Działania na ułamkach na egzaminie ósmoklasisty

Odpowiedź: A

1. Najpierw liczymy wszystko w nawiasie, a w nawiasie — najpierw mnożenie.
2. $0{,}75 \cdot 8 = 6$ (bo $0{,}75 = \tfrac34$, a $\tfrac34$ z 8 to 6).
3. $8 \cdot \dfrac{1}{2} = 4$.
4. W nawiasie zostaje $6 + 4 = 10$.
5. Na koniec dzielenie: $10 : (-2) = -5$.
6. Odpowiedź A.

💡 Wskazówka: Ułamki dziesiętne warto w pamięci zamieniać na zwykłe: $0{,}75 = \tfrac34$, $0{,}25 = \tfrac14$, $0{,}5 = \tfrac12$. Rachunek robi się wtedy znacznie prostszy.

⚠ Najczęstszy błąd: pominięcie minusa przy dzieleniu przez $(-2)$ i wybór odpowiedzi D. Dodatnia liczba dzielona przez ujemną daje ujemny wynik.

Odpowiedź: C

1. Uwaga na pytanie — zadanie pyta o połowę trasy, a nie o całą trasę. Najpierw jednak musimy znaleźć całość.
2. Najprościej „przez jedną trzecią”: skoro $\textcolor{#16A06A}{\tfrac{2}{3}}$ trasy to 12 km, to $\tfrac13$ trasy to $12 : 2 = 6$ km.
3. Cała trasa ($\tfrac33$) to $3 \cdot 6 = 18$ km.
4. Połowa trasy: $18 : 2 = 9$ km.
5. Odpowiedź C.

💡 Wskazówka: Metoda „na jedną część” działa zawsze: podziel przez licznik, pomnóż przez mianownik. Tu $12 : 2 \cdot 3 = 18$.

⚠ Najczęstszy błąd: zatrzymanie się na całej trasie (18 km) albo podanie $\tfrac13$ trasy (6 km — kusząca odpowiedź A). Zawsze wróć na koniec do pytania.

Odpowiedź: C

1. Sprowadzamy obie liczby do ułamków zwykłych: $2{,}4 = \textcolor{#16A06A}{\dfrac{12}{5}}$, a $5\dfrac13 = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{16}{3}}$ (bo $5 \cdot 3 + 1 = 16$).
2. Wspólny mianownik dla 5 i 3 to 15. Rozszerzamy: pierwszy ułamek razy 3, drugi razy 5.
3. $\textcolor{#16A06A}{\dfrac{12}{5}} = \textcolor{#16A06A}{\dfrac{36}{15}}$  oraz  $\textcolor{#E0453A}{\dfrac{16}{3}} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{80}{15}}$.
4. Odejmujemy: $\textcolor{#16A06A}{\dfrac{36}{15}} - \textcolor{#E0453A}{\dfrac{80}{15}} = -\dfrac{44}{15}$.
5. Dzielimy przez $(-2)$: $-\dfrac{44}{15} : (-2) = \dfrac{44}{30} = \dfrac{22}{15}$.
6. Zamieniamy na liczbę mieszaną: $\dfrac{22}{15} = 1\dfrac{7}{15}$ — odpowiedź C.

💡 Wskazówka: Kontrola znaku bez rachunków: w nawiasie od mniejszej liczby (2,4) odejmujemy większą ($5\tfrac13$), więc wynik jest ujemny. Ujemna dzielona przez ujemną daje dodatnią — to od razu skreśla odpowiedzi A i B.

⚠ Dwa typowe błędy: (1) zamiana $5\tfrac13$ na $\tfrac{15}{3}$ zamiast $\tfrac{16}{3}$ (zapomniana jedynka); (2) zgubienie minusa przy dzieleniu i wybór odpowiedzi B.

