Egzamin ósmoklasisty 2024 z matematyki – odpowiedzi i rozwiązania

Odpowiedź: P, P

1. Zdanie 1. Sumujemy cztery dni: $25 + 30 + 40 + 35 = \textcolor{#16A06A}{130}$ minut.
2. Zamieniamy na godziny: $\textcolor{#16A06A}{130}$ min $= 120$ min $+ 10$ min $= 2$ godziny i 10 minut ✓ — prawda.
3. Zdanie 2. Sobota: $\textcolor{#16A06A}{30}$ min, piątek: $\textcolor{#E0453A}{50}$ min. Różnica: $\textcolor{#E0453A}{50} - \textcolor{#16A06A}{30} = 20$ minut.
4. Liczymy, jaki to procent piątku (bo to z nim porównujemy): $\dfrac{20}{\textcolor{#E0453A}{50}} = 0{,}4 = 40\%$ ✓ — prawda.
5. Odpowiedzi: P, P.

💡 Wskazówka: Kontrola drugiego zdania: skoro sobota to $30$ z $50$ minut, czyli $60\%$ piątku, to jest o $100\% - 60\% = 40\%$ mniej ✓ — ta droga bywa szybsza.

⚠ Najczęstszy błąd w zdaniu 2: podzielenie różnicy przez sobotę ($20 : 30 \approx 67\%$). Porównanie „mniej niż w piątek” oznacza, że piątek jest podstawą.

Odpowiedź: B

1. Każdy z tych ułamków ma postać $\dfrac{n}{4}$, gdzie $n$ to liczba naturalna.
2. Zamieniamy warunek na liczniki: liczby 3 i 5 też zapisujemy z mianownikiem 4, żeby móc je porównać.
3. $3 = \textcolor{#16A06A}{\dfrac{12}{4}}$ oraz $5 = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{20}{4}}$.
4. Warunek $3 < \dfrac{n}{4} < 5$ zamienia się więc na $\textcolor{#16A06A}{12} < n < \textcolor{#E0453A}{20}$.
5. Liczniki to zatem: 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19 — siedem liczb.
6. Sprawdzamy jeszcze drugi warunek (licznik większy od mianownika, czyli $n > 4$) — wszystkie go spełniają.
7. Odpowiedź B.

💡 Wskazówka: Gdy porównujesz ułamek z liczbą całkowitą, zamień tę liczbę na ułamek o tym samym mianowniku — problem zamienia się wtedy w proste porównanie liczników.

⚠ Najczęstszy błąd: doliczenie liczników 12 i 20 do wyniku. Nierówności są ostre ("większy od 3", "mniejszy od 5"), więc same 3 i 5 nie wchodzą.

Odpowiedź: P, F

1. Zdanie 1: suma trzech liczb to $16 \cdot 3 = \textcolor{#16A06A}{48}$.
2. Znamy dwie z nich: $12 + 14 = \textcolor{#E0453A}{26}$, zatem $k = \textcolor{#16A06A}{48} - \textcolor{#E0453A}{26} = 22$ ✓ — prawda.
3. Zdanie 2: teraz liczb jest pięć. Suma: $12 + 14 + 22 + 11 + 17 = 76$.
4. Średnia: $76 : 5 = 15{,}2$, a to mniej niż 16 — fałsz.
5. Odpowiedzi: P, F.

💡 Wskazówka: Zanim policzysz, spójrz na dopisane liczby: 11 i 17 są mniejsze od dotychczasowej średniej 16, więc muszą ją obniżyć.

⚠ Błąd: uznanie, że skoro dopisujemy liczby, to średnia rośnie. Rośnie tylko wtedy, gdy dopisane liczby są większe od dotychczasowej średniej.

