, ale niezwiązaną z pytaniem.

Jak zrobić dobrze: Zadaj sobie pytanie kierunkowe: czy chodzi o to, co jest na zewnątrz, czy o to, co się mieści w środku. Materiał na opakowanie to pole, zawartość to objętość. Sprawdź też jednostkę w odpowiedziach — kwadratowa czy sześcienna.

Mnożenie wymiarów podanych w różnych jednostkach

Skąd się bierze: Treść bywa mieszana — dwa wymiary w centymetrach, trzeci w metrach. Wymnożenie ich bez sprowadzenia do wspólnej jednostki daje liczbę, która nie oznacza żadnej objętości.

Jak zrobić dobrze: Przed mnożeniem wypisz wszystkie trzy wymiary w jednej, wybranej jednostce. Zwykle wygodniej sprowadzić do mniejszej, bo unika się ułamków.

Liczenie pola bryły sklejonej jako sumy pól kostek

Skąd się bierze: Przy sklejeniu dwóch kostek dwie ściany stykają się i przestają należeć do powierzchni. Pomnożenie pola jednej kostki przez ich liczbę zawyża wynik o wszystkie te ukryte ściany.

Jak zrobić dobrze: Policz widoczne kwadraciki z sześciu kierunków — z góry, z dołu, z przodu, z tyłu i z obu boków — i dodaj. Mnożenie działa tylko przy objętości, bo tam nic nie znika.

Zadania z arkuszy CKE — sześcian i prostopadłościan

Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminu ósmoklasisty (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem. W zestawie jest 7 zadań z arkuszy egzaminu gimnazjalnego (do 2019 roku) — dokładamy je jako dodatkowe ćwiczenie tych samych umiejętności. Zakres gimnazjum był miejscami szerszy niż wymagania dla klas 7–8, dlatego każde takie zadanie jest podpisane osobno.

W tym dziale kolor pokazuje drogę przez rachunek: zielone są wymiary, które wprost podstawiamy do wzoru, a czerwona — wielkość obliczona po drodze, której używamy w następnym kroku (krawędź wyliczona z pola, wysokość wody, objętość jednego klocka). Widać wtedy od razu, gdzie zadanie ma „przesiadkę” — a to właśnie w niej gubi się najwięcej osób.

Sprawdź się bez zaglądania do odpowiedzi. Wylosuję 10 zadań zamkniętych z tego zestawu — klucz i rozwiązania schowam do czasu sprawdzenia. Pula liczy 15 zadań, więc za każdym razem dostaniesz inny zestaw.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (maj 2026)1 pktśrednie

Trzy jednakowe sześciany o krawędzi długości 5 ustawiono jeden na drugim i otrzymano prostopadłościan. Dokończ zdanie.
Pole powierzchni całkowitej otrzymanego prostopadłościanu jest równe
Trzy sześciany o krawędzi 5 ustawione jeden na drugim5
  • A. 350
  • B. 375
  • C. 400
  • D. 450
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

  1. Krok 1 — wymiary wieży. Podstawa zostaje taka jak jednego sześcianu, rośnie tylko wysokość:
  2. 5×5×(3⋅5)=5×5×15\textcolor{#16A06A}{5} \times \textcolor{#16A06A}{5} \times (3 \cdot 5) = \textcolor{#16A06A}{5} \times \textcolor{#16A06A}{5} \times \textcolor{#E0453A}{15}.
  3. Krok 2 — pole powierzchni. Dwie ściany kwadratowe (góra i dół) plus cztery prostokątne (boki):
  4. P=2⋅(5⋅5)+4⋅(5⋅15)=50+300=350P = 2 \cdot (\textcolor{#16A06A}{5} \cdot \textcolor{#16A06A}{5}) + 4 \cdot (\textcolor{#16A06A}{5} \cdot \textcolor{#E0453A}{15}) = 50 + 300 = 350.
  5. Odpowiedź A.

💡 Wskazówka: Można też odjąć od pól trzech osobnych sześcianów to, co znika przy sklejeniu. Trzy sześciany mają 3⋅150=4503 \cdot 150 = 450; przy dwóch sklejeniach chowają się cztery kwadraty 5×55 \times 5: 450−4⋅25=350450 - 4 \cdot 25 = 350 ✓

⚠ Najczęstszy błąd: pomnożenie pola jednego sześcianu przez 3 (odpowiedź 450). Sklejone ściany przestają należeć do powierzchni bryły.

Zadanie 2 (styczeń 2026)1 pktłatwe

Adam zbudował dwa prostopadłościany. Pierwszy prostopadłościan ma wymiary 5, 6, 10. Drugi prostopadłościan ma wymiary 6, 6, 10. Uzupełnij zdania.
Dwa prostopadłościany o wymiarach 5, 6, 10 oraz 6, 6, 101065106
Objętość pierwszego prostopadłościanu jest równa AB
  • A. 300
  • B. 600
Różnica objętości tych prostopadłościanów jest równa CD
  • C. 60
  • D. 120
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A, C

  1. Pierwszy prostopadłościan: V1=5⋅6⋅10=300V_1 = \textcolor{#16A06A}{5} \cdot \textcolor{#16A06A}{6} \cdot \textcolor{#16A06A}{10} = 300 — odpowiedź A.
  2. Drugi prostopadłościan: V2=6⋅6⋅10=360V_2 = \textcolor{#16A06A}{6} \cdot \textcolor{#16A06A}{6} \cdot \textcolor{#16A06A}{10} = 360.
  3. Różnica: 360−300=60360 - 300 = 60 — odpowiedź C.

💡 Wskazówka: Bryły różnią się tylko jednym wymiarem (5 zamiast 6), a wspólna „ścianka” ma pole 6⋅10=606 \cdot 10 = 60. Różnica objętości to dokładnie ta ścianka razy różnica wymiarów: 60⋅1=6060 \cdot 1 = 60.

⚠ Najczęstszy błąd: mnożenie tylko dwóch wymiarów — to daje pole ściany, a nie objętość. Objętość zawsze wymaga trzech czynników.

Zadanie 3 (styczeń 2026)1 pkttrudniejsze

Adam ma dwa prostopadłościany: pierwszy o wymiarach 5, 6, 10 i drugi o wymiarach 6, 6, 10. Ustawił te prostopadłościany jeden na drugim tak, że powstał większy prostopadłościan. Dokończ zdanie.
Pole powierzchni całkowitej otrzymanego prostopadłościanu jest równe
Dwa prostopadłościany ustawione jeden na drugim106
  • A. 412
  • B. 472
  • C. 532
  • D. 592
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

  1. Żeby powstał prostopadłościan, bryły muszą stykać się całymi, jednakowymi ścianami.
  2. Ściany pierwszej bryły: 5×65\times6, 5×105\times10, 6×106\times10. Ściany drugiej: 6×66\times6, 6×106\times10, 6×106\times10.
  3. Wspólna jest tylko jedna: 6×10\textcolor{#16A06A}{6} \times \textcolor{#16A06A}{10} — i to po niej następuje sklejenie.
  4. Wymiary nowej bryły. Podstawa 6×10\textcolor{#16A06A}{6} \times \textcolor{#16A06A}{10} zostaje, a wysokości się dodają: 5+6=115 + 6 = \textcolor{#E0453A}{11}.
  5. Nowy prostopadłościan: 6×10×11\textcolor{#16A06A}{6} \times \textcolor{#16A06A}{10} \times \textcolor{#E0453A}{11}.
  6. Pole powierzchni: P=2(6⋅10+6⋅11+10⋅11)=2(60+66+110)=2⋅236=472P = 2(\textcolor{#16A06A}{6} \cdot \textcolor{#16A06A}{10} + \textcolor{#16A06A}{6} \cdot \textcolor{#E0453A}{11} + \textcolor{#16A06A}{10} \cdot \textcolor{#E0453A}{11}) = 2(60 + 66 + 110) = 2 \cdot 236 = 472.
  7. Odpowiedź B.