Odpowiedź: B

1. Każdy z tych ułamków ma postać $\dfrac{n}{4}$, gdzie $n$ to liczba naturalna.
2. Zamieniamy warunek na liczniki: liczby 3 i 5 też zapisujemy z mianownikiem 4, żeby móc je porównać.
3. $3 = \textcolor{#16A06A}{\dfrac{12}{4}}$ oraz $5 = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{20}{4}}$.
4. Warunek $3 < \dfrac{n}{4} < 5$ zamienia się więc na $\textcolor{#16A06A}{12} < n < \textcolor{#E0453A}{20}$.
5. Liczniki to zatem: 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19 — siedem liczb.
6. Sprawdzamy jeszcze drugi warunek (licznik większy od mianownika, czyli $n > 4$) — wszystkie go spełniają.
7. Odpowiedź B.

💡 Wskazówka: Gdy porównujesz ułamek z liczbą całkowitą, zamień tę liczbę na ułamek o tym samym mianowniku — problem zamienia się wtedy w proste porównanie liczników.

⚠ Najczęstszy błąd: doliczenie liczników 12 i 20 do wyniku. Nierówności są ostre („większy od 3”, „mniejszy od 5”), więc same 3 i 5 nie wchodzą.

Odpowiedź: A, C

1. Liczba $x$ — mnożymy ułamki: licznik razy licznik, mianownik razy mianownik. $\dfrac{4}{5} \cdot \left(-\dfrac{4}{3}\right) = -\dfrac{16}{15}$.
2. Liczba $y$ — dodajemy, więc potrzebny wspólny mianownik 15: $\textcolor{#16A06A}{\dfrac{4}{5}} = \textcolor{#16A06A}{\dfrac{12}{15}}$ (razy 3), a $\textcolor{#E0453A}{\dfrac{4}{3}} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{20}{15}}$ (razy 5).
3. $y = \textcolor{#16A06A}{\dfrac{12}{15}} - \textcolor{#E0453A}{\dfrac{20}{15}} = -\dfrac{8}{15}$ — liczba ujemna, odpowiedź A.
4. Porównujemy $x = -\dfrac{16}{15}$ z $y = -\dfrac{8}{15}$. Mianowniki są takie same, więc patrzymy na liczniki.
5. Przy liczbach ujemnych większy licznik oznacza mniejszą liczbę: $-\dfrac{16}{15} < -\dfrac{8}{15}$.
6. Zatem $x$ jest mniejsza od $y$ — odpowiedź C. Razem: A, C.

💡 Wskazówka: Przydatna obserwacja: mnożąc ułamek przez liczbę większą od 1 (a $\tfrac43 > 1$), oddalamy się od zera. Dlatego $x$ leży dalej w lewo niż $y$.

⚠ Najczęstszy błąd: porównywanie liczb ujemnych „jak dodatnich” — czyli uznanie, że skoro $16 > 8$, to $-\tfrac{16}{15} > -\tfrac{8}{15}$. Na osi liczbowej jest odwrotnie.

Odpowiedź: D

1. Odejmujemy ułamki — wspólny mianownik dla 3 i 2 to 6.
2. $\textcolor{#16A06A}{\dfrac{2}{3}} = \textcolor{#16A06A}{\dfrac{4}{6}}$ (razy 2)  oraz  $\textcolor{#E0453A}{\dfrac{1}{2}} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{3}{6}}$ (razy 3).
3. $\textcolor{#16A06A}{\dfrac{4}{6}} - \textcolor{#E0453A}{\dfrac{3}{6}} = \dfrac{1}{6}$ metra.
4. Zamieniamy na centymetry: $\dfrac{1}{6}$ m $= \dfrac{100}{6}$ cm $= 16\dfrac{2}{3}$ cm $\approx 16{,}67$ cm.
5. To liczba większa od 16, ale mniejsza od 17 — odpowiedź D.

💡 Wskazówka: Nie zaokrąglaj za wcześnie. Gdyby ktoś przyjął $\tfrac23$ m $\approx 66$ cm, wyszłoby 16 cm i błędna odpowiedź C. Licz na ułamkach do samego końca.

