Egzamin ósmoklasisty · matematyka · marzec 2020

Zadanie z E8 (marzec 2020) – pola figur

Trapez równoramienny ABCD, którego pole jest równe 72 cm², podzielono na trójkąt AED i trapez EBCD (odcinkiem DE prostopadłym do podstawy AB ). Odcinek AE ma długość 4 cm, a odcinek CD jest od niego 2 razy dłuższy. Oblicz pole trójkąta AED. Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie w obrazku

3pkt · trudniejsze

Zadanie 30 (marzec 2020)3 pkttrudniejsze

Trapez równoramienny

ABCD

, którego pole jest równe 72 cm², podzielono na trójkąt

AED

i trapez

EBCD

(odcinkiem

DE

prostopadłym do podstawy

AB

). Odcinek

AE

ma długość 4 cm, a odcinek

CD

jest od niego 2 razy dłuższy. Oblicz pole trójkąta

AED

. Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 12 cm²

Krok 1 — krótsza podstawa. $CD = 2 \cdot \textcolor{#16A06A}{4} = \textcolor{#16A06A}{8}$ cm.
Krok 2 — dłuższa podstawa. Trapez jest równoramienny, więc wysokości z obu górnych wierzchołków odcinają na dole równe odcinki po $\textcolor{#16A06A}{4}$ cm, a środkowy kawałek równa się $CD$ :
$AB = \textcolor{#16A06A}{4} + \textcolor{#16A06A}{8} + \textcolor{#16A06A}{4} = \textcolor{#16A06A}{16}$ cm.
Krok 3 — wysokość. Z pola trapezu: $\dfrac{\textcolor{#16A06A}{16} + \textcolor{#16A06A}{8}}{2} \cdot \textcolor{#E0453A}{h} = 72$ , czyli $12\textcolor{#E0453A}{h} = 72$ , więc $\textcolor{#E0453A}{h} = 6$ cm.
Krok 4 — pole trójkąta $AED$ . Ma przyprostokątne $\textcolor{#16A06A}{4}$ cm i $\textcolor{#E0453A}{6}$ cm:
$P = \tfrac12 \cdot \textcolor{#16A06A}{4} \cdot \textcolor{#E0453A}{6} = 12$ cm².
Odpowiedź: pole trójkąta $AED$ wynosi 12 cm².

💡 Wskazówka: Wysokości trapezu równoramiennego dzielą dolną podstawę na trzy części: $x$ , $CD$ , $x$ . Znając dwie z nich, zawsze wyznaczysz trzecią.