Strona główna › Egzamin ósmoklasisty › Zamiana jednostek czasu i zadania o wydajności — egzamin ósmoklasisty

Zamiana jednostek czasu i zadania o wydajności — egzamin ósmoklasisty

Dziewięć zadań, dwa motywy. Pięć z nich to rachunek na czasie — dodawanie i odejmowanie godzin z minutami, gdzie przeliczanie na ułamki tylko przeszkadza. Pozostałe cztery dotyczą wydajności i pracy, a spina je zależność, która w korpusie E8 pojawia się rzadko i tylko tutaj stoi w centrum zadania: proporcjonalność odwrotna.

Dział: Egzamin ósmoklasistyPoziom: klasa 7–8Zadań: 9 — 7 z egzaminu ósmoklasisty i 2 z egzaminu gimnazjalnego

Przejdź od razu do zadań (9) ↓

Godziny, minuty, sekundy — zamiana w obie strony

Cały układ opiera się na jednej liczbie: sześćdziesiąt. Godzina ma 60 minut, minuta ma 60 sekund, więc godzina ma 3600 sekund.

Kierunek zamiany rozstrzyga się jednym pytaniem: czy przechodzę do jednostki mniejszej, czy większej. Na mniejsze — mnożę, na większe — dzielę.

Kontrola jest natychmiastowa. Ta sama chwila wyrażona w sekundach musi dać liczbę większą niż w minutach, bo sekunda jest krótsza. Jeśli po zamianie liczba zmalała, kierunek był odwrotny.

Warto znać kilka wartości bez liczenia: kwadrans to 15 minut, czyli 900 sekund. Pół godziny to 1800 sekund. Doba to 24 godziny, czyli 1440 minut.

Dodawanie czasu z przekroczeniem godziny

Trzy zadania z tej strony polegają na dodaniu dwóch odcinków czasu. Kluczowa różnica wobec zwykłego dodawania: minuty przenosi się po sześćdziesięciu, nie po stu.

Metoda jest prosta — dodaj osobno godziny, osobno minuty, a potem sprawdź, czy minut nie wyszło co najmniej 60. Jeśli tak, odejmij 60 i dolicz jedną godzinę.

2 h 45 min plus 1 h 30 min to najpierw 3 h i 75 min, a po zamianie — 4 h 15 min.

Zamiana na ułamki godziny też działa, ale prowadzi do niepotrzebnych rachunków na liczbach dziesiętnych. Przy samym dodawaniu i odejmowaniu czasu nie warto przeliczać na godziny — to potrzebne dopiero wtedy, gdy czas wchodzi do wzoru na prędkość.

Odejmowanie czasu i obliczanie opóźnienia

Dwa zadania pytają o różnicę: ile trwała podróż, o ile spóźnił się pociąg. To odejmowanie w układzie sześćdziesiątkowym, więc pożyczka wynosi 60, a nie 100.

Bezpieczna metoda to dojście do pełnej godziny. Z 9:409{:}40 do 10:0010{:}00 jest 20 minut, z 10:0010{:}00 do 13:1513{:}15 — trzy godziny i piętnaście minut. Razem 3 h 35 min.

Odejmowanie w słupku daje tu błędy, bo wymaga pamiętania o innej pożyczce niż zwykle. Dojście do pełnej godziny nie wymaga niczego pamiętać.

Przy opóźnieniach uważaj na przekroczenie północy — czas przyjazdu wcześniejszy niż wyjazdu oznacza, że doba się zmieniła.

Wydajność: ile zrobi jedna osoba w jednostce czasu

Zadania o pracy rozwiązuje się przez sprowadzenie do jednej osoby i jednej jednostki czasu. To pojęcie nazywa się wydajnością i jest kluczem do całego typu.

Jeśli trzy osoby wykonują pracę w sześć godzin, to łączny nakład wynosi 3⋅6=183 \cdot 6 = 18 roboczogodzin. Ta liczba jest stała — nie zależy od tego, ile osób ostatecznie pracuje.

Znając nakład, resztę liczy się dzieleniem: sześć osób potrzebuje 18:6=318 : 6 = 3 godzin, a dwie osoby — 18:2=918 : 2 = 9 godzin.

Ta metoda jest odporna na pułapki, bo nie wymaga rozstrzygania, czy mnożyć, czy dzielić. Nakład liczy się raz, a potem tylko się go rozdziela.

Proporcjonalność odwrotna — jedyny dział, w którym stoi w centrum

Dwie wielkości są odwrotnie proporcjonalne, gdy ich iloczyn jest stały. Więcej osób oznacza krótszy czas, i to dokładnie w takiej proporcji: dwa razy więcej osób to dwa razy krócej.

