Na diagramie przedstawiono wyniki ankiety „Jakie jest twoje ulubione zwierzę domowe?”. Każdy uczeń podawał tylko jedno zwierzę: Zwierzę pies kot chomik królik pozostałe odpowiedzi Udział ? 25% 20% 5% 5% Chomik był ulubieńcem 16 uczniów. Które z podanych zdań jest fałszywe ?

Kota wskazało 24 ankietowanych uczniów.

Pies był ulubieńcem 45% uczniów biorących udział w ankiecie.

Królika wskazało 4 razy mniej uczniów niż chomika.

W ankiecie wzięło udział 80 uczniów.

W tabeli przedstawiono wiek wszystkich uczestników obozu narciarskiego. Wiek uczestnika Liczba uczestników 10 lat 5 14 lat 3 15 lat 4 16 lat 8 Który zestaw procentów poprawnie przedstawia podział uczestników obozu ze względu na wiek?

10 lat — 25%, 14 lat — 15%, 15 lat — 20%, 16 lat — 40%

10 lat — 25%, 14 lat — 20%, 15 lat — 15%, 16 lat — 40%

10 lat — 40%, 14 lat — 20%, 15 lat — 15%, 16 lat — 25%

10 lat — 40%, 14 lat — 15%, 15 lat — 20%, 16 lat — 25%

Uczeń przeczytał w ciągu tygodnia książkę liczącą 420 stron . Dzień Liczba przeczytanych stron Czas czytania 1. 50 1 h 40 min 2. 70 2 h 3. 90 2 h 20 min 4. 30 30 min 5. 70 2 h 10 min 6. 80 2 h 30 min 7. 30 30 min Na podstawie informacji zawartych w tabeli wybierz zdanie prawdziwe .

Piątego dnia uczeń przeczytał 1/6 całej książki.

Pierwszego dnia uczeń przeczytał ponad 20% całej książki.

Uczeń czytał średnio 50 stron dziennie.

Przeczytanie pierwszej połowy książki zajęło uczniowi mniej czasu niż przeczytanie drugiej połowy.

Strona główna › Egzamin ósmoklasisty › Odczytywanie danych z tabel, diagramów i wykresów

Odczytywanie danych z tabel, diagramów i wykresów

Q: Jak odczytać wartość między podziałkami?

Najpierw ustal, ile wynosi jedna działka: odejmij dwie sąsiednie opisane wartości i podziel przez liczbę odstępów między nimi. Dopiero potem policz, ile działek ma dany słupek. Odczyt na oko prowadzi do wyniku, którego nie ma wśród odpowiedzi.

Q: Jak zamienić procent z diagramu kołowego na liczbę sztuk?

Pomnóż procent przez wielkość całej grupy. Jeśli sektor to jedna czwarta koła, a grupa liczy dwieście czterdzieści osób, odpowiedzią jest sześćdziesiąt osób — sam procent nie odpowiada na pytanie „ile”.

Q: Co oznacza poziomy odcinek na wykresie drogi?

Postój. Czas płynie, a przebyta droga się nie zmienia, więc obiekt stoi w miejscu. Na wykresie prędkości ten sam kształt oznaczałby co innego — jazdę ze stałą prędkością.

Q: Jak obliczyć całość, znając jeden słupek?

Podziel znaną wartość przez jej udział zapisany jako ułamek dziesiętny. Jeśli trzydzieści procent to czterdzieści pięć osób, całość wynosi sto pięćdziesiąt. Kontrola: całość musi wyjść większa od znanej części.

Q: Ile stopni odpowiada jednemu procentowi na diagramie kołowym?

Trzy i sześć dziesiątych stopnia, bo pełne koło to trzysta sześćdziesiąt stopni i zarazem sto procent. Ćwiartka koła to dwadzieścia pięć procent, czyli dziewięćdziesiąt stopni.

Q: Skąd wiedzieć, czy zdanie o wykresie jest prawdziwe?

Wskaż miejsce na rysunku, które je potwierdza. Jeśli takiego miejsca nie ma, zdanie jest fałszywe, nawet gdy brzmi prawdopodobnie. Szczególnie uważaj na zdania ze słowami „zawsze” i „każdy” — jeden przeciwny punkt wystarczy, by je obalić.

Trzydzieści pięć zadań — najwięcej ze wszystkich zestawów tematycznych E8 — i dwadzieścia osiem rysunków. Rachunki są tu zwykle proste, a punkty przepadają na etapie odczytu: źle ustalona wartość działki, procent pomylony z liczbą sztuk, wniosek wykraczający poza to, co pokazuje wykres.

Dział: Egzamin ósmoklasistyPoziom: klasa 7–8Zadań: 35 — 25 z egzaminu ósmoklasisty i 10 z egzaminu gimnazjalnego

Przejdź od razu do zadań (35) ↓

Diagram słupkowy — najpierw wartość jednej działki

Zanim odczytasz jakikolwiek słupek, ustal, ile wynosi jedna kratka. Podziałka rzadko idzie co jeden — częściej co 5, 10 albo 100, a między opisanymi wartościami bywają dodatkowe linie.

Sposób: weź dwie sąsiednie opisane wartości, odejmij je i podziel przez liczbę odstępów między nimi. Jeśli między 0 a 100 jest pięć kratek, jedna kratka to 20.

Dopiero mając wartość działki, odczytujesz słupki — także te, które kończą się między liniami. Zgadywanie „mniej więcej siedemdziesiąt” prowadzi do odpowiedzi, której nie ma wśród podanych.

Diagram kołowy: procenty, kąty i sztuki

Całe koło to 100% i zarazem $360°$ . Stąd przelicznik: jeden procent odpowiada 3,6 stopnia, a ćwiartka koła to 25%, czyli $90°$ .

W zadaniach egzaminacyjnych częściej niż kąty liczy się liczbę sztuk. Procent z diagramu trzeba wtedy pomnożyć przez wielkość całej grupy — sam procent nie jest odpowiedzią na pytanie „ile osób”.

Typowy chwyt: jeden sektor jest celowo nieopisany. Jego wartość wylicza się jako dopełnienie do stu procent, i to zwykle jest pierwszy krok rozwiązania.

Wykres łamany — co znaczy odcinek poziomy

Na wykresie drogi w czasie odcinek poziomy oznacza, że droga się nie zmienia, choć czas płynie — czyli postój. Odcinek stromy to szybki ruch, łagodny — wolny.

Uwaga na rozróżnienie, które decyduje o połowie zadań: wykres drogi i wykres prędkości wyglądają podobnie, a znaczą co innego. Na wykresie prędkości odcinek poziomy oznacza jazdę ze stałą prędkością, a nie postój.

Zawsze zaczynaj od przeczytania opisu osi pionowej. To jedno spojrzenie rozstrzyga, który typ wykresu masz przed sobą.

Tabela: najpierw wiersz, potem kolumna

Przy tabeli błędy biorą się z pośpiechu: uczeń odczytuje liczbę z sąsiedniego wiersza albo sumuje kolumnę, o którą nikt nie pytał.

Metoda: podkreśl w treści, czego szukasz, znajdź właściwy wiersz, potem właściwą kolumnę, a dopiero na przecięciu odczytaj wartość. Przy dłuższych tabelach warto prowadzić palcem.

Jeśli zadanie wymaga zsumowania kilku komórek, wypisz je najpierw osobno. Suma w pamięci przy siedmiu liczbach to najczęstsze źródło pomyłki rachunkowej w tym dziale.

Szukanie całości, gdy znasz część

Odwrotność typowego zadania: znamy jeden słupek albo jeden sektor i jego udział procentowy, a pytanie dotyczy całej grupy.

Rachunek jest prosty — dzielenie zamiast mnożenia. Jeśli 30% to 45 osób, to całość wynosi $45 : 0{,}3 = 150$ osób.

Kontrola sensowności: całość musi być większa od znanej części. Jeśli wynik wyszedł mniejszy, zamiast dzielenia wykonano mnożenie.

Wnioskowanie: które zdanie o wykresie jest prawdziwe

Dziesięć zadań na tej stronie to format prawda/fałsz, w którym ocenia się zdania opisujące wykres. Nawyk jest tu inny niż przy liczeniu — trzeba sprawdzić każde zdanie osobno wobec danych.

Najczęstsza pułapka to zdanie prawdopodobne, ale niewynikające z wykresu. „Sprzedaż rosła, bo była lepsza pogoda” może być prawdą w życiu, ale wykres nie mówi nic o pogodzie.

Druga pułapka to zdania ze słowami „zawsze”, „każdy”, „nigdy”. Wystarczy jeden punkt na wykresie, który im przeczy, żeby całe zdanie było fałszywe.

Przykłady krok po kroku

Cztery zadania krok po kroku: wartość działki, procent na liczbę sztuk, szukanie całości i odczyt wykresu drogi.

Przykład 1 Wartość jednej działki

Na osi pionowej diagramu opisano wartości 0 i 100, a między nimi są cztery dodatkowe linie. Ile wynosi jedna działka i jaką wartość ma słupek sięgający trzeciej linii?

Między 0 a 100 są cztery linie pośrednie, co daje pięć odstępów.
Jedna działka: $100 : 5 = 20$ .
Trzecia linia od dołu to trzy działki, czyli $3 \cdot 20 = 60$ .
Kontrola: piąta linia musiałaby wypaść na 100 — $5 \cdot 20 = 100$ ✓

Odpowiedź: Jedna działka to 20, a słupek ma wartość 60.

Przykład 2 Procent z diagramu na liczbę sztuk

W ankiecie wzięło udział 240 osób. Na diagramie kołowym sektor „tak” zajmuje 25%. Ile osób odpowiedziało „tak”?

Procent sam w sobie nie jest odpowiedzią — pytanie dotyczy liczby osób.
Zamieniam procent na ułamek: $25\% = 0{,}25 = \tfrac14$ .
Mnożę przez całą grupę: $240 \cdot \tfrac14 = 60$ .
Kontrola: ćwiartka z 240 to 60, a cztery takie ćwiartki dają 240 ✓

Odpowiedź: Odpowiedź „tak” wybrało 60 osób.

Przykład 3 Szukanie całości

Sektor diagramu obejmujący 30% odpowiada 45 osobom. Ile osób liczyła cała grupa?

Tu znam część i jej udział, a szukam całości — więc dzielę, nie mnożę.
$30\% = 0{,}3$ , zatem całość to $45 : 0{,}3$ .
$45 : 0{,}3 = 150$ .
Kontrola: 30% ze 150 to 45 ✓, a całość jest większa od znanej części, więc kierunek działania był właściwy.

Odpowiedź: Cała grupa liczyła 150 osób.

Przykład 4 Odczyt wykresu drogi

Na wykresie drogi od czasu widać odcinek rosnący, potem poziomy, potem znów rosnący. Co oznacza odcinek poziomy?

Sprawdzam opis osi pionowej — to droga, nie prędkość. To rozstrzyga interpretację.
Odcinek poziomy oznacza, że przy upływie czasu droga się nie zmienia.
Skoro przebyta droga stoi w miejscu, to obiekt się nie porusza — czyli jest to postój.
Uwaga na kontrast: gdyby oś pionowa opisywała prędkość, odcinek poziomy oznaczałby jazdę ze stałą prędkością, a nie postój.

