Egzamin ósmoklasisty · matematyka · marzec 2021

Próbny egzamin ósmoklasisty marzec 2021 z matematyki – odpowiedzi i rozwiązania

Próbny egzamin ósmoklasisty z matematyki przygotowany przez CKE w marcu 2021 roku. Arkusz OMAP-100-2103 miał 19 zadań: 15 zamkniętych i 4 otwartych, razem 25 punktów, a na rozwiązanie było 100 minut. Niżej jest tabela odpowiedzi, a pod nią każde zadanie w kolejności z arkusza z naszym rozwiązaniem krok po kroku.

Tabela odpowiedzi ↓

19zadań · 25 pkt

Odpowiedzi – próbny egzamin ósmoklasisty marzec 2021, matematyka

Odpowiedzi do zadań zamkniętych zgadzają się z kluczem w zasadach oceniania CKE. Przy zadaniach otwartych podajemy wynik; pełny tok obliczeń jest przy zadaniu.

Zadanie	Punkty	Odpowiedź
Zadanie 1	1 pkt	B
Zadanie 2	1 pkt	PP
Zadanie 3	1 pkt	D
Zadanie 4	1 pkt	A
Zadanie 5	1 pkt	C
Zadanie 6	1 pkt	PF
Zadanie 7	1 pkt	D
Zadanie 8	1 pkt	BC
Zadanie 9	1 pkt	A, 3
Zadanie 10	1 pkt	FP
Zadanie 11	1 pkt	PP
Zadanie 12	1 pkt	A
Zadanie 13	1 pkt	PF
Zadanie 14	1 pkt	B
Zadanie 15	1 pkt	C
Zadanie 16	2 pkt	dowód
Zadanie 17	3 pkt	6 minut
Zadanie 18	2 pkt	16 białych róż
Zadanie 19	3 pkt	66 cm

Zadania z rozwiązaniami krok po kroku

Rozwiązanie każdego zadania otwiera się po kliknięciu „Zobacz rozwiązanie”. Najpierw spróbuj samodzielnie, a potem porównaj swój tok rozumowania z naszym.

Zadanie 1 – odczytywanie danych z tabel, diagramów i wykresów (1 pkt)

Zadanie 11 pkttrudniejsze

W gazetce szkolnej opisano ankietę przeprowadzoną wśród uczniów klas ósmych. Uczniowie wskazywali jedną z czterech odpowiedzi na pytanie o wybór szkoły ponadpodstawowej. Sześciu spośród uczniów, którzy oddali ankietę, nie zdecydowało się jeszcze na typ szkoły. Wyniki przedstawiono na diagramie kołowym.

Poniżej zapisano trzy prawdziwe informacje:
I. Ankietę oddało łącznie 150 uczniów.
II. W ankiecie wzięli udział wszyscy uczniowie klas ósmych.
III. Łącznie mniej niż połowa uczniów biorących udział w ankiecie zamierza kontynuować naukę w technikum lub w branżowej szkole.

Które z tych informacji wynikają z analizy danych zamieszczonych w treści artykułu?

Dane z rysunku — wersja tekstowa

Typ szkoły	liceum	technikum	branżowa	jeszcze nie wiem
Udział	56%	24%	16%	—

A. Tylko I i II.
B. Tylko I i III.
C. Tylko II i III.
D. Wszystkie — I, II i III.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Informacja I. Najpierw wyliczamy, ile procent to „jeszcze nie wiem”:
$100\% - \textcolor{#16A06A}{56\%} - \textcolor{#16A06A}{24\%} - \textcolor{#16A06A}{16\%} = \textcolor{#16A06A}{4\%}$
Wiemy, że tej odpowiedzi udzieliło $\textcolor{#16A06A}{6}$ uczniów, więc $\textcolor{#16A06A}{4\%}$ to $\textcolor{#16A06A}{6}$ osób.
$1\%$ to $6 : 4 = 1{,}5$ osoby, a całość: $\textcolor{#E0453A}{1{,}5} \cdot 100 = \textcolor{#E0453A}{150}$ uczniów ✓ — wynika.
Informacja II. Z artykułu wiadomo tylko, ilu uczniów oddało ankietę. Nigdzie nie podano, ilu w ogóle jest ósmoklasistów w tej szkole — być może ktoś ankiety nie oddał. Nie wynika.
Informacja III. Technikum i branżowa razem: $\textcolor{#16A06A}{24\%} + \textcolor{#16A06A}{16\%} = 40\%$ , a to mniej niż $50\%$ ✓ — wynika.
Odpowiedź B — tylko I i III.

💡 Wskazówka: Kotwica „ $4\%$ to 6 osób” pozwala odtworzyć całość. Zawsze szukaj w takim zadaniu pary „tyle procent — tyle sztuk” — to jedyne miejsce, w którym diagram łączy się z konkretnymi liczbami.

⚠ Najczęstszy błąd: uznanie informacji II za prawdziwą, bo „przecież ankieta była dla wszystkich klas ósmych”. Ankieta była skierowana do wszystkich, ale z danych nie wynika, że wszyscy ją oddali.

To zadanie na osobnej stronie Więcej zadań: odczytywanie danych z tabel, diagramów i wykresów

Zadanie 2 – podzielność, cyfry i zaokrąglanie (1 pkt)

Zadanie 21 pktśrednie

Piłki tenisowe zapakowano do 186 jednakowych pudełek. Do każdego z tych pudełek włożono po 6 piłek. Oceń prawdziwość podanych zdań.