💡 Wskazówka: Zanim policzysz cokolwiek, ustal którą ścianą bryły się stykają. Tutaj decyduje o tym warunek, że wynik ma być prostopadłościanem — pasuje wyłącznie ściana 6×106 \times 10.

⚠ Najczęstszy błąd: dodanie pól obu brył bez odjęcia sklejonych ścian. Wychodzi wtedy 286+312=598286 + 312 = 598 — o 2⋅60=1202 \cdot 60 = 120 za dużo.

Zadanie 4 (czerwiec 2025)1 pktłatwe

Pole powierzchni całkowitej sześcianu jest równe 150 cm². Dokończ zdanie.
Objętość tego sześcianu jest równa
Sześcian — bryła, o której mowa w zadaniu
  • A. 25 cm³
  • B. 125 cm³
  • C. 625 cm³
  • D. 750 cm³
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

  1. Droga jest zawsze ta sama: pole → krawędź → objętość. Krawędź jest tu przystankiem pośrednim.
  2. Krok 1 — krawędź. Sześcian ma 6 jednakowych ścian kwadratowych: 6a2=1506a^2 = \textcolor{#16A06A}{150}, czyli a2=25a^2 = 25, więc a=5\textcolor{#E0453A}{a} = \textcolor{#E0453A}{5} cm.
  3. Krok 2 — objętość. V=53=125V = \textcolor{#E0453A}{5}^3 = 125 cm³.
  4. Odpowiedź B.

💡 Wskazówka: Kontrola: 150:6=25150 : 6 = 25 to pole jednej ściany, a 25=5\sqrt{25} = 5 to jej bok. Dzielenie przez 6 na samym początku często idzie szybciej niż rozwiązywanie równania.

⚠ Najczęstszy błąd: pominięcie kroku z krawędzią i podniesienie pola do potęgi albo pomnożenie 150⋅5=750150 \cdot 5 = 750. Objętość liczy się z krawędzi, nie z pola.

Zadanie 5 (czerwiec 2025)1 pkttrudniejsze

Sześcienną kostkę o objętości 1 dm³ włożono do prostopadłościennego pudełka, którego krawędzie oznaczono literami aa, bb, cc. Długość krawędzi sześciennej kostki stanowi 13\frac{1}{3} długości krawędzi aa, 12\frac{1}{2} długości krawędzi bb i 25\frac{2}{5} długości krawędzi cc. Dokończ zdanie.
Objętość tego pudełka jest równa
Pudełko o krawędziach a, b, c z sześcienną kostkąabc
  • A. 12 dm³
  • B. 18 dm³
  • C. 10 dm³
  • D. 15 dm³
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

  1. Krok 1 — krawędź kostki. Skoro V=1V = 1 dm³, to krawędź kostki wynosi k=1\textcolor{#E0453A}{k} = \textcolor{#E0453A}{1} dm (bo 13=11^3 = 1).
  2. Krok 2 — krawędzie pudełka. Każdy warunek czytamy jako „k\textcolor{#E0453A}{k} to taka a taka część krawędzi”:
  3. k=13a⇒a=3k=3\textcolor{#E0453A}{k} = \tfrac13 a \Rightarrow \textcolor{#16A06A}{a} = 3\textcolor{#E0453A}{k} = \textcolor{#16A06A}{3} dm
  4. k=12b⇒b=2k=2\textcolor{#E0453A}{k} = \tfrac12 b \Rightarrow \textcolor{#16A06A}{b} = 2\textcolor{#E0453A}{k} = \textcolor{#16A06A}{2} dm
  5. k=25c⇒c=52k=2,5\textcolor{#E0453A}{k} = \tfrac25 c \Rightarrow \textcolor{#16A06A}{c} = \tfrac52 \textcolor{#E0453A}{k} = \textcolor{#16A06A}{2{,}5} dm
  6. Krok 3 — objętość pudełka. V=3⋅2⋅2,5=15V = \textcolor{#16A06A}{3} \cdot \textcolor{#16A06A}{2} \cdot \textcolor{#16A06A}{2{,}5} = 15 dm³.
  7. Odpowiedź D.

💡 Wskazówka: Wyznaczanie krawędzi z ułamka to mnożenie przez odwrotność: skoro k=25ck = \tfrac25 c, to c=52kc = \tfrac52 k. Ta zamiana ratuje przy każdym takim zadaniu.

⚠ Najczęstszy błąd: pomnożenie krawędzi kostki przez ułamki zamiast podzielenia — wychodzą wtedy krawędzie mniejsze od kostki, która przecież mieści się w pudełku. Zawsze warto sprawdzić, czy wynik ma sens fizyczny.

Zadanie 6 (czerwiec 2023)1 pkttrudniejsze

Podstawą graniastosłupa prostego jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 3 cm i 4 cm. Wysokość tego graniastosłupa jest równa 1 cm. Uzupełnij zdania.
Graniastosłup prosty o podstawie trójkąta prostokątnego 3 cm × 4 cm4 cm3 cm1 cm
Pole powierzchni bocznej tego graniastosłupa jest AB pole jednej podstawy.
  • A. takie samo jak
  • B. dwa razy większe niż
Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe CD
  • C. 24 cm²
  • D. 30 cm²
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B, C

  1. Krok 1 — trzeci bok podstawy. Z twierdzenia Pitagorasa: 32+42=25=5\sqrt{\textcolor{#16A06A}{3}^2 + \textcolor{#16A06A}{4}^2} = \sqrt{25} = \textcolor{#E0453A}{5} cm.
  2. Krok 2 — obwód podstawy. 3+4+5=12\textcolor{#16A06A}{3} + \textcolor{#16A06A}{4} + \textcolor{#E0453A}{5} = \textcolor{#E0453A}{12} cm.
  3. Krok 3 — pole boczne. W graniastosłupie prostym to obwód podstawy razy wysokość: Pb=12⋅1=12P_b = \textcolor{#E0453A}{12} \cdot \textcolor{#16A06A}{1} = 12 cm².
  4. Krok 4 — pole podstawy. Trójkąt prostokątny: Pp=12⋅3⋅4=6P_p = \tfrac12 \cdot \textcolor{#16A06A}{3} \cdot \textcolor{#16A06A}{4} = 6 cm².
  5. Porównanie: 12=2⋅612 = 2 \cdot 6, więc pole boczne jest dwa razy większe — odpowiedź B.
  6. Krok 5 — pole całkowite. Pc=Pb+2Pp=12+2⋅6=24P_c = P_b + 2P_p = 12 + 2 \cdot 6 = 24 cm² — odpowiedź C.

💡 Wskazówka: Wzór Pb=obwoˊd podstawy⋅wysokosˊcˊP_b = \text{obwód podstawy} \cdot \text{wysokość} działa dla każdego graniastosłupa prostego — nie trzeba liczyć każdej ściany bocznej z osobna.

⚠ Najczęstszy błąd: policzenie pola bocznego tylko z przyprostokątnych (3+4=73 + 4 = 7 zamiast 12) — czyli zapomnienie o trzeciej ścianie, opartej na przeciwprostokątnej.

Zadanie 7 (maj 2021)1 pktłatwe

Skrzynia ma kształt prostopadłościanu. Podłoga skrzyni ma wymiary 1,5 m i 1,2 m, a wysokość skrzyni jest równa 1 m. Piasek wsypany do skrzyni zajmuje 34\frac{3}{4} jej pojemności. Ile metrów sześciennych piasku wsypano do skrzyni?
Skrzynia wypełniona piaskiem do 3/4 wysokości1,5 m1,2 m1 m
  • A. 1,8 m³
  • B. 0,45 m³
  • C. 1,35 m³
  • D. 2,4 m³
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

  1. Krok 1 — pojemność całej skrzyni. V=1,5⋅1,2⋅1=1,8V = \textcolor{#16A06A}{1{,}5} \cdot \textcolor{#16A06A}{1{,}2} \cdot \textcolor{#16A06A}{1} = \textcolor{#E0453A}{1{,}8} m³.
  2. Krok 2 — ile zajmuje piasek. 34\tfrac34 z 1,8\textcolor{#E0453A}{1{,}8}:
  3. 34⋅1,8=3⋅1,84=5,44=1,35\tfrac34 \cdot \textcolor{#E0453A}{1{,}8} = \tfrac{3 \cdot 1{,}8}{4} = \tfrac{5{,}4}{4} = 1{,}35 m³.
  4. Odpowiedź C.