Odpowiedź: Odcinek poziomy na wykresie drogi oznacza postój.

Najczęstsze błędy

Cztery błędy typowe dla odczytu danych. Żaden nie dotyczy rachunku — wszystkie powstają przy czytaniu rysunku.

Odczyt bez ustalenia wartości działki

Skąd się bierze: Uczeń zakłada, że jedna kratka to jedna jednostka, i odczytuje słupek „na oko”. Przy podziałce co 20 daje to wynik pięciokrotnie zaniżony, a przy podziałce co 100 — jeszcze gorzej.

Jak zrobić dobrze: Zanim spojrzysz na słupki, weź dwie opisane wartości, odejmij je i podziel przez liczbę odstępów. Wartość działki zapisz z boku rysunku i dopiero potem odczytuj.

Podanie procentu tam, gdzie pytano o sztuki

Skąd się bierze: Diagram kołowy podaje procenty, więc odpowiedź „25%” wydaje się gotowa. Pytanie brzmi jednak „ile osób”, a to wymaga jeszcze pomnożenia przez wielkość grupy.

Jak zrobić dobrze: Podkreśl w pytaniu jednostkę odpowiedzi: procent czy sztuki. Jeśli sztuki — procent jest tylko krokiem pośrednim.

Mylenie wykresu drogi z wykresem prędkości

Skąd się bierze: Oba wyglądają jak łamana i oba mają czas na osi poziomej. Odcinek poziomy oznacza jednak co innego: na wykresie drogi postój, na wykresie prędkości jazdę ze stałą prędkością.

Jak zrobić dobrze: Zawsze zaczynaj od przeczytania opisu osi pionowej. To jedno spojrzenie rozstrzyga interpretację całego wykresu.

Wniosek wykraczający poza dane

Skąd się bierze: W zadaniach prawda/fałsz pojawiają się zdania brzmiące sensownie, ale mówiące o czymś, czego wykres nie pokazuje — o przyczynach, o okresach spoza osi, o wartościach nieopisanych.

Jak zrobić dobrze: Przy każdym zdaniu wskaż palcem miejsce na rysunku, które je potwierdza. Jeśli takiego miejsca nie ma, zdanie jest fałszywe — nawet jeśli brzmi prawdopodobnie.

Zadania z arkuszy CKE — odczytywanie danych z tabel, wykresów i diagramów

Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminu ósmoklasisty (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem. W zestawie jest 10 zadań z arkuszy egzaminu gimnazjalnego (do 2019 roku) — dokładamy je jako dodatkowe ćwiczenie tych samych umiejętności. Zakres gimnazjum był miejscami szerszy niż wymagania dla klas 7–8, dlatego każde takie zadanie jest podpisane osobno.

Kolor prowadzi przez najważniejszy ruch w tych zadaniach — przejście od procentu do konkretnej liczby. Zielona to wartość odczytana wprost z diagramu, a czerwona to całość, do której ją odnosimy. Przy diagramach kołowych całość trzeba zwykle najpierw wyliczyć z jednej „kotwicy” — pary „tyle procent to tyle osób”.

Sprawdź się bez zaglądania do odpowiedzi. Wylosuję 10 zadań zamkniętych z tego zestawu — klucz i rozwiązania schowam do czasu sprawdzenia. Pula liczy 19 zadań, więc za każdym razem dostaniesz inny zestaw.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (maj 2026)1 pktłatwe

Test z matematyki składa się z 40 zadań. Na diagramie kołowym przedstawiono procentowy podział zadań na pięć działów:

Dane z rysunku — wersja tekstowa

Dział	statystyka	algebra	planimetria	stereometria	arytmetyka
Udział	20%	25%	15%	5%	?

Liczba zadań z arytmetyki w tym teście jest równa

A. 14
B. 18
C. 26
D. 35

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Udział arytmetyki nie jest podany wprost — musimy go dopełnić do 100%.
Sumujemy pozostałe działy: $20\% + 25\% + 15\% + 5\% = \textcolor{#E0453A}{65\%}$ .
Arytmetyka: $100\% - \textcolor{#E0453A}{65\%} = \textcolor{#16A06A}{35\%}$ .
Teraz zamieniamy procent na liczbę zadań: $\textcolor{#16A06A}{0{,}35} \cdot \textcolor{#E0453A}{40} = 14$ .
Odpowiedź A.

💡 Wskazówka: Na diagramie kołowym wszystkie części zawsze sumują się do 100%. Jeśli jednej brakuje — po prostu odejmij resztę od setki.

⚠ Najczęstszy błąd: zaznaczenie odpowiedzi D (35), czyli podanie procentu zamiast liczby zadań. Zadanie pyta „ile zadań”, a nie „ile procent”.

Zadanie 2 (styczeń 2026)1 pktśrednie

Na diagramie przedstawiono zysk pewnej firmy w kolejnych kwartałach 2024 roku:

Dane z rysunku — wersja tekstowa

Kwartał	I	II	III	IV
Zysk (tys. zł)	300	450	600	500

Oceń prawdziwość podanych zdań.

Zysk tej firmy w I kwartale stanowi $\dfrac{1}{6}$ zysku z całego roku 2024.	P	F
Zysk tej firmy w drugim półroczu 2024 roku był o 350 tysięcy złotych większy niż jej zysk w pierwszym półroczu.	P	F

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: F, P

Zdanie 1. Zysk całoroczny: $300 + 450 + 600 + 500 = \textcolor{#E0453A}{1850}$ tys. zł.
Sprawdzamy, czy $\textcolor{#16A06A}{300}$ to $\tfrac16$ tej kwoty: $\textcolor{#E0453A}{1850} : 6 \approx 308{,}3$ — a I kwartał dał $\textcolor{#16A06A}{300}$ .
Te liczby nie są równe, więc udział I kwartału to trochę mniej niż $\tfrac16$ — fałsz.
Zdanie 2. Pierwsze półrocze: $300 + 450 = \textcolor{#16A06A}{750}$ . Drugie: $600 + 500 = \textcolor{#16A06A}{1100}$ .
Różnica: $\textcolor{#16A06A}{1100} - \textcolor{#16A06A}{750} = 350$ tys. zł ✓ — prawda.
Odpowiedzi: F, P.

💡 Wskazówka: Zamiast dzielić 1850 przez 6, sprawdź odwrotnie: gdyby I kwartał był dokładnie $\tfrac16$ roku, cały rok wynosiłby $6 \cdot 300 = 1800$ tys. zł. A wyszło 1850 — czyli nie.

⚠ Najczęstszy błąd: uznanie pierwszego zdania za prawdziwe „na oko”, bo 300 z około 1800 wygląda jak jedna szósta. Przy takich pytaniach trzeba policzyć dokładnie.

Zadanie 3 (maj 2025)1 pktśrednie

Deskorolka kosztuje 180 zł. Na diagramie przedstawiono kwoty, które Aldona odłożyła na jej zakup:

Dane z rysunku — wersja tekstowa

Miesiąc	styczeń	luty	marzec	kwiecień
Kwota (zł)	50	40	60	30

Uzupełnij zdania.

W styczniu i lutym łącznie Aldona odłożyła AB kwoty potrzebnej na zakup deskorolki.

A. 45%
B. 50%

W marcu Aldona odłożyła kwotę o CD większą od kwoty odłożonej w styczniu.

C. 10%
D. 20%

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B, D

Pierwsze zdanie. Styczeń i luty razem: $50 + 40 = \textcolor{#16A06A}{90}$ zł.
Odnosimy to do ceny deskorolki: $\dfrac{\textcolor{#16A06A}{90}}{\textcolor{#E0453A}{180}} = 0{,}5 = 50\%$ — odpowiedź B.
Drugie zdanie. Marzec to $\textcolor{#16A06A}{60}$ zł, styczeń $\textcolor{#E0453A}{50}$ zł. Różnica: $\textcolor{#16A06A}{60} - \textcolor{#E0453A}{50} = 10$ zł.
Uwaga — pytanie brzmi „o ile procent większą od kwoty ze stycznia”, więc dzielimy przez styczeń:
$\dfrac{10}{\textcolor{#E0453A}{50}} = 0{,}2 = 20\%$ — odpowiedź D. Razem: B, D.

💡 Wskazówka: W obu podpunktach mianownik jest inny: raz cena deskorolki, raz kwota ze stycznia. Zawsze sprawdź, od czego liczysz procent — to jest w zdaniu po słowie „od”.

⚠ Najczęstszy błąd w drugim zdaniu: podzielenie różnicy przez marzec ( $10 : 60 \approx 17\%$ ) albo przez cenę deskorolki. Porównujemy do wartości wyjściowej, czyli do stycznia.

Zadanie 4 (grudzień 2024)1 pkttrudniejsze

Uczniom klas ósmych zadano pytanie: Z którego portalu internetowego korzystasz najczęściej? Każdy wskazał jeden portal. Procentowy rozkład odpowiedzi:

Dane z rysunku — wersja tekstowa

Portal	𝓕	𝓨	𝓢	𝓙	𝓧	żaden
Udział	45%	25%	15%	10%	2,5%	2,5%

Portal 𝓕 wskazało 72 uczniów. Oceń prawdziwość podanych zdań.

Portal 𝓨 wskazało 40 uczniów.	P	F
Portal 𝓙 wskazało o 8 uczniów mniej niż uczniów, którzy wskazali portal 𝓢.	P	F

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P, P

Diagram podaje same procenty, więc najpierw musimy znaleźć całość — ilu było wszystkich uczniów. Służy do tego jedyna „kotwica”: portal 𝓕.
$\textcolor{#16A06A}{45\%}$ to $\textcolor{#16A06A}{72}$ uczniów, więc 1% to $\textcolor{#16A06A}{72} : 45 = 1{,}6$ ucznia, a 100% to $\textcolor{#E0453A}{160}$ uczniów.
Zdanie 1. Portal 𝓨: 25% z $\textcolor{#E0453A}{160}$ to $\textcolor{#16A06A}{40}$ uczniów ✓ — prawda.
Zdanie 2. Portal 𝓙: 10% z $\textcolor{#E0453A}{160} = \textcolor{#16A06A}{16}$ . Portal 𝓢: 15% z $\textcolor{#E0453A}{160} = \textcolor{#16A06A}{24}$ .
Różnica: $\textcolor{#16A06A}{24} - \textcolor{#16A06A}{16} = 8$ ✓ — prawda. Odpowiedzi: P, P.
Można też krócej: różnica udziałów to $15\% - 10\% = 5\%$ , a 5% ze $\textcolor{#E0453A}{160}$ to 8 ✓

💡 Wskazówka: Przy diagramie kołowym z samymi procentami zawsze zacznij od wyliczenia całości. Potrzebna jest do tego jedna para „tyle procent = tyle sztuk” — tutaj $45\% = 72$ .

⚠ Najczęstszy błąd: porównywanie samych procentów, np. „ $\mathcal{J}$ ma o 5 mniej niż $\mathcal{S}$ , więc o 5 uczniów”. Punkty procentowe to nie uczniowie — trzeba je przeliczyć.