Liczba wszystkich spakowanych piłek jest podzielna przez 4.	P	F
Wszystkie te piłki można byłoby spakować do większych pudełek — po 9 piłek w każdym.	P	F

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P, P

Liczymy wszystkie piłki: $186 \cdot 6 = 1116$ .
Zdanie 1 — podzielność przez 4 sprawdzamy po dwóch ostatnich cyfrach: $11\textcolor{#16A06A}{16}$ , a $\textcolor{#16A06A}{16} : 4 = 4$ ✓ — prawda ( $1116 : 4 = 279$ ).
Zdanie 2 — „spakować po 9” znaczy: czy 1116 dzieli się przez 9?
Cecha podzielności przez 9: suma cyfr $1 + 1 + 1 + 6 = \textcolor{#E0453A}{9}$ , a $\textcolor{#E0453A}{9}$ dzieli się przez 9 ✓ — prawda ( $1116 : 9 = 124$ pudełka).
Odpowiedzi: P, P.

💡 Wskazówka: Cecha podzielności przez 9 działa tak samo jak przez 3 — tylko suma cyfr musi się dzielić przez 9, a nie przez 3.

⚠ Częsty błąd: uznanie, że skoro pakowaliśmy po 6, to po 9 się nie da. Pakowanie zmienia tylko rozmiar pudełka — liczy się, czy łączna liczba piłek dzieli się przez 9.

To zadanie na osobnej stronie Więcej zadań: podzielność, cyfry i zaokrąglanie

Zadanie 3 – działania na ułamkach (1 pkt)

Zadanie 31 pktśrednie

Która z poniższych nierówności jest prawdziwa?

A. $\dfrac{25}{9} < \dfrac{23}{9}$
B. $\dfrac{5}{4} + \dfrac{5}{2} > 4$
C. $\dfrac{13}{17} \cdot 3 > \dfrac{39}{17}$
D. $\dfrac{11}{12} > \dfrac{11}{13}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

A — ten sam mianownik, więc decyduje licznik: $25 > 23$ , czyli $\tfrac{25}{9} > \tfrac{23}{9}$ . Nierówność jest odwrotna — fałsz.
B — $\dfrac{5}{4} + \dfrac{5}{2} = 1{,}25 + 2{,}5 = 3{,}75$ , a to mniej niż 4 — fałsz.
C — $\dfrac{13}{17} \cdot 3 = \dfrac{39}{17}$ , czyli obie strony są równe. Nierówność ostra „ $>$ ” nie zachodzi — fałsz.
D — ten sam licznik (11), więc decyduje mianownik: im mniejszy mianownik, tym większy ułamek (dzielimy na mniej części). Skoro $12 < 13$ , to $\dfrac{11}{12} > \dfrac{11}{13}$ ✓ — prawda.
Odpowiedź D.

💡 Wskazówka: Dwie reguły, które załatwiają większość porównań: ten sam mianownik → większy licznik wygrywa; ten sam licznik → mniejszy mianownik wygrywa (bo tort dzielony na mniej kawałków daje większe kawałki).

⚠ Najczęstszy błąd: odpowiedź C — przy szybkim czytaniu $\tfrac{13}{17} \cdot 3$ wygląda na coś większego, ale to dokładnie $\tfrac{39}{17}$ . Znak „ $>$ ” wymaga ścisłej większości.

To zadanie na osobnej stronie Więcej zadań: działania na ułamkach

Zadanie 4 – działania na ułamkach (1 pkt)

Zadanie 41 pktśrednie

Dane są trzy wyrażenia:
I.

6 \cdot 1\dfrac{2}{3}

· II.

6 : 1{,}2

· III.

7{,}25 - 2\dfrac{1}{4}

Dokończ zdanie.
Liczbami całkowitymi są wartości wyrażeń

A. I, II i III.
B. Tylko I i II.
C. Tylko II i III.
D. Tylko I i III.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

I. Zamieniamy liczbę mieszaną na ułamek niewłaściwy: $1\dfrac23 = \textcolor{#16A06A}{\dfrac{5}{3}}$ .
$6 \cdot \textcolor{#16A06A}{\dfrac{5}{3}} = \dfrac{30}{3} = 10$ — liczba całkowita ✓
II. $6 : 1{,}2$ — mnożymy obie liczby przez 10, żeby pozbyć się przecinka: $60 : 12 = 5$ — całkowita ✓
III. $2\dfrac14 = 2{,}25$ , więc $7{,}25 - 2{,}25 = 5$ — całkowita ✓
Wszystkie trzy dają liczby całkowite — odpowiedź A.

💡 Wskazówka: Przy dzieleniu przez liczbę z przecinkiem pomnóż obie liczby przez 10 (albo 100). Wynik dzielenia się nie zmieni, a rachunek robi się dużo prostszy.

⚠ Częsty błąd w I: pomnożenie 6 tylko przez część całkowitą ( $6 \cdot 1 = 6$ ) i osobne dodanie $\tfrac23$ . Liczbę mieszaną trzeba najpierw zamienić na ułamek niewłaściwy.