⚠ Najczęstszy błąd: potraktowanie $\tfrac16$ m jako 16 cm (bo „szóstka”). $\tfrac16$ metra to $100 : 6 \approx 16{,}67$ cm — właśnie te dwie trzecie centymetra decydują o odpowiedzi.

Odpowiedź: B, C

1. Najpierw porządkujemy liczby na osi. Ujemne są zawsze mniejsze od dodatnich, a wśród ujemnych mniejsza jest ta „dalej od zera”: $-0{,}65 < -0{,}456 < 0{,}234 < 0{,}7$.
2. Największa to $\textcolor{#16A06A}{0{,}7}$, najmniejsza to $\textcolor{#E0453A}{-0{,}65}$.
3. Suma: $\textcolor{#16A06A}{0{,}7} + (\textcolor{#E0453A}{-0{,}65}) = 0{,}05$ — odpowiedź B.
4. Drugie zdanie — odległość na osi to zawsze różnica większej i mniejszej (wynik musi być dodatni).
5. $-0{,}456 - (-0{,}65) = -0{,}456 + 0{,}65 = 0{,}194$ — odpowiedź C. Razem: B, C.

💡 Wskazówka: Odległość dwóch punktów na osi zawsze wychodzi dodatnia. Jeśli otrzymasz wynik ujemny, po prostu odwróciłeś kolejność odejmowania.

⚠ Najczęstszy błąd przy odległości: dodanie liczb zamiast odjęcia ($0{,}65 + 0{,}456 = 1{,}106$ — kusząca odpowiedź D). Obie liczby leżą po tej samej stronie zera, więc odległość musi być mniejsza niż każda z nich.

Odpowiedź: D

1. Pierwsza liczba — sześcian liczby 4, czyli $4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = \textcolor{#16A06A}{64}$.
2. Druga liczba — najmniejszy wspólny mianownik ułamków $\tfrac{1}{15}$ i $\tfrac{1}{25}$ to po prostu $\mathrm{NWW}(15, 25)$.
3. Rozkładamy: $15 = 3 \cdot 5$, $25 = 5^2$. Bierzemy każdy czynnik w najwyższej potędze: $3 \cdot 5^2 = \textcolor{#E0453A}{75}$.
4. Sprawdzamy: $75 : 15 = 5$ ✓ oraz $75 : 25 = 3$ ✓ — 75 dzieli się przez oba mianowniki.
5. Hasło: $\textcolor{#16A06A}{64}\text{T}\textcolor{#E0453A}{75}$ — odpowiedź D.

💡 Wskazówka: Wspólny mianownik zawsze da się uzyskać, mnożąc mianowniki ($15 \cdot 25 = 375$) — ale najmniejszy to zwykle mniej. Tu 75, czyli pięć razy mniej.

⚠ Dwa typowe błędy: (1) policzenie $4^3$ jako $4 \cdot 3 = 12$ albo $4 \cdot 6 = 24$ (kusząca odpowiedź A i B); (2) podanie 45 jako wspólnego mianownika — 45 nie dzieli się przez 25.

Odpowiedź: A

1. Zamieniamy $0{,}5$ na ułamek o mianowniku 6, żeby wszystko liczyć w jednej „walucie”: $0{,}5 = \tfrac12 = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{3}{6}}$.
2. Liczba $y$ jest o $0{,}5$ większa, więc dodajemy: $y = \textcolor{#16A06A}{-\dfrac{5}{6}} + \textcolor{#E0453A}{\dfrac{3}{6}} = -\dfrac{2}{6} = -\dfrac{1}{3}$.
3. Liczba $x$ — tu uwaga na kierunek. To $-\tfrac56$ jest większe od $x$, więc $x$ jest mniejsze: odejmujemy.
4. $x = \textcolor{#16A06A}{-\dfrac{5}{6}} - \textcolor{#E0453A}{\dfrac{3}{6}} = -\dfrac{8}{6} = -\dfrac{4}{3}$.
5. Zatem $x = -\dfrac43$ i $y = -\dfrac13$ — odpowiedź A.
6. Kontrola: $-\dfrac43 < -\dfrac56 < -\dfrac13$, czyli liczby są uporządkowane rosnąco ✓

💡 Wskazówka: Wynik zawsze skracaj do końca — $-\tfrac26$ to $-\tfrac13$, a $-\tfrac86$ to $-\tfrac43$. Odpowiedzi w arkuszu są podane w postaci skróconej.