Zadanie 5 (maj 2024)1 pktśrednie

Ala codziennie uczyła się języka hiszpańskiego. Na diagramie przedstawiono, ile czasu (w minutach) przeznaczyła na naukę w kolejnych dniach:

Dane z rysunku — wersja tekstowa

Dzień	pon.	wt.	śr.	czw.	pt.	sob.
Czas (min)	25	30	40	35	50	30

Oceń prawdziwość podanych zdań.

Ala przez cztery dni — od poniedziałku do czwartku — na naukę przeznaczyła łącznie 2 godziny i 10 minut.	P	F
Na naukę w sobotę Ala przeznaczyła o 40% czasu mniej niż w piątek.	P	F

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P, P

Zdanie 1. Sumujemy cztery dni: $25 + 30 + 40 + 35 = \textcolor{#16A06A}{130}$ minut.
Zamieniamy na godziny: $\textcolor{#16A06A}{130}$ min $= 120$ min $+ 10$ min $= 2$ godziny i 10 minut ✓ — prawda.
Zdanie 2. Sobota: $\textcolor{#16A06A}{30}$ min, piątek: $\textcolor{#E0453A}{50}$ min. Różnica: $\textcolor{#E0453A}{50} - \textcolor{#16A06A}{30} = 20$ minut.
Liczymy, jaki to procent piątku (bo to z nim porównujemy): $\dfrac{20}{\textcolor{#E0453A}{50}} = 0{,}4 = 40\%$ ✓ — prawda.
Odpowiedzi: P, P.

💡 Wskazówka: Kontrola drugiego zdania: skoro sobota to 30 z 50 minut, czyli 60% piątku, to jest o $100\% - 60\% = 40\%$ mniej ✓ — ta droga bywa szybsza.

⚠ Najczęstszy błąd w zdaniu 2: podzielenie różnicy przez sobotę ( $20 : 30 \approx 67\%$ ). Porównanie „mniej niż w piątek” oznacza, że piątek jest podstawą.

Zadanie 6 (maj 2024)1 pktśrednie

Na wykresie przedstawiono zależność pola pomalowanej powierzchni od ilości zużytej farby. Pole jest wprost proporcjonalne do ilości farby. Z wykresu odczytujemy:

Dane z rysunku — wersja tekstowa

Farba (litry)	5	10	15	20
Pole (m²)	50	100	150	200

Oceń prawdziwość podanych zdań.

18 litrów tej farby wystarczy na pomalowanie 180 m² powierzchni.	P	F
Na pomalowanie 125 m² powierzchni wystarczy 12 litrów tej farby.	P	F

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P, F

Najpierw wyznaczamy wydajność farby — ile metrów kwadratowych daje jeden litr.
Z dowolnego punktu wykresu: $50 : \textcolor{#E0453A}{5} = \textcolor{#16A06A}{10}$ m² na litr. (Sprawdzenie: $200 : 20 = \textcolor{#16A06A}{10}$ ✓)
Zdanie 1. 18 litrów $\cdot \textcolor{#16A06A}{10} = 180$ m² ✓ — prawda.
Zdanie 2. Na 125 m² potrzeba $125 : \textcolor{#16A06A}{10} = 12{,}5$ litra.
Podano 12 litrów, a to daje tylko $12 \cdot \textcolor{#16A06A}{10} = 120$ m² — za mało — fałsz.
Odpowiedzi: P, F.

💡 Wskazówka: Przy proporcjonalności prostej wystarczy jedna wartość jednostkowa (tu 10 m² na litr) i całe zadanie sprowadza się do mnożenia albo dzielenia przez nią.

⚠ Najczęstszy błąd w zdaniu 2: zaokrąglenie 12,5 w dół do 12 i uznanie, że „wystarczy”. Przy pytaniu, czy coś wystarczy, zawsze sprawdź, ile realnie da podana ilość.

Zadanie 7 (czerwiec 2023)1 pktśrednie

Na diagramie przedstawiono liczbę butelek z wodą dostarczonych do sklepu oraz sprzedanych przez trzy kolejne dni:

Dane z rysunku — wersja tekstowa

Dzień	poniedziałek	wtorek	środa
Dostawa	60	100	80
Sprzedaż	45	85	60

Oceń prawdziwość podanych zdań.

Przez te trzy dni w sklepie sprzedano łącznie 190 butelek z wodą.	P	F
Liczba butelek sprzedanych w poniedziałek stanowi $\dfrac{3}{4}$ liczby butelek dostarczonych w tym dniu.	P	F

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P, P

Zdanie 1. Sumujemy tylko słupki sprzedaży (ciemniejsze): $45 + 85 + 60 = 190$ ✓ — prawda.
Zdanie 2. W poniedziałek sprzedano $\textcolor{#16A06A}{45}$ butelek, a dostarczono $\textcolor{#E0453A}{60}$ .
Liczymy udział: $\dfrac{\textcolor{#16A06A}{45}}{\textcolor{#E0453A}{60}} = \dfrac{3}{4}$ ✓ — prawda.
Odpowiedzi: P, P.

💡 Wskazówka: Przy diagramie z dwoma słupkami na dzień zawsze sprawdź legendę i pilnuj, którą serię sumujesz. Najłatwiej podkreślić w treści słowo „sprzedano” albo „dostarczono”.

⚠ Najczęstszy błąd w zdaniu 1: zsumowanie wszystkich sześciu słupków (wychodzi 430) albo pomylenie serii i policzenie dostaw (240 butelek).

Zadanie 8 (czerwiec 2023)1 pktśrednie

Tydzień przed rozpoczęciem zajęć student zapłacił 800 zł za kurs żeglarski. W razie rezygnacji organizator zwraca część wpłaty zgodnie z tabelą:

Termin rezygnacji	Wysokość zwrotu wpłaty
przed rozpoczęciem kursu	95%
w pierwszym tygodniu kursu	85%
w drugim tygodniu kursu	70%
po upływie drugiego tygodnia	5%

Student zrezygnował z kursu w trzecim dniu zajęć. Dokończ zdanie.
Organizator zwrócił studentowi kwotę

A. 120 zł
B. 560 zł
C. 680 zł
D. 760 zł

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Najpierw ustalamy właściwy wiersz tabeli. Trzeci dzień zajęć wypada w pierwszym tygodniu kursu (tydzień to 7 dni).
Uwaga na pułapkę: „tydzień przed rozpoczęciem” dotyczy momentu zapłaty, a nie rezygnacji.
Z tabeli odczytujemy zwrot: $\textcolor{#E0453A}{85\%}$ .
Liczymy kwotę: $\textcolor{#E0453A}{0{,}85} \cdot \textcolor{#16A06A}{800} = 680$ zł.
Odpowiedź C.

💡 Wskazówka: Rachunek w pamięci: 10% z 800 to 80 zł, więc 80% to 640 zł, a 5% to 40 zł. Razem $\textcolor{#E0453A}{85\%} = 680$ zł.

⚠ Najczęstszy błąd: wybór wiersza „przed rozpoczęciem kursu” (760 zł) — bo w treści pada zwrot „tydzień przed rozpoczęciem”. Student zrezygnował jednak w trakcie zajęć.

Zadanie 9 (czerwiec 2022)1 pktśrednie

Wśród pewnej grupy osób przeprowadzono ankietę z pytaniem: Jaka jest twoja ulubiona pora roku? Każdy wskazał tylko jedną porę. Rozkład odpowiedzi:

Dane z rysunku — wersja tekstowa

Pora roku	jesień	zima	wiosna	lato
Liczba osób	4	7	5	12

Oceń prawdziwość podanych zdań.

Zima jest ulubioną porą roku dla mniej niż 24% liczby osób ankietowanych.	P	F
Lato jest ulubioną porą roku dla $\dfrac{3}{7}$ liczby osób ankietowanych.	P	F

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: F, P

Najpierw całość: $4 + 7 + 5 + 12 = \textcolor{#E0453A}{28}$ osób.
Zdanie 1. Zima: $\dfrac{\textcolor{#16A06A}{7}}{\textcolor{#E0453A}{28}} = \dfrac{1}{4} = 25\%$ .
Pytanie brzmi, czy to mniej niż 24% — a $25\% > 24\%$ — fałsz.
Zdanie 2. Lato: $\dfrac{\textcolor{#16A06A}{12}}{\textcolor{#E0453A}{28}}$ . Skracamy przez 4: $\dfrac{3}{7}$ ✓ — prawda.
Odpowiedzi: F, P.

💡 Wskazówka: Zawsze skracaj ułamek do końca — $\tfrac{12}{28}$ nie wygląda jak $\tfrac37$ , dopóki nie podzielisz obu liczb przez 4.

⚠ Pułapka w zdaniu 1 jest bardzo wąska: 25% i 24% różnią się o jeden punkt procentowy. Przy takim sformułowaniu trzeba policzyć dokładnie, a nie szacować.

Zadanie 10 (maj 2022)1 pkttrudniejsze

Wśród uczniów klas ósmych przeprowadzono ankietę z pytaniem: Jakie filmy oglądasz najchętniej? Każdy zaznaczył jedną odpowiedź. Rozkład procentowy:

Dane z rysunku — wersja tekstowa

Rodzaj filmów	fantasy	komediowe	przyrodnicze	biograficzne	żadne z wymienionych
Udział	40%	30%	15%	10%	5%

Czworo ankietowanych zaznaczyło odpowiedź „żadne z wymienionych”. Oceń prawdziwość podanych zdań.

W ankiecie wzięło udział 80 uczniów.	P	F
Filmy fantasy wybrało o 20 uczniów więcej niż uczniów, którzy wybrali filmy przyrodnicze.	P	F

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P, P

Kotwicą jest tu najmniejsza grupa: $\textcolor{#16A06A}{5\%}$ to $\textcolor{#16A06A}{4}$ uczniów.
Zdanie 1. Skoro $\textcolor{#16A06A}{5\%} = \textcolor{#16A06A}{4}$ osoby, to 1% to $\textcolor{#16A06A}{0{,}8}$ ucznia, a 100% to $\textcolor{#E0453A}{80}$ uczniów ✓ — prawda.
(Szybciej: $\textcolor{#16A06A}{5\%}$ mieści się w całości 20 razy, więc $4 \cdot 20 = \textcolor{#E0453A}{80}$ .)
Zdanie 2. Różnica udziałów: $40\% - 15\% = 25\%$ .
25% z $\textcolor{#E0453A}{80}$ to 20 uczniów ✓ — prawda.
(Sprawdzenie wprost: fantasy $0{,}4 \cdot \textcolor{#E0453A}{80} = 32$ , przyrodnicze $0{,}15 \cdot \textcolor{#E0453A}{80} = 12$ , a $32 - 12 = 20$ ✓)
Odpowiedzi: P, P.

💡 Wskazówka: Kotwicą bywa najmniejszy wycinek diagramu — tak jak tutaj. Nie szukaj koniecznie największego; wystarczy dowolna para „procent = liczba osób”.

⚠ Najczęstszy błąd: potraktowanie 4 osób jako 1% (wyszłoby 400 uczniów) albo pomnożenie $4 \cdot 5 = 20$ . Trzeba sprawdzić, ile razy 5% mieści się w 100% — dwadzieścia.