To zadanie na osobnej stronie Więcej zadań: działania na ułamkach

Zadanie 5 – zamiana jednostek czasu i zadania o wydajności (1 pkt)

Zadanie 51 pktśrednie

Asia wzięła udział w zajęciach teatralnych. Zajęcia składały się z 2 części, każda trwała tyle samo minut. Pomiędzy pierwszą a drugą częścią była 10-minutowa przerwa. Zajęcia rozpoczęły się o godzinie

17\!:\!45

, a zakończyły o

19\!:\!05

. Dokończ zdanie.
Druga część zajęć rozpoczęła się o godzinie

A. $18\!:\!20$
B. $18\!:\!25$
C. $18\!:\!30$
D. $18\!:\!35$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Najpierw łączny czas zajęć: od $17\!:\!45$ do $19\!:\!05$ . Do $18\!:\!45$ mija godzina, a stamtąd do $19\!:\!05$ jeszcze 20 minut — razem $\textcolor{#16A06A}{80}$ minut.
Odejmujemy przerwę, żeby zostały same części: $\textcolor{#16A06A}{80} - 10 = \textcolor{#E0453A}{70}$ minut.
Obie części trwały tyle samo, więc każda: $\textcolor{#E0453A}{70} : 2 = 35$ minut.
Pierwsza część: od $17\!:\!45$ przez 35 minut, czyli do $18\!:\!20$ .
Potem 10 minut przerwy — druga część zaczyna się o $18\!:\!20 + 10$ min $= 18\!:\!30$ .
Odpowiedź C.

💡 Wskazówka: Rysuj sobie oś czasu z zaznaczonymi odcinkami: część — przerwa — część. Widać wtedy od razu, że przerwę trzeba odjąć przed dzieleniem na pół.

⚠ Najczęstszy błąd: podanie godziny zakończenia pierwszej części ( $18\!:\!20$ — kusząca odpowiedź A) zamiast rozpoczęcia drugiej. Między nimi jest jeszcze 10 minut przerwy.

To zadanie na osobnej stronie Więcej zadań: zamiana jednostek czasu i zadania o wydajności

Zadanie 6 – procenty (1 pkt)

Zadanie 61 pkttrudniejsze

Cenę laptopa obniżono najpierw o 15%, a później o 150 zł. Po obu obniżkach laptop kosztuje 2400 zł. Oceń prawdziwość podanych zdań.

Przed tymi dwoma obniżkami laptop kosztował 3000 zł.	P	F
Po obu obniżkach cena laptopa stanowi 85% ceny początkowej.	P	F

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P, F

Idziemy od tyłu. Cena końcowa to 2400 zł, a ostatnim krokiem było odjęcie 150 zł.
Zatem przed drugą obniżką laptop kosztował $2400 + 150 = 2550$ zł.
Ta kwota powstała po obniżce o $\textcolor{#E0453A}{15\%}$ , czyli stanowi $\textcolor{#16A06A}{85\%}$ ceny początkowej: $\textcolor{#16A06A}{0{,}85} \cdot c = 2550$ .
Stąd $c = 2550 : \textcolor{#16A06A}{0{,}85} = 3000$ zł ✓ — pierwsze zdanie prawdziwe.
Zdanie 2: sprawdzamy, jaki procent ceny początkowej stanowi 2400 zł: $\dfrac{2400}{3000} = 0{,}8 = 80\%$ , a nie 85% — fałsz.
Dlaczego? Bo $\textcolor{#16A06A}{85\%}$ to była cena po pierwszej obniżce. Potem doszło jeszcze 150 zł w dół.
Odpowiedzi: P, F.

💡 Wskazówka: Gdy obniżek jest kilka, rozwiązuj zadanie od końca i cofaj każdy krok osobno: dodaj kwotę, którą odjęto, i podziel przez mnożnik, przez który mnożono.

⚠ Częsty błąd w drugim zdaniu: odruchowe przepisanie „85%” z treści zadania. Te 85% dotyczą tylko pierwszej obniżki — po drugiej cena spadła jeszcze niżej.

To zadanie na osobnej stronie Więcej zadań: procenty

Zadanie 7 – potęgi (1 pkt)

Zadanie 71 pkttrudniejsze

Wartość wyrażenia

\dfrac{6^8}{2^4}

jest równa:

A. $3^2$
B. $3^4$
C. $2^2 \cdot 3^8$
D. $2^4 \cdot 3^8$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Rozkładamy podstawę: $6 = \textcolor{#16A06A}{2} \cdot \textcolor{#16A06A}{3}$ , więc $6^8 = (\textcolor{#16A06A}{2} \cdot \textcolor{#16A06A}{3})^{\textcolor{#E0453A}{8}} = \textcolor{#16A06A}{2}^{\textcolor{#E0453A}{8}} \cdot \textcolor{#16A06A}{3}^{\textcolor{#E0453A}{8}}$ .
Dzielimy: $\dfrac{\textcolor{#16A06A}{2}^{\textcolor{#E0453A}{8}} \cdot \textcolor{#16A06A}{3}^{\textcolor{#E0453A}{8}}}{\textcolor{#16A06A}{2}^{\textcolor{#2F80D8}{4}}} = \textcolor{#16A06A}{2}^{\textcolor{#E0453A}{8}-\textcolor{#2F80D8}{4}} \cdot \textcolor{#16A06A}{3}^{\textcolor{#E0453A}{8}} = 2^{4} \cdot 3^{8}$ .

💡 Wskazówka: Gdy podstawy nie są takie same, rozłóż je na czynniki pierwsze — wtedy widać, co się skraca.