⚠ Najczęstszy błąd: pomylenie kierunku przy liczbie $x$ i dodanie zamiast odjęcia. Zdanie brzmi „$-\tfrac56$ jest większa od $x$”, czyli $x$ leży na lewo — trzeba odjąć.

Odpowiedź: A

1. Najpierw potęgi: $4^2 = 16$ oraz $3^2 = 9$. Wyrażenie to $\dfrac{16}{5} - 9$.
2. Żeby odjąć, zapisujemy 9 jako ułamek o mianowniku 5: $9 = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{45}{5}}$.
3. $\textcolor{#16A06A}{\dfrac{16}{5}} - \textcolor{#E0453A}{\dfrac{45}{5}} = -\dfrac{29}{5}$.
4. Odpowiedź A.

💡 Wskazówka: Kontrola sensu: $\tfrac{16}{5}$ to nieco ponad 3, a odejmujemy 9 — wynik musi być ujemny i bliski $-6$. Odpowiedzi C i D odpadają od razu.

⚠ Uwaga na zapis $\dfrac{4^2}{5}$ — kwadrat dotyczy tylko czwórki, nie całego ułamka. Gdyby podnieść do kwadratu cały ułamek, wyszłoby $\tfrac{16}{25}$ i zupełnie inny wynik.

Odpowiedź: B

1. Kreska ułamkowa działa jak nawias — najpierw liczymy osobno cały licznik i cały mianownik, dopiero potem dzielimy.
2. $p = \dfrac{27 \cdot 9}{27 + 9} = \dfrac{243}{36} = 6{,}75$.
3. $r = \dfrac{27 + 9}{27 - 9} = \dfrac{36}{18} = 2$.
4. $s = \dfrac{27 - 9}{27 : 9} = \dfrac{18}{3} = 6$.
5. Porządkujemy rosnąco: $2 < 6 < 6{,}75$, czyli $r$, $s$, $p$.
6. Odpowiedź B.

💡 Wskazówka: Przy $p$ nie trzeba dzielić dokładnie — wystarczy zauważyć, że $\tfrac{243}{36}$ to niecałe 7, a $s = 6$. To już rozstrzyga kolejność.

⚠ Najczęstszy błąd: liczenie „po kolei od lewej” bez traktowania kreski jak nawiasu — np. $27 \cdot 9 : 27 + 9$, co daje zupełnie inny wynik.

Odpowiedź: C

1. Szukamy wartości $-10\tfrac12 = -10{,}5$. Sprawdzamy po kolei.
2. I. $-16{,}55 + 6{,}05 = -10{,}5$ ✓
3. II. $-5\tfrac34 = -5{,}75$, więc $-5{,}75 - 4{,}75 = -10{,}5$ ✓
4. III. $-15\tfrac14 = -\dfrac{61}{4}$, zatem $\dfrac{2}{3} \cdot \left(-\dfrac{61}{4}\right) = -\dfrac{122}{12} = -\dfrac{61}{6} = -10\dfrac{1}{6}$ ✗
5. IV. Dzielenie przez ułamek to mnożenie przez jego odwrotność: $(-1{,}5) : \textcolor{#16A06A}{\dfrac{1}{7}} = (-1{,}5) \cdot \textcolor{#16A06A}{7} = -10{,}5$ ✓
6. Jedyne wyrażenie o innej wartości to III — odpowiedź C.

💡 Wskazówka: Zanim policzysz III dokładnie, oszacuj: $\tfrac23$ z 15 to 10, a z $15\tfrac14$ trochę więcej — czyli około $10{,}17$, nie $10{,}5$. Szacowanie oszczędza czas.

