Dane są cztery liczby: a = (-2)^2, b = √(9+16), c = 12(3-5)^2, d = √(25/4). Które zdanie jest fałszywe ?

Liczba c jest większa niż liczba d.

Liczba b jest większa niż liczba c.

Liczba c jest dwa razy mniejsza niż liczba a.

Liczba d jest 2 razy mniejsza niż liczba b.

Jak porównać 2 3 z liczbą całkowitą?

Wciągnij czynnik pod pierwiastek: 2 3 = √(12). Liczbę całkowitą też zapisz jako pierwiastek, np. 4 = √(16). Wtedy porównujesz tylko to, co pod znakiem.

Strona główna › Egzamin ósmoklasisty › Pierwiastki na egzaminie ósmoklasisty

Pierwiastki na egzaminie ósmoklasisty

Q: Jak oszacować pierwiastek bez kalkulatora?

Znajdź dwa kolejne kwadraty, między którymi leży liczba pod pierwiastkiem. Dla √(60): 49 < 60 < 64, więc 7 < √(60) < 8. Do wskazania odpowiedzi na egzaminie to zwykle wystarcza.

Q: Czy pierwiastek z sumy to suma pierwiastków?

Nie i to jest najczęstszy błąd w całym dziale. Pierwiastek zachowuje się jak nawias: najpierw wykonujemy działanie pod znakiem, dopiero potem pierwiastkujemy. Dlatego √(9+16) = √(25) = 5, a nie 3+4=7. Wzory na rozdzielanie istnieją wyłącznie dla mnożenia i dzielenia, czyli √(a)·√(b) = √(ab) — dla dodawania i odejmowania nie ma żadnego odpowiednika i suma pierwiastków po prostu zostaje w tej postaci.

Q: Czy na egzaminie potrzebny jest pierwiastek sześcienny?

Pojawia się, choć rzadziej niż kwadratowy — w tym zestawie w czterech zadaniach na dwadzieścia trzy. Wystarczy znać sześciany do pięciu: 1, 8, 27, 64, 125.

Q: Czy pierwiastek może być liczbą ujemną?

Trzeba rozróżnić dwie rzeczy. Wynik pierwiastka kwadratowego nigdy nie jest ujemny — z definicji jest to liczba nieujemna, której kwadrat daje liczbę pod pierwiastkiem. Nie wolno też wyciągać pierwiastka kwadratowego z liczby ujemnej, bo żadna liczba podniesiona do kwadratu nie da wyniku mniejszego od zera. Z pierwiastkiem sześciennym jest odwrotnie: tam liczba pod znakiem może być ujemna i wynik również, na przykład [3]-8 = -2, bo (-2)^3 = -8.

Q: Ile zadań z pierwiastków bywa w arkuszu?

Zwykle jedno lub dwa, najczęściej o szacowanie albo porównywanie. Pierwiastki wracają jednak pośrednio w geometrii — wszędzie tam, gdzie liczy się długość twierdzeniem Pitagorasa.

Egzamin ósmoklasisty nie sprawdza, czy uczeń umie wyciągnąć pierwiastek z liczby, której nie da się wyciągnąć. Sprawdza coś innego: czy potrafi oszacować, między jakimi liczbami całkowitymi leży wynik i czy nie da się nabrać na pierwiastek z sumy. Osiem z 23 zadań na tej stronie to właśnie szacowanie.

Dział: Egzamin ósmoklasistyPoziom: klasa 7–8Zadań: 23 — 20 z egzaminu ósmoklasisty i 3 z egzaminu gimnazjalnego

Przejdź od razu do zadań (23) ↓

Czego egzamin wymaga z pierwiastków

Pierwiastek kwadratowy z liczby $a$ to ta nieujemna liczba, której kwadrat wynosi $a$ . Zapis $\sqrt{25} = 5$ czytamy: pięć do kwadratu daje dwadzieścia pięć.

W arkuszach wracają cztery umiejętności: szacowanie pierwiastka między dwiema liczbami całkowitymi, mnożenie i dzielenie pierwiastków, wyłączanie czynnika przed znak i porównywanie wyrażeń z pierwiastkami. Formalne przekształcenia pojawiają się rzadko — liczy się wyczucie wielkości.

To nie jest wrażenie z arkuszy, tylko dokładnie to, czego żąda podstawa programowa. Dział II. Pierwiastki ma pięć punktów i rozkłada się na klasy VII i VIII — gwiazdka przy numerze oznacza w podstawie punkt przypisany do klasy VIII:

„1) oblicza wartości pierwiastków kwadratowych i sześciennych z liczb, które są odpowiednio kwadratami lub sześcianami liczb wymiernych”,
„2) szacuje wielkość danego pierwiastka kwadratowego lub sześciennego oraz wyrażenia arytmetycznego zawierającego pierwiastki”,
„*3) porównuje wartość wyrażenia arytmetycznego zawierającego pierwiastki z daną liczbą wymierną oraz znajduje liczby wymierne większe lub mniejsze od takiej wartości, na przykład znajduje liczbę całkowitą $a$ taką, że: $a \leqslant \sqrt{137} < a+1$ *”,
„4) oblicza pierwiastek z iloczynu i ilorazu dwóch liczb, wyłącza liczbę przed znak pierwiastka i włącza liczbę pod znak pierwiastka”,
„5) mnoży i dzieli pierwiastki tego samego stopnia”.

Punkt 3 to dosłownie zadanie typu „między jakimi liczbami całkowitymi leży pierwiastek” — z przykładem wpisanym wprost do dokumentu. Zwróć też uwagę, czego na tej liście nie ma: wzoru na pierwiastek z sumy ani z różnicy. Bo taki wzór nie istnieje.

Najważniejsza zasada całego działu, i zarazem najczęstsza pułapka: pierwiastek z sumy nie jest sumą pierwiastków. $\sqrt{9+16} = \sqrt{\textcolor{#16A06A}{25}} = \textcolor{#16A06A}{5}$ , a nie $3 + 4 = 7$ . Pierwiastek działa jak nawias — najpierw wykonuje się to, co jest pod nim.

Jak czytać kolory na tej stronie

Kolor śledzi jedną liczbę przez całe przekształcenie: ta sama barwa pokazuje ją przed pierwiastkiem i pod pierwiastkiem. W zapisie $\sqrt{\textcolor{#16A06A}{4} \cdot 3} = \textcolor{#16A06A}{2}\sqrt3$ zielona czwórka i zielona dwójka to ta sama liczba w dwóch postaciach — pod pierwiastkiem podniesiona do kwadratu, przed nim już nie. Gdy w jednym rachunku takich liczb jest więcej, druga jest czerwona, a trzecia niebieska. To, co się nie przekształca, zostaje czarne.

Ta sama konwencja obowiązuje w rozwiązaniach 23 zadań niżej. Na stronie o potęgach kolory mają inne znaczenie (zielony to podstawa, czerwony wykładnik), bo i wielkości są tam inne — każda strona ma własną legendę i to ona rozstrzyga.