Odpowiedź: A, C

1. Liczba $x$ — mnożymy ułamki: licznik razy licznik, mianownik razy mianownik. $\dfrac{4}{5} \cdot \left(-\dfrac{4}{3}\right) = -\dfrac{16}{15}$.
2. Liczba $y$ — dodajemy, więc potrzebny wspólny mianownik 15: $\textcolor{#16A06A}{\dfrac{4}{5}} = \textcolor{#16A06A}{\dfrac{12}{15}}$ (razy 3), a $\textcolor{#E0453A}{\dfrac{4}{3}} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{20}{15}}$ (razy 5).
3. $y = \textcolor{#16A06A}{\dfrac{12}{15}} - \textcolor{#E0453A}{\dfrac{20}{15}} = -\dfrac{8}{15}$ — liczba ujemna, odpowiedź A.
4. Porównujemy $x = -\dfrac{16}{15}$ z $y = -\dfrac{8}{15}$. Mianowniki są takie same, więc patrzymy na liczniki.
5. Przy liczbach ujemnych większy licznik oznacza mniejszą liczbę: $-\dfrac{16}{15} < -\dfrac{8}{15}$.
6. Zatem $x$ jest mniejsza od $y$ — odpowiedź C. Razem: A, C.

💡 Wskazówka: Przydatna obserwacja: mnożąc ułamek przez liczbę większą od 1 (a $\tfrac43 > 1$), oddalamy się od zera. Dlatego $x$ leży dalej w lewo niż $y$.

⚠ Najczęstszy błąd: porównywanie liczb ujemnych „jak dodatnich” — czyli uznanie, że skoro $16 > 8$, to $-\tfrac{16}{15} > -\tfrac{8}{15}$. Na osi liczbowej jest odwrotnie.

Odpowiedź: A

1. Kluczowa obserwacja: skoro $AB \parallel DC$ oraz $AD \parallel EC$, to czworokąt $AECD$ jest równoległobokiem.
2. Wierzchołki idą po kolei $A - E - C - D$, więc naprzeciw wierzchołka $D$ leży wierzchołek $E$.
3. W równoległoboku kąty przeciwległe są równe, zatem $\angle AEC = \angle ADC = \textcolor{#16A06A}{135°}$.
4. Teraz przechodzimy do trójkąta $EBC$. Punkty $A$, $E$, $B$ leżą na jednej prostej, więc kąty $AEC$ i $CEB$ są przyległe:
5. $\angle CEB = \textcolor{#E0453A}{180°} - \textcolor{#16A06A}{135°} = \textcolor{#16A06A}{45°}$.
6. W trójkącie $EBC$ znamy już dwa kąty — pozostaje dopełnić trzeci:
7. $\alpha = \textcolor{#E0453A}{180°} - \textcolor{#16A06A}{45°} - \textcolor{#16A06A}{80°} = 55°$ — odpowiedź A.

💡 Wskazówka: Gdy w trapezie poprowadzisz odcinek równoległy do ramienia, zawsze powstaje równoległobok i trójkąt. To najskuteczniejszy sposób na zadania z trapezem — warto szukać takiego podziału.

⚠ Najczęstszy błąd: pomylenie kątów przeciwległych z sąsiednimi w równoległoboku. Kąt przy $E$ leży naprzeciw kąta przy $D$, więc jest mu równy ($135°$), a nie dopełniający.

Odpowiedź: C

1. Najwygodniej najpierw pozbyć się ułamka: mnożymy obie strony przez $\textcolor{#E0453A}{w}$.
2. $5x \cdot \textcolor{#E0453A}{w} = y$, czyli $\textcolor{#16A06A}{y} = 5xw$ — i to jest postać wyjściowa do wszystkich przekształceń.
3. I. Wyznaczamy $x$: dzielimy $y = 5xw$ obustronnie przez $\textcolor{#E0453A}{5w}$, otrzymując $\textcolor{#16A06A}{x} = \dfrac{y}{\textcolor{#E0453A}{5w}}$ ✓
4. II. Wyznaczamy $y$: właśnie policzyliśmy, że $\textcolor{#16A06A}{y} = 5xw$. Paweł napisał $\dfrac{5x}{w}$, czyli podzielił przez $w$ zamiast pomnożyć ✗
5. III. Wyznaczamy $w$: dzielimy $y = 5xw$ obustronnie przez $\textcolor{#E0453A}{5x}$, otrzymując $\textcolor{#16A06A}{w} = \dfrac{y}{\textcolor{#E0453A}{5x}}$ ✓
6. Poprawne są I i III — odpowiedź C.