⚠ Uwaga na wyrażenie IV: dzielenie przez $\tfrac17$ zwiększa liczbę siedmiokrotnie. Częsty błąd to potraktowanie tego jak dzielenia przez 7 i otrzymanie $-0{,}214$.

Odpowiedź: B

1. Liczymy każdą wartość osobno:
2. $x = -62{,}5 + 30 = -32{,}5$
3. $y = -14{,}4 - 12{,}6 = -27$
4. $t = -12 : 0{,}3 = -40$ (dzielenie przez liczbę mniejszą od 1 zwiększa wartość bezwzględną)
5. $u = -8{,}02 \cdot 6 = -48{,}12$
6. Wszystkie są ujemne, więc największa jest ta najbliższa zera: $-27$, czyli liczba $y$.
7. Odpowiedź B.

💡 Wskazówka: Wśród liczb ujemnych największa to ta o najmniejszej wartości bezwzględnej — najbliżej zera na osi liczbowej.

⚠ Dwa typowe błędy: (1) wybór $u$ jako „największej”, bo 48,12 to największa liczba — ale ze znakiem minus jest najmniejsza; (2) policzenie $-12 : 0{,}3$ jako $-4$ zamiast $-40$.

Odpowiedź: B, C

1. Wspólny mianownik dla 7 i 5 to 35. Rozszerzamy: $\textcolor{#16A06A}{\dfrac{3}{7}} = \textcolor{#16A06A}{\dfrac{15}{35}}$ (razy 5), a $\textcolor{#E0453A}{\dfrac{3}{5}} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{21}{35}}$ (razy 7).
2. Suma: $\textcolor{#16A06A}{\dfrac{15}{35}} + \textcolor{#E0453A}{\dfrac{21}{35}} = \dfrac{36}{35} > 1$ — odpowiedź B.
3. Różnica: $\textcolor{#16A06A}{\dfrac{15}{35}} - \textcolor{#E0453A}{\dfrac{21}{35}} = -\dfrac{6}{35}$ — liczba ujemna, odpowiedź C.
4. Razem: B, C.

💡 Wskazówka: Można odpowiedzieć bez liczenia. Ułamki mają ten sam licznik, więc większy jest ten o mniejszym mianowniku: $\tfrac35 > \tfrac37$. Skoro odejmujemy większy od mniejszego — wynik ujemny. A skoro $\tfrac35$ to ponad połowa i $\tfrac37$ też ponad jedną trzecią — suma przekracza 1.

⚠ Najczęstszy błąd: dodawanie „licznik do licznika, mianownik do mianownika” ($\tfrac{3}{7} + \tfrac{3}{5} = \tfrac{6}{12}$). Tak się ułamków nie dodaje — potrzebny jest wspólny mianownik.

Odpowiedź: D

1. A — ten sam mianownik, więc decyduje licznik: $25 > 23$, czyli $\tfrac{25}{9} > \tfrac{23}{9}$. Nierówność jest odwrotna — fałsz.
2. B — $\dfrac{5}{4} + \dfrac{5}{2} = 1{,}25 + 2{,}5 = 3{,}75$, a to mniej niż 4 — fałsz.
3. C — $\dfrac{13}{17} \cdot 3 = \dfrac{39}{17}$, czyli obie strony są równe. Nierówność ostra „$>$” nie zachodzi — fałsz.
4. D — ten sam licznik (11), więc decyduje mianownik: im mniejszy mianownik, tym większy ułamek (dzielimy na mniej części). Skoro $12 < 13$, to $\dfrac{11}{12} > \dfrac{11}{13}$ ✓ — prawda.
5. Odpowiedź D.

💡 Wskazówka: Dwie reguły, które załatwiają większość porównań: ten sam mianownik → większy licznik wygrywa; ten sam licznik → mniejszy mianownik wygrywa (bo tort dzielony na mniej kawałków daje większe kawałki).