Szacowanie pierwiastka między liczbami całkowitymi

To najczęstsze polecenie w tym dziale. Metoda: znajdź dwa kolejne kwadraty, między którymi leży liczba pod pierwiastkiem.

Dla $\sqrt{60}$ : $\textcolor{#16A06A}{49} = \textcolor{#16A06A}{7}^2$ i $\textcolor{#E0453A}{64} = \textcolor{#E0453A}{8}^2$ , a $\textcolor{#16A06A}{49} < 60 < \textcolor{#E0453A}{64}$ , więc $\textcolor{#16A06A}{7} < \sqrt{60} < \textcolor{#E0453A}{8}$ . Kolor prowadzi tu każdą z liczb granicznych od kwadratu do jej pierwiastka: zielona czterdziestka dziewiątka staje się zieloną siódemką, czerwona sześćdziesiątka czwórka — czerwoną ósemką. Bliżej ósemki, bo 60 jest bliżej 64 niż 49 — i to wystarczy do wskazania odpowiedzi.

Warto mieć w pamięci kwadraty liczb do dwudziestu: $1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400$ . Bez nich każde takie zadanie zamienia się w zgadywanie. Pierwsze piętnaście wystarcza w większości zadań, ale ostatnie pięć potrafi się przydać przy liczbach trzycyfrowych.

Ta sama metoda działa przy porównywaniu z liczbą: żeby sprawdzić, czy $\sqrt{120} < 11$ , wystarczy porównać 120 z $11^2 = 121$ .

Mnożenie i dzielenie pierwiastków

Pierwiastki mnoży się i dzieli tak, jak podpowiada intuicja — pod jednym znakiem:

\sqrt{\textcolor{#16A06A}{a}} \cdot \sqrt{\textcolor{#E0453A}{b}} = \sqrt{\textcolor{#16A06A}{a} \cdot \textcolor{#E0453A}{b}} \qquad \dfrac{\sqrt{\textcolor{#16A06A}{a}}}{\sqrt{\textcolor{#E0453A}{b}}} = \sqrt{\dfrac{\textcolor{#16A06A}{a}}{\textcolor{#E0453A}{b}}}

Zielone $\textcolor{#16A06A}{a}$ i czerwone $\textcolor{#E0453A}{b}$ są po obu stronach równości tymi samymi liczbami — zmienia się tylko to, czy stoją pod wspólnym pierwiastkiem, czy pod osobnymi.

Dla dodawania i odejmowania takiego wzoru nie ma i to jest cała asymetria tego działu. $\sqrt2 + \sqrt3$ zostaje w tej postaci, nie da się tego zwinąć.

Mnożenie bywa najkrótszą drogą do wyniku: $\sqrt{\textcolor{#16A06A}{12}} \cdot \sqrt{\textcolor{#E0453A}{3}} = \sqrt{\textcolor{#16A06A}{12} \cdot \textcolor{#E0453A}{3}} = \sqrt{36} = 6$ — liczba niewymierna razy niewymierna dała całkowitą. To typowy chwyt egzaminacyjny.

Wyłączanie czynnika przed znak pierwiastka

Żeby uprościć pierwiastek, szukamy pod nim największego kwadratu, który dzieli daną liczbę. $\sqrt{72} = \sqrt{\textcolor{#16A06A}{36} \cdot 2} = \textcolor{#16A06A}{6}\sqrt2$ — zielona trzydziestka szóstka wychodzi przed pierwiastek jako zielona szóstka, a dwójka zostaje pod nim.

Działa to też w drugą stronę — wciąganie liczby pod pierwiastek: $\textcolor{#16A06A}{a}\sqrt{b} = \sqrt{\textcolor{#16A06A}{a^2} \cdot b}$ . Ta sama zielona liczba wraca pod pierwiastek, ale podniesiona do kwadratu. Ta operacja jest najwygodniejszym sposobem porównywania wyrażeń.

Przykład: co jest większe, $\textcolor{#16A06A}{2}\sqrt3$ czy $\textcolor{#E0453A}{3}\sqrt2$ ? Wciągam obie: $\sqrt{\textcolor{#16A06A}{4} \cdot 3} = \sqrt{12}$ oraz $\sqrt{\textcolor{#E0453A}{9} \cdot 2} = \sqrt{18}$ . Skoro $12 < 18$ , to $\textcolor{#16A06A}{2}\sqrt3 < \textcolor{#E0453A}{3}\sqrt2$ .

I teraz uwaga, bo tu czyha pułapka. W tej parze wynik zgadza się z tym, co podpowiada sama liczba z przodu ( $2 < 3$ ), więc łatwo uwierzyć, że wolno porównywać po niej. Nie wolno. Weź $\textcolor{#16A06A}{3}\sqrt2$ i $\textcolor{#E0453A}{2}\sqrt5$ : z przodu $3 > 2$ , ale po wciągnięciu wychodzi $\sqrt{\textcolor{#16A06A}{9} \cdot 2} = \sqrt{18}$ oraz $\sqrt{\textcolor{#E0453A}{4} \cdot 5} = \sqrt{20}$ , czyli $\textcolor{#16A06A}{3}\sqrt2 < \textcolor{#E0453A}{2}\sqrt5$ — dokładnie odwrotnie, niż podpowiadała liczba z przodu. Rozstrzyga dopiero liczba pod pierwiastkiem po wciągnięciu, bo przednia wchodzi tam podniesiona do kwadratu.

Pierwiastek sześcienny

Pierwiastek sześcienny z $a$ to liczba, której trzecia potęga wynosi $a$ . Zapisujemy $\sqrt[3]{a}$ .

Różnica wobec kwadratowego jest jedna, ale istotna: pierwiastek sześcienny wolno wyciągać z liczb ujemnych. $\sqrt[3]{\textcolor{#16A06A}{-8}} = \textcolor{#16A06A}{-2}$ , bo $(-2)^3 = -8$ . Z pierwiastkiem kwadratowym tak się nie da.

Warto znać sześciany do pięciu: $1, 8, 27, 64, 125$ . W arkuszach pierwiastek sześcienny pojawia się rzadziej niż kwadratowy, ale prawie zawsze z liczbą z tej listy.

Przykłady krok po kroku

Cztery zadania krok po kroku. Pierwsze to szacowanie — najczęstszy typ na egzaminie. Kolejne pokazują mnożenie, upraszczanie i porównywanie.

Przykład 1 Szacowanie pierwiastka

Między jakimi kolejnymi liczbami całkowitymi leży $\sqrt{60}$ ?

Szukam dwóch kolejnych kwadratów obejmujących 60.
$7^2 = 49$ , a $8^2 = 64$ . Zachodzi $49 < 60 < 64$ .
Skoro pierwiastkowanie zachowuje porządek, to $7 < \sqrt{60} < 8$ .
Doprecyzowanie: 60 leży bliżej 64 niż 49, więc wynik jest bliżej 8 — około 7,7.