To odróżnia ten typ od proporcjonalności prostej — takiej jak w podziale proporcjonalnym — gdzie wielkości rosną razem, a stały jest iloraz. Pomylenie obu daje wynik odwrócony.

Rozstrzygnięcie, z którym typem mamy do czynienia, zajmuje sekundę: zadaj pytanie, czy zwiększenie jednej wielkości powinno drugą zwiększyć, czy zmniejszyć. Więcej pracowników — krócej. Więcej kilogramów — drożej.

W korpusie zadań E8 proporcjonalność odwrotna pojawia się rzadko — dwa zadania są tutaj, a pojedyncze wracają w zadaniach tekstowych (na przykład „mniej osób w przedziale to więcej przedziałów"). Warto ją więc przećwiczyć właśnie tu, bo to jedyne miejsce, w którym stoi w centrum, a nie na marginesie innego rachunku.

Zadania o pracy — czego nie wolno założyć

Model roboczogodzin opiera się na milczącym założeniu: wszyscy pracują z tą samą wydajnością i praca da się dowolnie podzielić. W treści zadania egzaminacyjnego to założenie jest zwykle powiedziane wprost — warto sprawdzić, czy jest.

Gdy zadanie podaje różne wydajności („Anna maluje pokój w 6 godzin, Bartek w 3”), sprowadza się je do wspólnej jednostki czasu: ile części pracy wykonuje każde w ciągu godziny.

Anna robi wtedy 16\tfrac{1}{6} pracy na godzinę, Bartek 13\tfrac{1}{3}, razem 16+13=12\tfrac{1}{6} + \tfrac{1}{3} = \tfrac{1}{2} — czyli pół pracy na godzinę, więc całość w dwie godziny.

Ten rachunek wymaga sprawnego dodawania ułamków, i to zwykle jest w nim najtrudniejsze, a nie sam pomysł.

Przykłady krok po kroku

Cztery zadania krok po kroku: dodawanie czasu, obliczanie opóźnienia, praca w roboczogodzinach i różne wydajności.

Przykład 1 Dodawanie czasu

Ile łącznie trwały dwa etapy wycieczki, jeśli pierwszy zajął 2 godziny 45 minut, a drugi 1 godzinę 30 minut?

  1. Dodaję osobno godziny: 2+1=32 + 1 = 3 godziny.
  2. Dodaję osobno minuty: 45+30=7545 + 30 = 75 minut.
  3. Minut wyszło więcej niż 60, więc zamieniam: 75=60+1575 = 60 + 15, czyli jedna godzina i 15 minut.
  4. Doliczam tę godzinę: 3+1=43 + 1 = 4 godziny i 15 minut.
  5. Kontrola: gdyby ktoś zapisał wynik jako 3 h 75 min, byłby on poprawny liczbowo, ale niezapisany w standardowej postaci ✓

Odpowiedź: Oba etapy trwały łącznie 4 godziny 15 minut.

Przykład 2 Opóźnienie pociągu

Pociąg miał przyjechać o 14:2514{:}25, a przyjechał o 15:1015{:}10. O ile minut się spóźnił?

  1. Dochodzę do pełnej godziny: z 14:2514{:}25 do 15:0015{:}00 jest 35 minut.
  2. Z 15:0015{:}00 do 15:1015{:}10 jest kolejne 10 minut.
  3. Razem: 35+10=4535 + 10 = 45 minut.
  4. Kontrola: różnica jest mniejsza niż godzina, bo godziny różnią się o jeden, a minuty przyjazdu są mniejsze niż planowe ✓
  5. Odejmowanie w słupku dałoby tu 85 — błąd wynikający z pożyczki równej 100 zamiast 60.

Odpowiedź: Pociąg spóźnił się o 45 minut.

Przykład 3 Praca w roboczogodzinach

Trzy osoby wykonują pewną pracę w 6 godzin. Ile godzin zajmie ta sama praca sześciu osobom pracującym z taką samą wydajnością?

  1. Liczę łączny nakład pracy: 3 osoby razy 6 godzin daje 18 roboczogodzin.
  2. Ta liczba się nie zmienia — praca jest ta sama, niezależnie od liczby osób.
  3. Rozdzielam nakład na sześć osób: 18:6=318 : 6 = 3 godziny.
  4. Kontrola sensowności: osób jest dwa razy więcej, więc czas musi być dwa razy krótszy — z 6 na 3 godziny ✓
  5. To właśnie proporcjonalność odwrotna: iloczyn liczby osób i czasu jest stały i wynosi 18.

Odpowiedź: Sześciu osobom praca zajmie 3 godziny.

Przykład 4 Dwie osoby o różnej wydajności

Anna maluje pokój w 6 godzin, a Bartek w 3 godziny. Ile czasu zajmie im malowanie razem?