⚠ Częsty błąd: potraktowanie tego jak $\left(\tfrac{6}{2}\right)^{8-4} = 3^4$ — tak wolno tylko przy równych wykładnikach.

To zadanie na osobnej stronie Więcej zadań: potęgi

Zadanie 8 – pierwiastki (1 pkt)

Zadanie 81 pktśrednie

Uzupełnij zdania.

Wartość wyrażenia

1 + \frac{25}{144}

jest równa AB.

A. $1 \frac{5}{12}$
B. $1 \frac{1}{12}$

Wartość wyrażenia

3 3 + \frac{3}{8}

jest równa CD.

C. $1 \frac{1}{2}$
D. $1 \frac{1}{8}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B, C

Najpierw dodajemy pod pierwiastkiem: $1 + \frac{25}{144} = \frac{169}{144}$ . Potem $\frac{169}{144} = \frac{13}{12} = 1 \frac{1}{12}$ — odpowiedź B.
$3 + \frac{3}{8} = \frac{27}{8}$ , a $3 \frac{27}{8} = \frac{3}{2} = 1 \frac{1}{2}$ — odpowiedź C.

💡 Wskazówka: Pod pierwiastkiem najpierw wykonaj dodawanie i zamień wynik na ułamek niewłaściwy — wtedy często wychodzą kwadraty albo sześciany liczb.

⚠ Błąd: pierwiastkowanie każdego składnika osobno: $1 + \frac{25}{144} = 1 \frac{5}{12}$ .

Więcej zadań: pierwiastki

Zadanie 9 – prawdopodobieństwo (1 pkt)

Zadanie 91 pkttrudniejsze

Na festyn przygotowano loterię, w której było 120 losów, w tym 80 wygrywających. Przed rozpoczęciem festynu dołożono jeszcze 20 losów wygrywających i 20 przegrywających. Czy prawdopodobieństwo wyciągnięcia losu wygrywającego zmieniło się po dołożeniu losów?

A	Tak,	ponieważ	1.	różnica liczby losów wygrywających i przegrywających po dołożeniu losów jest taka sama jak na początku.

			2.	dołożono tyle samo losów wygrywających co przegrywających.
B	Nie,
			3.	zmienił się stosunek liczby losów wygrywających do liczby wszystkich losów.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A, 3

Liczymy prawdopodobieństwo przed dołożeniem: $\dfrac{\textcolor{#16A06A}{80}}{\textcolor{#E0453A}{120}} = \dfrac{2}{3} \approx 0{,}67$ .
Po dołożeniu: wygrywających jest $80 + 20 = \textcolor{#16A06A}{100}$ , a wszystkich $120 + 40 = \textcolor{#E0453A}{160}$ .
$P = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{100}}{\textcolor{#E0453A}{160}} = \dfrac{5}{8} = 0{,}625$ .
Skoro $\tfrac23 \ne \tfrac58$ , prawdopodobieństwo się zmieniło — odpowiedź A.
Powód: o prawdopodobieństwie decyduje stosunek wygrywających do wszystkich, a ten stosunek się zmienił — uzasadnienie 3.
Dlaczego nie 1. ani 2.? Oba te zdania są prawdziwe (różnica 40 zostaje, dołożono po równo), ale opisują różnicę i sumę, a nie stosunek. A to stosunek decyduje o prawdopodobieństwie.

💡 Wskazówka: Dopisanie takiej samej liczby do licznika i mianownika zmienia ułamek — i zawsze przybliża go do 1. Sprawdź na prostym przykładzie: $\tfrac12$ , a po dodaniu 1 do obu $\tfrac23$ .

⚠ Najczęstszy błąd: odpowiedź B z uzasadnieniem 2 („dołożono po równo, więc bez zmian”). To rozumowanie działa dla różnicy, ale nie dla ułamka.

To zadanie na osobnej stronie Więcej zadań: prawdopodobieństwo

Zadanie 10 – obliczanie i przekształcanie wzorów (1 pkt)

Zadanie 101 pktśrednie

Zależność między liczbą przekątnych (

k

) a liczbą boków (

n

) wielokąta wypukłego określa wzór

\;k = \dfrac{n(n - 3)}{2}

. Oceń prawdziwość podanych zdań.

Liczba przekątnych w dwunastokącie wypukłym jest trzy razy większa od liczby przekątnych w czworokącie wypukłym.	P	F
Liczba przekątnych w ośmiokącie wypukłym jest o $11$ większa od liczby przekątnych w sześciokącie wypukłym.	P	F

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: F, P

Za każdym razem podstawiamy liczbę boków do wzoru.
Dwunastokąt ( $\textcolor{#E0453A}{n = 12}$ ): $k = \dfrac{12 \cdot (12 - 3)}{2} = \dfrac{12 \cdot 9}{2} = \textcolor{#16A06A}{54}$ .
Czworokąt ( $\textcolor{#E0453A}{n = 4}$ ): $k = \dfrac{4 \cdot 1}{2} = \textcolor{#16A06A}{2}$ .
Zdanie $\boldsymbol{1}$ : czy $\textcolor{#16A06A}{54} = 3 \cdot \textcolor{#16A06A}{2}$ ? Nie — $3 \cdot 2 = 6$ , a nie $54$ — fałsz.
Ośmiokąt ( $\textcolor{#E0453A}{n = 8}$ ): $k = \dfrac{8 \cdot 5}{2} = \textcolor{#16A06A}{20}$ . Sześciokąt ( $\textcolor{#E0453A}{n = 6}$ ): $k = \dfrac{6 \cdot 3}{2} = \textcolor{#16A06A}{9}$ .
Zdanie $\boldsymbol{2}$ : $\textcolor{#16A06A}{20} - \textcolor{#16A06A}{9} = 11$ ✓ — prawda.
Odpowiedzi: F, P.