Odpowiedź: $\sqrt{60}$ leży między 7 a 8.

Przykład 2 Mnożenie pierwiastków

Oblicz $\sqrt{12} \cdot \sqrt{3}$ .

Pierwiastki o tym samym stopniu mnożę pod jednym znakiem: $\sqrt{12} \cdot \sqrt3 = \sqrt{12 \cdot 3}$ .
Liczę pod pierwiastkiem: $12 \cdot 3 = 36$ .
$\sqrt{36} = 6$ .
Warto zauważyć: iloczyn dwóch liczb niewymiernych wyszedł całkowity. To typowe dla zadań egzaminacyjnych — dobierają liczby tak, żeby coś się skróciło.

Odpowiedź: $\sqrt{12} \cdot \sqrt3 = 6$ .

Przykład 3 Wyłączanie czynnika

Zapisz $\sqrt{72}$ w najprostszej postaci.

Szukam największego kwadratu dzielącego 72. Kandydaci: 4, 9, 36.
Największy to 36, bo $72 = 36 \cdot 2$ .
Rozdzielam: $\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = \sqrt{36} \cdot \sqrt2 = 6\sqrt2$ .
Kontrola: gdyby wziąć mniejszy kwadrat, $\sqrt{72} = \sqrt{4 \cdot 18} = 2\sqrt{18}$ — poprawnie, ale nie do końca uproszczone, bo 18 nadal dzieli się przez 9.

Odpowiedź: $\sqrt{72} = 6\sqrt2$ .

Przykład 4 Porównywanie wyrażeń z pierwiastkiem

Która liczba jest większa: $2\sqrt3$ czy $3\sqrt2$ ?

Porównywanie po liczbach przed pierwiastkiem jest zawodne — trzeba sprowadzić obie do jednej postaci.
Wciągam czynniki pod pierwiastek: $2\sqrt3 = \sqrt{2^2 \cdot 3} = \sqrt{12}$ .
Tak samo drugą: $3\sqrt2 = \sqrt{3^2 \cdot 2} = \sqrt{18}$ .
Teraz porównanie jest oczywiste: $12 < 18$ , więc $\sqrt{12} < \sqrt{18}$ .
Kontrola przybliżeniem: $2\sqrt3 \approx 3{,}46$ , a $3\sqrt2 \approx 4{,}24$ ✓

Odpowiedź: Większa jest liczba $3\sqrt2$ .

Najczęstsze błędy

Cztery błędy, które w tym dziale wracają najczęściej. Pierwszy jest odpowiedzialny za większość utraconych punktów.

Rozdzielanie pierwiastka na sumę

Skąd się bierze: $\sqrt{9+16}$ wygląda jak coś, co da się rozbić na $\sqrt9 + \sqrt{16}$ . Wychodzi 7 zamiast 5 — i, co gorsza, ta zła wartość zwykle jest jedną z podanych odpowiedzi.

Jak zrobić dobrze: Traktuj pierwiastek jak nawias: najpierw dodaj lub odejmij to, co pod nim, dopiero potem pierwiastkuj. Wzory na rozdzielanie istnieją tylko dla mnożenia i dzielenia.

Porównywanie „na oko” po liczbie przed pierwiastkiem

Skąd się bierze: W $2\sqrt3$ i $3\sqrt2$ widać najpierw dwójkę i trójkę, więc wydaje się, że decydują one o wielkości. To, co siedzi pod pierwiastkiem, jest jednak równie ważne.

Jak zrobić dobrze: Wciągnij czynnik pod pierwiastek — $a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 b}$ — i porównaj liczby pod znakiem. Jedna operacja rozstrzyga bez przybliżeń.

Zatrzymanie się na niepełnym uproszczeniu

Skąd się bierze: Uczeń znajduje jakiś kwadrat zamiast największego: $\sqrt{72} = 2\sqrt{18}$ . Wynik jest poprawny rachunkowo, ale nie ma go wśród odpowiedzi, bo tam stoi $6\sqrt2$ .

Jak zrobić dobrze: Po wyłączeniu sprawdź, czy liczba pod pierwiastkiem nadal dzieli się przez jakiś kwadrat. $18 = 9 \cdot 2$ , więc trzeba wyłączyć jeszcze raz.

Pierwiastek kwadratowy z liczby ujemnej

Skąd się bierze: Skoro $\sqrt[3]{-8} = -2$ działa, uczeń przenosi to na pierwiastek kwadratowy i zapisuje $\sqrt{-4} = -2$ . Kwadrat żadnej liczby rzeczywistej nie jest jednak ujemny.

Jak zrobić dobrze: Zapamiętaj różnicę: sześcienny wolno wyciągać z liczb ujemnych, kwadratowego nie. Jeśli pod pierwiastkiem kwadratowym wyszła liczba ujemna, gdzieś wcześniej jest błąd rachunkowy.

Zadania z arkuszy CKE — pierwiastki

Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminu ósmoklasisty (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem. W zestawie jest 3 zadania z arkuszy egzaminu gimnazjalnego (do 2019 roku) — dokładamy je jako dodatkowe ćwiczenie tych samych umiejętności. Zakres gimnazjum był miejscami szerszy niż wymagania dla klas 7–8, dlatego każde takie zadanie jest podpisane osobno.

Kolor śledzi jedną liczbę, gdy przechodzi ona przez znak pierwiastka — w obie strony: przy wyłączaniu czynnika i przy wciąganiu go z powrotem. Ta sama barwa pokazuje ją pod pierwiastkiem (podniesioną do kwadratu) i przed nim, np. √4·3 = 2√3. Gdy w jednym rachunku takich liczb jest więcej, druga jest czerwona. W pozostałych krokach liczby zostają czarne.

Sprawdź się bez zaglądania do odpowiedzi. Dostaniesz wszystkie 9 zadań zamkniętych z tego zestawu — klucz i rozwiązania schowam do czasu sprawdzenia. To komplet zadań zamkniętych z tego działu, więc kolejne podejście będzie powtórką tych samych zadań.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (maj 2026)1 pktłatwe

Dane są cztery liczby:

w = \sqrt{100-64} - 2

x = 12 - \sqrt{64+36}

y = \sqrt{25-16} - 3

z = 7 - \sqrt{9+16}

. Która z tych liczb jest równa 0?

A. $w$
B. $x$
C. $y$
D. $z$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Najpierw liczymy to, co jest pod pierwiastkiem — pierwiastek działa jak nawias.
$w = \sqrt{36} - 2 = 6 - 2 = 4$
$x = 12 - \sqrt{100} = 12 - 10 = 2$
$y = \sqrt{9} - 3 = 3 - 3 = 0$ ✓
$z = 7 - \sqrt{25} = 7 - 5 = 2$
Zero daje tylko liczba $y$ .