⚠ Najczęstszy błąd: odpowiedź C — przy szybkim czytaniu $\tfrac{13}{17} \cdot 3$ wygląda na coś większego, ale to dokładnie $\tfrac{39}{17}$. Znak „$>$” wymaga ścisłej większości.

Odpowiedź: A

1. I. Zamieniamy liczbę mieszaną na ułamek niewłaściwy: $1\dfrac23 = \textcolor{#16A06A}{\dfrac{5}{3}}$.
2. $6 \cdot \textcolor{#16A06A}{\dfrac{5}{3}} = \dfrac{30}{3} = 10$ — liczba całkowita ✓
3. II. $6 : 1{,}2$ — mnożymy obie liczby przez 10, żeby pozbyć się przecinka: $60 : 12 = 5$ — całkowita ✓
4. III. $2\dfrac14 = 2{,}25$, więc $7{,}25 - 2{,}25 = 5$ — całkowita ✓
5. Wszystkie trzy dają liczby całkowite — odpowiedź A.

💡 Wskazówka: Przy dzieleniu przez liczbę z przecinkiem pomnóż obie liczby przez 10 (albo 100). Wynik dzielenia się nie zmieni, a rachunek robi się dużo prostszy.

⚠ Częsty błąd w I: pomnożenie 6 tylko przez część całkowitą ($6 \cdot 1 = 6$) i osobne dodanie $\tfrac23$. Liczbę mieszaną trzeba najpierw zamienić na ułamek niewłaściwy.

Odpowiedź: D

1. I. $75{,}5 \cdot 2 = 151$, a $7 \cdot 6{,}99 = 48{,}93$. Zatem $151 - 48{,}93 = 102{,}07 > 100$ ✓
2. II. $(4{,}6 + 5{,}5) \cdot 10 = 10{,}1 \cdot 10 = 101 > 100$ ✓
3. III. $0{,}26 \cdot 400 = 104 > 100$ ✓
4. Wszystkie trzy przekraczają 100 — odpowiedź D.

💡 Wskazówka: Sprytne szacowanie w I: $6{,}99$ to prawie 7, więc $7 \cdot 6{,}99$ to prawie 49, ale trochę mniej. Od 151 odejmujemy niecałe 49, więc zostaje ponad 102.

⚠ Najczęstszy błąd w III: pomyłka o rząd wielkości — $0{,}26 \cdot 400$ to 104, a nie 10,4. Warto sprawdzić: $0{,}25 \cdot 400 = 100$, a 0,26 to trochę więcej.

Odpowiedź: D

1. Kolejność działań: najpierw mnożenie, dopiero potem odejmowanie.
2. $\dfrac{2}{7} \cdot \left(-\dfrac{3}{2}\right) = -\dfrac{6}{14} = -\dfrac{3}{7}$ (skracamy przez 2).
3. Wstawiamy do wyrażenia: $\dfrac{5}{7} - \left(-\dfrac{3}{7}\right)$.
4. Odejmowanie liczby ujemnej to dodawanie: $\dfrac{5}{7} + \dfrac{3}{7} = \dfrac{8}{7}$.
5. Odpowiedź D.

💡 Wskazówka: Skracaj przed mnożeniem: w $\tfrac{2}{7} \cdot \tfrac{3}{2}$ dwójki się skracają, zostaje od razu $\tfrac37$ — bez liczenia $\tfrac{6}{14}$.

⚠ Najczęstszy błąd: pominięcie podwójnego minusa i wykonanie odejmowania ($\tfrac57 - \tfrac37 = \tfrac27$ — kusząca odpowiedź C). „Minus razy minus daje plus” działa też przy odejmowaniu liczby ujemnej.

Odpowiedź: B

1. Najpierw potęga: $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$.
2. Potem mnożenie: $\dfrac{4}{3} \cdot 3 = \dfrac{12}{3} = 4$ (trójki się skracają).
3. Na końcu odejmowanie: $4 - 8 = -4$.
4. Odpowiedź B.

💡 Wskazówka: Mnożenie ułamka przez jego mianownik zawsze „zjada” mianownik — zostaje sam licznik. Stąd $\tfrac43 \cdot 3 = 4$ bez żadnych rachunków.