  1. Sprowadzam do jednej godziny. Anna wykonuje w tym czasie 16\dfrac{1}{6} pracy, Bartek 13\dfrac{1}{3}.
  2. Razem na godzinę: 16+13=16+26=36=12\dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{6} + \dfrac{2}{6} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}.
  3. Wykonują pół pracy na godzinę, więc całość zajmie im 2 godziny.
  4. Kontrola: wynik musi być krótszy niż czas szybszej osoby, czyli krótszy niż 3 godziny ✓
  5. Uśrednienie czasów dałoby 4,5 godziny — dłużej, niż Bartek potrzebuje sam, więc byłby to wynik bez sensu.

Odpowiedź: Razem pomalują pokój w 2 godziny.

Najczęstsze błędy

Cztery błędy typowe dla tego działu. Pierwsze dwa dotyczą rachunku na czasie, pozostałe — zadań o pracy.

Przenoszenie minut po setkach zamiast po sześćdziesiątkach

Skąd się bierze: Dodawanie i odejmowanie w słupku odruchowo używa pożyczki równej sto. Przy czasie pożyczka wynosi sześćdziesiąt, więc wynik wychodzi zawyżony lub zaniżony o czterdzieści minut.

Jak zrobić dobrze: Dodawaj godziny i minuty osobno, a nadmiar minut ponad sześćdziesiąt zamień na godzinę. Przy odejmowaniu dojdź najpierw do pełnej godziny — ta metoda nie wymaga pamiętania o żadnej pożyczce.

Zamiana czasu na ułamki tam, gdzie nie jest potrzebna

Skąd się bierze: Przeliczanie każdej wartości na godziny w postaci dziesiętnej wydłuża rachunek i dokłada okazje do zaokrąglenia. Przy samym dodawaniu i odejmowaniu czasu nic nie wnosi.

Jak zrobić dobrze: Zostań przy godzinach i minutach. Na ułamki albo liczby dziesiętne przechodź dopiero wtedy, gdy czas wchodzi do wzoru — na przykład na prędkość.

Uśrednianie czasów przy różnych wydajnościach

Skąd się bierze: Dwie liczby w treści kuszą do policzenia z nich średniej. Wynik wychodzi wtedy dłuższy niż czas szybszej osoby, co jest niemożliwe — dołączenie pomocnika nie może spowolnić pracy.

Jak zrobić dobrze: Sprowadź obie wydajności do jednej godziny, dodaj wykonywane części pracy i z sumy odczytaj łączny czas. Kontrola: wynik musi być krótszy niż czas szybszej z osób.

Mylenie proporcjonalności odwrotnej z prostą

Skąd się bierze: Oba typy wyglądają w treści podobnie — dwie wielkości i pytanie o trzecią. Przy odwrotnej zwiększenie jednej zmniejsza drugą, więc pomyłka daje wynik odwrócony, często kilkukrotnie za duży.

Jak zrobić dobrze: Zadaj pytanie kierunkowe przed rachunkiem: czy zwiększenie pierwszej wielkości ma drugą zwiększyć, czy zmniejszyć. Więcej pracowników znaczy krócej, więcej kilogramów znaczy drożej — to rozstrzyga typ.

Zadania z arkuszy CKE — godziny, minuty i sekundy

Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminu ósmoklasisty (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem. W zestawie jest 2 zadania z arkuszy egzaminu gimnazjalnego (do 2019 roku) — dokładamy je jako dodatkowe ćwiczenie tych samych umiejętności. Zakres gimnazjum był miejscami szerszy niż wymagania dla klas 7–8, dlatego każde takie zadanie jest podpisane osobno.

Kolor pokazuje wielkość, która się nie zmienia — i to ona rozwiązuje większość tych zadań. Raz jest to całkowita praca (liczba maszyn × czas — zawsze ta sama, choćbyśmy inaczej rozłożyli ją w czasie), raz pełny czas przeliczony na jedną jednostkę. Czerwona to wielkość, którą do niej dopasowujemy. Gdy ta sama barwa pojawia się po obu stronach — to ta sama wielkość zapisana inaczej.