💡 Wskazówka: Pierwiastek obejmuje całe wyrażenie pod znakiem — najpierw dodaj lub odejmij, dopiero potem pierwiastkuj.

⚠ Najczęstszy błąd: rozdzielanie pierwiastka na sumę, np. $\sqrt{9+16} = 3+4 = 7$ . To nieprawda — $\sqrt{25} = 5$ .

Zadanie 2 (maj 2025)1 pkttrudniejsze

Dane są wyrażenia:

K = \dfrac{1}{9} \cdot \sqrt{\dfrac{1}{16}} - \dfrac{1}{16} \cdot \sqrt{\dfrac{1}{9}}

oraz

L = 9 \cdot \sqrt{16} - 16 \cdot \sqrt{9}

. Oceń prawdziwość podanych zdań.

Wyrażenie $K$ ma wartość ujemną.	P	F
Wartość wyrażenia $L$ jest większa od wartości wyrażenia $K$ .	P	F

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: F, F

Pierwiastek z ułamka: $\sqrt{\dfrac{1}{16}} = \dfrac{1}{4}$ oraz $\sqrt{\dfrac{1}{9}} = \dfrac{1}{3}$ .
$K = \dfrac{1}{9} \cdot \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{16} \cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{36} - \dfrac{1}{48}$ .
Sprowadzamy do wspólnego mianownika 144: $\dfrac{4}{144} - \dfrac{3}{144} = \dfrac{1}{144}$ — liczba dodatnia, więc pierwsze zdanie jest fałszywe.
$L = 9 \cdot 4 - 16 \cdot 3 = 36 - 48 = -12$ — liczba ujemna.
Skoro $L = -12$ , a $K = \dfrac{1}{144} > 0$ , to $L$ jest mniejsze od $K$ — drugie zdanie też fałszywe.

💡 Wskazówka: Pierwiastek z ułamka liczymy osobno w liczniku i mianowniku: $\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ .

⚠ Częsty błąd: uznanie, że skoro $L$ zawiera większe liczby, to musi być większe. Znak minus decyduje o wszystkim.

Zadanie 3 (grudzień 2024)1 pktśrednie

Uzupełnij zdania. Wybierz odpowiedź spośród A i B oraz spośród C i D.

Liczba 4 jest mniejsza od liczby AB.

A. $2\sqrt3$
B. $3\sqrt2$

Liczba 4 jest większa od liczby CD.

C. $\sqrt2 + 2$
D. $6 - \sqrt3$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B, C

Najprościej: wciągamy liczbę przed pierwiastkiem pod pierwiastek i porównujemy liczby pod pierwiastkiem.
$\textcolor{#16A06A}{2}\sqrt3 = \sqrt{\textcolor{#16A06A}{4} \cdot 3} = \sqrt{12}$ — liczba $\textcolor{#16A06A}{2}$ spod pierwiastka wchodzi jako $\textcolor{#16A06A}{4}$ .
Podobnie $\textcolor{#16A06A}{3}\sqrt2 = \sqrt{\textcolor{#16A06A}{9} \cdot 2} = \sqrt{18}$ , a $4 = \sqrt{16}$ .
Skoro $12 < 16$ , to $2\sqrt3 < 4$ — odpada. Skoro $18 > 16$ , to $3\sqrt2 > 4$ ✓ — odpowiedź B.
Drugie zdanie: $\sqrt2 \approx 1{,}41$ , więc $\sqrt2 + 2 \approx 3{,}41 < 4$ ✓ — odpowiedź C.
Sprawdzenie: $6 - \sqrt3 \approx 4{,}27 > 4$ — nie pasuje.

💡 Wskazówka: Aby porównać $a\sqrt{b}$ z liczbą, wciągnij $a$ pod pierwiastek: $a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 b}$ .

⚠ Częsty błąd: porównywanie „na oko” po liczbach przed pierwiastkiem (2 vs 3) bez uwzględnienia, co jest pod pierwiastkiem.

Zadanie 4 (czerwiec 2024)1 pktśrednie

Uzupełnij zdania.

Liczba

\sqrt{6\tfrac{1}{4}}

jest równa AB.

A. $2\tfrac{1}{2}$
B. $3\tfrac{1}{2}$

Liczba

\sqrt[3]{0{,}064}

jest równa CD.

C. 0,4
D. 0,8

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A, C

Liczbę mieszaną zamieniamy na ułamek niewłaściwy: $6\tfrac{1}{4} = \dfrac{25}{4}$ .
$\sqrt{\dfrac{25}{4}} = \dfrac{5}{2} = 2\tfrac{1}{2}$ — odpowiedź A.
Pierwiastek sześcienny: szukamy liczby, która do trzeciej potęgi daje 0,064.
Sprawdzamy 0,4: $0{,}4 \cdot 0{,}4 \cdot 0{,}4 = 0{,}064$ ✓ — odpowiedź C.

💡 Wskazówka: Przy pierwiastku z liczby mieszanej zawsze najpierw zamień ją na ułamek niewłaściwy.

⚠ Częsty błąd: pierwiastkowanie osobno całości i ułamka ( $\sqrt6$ i $\sqrt{\tfrac14}$ ) — tak nie wolno.

Zadanie 5 (czerwiec 2023)1 pkttrudniejsze

Uzupełnij zdania.

Jest dokładnie AB liczb naturalnych

m

spełniających warunek

\sqrt{110} < m < \sqrt{300}

A. 7
B. 6

Są dokładnie CD liczby naturalne

k

spełniające warunek

\sqrt[3]{10} < k < \sqrt[3]{127}

C. 4
D. 3

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A, D

Szacujemy pierwszy pierwiastek: $10^2 = 100$ , $11^2 = 121$ , więc $\sqrt{110}$ leży między 10 a 11.
Drugi: $17^2 = 289$ , $18^2 = 324$ , więc $\sqrt{300}$ leży między 17 a 18.
Szukamy liczb naturalnych od 11 do 17 — to $17 - 11 + 1 = 7$ liczb ✓ (odpowiedź A).
Pierwiastki sześcienne: $2^3 = 8$ , $3^3 = 27$ , więc $\sqrt[3]{10}$ jest między 2 a 3.
$5^3 = 125$ , $6^3 = 216$ , więc $\sqrt[3]{127}$ jest między 5 a 6.
Liczby naturalne od 3 do 5 to $3, 4, 5$ — czyli 3 liczby (odpowiedź D).

💡 Wskazówka: Znajdź najbliższe kwadraty (albo sześciany) doskonałe — wtedy od razu wiesz, między którymi liczbami leży pierwiastek.

⚠ Częsty błąd: zapomnienie o policzeniu obu końców przedziału (wzór $\text{koniec} - \text{początek} + 1$ ).

Zadanie 6 (maj 2023)1 pktłatwe

Uzupełnij zdania.

Wyrażenie

\sqrt{81} - \sqrt{49}

jest równe AB.