💡 Wskazówka: Szybki test poprawności: podstaw konkretne liczby spełniające równanie, np. $x = 1$, $w = 2$, $y = 10$ (bo $5 \cdot 1 = \tfrac{10}{2}$). Wzór II daje $\tfrac{5}{2}$ zamiast $10$ — od razu widać błąd.

⚠ Najczęstszy błąd: gdy niewiadoma jest w mianowniku, uczniowie odruchowo przenoszą ją „przez znak równości” bez zmiany działania. Mnożenie obu stron przez mianownik jest bezpieczniejsze.

Odpowiedź: P, P

1. Zdanie 1: $9=3^2$, więc $9^5=(3^2{)}^5=3^{10}$.
2. $3\cdot 3^{10}=3^{1+10}=3^{11}$ — prawda.
3. Zdanie 2: licznik $2^8\cdot 2^7=2^{8+7}=2^{15}$.
4. $2^{15}:2^{10}=2^{15-10}=2^5$ — prawda.
5. Odpowiedzi: P, P.

💡 Wskazówka: Gdy podstawy są różne (3 i 9), zapisz obie jako potęgi tej samej liczby.

⚠ Błąd: mnożenie wykładników przy mnożeniu potęg, np. $2^8\cdot 2^7=2^{56}$. Przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie wykładniki się dodaje.

Odpowiedź: C

1. Na początku balonów było $10 + 8 + 6 + 8 = 32$, w tym 10 czerwonych.
2. Ale Karolina wyjęła już dwa czerwone i ich nie zwróciła — zmieniły się więc obie liczby.
3. Czerwonych zostało: $\textcolor{#16A06A}{10 - 2} = \textcolor{#16A06A}{8}$.
4. Wszystkich balonów zostało: $\textcolor{#E0453A}{32 - 2} = \textcolor{#E0453A}{30}$.
5. $P = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{8}}{\textcolor{#E0453A}{30}} = \dfrac{4}{15}$ — odpowiedź C.

💡 Wskazówka: Przy losowaniu bez zwracania za każdym razem zmniejsz o 1 mianownik, a licznik tylko wtedy, gdy wyjęty przedmiot należał do interesującej nas grupy.

⚠ Najczęstszy błąd: zmniejszenie tylko licznika ($\tfrac{8}{32} = \tfrac14$ — kusząca odpowiedź D) albo tylko mianownika ($\tfrac{10}{30} = \tfrac13$ — odpowiedź A). Trzeba zmienić oba.

Odpowiedź: D

1. Wymnażamy pierwszy nawias: $x(x + 4) = \textcolor{#16A06A}{x^2} \textcolor{#E0453A}{+ 4x}$.
2. Teraz drugi: $-3(2x - 5)$. Mnożymy przez $-3$ oba wyrazy: $\textcolor{#E0453A}{-6x} + 15$.
3. Uwaga na drugi znak: $-3 \cdot (-5) = +15$, a nie $-15$.
4. Składamy: $\textcolor{#16A06A}{x^2} \textcolor{#E0453A}{+ 4x} \textcolor{#E0453A}{- 6x} + 15$.
5. Redukujemy wyrazy z $x$: $\textcolor{#E0453A}{4x - 6x} = \textcolor{#E0453A}{-2x}$.
6. Wynik: $x^2 - 2x + 15$ — odpowiedź D.

💡 Wskazówka: Przy mnożeniu przez liczbę ujemną wypisz sobie osobno oba iloczyny ze znakami — $(-3) \cdot 2x$ i $(-3) \cdot (-5)$ — zamiast liczyć „w głowie naraz”.

⚠ Najczęstszy błąd: $-3 \cdot (-5) = -15$ (kusząca odpowiedź C). Minus razy minus daje plus — to najczęściej gubiony znak w całym dziale.