💡 Wskazówka: Skąd bierze się ten wzór? Z każdego z $n$ wierzchołków wychodzi $n-3$ przekątnych (nie liczymy jego samego ani dwóch sąsiadów), a każdą przekątną liczymy dwa razy — stąd dzielenie przez $2$ .

⚠ Częsty błąd: intuicja „trzy razy więcej boków, więc trzy razy więcej przekątnych”. Liczba przekątnych rośnie znacznie szybciej niż liczba boków — zależy od $n^2$ .

To zadanie na osobnej stronie Więcej zadań: obliczanie i przekształcanie wzorów

Zadanie 11 – pola figur (1 pkt)

Zadanie 111 pkttrudniejsze

W zeszycie w linie narysowano dwa równoległoboki (

P

R

) oraz trójkąt (

S

). Odległości między sąsiednimi liniami są jednakowe. Podstawy wszystkich tych figur mają taką samą długość. Równoległobok

P

ma wysokość równą jednemu odstępowi między liniami, a równoległobok

R

i trójkąt

S

— po dwa odstępy. Pole równoległoboku

P

jest równe 4. Oceń prawdziwość podanych zdań.

Pole równoległoboku $R$ jest równe 8.	P	F
Pole trójkąta $S$ jest równe 4.	P	F

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P, P

Oznaczmy wspólną podstawę przez $\textcolor{#16A06A}{a}$ , a odstęp między liniami przez $\textcolor{#E0453A}{h}$ .
Równoległobok $P$ : wysokość $\textcolor{#E0453A}{h}$ , więc $P_P = \textcolor{#16A06A}{a} \cdot \textcolor{#E0453A}{h} = 4$ .
Zdanie 1 — równoległobok $R$ : wysokość $2\textcolor{#E0453A}{h}$ , więc $P_R = \textcolor{#16A06A}{a} \cdot 2\textcolor{#E0453A}{h} = 2 \cdot (\textcolor{#16A06A}{a}\textcolor{#E0453A}{h}) = 2 \cdot 4 = 8$ ✓ — prawda.
Zdanie 2 — trójkąt $S$ : ta sama podstawa i wysokość $2\textcolor{#E0453A}{h}$ , ale we wzorze na pole trójkąta jest jeszcze $\tfrac12$ :
$P_S = \tfrac12 \cdot \textcolor{#16A06A}{a} \cdot 2\textcolor{#E0453A}{h} = \textcolor{#16A06A}{a}\textcolor{#E0453A}{h} = 4$ ✓ — prawda.
Odpowiedzi: P, P.

💡 Wskazówka: Nie musisz znać ani podstawy, ani odstępu — wystarczy, że wiesz, ile razy dana figura jest „wyższa” i czy jest trójkątem. Wszystko liczy się względem pola $P$ .

⚠ Ciekawy zbieg okoliczności w zadaniu: trójkąt $S$ jest dwa razy wyższy od równoległoboku $P$ , ale wzór ma $\tfrac12$ — te dwa efekty się znoszą i pola wychodzą równe.

To zadanie na osobnej stronie Więcej zadań: pola figur

Zadanie 12 – podział proporcjonalny i stosunki (1 pkt)

Zadanie 121 pktśrednie

W trójkącie stosunek miar kątów jest równy

2 : 3 : 7

. Dokończ zdanie.
Trójkąt o podanych własnościach jest

A. rozwartokątny
B. prostokątny
C. ostrokątny
D. równoramienny

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Kluczowa wiedza: suma kątów w każdym trójkącie wynosi $180°$ — to jest nasza „całość”.
Liczba wszystkich części: $2 + 3 + 7 = \textcolor{#16A06A}{12}$ .
Jedna część: $180° : \textcolor{#16A06A}{12} = \textcolor{#E0453A}{15°}$ .
Liczymy kąty: $2 \cdot \textcolor{#E0453A}{15°} = 30°$ , $3 \cdot \textcolor{#E0453A}{15°} = 45°$ , $7 \cdot \textcolor{#E0453A}{15°} = 105°$ .
Największy kąt ma $105°$ , czyli więcej niż $90°$ — trójkąt jest rozwartokątny.
Odpowiedź A. Sprawdzenie: $30° + 45° + 105° = 180°$ ✓

💡 Wskazówka: Wystarczy sprawdzić największy kąt: jeśli przekracza $90°$ — rozwartokątny, jeśli równy $90°$ — prostokątny, jeśli mniejszy — ostrokątny.

⚠ Odpowiedź D (równoramienny) odpada, bo wszystkie trzy liczby stosunku są różne — czyli wszystkie kąty są różne, a więc i wszystkie boki.

To zadanie na osobnej stronie Więcej zadań: podział proporcjonalny i stosunki

Zadanie 13 – pola figur (1 pkt)

Zadanie 131 pkttrudniejsze

Prostokąt

ABCD

podzielono odcinkiem

EF

(równoległym do podstawy) na dwa prostokąty. Odcinek

EF

ma długość 11 cm, a odcinek

ED

ma długość 2 cm. Pole prostokąta

EFCD

stanowi

\dfrac{2}{7}

pola prostokąta

ABCD

. Oceń prawdziwość podanych zdań.