A. 2
B. $\sqrt{32}$

Wyrażenie

\sqrt{144} + \sqrt{25}

jest równe CD.

C. 13
D. 17

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A, D

Liczymy każdy pierwiastek osobno: $\sqrt{81} = 9$ , $\sqrt{49} = 7$ .
$9 - 7 = 2$ — odpowiedź A.
Drugie: $\sqrt{144} = 12$ , $\sqrt{25} = 5$ , więc $12 + 5 = 17$ — odpowiedź D.

💡 Wskazówka: Gdy pod pierwiastkiem są kwadraty doskonałe, najpierw je oblicz — potem to zwykłe dodawanie.

⚠ Bardzo częsty błąd: łączenie pierwiastków w jeden, np. $\sqrt{81} - \sqrt{49} = \sqrt{81-49} = \sqrt{32}$ . To nieprawda (stąd kusząca odpowiedź B).

Zadanie 7 (czerwiec 2022)1 pktśrednie

Dane są trzy liczby:

g = \sqrt{120}

h = 8 + \sqrt{17}

k = 9 + \sqrt3

. Które spośród tych liczb są mniejsze od liczby 11?

A. Tylko $g$ .
B. Tylko $h$ i $k$ .
C. Tylko $g$ i $k$ .
D. Tylko $g$ i $h$ .

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

$g = \sqrt{120}$ : skoro $11^2 = 121 > 120$ , to $\sqrt{120} < 11$ ✓
$h = 8 + \sqrt{17}$ : $\sqrt{17}$ jest między 4 a 5 (bo $16 < 17 < 25$ ), więc $h > 8 + 4 = 12 > 11$ ✗
$k = 9 + \sqrt3$ : $\sqrt3$ jest między 1 a 2, więc $k < 9 + 2 = 11$ ✓
Mniejsze od 11 są $g$ i $k$ .

💡 Wskazówka: Nie licz przybliżeń dokładnie — wystarczy porównać z najbliższym kwadratem doskonałym.

⚠ Częsty błąd przy $g$ : uznanie, że $\sqrt{120} \approx 12$ (mylenie z połową liczby zamiast pierwiastka).

Zadanie 8 (maj 2022)1 pktłatwe

Liczba

\sqrt{60}

jest:

A. większa od 3 i mniejsza od 4.
B. większa od 4 i mniejsza od 5.
C. większa od 7 i mniejsza od 8.
D. większa od 8 i mniejsza od 9.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Szukamy dwóch sąsiednich kwadratów doskonałych, między którymi leży 60.
$7^2 = 49$ oraz $8^2 = 64$ .
Skoro $49 < 60 < 64$ , to $7 < \sqrt{60} < 8$ .

💡 Wskazówka: Warto znać na pamięć kwadraty do 15 — wtedy takie zadania robisz w pamięci.

⚠ Częsty błąd: dzielenie 60 przez 2 i wybranie przedziału wokół 30, albo mylenie pierwiastka z połową liczby.

Zadanie 9 (czerwiec 2021)1 pkttrudniejsze

Dane są cztery liczby:

a = (-2)^2

b = \sqrt{9+16}

c = \tfrac{1}{2}(3-5)^2

d = \sqrt{\dfrac{25}{4}}

. Które zdanie jest fałszywe?

A. Wszystkie liczby są dodatnie.
B. Liczba $b$ jest większa niż liczba $c$ .
C. Liczba $c$ jest dwa razy mniejsza niż liczba $a$ .
D. Liczba $d$ jest 2 razy mniejsza niż liczba $b$ .
E. Liczba $c$ jest większa niż liczba $d$ .

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: E

Liczymy każdą liczbę: $a = (-2)^2 = 4$ .
$b = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$ — najpierw dodajemy pod pierwiastkiem!
$c = \tfrac{1}{2}(3-5)^2 = \tfrac{1}{2} \cdot (-2)^2 = \tfrac{1}{2} \cdot 4 = 2$ .
$d = \sqrt{\dfrac{25}{4}} = \dfrac{5}{2} = 2{,}5$ .
Sprawdzamy zdanie E: czy $c > d$ , czyli $2 > 2{,}5$ ? Nie — to zdanie jest fałszywe.
(Pozostałe są prawdziwe: wszystkie dodatnie ✓, $5>2$ ✓, $2 = 4:2$ ✓, $2{,}5 = 5:2$ ✓)

💡 Wskazówka: Policz najpierw wszystkie cztery liczby, a dopiero potem sprawdzaj zdania — będzie szybciej i pewniej.

⚠ Częsty błąd przy $b$ : policzenie $\sqrt9 + \sqrt{16} = 3+4 = 7$ zamiast $\sqrt{25} = 5$ .

Zadanie 10 (maj 2021)1 pktśrednie

Do liczby

(-\sqrt{10})

dodajemy 5. Otrzymany wynik jest liczbą:

A. większą od 1.
B. dodatnią mniejszą od 1.
C. mniejszą od $(-8)$ .
D. ujemną większą od $(-8)$ .

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Obliczamy wyrażenie: $5 - \sqrt{10}$ .
Szacujemy $\sqrt{10}$ : leży między 3 a 4 (bo $9 < 10 < 16$ ), a bliżej trójki — około 3,16.
Zatem $5 - \sqrt{10} \approx 5 - 3{,}16 = 1{,}84$ .
Wynik jest większy od 1 — odpowiedź A.
Pewniej bez przybliżeń: skoro $\sqrt{10} < 4$ , to $5 - \sqrt{10} > 5 - 4 = 1$ ✓

💡 Wskazówka: Zamiast liczyć przybliżenie, oszacuj pierwiastek z góry — często to wystarcza do wskazania odpowiedzi.

⚠ Częsty błąd: uznanie, że $\sqrt{10} \approx 10$ lub 5, i wybranie odpowiedzi z liczbą ujemną.

Zadanie 11 (marzec 2021)1 pkttrudniejsze

Uzupełnij zdania.

Wartość wyrażenia

\sqrt{1 + \dfrac{25}{144}}

jest równa AB.

A. $1\tfrac{5}{12}$
B. $1\tfrac{1}{12}$

Wartość wyrażenia

\sqrt[3]{3 + \dfrac{3}{8}}

jest równa CD.

C. $1\tfrac{1}{2}$
D. $1\tfrac{1}{8}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B, C

Najpierw dodajemy pod pierwiastkiem: $1 + \dfrac{25}{144} = \dfrac{144}{144} + \dfrac{25}{144} = \dfrac{169}{144}$ .
$\sqrt{\dfrac{169}{144}} = \dfrac{13}{12} = 1\tfrac{1}{12}$ — odpowiedź B.
Drugie: $3 + \dfrac{3}{8} = \dfrac{24}{8} + \dfrac{3}{8} = \dfrac{27}{8}$ .
$\sqrt[3]{\dfrac{27}{8}} = \dfrac{3}{2} = 1\tfrac{1}{2}$ — odpowiedź C.