Zadanie 11 (czerwiec 2021)1 pkttrudniejsze

Na diagramie przedstawiono wyniki ankiety „Jakie jest twoje ulubione zwierzę domowe?”. Każdy uczeń podawał tylko jedno zwierzę:

Dane z rysunku — wersja tekstowa

Zwierzę	pies	kot	chomik	królik	pozostałe odpowiedzi
Udział	?	25%	20%	5%	5%

Chomik był ulubieńcem 16 uczniów. Które z podanych zdań jest fałszywe?

A. Pies był ulubieńcem 45% uczniów biorących udział w ankiecie.
B. Królika wskazało 4 razy mniej uczniów niż chomika.
C. Kota wskazało 24 ankietowanych uczniów.
D. W ankiecie wzięło udział 80 uczniów.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Najpierw całość — kotwicą jest chomik: $\textcolor{#16A06A}{20\%}$ to $\textcolor{#16A06A}{16}$ uczniów, więc 100% to $\textcolor{#16A06A}{16} \cdot 5 = \textcolor{#E0453A}{80}$ uczniów.
Teraz sprawdzamy zdania po kolei.
A. Pies to dopełnienie do 100%: $100\% - (25 + 20 + 5 + 5)\% = 45\%$ ✓ prawda.
B. Królik 5%, chomik $\textcolor{#16A06A}{20\%}$ — czterokrotnie mniej ✓ prawda. (W liczbach: 4 kontra 16.)
C. Kot: 25% z $\textcolor{#E0453A}{80}$ to $\textcolor{#16A06A}{20}$ uczniów, a nie 24 ✗ fałsz — to szukana odpowiedź.
D. W ankiecie wzięło udział $\textcolor{#E0453A}{80}$ uczniów ✓ prawda.
Odpowiedź C.

💡 Wskazówka: Przy pytaniu „które zdanie jest fałszywe” policz najpierw całość, a potem sprawdź wszystkie cztery — nawet gdy pierwszy fałsz znajdziesz szybko. To dobra kontrola rachunków.

⚠ Najczęstszy błąd: pominięcie „pozostałych odpowiedzi” (5%) przy liczeniu udziału psa. Wtedy pies wyszedłby 50% i zdanie A wydałoby się fałszywe.

Zadanie 12 (maj 2021)1 pktśrednie

Na diagramie słupkowym przedstawiono liczby medali zdobytych na czterech letnich igrzyskach olimpijskich przez reprezentację Polski.

Dane z rysunku — wersja tekstowa

Igrzyska	złote	srebrne	brązowe
2004	3	2	5
2008	4	5	2
2012	3	1	7
2016	2	3	6

Oceń prawdziwość podanych zdań dotyczących medali zdobytych w latach 2004–2016.

Liczba zdobytych złotych medali stanowi więcej niż jedną trzecią liczby wszystkich zdobytych medali.	P	F
Podczas letnich igrzysk olimpijskich średnio zdobywano 3 złote medale.	P	F

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: F, P

Krok 1 — sumujemy złote medale. $\textcolor{#16A06A}{3} + \textcolor{#16A06A}{4} + \textcolor{#16A06A}{3} + \textcolor{#16A06A}{2} = \textcolor{#16A06A}{12}$ .
Krok 2 — sumujemy wszystkie medale. Najprościej igrzyskami:
2004: $3+2+5 = 10$ • 2008: $4+5+2 = 11$ • 2012: $3+1+7 = 11$ • 2016: $2+3+6 = 11$
Razem: $\textcolor{#E0453A}{43}$ medale.
Zdanie 1. Jedna trzecia wszystkich to $\textcolor{#E0453A}{43} : 3 \approx 14{,}3$ . Złotych jest $\textcolor{#16A06A}{12}$ , czyli mniej — fałsz.
Zdanie 2. Średnia liczba złotych medali na jedne igrzyska:
$\textcolor{#16A06A}{12} : 4 = 3$ ✓ — prawda.
Odpowiedzi: F, P.

💡 Wskazówka: Porównanie z jedną trzecią da się zrobić bez dzielenia: sprawdź, czy $3 \cdot 12 = 36$ przekracza 43. Nie przekracza, więc złote to mniej niż trzecia część.

⚠ Najczęstszy błąd: podzielenie liczby wszystkich medali przez 4 przy liczeniu średniej. Zdanie mówi o średniej liczbie złotych medali, więc dzielimy tylko je.

Zadanie 13 (marzec 2021)1 pkttrudniejsze

W gazetce szkolnej opisano ankietę przeprowadzoną wśród uczniów klas ósmych. Uczniowie wskazywali jedną z czterech odpowiedzi na pytanie o wybór szkoły ponadpodstawowej. Sześciu spośród uczniów, którzy oddali ankietę, nie zdecydowało się jeszcze na typ szkoły. Wyniki przedstawiono na diagramie kołowym.

Poniżej zapisano trzy prawdziwe informacje:
I. Ankietę oddało łącznie 150 uczniów.
II. W ankiecie wzięli udział wszyscy uczniowie klas ósmych.
III. Łącznie mniej niż połowa uczniów biorących udział w ankiecie zamierza kontynuować naukę w technikum lub w branżowej szkole.

Które z tych informacji wynikają z analizy danych zamieszczonych w treści artykułu?

Dane z rysunku — wersja tekstowa

Typ szkoły	liceum	technikum	branżowa	jeszcze nie wiem
Udział	56%	24%	16%	—

A. Tylko I i II.
B. Tylko I i III.
C. Tylko II i III.
D. Wszystkie — I, II i III.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Informacja I. Najpierw wyliczamy, ile procent to „jeszcze nie wiem”:
$100\% - \textcolor{#16A06A}{56\%} - \textcolor{#16A06A}{24\%} - \textcolor{#16A06A}{16\%} = \textcolor{#16A06A}{4\%}$
Wiemy, że tej odpowiedzi udzieliło $\textcolor{#16A06A}{6}$ uczniów, więc $\textcolor{#16A06A}{4\%}$ to $\textcolor{#16A06A}{6}$ osób.
1% to $6 : 4 = 1{,}5$ osoby, a całość: $\textcolor{#E0453A}{1{,}5} \cdot 100 = \textcolor{#E0453A}{150}$ uczniów ✓ — wynika.
Informacja II. Z artykułu wiadomo tylko, ilu uczniów oddało ankietę. Nigdzie nie podano, ilu w ogóle jest ósmoklasistów w tej szkole — być może ktoś ankiety nie oddał. Nie wynika.
Informacja III. Technikum i branżowa razem: $\textcolor{#16A06A}{24\%} + \textcolor{#16A06A}{16\%} = 40\%$ , a to mniej niż 50% ✓ — wynika.
Odpowiedź B — tylko I i III.

💡 Wskazówka: Kotwica „4% to 6 osób” pozwala odtworzyć całość. Zawsze szukaj w takim zadaniu pary „tyle procent — tyle sztuk” — to jedyne miejsce, w którym diagram łączy się z konkretnymi liczbami.

⚠ Najczęstszy błąd: uznanie informacji II za prawdziwą, bo „przecież ankieta była dla wszystkich klas ósmych”. Ankieta była skierowana do wszystkich, ale z danych nie wynika, że wszyscy ją oddali.

Zadanie 14 (czerwiec 2020)1 pktśrednie

Wśród 180 uczniów dojeżdżających do szkoły przeprowadzono ankietę o środku transportu. Każdy uczeń wskazał jeden środek. Wyniki: 30% uczniów dojeżdża tramwajem (T), $\frac{1}{4}$ uczniów — autobusem (A), co piąty — rowerem (R), a pozostali — samochodem (S).
Na którym diagramie przedstawiono wyniki tej ankiety?

Dane z rysunku — wersja tekstowa

Diagram	T	A	R	S
A	30	45	36	69
B	54	36	45	45
C	60	45	50	25
D	54	45	36	45

A. diagram A
B. diagram B
C. diagram C
D. diagram D

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Każdą część liczymy z tej samej całości — $\textcolor{#E0453A}{180}$ uczniów.
Tramwaj: $\textcolor{#16A06A}{30\%}$ ze $\textcolor{#E0453A}{180}$ , czyli $0{,}3 \cdot \textcolor{#E0453A}{180} = 54$ .
Autobus: $\textcolor{#16A06A}{\tfrac14}$ ze $\textcolor{#E0453A}{180}$ , czyli $\textcolor{#E0453A}{180} : 4 = 45$ .
Rower: „co piąty” to $\textcolor{#16A06A}{\tfrac15}$ , czyli $\textcolor{#E0453A}{180} : 5 = 36$ .
Samochód: to, co zostaje:
$\textcolor{#E0453A}{180} - 54 - 45 - 36 = 45$ .
Zestaw 54, 45, 36, 45 — odpowiedź D.
Kontrola: $54 + 45 + 36 + 45 = 180$ ✓

💡 Wskazówka: „Co piąty” znaczy $\tfrac15$ , czyli 20%. Warto zamienić wszystkie sformułowania na jeden format (procenty albo ułamki), zanim zacznie się liczyć.

⚠ Najczęstszy błąd: policzenie samochodu jako osobnej części zamiast „reszty”. Skoro trzy pierwsze grupy to $30\% + 25\% + 20\% = 75\%$ , na samochód zostaje 25% — i to trzeba wyliczyć, a nie zgadnąć.

Zadanie 15 (kwiecień 2020)1 pktłatwe

Rowerzysta pokonał całą trasę rajdu w ciągu czterech dni. W tabeli przedstawiono długości kolejnych etapów.

Dzień	Długość etapu (km)
poniedziałek	26
wtorek	27
środa	21
czwartek	31

Uzupełnij poniższe zdania.

W poniedziałek i wtorek rowerzysta przejechał łącznie AB długości całej trasy rajdu.

A. więcej niż 50%
B. mniej niż 50%

W środę rowerzysta przejechał CD długości całej trasy rajdu.

C. $\dfrac{1}{4}$
D. $\dfrac{1}{5}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A, D

Krok 1 — cała trasa. $\textcolor{#16A06A}{26} + \textcolor{#16A06A}{27} + \textcolor{#16A06A}{21} + \textcolor{#16A06A}{31} = \textcolor{#E0453A}{105}$ km.
Pierwsze zdanie. Poniedziałek i wtorek: $\textcolor{#16A06A}{26} + \textcolor{#16A06A}{27} = 53$ km.
Połowa trasy to $\textcolor{#E0453A}{105} : 2 = 52{,}5$ km. Skoro $53 > 52{,}5$ , przejechał więcej niż 50% — odpowiedź A.
Drugie zdanie. Środa to $\textcolor{#16A06A}{21}$ km ze $\textcolor{#E0453A}{105}$ km:
$\dfrac{\textcolor{#16A06A}{21}}{\textcolor{#E0453A}{105}} = \dfrac{1}{5}$ (bo $\textcolor{#E0453A}{105} = 5 \cdot \textcolor{#16A06A}{21}$ ) — odpowiedź D.

💡 Wskazówka: Zamiast liczyć procenty, porównaj wprost z połową sumy. A przy ułamku sprawdź po prostu, ile razy 21 mieści się w 105 — wychodzi równo 5.