💡 Wskazówka: Można też podzielić na ćwiartki: 1,8:4=0,45\textcolor{#E0453A}{1{,}8} : 4 = 0{,}45, a potem 3⋅0,45=1,353 \cdot 0{,}45 = 1{,}35. Rachunek jest wtedy w pamięci.

⚠ Najczęstszy błąd: zatrzymanie się na objętości całej skrzyni (1,8 m³ — odpowiedź A) albo podanie samej jednej czwartej (0,45 m³ — odpowiedź B). Obie są w zestawie właśnie po to, żeby złapać na niedokończonym rachunku.

Zadanie 8 (marzec 2021)1 pkttrudniejsze

Dwa sześciany — jeden o krawędzi 2 i drugi o krawędzi 3 — pocięto na sześciany o krawędzi 1. Z otrzymanych sześcianów zbudowano prostopadłościan. Żadna ściana tego prostopadłościanu nie jest kwadratem. Dokończ zdanie.
Pole powierzchni zbudowanego prostopadłościanu jest równe
Sześcian o krawędzi 2 i sześcian o krawędzi 3, pocięte na sześciany o krawędzi 123
  • A. 35
  • B. 47
  • C. 94
  • D. 142
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

  1. Krok 1 — ile mamy kostek. 23+33=8+27=35\textcolor{#16A06A}{2}^3 + \textcolor{#16A06A}{3}^3 = 8 + 27 = \textcolor{#E0453A}{35} kostek jednostkowych.
  2. Krok 2 — jakie wymiary są możliwe. Szukamy trójki liczb naturalnych o iloczynie 35\textcolor{#E0453A}{35}. Ponieważ 35=5⋅735 = 5 \cdot 7 (obie liczby pierwsze), są tylko dwie możliwości: 1×1×351 \times 1 \times 35 oraz 1×5×71 \times 5 \times 7.
  3. Krok 3 — który wariant odpada. Prostopadłościan 1×1×351 \times 1 \times 35 ma dwie ściany 1×11 \times 1, czyli kwadraty — a treść tego zabrania. Zostaje 1×5×7\textcolor{#16A06A}{1} \times \textcolor{#16A06A}{5} \times \textcolor{#16A06A}{7}.
  4. Krok 4 — pole powierzchni. P=2(1⋅5+1⋅7+5⋅7)=2(5+7+35)=2⋅47=94P = 2(\textcolor{#16A06A}{1} \cdot \textcolor{#16A06A}{5} + \textcolor{#16A06A}{1} \cdot \textcolor{#16A06A}{7} + \textcolor{#16A06A}{5} \cdot \textcolor{#16A06A}{7}) = 2(5 + 7 + 35) = 2 \cdot 47 = 94.
  5. Odpowiedź C.

💡 Wskazówka: Warunek „żadna ściana nie jest kwadratem” znaczy po prostu, że wszystkie trzy wymiary są różne. To on wskazuje jedyny właściwy rozkład na czynniki.

⚠ Najczęstszy błąd: podanie 47 (odpowiedź B) — czyli zapomnienie o mnożeniu przez 2. Prostopadłościan ma trzy pary jednakowych ścian.

Zadanie 9 (czerwiec 2019)1 pktśrednie

Z fragmentu siatki prostopadłościanu odczytano trzy jego wymiary: 5, 4 oraz 3. Dokończ zdanie.
Suma długości wszystkich krawędzi prostopadłościanu jest równa
Fragment siatki prostopadłościanu543
  • A. 12
  • B. 39
  • C. 48
  • D. 74
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

  1. Prostopadłościan ma 12 krawędzi: po cztery równoległe do każdego z trzech wymiarów.
  2. Suma: 4⋅5+4⋅4+4⋅3=4⋅(5+4+3)=4⋅12=484 \cdot \textcolor{#16A06A}{5} + 4 \cdot \textcolor{#16A06A}{4} + 4 \cdot \textcolor{#16A06A}{3} = 4 \cdot (\textcolor{#16A06A}{5} + \textcolor{#16A06A}{4} + \textcolor{#16A06A}{3}) = 4 \cdot \textcolor{#E0453A}{12} = 48.
  3. Odpowiedź C.

💡 Wskazówka: Wzór wart zapamiętania: suma krawędzi =4(a+b+c)= 4(a + b + c). Wystarczy dodać trzy wymiary i pomnożyć przez cztery.

⚠ Najczęstszy błąd: podanie samej sumy wymiarów (12 — odpowiedź A) albo pomnożenie przez 3 zamiast przez 4. Krawędzi każdego kierunku jest cztery, nie trzy.

Zadanie 10 (czerwiec 2019)1 pkttrudniejsze

Z sześciu jednakowych sześciennych klocków o krawędzi 1 cm zbudowano bryłę I — prostokątny blok o wymiarach 3 × 2 × 1 klocki. Następnie z górnej warstwy tej bryły usunięto dwa klocki i otrzymano schodkową bryłę II, w której każdy z czterech pozostałych klocków przylega ścianą do następnego. Dokończ zdanie.
Pole powierzchni bryły II jest mniejsze od pola powierzchni bryły I o
Bryła I z sześciu klocków i bryła II po usunięciu dwóchbryła Ibryła II
  • A. 2 cm²
  • B. 4 cm²
  • C. 7 cm²
  • D. 10 cm²
  • E. 12 cm²
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

  1. Najprościej liczyć ścianki jednostkowe: każdy klocek ma 6 ścianek, a każde sklejenie chowa dwie z nich.
  2. Bryła I. 6\textcolor{#16A06A}{6} klocków, czyli 6⋅6=366 \cdot \textcolor{#16A06A}{6} = 36 ścianek. Sklejeń jest 7\textcolor{#16A06A}{7} (cztery w poziomie i trzy w pionie).
  3. PI=36−2⋅7=22P_I = 36 - 2 \cdot \textcolor{#16A06A}{7} = \textcolor{#E0453A}{22} cm².
  4. Bryła II. 4\textcolor{#16A06A}{4} klocki, czyli 6⋅4=246 \cdot \textcolor{#16A06A}{4} = 24 ścianki. Klocki tworzą łańcuszek, więc sklejeń jest 3\textcolor{#16A06A}{3}.
  5. PII=24−2⋅3=18P_{II} = 24 - 2 \cdot \textcolor{#16A06A}{3} = \textcolor{#E0453A}{18} cm².
  6. Różnica: 22−18=4\textcolor{#E0453A}{22} - \textcolor{#E0453A}{18} = 4 cm².
  7. Odpowiedź B.

💡 Wskazówka: Reguła, która załatwia wszystkie takie zadania: P=6⋅(liczba klockoˊw)−2⋅(liczba sklejenˊ)P = 6 \cdot (\text{liczba klocków}) - 2 \cdot (\text{liczba sklejeń}). Wystarczy policzyć miejsca, w których klocki się stykają.

⚠ Najczęstszy błąd: założenie, że usunięcie klocka zawsze zmniejsza pole. Klocek zabiera swoje ścianki, ale odsłania ścianki sąsiadów — czasem pole zostaje bez zmian, a nawet rośnie.

Zadanie 11 (kwiecień 2019)1 pktśrednie

W koszu były 203 jednakowe sześcienne klocki. Zbudowano z nich możliwie największy sześcian, a pozostałe odłożono. Ile klocków odłożono?
Sześcian o krawędzi pięciu klocków
  • A. 150
  • B. 125
  • C. 78
  • D. 53
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

  1. Sześcian o boku nn klocków zużywa n3n^3 klocków. Szukamy największego nn, dla którego n3≤203n^3 \le \textcolor{#16A06A}{203}.
  2. 53=125\textcolor{#16A06A}{5}^3 = \textcolor{#E0453A}{125}  — mieści się ✓
  3. 63=216\textcolor{#16A06A}{6}^3 = 216  — za dużo, bo 216>203216 > \textcolor{#16A06A}{203} ✗
  4. Zbudowano więc sześcian 5×5×5\textcolor{#16A06A}{5} \times \textcolor{#16A06A}{5} \times \textcolor{#16A06A}{5} z 125\textcolor{#E0453A}{125} klocków.
  5. Odłożono: 203−125=78\textcolor{#16A06A}{203} - \textcolor{#E0453A}{125} = 78 klocków.
  6. Odpowiedź C.