Odpowiedź: D

1. Najprościej zacząć od planowego przyjazdu. Pociąg spóźnił się 4 minuty, więc planowo miał być w Gdyni o $17\!:\!31 - 4$ min $= \textcolor{#16A06A}{17\!:\!27}$.
2. Skoro wyjechał punktualnie, to od planowego przyjazdu odejmujemy planowy czas jazdy: $\textcolor{#16A06A}{17\!:\!27} - \textcolor{#E0453A}{2\text{ h }54\text{ min}}$.
3. Odejmujemy etapami — najpierw godziny: $17\!:\!27 - 2$ h $= 15\!:\!27$.
4. Potem minuty: $15\!:\!27 - 54$ min. Od $15\!:\!27$ cofamy 27 minut do $15\!:\!00$, zostaje jeszcze $54 - 27 = 27$ minut — czyli $14\!:\!33$.
5. Odpowiedź D.
6. Sprawdzenie drugą drogą: rzeczywisty czas jazdy to $2$ h $54$ min $+ 4$ min $= 2$ h $58$ min. Wtedy $17\!:\!31 - 2$ h $58$ min $= 14\!:\!33$ ✓

💡 Wskazówka: Odejmuj czas etapami: najpierw pełne godziny, potem minuty — i przy minutach cofaj się najpierw do pełnej godziny. To znacznie bezpieczniejsze niż liczenie „w pamięci naraz”.

⚠ Najczęstszy błąd: dodanie opóźnienia zamiast odjęcia (wyszłoby $14\!:\!41$ — kusząca odpowiedź B). Skoro pociąg przyjechał później, niż planowano, planowy przyjazd był wcześniej.

Odpowiedź: P, F

1. Najpierw wyznaczamy wydajność farby — ile metrów kwadratowych daje jeden litr.
2. Z dowolnego punktu wykresu: $50 : \textcolor{#E0453A}{5} = \textcolor{#16A06A}{10}$ m² na litr. (Sprawdzenie: $200 : 20 = \textcolor{#16A06A}{10}$ ✓)
3. Zdanie 1. $18$ litrów $\cdot \textcolor{#16A06A}{10} = 180$ m² ✓ — prawda.
4. Zdanie 2. Na $125$ m² potrzeba $125 : \textcolor{#16A06A}{10} = 12{,}5$ litra.
5. Podano 12 litrów, a to daje tylko $12 \cdot \textcolor{#16A06A}{10} = 120$ m² — za mało — fałsz.
6. Odpowiedzi: P, F.

💡 Wskazówka: Przy proporcjonalności prostej wystarczy jedna wartość jednostkowa (tu 10 m² na litr) i całe zadanie sprowadza się do mnożenia albo dzielenia przez nią.

⚠ Najczęstszy błąd w zdaniu 2: zaokrąglenie $12{,}5$ w dół do 12 i uznanie, że „wystarczy”. Przy pytaniu, czy coś wystarczy, zawsze sprawdź, ile realnie da podana ilość.

Odpowiedź: A

1. Wykonujemy przesunięcie o $\textcolor{#E0453A}{(+4, +3)}$ — cztery w prawo i trzy w górę.
2. $x$: $\textcolor{#16A06A}{-1} + \textcolor{#E0453A}{4} = 3$
3. $y$: $\textcolor{#16A06A}{-2} + \textcolor{#E0453A}{3} = 1$
4. Otrzymany punkt to $(3, 1)$, czyli $P_2$ — odpowiedź A.

💡 Wskazówka: Zamiast liczyć, można po prostu „przejść” po kratkach: z punktu $P_1$ cztery kratki w prawo i trzy w górę. Trafiasz dokładnie w $P_2$.

⚠ Najczęstszy błąd na liczbach ujemnych: $-1 + 4 = -5$ albo $-2 + 3 = -5$. Dodawanie liczby dodatniej przesuwa w prawo i w górę, więc wynik musi być większy od punktu wyjścia.