⚠ Najczęstszy błąd: policzenie $2^3$ jako $2 \cdot 3 = 6$ (wyszłoby $-2$) albo pomnożenie tylko licznika i mianownika przez 3.

Odpowiedź: A, D

1. Pierwsze zdanie. Dzielenie zapisujemy jako ułamek: $4{,}5 : 0{,}75 = \dfrac{4{,}5}{0{,}75}$.
2. Żeby usunąć przecinki, mnożymy licznik i mianownik przez tę samą liczbę — tu przez 100: $\dfrac{4{,}5 \cdot 100}{0{,}75 \cdot 100} = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{450}}{\textcolor{#16A06A}{75}}$ — odpowiedź A.
3. (Sprawdzenie: $450 : 75 = 6$, i rzeczywiście $4{,}5 : 0{,}75 = 6$.)
4. Drugie zdanie. Tu mnożymy, więc liczymy miejsca po przecinku: $1{,}25$ ma dwa, $0{,}4$ ma jedno — razem trzy.
5. Zatem $1{,}25 \cdot 0{,}4 = \dfrac{125}{100} \cdot \dfrac{4}{10} = \dfrac{125 \cdot 4}{\textcolor{#E0453A}{1000}}$ — odpowiedź D.
6. (Sprawdzenie: $\dfrac{500}{1000} = 0{,}5$, i rzeczywiście $1{,}25 \cdot 0{,}4 = 0{,}5$.)
7. Razem: A, D.

💡 Wskazówka: Kluczowa różnica: przy dzieleniu mnożymy obie liczby przez to samo (wynik bez zmian), przy mnożeniu mianowniki się mnożą ($100 \cdot 10 = 1000$).

⚠ Najczęstszy błąd w pierwszym zdaniu: pomnożenie tylko mianownika przez 100, a licznika przez 10 (odpowiedź B) — to zmienia wynik dziesięciokrotnie.

Odpowiedź: B

1. Punkt wyjścia: $\dfrac{1}{3} = \textcolor{#16A06A}{\dfrac{300}{900}}$ — wszystkie odpowiedzi to warianty tego samego ułamka.
2. A to dokładnie $\textcolor{#16A06A}{\dfrac{300}{900}} = \dfrac13$ — równe, więc nie większe ✗
3. B — mianownik zmniejszony o 1. Mniejszy mianownik przy tym samym liczniku daje większy ułamek ✓
4. C — mianownik zwiększony, więc ułamek jest mniejszy ✗
5. D — licznik zmniejszony, więc ułamek jest mniejszy ✗
6. Odpowiedź B.

💡 Wskazówka: Dwie reguły na całe życie: większy licznik → większy ułamek, większy mianownik → mniejszy ułamek. Tu wystarczyło zobaczyć, gdzie stoi minus.

⚠ Najczęstszy błąd: odpowiedź D — intuicja podpowiada, że „minus w liczniku i minus w mianowniku zachowują się tak samo”. Zachowują się dokładnie odwrotnie.

Odpowiedź: A

1. Najwygodniej zamienić wszystko na ułamki dziesiętne. Granice: $\textcolor{#16A06A}{\dfrac{2}{5}} = \textcolor{#16A06A}{0{,}4}$ oraz $\textcolor{#E0453A}{\dfrac{3}{5}} = \textcolor{#E0453A}{0{,}6}$.
2. $\dfrac{2}{3} \approx 0{,}667$ — to więcej niż $\textcolor{#E0453A}{0{,}6}$ ✗
3. $\dfrac{1}{2} = 0{,}5$ — mieści się między $\textcolor{#16A06A}{0{,}4}$ a $\textcolor{#E0453A}{0{,}6}$ ✓
4. $\dfrac{10}{25} = \dfrac{2}{5} = \textcolor{#16A06A}{0{,}4}$ — to dokładnie granica, a nierówność jest ostra, więc nie liczy się ✗
5. $\dfrac{1}{4} = 0{,}25$ — mniej niż $\textcolor{#16A06A}{0{,}4}$ ✗
6. Warunek spełnia tylko jedna liczba — odpowiedź A.