💡 Wskazówka: Warto znać na pamięć sześciany: 23=82^3=8, 33=273^3=27, 43=644^3=64, 53=1255^3=125, 63=2166^3=216, 73=3437^3=343, 103=100010^3=1000. Wtedy takie zadanie zajmuje kilkanaście sekund.

⚠ Najczęstszy błąd: podanie liczby zużytych klocków (125 — odpowiedź B) zamiast odłożonych. Pytanie brzmi „ile odłożono”.

Zadanie 12 (grudzień 2018)1 pktśrednie

Firma przesyłkowa Wielpak korzysta z paczkomatów. Maksymalne wymiary prostopadłościennej paczki, którą można nadać za pośrednictwem tej firmy, wynoszą 38 cm × 41 cm × 64 cm, a masa przesyłki nie może być większa niż 25 kg. W tabeli zapisano wymiary i masę czterech paczek.

Nr paczkiWymiaryMasa
137 cm × 41 cm × 66 cm23 kg
238 cm × 38 cm × 59 cm25 kg
335 cm × 40 cm × 64 cm26 kg
426 cm × 39 cm × 63 cm22 kg

Które z tych paczek mogą być nadane przez paczkomat tej firmy?
  • A. Tylko 1, 2 i 4.
  • B. Tylko 2 i 3.
  • C. Tylko 3 i 4.
  • D. Tylko 2 i 4.
  • E. Tylko 4.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

  1. Sposób na takie zadania: ustaw wymiary każdej paczki rosnąco i porównaj z tak samo ustawionym limitem. Paczkę można przecież obrócić.
  2. Limit uporządkowany: 38≤41≤64\textcolor{#16A06A}{38} \le \textcolor{#16A06A}{41} \le \textcolor{#16A06A}{64} cm, masa do 25\textcolor{#16A06A}{25} kg.
  3. Paczka 1: 37≤41≤6637 \le 41 \le \textcolor{#E0453A}{66} — ostatni wymiar przekracza 64\textcolor{#16A06A}{64} ✗
  4. Paczka 2: 38≤38≤5938 \le 38 \le 59 — wszystkie mieszczą się ✓, masa 25≤25\textcolor{#E0453A}{25} \le \textcolor{#16A06A}{25} ✓ → można nadać
  5. Paczka 3: 35≤40≤6435 \le 40 \le 64 — wymiary OK, ale masa 26>25\textcolor{#E0453A}{26} > \textcolor{#16A06A}{25} kg ✗
  6. Paczka 4: 26≤39≤6326 \le 39 \le 63 ✓, masa 22 kg ✓ → można nadać
  7. Odpowiedź D — tylko 2 i 4.

💡 Wskazówka: Wymiary porównuje się po uporządkowaniu, a nie „w kolejności zapisu”. Paczkę wolno obrócić, więc liczy się tylko to, czy najmniejszy pasuje do najmniejszego, średni do średniego, a największy do największego.

⚠ Dwa typowe potknięcia: (1) porównywanie wymiarów w podanej kolejności i odrzucenie dobrej paczki, (2) uznanie, że paczka 2 o masie dokładnie 25 kg jest za ciężka. Warunek brzmi „nie większa niż 25 kg”, więc równo 25 kg jest w porządku.

Zadanie 13 (grudzień 2018)1 pkttrudniejsze

Cztery jednakowe drewniane elementy, każdy w kształcie prostopadłościanu o wymiarach 2 cm × 2 cm × 9 cm, przyklejono do metalowej płytki tak, że utworzyły zamkniętą ramkę ułożoną „wiatraczkowo” — każdy element dosuwa się bokiem do końca następnego. W ten sposób przygotowano formę, którą wypełniono masą gipsową, i tak otrzymano gipsowy odlew w kształcie prostopadłościanu. Uzupełnij zdania.
Forma z czterech listew ułożonych wiatraczkowo — widok z góry9 cmotwór
Objętość drewna, z którego zbudowano formę, jest równa AB
  • A. 144 cm³
  • B. 36 cm³
Objętość gipsowego odlewu jest równa CD
  • C. 162 cm³
  • D. 98 cm³
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A, D

  1. Objętość drewna. Jeden element: 2⋅2⋅9=36\textcolor{#16A06A}{2} \cdot \textcolor{#16A06A}{2} \cdot \textcolor{#16A06A}{9} = 36 cm³. Elementy są cztery:
  2. 4⋅36=1444 \cdot 36 = 144 cm³ — odpowiedź A.
  3. Objętość odlewu. Gips wypełnia otwór w środku ramki, więc trzeba wyznaczyć jego wymiary.
  4. W układzie „wiatraczkowym” każdy element zasłania od jednej strony pas szerokości 2\textcolor{#16A06A}{2} cm z długości 9\textcolor{#16A06A}{9} cm sąsiada. Bok otworu wynosi więc
  5. 9−2=7\textcolor{#16A06A}{9} - \textcolor{#16A06A}{2} = \textcolor{#E0453A}{7} cm — i tak samo w drugim kierunku.
  6. Wysokość otworu to wysokość listew: 2\textcolor{#16A06A}{2} cm.
  7. V=7⋅7⋅2=98V = \textcolor{#E0453A}{7} \cdot \textcolor{#E0453A}{7} \cdot \textcolor{#16A06A}{2} = 98 cm³ — odpowiedź D.

💡 Wskazówka: Odlew ma kształt dziury, a nie formy. Zawsze najpierw ustal, jakie wymiary ma pusta przestrzeń — reszta to zwykłe mnożenie.

⚠ Najczęstszy błąd: przyjęcie, że otwór ma bok 9 cm (odpowiedź 9⋅9⋅2=1629 \cdot 9 \cdot 2 = 162, czyli C). W układzie wiatraczkowym koniec każdej listwy „wchodzi” w bok następnej i skraca otwór o 2 cm.

Zadanie 14 (grudzień 2017)1 pkttrudniejsze

Z każdej z dwóch jednakowych kostek sześciennych wycięto sześcian przy narożniku: z pierwszej kostki mniejszy, z drugiej większy. Otrzymano bryłę I i bryłę II. Czy całkowite pole powierzchni bryły I jest większe od całkowitego pola powierzchni bryły II?
Dwie jednakowe kostki z wyciętym narożnikiem — mniejszym i większymbryła Ibryła II
ATak,ponieważ1.z pierwszej kostki usunięto mniejszy sześcian niż z drugiej kostki.
2.całkowite pole powierzchni każdej z otrzymanych brył jest równe całkowitemu polu powierzchni początkowej kostki.
BNie,
3.pole powierzchni „wnęki” w II bryle jest większe niż pole powierzchni „wnęki” w I bryle.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B, 2

  1. Przyjrzyjmy się, co dokładnie dzieje się z powierzchnią przy wycinaniu narożnika.
  2. Wycięty sześcianik ma bok x\textcolor{#16A06A}{x} i styka się z narożnikiem trzema ścianami. Usuwając go:
  3. tracimy trzy kwadraty x×x\textcolor{#16A06A}{x} \times \textcolor{#16A06A}{x} z zewnętrznych ścian kostki — razem 3x2\textcolor{#E0453A}{3x^2},
  4. zyskujemy trzy nowe kwadraty x×x\textcolor{#16A06A}{x} \times \textcolor{#16A06A}{x} na ściankach powstałej wnęki — też 3x2\textcolor{#E0453A}{3x^2}.
  5. Zysk i strata są identyczne, więc pole powierzchni w ogóle się nie zmienia — i to niezależnie od tego, jak duży sześcianik wycięliśmy.
  6. Obie bryły mają zatem takie samo pole, równe polu wyjściowej kostki. Odpowiedź: B, 2.