Odpowiedź: B

1. Najwygodniej zacząć od najmniejszego kwadratu — przyjmijmy, że jego bok to $\textcolor{#16A06A}{1}$.
2. Trzy małe kwadraty stoją w rzędzie pod dużym, więc bok dużego kwadratu wynosi $3 \cdot \textcolor{#16A06A}{1} = \textcolor{#16A06A}{3}$.
3. Wysokość prostokąta to prawa kolumna: duży kwadrat plus mały, czyli $b = \textcolor{#16A06A}{3} + \textcolor{#16A06A}{1} = \textcolor{#E0453A}{4}$.
4. Lewa kolumna ma tę samą wysokość $\textcolor{#E0453A}{4}$ i składa się z dwóch jednakowych kwadratów, więc każdy ma bok $\textcolor{#E0453A}{4} : 2 = \textcolor{#16A06A}{2}$ — i tyle wynosi szerokość tej kolumny.
5. Szerokość prostokąta: $a = \textcolor{#16A06A}{2} + \textcolor{#16A06A}{3} = \textcolor{#E0453A}{5}$.
6. Stosunek: $a : b = \textcolor{#E0453A}{5} : \textcolor{#E0453A}{4}$ — odpowiedź B.

💡 Wskazówka: W układankach z kwadratów zaczynaj od najmniejszego elementu i nadaj mu bok 1. Wszystkie pozostałe wymiary wyrażą się wtedy liczbami całkowitymi.

⚠ Najczęstszy błąd: zgadywanie stosunku „na oko” z rysunku. Proporcje na rysunkach egzaminacyjnych bywają celowo zaburzone — trzeba je wyliczyć.

Odpowiedź: P, P

1. Zdanie 1. Trójkąt $ADE$ jest prostokątny i równoramienny, więc obie jego przyprostokątne są równe: $\textcolor{#16A06A}{AE} = \textcolor{#16A06A}{AD}$.
2. Z pola: $\tfrac12 \cdot \textcolor{#16A06A}{AE} \cdot \textcolor{#16A06A}{AD} = 200$, czyli $\tfrac12 \textcolor{#16A06A}{AE}^2 = 200$.
3. Stąd $\textcolor{#16A06A}{AE}^2 = 400$, więc $\textcolor{#16A06A}{AE} = \textcolor{#16A06A}{AD} = 20$ cm ✓ — prawda.
4. Zdanie 2. Cofamy wydłużenia, żeby wrócić do małego trójkąta:
5. $AC = \textcolor{#16A06A}{AE} - \textcolor{#E0453A}{7} = 20 - \textcolor{#E0453A}{7} = \textcolor{#16A06A}{13}$ cm,   $AB = \textcolor{#16A06A}{AD} - \textcolor{#E0453A}{12} = 20 - \textcolor{#E0453A}{12} = \textcolor{#16A06A}{8}$ cm.
6. Pole $ABC$: $\tfrac12 \cdot \textcolor{#16A06A}{13} \cdot \textcolor{#16A06A}{8} = 52$ cm² ✓ — prawda.
7. Odpowiedzi: P, P.

💡 Wskazówka: „Prostokątny równoramienny” znaczy, że równe są przyprostokątne — nie przeciwprostokątna z przyprostokątną (to nigdy nie zachodzi).

⚠ Najczęstszy błąd: pominięcie $\tfrac12$ we wzorze na pole i przyjęcie $AE^2 = 200$. Wychodzi wtedy $AE = \sqrt{200}$, czyli liczba niewymierna — sygnał, że coś jest nie tak.

Odpowiedź: B, C

1. Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma cztery jednakowe ściany boczne i jedną kwadratową podstawę.
2. Pole boczne. Cztery takie same ściany:
3. $P_b = 4 \cdot \textcolor{#E0453A}{\tfrac29 P} = \textcolor{#E0453A}{\tfrac89 P}$ — odpowiedź B.
4. Pole podstawy. To, co zostaje z całości:
5. $\textcolor{#16A06A}{P_p} = P - \textcolor{#E0453A}{\tfrac89 P} = \textcolor{#16A06A}{\tfrac19 P}$.
6. Porównanie. $\textcolor{#16A06A}{\tfrac19 P}$ wobec $\textcolor{#E0453A}{\tfrac29 P}$ — podstawa jest dwa razy mniejsza niż jedna ściana boczna — odpowiedź C.

