Procenty na egzaminie ósmoklasisty

Odpowiedź: D

1. Kluczowe pytanie przy każdej zniżce: ile procent ceny faktycznie płacimy?
2. Kocur — zniżka $\textcolor{#E0453A}{40\%}$, więc Janek płaci $100\% - \textcolor{#E0453A}{40\%} = \textcolor{#16A06A}{60\%}$ ceny, czyli $\textcolor{#16A06A}{0{,}6}x$.
3. Kotka — zniżka $\textcolor{#E0453A}{20\%}$, więc płaci $100\% - \textcolor{#E0453A}{20\%} = \textcolor{#16A06A}{80\%}$ ceny, czyli $\textcolor{#16A06A}{0{,}8}y$.
4. Razem: $\textcolor{#16A06A}{0{,}6}x + \textcolor{#16A06A}{0{,}8}y$ — odpowiedź D.

💡 Wskazówka: Zamiast liczyć zniżkę i odejmować, od razu policz mnożnik: zniżka 40% to mnożenie przez 0,6; zniżka 20% to mnożenie przez 0,8. Jeden krok zamiast dwóch.

⚠ Najczęstszy błąd w tym zadaniu: wpisanie samej zniżki zamiast tego, co zostaje — czyli wybór odpowiedzi A ($0{,}4x + 0{,}2y$). To wyrażenie opisuje, ile Janek zaoszczędził, a nie ile zapłacił.

Odpowiedź: A, C

1. Najpierw masa rodzynek — liczymy $15\%$ z 320 g: $0{,}15 \cdot 320 = 48$ g.
2. Pierwsze zdanie pyta o różnicę mas: orzechy $80$ g minus rodzynki $48$ g, czyli $80 - 48 = 32$ g — odpowiedź A.
3. Drugie zdanie: jaki procent mieszanki stanowią orzechy? Uwaga — teraz całością jest cała mieszanka, a nie samo opakowanie.
4. Masa mieszanki: $320 + 80 = \textcolor{#16A06A}{400}$ g.
5. Liczymy udział orzechów: $\dfrac{80}{\textcolor{#16A06A}{400}} = \dfrac{1}{5} = 20\%$ — odpowiedź C.
6. Razem: A, C.

💡 Wskazówka: Przy pytaniu „jaki to procent” zawsze najpierw ustal, co jest całością — tu w pierwszym podpunkcie było to opakowanie (320 g), a w drugim cała mieszanka (400 g).

⚠ Najczęstszy błąd: podzielenie 80 g przez 320 g (czyli przez masę samego opakowania) i otrzymanie 25% — stąd wzięła się kusząca odpowiedź D. Orzechy są jednak częścią mieszanki, więc dzielimy przez 400 g.

Odpowiedź: D

1. Oznaczamy liczbę jabłoni przez $j$. To od niej liczymy procenty, bo grusz jest o 40% więcej od jabłoni.
2. Grusz jest o $\textcolor{#E0453A}{40\%}$ więcej, czyli $\textcolor{#16A06A}{140\%}$ liczby jabłoni: $g = \textcolor{#16A06A}{1{,}4}\,j$.
3. Drugi warunek mówi, że różnica wynosi 50: $g - j = 50$.
4. Podstawiamy: $\textcolor{#16A06A}{1{,}4}\,j - j = 50$, czyli $\textcolor{#E0453A}{0{,}4}\,j = 50$.
5. Zauważ, co się stało: różnica między gruszami a jabłoniami to dokładnie te 40% nadwyżki. Stąd $j = 50 : \textcolor{#E0453A}{0{,}4} = 125$.
6. Odpowiedź D. Sprawdzenie: grusz jest $1{,}4 \cdot 125 = 175$, a $175 - 125 = 50$ ✓

💡 Wskazówka: Skoro różnica (50) to te dodatkowe 40%, można od razu policzyć: $50$ to $40\%$, więc $1\%$ to $1{,}25$, a $100\%$ to $125$.

⚠ Najczęstszy błąd: przyjęcie, że 50 to 40% grusz, a nie jabłoni. Procent zawsze liczymy od tego, po czym stoi słowo „od” — tu „większa od liczby jabłoni”.

Odpowiedź: B

1. To zadanie „w drugą stronę” — znamy cenę po obniżce, szukamy tej przed.
2. Obniżka o $\textcolor{#E0453A}{20\%}$ znaczy, że pani Anna zapłaciła $\textcolor{#16A06A}{80\%}$ ceny początkowej.
3. Zapisujemy to równaniem: $\textcolor{#16A06A}{0{,}8} \cdot c = 1500$.
4. Skoro mnożyliśmy przez $\textcolor{#16A06A}{0{,}8}$, to teraz dzielimy: $c = 1500 : \textcolor{#16A06A}{0{,}8} = 1875$ zł.
5. Odpowiedź B. Sprawdzenie: $20\%$ z 1875 to 375, a $1875 - 375 = 1500$ ✓

💡 Wskazówka: Sposób „na 1 procent”: skoro $1500$ zł to $80\%$, to $1\%$ to $1500 : 80 = 18{,}75$ zł, a $100\%$ to $1875$ zł.

⚠ Bardzo częsty błąd: doliczenie 20% do ceny po obniżce ($1500 + 300 = 1800$ zł — stąd odpowiedź A). Tak nie wolno, bo te 20% liczyło się od wyższej ceny początkowej, nie od 1500 zł.