💡 Wskazówka: Klucz: zamień liczbę mieszaną na ułamek niewłaściwy — wtedy licznik i mianownik okazują się kwadratami (lub sześcianami) doskonałymi.

⚠ Częsty błąd: pierwiastkowanie osobno jedynki i ułamka: $1 + \sqrt{\tfrac{25}{144}} = 1\tfrac{5}{12}$ — stąd kusząca odpowiedź A.

Zadanie 12 (czerwiec 2020)1 pktśrednie

Uzupełnij zdania.

Wartość wyrażenia

\sqrt{36 + 64}

jest równa AB.

A. 10
B. 14

Wartość wyrażenia

\sqrt{1 + \dfrac{9}{16}}

jest równa CD.

C. $1\tfrac{1}{4}$
D. $1\tfrac{3}{4}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A, C

Najpierw dodajemy pod pierwiastkiem: $36 + 64 = 100$ .
$\sqrt{100} = 10$ — odpowiedź A.
Drugie: $1 + \dfrac{9}{16} = \dfrac{16}{16} + \dfrac{9}{16} = \dfrac{25}{16}$ .
$\sqrt{\dfrac{25}{16}} = \dfrac{5}{4} = 1\tfrac{1}{4}$ — odpowiedź C.

💡 Wskazówka: Reguła nadrzędna: pierwiastek z sumy nie rozdziela się na sumę pierwiastków.

⚠ Najczęstszy błąd: $\sqrt{36+64} = \sqrt{36} + \sqrt{64} = 6+8 = 14$ — stąd odpowiedź B. Poprawnie jest 10.

Zadanie 13 (kwiecień 2020)1 pkttrudniejsze

Wartość wyrażenia

\sqrt3\left(\sqrt{27} - \sqrt{12}\right)

jest równa:

A. $\sqrt3$
B. 3
C. $\sqrt{45}$
D. $\sqrt{69}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Wymnażamy przez nawias: $\sqrt3 \cdot \sqrt{27} - \sqrt3 \cdot \sqrt{12}$ .
Mnożenie pierwiastków: liczby pod pierwiastkiem mnożymy — $\sqrt3 \cdot \sqrt{27} = \sqrt{81} = 9$ .
$\sqrt3 \cdot \sqrt{12} = \sqrt{36} = 6$ .
Odejmujemy: $9 - 6 = 3$ .

💡 Wskazówka: $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$ — to działa zawsze przy mnożeniu (w przeciwieństwie do dodawania).

⚠ Częsty błąd: odjęcie liczb pod pierwiastkiem w nawiasie ( $27-12=15$ ) i otrzymanie $\sqrt{45}$ — odpowiedź C.

Zadanie 14 (kwiecień 2019)1 pkttrudniejsze

Dane są cztery wyrażenia: I.

4 + \sqrt{35}

, II.

6 + \sqrt{17}

, III.

17 - \sqrt{48}

, IV.

15 - \sqrt{26}

. Wartości których wyrażeń są mniejsze od 10?

A. I i II
B. II i III
C. III i IV
D. I i IV

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

I: $\sqrt{35} < 6$ (bo $36 > 35$ ), więc $4 + \sqrt{35} < 10$ ✓
II: $\sqrt{17} > 4$ (bo $16 < 17$ ), więc $6 + \sqrt{17} > 10$ ✗
III: $\sqrt{48} < 7$ (bo $49 > 48$ ), więc $17 - \sqrt{48} > 17 - 7 = 10$ ✗
IV: $\sqrt{26} > 5$ (bo $25 < 26$ ), więc $15 - \sqrt{26} < 15 - 5 = 10$ ✓
Mniejsze od 10 są I i IV.

💡 Wskazówka: Przy odejmowaniu uwaga na kierunek: większy pierwiastek daje mniejszy wynik.

⚠ Częsty błąd w III i IV: zapomnienie o odwróceniu nierówności przy odejmowaniu pierwiastka.

Zadanie 15 (grudzień 2018)1 pktśrednie

Dana jest liczba

a = 3\sqrt2 - 4

. Uzupełnij zdania.

Liczba o 2 większa od liczby

a

jest równa AB.

A. $5\sqrt2 - 4$
B. $3\sqrt2 - 2$

Liczba 2 razy większa od liczby

a

jest równa CD.

C. $6\sqrt4 - 8$
D. $6\sqrt2 - 8$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B, D

„O 2 większa” znaczy dodaj 2: $(3\sqrt2 - 4) + 2 = 3\sqrt2 - 2$ — odpowiedź B.
Składnik $3\sqrt2$ zostaje bez zmian, bo dodajemy tylko liczbę bez pierwiastka.
„2 razy większa” znaczy pomnóż przez 2: $2 \cdot (3\sqrt2 - 4) = 6\sqrt{2} - 8$ — odpowiedź D.
Mnożymy liczbę przed pierwiastkiem ( $3 \cdot 2 = 6$ ), a liczba pod pierwiastkiem się nie zmienia.

💡 Wskazówka: „O ile” → dodawanie. „Ile razy” → mnożenie. To najczęstsza pułapka językowa na egzaminie.

⚠ Częsty błąd: pomnożenie liczby pod pierwiastkiem ( $\sqrt2 \to \sqrt4$ ) — stąd odpowiedź C.

Zadanie 16 (grudzień 2017)1 pkttrudniejsze

Uzupełnij zdania.

Liczba

a = \sqrt{125} - 1

jest AB.

A. mniejsza od 10
B. większa od 10

Liczba

b = 4\sqrt6 - 10

jest CD.

C. ujemna
D. dodatnia

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B, C

Pierwsze: $11^2 = 121$ , a $125 > 121$ , więc $\sqrt{125} > 11$ .
Zatem $a = \sqrt{125} - 1 > 11 - 1 = 10$ — większa od 10, odpowiedź B.
Drugie: wciągamy 4 pod pierwiastek — $\textcolor{#16A06A}{4}$ na zewnątrz to $\textcolor{#16A06A}{16}$ pod pierwiastkiem:
$\textcolor{#16A06A}{4}\sqrt6 = \sqrt{\textcolor{#16A06A}{16} \cdot 6} = \sqrt{96}$ , a $10 = \sqrt{100}$ .
Skoro $96 < 100$ , to $4\sqrt6 < 10$ , czyli $b = 4\sqrt6 - 10$ jest ujemna — odpowiedź C.

💡 Wskazówka: Aby porównać $a\sqrt{b}$ z liczbą całkowitą, wciągnij czynnik pod pierwiastek i porównaj liczby pod pierwiastkiem.

⚠ Częsty błąd: przybliżenie $\sqrt6 \approx 2{,}5$ i uznanie, że $4 \cdot 2{,}5 = 10$ , czyli że $b = 0$ . Naprawdę $\sqrt6 \approx 2{,}449$ .