Sprawdź się bez zaglądania do odpowiedzi. Dostaniesz wszystkie 5 zadań zamkniętych z tego zestawu — klucz i rozwiązania schowam do czasu sprawdzenia. To komplet zadań zamkniętych z tego działu, więc kolejne podejście będzie powtórką tych samych zadań.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (czerwiec 2025)1 pktłatwe

Martyna przez 20 minut słuchała kolejno nagrań ćwiczeń językowych. Czas odtwarzania nagrania każdego ćwiczenia w całości jest równy 250 sekund. Ile najwięcej ćwiczeń w całości Martyna mogła wysłuchać w tym czasie?
  • A. 4
  • B. 5
  • C. 8
  • D. 12
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

  1. Czasy podano w różnych jednostkach, więc najpierw je ujednolicamy. Nagrania są w sekundach, zamieniamy więc minuty na sekundy.
  2. 20 minut =20⋅60=1200= 20 \cdot 60 = \textcolor{#16A06A}{1200} sekund.
  3. Sprawdzamy, ile razy mieści się w tym jedno nagranie: 1200:250=4,8\textcolor{#16A06A}{1200} : \textcolor{#E0453A}{250} = 4{,}8.
  4. Kluczowe słowa: „ile najwięcej ćwiczeń w całości”. Ułamka nagrania nie liczymy — piąte ćwiczenie zostałoby przerwane.
  5. Zatem Martyna wysłuchała 4 całe nagrania — odpowiedź A.
  6. Sprawdzenie: 4⋅250=10004 \cdot \textcolor{#E0453A}{250} = 1000 s, czyli zostaje jeszcze 200 s — za mało na całe piąte nagranie (potrzeba 250 s).

💡 Wskazówka: Przy pytaniach „ile najwięcej całych” wynik dzielenia zawsze zaokrąglaj w dół, niezależnie od tego, co jest po przecinku. Nawet 4,99 znaczy „cztery”.

⚠ Najczęstszy błąd: zaokrąglenie 4,8 w górę do 5 (kusząca odpowiedź B). Drugi błąd: pominięcie zamiany jednostek i dzielenie 250:20250 : 20.

Zadanie 2 (maj 2024)1 pktśrednie

Podróż pociągiem z Olsztyna do Gdyni planowo trwa 2 godziny i 54 minuty. Pewnego dnia pociąg wyjechał z Olsztyna punktualnie o wyznaczonej godzinie, ale przyjechał do Gdyni z czterominutowym opóźnieniem — o godzinie 17 ⁣: ⁣3117\!:\!31. Dokończ zdanie.
Pociąg wyjechał z Olsztyna o godzinie
  • A. 14 ⁣: ⁣2714\!:\!27
  • B. 14 ⁣: ⁣4114\!:\!41
  • C. 14 ⁣: ⁣3114\!:\!31
  • D. 14 ⁣: ⁣3314\!:\!33
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

  1. Najprościej zacząć od planowego przyjazdu. Pociąg spóźnił się 4 minuty, więc planowo miał być w Gdyni o 17 ⁣: ⁣31−417\!:\!31 - 4 min =17 ⁣: ⁣27= \textcolor{#16A06A}{17\!:\!27}.
  2. Skoro wyjechał punktualnie, to od planowego przyjazdu odejmujemy planowy czas jazdy: 17 ⁣: ⁣27−2 h 54 min\textcolor{#16A06A}{17\!:\!27} - \textcolor{#E0453A}{2\text{ h }54\text{ min}}.
  3. Odejmujemy etapami — najpierw godziny: 17 ⁣: ⁣27−217\!:\!27 - 2 h =15 ⁣: ⁣27= 15\!:\!27.
  4. Potem minuty: 15 ⁣: ⁣27−5415\!:\!27 - 54 min. Od 15 ⁣: ⁣2715\!:\!27 cofamy 27 minut do 15 ⁣: ⁣0015\!:\!00, zostaje jeszcze 54−27=2754 - 27 = 27 minut — czyli 14 ⁣: ⁣3314\!:\!33.
  5. Odpowiedź D.
  6. Sprawdzenie drugą drogą: rzeczywisty czas jazdy to 2 h 54 min +4+ 4 min =2= 2 h 58 min. Wtedy 17 ⁣: ⁣31−217\!:\!31 - 2 h 58 min =14 ⁣: ⁣33= 14\!:\!33 ✓

💡 Wskazówka: Odejmuj czas etapami: najpierw pełne godziny, potem minuty — i przy minutach cofaj się najpierw do pełnej godziny. To znacznie bezpieczniejsze niż liczenie „w pamięci naraz”.

⚠ Najczęstszy błąd: dodanie opóźnienia zamiast odjęcia (wyszłoby 14 ⁣: ⁣4114\!:\!41 — kusząca odpowiedź B). Skoro pociąg przyjechał później, niż planowano, planowy przyjazd był wcześniej.

Zadanie 3 (czerwiec 2022)1 pkttrudniejsze

O godzinie 14 ⁣: ⁣5014\!:\!50 Maciek wyruszył pociągiem z Gdańska do Grudziądza. Najpierw dojechał do Iławy, gdzie po 50-minutowym oczekiwaniu wsiadł do pociągu do Grudziądza. Czas całej podróży przedstawiono na osi podzielonej na 20 jednakowych odstępów, z których:
Oś czasu podróży podzielona na 20 jednakowych odstępów9 odstępów6 odstępów5 odstępówGdańsk → IławaIława → Grudziądzoczekiwanie w Iławie14:50
Dane z rysunku — wersja tekstowa
Etapprzejazd Gdańsk → Iławaoczekiwanie w Iławieprzejazd Iława → Grudziądz
Liczba odstępów956
Oceń prawdziwość podanych zdań.
Przejazd z Iławy do Grudziądza trwał jedną godzinę.PF
Maciek przyjechał do Grudziądza o godzinie 18 ⁣: ⁣1018\!:\!10.PF
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P, P

  1. Cała sztuczka polega na ustaleniu, ile minut trwa jeden odstęp — a jedyną znaną wielkością jest oczekiwanie w Iławie.
  2. Oczekiwanie zajmuje 5\textcolor{#E0453A}{5} odstępów i trwa 50\textcolor{#16A06A}{50} minut, więc jeden odstęp to 50:5=10\textcolor{#16A06A}{50} : \textcolor{#E0453A}{5} = \textcolor{#16A06A}{10} minut.
  3. Zdanie 1. Przejazd z Iławy do Grudziądza to 6\textcolor{#E0453A}{6} odstępów, czyli 6⋅10=606 \cdot \textcolor{#16A06A}{10} = 60 minut — dokładnie jedna godzina ✓ — prawda.
  4. Zdanie 2. Cała podróż to 20\textcolor{#E0453A}{20} odstępów, czyli 20⋅10=20020 \cdot \textcolor{#16A06A}{10} = 200 minut =3= 3 godziny i 20 minut.
  5. Dodajemy do godziny wyjazdu: 14 ⁣: ⁣50+314\!:\!50 + 3 h =17 ⁣: ⁣50= 17\!:\!50, a potem +20+ 20 min =18 ⁣: ⁣10= 18\!:\!10 ✓ — prawda.
  6. Odpowiedzi: P, P.

💡 Wskazówka: Gdy oś ma równe odstępy, zawsze najpierw znajdź wartość jednego odstępu — wystarczy jedna znana wielkość i liczba przypadających na nią odstępów. Reszta to mnożenie.

⚠ Najczęstszy błąd: przyjęcie, że każdy z trzech etapów zajmuje po tyle samo odstępów (bo „oś podzielono równo”). Równe są odstępy, a nie etapy — etapy obejmują ich różną liczbę.

Zadanie 4 (marzec 2021)1 pktśrednie

Asia wzięła udział w zajęciach teatralnych. Zajęcia składały się z 2 części, każda trwała tyle samo minut. Pomiędzy pierwszą a drugą częścią była 10-minutowa przerwa. Zajęcia rozpoczęły się o godzinie 17 ⁣: ⁣4517\!:\!45, a zakończyły o 19 ⁣: ⁣0519\!:\!05. Dokończ zdanie.
Druga część zajęć rozpoczęła się o godzinie
  • A. 18 ⁣: ⁣2018\!:\!20
  • B. 18 ⁣: ⁣2518\!:\!25
  • C. 18 ⁣: ⁣3018\!:\!30
  • D. 18 ⁣: ⁣3518\!:\!35
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

  1. Najpierw łączny czas zajęć: od 17 ⁣: ⁣4517\!:\!45 do 19 ⁣: ⁣0519\!:\!05. Do 18 ⁣: ⁣4518\!:\!45 mija godzina, a stamtąd do 19 ⁣: ⁣0519\!:\!05 jeszcze 20 minut — razem 80\textcolor{#16A06A}{80} minut.
  2. Odejmujemy przerwę, żeby zostały same części: 80−10=70\textcolor{#16A06A}{80} - 10 = \textcolor{#E0453A}{70} minut.
  3. Obie części trwały tyle samo, więc każda: 70:2=35\textcolor{#E0453A}{70} : 2 = 35 minut.
  4. Pierwsza część: od 17 ⁣: ⁣4517\!:\!45 przez 35 minut, czyli do 18 ⁣: ⁣2018\!:\!20.
  5. Potem 10 minut przerwy — druga część zaczyna się o 18 ⁣: ⁣20+1018\!:\!20 + 10 min =18 ⁣: ⁣30= 18\!:\!30.
  6. Odpowiedź C.

💡 Wskazówka: Rysuj sobie oś czasu z zaznaczonymi odcinkami: część — przerwa — część. Widać wtedy od razu, że przerwę trzeba odjąć przed dzieleniem na pół.