Odpowiedź: A, 2

1. Żeby uczciwie porównać dwie różne promocje, sprowadzamy je do wspólnej miary — ceny za 1 dag.
2. Promocja I — masa większa o $\textcolor{#E0453A}{20\%}$, cena bez zmian. Nowa masa: $20 \cdot \textcolor{#16A06A}{1{,}2} = 24$ dag za 9,60 zł.
3. Cena za dag: $9{,}60 : 24 = 0{,}40$ zł.
4. Promocja II — masa bez zmian, cena mniejsza o $\textcolor{#E0453A}{20\%}$, czyli $\textcolor{#16A06A}{80\%}$ dawnej: $9{,}60 \cdot \textcolor{#16A06A}{0{,}8} = 7{,}68$ zł za 20 dag.
5. Cena za dag: $7{,}68 : 20 = 0{,}384$ zł.
6. $0{,}384 < 0{,}40$, więc promocja II jest korzystniejsza — odpowiedź A, uzasadnienie 2.
7. Sprawdzenie na 120 dag: w promocji I trzeba kupić $120 : 24 = 5$ czekolad → $5 \cdot 9{,}60 = 48$ zł. W promocji II $120 : 20 = 6$ czekolad → $6 \cdot 7{,}68 = 46{,}08$ zł. Rzeczywiście taniej ✓

💡 Wskazówka: Kiedy porównujesz oferty o różnej wielkości opakowania, zawsze przelicz na cenę jednostkową (za 1 dag, za 1 litr, za 100 g). To jedyny uczciwy sposób porównania.

⚠ Uwaga na uzasadnienie 3.: liczba czekolad (6 kontra 5) jest prawdziwa, ale nic nie mówi o opłacalności — więcej sztuk wcale nie znaczy drożej. To klasyczna pułapka „prawdziwe zdanie, złe uzasadnienie”.

Odpowiedź: A, D

1. Pan Jan — jego podstawa to 84 500 zł, czyli mniej niż 85 528 zł. Bierzemy więc pierwszy wiersz tabeli.
2. Instrukcja mówi: „$18\%$ podstawy pomniejszone o 556,02 zł”. Czyli najpierw liczymy procent, a dopiero potem odejmujemy.
3. $\textcolor{#16A06A}{0{,}18} \cdot 84\,500 - 556{,}02$ — odpowiedź A.
4. Pani Zofia — 97 300 zł to więcej niż 85 528 zł, więc drugi wiersz tabeli.
5. Kluczowe słowo: nadwyżka ponad 85 528 zł. Nadwyżka to nie cały dochód, tylko to, co przekracza próg: $\textcolor{#E0453A}{97\,300 - 85\,528}$.
6. Zatem podatek to $14\,839{,}02 + \textcolor{#16A06A}{0{,}32} \cdot \textcolor{#E0453A}{(97\,300 - 85\,528)}$ — odpowiedź D.
7. Razem: A, D.

💡 Wskazówka: W zadaniach z tabelą czytaj instrukcję słowo po słowie i zapisuj wyrażenie w tej samej kolejności. „Pomniejszone o” na końcu zdania oznacza odejmowanie na końcu obliczeń.

⚠ Dwa typowe błędy: (1) u pana Jana — wciągnięcie odejmowania do nawiasu (odpowiedź B), co zmienia wynik o kilkaset złotych; (2) u pani Zofii — policzenie 32% od progu zamiast od nadwyżki (odpowiedź C). Wtedy podatek wyszedłby ponad dwa razy za wysoki.

Odpowiedź: P, F

1. Idziemy od tyłu. Cena końcowa to 2400 zł, a ostatnim krokiem było odjęcie 150 zł.
2. Zatem przed drugą obniżką laptop kosztował $2400 + 150 = 2550$ zł.
3. Ta kwota powstała po obniżce o $\textcolor{#E0453A}{15\%}$, czyli stanowi $\textcolor{#16A06A}{85\%}$ ceny początkowej: $\textcolor{#16A06A}{0{,}85} \cdot c = 2550$.
4. Stąd $c = 2550 : \textcolor{#16A06A}{0{,}85} = 3000$ zł ✓ — pierwsze zdanie prawdziwe.
5. Zdanie 2: sprawdzamy, jaki procent ceny początkowej stanowi 2400 zł: $\dfrac{2400}{3000} = 0{,}8 = 80\%$, a nie 85% — fałsz.
6. Dlaczego? Bo $\textcolor{#16A06A}{85\%}$ to była cena po pierwszej obniżce. Potem doszło jeszcze 150 zł w dół.
7. Odpowiedzi: P, F.

💡 Wskazówka: Gdy obniżek jest kilka, rozwiązuj zadanie od końca i cofaj każdy krok osobno: dodaj kwotę, którą odjęto, i podziel przez mnożnik, przez który mnożono.

⚠ Częsty błąd w drugim zdaniu: odruchowe przepisanie „85%” z treści zadania. Te 85% dotyczą tylko pierwszej obniżki — po drugiej cena spadła jeszcze niżej.