Zadanie 17 (kwiecień 2016, egzamin gimnazjalny)1 pkttrudniejsze

Liczba

\sqrt[3]{81 \cdot 64}

jest równa:

A. 72
B. 36
C. $24\sqrt[3]3$
D. $12\sqrt[3]3$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Rozdzielamy pierwiastek na iloczyn: $\sqrt[3]{81 \cdot 64} = \sqrt[3]{81} \cdot \sqrt[3]{64}$ .
64 to sześcian doskonały: $\sqrt[3]{\textcolor{#16A06A}{64}} = \textcolor{#16A06A}{4}$ .
W 81 szukamy sześcianu: $81 = \textcolor{#E0453A}{27} \cdot 3$ , więc $\sqrt[3]{\textcolor{#E0453A}{27} \cdot 3} = \textcolor{#E0453A}{3}\sqrt[3]{3}$ .
Mnożymy to, co wyszło przed pierwiastki: $\textcolor{#E0453A}{3} \cdot \textcolor{#16A06A}{4} = 12$ , czyli $12\sqrt[3]3$ .

💡 Wskazówka: Przy pierwiastku sześciennym szukaj sześcianów doskonałych: 8, 27, 64, 125.

⚠ Częsty błąd: potraktowanie $\sqrt[3]{81}$ jak $\sqrt{81} = 9$ i otrzymanie 36 (odpowiedź B).

Zadanie 18 (kwiecień 2015, egzamin gimnazjalny)1 pktśrednie

Dane jest przybliżenie

\sqrt5 \approx 2{,}236

. Oceń prawdziwość podanych zdań.

$\sqrt{20} \approx 2 \cdot 2{,}236$	P	F
$\sqrt{500} \approx 22{,}36$	P	F

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P, P

Zdanie 1: rozkładamy $20 = \textcolor{#16A06A}{4} \cdot 5$ , gdzie $\textcolor{#16A06A}{4}$ to kwadrat doskonały.
$\sqrt{20} = \sqrt{\textcolor{#16A06A}{4} \cdot 5} = \textcolor{#16A06A}{2}\sqrt5$ — z $\textcolor{#16A06A}{4}$ pod pierwiastkiem wychodzi $\textcolor{#16A06A}{2}$ .
Zatem $\sqrt{20} \approx \textcolor{#16A06A}{2} \cdot 2{,}236$ ✓ — prawda.
Zdanie 2: $500 = \textcolor{#E0453A}{100} \cdot 5$ , więc $\sqrt{500} = \textcolor{#E0453A}{10}\sqrt5$ — z $\textcolor{#E0453A}{100}$ wychodzi $\textcolor{#E0453A}{10}$ .
Zatem $\sqrt{500} \approx \textcolor{#E0453A}{10} \cdot 2{,}236 = 22{,}36$ ✓ — prawda.

💡 Wskazówka: Szukaj pod pierwiastkiem największego kwadratu doskonałego — to on wychodzi przed pierwiastek.

⚠ Częsty błąd: mnożenie przybliżenia przez całą liczbę pod pierwiastkiem ( $\sqrt{20} \approx 20 \cdot 2{,}236$ ).

Zadanie 19 (listopad 2012, egzamin gimnazjalny)1 pkttrudniejsze

Korzystając z tego, że

27^2 = 729

48^2 = 2304

27 \cdot 48 = 1296

, oceń prawdziwość podanych zdań.

$\sqrt{27 \cdot 48 \cdot 27 \cdot 48} = 1296$	P	F
$\sqrt{729} \cdot 48 = \sqrt{2304} \cdot 27$	P	F

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P, P

Zdanie 1: pod pierwiastkiem mamy kwadrat: $27 \cdot 48 \cdot 27 \cdot 48 = (27 \cdot 48)^2$ .
A pierwiastek z kwadratu to sama liczba: $\sqrt{(1296)^2} = 1296$ ✓ — prawda.
Zdanie 2, lewa strona: $\sqrt{729} = 27$ , więc lewa $= 27 \cdot 48$ .
Prawa strona: $\sqrt{2304} = 48$ , więc prawa $= 48 \cdot 27$ .
Obie strony to ten sam iloczyn $27 \cdot 48$ — prawda.

💡 Wskazówka: Gdy pod pierwiastkiem widzisz powtórzone czynniki, poszukaj kwadratu — wtedy pierwiastek „znika”.

⚠ Częsty błąd: mnożenie wszystkich czterech liczb i próba pierwiastkowania ogromnego wyniku „na piechotę”.

Zadanie 20 (materiały CKE)1 pkttrudniejsze

Korzystając z tego, że

(123)^2 = 15129

, wskaż wartość liczby

\sqrt{1{,}5129}

A. 0,0123
B. 0,123
C. 1,23
D. 12,3

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Zapisujemy ułamek dziesiętny jako zwykły: $1{,}5129 = \dfrac{15129}{10000}$ .
Pierwiastkujemy licznik i mianownik osobno: $\sqrt{15129} = 123$ (z treści zadania), $\sqrt{10000} = 100$ .
Zatem $\sqrt{1{,}5129} = \dfrac{123}{100} = 1{,}23$ .
Sprawdzenie: $1{,}23 \cdot 1{,}23 = 1{,}5129$ ✓

💡 Wskazówka: Szybki test: wynik musi być trochę większy od 1, bo 1,5129 jest trochę większe od 1.

⚠ Częsty błąd: przesunięcie przecinka o złą liczbę miejsc — stąd odpowiedzi 0,123 lub 12,3.

Zadanie 21 (materiały CKE)1 pktśrednie

Dane są liczby

a = 9\sqrt2

b = 3\sqrt2

. Uzupełnij zdania.

Iloczyn liczb

a

b

jest równy AB.

A. $27\sqrt2$
B. 54

Iloraz liczb

a

b

jest równy CD.

C. $3\sqrt2$
D. 3

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B, D

Iloczyn: mnożymy osobno liczby przed pierwiastkiem i osobno pierwiastki.
$9\sqrt2 \cdot 3\sqrt2 = (9 \cdot 3) \cdot (\sqrt2 \cdot \sqrt2) = 27 \cdot 2 = 54$ — odpowiedź B.
Kluczowe: $\sqrt2 \cdot \sqrt2 = 2$ — pierwiastek pomnożony przez siebie daje liczbę spod pierwiastka.
Iloraz: $\dfrac{9\sqrt2}{3\sqrt2} = \dfrac{9}{3} = 3$ , bo pierwiastki się skracają — odpowiedź D.

💡 Wskazówka: $\sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = a$ — to najczęściej używana własność przy mnożeniu pierwiastków.

⚠ Częsty błąd w iloczynie: zostawienie $\sqrt2$ w wyniku ( $27\sqrt2$ ) i zapomnienie, że $\sqrt2 \cdot \sqrt2 = 2$ .