💡 Wskazówka: Zapisuj wszystko w dziewiątych częściach $P$ — wtedy porównanie to zwykłe patrzenie na liczniki: $1$ wobec $2$.

⚠ Najczęstszy błąd: pomnożenie $\tfrac29 P$ przez $3$ zamiast przez $4$ (odpowiedź A). Ostrosłup czworokątny ma cztery ściany boczne — tyle, ile boków ma podstawa.

Odpowiedź: 600 elementów

1. Oznaczamy przez $\textcolor{#16A06A}{n}$ liczbę elementów w jednym zestawie (oba są takie same).
2. Ela ułożyła $\textcolor{#E0453A}{\dfrac{2}{5}n}$, Ania $\textcolor{#E0453A}{\dfrac{1}{3}n}$, a razem 440 elementów:
3. $\textcolor{#E0453A}{\dfrac{2}{5}\textcolor{#16A06A}{n}} + \textcolor{#E0453A}{\dfrac{1}{3}\textcolor{#16A06A}{n}} = 440$.
4. Sprowadzamy ułamki do mianownika 15: $\dfrac{6}{15}\textcolor{#16A06A}{n} + \dfrac{5}{15}\textcolor{#16A06A}{n} = \dfrac{11}{15}\textcolor{#16A06A}{n}$.
5. Zatem $\dfrac{11}{15}\textcolor{#16A06A}{n} = 440$, więc $\textcolor{#16A06A}{n} = 440 \cdot \dfrac{15}{11} = 600$.
6. Odpowiedź: jeden zestaw składa się z 600 elementów.
7. Sprawdzenie: Ela ułożyła $240$, Ania $200$, a $240 + 200 = 440$ ✓

💡 Wskazówka: Uwaga na pytanie: zadanie prosi o jeden zestaw, a nie o oba razem. Ułamki $\tfrac25$ i $\tfrac13$ odnoszą się do własnych zestawów każdej z dziewczynek.

⚠ Najczęstszy błąd: potraktowanie 440 jako części wspólnej puli dwóch zestawów i podzielenie wyniku przez 2. Każda dziewczynka układała swój zestaw.

Odpowiedź: 650 cm²

1. Krok 1 — odcinek $AE$. Trójkąt $AED$ jest prostokątny (kąt prosty przy narożniku $D$):
2. $\textcolor{#E0453A}{AE} = \sqrt{\textcolor{#16A06A}{15}^2 + \textcolor{#16A06A}{20}^2} = \sqrt{225 + 400} = \sqrt{625} = \textcolor{#E0453A}{25}$ cm.
3. Krok 2 — odcinek $EC$. W trójkącie $ACE$ dwa kąty są równe ($\alpha$ przy $A$ i przy $C$), więc jest on równoramienny.
4. Równe kąty leżą naprzeciw równych boków, zatem $EC = \textcolor{#E0453A}{AE} = \textcolor{#E0453A}{25}$ cm.
5. Krok 3 — bok prostokąta. $DC = \textcolor{#16A06A}{DE} + EC = \textcolor{#16A06A}{15} + \textcolor{#E0453A}{25} = \textcolor{#16A06A}{40}$ cm, a więc również $AB = \textcolor{#16A06A}{40}$ cm.
6. Krok 4 — pole trapezu $ABCE$. Podstawy: $AB = \textcolor{#16A06A}{40}$ i $EC = \textcolor{#E0453A}{25}$; wysokość to bok $AD = \textcolor{#16A06A}{20}$ cm.
7. $P = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{40} + \textcolor{#E0453A}{25}}{2} \cdot \textcolor{#16A06A}{20} = 32{,}5 \cdot \textcolor{#16A06A}{20} = 650$ cm².
8. Odpowiedź: pole trapezu $ABCE$ wynosi 650 cm².

💡 Wskazówka: Zaznaczenie dwóch równych kątów to zawsze podpowiedź: trójkąt jest równoramienny. A stąd od razu wiadomo, które boki są równe.

⚠ Najczęstszy błąd: przyjęcie $EC = 15$ cm (czyli że $E$ jest środkiem boku $DC$). Nic tego nie gwarantuje — o długości $EC$ decydują dopiero równe kąty.