💡 Wskazówka: Rozróżniaj objętość od pola powierzchni. Objętość przy wycinaniu zawsze maleje, ale pole potrafi zostać bez zmian (narożnik), zmaleć albo wzrosnąć.

⚠ Najczęstszy błąd: automatyczne „wycięliśmy więcej, więc pole mniejsze” (odpowiedź A, 1). Zmiana pola zależy od kształtu wycięcia, a nie od jego objętości.

Zadanie 15 (grudzień 2017)1 pkttrudniejsze

Jedną ścianę drewnianego sześcianu pomalowano na czerwono, a pozostałe — na biało. Ten sześcian rozcięto na 27 jednakowych sześcianów. Oceń prawdziwość podanych zdań.
Sześcian rozcięty na 27 jednakowych sześcianów
Tylko cztery małe sześciany mają dokładnie jedną ścianę pomalowaną na biało.PF
Tylko cztery małe sześciany mają trzy ściany pomalowane na biało.PF
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: F, P

  1. Rozcięcie na 27 daje układ 3×3×33 \times 3 \times 3. Małe sześciany dzielą się na cztery rodzaje: 8\textcolor{#16A06A}{8} narożnych (3 ściany na zewnątrz), 12\textcolor{#16A06A}{12} krawędziowych (2 ściany), 6\textcolor{#16A06A}{6} środkowych na ścianach (1 ściana) i 1\textcolor{#16A06A}{1} całkiem wewnętrzny (0 ścian).
  2. Czerwona jest jedna ściana dużego sześcianu, czyli dziewięć małych kwadratów.
  3. Zdanie 1 — dokładnie jedna ściana biała. Trzeba policzyć dwie grupy:
  4. — środkowe sześciany pięciu białych ścian: 5\textcolor{#E0453A}{5} sztuk (ten na ścianie czerwonej ma jedną ścianę, ale czerwoną),
  5. — sześciany na środkach czterech krawędzi ściany czerwonej: mają po dwie ściany na zewnątrz — jedną czerwoną i jedną białą, czyli dokładnie jedną białą: 4\textcolor{#E0453A}{4} sztuki.
  6. Razem 5+4=9\textcolor{#E0453A}{5} + \textcolor{#E0453A}{4} = 9, a nie cztery — fałsz.
  7. Zdanie 2 — trzy ściany białe. Trzy zewnętrzne ściany mają tylko narożniki. Cztery narożniki leżą na ścianie czerwonej (mają po jednej ścianie czerwonej), a pozostałe 4\textcolor{#E0453A}{4} — na przeciwległym końcu bryły — mają wszystkie trzy ściany białe ✓ — prawda.
  8. Odpowiedzi: F, P.

💡 Wskazówka: W sześcianie 3×3×33 \times 3 \times 3 zawsze jest 8 narożnych, 12 krawędziowych, 6 środkowych na ścianach i 1 ukryty w środku: 8+12+6+1=278+12+6+1 = 27 ✓ Ta czwórka liczb wraca w każdym takim zadaniu.

⚠ Najczęstszy błąd w zdaniu 1: policzenie tylko sześcianów mających w ogóle jedną ścianę na zewnątrz. Sześcian ze ściany czerwonej i ściany białej też ma „dokładnie jedną białą” — trzeba go doliczyć.

Zadanie 16 (kwiecień 2015, egzamin gimnazjalny)1 pkttrudniejsze

Szklane naczynie w kształcie prostopadłościanu o wymiarach 6 cm, 15 cm i 18 cm napełniono częściowo wodą i szczelnie zamknięto. Naczynie postawiono na jego ścianie o największej powierzchni i wtedy woda sięgała do wysokości 4 cm. Dokończ zdanie.
Kiedy naczynie postawiono na ścianie o najmniejszej powierzchni, to woda sięgała do wysokości
Naczynie postawione na największej ścianie, woda do wysokości 4 cm18 cm15 cm6 cm
  • A. 8 cm
  • B. 10 cm
  • C. 12 cm
  • D. 16 cm
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

  1. Naczynie jest zamknięte, więc objętość wody się nie zmienia — zmienia się tylko to, po jakim dnie się rozlewa.
  2. Krok 1 — która ściana jest największa, a która najmniejsza. Możliwe ściany: 6×15=906 \times 15 = 90, 6×18=1086 \times 18 = 108, 15×18=27015 \times 18 = \textcolor{#16A06A}{270}.
  3. Największa: 270\textcolor{#16A06A}{270} cm². Najmniejsza: 90\textcolor{#16A06A}{90} cm².
  4. Krok 2 — objętość wody. V=270⋅4=1080V = \textcolor{#16A06A}{270} \cdot \textcolor{#16A06A}{4} = \textcolor{#E0453A}{1080} cm³.
  5. Krok 3 — nowa wysokość. Ta sama woda na dnie o polu 90\textcolor{#16A06A}{90} cm²:
  6. h=108090=12h = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{1080}}{\textcolor{#16A06A}{90}} = 12 cm.
  7. Odpowiedź C.

💡 Wskazówka: Dno zmalało trzykrotnie (270→90270 \to 90), więc słup wody musi urosnąć trzykrotnie: 4⋅3=124 \cdot 3 = 12 cm. Można całkiem pominąć liczenie objętości.

⚠ Najczęstszy błąd: sprawdzenie, czy wynik mieści się w naczyniu. Przy najmniejszym dnie 6×156 \times 15 wysokość naczynia to 18 cm, a woda sięga 12 cm ✓ Gdyby wyszło więcej niż 18, to znak, że gdzieś jest pomyłka.

Zadanie 17 (kwiecień 2014, egzamin gimnazjalny)1 pkttrudniejsze

Szymon wykonał szkielet prostopadłościanu: układał i sklejał ze sobą kolejno drewniane klocki sześcienne o krawędzi 4 cm wzdłuż każdej krawędzi prostopadłościennego pudełka o wymiarach 36 cm, 28 cm, 20 cm. Ile klocków łącznie zużył Szymon na wykonanie całego szkieletu?
Szkielet prostopadłościanu 36 × 28 × 20 cm36 cm28 cm20 cm
  • A. 84
  • B. 76
  • C. 68
  • D. 60
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

  1. Krok 1 — ile klocków mieści się wzdłuż każdej krawędzi. Dzielimy wymiary przez krawędź klocka:
  2. 36:4=936 : 4 = \textcolor{#16A06A}{9},   28:4=728 : 4 = \textcolor{#16A06A}{7},   20:4=520 : 4 = \textcolor{#16A06A}{5}.
  3. Krok 2 — naiwne zliczenie. Krawędzi każdego kierunku są cztery:
  4. 4⋅9+4⋅7+4⋅5=36+28+20=844 \cdot \textcolor{#16A06A}{9} + 4 \cdot \textcolor{#16A06A}{7} + 4 \cdot \textcolor{#16A06A}{5} = 36 + 28 + 20 = \textcolor{#E0453A}{84}.
  5. Krok 3 — poprawka na narożniki. Klocek w narożniku należy jednocześnie do trzech krawędzi, więc policzyliśmy go trzy razy zamiast raz — o dwa razy za dużo.
  6. Narożników jest 8\textcolor{#16A06A}{8}, więc nadmiar wynosi 8⋅2=16\textcolor{#16A06A}{8} \cdot 2 = \textcolor{#E0453A}{16}.
  7. Wynik: 84−16=68\textcolor{#E0453A}{84} - \textcolor{#E0453A}{16} = 68 klocków.
  8. Odpowiedź C.

💡 Wskazówka: Można też liczyć bez poprawki: osiem klocków narożnych osobno, a na każdej krawędzi tylko klocki między narożnikami: 8+4⋅7+4⋅5+4⋅3=8+28+20+12=688 + 4 \cdot 7 + 4 \cdot 5 + 4 \cdot 3 = 8 + 28 + 20 + 12 = 68 ✓

⚠ Najczęstszy błąd: podanie 84 (odpowiedź A) — czyli zapomnienie, że klocki narożne są wspólne dla trzech krawędzi. To właśnie na tym zadanie łapie.