Odpowiedź: C

1. Obniżka o $\textcolor{#E0453A}{15\%}$ oznacza, że Zosia płaci $100\% - \textcolor{#E0453A}{15\%} = \textcolor{#16A06A}{85\%}$ ceny.
2. Liczymy jednym mnożeniem: $45 \cdot \textcolor{#16A06A}{0{,}85} = 38{,}25$ zł.
3. Odpowiedź C.
4. Można też dwuetapowo: $\textcolor{#E0453A}{15\%}$ z 45 zł to $0{,}15 \cdot 45 = 6{,}75$ zł zniżki, więc $45 - 6{,}75 = 38{,}25$ zł ✓

💡 Wskazówka: Rachunek w pamięci: $10\%$ z 45 to 4,50, a $5\%$ to połowa tego, czyli 2,25. Razem $\textcolor{#E0453A}{15\%} = 6{,}75$ zł.

⚠ Najczęstszy błąd: podanie samej zniżki (6,75 zł) albo pomyłka w rachunku dająca 40,50 zł — to wynik obniżki o 10%, nie o 15%.

Odpowiedź: A

1. Sumujemy oba procenty: $44\% + 72\% = \textcolor{#16A06A}{116\%}$.
2. Wyszło ponad 100% — a to niemożliwe, chyba że kogoś policzyliśmy dwa razy.
3. Kto został policzony podwójnie? Ci, którzy mają i siostrę, i brata — raz w grupie 44%, drugi raz w grupie 72%.
4. Nadwyżka ponad całość to dokładnie ta grupa: $\textcolor{#16A06A}{116\%} - 100\% = \textcolor{#E0453A}{16\%}$.
5. Z treści wiemy, że tych uczniów jest 4, więc $\textcolor{#E0453A}{16\%}$ klasy to 4 osoby.
6. Liczymy całość: $1\%$ to $4 : 16 = 0{,}25$ ucznia, więc $100\%$ to $0{,}25 \cdot 100 = 25$ uczniów.
7. Odpowiedź A. Sprawdzenie: $44\%$ z 25 to 11 osób, $72\%$ z 25 to 18 osób, a $11 + 18 - 4 = 25$ ✓

💡 Wskazówka: Gdy procenty sumują się do więcej niż 100%, nadwyżka to zawsze część wspólna — osoby należące do obu grup naraz.

⚠ Częsty błąd: uznanie, że 4 uczniów to 16 osób mniej niż... albo próba liczenia $44\% + 72\%$ jako liczby uczniów. Kusząca odpowiedź C (11) to liczba uczniów mających siostrę, a nie cała klasa.

Odpowiedź: A

1. Każda oferta jest opisana inaczej — ułamkiem, procentem obniżki i słowami. Sprowadzamy wszystkie do jednej postaci: ile procent ceny płacimy.
2. Alfa — płacisz $\tfrac{2}{3}$ ceny, czyli $\textcolor{#16A06A}{66{,}(6)\%}$.
3. Beta — obniżka o $\textcolor{#E0453A}{30\%}$, więc płacisz $100\% - \textcolor{#E0453A}{30\%} = \textcolor{#16A06A}{70\%}$.
4. Gamma — „ścinamy ćwierć”, czyli obniżka o $\textcolor{#E0453A}{25\%}$, więc płacisz $\textcolor{#16A06A}{75\%}$.
5. Porównujemy, ile płacimy: $\textcolor{#16A06A}{66{,}(6)\%} < \textcolor{#16A06A}{70\%} < \textcolor{#16A06A}{75\%}$ — najmniej w sklepie Alfa.
6. Odpowiedź A.

💡 Wskazówka: Zawsze przelicz wszystkie oferty na to samo — najwygodniej na „ile procent ceny płacę”. Wtedy wystarczy porównać trzy liczby.

⚠ Dwie pułapki: (1) mieszanie „ile płacę” z „ile oszczędzam” — jeśli porównasz obniżki (33%, 30%, 25%), i tak wyjdzie Alfa, ale przy odrobinie nieuwagi łatwo odwrócić nierówność; (2) „ćwierć” to $25\%$, nie $40\%$ ani $14\%$.

Odpowiedź: P, P

1. Zdanie 1: $120\%$ z 180 to $1{,}2 \cdot 180 = 216$, a $180\%$ z 120 to $1{,}8 \cdot 120 = 216$ — równe ✓ prawda.
2. Skąd to się bierze? Bo w obu przypadkach mnożymy dokładnie te same liczby, tylko w innej kolejności: $\dfrac{120}{100} \cdot 180 = \dfrac{180}{100} \cdot 120$. Mnożenie jest przemienne.
3. Zdanie 2: $20\%$ z 36 to $0{,}2 \cdot 36 = 7{,}2$, a $40\%$ z 18 to $0{,}4 \cdot 18 = 7{,}2$ — równe ✓ prawda.
4. Tu działa inna reguła: procent podwoiliśmy ($20\% \to 40\%$), a liczbę zmniejszyliśmy dwukrotnie ($36 \to 18$) — zmiany się znoszą.
5. Odpowiedzi: P, P.

💡 Wskazówka: Zapamiętaj sztuczkę: $a\%$ z $b$ zawsze równa się $b\%$ z $a$. Bywa bardzo wygodna — np. $4\%$ z 50 liczy się gorzej niż $50\%$ z 4, a wynik jest ten sam (2).

