Zadanie z E8 (marzec 2020) – układ współrzędnych

Odpowiedź: P, P

1. Zdanie 1. Trójkąty $PAB$ i $PAC$ mają wspólny wierzchołek $A$, a ich podstawy $PB$ i $PC$ leżą na tej samej prostej $BC$. Mają więc tę samą wysokość — o polach decydują wyłącznie długości podstaw.
2. Sprawdźmy, czy $P$ jest środkiem $BC$:
3. $x$: $\dfrac{\textcolor{#16A06A}{-5} + \textcolor{#16A06A}{1}}{2} = \textcolor{#E0453A}{-2}$    $y$: $\dfrac{\textcolor{#16A06A}{3} + (\textcolor{#16A06A}{-3})}{2} = \textcolor{#E0453A}{0}$
4. Środek $BC$ to $(\textcolor{#E0453A}{-2}, \textcolor{#E0453A}{0})$, czyli dokładnie punkt $P$ ✓ Podstawy są równe, więc i pola są równe — prawda.
5. Zdanie 2. Pole trójkąta $ABC$ policzymy metodą „prostokąt minus trójkąty”.
6. Najmniejszy prostokąt obejmujący trójkąt rozciąga się od $x = \textcolor{#16A06A}{-5}$ do $x = \textcolor{#16A06A}{4}$ i od $y = \textcolor{#16A06A}{-3}$ do $y = \textcolor{#16A06A}{3}$, ma więc wymiary $\textcolor{#E0453A}{9} \times \textcolor{#E0453A}{6}$ i pole $\textcolor{#E0453A}{54}$.
7. Odcinamy trzy trójkąty prostokątne w narożnikach:
8. przy $B$: $\tfrac12 \cdot 6 \cdot 6 = 18$  •  przy $C$: $\tfrac12 \cdot 3 \cdot 4 = 6$  •  przy $A$: $\tfrac12 \cdot 9 \cdot 2 = 9$
9. $P_{ABC} = \textcolor{#E0453A}{54} - 18 - 6 - 9 = 21$ ✓ — prawda.
10. Odpowiedzi: P, P.

💡 Wskazówka: Pole trójkąta o „krzywych” wierzchołkach najłatwiej policzyć, otaczając go prostokątem i odejmując trzy narożne trójkąty prostokątne. Wszystkie ich boki są pionowe albo poziome, więc odczytuje się je wprost z kratek.

⚠ Najczęstszy błąd w zdaniu 1: uznanie, że skoro trójkąty wyglądają różnie, mają różne pola. Przy wspólnej wysokości liczy się tylko długość podstawy — a tu $P$ dzieli $BC$ dokładnie na pół.