Zadanie 18 (kwiecień 2013, egzamin gimnazjalny)1 pktśrednie

W prostopadłościennym akwarium o wymiarach 80 cm, 50 cm i 60 cm (wysokość) woda sięga 23\frac{2}{3} jego wysokości. Ile litrów wody jest w akwarium?
Akwarium 80 × 50 × 60 cm z wodą do dwóch trzecich wysokości80 cm50 cm60 cm
  • A. 16 00016\,000 litrów
  • B. 1600 litrów
  • C. 160 litrów
  • D. 16 litrów
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

  1. Krok 1 — wysokość słupa wody. 23⋅60=40\tfrac23 \cdot \textcolor{#16A06A}{60} = \textcolor{#E0453A}{40} cm.
  2. Krok 2 — objętość wody. V=80⋅50⋅40=160 000V = \textcolor{#16A06A}{80} \cdot \textcolor{#16A06A}{50} \cdot \textcolor{#E0453A}{40} = \textcolor{#E0453A}{160\,000} cm³.
  3. Krok 3 — zamiana na litry. Kluczowa zależność: 1 litr =1= 1 dm³ =1000= \textcolor{#16A06A}{1000} cm³.
  4. 160 000:1000=160\textcolor{#E0453A}{160\,000} : \textcolor{#16A06A}{1000} = 160 litrów.
  5. Odpowiedź C.

💡 Wskazówka: Szybciej jest od razu zamienić wymiary na decymetry: 8⋅5⋅4=1608 \cdot 5 \cdot 4 = 160 dm³ =160= 160 litrów. Wtedy w ogóle nie ma dużych liczb.

⚠ Najczęstszy błąd: dzielenie przez 100 zamiast przez 1000 (odpowiedź B). Zamiana cm³ na dm³ to podział przez 10310^3, bo przelicznik działa w trzech wymiarach naraz.

Zadanie 19 (listopad 2012, egzamin gimnazjalny)1 pkttrudniejsze

Sześcian o objętości 1 m³ rozcięto na sześciany o krawędzi 1 cm. Wszystkie otrzymane sześciany ustawiono jeden za drugim w jeden długi rząd — powstał prostopadłościan. Oceń prawdziwość podanych zdań.
Rząd sześcianów o krawędzi 1 cm z pominiętą częścią środkową1 cm
Jedna z krawędzi powstałego prostopadłościanu miałaby długość 10 km.PF
Objętość prostopadłościanu byłaby 100 razy większa od objętości początkowego sześcianu.PF
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P, F

  1. Krok 1 — ile jest małych sześcianów. Krawędź dużego sześcianu to 1 m =100= \textcolor{#16A06A}{100} cm, więc mieści się w nim
  2. 1003=1 000 000\textcolor{#16A06A}{100}^3 = \textcolor{#E0453A}{1\,000\,000} sześcianików.
  3. Zdanie 1. Ustawione w rząd po 1 cm dają długość 1 000 000\textcolor{#E0453A}{1\,000\,000} cm.
  4. Zamieniamy: 1 000 000\textcolor{#E0453A}{1\,000\,000} cm =10 000= 10\,000 m =10= 10 km ✓ — prawda.
  5. Zdanie 2. Przestawianie klocków niczego nie dokłada ani nie zabiera — objętość zostaje taka sama, czyli 1 m³.
  6. (Sprawdzenie: 1 000 000\textcolor{#E0453A}{1\,000\,000} cm ⋅ 1\cdot\ 1 cm ⋅ 1\cdot\ 1 cm =1 000 000= 1\,000\,000 cm³ =1= 1 m³ ✓)
  7. Zdanie mówi o stukrotnym wzroście — fałsz.
  8. Odpowiedzi: P, F.

💡 Wskazówka: Zapamiętaj: 1 m³ =1 000 000= 1\,000\,000 cm³. Ta liczba wygląda nieprawdopodobnie, ale bierze się wprost z 1003100^3 — i właśnie na jej niedocenianiu opierają się takie zadania.

⚠ Najczęstszy błąd: przyjęcie 1 m³ =100= 100 cm³ lub 10 00010\,000 cm³. Przy zamianie jednostek objętości przelicznik długości podnosi się do trzeciej potęgi.

Zadanie 20 (kwiecień 2012, egzamin gimnazjalny)1 pkttrudniejsze

Basen ma kształt prostopadłościanu, którego podstawa (dno basenu) ma wymiary 15 m × 10 m. Do basenu wlano 240 m³ wody, która wypełniła go do 45\frac{4}{5} głębokości. Jaka jest głębokość tego basenu?
Basen o dnie 15 m × 10 m z wodą do 4/5 głębokości15 m10 m
  • A. 1,28 m
  • B. 1,5 m
  • C. 2 m
  • D. 3 m
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

  1. Krok 1 — pole dna. 15⋅10=150\textcolor{#16A06A}{15} \cdot \textcolor{#16A06A}{10} = \textcolor{#16A06A}{150} m².
  2. Krok 2 — wysokość słupa wody. Objętość dzielimy przez pole dna:
  3. h=240150=1,6h = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{240}}{\textcolor{#16A06A}{150}} = \textcolor{#E0453A}{1{,}6} m.
  4. Krok 3 — głębokość basenu. Ta wysokość to dopiero 45\tfrac45 głębokości, więc głębokość HH spełnia 45H=1,6\tfrac45 H = \textcolor{#E0453A}{1{,}6}.
  5. H=1,6⋅54=2H = \textcolor{#E0453A}{1{,}6} \cdot \tfrac54 = 2 m.
  6. Odpowiedź C.

💡 Wskazówka: Prościej przez „jedną piątą”: skoro 45\tfrac45 to 1,6 m, to 15\tfrac15 to 1,6:4=0,41{,}6 : 4 = 0{,}4 m, a całość 5⋅0,4=25 \cdot 0{,}4 = 2 m.

⚠ Najczęstszy błąd: zatrzymanie się na 1,6 m albo pomnożenie przez 45\tfrac45 zamiast przez 54\tfrac54 (wychodzi wtedy 1,28 m — odpowiedź A). Skoro woda nie sięga po brzegi, głębokość musi być większa niż poziom wody.

Zadanie 21 (grudzień 2011, egzamin gimnazjalny)1 pkttrudniejsze

Z 36 sześcianów o krawędziach długości 1 zbudowano graniastosłup prawidłowy czworokątny. Które wymiary, z podanych w tabeli, może mieć ten graniastosłup?

I1×3×121 \times 3 \times 12
II1×6×61 \times 6 \times 6
III2×2×92 \times 2 \times 9
IV2×3×62 \times 3 \times 6
V3×3×43 \times 3 \times 4
  • A. I, II, III
  • B. III, IV i V
  • C. I, II, i IV
  • D. II, III, i V
  • E. Wszystkie podane.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

  1. „Graniastosłup prawidłowy czworokątny” to prostopadłościan, którego podstawa jest kwadratem — czyli wśród trzech wymiarów muszą być dwa równe.
  2. Objętość wszystkich wariantów jest równa 36\textcolor{#16A06A}{36}, więc decyduje wyłącznie warunek kwadratowej podstawy.
  3. I. 1×3×121 \times 3 \times 12 — trzy różne liczby ✗
  4. II. 1×6×61 \times \textcolor{#E0453A}{6} \times \textcolor{#E0453A}{6} — podstawa 6×66 \times 6, wysokość 1 ✓
  5. III. 2×2×9\textcolor{#E0453A}{2} \times \textcolor{#E0453A}{2} \times 9 — podstawa 2×22 \times 2, wysokość 9 ✓
  6. IV. 2×3×62 \times 3 \times 6 — trzy różne liczby ✗
  7. V. 3×3×4\textcolor{#E0453A}{3} \times \textcolor{#E0453A}{3} \times 4 — podstawa 3×33 \times 3, wysokość 4 ✓
  8. Pasują II, III i V — odpowiedź D.