⚠ Najczęstszy błąd w pierwszym zdaniu: porównanie „na oko”, bo 53 i 52,5 są bardzo blisko siebie. Tu trzeba policzyć dokładnie — zadanie jest tak ułożone, żeby szacowanie zawiodło.

Zadanie 16 (marzec 2020)1 pkttrudniejsze

Na diagramie kołowym przedstawiono procentowy udział soków sprzedanych podczas festynu. Najmniej sprzedano soku pomidorowego, tylko 15 kartonów. Oceń prawdziwość podanych zdań.

Dane z rysunku — wersja tekstowa

Sok	jabłkowy	grejpfrutowy	pomarańczowy	pomidorowy
Udział	37,5%	30%	20%	—

Sprzedano łącznie 125 kartonów soków.	P	F
Sprzedano o 30 kartonów więcej soku jabłkowego niż pomidorowego.	P	F

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: F, P

Krok 1 — ile procent to sok pomidorowy.
$100\% - \textcolor{#16A06A}{30\%} - \textcolor{#16A06A}{20\%} - \textcolor{#16A06A}{37{,}5\%} = \textcolor{#16A06A}{12{,}5\%}$
Krok 2 — całość. Kotwica: $\textcolor{#16A06A}{12{,}5\%}$ to $\textcolor{#16A06A}{15}$ kartonów. Ponieważ $12{,}5\% = \tfrac18$ , całość jest osiem razy większa:
$\textcolor{#E0453A}{8 \cdot 15} = \textcolor{#E0453A}{120}$ kartonów.
Zdanie 1. Sprzedano $\textcolor{#E0453A}{120}$ , a nie 125 kartonów — fałsz.
Zdanie 2. Sok jabłkowy: $\textcolor{#16A06A}{37{,}5\%}$ ze $\textcolor{#E0453A}{120}$ , czyli $\tfrac38 \cdot \textcolor{#E0453A}{120} = 45$ kartonów.
Różnica: $45 - \textcolor{#16A06A}{15} = 30$ ✓ — prawda.
Odpowiedzi: F, P.

💡 Wskazówka: Warto znać zamiany: $12{,}5\% = \tfrac18$ , $37{,}5\% = \tfrac38$ , $62{,}5\% = \tfrac58$ . Zamiast mnożyć przez liczby dziesiętne, wystarczy wtedy dzielić przez 8.

⚠ Najczęstszy błąd: przyjęcie, że 15 kartonów to 10% (i całość 150). Procent trzeba najpierw wyliczyć jako dopełnienie do 100% — na diagramie nie był podany.

Zadanie 17 (czerwiec 2019)1 pktśrednie

Na obozie sportowym przebywali uczniowie klas IV, V, VI i VII. Liczby uczestników z poszczególnych klas przedstawiono na diagramie słupkowym. Dokończ zdanie.
Wśród wszystkich uczestników obozu 28% stanowili uczniowie klas

Dane z rysunku — wersja tekstowa

Klasa	IV	V	VI	VII
Liczba osób	30	15	35	45

A. czwartych.
B. piątych.
C. szóstych.
D. siódmych.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Krok 1 — wszyscy uczestnicy.
$\textcolor{#16A06A}{30} + \textcolor{#16A06A}{15} + \textcolor{#16A06A}{35} + \textcolor{#16A06A}{45} = \textcolor{#E0453A}{125}$ osób.
Krok 2 — ile osób to 28%.
$0{,}28 \cdot \textcolor{#E0453A}{125} = 35$ osób.
Krok 3 — która to klasa. 35 osób było w klasie szóstej — odpowiedź C.
Dla porządku pozostałe udziały: klasa IV to $30 : \textcolor{#E0453A}{125} = 24\%$ , klasa V — 12%, klasa VII — 36%.

💡 Wskazówka: Skrót: $\textcolor{#E0453A}{125} : 100 = 1{,}25$ , więc 1% to 1,25 osoby, a 28% to $28 \cdot 1{,}25 = 35$ . Liczenie „ile to jeden procent” prawie zawsze skraca rachunek.

⚠ Najczęstszy błąd: szukanie klasy, w której jest 28 osób. Pytanie dotyczy procentu całości, a nie liczby uczniów — trzeba go najpierw przeliczyć na osoby.

Zadanie 18 (czerwiec 2019)1 pkttrudniejsze

Na obozie sportowym było łącznie 125 uczestników. Każdy uprawia jedną z trzech dyscyplin lekkoatletycznych. Diagram kołowy pokazuje, jaka część uczestników trenuje poszczególne dyscypliny. Oceń prawdziwość podanych zdań.

Dane z rysunku — wersja tekstowa

Dyscyplina	biegi	rzuty	skoki
Udział	40%	28%	—

Skoki trenuje więcej osób niż rzuty.	P	F
Biegi trenuje o 10 osób więcej niż skoki.	P	F

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P, P

Krok 1 — procent skoków. To dopełnienie do stu:
$100\% - \textcolor{#16A06A}{40\%} - \textcolor{#16A06A}{28\%} = \textcolor{#16A06A}{32\%}$
Krok 2 — przeliczamy procenty na osoby. Całość to $\textcolor{#E0453A}{125}$ uczestników, więc 1% to 1,25 osoby:
biegi: $\textcolor{#16A06A}{40} \cdot 1{,}25 = 50$ osób • rzuty: $\textcolor{#16A06A}{28} \cdot 1{,}25 = 35$ osób • skoki: $\textcolor{#16A06A}{32} \cdot 1{,}25 = 40$ osób
Kontrola: $50 + 35 + 40 = \textcolor{#E0453A}{125}$ ✓
Zdanie 1. Skoki (40) wobec rzutów (35) — skoków jest więcej ✓ — prawda.
Zdanie 2. $50 - 40 = 10$ ✓ — prawda.
Odpowiedzi: P, P.

💡 Wskazówka: Pierwsze zdanie da się rozstrzygnąć bez liczenia osób — wystarczy porównać procenty: $32\% > 28\%$ . Drugie już wymaga przejścia na osoby, bo pyta o różnicę w sztukach.

⚠ Najczęstszy błąd: potraktowanie różnicy procentów jako różnicy osób ( $40\% - 32\% = 8$ , więc „o 8 osób”). Różnica procentowa to 8%, a to $8 \cdot 1{,}25 = 10$ osób.

Zadanie 19 (grudzień 2018)1 pkttrudniejsze

Poniżej zamieszczono fragment etykiety z jogurtu o masie 150 g.

Wartość odżywcza	w 100 g
energia	290 kJ / 69 kcal
tłuszcz	3,0 g
węglowodany	5,9 g
błonnik	0 g
białko	4,6 g
sól	0,15 g
wapń	167 mg
witamina B2	0,25 mg

1 mg = 0,001 g

Uzupełnij poniższe zdania.

Zjedzenie całego jogurtu dostarcza organizmowi około AB wapnia.

A. 167 mg
B. 250 mg

Zjedzenie całego jogurtu dostarcza organizmowi CD razy więcej białka niż witaminy B2.

C. 18,4
D. $18\,400$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B, D

Pierwsze zdanie. Tabela podaje wartości na $\textcolor{#16A06A}{100}$ g, a jogurt waży $\textcolor{#E0453A}{150}$ g — czyli półtora raza więcej:
$\textcolor{#E0453A}{1{,}5} \cdot \textcolor{#16A06A}{167} \text{ mg} = 250{,}5 \text{ mg} \approx 250$ mg — odpowiedź B.
Drugie zdanie. Tu masa jogurtu nie ma znaczenia — obie wartości rosną tak samo, więc ich stosunek się nie zmienia. Kluczowe jest natomiast sprowadzenie do tych samych jednostek.
białko: $\textcolor{#16A06A}{4{,}6}$ g $= \textcolor{#E0453A}{4600}$ mg • witamina B2: $\textcolor{#16A06A}{0{,}25}$ mg
$\dfrac{\textcolor{#E0453A}{4600}}{\textcolor{#16A06A}{0{,}25}} = 18\,400$ — odpowiedź D.

💡 Wskazówka: Zanim podzielisz dwie wielkości, sprawdź jednostki. Gramy i miligramy różnią się tysiąckrotnie — bez zamiany wynik będzie tysiąc razy za mały (tu: 18,4 zamiast $18\,400$ ).

⚠ Najczęstszy błąd: podzielenie 4,6 przez 0,25 bez zamiany jednostek — wychodzi 18,4, czyli kusząca odpowiedź C. Właśnie po to jest w zadaniu przypis „1 mg $= 0{,}001$ g”.

Zadanie 20 (grudzień 2017)1 pkttrudniejsze

Uczniowie klasy VII zorganizowali quiz, który można było zakończyć na jednym z poziomów zaliczanych kolejno od I do VI. Na diagramie kołowym przedstawiono, ile procent uczniów zakończyło quiz na danym poziomie. Na poziomach niższych niż Asia quiz zakończyło dokładnie 32% uczniów. Ile procent uczniów zakończyło ten quiz na poziomach wyższych niż Asia?

Dane z rysunku — wersja tekstowa

Poziom	I	II	III	IV	V	VI
Udział	4%	12%	16%	28%	32%	8%

A. 40%
B. 32%
C. 28%
D. 8%

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Krok 1 — na którym poziomie skończyła Asia. Sumujemy poziomy od najniższego, aż uzbieramy $\textcolor{#E0453A}{32\%}$ :
poziom I: $\textcolor{#16A06A}{4\%}$ → I + II: $\textcolor{#16A06A}{4} + \textcolor{#16A06A}{12} = 16\%$ → I + II + III: $16 + \textcolor{#16A06A}{16} = \textcolor{#E0453A}{32\%}$ ✓
Poniżej Asi są więc poziomy I, II i III, co znaczy, że Asia skończyła na poziomie IV.
Krok 2 — poziomy wyższe niż IV. To poziomy V i VI:
$\textcolor{#16A06A}{32\%} + \textcolor{#16A06A}{8\%} = 40\%$ .
Odpowiedź A.
Kontrola: niżej 32%, na poziomie Asi $\textcolor{#16A06A}{28\%}$ , wyżej 40% — razem 100% ✓

💡 Wskazówka: Kontrola przez sumę do stu jest tu darmowa i wyłapuje każdą pomyłkę: „niżej + poziom Asi + wyżej” musi dać dokładnie 100%.

⚠ Najczęstszy błąd: uznanie, że skoro poziom V też ma 32%, to Asia jest na poziomie V. Podane 32% dotyczy sumy poziomów poniżej Asi, a nie jej własnego poziomu — zbieżność liczb jest tu pułapką.

Zadanie 21 (kwiecień 2016, egzamin gimnazjalny)1 pktśrednie

Zastęp harcerzy wyruszył z przystanku do obozowiska. Na wykresie przedstawiono zależność odległości harcerzy od obozowiska od czasu wędrówki. Które z poniższych zdań jest fałszywe?