Pole prostokąta $ABCD$ jest równe 77 cm².	P	F
Odcinek $AE$ ma długość 7 cm.	P	F

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P, F

Zdanie 1. Górny prostokąt $EFCD$ ma boki $\textcolor{#16A06A}{11}$ cm i $\textcolor{#E0453A}{2}$ cm, więc jego pole to $\textcolor{#16A06A}{11} \cdot \textcolor{#E0453A}{2} = 22$ cm².
To pole stanowi $\tfrac27$ całości: $\tfrac27 \cdot P_{ABCD} = 22$ , skąd $P_{ABCD} = 22 \cdot \tfrac72 = 77$ cm² ✓ — prawda.
Zdanie 2. Cały prostokąt ma podstawę $\textcolor{#16A06A}{11}$ cm i pole $77$ cm², więc jego wysokość: $77 : \textcolor{#16A06A}{11} = \textcolor{#E0453A}{7}$ cm.
Odcinek $AE$ to reszta po odjęciu $ED$ : $AE = \textcolor{#E0453A}{7} - \textcolor{#E0453A}{2} = 5$ cm.
Zdanie mówi o $7$ cm — to wysokość całego prostokąta, a nie odcinka $AE$ — fałsz.
Odpowiedzi: P, F.

💡 Wskazówka: Sposób „na ułamek”: skoro górna część to $\tfrac27$ całości, to jej wysokość ( $2$ cm) stanowi $\tfrac27$ całej wysokości. Stąd cała wysokość to $7$ cm, a dolna część ma $5$ cm.

⚠ Najczęstszy błąd w zdaniu 2: podanie wysokości całego prostokąta zamiast samego odcinka $AE$ . Warto zaznaczyć na rysunku, gdzie dokładnie leży szukany odcinek.

To zadanie na osobnej stronie Więcej zadań: pola figur

Zadanie 14 – pola figur (1 pkt)

Zadanie 141 pkttrudniejsze

Bok rombu ma długość 17 cm, a jedna z jego przekątnych ma długość 30 cm. Pole tego rombu jest równe

A. $120$ cm²
B. $240$ cm²
C. $255$ cm²
D. $480$ cm²

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Kluczowa własność: przekątne rombu przecinają się pod kątem prostym i dzielą na połowy. Powstają cztery przystające trójkąty prostokątne.
W każdym z nich: przeciwprostokątna to bok rombu ( $17$ cm), a przyprostokątne to połowy przekątnych.
Znamy jedną przekątną: $30$ cm, więc jej połowa to $\textcolor{#16A06A}{15}$ cm.
Z twierdzenia Pitagorasa liczymy drugą połowę: $\sqrt{17^2 - \textcolor{#16A06A}{15}^2} = \sqrt{289 - 225} = \sqrt{64} = \textcolor{#E0453A}{8}$ cm.
Druga przekątna ma więc $2 \cdot \textcolor{#E0453A}{8} = \textcolor{#E0453A}{16}$ cm.
Pole: $P = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{30} \cdot \textcolor{#E0453A}{16}}{2} = 240$ cm² — odpowiedź B.

💡 Wskazówka: Uwaga na moment podwojenia: Pitagoras daje połowę drugiej przekątnej. Łatwo o tym zapomnieć i podstawić 8 zamiast 16 do wzoru na pole.

⚠ Dwa typowe błędy: (1) użycie połowy ( $8$ ) zamiast całej przekątnej — wychodzi $120$ cm², czyli kusząca odpowiedź A; (2) pominięcie dzielenia przez 2 we wzorze — wychodzi $480$ cm².

To zadanie na osobnej stronie Więcej zadań: pola figur

Zadanie 15 – prostopadłościan i sześcian (1 pkt)

Zadanie 151 pkttrudniejsze

Dwa sześciany — jeden o krawędzi 2 i drugi o krawędzi 3 — pocięto na sześciany o krawędzi 1. Z otrzymanych sześcianów zbudowano prostopadłościan. Żadna ściana tego prostopadłościanu nie jest kwadratem. Dokończ zdanie.
Pole powierzchni zbudowanego prostopadłościanu jest równe

A. $35$
B. $47$
C. $94$
D. $142$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Krok 1 — ile mamy kostek. $\textcolor{#16A06A}{2}^3 + \textcolor{#16A06A}{3}^3 = 8 + 27 = \textcolor{#E0453A}{35}$ kostek jednostkowych.
Krok 2 — jakie wymiary są możliwe. Szukamy trójki liczb naturalnych o iloczynie $\textcolor{#E0453A}{35}$ . Ponieważ $35 = 5 \cdot 7$ (obie liczby pierwsze), są tylko dwie możliwości: $1 \times 1 \times 35$ oraz $1 \times 5 \times 7$ .
Krok 3 — który wariant odpada. Prostopadłościan $1 \times 1 \times 35$ ma dwie ściany $1 \times 1$ , czyli kwadraty — a treść tego zabrania. Zostaje $\textcolor{#16A06A}{1} \times \textcolor{#16A06A}{5} \times \textcolor{#16A06A}{7}$ .
Krok 4 — pole powierzchni. $P = 2(\textcolor{#16A06A}{1} \cdot \textcolor{#16A06A}{5} + \textcolor{#16A06A}{1} \cdot \textcolor{#16A06A}{7} + \textcolor{#16A06A}{5} \cdot \textcolor{#16A06A}{7}) = 2(5 + 7 + 35) = 2 \cdot 47 = 94$ .
Odpowiedź C.