💡 Wskazówka: „Prawidłowy” zawsze znaczy: podstawa jest wielokątem foremnym. Czworokątny prawidłowy → kwadrat, trójkątny prawidłowy → trójkąt równoboczny, sześciokątny prawidłowy → sześciokąt foremny.

⚠ Najczęstszy błąd: sprawdzanie tylko objętości i zaznaczenie odpowiedzi E. Wszystkie warianty dają 36 — o wyniku decyduje wyłącznie kształt podstawy.

Zadania otwarte

Zadanie 22 (maj 2023)3 pkttrudniejsze

Z pięciu prostopadłościennych klocków o jednakowych wymiarach ułożono figurę. Klocki leżą płasko, więc wysokość figury równa się wysokości jednego klocka i wynosi 5 cm. Cztery klocki tworzą zamkniętą ramkę ułożoną „wiatraczkowo” — każdy dosuwa się bokiem do końca następnego — a piąty klocek dołożono z zewnątrz, wzdłuż jednego boku ramki. Zewnętrzne wymiary całej figury to 23 cm i 20,5 cm. Oblicz objętość jednego klocka. Zapisz obliczenia.
Pięć klocków ułożonych w ramkę — widok z góry23 cm20,5 cm
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 225 cm³

  1. Oznaczmy wymiary jednego klocka: długość d\textcolor{#16A06A}{d}, szerokość s\textcolor{#16A06A}{s} i wysokość 5 cm.
  2. Równanie 1 — krótszy wymiar figury. W tym kierunku mierzymy samą ramkę: długość jednego klocka plus szerokość klocka do niego dosuniętego:
  3. d+s=20,5\textcolor{#16A06A}{d} + \textcolor{#16A06A}{s} = 20{,}5
  4. Równanie 2 — dłuższy wymiar figury. Tu dochodzi jeszcze piąty klocek, przyklejony bokiem:
  5. d+2s=23\textcolor{#16A06A}{d} + 2\textcolor{#16A06A}{s} = 23
  6. Rozwiązanie układu. Odejmujemy pierwsze równanie od drugiego:
  7. s=23−20,5=2,5\textcolor{#16A06A}{s} = 23 - 20{,}5 = \textcolor{#E0453A}{2{,}5} cm, a stąd d=20,5−2,5=18\textcolor{#16A06A}{d} = 20{,}5 - \textcolor{#E0453A}{2{,}5} = \textcolor{#E0453A}{18} cm.
  8. Objętość klocka: V=18⋅2,5⋅5=225V = \textcolor{#E0453A}{18} \cdot \textcolor{#E0453A}{2{,}5} \cdot 5 = 225 cm³.
  9. Odpowiedź: objętość jednego klocka wynosi 225 cm³.

💡 Wskazówka: Gdy dwa wymiary figury różnią się o szerokość jednego klocka, odjęcie równań stronami od razu daje tę szerokość: 23−20,5=2,523 - 20{,}5 = 2{,}5 cm. Cała reszta to już podstawianie.

⚠ Najczęstszy błąd: przyjęcie, że 23 cm to długość klocka. W układzie wiatraczkowym żaden bok figury nie równa się długości pojedynczego klocka — zawsze dochodzi szerokość sąsiada.

Zadanie 23 (czerwiec 2020)3 pkttrudniejsze

Dwa jednakowe prostopadłościany, każdy o wymiarach 5 cm, 7 cm i 9 cm, sklejono ze sobą. Pierwszy stoi tak, że jego wymiary to 7 cm (szerokość) × 5 cm (głębokość) × 9 cm (wysokość). Drugi przylega do niego całą ścianą o wymiarach 5 cm × 7 cm i jest ustawiony tak, że jego wymiary to 9 cm (szerokość) × 5 cm (głębokość) × 7 cm (wysokość). Oblicz pole powierzchni całkowitej powstałej bryły. Zapisz obliczenia.
Dwa prostopadłościany sklejone ścianą 5 cm × 7 cm7 cm9 cm
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 502 cm²

  1. Metoda jest zawsze ta sama: suma pól obu brył minus dwa razy pole sklejenia.
  2. Krok 1 — pole jednego prostopadłościanu.
  3. P=2(5⋅7+5⋅9+7⋅9)=2(35+45+63)=2⋅143=286P = 2(\textcolor{#16A06A}{5} \cdot \textcolor{#16A06A}{7} + \textcolor{#16A06A}{5} \cdot \textcolor{#16A06A}{9} + \textcolor{#16A06A}{7} \cdot \textcolor{#16A06A}{9}) = 2(35 + 45 + 63) = 2 \cdot 143 = \textcolor{#E0453A}{286} cm².
  4. Krok 2 — obie bryły osobno. 2⋅286=5722 \cdot \textcolor{#E0453A}{286} = \textcolor{#E0453A}{572} cm².
  5. Krok 3 — co znika przy sklejeniu. Bryły stykają się ścianą 5×7=35\textcolor{#16A06A}{5} \times \textcolor{#16A06A}{7} = \textcolor{#E0453A}{35} cm². Przestają do powierzchni należeć dwie takie ściany — po jednej z każdej bryły:
  6. 2⋅35=702 \cdot \textcolor{#E0453A}{35} = \textcolor{#E0453A}{70} cm².
  7. Krok 4 — wynik. 572−70=502\textcolor{#E0453A}{572} - \textcolor{#E0453A}{70} = 502 cm².
  8. Odpowiedź: pole powierzchni całkowitej bryły wynosi 502 cm².

💡 Wskazówka: Przy każdym sklejeniu odejmuj podwójne pole styku — znikają dwie ściany, nie jedna. To najczęstsza pułapka w całej stereometrii.

⚠ Najczęstszy błąd: odjęcie tylko jednego pola styku (wychodzi 537) albo w ogóle nieodjęcie niczego (572). Warto sprawdzić: wynik musi być mniejszy od sumy pól obu brył.

Zadanie 24 (marzec 2020)3 pkttrudniejsze

Pudełko w kształcie prostopadłościanu o wymiarach 16 cm × 24 cm × 2,5 cm zawiera 32 czekoladki. Każda czekoladka ma kształt prostopadłościanu o wymiarach 2 cm, 2 cm i 1,5 cm. Ile procent objętości pudełka stanowi objętość wszystkich czekoladek? Zapisz obliczenia.
Pudełko 16 cm × 24 cm × 2,5 cm24 cm16 cm2,5 cm
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 20%

  1. Krok 1 — objętość pudełka. Vp=16⋅24⋅2,5=960V_p = \textcolor{#16A06A}{16} \cdot \textcolor{#16A06A}{24} \cdot \textcolor{#16A06A}{2{,}5} = \textcolor{#E0453A}{960} cm³.
  2. Krok 2 — objętość jednej czekoladki. 2⋅2⋅1,5=6\textcolor{#16A06A}{2} \cdot \textcolor{#16A06A}{2} \cdot \textcolor{#16A06A}{1{,}5} = 6 cm³.
  3. Krok 3 — objętość wszystkich czekoladek. 32⋅6=19232 \cdot 6 = \textcolor{#E0453A}{192} cm³.
  4. Krok 4 — jaki to procent. Dzielimy część przez całość:
  5. 192960=0,2=20%\dfrac{\textcolor{#E0453A}{192}}{\textcolor{#E0453A}{960}} = 0{,}2 = 20\%.
  6. Odpowiedź: czekoladki zajmują 20% objętości pudełka.

💡 Wskazówka: Skrót przy liczeniu 16⋅24⋅2,516 \cdot 24 \cdot 2{,}5: najpierw 24⋅2,5=6024 \cdot 2{,}5 = 60, potem 16⋅60=96016 \cdot 60 = 960. Mnożenie przez 2,5 to po prostu „razy 10 i podzielić przez 4”.