Dane z rysunku — wersja tekstowa

Godzina	13:00	14:00	14:30	15:30
Odległość od obozowiska	6 km	2 km	2 km	0 km

A. Harcerze dotarli do obozowiska po 2,5 godziny.
B. W ciągu pierwszej godziny harcerze przeszli 2 km.
C. Podczas wędrówki harcerze zatrzymali się na 30-minutowy postój.
D. O godzinie 14:15 harcerze byli w odległości 2 km od obozowiska.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Uwaga na oś pionową: pokazuje odległość od celu, a nie przebytą drogę. Im niżej wykres, tym bliżej obozowiska.
A. Wyruszyli o $13{:}00$ , dotarli o $15{:}30$ (wykres osiąga zero). To 2,5 godziny ✓ prawda
B. W pierwszej godzinie odległość spadła z $\textcolor{#16A06A}{6}$ km do $\textcolor{#16A06A}{2}$ km, więc przeszli $\textcolor{#E0453A}{6 - 2} = \textcolor{#E0453A}{4}$ km, a nie 2 km ✗ to zdanie jest fałszywe
C. Między $14{:}00$ a $14{:}30$ odległość się nie zmienia — to 30-minutowy postój ✓ prawda
D. Godzina $14{:}15$ wypada w środku postoju, więc odległość wynosi wtedy $\textcolor{#16A06A}{2}$ km ✓ prawda
Odpowiedź B.

💡 Wskazówka: Zawsze przeczytaj opis osi pionowej, zanim spojrzysz na kształt wykresu. „Odległość od celu” maleje w trakcie marszu, a „przebyta droga” rośnie — te dwa wykresy wyglądają dokładnie odwrotnie.

⚠ Najczęstszy błąd: odczytanie z wykresu wartości 2 km i uznanie, że tyle przeszli. To odległość, która została do przejścia — pokonany dystans to spadek wykresu, czyli 4 km.

Zadanie 22 (kwiecień 2015, egzamin gimnazjalny)1 pktśrednie

Na wykresie przedstawiono, jak zmienia się masa porcji lodów z wafelkiem w zależności od liczby gałek. Jaką masę ma jedna gałka tych lodów bez wafelka?

Dane z rysunku — wersja tekstowa

Liczba gałek	1	2	3
Masa porcji z wafelkiem	30 g	50 g	70 g

A. 10 g
B. 20 g
C. 30 g
D. 40 g

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Masa całej porcji to wafelek plus gałki. Wafelek waży zawsze tyle samo, więc jego masa nie wpływa na przyrost.
Porównujemy dwa sąsiednie punkty wykresu:
$\textcolor{#16A06A}{50} - \textcolor{#16A06A}{30} = \textcolor{#E0453A}{20}$ g — o tyle rośnie masa po dołożeniu jednej gałki.
Sprawdzamy na kolejnej parze: $\textcolor{#16A06A}{70} - \textcolor{#16A06A}{50} = \textcolor{#E0453A}{20}$ g ✓ przyrost jest stały.
Jedna gałka waży więc 20 g — odpowiedź B.
Można jeszcze wyznaczyć masę wafelka: $\textcolor{#16A06A}{30} - \textcolor{#E0453A}{20} = 10$ g.

💡 Wskazówka: Gdy w zadaniu jest „stały dodatek” (wafelek, opakowanie, opłata abonamentowa), pozbywasz się go odejmując dwa kolejne wyniki. Zostaje wtedy sam przyrost.

⚠ Najczęstszy błąd: podanie 30 g — czyli masy jednej gałki razem z wafelkiem. Pytanie brzmi „bez wafelka”, więc trzeba jeszcze odjąć jego masę.

Zadanie 23 (kwiecień 2014, egzamin gimnazjalny)1 pkttrudniejsze

Piechur szedł z punktu

A

do punktu

C

ze stałą prędkością. Punkty

A

B

C

leżą na jednej prostej, przy czym

B

jest między nimi. Trasę pokonał tak: najpierw po prostej od $A$ w stronę $B$ , potem po łuku okręgu o środku w punkcie $B$ , a na końcu znowu po prostej — do $C$ . Który opis poprawnie ilustruje, jak zmieniała się odległość piechura od punktu

B

A. Najpierw malała równomiernie, potem przez pewien czas była stała, a na końcu równomiernie rosła.
B. Najpierw równomiernie rosła, potem była stała, a na końcu równomiernie malała.
C. Była stała, potem urosła po łuku i wróciła do tej samej wartości.
D. Malała, potem lekko rosła i znów malała, a na końcu rosła.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Rozbijamy trasę na trzy części i pytamy przy każdej: co dzieje się z odległością od $B$ ?
Część 1 — prosta z $A$ w stronę $B$ . Piechur zbliża się do $B$ , a idzie ze stałą prędkością, więc odległość maleje równomiernie.
Część 2 — łuk okręgu o środku $B$ . Kluczowa własność okręgu: wszystkie jego punkty są jednakowo oddalone od środka. Odległość od $B$ jest więc przez cały ten odcinek trasy stała — równa promieniowi.
Część 3 — prosta do $C$ . Piechur oddala się od $B$ , więc odległość rośnie równomiernie.
Malejąco → stała → rosnąco — odpowiedź A.

💡 Wskazówka: Cały pomysł tego zadania to definicja okręgu: to zbiór punktów jednakowo odległych od środka. Idąc po łuku wokół $B$ , ani się do niego nie zbliżasz, ani nie oddalasz.

⚠ Najczęstszy błąd: narysowanie w środkowej części łuku albo garbu — bo „przecież szedł po łuku”. Kształt trasy nie przenosi się na kształt wykresu; na wykresie liczy się tylko odległość, a ta jest stała.

Zadanie 24 (kwiecień 2013, egzamin gimnazjalny)1 pktśrednie

W tabeli przedstawiono wiek wszystkich uczestników obozu narciarskiego.

Wiek uczestnika	Liczba uczestników
10 lat	5
14 lat	3
15 lat	4
16 lat	8

Który zestaw procentów poprawnie przedstawia podział uczestników obozu ze względu na wiek?

A. 10 lat — 25%, 14 lat — 20%, 15 lat — 15%, 16 lat — 40%
B. 10 lat — 40%, 14 lat — 20%, 15 lat — 15%, 16 lat — 25%
C. 10 lat — 40%, 14 lat — 15%, 15 lat — 20%, 16 lat — 25%
D. 10 lat — 25%, 14 lat — 15%, 15 lat — 20%, 16 lat — 40%

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Krok 1 — wszyscy uczestnicy. $\textcolor{#16A06A}{5} + \textcolor{#16A06A}{3} + \textcolor{#16A06A}{4} + \textcolor{#16A06A}{8} = \textcolor{#E0453A}{20}$ osób.
Krok 2 — zamieniamy każdą liczbę na procent. Ponieważ całość to $\textcolor{#E0453A}{20}$ , jedna osoba to $100\% : \textcolor{#E0453A}{20} = 5\%$ — dalej idzie już bardzo szybko:
10 lat: $\textcolor{#16A06A}{5} \cdot 5\% = 25\%$ • 14 lat: $\textcolor{#16A06A}{3} \cdot 5\% = 15\%$
15 lat: $\textcolor{#16A06A}{4} \cdot 5\% = 20\%$ • 16 lat: $\textcolor{#16A06A}{8} \cdot 5\% = 40\%$
Kontrola: $25 + 15 + 20 + 40 = 100\%$ ✓
Odpowiedź D.

💡 Wskazówka: Gdy całość jest okrągłą liczbą (tu 20), policz najpierw, ile procent to jedna sztuka. Reszta to już mnożenie w pamięci.

⚠ Najczęstszy błąd: pomylenie kolejności — przypisanie 40% dziesięciolatkom zamiast szesnastolatkom. Największy procent musi trafić do najliczniejszej grupy, więc warto na koniec sprawdzić, czy kolejność wielkości się zgadza.

Zadanie 25 (kwiecień 2013, egzamin gimnazjalny)1 pktłatwe

Wykres przedstawia zależność ilości farby pozostałej w pojemniku (w litrach) od powierzchni ściany pomalowanej farbą z tego pojemnika. Wykres jest odcinkiem prostej. Ile farby pozostało w pojemniku po pomalowaniu 30 m² ściany?

Dane z rysunku — wersja tekstowa

Pomalowana powierzchnia	0 m²	50 m²
Farba w pojemniku	20 litrów	0 litrów

A. 8 litrów
B. 12 litrów
C. 16 litrów
D. 20 litrów

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Krok 1 — ile farby idzie na 1 m². Całe $\textcolor{#16A06A}{20}$ litrów wystarczyło na $\textcolor{#16A06A}{50}$ m²:
$\textcolor{#16A06A}{20} : \textcolor{#16A06A}{50} = \textcolor{#E0453A}{0{,}4}$ litra na 1 m².
Krok 2 — zużycie na 30 m².
$\textcolor{#E0453A}{0{,}4} \cdot 30 = \textcolor{#E0453A}{12}$ litrów.
Krok 3 — ile zostało.
$\textcolor{#16A06A}{20} - \textcolor{#E0453A}{12} = 8$ litrów.
Odpowiedź A.

💡 Wskazówka: Można też czytać wprost z wykresu: przy 50 m² zostaje 0 l, przy 25 m² — połowa, czyli 10 l. Punkt dla 30 m² leży trochę niżej — i faktycznie wychodzi 8 l.

⚠ Najczęstszy błąd: podanie 12 litrów (odpowiedź B) — czyli ilości farby zużytej, a nie pozostałej. Wykres pokazuje to, co zostało w pojemniku.

Zadanie 26 (kwiecień 2013, egzamin gimnazjalny)1 pktłatwe

Skorzystaj z tego samego wykresu co w poprzednim zadaniu. Ile farby zużyto na pomalowanie 10 m² ściany?

Dane z rysunku — wersja tekstowa

Pomalowana powierzchnia	0 m²	50 m²
Farba w pojemniku	20 litrów	0 litrów

A. 4 litry
B. 8 litrów
C. 10 litrów
D. 16 litrów

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Krok 1 — zużycie na 1 m². $\textcolor{#16A06A}{20} : \textcolor{#16A06A}{50} = \textcolor{#E0453A}{0{,}4}$ litra.
Krok 2 — na 10 m². $\textcolor{#E0453A}{0{,}4} \cdot 10 = 4$ litry.
Odpowiedź A.
Można też prościej: 10 m² to piąta część z $\textcolor{#16A06A}{50}$ m², więc zużyto piątą część farby: $\textcolor{#16A06A}{20} : 5 = 4$ litry ✓
Z wykresu odczytalibyśmy to jako spadek z 20 l do 16 l — różnica 4 litry.

💡 Wskazówka: Pytanie o „ile zużyto” to zawsze różnica dwóch odczytów, a nie sam odczyt. Wartość 16 l (odpowiedź D) to stan pojemnika, nie zużycie.

⚠ Najczęstszy błąd: odczytanie z wykresu wartości 16 litrów i zaznaczenie jej. To ilość farby, która została, a pytanie dotyczy tej, która ubyła.

Zadanie 27 (kwiecień 2012, egzamin gimnazjalny)1 pkttrudniejsze

Glazurnik układał płytki. Wykres przedstawia łączną liczbę ułożonych płytek w zależności od godziny, w trakcie ośmiogodzinnego dnia pracy. Na podstawie wykresu wybierz zdanie fałszywe.

