Strona główna › Egzamin ósmoklasisty › Obliczanie i przekształcanie wzorów — egzamin ósmoklasisty

Obliczanie i przekształcanie wzorów — egzamin ósmoklasisty

Ten dział ma dwa równorzędne motywy i warto je rozdzielić od razu. Pięć zadań prosi o wartość wzoru — podstaw liczby, policz. Kolejne pięć o coś trudniejszego: wyznacz z tego wzoru inną wielkość. Do tego dochodzą dwie ciekawostki, które CKE lubi podawać jako „informację do zadania”: wzór Picka i trójki pitagorejskie.

Dział: Egzamin ósmoklasistyPoziom: klasa 7–8Zadań: 13 — 11 z egzaminu ósmoklasisty i 2 z egzaminu gimnazjalnego

Przejdź od razu do zadań (13) ↓

Podstawianie liczb do wzoru — kolejność i nawiasy

Wygląda banalnie, a jest źródłem połowy błędów w tym dziale. Reguła jest jedna: litera zamienia się na liczbę w nawiasie, a dopiero potem wykonuje się działania.

Nawias jest obowiązkowy zawsze, gdy podstawiana liczba jest ujemna albo gdy litera stoi pod potęgą. Zapis $-3^2$ znaczy coś innego niż $(-3)^2$ — pierwsze daje -9, drugie 9.

Po podstawieniu obowiązuje zwykła kolejność działań: najpierw potęgi i pierwiastki, potem mnożenie i dzielenie, na końcu dodawanie i odejmowanie. Nawiasy wyprzedzają wszystko.

Warto zostawić podstawienie widoczne w rozwiązaniu. To osobny krok i w zadaniach otwartych bywa punktowany niezależnie od wyniku.

Wyznaczanie jednej wielkości z drugiej

Tu wzór traktuje się jak równanie, w którym szukaną jest litera. Metoda jest ta sama co przy równaniach: wykonujemy na obu stronach to samo działanie, aż szukana litera zostanie sama.

Kolejność ruchów wynika z tego, co „opakowuje” szukaną literę. Zdejmuje się od zewnątrz: najpierw to, co dodane lub odjęte, potem to, przez co pomnożone lub podzielone.

Przykład kierunkowy: ze wzoru na pole trójkąta $P = \tfrac{1}{2}ah$ chcemy wyznaczyć $h$ . Mnożymy obie strony przez 2, potem dzielimy przez $a$ — i mamy $h = \tfrac{2P}{a}$ .

Kontrola: wstaw wyznaczony wzór z powrotem do oryginału. Jeśli po uproszczeniu wychodzi tożsamość, przekształcenie jest poprawne. Ta sama technika wraca przy wzorze na prędkość.

Wzory geometryczne w praktyce

Większość wzorów w tym dziale to wzory na pola i obwody. Ich przekształcanie różni się od algebraicznego jedną rzeczą: wynik musi mieć sens wymiarowo.

Kontrola jednostkowa jest szybka. Pole ma wymiar długości do kwadratu, więc wyznaczona z niego długość powstaje przez dzielenie pola przez długość — nigdy przez ich mnożenie.

Ta kontrola wyłapuje najczęstszy błąd przekształcania: pomnożenie zamiast podzielenia. Jeśli z pola i podstawy wyszła wysokość jako iloczyn, wymiar byłby długością do sześcianu i wynik jest z definicji zły.

Wzorów na pola trzeba znać na pamięć — arkusz E8 nie zawiera karty wzorów. Trzeba przy tym umieć je przekształcić, bo sama znajomość formuły nie wystarczy.

Wzór Picka — pole figury na siatce

Dwa zadania w korpusie podają go jako informację wstępną, więc nie trzeba go pamiętać — trzeba umieć go użyć. Dotyczy wielokąta, którego wszystkie wierzchołki leżą w punktach kratowych.

P = w + \frac{b}{2} - 1

Litera $w$ oznacza liczbę punktów kratowych wewnątrz figury, a $b$ — liczbę punktów na brzegu, wliczając wierzchołki. Wynik to pole w kratkach.

Cała trudność jest w policzeniu punktów, nie w rachunku. Punkty brzegowe łatwo policzyć podwójnie w wierzchołkach albo pominąć te leżące na boku między wierzchołkami.

Kontrola: policz pole figury drugim sposobem — przez rozbicie na prostokąty i trójkąty. Zgodność obu wyników przesądza sprawę.

Trójki pitagorejskie generowane wzorem

Kolejna „informacja do zadania”, która pojawia się w arkuszach. Chodzi o wzór produkujący trzy liczby będące bokami trójkąta prostokątnego.

Zadanie zwykle nie prosi o wyprowadzenie wzoru, tylko o podstawienie konkretnej liczby i sprawdzenie, czy otrzymane trzy liczby faktycznie spełniają twierdzenie Pitagorasa.

Sprawdzenie robi się zawsze tak samo: podnosi się do kwadratu dwie mniejsze liczby, dodaje, i porównuje z kwadratem największej. Największa z trzech liczb to zawsze przeciwprostokątna.

Typowa pułapka: potraktowanie dowolnej z trzech liczb jako przeciwprostokątnej. Trzeba je najpierw uporządkować.

Kiedy wynik wzoru jest zawsze parzysty

Osobny typ zadania: nie „policz”, tylko „uzasadnij, że wynik ma pewną własność”. To pogranicze tego działu i zadań dowodowych.

Metoda jest zawsze ta sama — wyłączyć czynnik przed nawias. