Egzamin ósmoklasisty · matematyka · marzec 2020

Zadanie z E8 (marzec 2020) – zadania na dowodzenie w geometrii

Długości boków czworokąta opisano za pomocą wyrażeń algebraicznych: 2x - 15, x + 5, 32x - 5 oraz 12x + 15. Uzasadnij, że jeśli obwód tego czworokąta jest równy 100 cm, to jest on rombem. Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie w obrazku

2pkt · trudniejsze

Zadanie 3 (marzec 2020)2 pkttrudniejsze

Długości boków czworokąta opisano za pomocą wyrażeń algebraicznych:

2x - 15

x + 5

\tfrac{3}{2}x - 5

oraz

\tfrac{1}{2}x + 15

. Uzasadnij, że jeśli obwód tego czworokąta jest równy 100 cm, to jest on rombem. Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: x = 20, wszystkie boki mają po 25 cm

Romb to czworokąt, którego wszystkie cztery boki są równe — to trzeba pokazać.
Krok 1 — zapisujemy obwód. Dodajemy wszystkie cztery wyrażenia:
$(\textcolor{#16A06A}{2x - 15}) + (\textcolor{#16A06A}{x + 5}) + (\textcolor{#16A06A}{\tfrac32 x - 5}) + (\textcolor{#16A06A}{\tfrac12 x + 15})$
Osobno litery: $2x + x + \tfrac32 x + \tfrac12 x = 5x$ . Osobno liczby: $-15 + 5 - 5 + 15 = 0$ .
Obwód wynosi więc $5x$ .
Krok 2 — wyznaczamy $x$ .
$5x = 100$ , czyli $\textcolor{#E0453A}{x} = \textcolor{#E0453A}{20}$
Krok 3 — obliczamy każdy bok osobno.
$2 \cdot \textcolor{#E0453A}{20} - 15 = 40 - 15 = 25$ cm
$\textcolor{#E0453A}{20} + 5 = 25$ cm
$\tfrac32 \cdot \textcolor{#E0453A}{20} - 5 = 30 - 5 = 25$ cm
$\tfrac12 \cdot \textcolor{#E0453A}{20} + 15 = 10 + 15 = 25$ cm
Wniosek: wszystkie cztery boki mają po 25 cm, więc czworokąt jest rombem. ∎
Kontrola: $4 \cdot 25 = 100$ cm ✓ zgadza się z podanym obwodem.

💡 Wskazówka: Przy dodawaniu wyrażeń grupuj osobno litery i osobno liczby. Tutaj liczby zredukowały się do zera — dlatego obwód wyszedł tak prosty ( $5x$ ).

⚠ Najczęstszy błąd: zakończenie na $x = 20$ bez policzenia boków. Samo $x$ nie dowodzi, że czworokąt jest rombem — trzeba pokazać wszystkie cztery długości i napisać wniosek.