Dane z rysunku — wersja tekstowa

Godzina	7:00	10:00	11:00	12:00	15:00
Liczba płytek	0	100	100	150	200

A. O godzinie 10:00 glazurnik rozpoczął godzinną przerwę.
B. Od 7:00 do 8:00 glazurnik ułożył mniej płytek niż od 11:00 do 12:00.
C. W ciągu każdej godziny glazurnik układał taką samą liczbę płytek.
D. Przez ostatnie trzy godziny pracy glazurnik ułożył 50 płytek.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Na wykresie „łącznej liczby” tempo pracy widać jako nachylenie: im stromiej, tym szybciej.
A. Między $10{:}00$ a $11{:}00$ wykres jest poziomy — liczba płytek nie rośnie, czyli glazurnik nie pracował ✓ prawda
B. Od $7{:}00$ do $10{:}00$ ułożył $\textcolor{#16A06A}{100}$ płytek w równym tempie, czyli około $\textcolor{#E0453A}{33}$ na godzinę. Od $11{:}00$ do $12{:}00$ : $\textcolor{#16A06A}{150} - \textcolor{#16A06A}{100} = \textcolor{#E0453A}{50}$ płytek. Faktycznie mniej ✓ prawda
C. Tempo wyraźnie się zmienia: $\textcolor{#E0453A}{33}$ płytki, potem przerwa ( $\textcolor{#E0453A}{0}$ ), potem $\textcolor{#E0453A}{50}$ , a na końcu $\textcolor{#E0453A}{200} - \textcolor{#E0453A}{150} = 50$ płytek przez trzy godziny, czyli po $\textcolor{#E0453A}{17}$ na godzinę ✗ to zdanie jest fałszywe
D. Od $12{:}00$ do $15{:}00$ : $\textcolor{#16A06A}{200} - \textcolor{#16A06A}{150} = 50$ płytek ✓ prawda
Odpowiedź C.

💡 Wskazówka: Poziomy odcinek na wykresie „ile łącznie” zawsze oznacza przerwę, a im odcinek stromszy, tym szybsza praca. To pozwala oceniać tempo bez liczenia.

⚠ Najczęstszy błąd: uznanie zdania C za prawdziwe, bo wykres „idzie w górę cały czas”. Rośnie, owszem — ale różnymi tempami, a to widać po zmianie nachylenia.

Zadanie 28 (grudzień 2011, egzamin gimnazjalny)1 pkttrudniejsze

Uczeń przeczytał w ciągu tygodnia książkę liczącą 420 stron.

Dzień	Liczba przeczytanych stron	Czas czytania
1.	50	1 h 40 min
2.	70	2 h
3.	90	2 h 20 min
4.	30	30 min
5.	70	2 h 10 min
6.	80	2 h 30 min
7.	30	30 min

Na podstawie informacji zawartych w tabeli wybierz zdanie prawdziwe.

A. Pierwszego dnia uczeń przeczytał ponad 20% całej książki.
B. Uczeń czytał średnio 50 stron dziennie.
C. Piątego dnia uczeń przeczytał $\dfrac{1}{6}$ całej książki.
D. Przeczytanie pierwszej połowy książki zajęło uczniowi mniej czasu niż przeczytanie drugiej połowy.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

A. Pierwszego dnia: $\textcolor{#16A06A}{50}$ stron z $\textcolor{#E0453A}{420}$ . Dwadzieścia procent to $0{,}2 \cdot \textcolor{#E0453A}{420} = 84$ strony, a $\textcolor{#16A06A}{50} < 84$ ✗ fałsz
B. Średnia dzienna: $\textcolor{#E0453A}{420} : 7 = \textcolor{#E0453A}{60}$ stron, a nie 50 ✗ fałsz
C. Piątego dnia: $\textcolor{#16A06A}{70}$ stron. Sprawdzamy: $\textcolor{#E0453A}{420} : 6 = \textcolor{#E0453A}{70}$ ✓ prawda
D. Pierwsza połowa to 210 stron, czyli dni 1–3 ( $\textcolor{#16A06A}{50} + \textcolor{#16A06A}{70} + \textcolor{#16A06A}{90} = 210$ ). Czas: 1 h 40 min $+ 2$ h $+ 2$ h 20 min $= \textcolor{#E0453A}{6}$ h.
Druga połowa to dni 4–7 ( $30 + 70 + 80 + 30 = 210$ ). Czas: 30 min $+ 2$ h 10 min $+ 2$ h 30 min $+ 30$ min $= \textcolor{#E0453A}{5}$ h 40 min.
Pierwsza połowa zajęła więcej czasu, a nie mniej ✗ fałsz
Odpowiedź C.

💡 Wskazówka: Sumy stron w obu połowach wychodzą równo po 210 — to nie przypadek, tylko podpowiedź, gdzie przeciąć tabelę. Dopiero potem dodawaj czasy.

⚠ Najczęstszy błąd przy zdaniu D: dodawanie godzin i minut „jak liczb dziesiętnych”, np. $1{,}40 + 2{,}00 + 2{,}20$ . Minuty przechodzą co 60, a nie co 100 — trzeba je sumować osobno.

Zadanie 29 (grudzień 2011, egzamin gimnazjalny)1 pktśrednie

Pan Ryszard mieszka we wsi Janki. W poniedziałek odwiózł córkę do szkoły w Gródku, a następnie pojechał na kontrolę swoich sklepów w Sowach i w Migocku. Na wykresie przedstawiono, jak zmieniała się w czasie odległość (mierzona w linii prostej) pana Ryszarda od domu. Jaka jest odległość (w linii prostej) między Jankami a Gródkiem?

Dane z rysunku — wersja tekstowa

Godzina	7:30	7:45	8:00–9:30	10:30–11:30	12:00
Odległość od domu	0 km	50 km	40 km	20 km	0 km

A. 50 km
B. 40 km
C. 20 km
D. 10 km

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Pytanie dotyczy Gródka, a z treści wiemy, że tam pan Ryszard pojechał najpierw — odwiózł córkę do szkoły.
Na wykresie pierwszy przystanek to punkt, w którym odległość przestaje rosnąć. Dzieje się to około $7{:}45$ , na poziomie $\textcolor{#E0453A}{50}$ km.
Odległość między Jankami a Gródkiem wynosi więc 50 km — odpowiedź A.
Dla porządku, resztę trasy odczytujemy tak samo: potem był postój na poziomie $\textcolor{#16A06A}{40}$ km (Migock) i postój na poziomie $\textcolor{#16A06A}{20}$ km (Sowy), a na końcu powrót do domu — czyli do 0 km.

💡 Wskazówka: Na wykresie „odległość od domu” postój to poziomy odcinek. Wysokość, na której leży ten odcinek, to odległość danej miejscowości od domu.

⚠ Najczęstszy błąd: wskazanie 40 km, bo na tym poziomie wykres jest najdłużej płaski. Najdłuższy postój nie oznacza pierwszego przystanku — a Gródek był pierwszy.

Zadanie 30 (grudzień 2011, egzamin gimnazjalny)1 pkttrudniejsze

Skorzystaj z tego samego wykresu co w poprzednim zadaniu: pan Ryszard wyjechał z domu (Janki) o 7:30, a wrócił, gdy odległość spadła do zera. Sklepy pana Ryszarda są w Sowach i w Migocku, przy czym z mapy wynika, że Migock leży dalej od Janek niż Sowy. Dokończ zdanie, wybierając odpowiedź spośród podanych.
Z podanych informacji wynika, że pan Ryszard

Dane z rysunku — wersja tekstowa

Godzina	7:30	7:45	8:00–9:30	10:30–11:30	12:00
Odległość od domu	0 km	50 km	40 km	20 km	0 km

A. najpierw kontrolował sklep w Sowach.
B. między Sowami a Migockiem zatrzymał się na 15 minut.
C. wrócił do domu po 4 godzinach.
D. kontrolował sklep w Sowach co najwyżej godzinę.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Krok 1 — przypisujemy poziomy do miejscowości. Migock leży dalej niż Sowy, więc poziom $\textcolor{#16A06A}{40}$ km to Migock, a poziom $\textcolor{#16A06A}{20}$ km — Sowy.
A. Postój na poziomie $\textcolor{#16A06A}{40}$ km (Migock) był wcześniej niż na poziomie $\textcolor{#16A06A}{20}$ km (Sowy), więc najpierw był Migock ✗ fałsz
B. Między postojami wykres cały czas opada (od $9{:}30$ do $10{:}30$ ) — nie ma tam żadnego poziomego odcinka, czyli żadnego zatrzymania ✗ fałsz
C. Wyjechał o $\textcolor{#E0453A}{7{:}30}$ , wrócił o $\textcolor{#E0453A}{12{:}00}$ , czyli po 4 godzinach i 30 minutach, a nie po 4 ✗ fałsz
D. Postój w Sowach trwał od około $\textcolor{#E0453A}{10{:}30}$ do $\textcolor{#E0453A}{11{:}30}$ , czyli najwyżej godzinę ✓ prawda
Odpowiedź D.

💡 Wskazówka: Zestawiaj wykres z mapką: mapa mówi, która miejscowość jest dalej, a wykres — kiedy i jak długo pan Ryszard tam był. Żadne z tych źródeł samo nie wystarcza.

⚠ Najczęstszy błąd: przypisanie poziomu 20 km Migockowi tylko dlatego, że postój tam jest krótszy. O tym, która miejscowość jest na której wysokości, decyduje wyłącznie odległość od domu z mapy.

Zadanie 31 (materiały CKE)1 pktłatwe

Asia trenuje kolarstwo. Trasę, którą pokonała w ciągu 4 godzin, wiodła leśną drogą, ścieżką rowerową, polną drogą i chodnikiem. Na diagramie przedstawiono w procentach czas jazdy. Słupka dla chodnika nie narysowano. Jaki procent czasu Asia jechała po chodniku?

Dane z rysunku — wersja tekstowa

Nawierzchnia	leśna droga	ścieżka rowerowa	droga polna	chodnik
Czas	35%	30%	10%	—

A. 10%
B. 15%
C. 20%
D. 25%

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Cała trasa to 100% czasu, a wszystkie cztery nawierzchnie muszą się do tego dodać.
Sumujemy to, co dane:
$\textcolor{#16A06A}{35\%} + \textcolor{#16A06A}{30\%} + \textcolor{#16A06A}{10\%} = \textcolor{#E0453A}{75\%}$
Chodnik to dopełnienie:
$100\% - \textcolor{#E0453A}{75\%} = 25\%$ .
Odpowiedź D.

💡 Wskazówka: Gdy na diagramie brakuje jednego słupka, prawie zawsze chodzi o dopełnienie do 100%. Wystarczy dodać resztę i odjąć od stu.

⚠ Najczęstszy błąd: odczytanie z diagramu wysokości najniższego widocznego słupka (10%) i uznanie, że brakujący jest podobny. Brakującego słupka nie odczytuje się z rysunku — trzeba go wyliczyć.

Zadanie 32 (materiały CKE)1 pktśrednie

Asia jechała łącznie 4 godziny. Czas jazdy po poszczególnych nawierzchniach przedstawiono na diagramie. Ile minut Asia jechała leśną drogą?