💡 Wskazówka: Warunek „żadna ściana nie jest kwadratem” znaczy po prostu, że wszystkie trzy wymiary są różne. To on wskazuje jedyny właściwy rozkład na czynniki.

⚠ Najczęstszy błąd: podanie $47$ (odpowiedź B) — czyli zapomnienie o mnożeniu przez 2. Prostopadłościan ma trzy pary jednakowych ścian.

To zadanie na osobnej stronie Więcej zadań: prostopadłościan i sześcian

Zadanie 16 – wyrażenia algebraiczne (2 pkt)

Zadanie 162 pkttrudniejsze

Pewną kwotę rozdzielono na trzy nagrody pieniężne. Marcin dostał 2 razy więcej pieniędzy niż Jędrek, a Kamil 2 razy mniej niż Jędrek. Uzasadnij, że Kamil otrzymał

\dfrac{1}{7}

tej kwoty.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: dowód

Za niewiadomą wybieramy nagrodę Jędrka — bo to do niej odnoszą się obie pozostałe. Niech $j$ oznacza jego nagrodę.
Marcin dostał 2 razy więcej: $\textcolor{#16A06A}{2j}$ .
Kamil dostał 2 razy mniej: $\textcolor{#E0453A}{\dfrac{j}{2}}$ .
Cała rozdzielona kwota to suma trzech nagród: $\textcolor{#16A06A}{2j} + j + \textcolor{#E0453A}{\dfrac{j}{2}}$ .
Sprowadzamy do wspólnego mianownika 2: $\dfrac{4j}{2} + \dfrac{2j}{2} + \dfrac{j}{2} = \dfrac{7j}{2}$ .
Teraz liczymy, jaką część całości stanowi nagroda Kamila: $\textcolor{#E0453A}{\dfrac{j}{2}} : \dfrac{7j}{2} = \dfrac{j}{2} \cdot \dfrac{2}{7j} = \dfrac{1}{7}$ .
Kamil otrzymał więc $\dfrac17$ całej kwoty — co należało uzasadnić.
Można też prościej: przyjmijmy, że nagroda Kamila to 1 część. Wtedy Jędrek ma 2 części, a Marcin 4 — razem $1 + 2 + 4 = 7$ części, z których Kamil ma jedną ✓

💡 Wskazówka: Sposób „na części” jest tu najszybszy: zacznij od najmniejszej nagrody jako jednej części, a pozostałe wyrażą się liczbami całkowitymi — bez ułamków.

⚠ Najczęstszy błąd: przyjęcie za niewiadomą nagrody Marcina lub Kamila i pogubienie się w ułamkach. Zawsze wybieraj tę wielkość, do której odnoszą się pozostałe — tu Jędrka.

To zadanie na osobnej stronie Więcej zadań: wyrażenia algebraiczne

Zadanie 17 – prędkość, droga i czas (3 pkt)

Zadanie 173 pkttrudniejsze

Ula chodzi do szkoły dwiema drogami. Droga A prowadzi wzdłuż dwóch prostopadłych ulic: najpierw 800 m, potem 600 m. Droga B to skrót biegnący na wprost — po przekątnej, od domu Uli prosto do szkoły. Przyjmij, że Ula porusza się ze stałą prędkością

4\ \tfrac{\text{km}}{\text{h}}

. Oblicz, o ile minut krócej Ula idzie do szkoły drogą B niż drogą A. Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 6 minut

Droga A to po prostu suma dwóch odcinków: $800 + 600 = \textcolor{#16A06A}{1400}$ m.
Droga B to przekątna prostokąta — a że ulice są prostopadłe, korzystamy z twierdzenia Pitagorasa.
$B^2 = 800^2 + 600^2 = 640\,000 + 360\,000 = 1\,000\,000$ , więc $B = \textcolor{#E0453A}{1000}$ m.
Różnica dróg: $\textcolor{#16A06A}{1400} - \textcolor{#E0453A}{1000} = 400$ m.
Teraz zamieniamy tę różnicę na czas. Prędkość $4\ \tfrac{\text{km}}{\text{h}}$ to $4000$ m na 60 minut, czyli na 1 minutę przypada $4000 : 60 = \dfrac{200}{3}$ m.
Czas na 400 m: $400 : \dfrac{200}{3} = 400 \cdot \dfrac{3}{200} = 6$ minut.
Odpowiedź: drogą B Ula idzie o 6 minut krócej.

💡 Wskazówka: Nie trzeba liczyć obu czasów osobno — wystarczy policzyć różnicę dróg i ją zamienić na czas. Mniej rachunków, mniej okazji do pomyłki.

⚠ Najczęstszy błąd: uznanie drogi B za $800 + 600$ podzielone na pół albo za 700 m „na oko”. Przekątna zawsze wymaga Pitagorasa — i zawsze jest krótsza od sumy boków, ale dłuższa od każdego z nich.