⚠ Częsty błąd: odrzucenie pierwszego zdania „na oko”, bo liczby wyglądają na zamienione przypadkowo. Warto po prostu policzyć obie strony — zajmuje to kilka sekund.

Odpowiedź: B

1. Pytanie brzmi „o ile procent wzrosła”, więc interesuje nas sam przyrost, a nie cała nowa wartość.
2. Przyrost: $280 - 56 = \textcolor{#E0453A}{224}$ tys. gambitów.
3. Ten przyrost odnosimy do wartości początkowej (56 tys.): $\dfrac{\textcolor{#E0453A}{224}}{56} = 4$.
4. Zamieniamy na procenty: $4 = 400\%$ — odpowiedź B.
5. Kontrola: wartość wzrosła 5-krotnie ($280 : 56 = \textcolor{#16A06A}{5}$), czyli do $\textcolor{#16A06A}{500\%}$ wartości początkowej. Ale wzrosła o $\textcolor{#16A06A}{500\%} - 100\% = 400\%$.

💡 Wskazówka: Rozróżniaj dwa pytania: „wzrosła o ile procent” (liczymy sam przyrost) i „stanowi ile procent” (liczymy całą nową wartość). Różnią się dokładnie o 100 punktów procentowych.

⚠ Najczęstszy błąd w tym zadaniu: wybór 500% — czyli policzenie, ile procent wartości początkowej stanowi nowa cena, zamiast o ile wzrosła.

Odpowiedź: A

1. Zima — cena obniżona o $\textcolor{#E0453A}{20\%}$, czyli płacimy $\textcolor{#16A06A}{80\%}$ z 40 zł: $40 \cdot \textcolor{#16A06A}{0{,}8} = 32$ zł.
2. Lato — cena podwyższona o $\textcolor{#E0453A}{200\%}$. Uwaga: to znaczy, że doliczamy dwukrotność ceny podstawowej.
3. Nowa cena to $100\% + \textcolor{#E0453A}{200\%} = \textcolor{#16A06A}{300\%}$ ceny podstawowej: $40 \cdot \textcolor{#16A06A}{3} = 120$ zł.
4. Różnica: $120 - 32 = 88$ zł — odpowiedź A.

💡 Wskazówka: „Podwyższona o $200\%$” to nie to samo co „podwyższona do $200\%$”. Pierwsze daje 120 zł (trzykrotność), drugie dałoby 80 zł (dwukrotność).

⚠ Najczęstszy błąd: potraktowanie podwyżki o 200% jako podwojenia ceny (80 zł) — wtedy różnica wyszłaby 48 zł, czyli kusząca odpowiedź C.

Odpowiedź: F, F

1. Drugie miejsce — o $\textcolor{#E0453A}{30\%}$ mniej niż 5000 zł, czyli $\textcolor{#16A06A}{70\%}$: $5000 \cdot \textcolor{#16A06A}{0{,}7} = 3500$ zł.
2. Trzecie miejsce — o $\textcolor{#E0453A}{40\%}$ mniej niż drugie (nie pierwsze!), czyli $\textcolor{#16A06A}{60\%}$ z 3500 zł: $3500 \cdot \textcolor{#16A06A}{0{,}6} = 2100$ zł.
3. Zdanie 1 mówi o 1400 zł, a wyszło 2100 zł — fałsz.
4. Zdanie 2: porównujemy trzecią nagrodę z pierwszą. $\dfrac{2100}{5000} = 0{,}42 = 42\%$, więc nagroda jest mniejsza o $100\% - 42\% = 58\%$, a nie o 70% — fałsz.
5. Skąd bierze się 58%, a nie $30\% + 40\% = 70\%$? Bo druga obniżka liczy się od już obniżonej kwoty: $\textcolor{#16A06A}{0{,}7} \cdot \textcolor{#16A06A}{0{,}6} = \textcolor{#16A06A}{0{,}42}$.
6. Odpowiedzi: F, F.

💡 Wskazówka: Procentów nie wolno dodawać. Przy kilku kolejnych zmianach mnoży się mnożniki: dwie obniżki o 30% i 40% dają $0{,}7 \cdot 0{,}6 = 0{,}42$, czyli łączną obniżkę o 58%.

⚠ To najczęstszy błąd w całym dziale procentów: sumowanie kolejnych obniżek ($30\% + 40\% = 70\%$). Prowadzi on od razu do obu błędnych odpowiedzi w tym zadaniu.

Odpowiedź: C

1. Klient ma 35 lat, więc dostaje $\textcolor{#E0453A}{35\%}$ zniżki.
2. Płaci zatem $100\% - \textcolor{#E0453A}{35\%} = \textcolor{#16A06A}{65\%}$ ceny.
3. $240 \cdot \textcolor{#16A06A}{0{,}65} = 156$ zł — odpowiedź C.
4. Sprawdzenie drugą drogą: $\textcolor{#E0453A}{35\%}$ z 240 zł to $0{,}35 \cdot 240 = 84$ zł zniżki, więc $240 - 84 = 156$ zł ✓

💡 Wskazówka: Rachunek w pamięci: $10\%$ z 240 to 24 zł, więc $30\%$ to 72 zł, a $5\%$ to 12 zł. Razem zniżka $\textcolor{#E0453A}{35\%} = 84$ zł.