Dane z rysunku — wersja tekstowa

Nawierzchnia	leśna droga	ścieżka rowerowa	droga polna	chodnik
Czas	35%	30%	10%	—

A. 60 minut
B. 72 minuty
C. 84 minuty
D. 96 minut

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Krok 1 — zamieniamy czas na minuty. Odpowiedzi są w minutach, więc wygodnie od razu przejść na tę jednostkę:
4 h $= 4 \cdot 60 = \textcolor{#E0453A}{240}$ minut.
Krok 2 — liczymy 35% z całości.
$0{,}35 \cdot \textcolor{#E0453A}{240} = 84$ minuty.
Odpowiedź C.
Można też w pamięci: 10% z $\textcolor{#E0453A}{240}$ to 24, więc 30% to 72; 5% to 12; razem $72 + 12 = 84$ ✓

💡 Wskazówka: Zamień jednostki na samym początku, dopasowując je do odpowiedzi. Liczenie 35% z „4 godzin”, a potem zamiana 1,4 godziny na minuty, prowokuje błąd 1 h 40 min.

⚠ Najczęstszy błąd: obliczenie $0{,}35 \cdot 4 = 1{,}4$ i odczytanie tego jako „1 godzina 40 minut”. Ułamek 0,4 godziny to 24 minuty, a nie 40 — godzina ma 60, a nie 100 minut.

Zadania otwarte

Zadanie 33 (maj 2026)3 pkttrudniejsze

Podczas Dnia Sportu rozegrano trzy turnieje. Każde dziecko wzięło udział w dokładnie jednym turnieju. Łączna liczba dziewcząt była o 8 większa od łącznej liczby chłopców.

	Turniej piłki nożnej	Turniej tańca	Turniej tenisa stołowego
Liczba dziewcząt	15	65	?
Liczba chłopców	46	16	34

Oblicz, ile procent liczby wszystkich uczestników Dnia Sportu stanowi liczba dzieci, które brały udział w turnieju tenisa stołowego. Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 29%

Krok 1 — wszyscy chłopcy. Tu tabela jest kompletna:
$\textcolor{#16A06A}{46} + \textcolor{#16A06A}{16} + \textcolor{#16A06A}{34} = \textcolor{#16A06A}{96}$ chłopców.
Krok 2 — wszystkie dziewczęta. Jest ich o 8 więcej:
$\textcolor{#16A06A}{96} + 8 = \textcolor{#16A06A}{104}$ dziewczęta.
Krok 3 — brakująca liczba w tabeli. Dziewczęta grające w tenisa to reszta:
$\textcolor{#16A06A}{104} - \textcolor{#16A06A}{15} - \textcolor{#16A06A}{65} = \textcolor{#E0453A}{24}$ .
Krok 4 — uczestnicy turnieju tenisa.
$\textcolor{#E0453A}{24} + \textcolor{#16A06A}{34} = \textcolor{#E0453A}{58}$ dzieci.
Krok 5 — wszyscy uczestnicy Dnia Sportu.
$\textcolor{#16A06A}{104} + \textcolor{#16A06A}{96} = \textcolor{#E0453A}{200}$ dzieci.
Krok 6 — jaki to procent.
$\dfrac{\textcolor{#E0453A}{58}}{\textcolor{#E0453A}{200}} = 0{,}29 = 29\%$ .
Odpowiedź: uczestnicy turnieju tenisa stołowego stanowili 29% wszystkich dzieci.

💡 Wskazówka: Ułamek o mianowniku 200 zamienia się na procent bardzo wygodnie: pomnóż licznik i mianownik przez $\tfrac12$ , żeby dostać $\tfrac{29}{100}$ .

⚠ Najczęstszy błąd: policzenie procentu od samej liczby dziewcząt albo od liczby uczestników jednego turnieju. Całością są wszyscy uczestnicy Dnia Sportu, czyli suma obu wierszy tabeli.

Zadanie 34 (maj 2024)3 pkttrudniejsze

Pan Jan sprzedał w swoim sklepie 120 kg truskawek. Połowę masy sprzedał w dużych opakowaniach, 10% masy — w średnich, a pozostałe truskawki — w małych opakowaniach.

Rodzaj opakowania	Masa truskawek w opakowaniu	Cena opakowania z truskawkami
duże	1 kg	18 zł
średnie	0,5 kg	10 zł
małe	0,25 kg	6 zł

Oblicz, jaką kwotę otrzymał pan Jan ze sprzedaży wszystkich truskawek. Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 2472 zł

Krok 1 — jak masa dzieli się na rodzaje opakowań.
duże: połowa ze $\textcolor{#16A06A}{120}$ kg $= \textcolor{#16A06A}{60}$ kg • średnie: 10% ze $\textcolor{#16A06A}{120}$ kg $= \textcolor{#16A06A}{12}$ kg
małe: reszta, czyli $\textcolor{#16A06A}{120} - \textcolor{#16A06A}{60} - \textcolor{#16A06A}{12} = \textcolor{#16A06A}{48}$ kg
Krok 2 — ile było opakowań każdego rodzaju. Dzielimy masę przez pojemność jednego opakowania:
duże: $\textcolor{#16A06A}{60} : 1 = \textcolor{#E0453A}{60}$ • średnie: $\textcolor{#16A06A}{12} : 0{,}5 = \textcolor{#E0453A}{24}$ • małe: $\textcolor{#16A06A}{48} : 0{,}25 = \textcolor{#E0453A}{192}$
Krok 3 — utarg z każdego rodzaju.
duże: $\textcolor{#E0453A}{60} \cdot 18 = 1080$ zł • średnie: $\textcolor{#E0453A}{24} \cdot 10 = 240$ zł • małe: $\textcolor{#E0453A}{192} \cdot 6 = 1152$ zł
Krok 4 — razem.
$1080 + 240 + 1152 = 2472$ zł.
Odpowiedź: pan Jan otrzymał 2472 zł.

💡 Wskazówka: Dzielenie przez 0,25 to mnożenie przez 4, a przez 0,5 — mnożenie przez 2. W tym zadaniu oszczędza to sporo czasu.

⚠ Najczęstszy błąd: pomnożenie masy przez cenę opakowania (np. $48 \cdot 6$ ) z pominięciem kroku „ile było opakowań”. Cena dotyczy jednego opakowania, a nie kilograma.

Zadanie 35 (kwiecień 2019)2 pktśrednie

Na diagramie kołowym przedstawiono, jaki procent meczów w ciągu całego sezonu drużyna piłkarska zakończyła wygraną, jaki przegraną, a jaki remisem. W ciągu całego sezonu drużyna wygrała 10 meczów. Ile meczów w sezonie ta drużyna przegrała? Zapisz obliczenia.

Dane z rysunku — wersja tekstowa

Wynik meczu	wygrane	zremisowane	przegrane
Udział	25%	45%	—

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 12 meczów

Krok 1 — procent meczów przegranych.
$100\% - \textcolor{#16A06A}{25\%} - \textcolor{#16A06A}{45\%} = \textcolor{#16A06A}{30\%}$
Krok 2 — ile meczów rozegrano w sezonie. Kotwica: $\textcolor{#16A06A}{25\%}$ to $\textcolor{#16A06A}{10}$ meczów. Ponieważ $25\% = \tfrac14$ , całość jest cztery razy większa:
$4 \cdot \textcolor{#16A06A}{10} = \textcolor{#E0453A}{40}$ meczów.
Krok 3 — mecze przegrane.
$\textcolor{#16A06A}{30\%}$ z $\textcolor{#E0453A}{40}$ $= 0{,}3 \cdot \textcolor{#E0453A}{40} = 12$ meczów.
Odpowiedź: drużyna przegrała 12 meczów.
Kontrola: wygrane 10, zremisowane 45% z $40 = 18$ , przegrane 12 — razem $\textcolor{#E0453A}{40}$ ✓

💡 Wskazówka: Schemat jest zawsze ten sam: część → całość → inna część. Nie da się przejść od 25% do 30% bez policzenia po drodze liczby wszystkich meczów.

⚠ Najczęstszy błąd: policzenie 30% z liczby meczów wygranych ( $0{,}3 \cdot 10 = 3$ ). Procenty z diagramu odnoszą się do wszystkich meczów sezonu, a nie do jednej z grup.

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. A	2. F, P	3. B, D	4. P, P	5. P, P	6. P, F
7. P, P	8. C	9. F, P	10. P, P	11. C	12. F, P
13. B	14. D	15. A, D	16. F, P	17. C	18. P, P
19. B, D	20. A	21. B	22. B	23. A	24. D
25. A	26. A	27. C	28. C	29. A	30. D
31. D	32. C	33. 29%	34. 2472 zł	35. 12 meczów

Treści zadań pochodzą z arkuszy egzaminu ósmoklasisty oraz z arkuszy egzaminu gimnazjalnego (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów liczę i zapisuję sam — Mateusz Będkowski.

Pytania i odpowiedzi

Jak odczytać wartość między podziałkami?

Najpierw ustal, ile wynosi jedna działka: odejmij dwie sąsiednie opisane wartości i podziel przez liczbę odstępów między nimi. Dopiero potem policz, ile działek ma dany słupek. Odczyt na oko prowadzi do wyniku, którego nie ma wśród odpowiedzi.

Jak zamienić procent z diagramu kołowego na liczbę sztuk?

Pomnóż procent przez wielkość całej grupy. Jeśli sektor to jedna czwarta koła, a grupa liczy dwieście czterdzieści osób, odpowiedzią jest sześćdziesiąt osób — sam procent nie odpowiada na pytanie „ile”.

Co oznacza poziomy odcinek na wykresie drogi?

Postój. Czas płynie, a przebyta droga się nie zmienia, więc obiekt stoi w miejscu. Na wykresie prędkości ten sam kształt oznaczałby co innego — jazdę ze stałą prędkością.

Jak obliczyć całość, znając jeden słupek?

Podziel znaną wartość przez jej udział zapisany jako ułamek dziesiętny. Jeśli trzydzieści procent to czterdzieści pięć osób, całość wynosi sto pięćdziesiąt. Kontrola: całość musi wyjść większa od znanej części.

Ile stopni odpowiada jednemu procentowi na diagramie kołowym?

Trzy i sześć dziesiątych stopnia, bo pełne koło to trzysta sześćdziesiąt stopni i zarazem sto procent. Ćwiartka koła to dwadzieścia pięć procent, czyli dziewięćdziesiąt stopni.

Skąd wiedzieć, czy zdanie o wykresie jest prawdziwe?

Wskaż miejsce na rysunku, które je potwierdza. Jeśli takiego miejsca nie ma, zdanie jest fałszywe, nawet gdy brzmi prawdopodobnie. Szczególnie uważaj na zdania ze słowami „zawsze” i „każdy” — jeden przeciwny punkt wystarczy, by je obalić.

Czytaj dalej

Statystyka — teoriaDane, diagramy oraz średnia, mediana i dominanta w jednym miejscu Średnia arytmetyczna na egzaminieKolejny krok po odczycie — liczenie średniej z odczytanych danych Procenty na egzaminieTrzynaście zadań z tej strony łączy odczyt z rachunkiem procentowym Prędkość, droga, czas na egzaminieWykresy drogi i prędkości — tam liczy się to, co tu tylko odczytujemy Egzamin ósmoklasisty z matematykiJak zbudowany jest arkusz i jak się do niego przygotować

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-07-30. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa Mateusza Będkowskiego.