💡 Wskazówka: Warto znać na pamięć: $\tfrac15 = 0{,}2$, $\tfrac14 = 0{,}25$, $\tfrac13 \approx 0{,}33$, $\tfrac12 = 0{,}5$, $\tfrac23 \approx 0{,}67$, $\tfrac34 = 0{,}75$. Oszczędza mnóstwo czasu na egzaminie.

⚠ Najczęstszy błąd: zaliczenie $\tfrac{10}{25}$. Po skróceniu to dokładnie $\tfrac25$, czyli granica przedziału — a znak „$<$” jej nie obejmuje.

Odpowiedź: 96 zł

1. Koszulka — $\dfrac{1}{5}$ z 300 zł: $300 : 5 = 60$ zł.
2. Po tym zakupie zostało mu: $300 - 60 = \textcolor{#16A06A}{240}$ zł.
3. Torba — uwaga na kluczowe słowa: $\dfrac{3}{5}$ liczymy nie z 300 zł, tylko z tego, co zostało, czyli z $\textcolor{#16A06A}{240}$ zł.
4. $\dfrac{3}{5}$ z $\textcolor{#16A06A}{240}$ zł: $240 : 5 = 48$, więc $3 \cdot 48 = 144$ zł.
5. Zostało: $\textcolor{#16A06A}{240} - 144 = 96$ zł.
6. Odpowiedź: Kamilowi zostało 96 zł.
7. Szybsza droga: skoro na torbę poszło $\tfrac35$ reszty, to zostało mu $\tfrac25$ reszty, czyli $\tfrac25 \cdot \textcolor{#16A06A}{240} = 96$ zł ✓

💡 Wskazówka: Zwróć uwagę na to, od czego liczymy ułamek. Tutaj podstawa zmienia się w trakcie zadania: najpierw 300 zł, potem 240 zł.

⚠ Najczęstszy błąd: policzenie $\tfrac35$ z 300 zł (czyli 180 zł) zamiast z reszty. Wtedy wyszłoby, że Kamilowi zostało 60 zł — i całe zadanie na zero punktów.

Odpowiedź: Nie — części sumują się do 13/12, czyli więcej niż cała tabliczka

1. Cała tabliczka to jedna całość, czyli 1. Sprawdzamy więc, ile daje suma wszystkich trzech części.
2. Wspólny mianownik dla 2, 12 i 6 to 12. Rozszerzamy każdy ułamek:
3. $\textcolor{#16A06A}{\dfrac{1}{2}} = \textcolor{#16A06A}{\dfrac{6}{12}}$ (razy 6)  ·  $\dfrac{5}{12}$ zostaje bez zmian  ·  $\textcolor{#E0453A}{\dfrac{1}{6}} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{2}{12}}$ (razy 2).
4. Sumujemy: $\textcolor{#16A06A}{\dfrac{6}{12}} + \dfrac{5}{12} + \textcolor{#E0453A}{\dfrac{2}{12}} = \dfrac{13}{12}$.
5. Otrzymaliśmy $\dfrac{13}{12} = 1\dfrac{1}{12}$, czyli więcej niż całą tabliczkę.
6. Odpowiedź: taki podział nie jest możliwy — Pawłowi zabrakłoby $\dfrac{1}{12}$ tabliczki, bo obiecał łącznie więcej, niż ma.

💡 Wskazówka: W zadaniach „czy taki podział jest możliwy” zawsze sprawdzaj, czy części sumują się do dokładnie 1. Mniej niż 1 oznacza, że coś zostaje; więcej — że podział jest niewykonalny.

⚠ Za samą odpowiedź „nie” bez obliczeń komisja nie przyzna punktów. Trzeba pokazać sumę $\tfrac{13}{12}$ i wyraźnie napisać, że to więcej niż jedna całość.