⚠ Najczęstszy błąd: podzielenie objętości pudełka przez objętość czekoladek (wychodzi 5, czyli 500%) zamiast odwrotnie. W procentach zawsze część dzielimy przez całość — wynik musi wyjść mniejszy od 1.

Zadanie 25 (grudzień 2017)2 pktśrednie

Dwie różne ściany prostopadłościanu to: kwadrat o boku 5 cm oraz prostokąt o bokach 3 cm i 5 cm. Oblicz sumę długości wszystkich krawędzi prostopadłościanu o takich wymiarach. Zapisz obliczenia.
Dwie ściany prostopadłościanu5 cm5 cm5 cm3 cm
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 52 cm

  1. Krok 1 — odtworzenie wymiarów. Prostopadłościan ma trzy wymiary; każda ściana pokazuje dwa z nich.
  2. Ściana kwadratowa daje dwa wymiary: 5\textcolor{#16A06A}{5} cm i 5\textcolor{#16A06A}{5} cm.
  3. Ściana prostokątna ma bok 5 cm wspólny z poprzednią, więc dokłada trzeci wymiar: 3\textcolor{#16A06A}{3} cm.
  4. Wymiary bryły: 5×5×3\textcolor{#16A06A}{5} \times \textcolor{#16A06A}{5} \times \textcolor{#16A06A}{3} cm.
  5. Krok 2 — suma krawędzi. Krawędzi jest 12 — po cztery każdego kierunku:
  6. 4⋅(5+5+3)=4⋅13=524 \cdot (\textcolor{#16A06A}{5} + \textcolor{#16A06A}{5} + \textcolor{#16A06A}{3}) = 4 \cdot \textcolor{#E0453A}{13} = 52 cm.
  7. Odpowiedź: suma długości wszystkich krawędzi wynosi 52 cm.

💡 Wskazówka: Dwie sąsiednie ściany zawsze mają wspólną krawędź — czyli jeden wspólny wymiar. To dzięki temu z dwóch ścian da się odczytać wszystkie trzy wymiary bryły.

⚠ Najczęstszy błąd: potraktowanie czterech liczb z rysunków (5, 5, 3, 5) jako czterech różnych wymiarów. Bok 5 cm powtarza się na obu ścianach, bo to ta sama krawędź bryły.

Zadanie 26 (grudzień 2011, egzamin gimnazjalny)4 pkttrudniejsze

Wojtek wykonał model sześcianu — sam „szkielet” złożony z 12 listewek biegnących wzdłuż krawędzi. Przekrój poprzeczny listewki jest kwadratem o boku 2 cm, a krawędź sześcianu ma długość 20 cm. Oblicz masę tego modelu, wiedząc, że 1 cm³ drewna, z którego go wykonano, ma masę 0,8 g. Zapisz obliczenia.
Model sześcianu z listewek, krawędź 20 cm20 cm
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 665,6 g

  1. Krok 1 — objętość jednej listewki. Listewka to prostopadłościan 20×2×2\textcolor{#16A06A}{20} \times \textcolor{#16A06A}{2} \times \textcolor{#16A06A}{2}:
  2. 20⋅2⋅2=80\textcolor{#16A06A}{20} \cdot \textcolor{#16A06A}{2} \cdot \textcolor{#16A06A}{2} = 80 cm³.
  3. Krok 2 — dwanaście listewek. 12⋅80=96012 \cdot 80 = \textcolor{#E0453A}{960} cm³ — ale to jeszcze nie jest objętość modelu.
  4. Krok 3 — poprawka na narożniki. W każdym z ośmiu narożników spotykają się trzy listewki i mają tam wspólny sześcianik 2×2×2=8\textcolor{#16A06A}{2} \times \textcolor{#16A06A}{2} \times \textcolor{#16A06A}{2} = 8 cm³.
  5. Taki sześcianik policzyliśmy trzy razy zamiast raz, czyli o 2⋅8=162 \cdot 8 = 16 cm³ za dużo na każdy narożnik.
  6. Nadmiar łącznie: 8⋅16=128\textcolor{#16A06A}{8} \cdot 16 = \textcolor{#E0453A}{128} cm³.
  7. Krok 4 — objętość modelu. 960−128=832\textcolor{#E0453A}{960} - \textcolor{#E0453A}{128} = \textcolor{#E0453A}{832} cm³.
  8. Krok 5 — masa. 832⋅0,8=665,6\textcolor{#E0453A}{832} \cdot 0{,}8 = 665{,}6 g.
  9. Odpowiedź: model waży 665,6 g.

💡 Wskazówka: Ten sam schemat co przy szkielecie z klocków: policz części osobno, a potem odejmij to, co policzyłeś wielokrotnie. W narożniku, gdzie schodzą się trzy elementy, nadmiar to dwa dodatkowe sześcianiki.

⚠ Najczęstszy błąd: przyjęcie 12⋅80=96012 \cdot 80 = 960 cm³ jako objętości modelu (masa wyszłaby 768 g). Listewki nakładają się w narożnikach, a drewno nie może być tam policzone trzykrotnie.

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. A2. A, C3. B4. B5. D6. B, C
7. C8. C9. C10. B11. C12. D
13. A, D14. B, 215. F, P16. C17. C18. C
19. P, F20. C21. D22. 225 cm³23. 502 cm²24. 20%
25. 52 cm26. 665,6 g

Treści zadań pochodzą z arkuszy egzaminu ósmoklasisty oraz z arkuszy egzaminu gimnazjalnego (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów liczę i zapisuję sam — Mateusz Będkowski.

Pytania i odpowiedzi

Ile litrów mieści się w metrze sześciennym?

Tysiąc. Metr sześcienny to tysiąc decymetrów sześciennych, a każdy decymetr sześcienny to jeden litr. Tysiąc, a nie sto — bo przy przejściu o szczebel w dół każdy z trzech wymiarów mnoży się przez dziesięć, więc objętość rośnie tysiąckrotnie.

Czym różni się pole powierzchni od objętości?

Pole powierzchni mówi, ile materiału potrzeba na zewnątrz bryły, i mierzy się je w jednostkach kwadratowych. Objętość mówi, ile się w niej mieści, i mierzy się ją w jednostkach sześciennych. To wielkości nieporównywalne — jednej nie da się przeliczyć na drugą.

Jak policzyć objętość bryły sklejonej z kostek?

Policz kostki i pomnóż przez objętość jednej — sklejanie objętości nie zmienia. Przy dużych bryłach rozłóż figurę na warstwy poziome i policz każdą osobno, pamiętając o kostkach ukrytych w środku. Ta metoda nie działa jednak przy polu powierzchni.

Ile krawędzi ma prostopadłościan?

Dwanaście, w trzech grupach po cztery — każda grupa odpowiada jednemu wymiarowi. Dlatego suma długości krawędzi to poczwórna suma trzech wymiarów. Ścian jest sześć, a wierzchołków osiem.

Jak zamienić decymetry sześcienne na litry?

Nie trzeba nic przeliczać — to ta sama objętość zapisana dwoma sposobami. Jeden decymetr sześcienny to dokładnie jeden litr. Przeliczenia wymaga dopiero przejście do centymetrów sześciennych, których w litrze jest tysiąc.

Czy akwarium liczy się jak zamknięty prostopadłościan?

Przy objętości tak, przy polu powierzchni nie — akwarium nie ma górnej ściany, więc przy liczeniu ilości szkła trzeba ją odjąć. Zadanie rzadko mówi o tym wprost; wynika to z opisanej sytuacji, więc warto się nad nią zatrzymać przed rachunkiem.

Czytaj dalej

Graniastosłupy i ostrosłupy na egzaminieBryły o innych podstawach i wzór z jedną trzeciąZamiana jednostek na egzaminieTen sam mechanizm przeliczania, tylko na jednostkach czasuPola figur na egzaminieWzory na pola ścian potrzebne do pola powierzchniEgzamin ósmoklasisty z matematykiJak zbudowany jest arkusz i jak się do niego przygotować
Mateusz Będkowski — nauczyciel matematyki, autor serwisu Nie każ mu liczyć

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-07-30. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa Mateusza Będkowskiego.