⚠ Najczęstszy błąd: podanie godziny zakończenia pierwszej części (18 ⁣: ⁣2018\!:\!20 — kusząca odpowiedź A) zamiast rozpoczęcia drugiej. Między nimi jest jeszcze 10 minut przerwy.

Zadanie 5 (marzec 2020)1 pkttrudniejsze

Na treningu odmierzano 15-minutowe cykle ćwiczeń, następujące bezpośrednio jeden po drugim. Ola zaczęła ćwiczyć, gdy pierwszy cykl trwał już 2 minuty, a skończyła, gdy do końca trzeciego cyklu zostało jeszcze 7 minut. Ile łącznie minut Ola ćwiczyła na zajęciach?
  • A. 36
  • B. 35
  • C. 24
  • D. 21
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

  1. Rozbijamy ćwiczenie Oli na trzy kawałki — po jednym z każdego cyklu.
  2. Cykl 1: Ola weszła po 2 minutach, więc ćwiczyła 15−2=1315 - 2 = 13 minut.
  3. Cykl 2: przećwiczyła go w całości — 15 minut.
  4. Cykl 3: skończyła, gdy zostało 7 minut, więc przećwiczyła 15−7=815 - 7 = 8 minut.
  5. Razem: 13+15+8=3613 + 15 + 8 = 36 minut — odpowiedź A.
  6. Sprawdzenie inną drogą: trzy pełne cykle to 45\textcolor{#16A06A}{45} minut. Ola opuściła 2\textcolor{#E0453A}{2} minuty na początku i 7\textcolor{#E0453A}{7} na końcu, czyli 45−2−7=36\textcolor{#16A06A}{45} - \textcolor{#E0453A}{2} - \textcolor{#E0453A}{7} = 36 ✓

💡 Wskazówka: Sposób „od całości”: policz wszystkie cykle, a potem odejmij to, czego Ola nie ćwiczyła (początek i koniec). Zwykle szybciej niż sumowanie kawałków.

⚠ Najczęstszy błąd: potraktowanie „do końca trzeciego cyklu zostało 7 minut” jako „ćwiczyła 7 minut trzeciego cyklu”. To odwrotnie — ćwiczyła 15−7=815 - 7 = 8 minut.

Zadanie 6 (czerwiec 2019)1 pktśrednie

Wydajność dużej pompy strażackiej to 24 000 litrów wody na minutę, natomiast wydajność małej pompy to 1200 litrów wody na minutę. Mała pompa w ciągu 1 godziny pracy zużywa 0,931 litra paliwa. Uzupełnij zdania.
W ciągu jednej godziny działania dużej pompy strażackiej przepłynie przez nią AB litrów wody niż w tym samym czasie przez małą pompę.
  • A. 200 razy więcej
  • B. 20 razy więcej
Mała pompa w ciągu 15 godzin pracy zużyje CD litrów paliwa.
  • C. więcej niż 14
  • D. mniej niż 14
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B, D

  1. Pierwsze zdanie. Obie wydajności podano w tych samych jednostkach (litry na minutę), więc czas w ogóle nie jest potrzebny — wystarczy je podzielić.
  2. 24 000:1200=20\textcolor{#16A06A}{24\,000} : \textcolor{#E0453A}{1200} = 20 — duża pompa przepuszcza 20 razy więcej wody, odpowiedź B.
  3. Drugie zdanie. Zużycie paliwa przez 15 godzin: 15⋅0,93115 \cdot \textcolor{#16A06A}{0{,}931}.
  4. Zamiast mnożyć dokładnie, warto oszacować: 0,931 to trochę mniej niż 0,94, a 15⋅0,94=14,115 \cdot 0{,}94 = 14{,}1. To już blisko granicy, więc policzmy dokładnie.
  5. 15⋅0,931=13,96515 \cdot \textcolor{#16A06A}{0{,}931} = \textcolor{#16A06A}{13{,}965} litra — a to mniej niż 14, odpowiedź D.
  6. Razem: B, D.

💡 Wskazówka: Sprytne oszacowanie: gdyby pompa zużywała równo 0,933…0{,}933\ldots l/h, przez 15 godzin wyszłoby dokładnie 14 l. Skoro zużywa mniej (0,931), to i suma jest mniejsza od 14.

⚠ Najczęstszy błąd w pierwszym zdaniu: mnożenie przez 60 (bo „godzina”) po obu stronach i zgubienie się w zerach. Skoro porównujemy dwie wydajności w tych samych jednostkach, czas się skraca.