⚠ Najczęstszy błąd: podanie samej zniżki (84 zł — kusząca odpowiedź A) zamiast kwoty do zapłaty. Zawsze sprawdź, o co pyta zadanie: „ile zapłaci” czy „ile zaoszczędzi”.

Odpowiedź: D

1. Zadanie „w drugą stronę”: znamy obie ceny, szukamy procentu zniżki (a więc wieku klienta).
2. Najpierw sprawdzamy, jaką część ceny klient zapłacił: $\dfrac{288}{450} = \textcolor{#16A06A}{0{,}64} = \textcolor{#16A06A}{64\%}$.
3. Skoro zapłacił $\textcolor{#16A06A}{64\%}$, to zniżka wyniosła $100\% - \textcolor{#16A06A}{64\%} = \textcolor{#E0453A}{36\%}$.
4. Zniżka równa się wiekowi, więc klient ma 36 lat — odpowiedź D.
5. Sprawdzenie: $\textcolor{#E0453A}{36\%}$ z 450 zł to 162 zł zniżki, a $450 - 162 = 288$ zł ✓

💡 Wskazówka: Dzielenie ceny nowej przez starą zawsze daje mnożnik — czyli ile procent zostało. Zniżkę otrzymasz, odejmując go od 100%.

⚠ Kusząca odpowiedź A (64) to wynik zatrzymania się w połowie drogi: 64% to część zapłacona, a nie zniżka. Zadanie pyta o wiek, czyli o procent zniżki.

Odpowiedź: P, F

1. Zdanie 1: najpierw sam podatek — to różnica ceny brutto i netto: $2{,}70 - 2{,}50 = \textcolor{#E0453A}{0{,}20}$ zł.
2. Teraz sprawdzamy, jaki to procent ceny netto (bo od niej liczy się VAT): $\dfrac{\textcolor{#E0453A}{0{,}20}}{2{,}50} = 0{,}08 = 8\%$ ✓ — prawda.
3. Zdanie 2: VAT $\textcolor{#E0453A}{5\%}$ doliczamy do ceny netto, czyli cena brutto to $\textcolor{#16A06A}{105\%}$ ceny netto.
4. $22 \cdot \textcolor{#16A06A}{1{,}05} = 23{,}10$ zł, a w zdaniu podano 24,10 zł — fałsz.
5. Odpowiedzi: P, F.

💡 Wskazówka: VAT zawsze liczy się od ceny netto, nie od brutto. Cena brutto to $100\% + \text{stawka VAT}$ ceny netto.

⚠ W drugim zdaniu łatwo o błąd rachunkowy: $5\%$ z 22 zł to $1{,}10$ zł (nie $2{,}10$ zł). Kwota 24,10 zł odpowiadałaby stawce około 9,5%.

Odpowiedź: D

1. Obniżka o $\textcolor{#E0453A}{30\%}$ oznacza, że 49 zł to $\textcolor{#16A06A}{70\%}$ ceny początkowej.
2. Zapisujemy: $\textcolor{#16A06A}{0{,}7} \cdot c = 49$, więc $c = 49 : \textcolor{#16A06A}{0{,}7} = 70$ zł.
3. Odpowiedź D. Sprawdzenie: $\textcolor{#E0453A}{30\%}$ z 70 zł to 21 zł, a $70 - 21 = 49$ zł ✓

💡 Wskazówka: Szybka kontrola sensowności: cena przed obniżką musi być wyższa niż 49 zł. To od razu skreśla odpowiedzi A i B — zostają tylko dwie do sprawdzenia.

⚠ Typowy błąd: doliczenie 30% do 49 zł ($49 \cdot 1{,}3 = 63{,}70$ — kusząca odpowiedź C). Procent obniżki liczył się od ceny początkowej, więc trzeba dzielić, a nie mnożyć.

Odpowiedź: B

1. Zysk całej firmy w marcu: $30 + 24 = 54$ tys. zł. W kwietniu ma być tyle samo.
2. Pierwszy oddział spadł o $\textcolor{#E0453A}{10\%}$, czyli do $\textcolor{#16A06A}{90\%}$: $30 \cdot \textcolor{#16A06A}{0{,}9} = 27$ tys. zł.
3. Skoro całość ma dać 54 tys., drugi oddział musiał zarobić $54 - 27 = 27$ tys. zł.
4. Wzrost drugiego oddziału: z 24 na 27, czyli o $\textcolor{#E0453A}{3}$ tys. zł.
5. Liczymy, jaki to procent poprzedniej wartości: $\dfrac{\textcolor{#E0453A}{3}}{24} = 0{,}125 = 12{,}5\%$.
6. Odpowiedź B.

💡 Wskazówka: Zwróć uwagę, że oba oddziały zmieniły się o te same 3 tys. zł — ale procenty wyszły różne (10% i 12,5%), bo liczyły się od różnych podstaw (30 i 24 tys.).

⚠ Najczęstszy błąd: odpowiedź 10% — założenie, że skoro jeden oddział stracił 10%, to drugi musi zyskać 10%. Procenty liczone od różnych kwot nie znoszą się w ten sposób.