To zadanie na osobnej stronie Więcej zadań: prędkość, droga i czas

Zadanie 18 – zadania tekstowe (2 pkt)

Zadanie 182 pkttrudniejsze

W kwiaciarni było trzy razy więcej czerwonych róż niż białych. Pan Nowak kupił 40 czerwonych róż i wtedy w kwiaciarni zostało dwa razy więcej białych róż niż czerwonych. Ile białych róż było w kwiaciarni? Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 16 białych róż

Oznaczamy przez $\textcolor{#16A06A}{b}$ liczbę róż białych. Czerwonych było trzy razy więcej: $\textcolor{#E0453A}{3b}$ .
Po zakupie 40 czerwonych zostało ich $\textcolor{#E0453A}{3b - 40}$ . Białych nie ubyło — nadal jest $\textcolor{#16A06A}{b}$ .
Warunek: teraz białych jest dwa razy więcej niż czerwonych: $\textcolor{#16A06A}{b} = 2\textcolor{#E0453A}{(3b - 40)}$ .
$\textcolor{#16A06A}{b} = 6b - 80$ , czyli $80 = 5b$ , więc $\textcolor{#16A06A}{b} = 16$ .
Odpowiedź: w kwiaciarni było 16 białych róż.
Sprawdzenie: czerwonych było $3 \cdot 16 = 48$ ; po sprzedaniu 40 zostało 8, a $16 = 2 \cdot 8$ ✓

💡 Wskazówka: Zwróć uwagę, że relacja się odwraca: na początku czerwonych było więcej, a po zakupie więcej jest białych. To normalne — ubyło tylko czerwonych.

⚠ Najczęstszy błąd: zapisanie warunku jako $2\textcolor{#16A06A}{b} = \textcolor{#E0453A}{3b - 40}$ , czyli pomnożenie niewłaściwej strony. „Białych dwa razy więcej niż czerwonych” znaczy: $\text{białe} = 2 \cdot \text{czerwone}$ .

To zadanie na osobnej stronie Więcej zadań: zadania tekstowe

Zadanie 19 – obwody figur (3 pkt)

Zadanie 193 pkttrudniejsze

Kwadrat

ABCD

o polu 400 cm² podzielono na trzy części: kwadrat $K_1$ o polu 49 cm² (w prawym górnym rogu), kwadrat $K_2$ (w prawym dolnym rogu) oraz figurę $F$ zajmującą resztę — lewą część na pełną wysokość wraz z paskiem u góry. Oblicz obwód figury

F

. Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 66 cm

Krok 1 — bok dużego kwadratu. $\sqrt{400} = \textcolor{#16A06A}{20}$ cm.
Krok 2 — bok $K_1$ . $\sqrt{49} = \textcolor{#E0453A}{7}$ cm.
Krok 3 — bok $K_2$ . Kwadraty $K_1$ i $K_2$ stoją jeden nad drugim przy prawej krawędzi, a razem sięgają od dołu do góry:
bok $K_2 = \textcolor{#16A06A}{20} - \textcolor{#E0453A}{7} = \textcolor{#E0453A}{13}$ cm.
Krok 4 — obwód figury $F$ . Obchodzimy ją dookoła, zaczynając od lewego dolnego rogu kwadratu:
w prawo po dole: $\textcolor{#16A06A}{20} - \textcolor{#E0453A}{13} = 7$ cm → w górę wzdłuż $K_2$ : $\textcolor{#E0453A}{13}$ cm → w prawo pod $K_1$ : $\textcolor{#E0453A}{13} - \textcolor{#E0453A}{7} = 6$ cm
→ w górę wzdłuż $K_1$ : $\textcolor{#E0453A}{7}$ cm → w lewo po górze: $\textcolor{#16A06A}{20} - \textcolor{#E0453A}{7} = 13$ cm → w dół lewą krawędzią: $\textcolor{#16A06A}{20}$ cm
Sumujemy: $7 + \textcolor{#E0453A}{13} + 6 + \textcolor{#E0453A}{7} + 13 + \textcolor{#16A06A}{20} = 66$ cm.
Odpowiedź: obwód figury $F$ wynosi 66 cm.

💡 Wskazówka: Obwód figury schodkowej licz, obchodząc ją dookoła i zapisując po kolei każdy odcinek. Zapisywanie ich w kolejności chroni przed pominięciem któregoś.

⚠ Najczęstszy błąd: policzenie obwodu jako „obwód dużego kwadratu minus obwody kwadracików”. Obwody nie odejmują się w ten sposób — część odcinków wewnętrznych staje się przecież brzegiem figury $F$ .

To zadanie na osobnej stronie Więcej zadań: obwody figur

Oryginalny arkusz i zasady oceniania

Arkusz i zasady oceniania tej sesji udostępnia Centralna Komisja Egzaminacyjna: arkusz OMAP-100-2103 (PDF) oraz zasady oceniania (PDF). Statystyki wszystkich sesji i podział zadań na działy są na stronie arkusze egzaminu ósmoklasisty z matematyki.

Sesje główne

Arkusze próbne i przykładowe

Sklep Nie każ mu liczyć!

Przygotuj się do E8: zadania i pełne arkusze

Karty pracy i arkusze z kluczem — do druku od razu po zakupie.

E8 z matematyki: procenty i zadania z treścią — 12 kart PDF z kluczem12 kart z tego zakresu, z kluczem7,90 zł · PDF do druku

Egzamin ósmoklasisty z matematyki — 5 arkuszy z rozwiązaniami, cz. 15 pełnych arkuszy E8 z rozwiązaniami24,90 zł · PDF do druku

10 minut do egzaminu ósmoklasisty — matematyka: 30 dni, PDF z kluczemCodziennie 10 minut przez 30 dni14,90 zł · PDF do druku