Zadanie 7 (grudzień 2017)1 pktśrednie

Tata Bartka analizuje bezpośrednie połączenia z Krakowa do Warszawy:
WyjazdPrzyjazdŚrodek transportuDługość trasyCena biletu
1:356:30autobus298 km27 zł
2:325:12pociąg293 km60 zł
5:008:48pociąg364 km65 zł
5:538:10pociąg293 km49 zł
Oceń prawdziwość podanych zdań.
Za przejazd w najkrótszym czasie należy zapłacić 49 zł.PF
Zgodnie z rozkładem jazdy tylko przejazd autobusem trwa dłużej niż 4 godziny.PF
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P, P

  1. Tabela podaje godziny, ale nie czasy przejazdu — musimy je policzyć sami dla każdego wiersza.
  2. Autobus: 1 ⁣: ⁣35→6 ⁣: ⁣301\!:\!35 \to 6\!:\!30 — do 6 ⁣: ⁣356\!:\!35 byłoby równe 5 godzin, więc jest 4 h 55 min\textcolor{#16A06A}{4\text{ h }55\text{ min}}.
  3. Pociąg 1: 2 ⁣: ⁣32→5 ⁣: ⁣122\!:\!32 \to 5\!:\!12 — to 2 h 40 min\textcolor{#16A06A}{2\text{ h }40\text{ min}}.
  4. Pociąg 2: 5 ⁣: ⁣00→8 ⁣: ⁣485\!:\!00 \to 8\!:\!48 — to 3 h 48 min\textcolor{#16A06A}{3\text{ h }48\text{ min}}.
  5. Pociąg 3: 5 ⁣: ⁣53→8 ⁣: ⁣105\!:\!53 \to 8\!:\!10 — to 2 h 17 min\textcolor{#16A06A}{2\text{ h }17\text{ min}}.
  6. Zdanie 1. Najkrótszy czas to 2 h 17 min\textcolor{#16A06A}{2\text{ h }17\text{ min}} — ostatni wiersz, gdzie bilet kosztuje 49\textcolor{#E0453A}{49} zł ✓ — prawda.
  7. Zdanie 2. Ponad 4 godziny trwa tylko autobus (4 h 55 min); wszystkie pociągi mieszczą się poniżej ✓ — prawda.
  8. Odpowiedzi: P, P.

💡 Wskazówka: Kolumny „długość trasy” i „cena” są tu częściowo rozpraszaczami — do obu zdań potrzebne są przede wszystkim czasy przejazdu. Policz je najpierw dla wszystkich wierszy, dopiero potem czytaj zdania.

⚠ Najczęstszy błąd: wybór najtańszego biletu (27 zł, autobus) jako „najszybszego” albo mylenie najdłuższej trasy (364 km) z najdłuższym czasem. Najdłuższy czas ma autobus, mimo że jego trasa nie jest najdłuższa.

Zadanie 8 (kwiecień 2014, egzamin gimnazjalny)1 pkttrudniejsze

Sześć maszyn produkuje pewną partię jednakowych butelek przez 4 godziny. Każda z maszyn pracuje z taką samą stałą wydajnością. Oceń prawdziwość podanych zdań.
Przez 8 godzin taką samą partię butelek wykonają 3 takie maszyny.PF
Połowę partii takich butelek 6 maszyn wykona przez 2 godziny.PF
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P, P

  1. Wprowadzamy pojęcie maszynogodziny — to praca jednej maszyny przez jedną godzinę. Cała partia wymaga stałej liczby maszynogodzin, niezależnie od tego, jak rozłożymy pracę.
  2. Cała partia: 6 maszyn⋅4 h=246 \text{ maszyn} \cdot 4 \text{ h} = \textcolor{#16A06A}{24} maszynogodziny.
  3. Zdanie 1. Trzy maszyny przez 8 godzin dają 3⋅8=24\textcolor{#E0453A}{3} \cdot \textcolor{#E0453A}{8} = \textcolor{#16A06A}{24} maszynogodziny — dokładnie tyle, ile trzeba ✓ — prawda.
  4. Zdanie 2. Połowa partii to połowa pracy: 24:2=12\textcolor{#16A06A}{24} : 2 = \textcolor{#16A06A}{12} maszynogodzin.
  5. Sześć maszyn przez 2 godziny daje 6⋅2=12\textcolor{#E0453A}{6} \cdot \textcolor{#E0453A}{2} = \textcolor{#16A06A}{12} maszynogodzin ✓ — prawda.
  6. Odpowiedzi: P, P.

💡 Wskazówka: Zapamiętaj regułę: liczba maszyn × czas = stała. Dwa razy mniej maszyn oznacza dwa razy dłuższy czas — to proporcjonalność odwrotna.

⚠ Częsty błąd: myślenie proporcjonalnością prostą („mniej maszyn, więc krócej”). Jest dokładnie odwrotnie — mniej maszyn oznacza, że pracują dłużej.