Odpowiedź: B

1. Pytanie „o ile procent wyższa” — liczymy sam przyrost.
2. Przyrost sprzedaży: $150 - 60 = \textcolor{#E0453A}{90}$ opakowań.
3. Odnosimy go do miesiąca, z którym porównujemy, czyli do kwietnia (60): $\dfrac{\textcolor{#E0453A}{90}}{60} = 1{,}5 = 150\%$.
4. Odpowiedź B.
5. Kontrola: sprzedaż wzrosła $150 : 60 = \textcolor{#16A06A}{2{,}5}$ raza, czyli do $\textcolor{#16A06A}{250\%}$ — a wzrosła o $\textcolor{#16A06A}{250\%} - 100\% = 150\%$.

💡 Wskazówka: Zawsze dziel przez wartość wyjściową (tę, z którą porównujesz), nie przez nową. Tu podstawą jest kwiecień.

⚠ Dwa typowe błędy: (1) wybór 250% — to ile sprzedaż stanowi, a nie o ile wzrosła; (2) wybór 90% — podanie samego przyrostu (90 opakowań) jako procentu.

Odpowiedź: C

1. Najpierw: ile właściciel zarabia na jednej sztuce? To $2\%$ z 75 zł.
2. $0{,}02 \cdot 75 = \textcolor{#16A06A}{1{,}50}$ zł na sztuce.
3. Teraz pytanie robi się proste: ile razy $\textcolor{#16A06A}{1{,}50}$ zł mieści się w 300 zł?
4. $300 : \textcolor{#16A06A}{1{,}50} = 200$ sztuk — odpowiedź C.

💡 Wskazówka: W zadaniach „ile sztuk / ile razy” najpierw policz wartość jednostkową (na jedną sztukę), a potem podziel cel przez tę wartość.

⚠ Częsty błąd: dzielenie 300 zł przez 75 zł (wychodzi 4) albo liczenie 2% z 300 zł. Zarobek to 1,50 zł ze sztuki — i to jest liczba, przez którą dzielimy.

Odpowiedź: P, P

1. Sumujemy podane procenty: $44\% + 72\% = \textcolor{#16A06A}{116\%}$.
2. Skoro każdy uczeń ma rodzeństwo, wszyscy mieszczą się w tych dwóch grupach — a suma przekroczyła 100%.
3. Nadwyżka bierze się stąd, że uczniów mających oboje rodzeństwa policzyliśmy dwa razy: $\textcolor{#16A06A}{116\%} - 100\% = \textcolor{#E0453A}{16\%}$ ✓ — pierwsze zdanie prawdziwe.
4. Zdanie 2: wiemy, że $\textcolor{#E0453A}{16\%}$ klasy to 4 uczniów.
5. $1\%$ to $4 : 16 = 0{,}25$, więc cała klasa to $0{,}25 \cdot 100 = 25$ uczniów ✓ — prawda.
6. Sprawdzenie: siostrę ma $0{,}44 \cdot 25 = 11$ osób, brata $0{,}72 \cdot 25 = 18$ osób, a $11 + 18 - 4 = 25$ ✓
7. Odpowiedzi: P, P.

💡 Wskazówka: Warunek „każdy uczeń ma rodzeństwo” jest kluczowy — dzięki niemu wiadomo, że nikt nie wypada poza obie grupy i suma musi zamknąć się w 100% po odjęciu części wspólnej.

⚠ Częsty błąd: uznanie, że skoro 4 uczniów ma oboje, to 4% klasy. Liczba 4 to liczba osób, a nie procent — trzeba dopiero ustalić, jaką część klasy stanowi.

Odpowiedź: B

1. Oznaczmy bok kwadratu $ABCD$ przez $a$. Jego obwód to $4a$.
2. Bok zwiększono o $\textcolor{#E0453A}{12\%}$, więc nowy bok wynosi $\textcolor{#16A06A}{1{,}12}\,a$.
3. Obwód nowego kwadratu: $4 \cdot \textcolor{#16A06A}{1{,}12}\,a = \textcolor{#16A06A}{1{,}12} \cdot 4a$.
4. Widać, że nowy obwód to $\textcolor{#16A06A}{1{,}12}$ starego — czyli też wzrósł o $\textcolor{#E0453A}{12\%}$.
5. Odpowiedź B.
6. Dlaczego tak jest? Obwód jest wprost proporcjonalny do boku: mnożenie boku przez $\textcolor{#16A06A}{1{,}12}$ mnoży obwód przez dokładnie tyle samo.

💡 Wskazówka: Zapamiętaj różnicę: gdy bok rośnie o $12\%$, obwód rośnie o $12\%$, ale pole rośnie o więcej — bo mnoży się przez $1{,}12^2 = 1{,}2544$, czyli o $25{,}44\%$.

⚠ Kusząca odpowiedź C (24%) bierze się z pomnożenia 12% przez 2, a D (48%) — z pomnożenia przez 4 („bo kwadrat ma cztery boki”). Ale mnożąc wszystkie boki przez to samo, mnożymy obwód tylko raz.

Odpowiedź: A

1. Regułę zapisujemy wzorem: rozmiar ramy $= \textcolor{#16A06A}{40\%}$ wzrostu $- 15$ cm.
2. Liczymy $\textcolor{#16A06A}{40\%}$ ze 175 cm: $\textcolor{#16A06A}{0{,}4} \cdot 175 = 70$ cm.
3. W pamięci najwygodniej tak: $10\%$ ze 175 to $17{,}5$, więc $\textcolor{#16A06A}{40\%}$ to $4 \cdot 17{,}5 = 70$ cm.
4. Odejmujemy 15 cm: $70 - \textcolor{#E0453A}{15} = 55$ cm.
5. Odpowiedź A.