Odpowiedź: 2472 zł

1. Krok 1 — jak masa dzieli się na rodzaje opakowań.
2. duże: połowa ze $\textcolor{#16A06A}{120}$ kg $= \textcolor{#16A06A}{60}$ kg  •  średnie: $10\%$ ze $\textcolor{#16A06A}{120}$ kg $= \textcolor{#16A06A}{12}$ kg
3. małe: reszta, czyli $\textcolor{#16A06A}{120} - \textcolor{#16A06A}{60} - \textcolor{#16A06A}{12} = \textcolor{#16A06A}{48}$ kg
4. Krok 2 — ile było opakowań każdego rodzaju. Dzielimy masę przez pojemność jednego opakowania:
5. duże: $\textcolor{#16A06A}{60} : 1 = \textcolor{#E0453A}{60}$  •  średnie: $\textcolor{#16A06A}{12} : 0{,}5 = \textcolor{#E0453A}{24}$  •  małe: $\textcolor{#16A06A}{48} : 0{,}25 = \textcolor{#E0453A}{192}$
6. Krok 3 — utarg z każdego rodzaju.
7. duże: $\textcolor{#E0453A}{60} \cdot 18 = 1080$ zł  •  średnie: $\textcolor{#E0453A}{24} \cdot 10 = 240$ zł  •  małe: $\textcolor{#E0453A}{192} \cdot 6 = 1152$ zł
8. Krok 4 — razem.
9. $1080 + 240 + 1152 = 2472$ zł.
10. Odpowiedź: pan Jan otrzymał 2472 zł.

💡 Wskazówka: Dzielenie przez $0{,}25$ to mnożenie przez $4$, a przez $0{,}5$ — mnożenie przez $2$. W tym zadaniu oszczędza to sporo czasu.

⚠ Najczęstszy błąd: pomnożenie masy przez cenę opakowania (np. $48 \cdot 6$) z pominięciem kroku „ile było opakowań”. Cena dotyczy jednego opakowania, a nie kilograma.

Odpowiedź: $2\ \text{cm}$

1. Krok $\boldsymbol{1}$ — wysokość ostrosłupa. Znamy objętość i krawędź podstawy, więc wysokość wyznaczamy ze wzoru:
2. $\tfrac13 \cdot \textcolor{#16A06A}{9}^2 \cdot \textcolor{#E0453A}{H} = 324$
3. $\tfrac13 \cdot \textcolor{#16A06A}{81} \cdot \textcolor{#E0453A}{H} = 324$, czyli $27\textcolor{#E0453A}{H} = 324$, więc $\textcolor{#E0453A}{H} = \textcolor{#E0453A}{12}$ cm.
4. Krok $\boldsymbol{2}$ — wysokość wieży I. Sześcian plus ostrosłup:
5. $\textcolor{#16A06A}{10} + \textcolor{#E0453A}{12} = \textcolor{#16A06A}{22}$ cm.
6. Krok $\boldsymbol{3}$ — wysokość wieży II. Dwa sześciany:
7. $2 \cdot \textcolor{#16A06A}{10} = \textcolor{#16A06A}{20}$ cm.
8. Krok $\boldsymbol{4}$ — różnica. $\textcolor{#16A06A}{22} - \textcolor{#16A06A}{20} = 2$ cm.
9. Odpowiedź: wieża I jest wyższa od wieży II o $\boldsymbol{2\ \text{cm}}$.

💡 Wskazówka: Zwróć uwagę, że krawędź podstawy ostrosłupa $(9\ \text{cm})$ jest mniejsza niż krawędź sześcianu $(10\ \text{cm})$ — ostrosłup stoi więc stabilnie na górnej ścianie. Do rachunku ta liczba jest potrzebna tylko po to, by wyznaczyć wysokość.

⚠ Najczęstszy błąd: przyjęcie za wysokość ostrosłupa jego krawędzi bocznej albo krawędzi podstawy. Wysokość trzeba tu wyliczyć z objętości — nie ma jej podanej wprost.