Zadanie 9 (listopad 2012, egzamin gimnazjalny)1 pktśrednie

Cztery pompy o jednakowej wydajności, pracując jednocześnie, wypompowały wodę zgromadzoną w zbiorniku w czasie 12 godzin. Ile takich pomp należałoby użyć, aby tę samą ilość wody wypompować w ciągu 6 godzin?
  • A. 2
  • B. 3
  • C. 6
  • D. 8
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

  1. Cała praca do wykonania: 4 pompy⋅12 h=484 \text{ pompy} \cdot 12 \text{ h} = \textcolor{#16A06A}{48} pompogodzin — i ta liczba się nie zmienia.
  2. Szukamy, ile pomp wykona tę samą pracę w 6\textcolor{#E0453A}{6} godzin: 48:6=8\textcolor{#16A06A}{48} : \textcolor{#E0453A}{6} = 8 pomp.
  3. Odpowiedź D.
  4. Można też krócej, przez proporcję: czas skrócono dwukrotnie (z 12 na 6 godzin), więc pomp musi być dwa razy więcej — 4⋅2=84 \cdot 2 = 8 ✓

💡 Wskazówka: Sprawdzian zdroworozsądkowy: skoro chcemy zrobić to samo szybciej, potrzeba więcej pomp. To od razu skreśla odpowiedzi A i B, w których pomp jest mniej niż 4.

⚠ Najczęstszy błąd: podzielenie liczby pomp przez 2 (odpowiedź A) — czyli potraktowanie zależności jako wprost proporcjonalnej. Im krótszy czas, tym więcej potrzeba pomp.

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. A2. D3. P, P4. C5. A6. B, D
7. P, P8. P, P9. D

Treści zadań pochodzą z arkuszy egzaminu ósmoklasisty oraz z arkuszy egzaminu gimnazjalnego (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów liczę i zapisuję sam — Mateusz Będkowski.

Pytania i odpowiedzi

Ile sekund ma kwadrans?

Kwadrans to piętnaście minut, a każda minuta ma sześćdziesiąt sekund, więc kwadrans liczy dziewięćset sekund. Warto zapamiętać też, że pół godziny to tysiąc osiemset sekund, a cała godzina — trzy tysiące sześćset.

Jak dodać dwie godziny czterdzieści pięć minut i godzinę trzydzieści minut?

Dodaj osobno godziny i osobno minuty: wychodzą trzy godziny i siedemdziesiąt pięć minut. Ponieważ minut jest więcej niż sześćdziesiąt, zamień sześćdziesiąt z nich na jedną godzinę. Wynik to cztery godziny i piętnaście minut.

Jak obliczyć opóźnienie pociągu?

Odejmij godzinę planowaną od faktycznej, ale nie w słupku — pożyczka przy czasie wynosi sześćdziesiąt, nie sto. Najbezpieczniej dojść najpierw do pełnej godziny, a potem doliczyć resztę minut. Uważaj na przypadek, gdy przyjazd nastąpił po północy.

Jeśli trzy osoby robią coś w sześć godzin, ile zajmie to sześciu osobom?

Policz najpierw łączny nakład pracy: trzy osoby razy sześć godzin daje osiemnaście roboczogodzin. Ta liczba jest stała, więc podziel ją przez sześć osób i wychodzą trzy godziny. Osób jest dwa razy więcej, więc czas jest dwa razy krótszy.

Czym jest proporcjonalność odwrotna?

To zależność, w której iloczyn dwóch wielkości pozostaje stały — zwiększenie jednej powoduje proporcjonalne zmniejszenie drugiej. Klasyczny przykład to liczba pracowników i czas wykonania zadania. W zadaniach egzaminu ósmoklasisty ten typ pojawia się praktycznie wyłącznie w zadaniach o pracy.

Jak policzyć czas pracy dwóch osób o różnej wydajności?

Ustal, jaką część pracy każda osoba wykonuje w ciągu jednej godziny, i dodaj te części. Suma mówi, ile pracy powstaje na godzinę we dwoje, a stąd wynika łączny czas. Uśrednianie czasów jest błędem — wynik wypada wtedy dłuższy niż praca szybszej osoby w pojedynkę.

Czytaj dalej

Prędkość, droga, czas na egzaminieGdzie czas trzeba już przeliczyć na godziny w postaci dziesiętnejPodział proporcjonalny na egzaminieProporcjonalność prosta — druga strona tej samej monetyObliczenia praktyczne na egzaminieKalendarz, zegar i ceny — arytmetyka codziennych sytuacjiEgzamin ósmoklasisty z matematykiJak zbudowany jest arkusz i jak się do niego przygotować
Mateusz Będkowski — nauczyciel matematyki, autor serwisu Nie każ mu liczyć

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-07-30. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa Mateusza Będkowskiego.