💡 Wskazówka: Kolejność działań jest tu kluczowa: najpierw licz procent, potem odejmuj. Gdyby odjąć odwrotnie ($0{,}4 \cdot (175 - 15)$), wyszłoby 64 cm — i stąd bierze się kusząca odpowiedź B.

⚠ Najczęstszy błąd: zatrzymanie się na samych $40\%$ wzrostu (70 cm) i nieodjęcie 15 cm. Drugi błąd: policzenie $40\%$ już po odjęciu piętnastki — to zupełnie inna reguła.

Odpowiedź: dowód (cena w C to 96% ceny w A)

1. Oznaczmy cenę w sklepie A przez $a$ — to nasz punkt odniesienia.
2. Sklep B: cena stanowi $\textcolor{#16A06A}{80\%}$ ceny z A, czyli $b = \textcolor{#16A06A}{0{,}8}\,a$.
3. Sklep C: cena stanowi $\textcolor{#16A06A}{120\%}$ ceny z B (uwaga — nie z A!), czyli $c = \textcolor{#16A06A}{1{,}2}\,b$.
4. Podstawiamy jedno do drugiego: $c = \textcolor{#16A06A}{1{,}2} \cdot \textcolor{#16A06A}{0{,}8}\,a = \textcolor{#E0453A}{0{,}96}\,a$.
5. Otrzymaliśmy, że cena w sklepie C stanowi $\textcolor{#E0453A}{96\%}$ ceny w sklepie A.
6. Skoro $\textcolor{#E0453A}{0{,}96} < 1$, to $c < a$ — cena w sklepie C jest niższa niż w sklepie A. co należało uzasadnić
7. Można też na konkretnej liczbie: gdyby w A hulajnoga kosztowała 100 zł, to w B 80 zł, a w C $80 \cdot 1{,}2 = 96$ zł — mniej niż 100 zł. (Uwaga: taki przykład ilustruje, ale sam w sobie nie jest pełnym uzasadnieniem.)

💡 Wskazówka: Przy kilku kolejnych zmianach procentowych po prostu mnóż mnożniki: $0{,}8 \cdot 1{,}2 = 0{,}96$. Kolejność mnożenia nie ma znaczenia — wynik będzie ten sam.

⚠ Najczęstszy błąd rozumowania: „spadek o 20%, potem wzrost o 20%, więc wychodzi na zero”. Nie wychodzi — bo wzrost liczy się od mniejszej kwoty. Zostaje 96%, czyli 4% straty.

Odpowiedź: 3 zielone korale

1. Trik polega na tym, żeby patrzeć nie na zielone, tylko na całą resztę — bo tylko ją znamy w sztukach.
2. Korale niezielone: $4 + 8 = 12$ sztuk.
3. Skoro zielone stanowią $\textcolor{#E0453A}{20\%}$ naszyjnika, to pozostałe stanowią $100\% - \textcolor{#E0453A}{20\%} = \textcolor{#16A06A}{80\%}$.
4. Zatem 12 korali to $\textcolor{#16A06A}{80\%}$ całości: $\textcolor{#16A06A}{0{,}8} \cdot n = 12$, skąd $n = 12 : \textcolor{#16A06A}{0{,}8} = 15$ korali w całym naszyjniku.
5. Zielone: $15 - 12 = 3$ korale.
6. Odpowiedź: w naszyjniku są 3 zielone korale. Sprawdzenie: $\dfrac{3}{15} = 0{,}2 = 20\%$ ✓

💡 Wskazówka: Gdy szukana wielkość jest podana w procentach, a znasz tylko resztę — policz procent dopełniający i pracuj na nim. To skraca zadanie o połowę.

⚠ Najczęstszy błąd: policzenie $20\%$ z 12 korali ($= 2{,}4$) i zaokrąglenie do 2 lub 3. Te 20% dotyczą wszystkich korali w naszyjniku, a nie samych srebrnych i czerwonych.

Odpowiedź: o 5%

1. Najpierw liczymy miesiące. Styczeń–wrzesień to 9 miesięcy starej pensji, a październik–grudzień to 3 miesiące nowej.
2. Zarobki po podwyżce: $3 \cdot 3780 = 11\,340$ zł.
3. Zarobki przed podwyżką to reszta rocznej sumy: $43\,740 - 11\,340 = 32\,400$ zł.
4. Stara pensja miesięczna: $32\,400 : 9 = 3600$ zł.
5. Podwyżka w złotówkach: $3780 - 3600 = \textcolor{#E0453A}{180}$ zł.
6. Liczymy, jaki to procent starej pensji: $\dfrac{\textcolor{#E0453A}{180}}{3600} = 0{,}05 = 5\%$.
7. Odpowiedź: pensja wzrosła o 5%. Sprawdzenie: $3600 \cdot \textcolor{#16A06A}{1{,}05} = 3780$ zł ✓

💡 Wskazówka: Policz miesiące na palcach — „od stycznia do września włącznie” to 9 miesięcy, a nie 8. Błąd tutaj psuje całe zadanie.