Zadania otwarte

Zadanie 22 (styczeń 2026)2 pkttrudniejsze

Dana jest liczba

a = \dfrac{2\sqrt3 \cdot \sqrt{10}}{\sqrt6}

Wyznacz dwie kolejne liczby całkowite dodatnie, między którymi na osi liczbowej znajduje się liczba

a

. Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 4 i 5

Łączymy pierwiastki w liczniku: $\sqrt3 \cdot \sqrt{10} = \sqrt{30}$ , więc $a = \dfrac{2\sqrt{30}}{\sqrt6}$ .
Dzielimy pierwiastki: $\dfrac{\sqrt{30}}{\sqrt6} = \sqrt{\dfrac{30}{6}} = \sqrt{5}$ , zatem $a = 2\sqrt5$ .
Wciągamy 2 pod pierwiastek: $\textcolor{#16A06A}{2}\sqrt5 = \sqrt{\textcolor{#16A06A}{4} \cdot 5} = \sqrt{20}$ .
Szukamy sąsiednich kwadratów: $4^2 = 16$ oraz $5^2 = 25$ , a $16 < 20 < 25$ .
Zatem $4 < a < 5$ — szukane liczby to 4 i 5.

💡 Wskazówka: Najpierw maksymalnie uprość wyrażenie, a dopiero na końcu szacuj — liczenie przybliżeń na starcie tylko utrudnia.

⚠ Częsty błąd: szacowanie każdego pierwiastka osobno i mnożenie przybliżeń — błąd się kumuluje i wynik bywa mylący.

Zadanie 23 (materiały CKE)2 pkttrudniejsze

Wykaż, że wartość wyrażenia

\dfrac{21\sqrt{15}}{\sqrt{12} + 5\sqrt3}

jest liczbą mniejszą od 7.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: $3\sqrt5 < 7$ , bo $45 < 49$

Upraszczamy mianownik — wyłączamy czynnik: $\sqrt{12} = \sqrt{\textcolor{#16A06A}{4} \cdot 3} = \textcolor{#16A06A}{2}\sqrt3$ .
Mianownik: $\textcolor{#16A06A}{2}\sqrt3 + 5\sqrt3 = 7\sqrt3$ (dodajemy, bo pierwiastki są takie same).
Całe wyrażenie: $\dfrac{21\sqrt{15}}{7\sqrt3} = \dfrac{21}{7} \cdot \sqrt{\dfrac{15}{3}} = 3\sqrt5$ .
Wykazujemy, że $3\sqrt5 < 7$ . Wciągamy 3 pod pierwiastek: $\textcolor{#E0453A}{3}\sqrt5 = \sqrt{\textcolor{#E0453A}{9} \cdot 5} = \sqrt{45}$ .
Liczbę 7 też zapisujemy jako pierwiastek: $7 = \sqrt{49}$ .
Skoro $45 < 49$ , to $3\sqrt5 < 7$ . co należało wykazać

💡 Wskazówka: W dowodach z pierwiastkami sprowadź obie strony do postaci $\sqrt{\ }$ — wtedy wystarczy porównać liczby pod pierwiastkiem.

⚠ Częsty błąd: dodanie pierwiastków o różnych liczbach ( $\sqrt{12} + 5\sqrt3 \ne 6\sqrt{15}$ ) — najpierw trzeba wyłączyć czynnik.

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. C	2. F, F	3. B, C	4. A, C	5. A, D	6. A, D
7. C	8. C	9. E	10. A	11. B, C	12. A, C
13. B	14. D	15. B, D	16. B, C	17. D	18. P, P
19. P, P	20. C	21. B, D	22. 4 i 5	23. $3\sqrt5 < 7$ , bo $45 < 49$

Treści zadań pochodzą z arkuszy egzaminu ósmoklasisty oraz z arkuszy egzaminu gimnazjalnego (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów liczę i zapisuję sam — Mateusz Będkowski.

Pytania i odpowiedzi

Jak oszacować pierwiastek bez kalkulatora?

Znajdź dwa kolejne kwadraty, między którymi leży liczba pod pierwiastkiem. Dla $\sqrt{60}$ : $49 < 60 < 64$ , więc $7 < \sqrt{60} < 8$ . Do wskazania odpowiedzi na egzaminie to zwykle wystarcza.

Czy pierwiastek z sumy to suma pierwiastków?

Nie i to jest najczęstszy błąd w całym dziale. Pierwiastek zachowuje się jak nawias: najpierw wykonujemy działanie pod znakiem, dopiero potem pierwiastkujemy. Dlatego $\sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$ , a nie $3+4=7$ . Wzory na rozdzielanie istnieją wyłącznie dla mnożenia i dzielenia, czyli $\sqrt{a}\cdot\sqrt{b} = \sqrt{ab}$ — dla dodawania i odejmowania nie ma żadnego odpowiednika i suma pierwiastków po prostu zostaje w tej postaci.

Jak porównać

2\sqrt3

z liczbą całkowitą?

Wciągnij czynnik pod pierwiastek: $2\sqrt3 = \sqrt{12}$ . Liczbę całkowitą też zapisz jako pierwiastek, np. $4 = \sqrt{16}$ . Wtedy porównujesz tylko to, co pod znakiem.

Czy na egzaminie potrzebny jest pierwiastek sześcienny?

Pojawia się, choć rzadziej niż kwadratowy — w tym zestawie w czterech zadaniach na dwadzieścia trzy. Wystarczy znać sześciany do pięciu: 1, 8, 27, 64, 125.

Czy pierwiastek może być liczbą ujemną?

Trzeba rozróżnić dwie rzeczy. Wynik pierwiastka kwadratowego nigdy nie jest ujemny — z definicji jest to liczba nieujemna, której kwadrat daje liczbę pod pierwiastkiem. Nie wolno też wyciągać pierwiastka kwadratowego z liczby ujemnej, bo żadna liczba podniesiona do kwadratu nie da wyniku mniejszego od zera. Z pierwiastkiem sześciennym jest odwrotnie: tam liczba pod znakiem może być ujemna i wynik również, na przykład $\sqrt[3]{-8} = -2$ , bo $(-2)^3 = -8$ .

Ile zadań z pierwiastków bywa w arkuszu?

Zwykle jedno lub dwa, najczęściej o szacowanie albo porównywanie. Pierwiastki wracają jednak pośrednio w geometrii — wszędzie tam, gdzie liczy się długość twierdzeniem Pitagorasa.

Czytaj dalej

Potęgi na egzaminieDziałanie odwrotne — i te same reguły czytane z drugiej strony Twierdzenie Pitagorasa na egzaminieGłówne miejsce, w którym pierwiastki pojawiają się w geometrii Działania na ułamkach na egzaminieKolejność działań i pierwiastek jako element wyrażenia Egzamin ósmoklasisty z matematykiJak zbudowany jest arkusz i jak się do niego przygotować

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-08-03. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa Mateusza Będkowskiego.