⚠ Dwa typowe błędy: (1) podzielenie całej rocznej kwoty przez 12 (wyszłaby średnia 3645 zł, a nie stara pensja); (2) odniesienie podwyżki do nowej pensji ($180 : 3780 \approx 4{,}8\%$) zamiast do starej.

Odpowiedź: 48 zł

1. Liczymy wartość samych kwiatów, pilnując, żeby brać właściwe ceny z cennika:
2. 3 tulipany: $3 \cdot 3 = 9$ zł  ·  2 róże: $2 \cdot 8 = 16$ zł  ·  5 goździków: $5 \cdot 3 = 15$ zł.
3. Razem kwiaty: $9 + 16 + 15 = 40$ zł.
4. Dodatki to $\textcolor{#E0453A}{20\%}$ wartości kwiatów: $0{,}2 \cdot 40 = 8$ zł.
5. Do zapłaty: $40 + 8 = 48$ zł.
6. Odpowiedź: klient zapłaci 48 zł. Szybciej: skoro doliczamy $\textcolor{#E0453A}{20\%}$, płacimy $\textcolor{#16A06A}{120\%}$ wartości kwiatów, czyli $40 \cdot \textcolor{#16A06A}{1{,}2} = 48$ zł ✓

💡 Wskazówka: Gdy do kwoty doliczasz procent, użyj mnożnika $1{,}2$ zamiast liczyć dwa razy — mniej rachunków, mniej okazji do pomyłki.

⚠ Uwaga na cennik: gerbera (5 zł) w tym bukiecie nie występuje, a tulipan i goździk kosztują tyle samo (3 zł) — łatwo o pomyłkę przy przepisywaniu cen.

Odpowiedź: 32 uczniów

1. Skoro kandydatów było dwoje i każdy głos był ważny, procenty muszą sumować się do 100%.
2. Bartek uzyskał więc $100\% - 56{,}25\% = 43{,}75\%$ głosów.
3. Ania wygrała o różnicę tych procentów: $56{,}25\% - 43{,}75\% = \textcolor{#E0453A}{12{,}5\%}$.
4. Z treści wiemy, że ta przewaga to 4 głosy, zatem $\textcolor{#E0453A}{12{,}5\%}$ wszystkich głosów $= 4$.
5. Liczymy całość: $\textcolor{#E0453A}{12{,}5\%} = \tfrac{1}{8}$, więc wszystkich głosów jest $4 \cdot 8 = 32$.
6. Odpowiedź: w głosowaniu wzięło udział 32 uczniów.
7. Sprawdzenie: Ania $0{,}5625 \cdot 32 = 18$ głosów, Bartek $32 - 18 = 14$ głosów, a $18 - 14 = 4$ ✓

💡 Wskazówka: Warto znać ułamkowe odpowiedniki: $12{,}5\% = \tfrac18$, $6{,}25\% = \tfrac1{16}$, $56{,}25\% = \tfrac9{16}$. Zamiana na ułamek często ratuje przed brzydkim dzieleniem.

⚠ Najczęstszy błąd: potraktowanie 4 głosów jako $56{,}25\%$ albo jako różnicy liczonej tylko od głosów Ani. Przewaga 4 głosów odpowiada różnicy procentów, a nie któremuś z nich osobno.

Odpowiedź: większa jest obniżka od razu o 45%

1. Porównujemy nie same obniżki, tylko ile ceny zostaje po każdej opcji — to najprostszy sposób.
2. Opcja I — obniżka o $\textcolor{#E0453A}{45\%}$ za jednym razem. Zostaje $100\% - \textcolor{#E0453A}{45\%} = \textcolor{#16A06A}{55\%}$ ceny.
3. Opcja II — dwie obniżki po kolei. Po pierwszej ($\textcolor{#E0453A}{25\%}$) zostaje $\textcolor{#16A06A}{75\%}$, po drugiej ($\textcolor{#E0453A}{20\%}$) zostaje $\textcolor{#16A06A}{80\%}$ tego, co było.
4. Mnożymy mnożniki: $\textcolor{#16A06A}{0{,}75} \cdot \textcolor{#16A06A}{0{,}8} = \textcolor{#16A06A}{0{,}6}$, czyli zostaje $\textcolor{#16A06A}{60\%}$ ceny — łączna obniżka to $40\%$.
5. Porównujemy: w opcji I zostaje $\textcolor{#16A06A}{55\%}$, w opcji II $\textcolor{#16A06A}{60\%}$. Mniej zostaje w opcji I, więc to ona jest większą obniżką.
6. Odpowiedź: większa jest obniżka od razu o 45% (o 5 punktów procentowych większa niż druga opcja).
7. Na liczbach: przy cenie 100 zł opcja I daje 55 zł, a opcja II $100 \to 75 \to 60$ zł. Rzeczywiście 55 zł $<$ 60 zł ✓

💡 Wskazówka: Dwie kolejne obniżki nigdy nie sumują się do zwykłej sumy procentów — zawsze wychodzi mniej niż $25\% + 20\% = 45\%$, bo druga obniżka liczy się od już obniżonej ceny.

⚠ Najczęstszy błąd: dodanie $25\% + 20\% = 45\%$ i odpowiedź „obie obniżki są takie same”. To najpopularniejsza pułapka w całym dziale procentów.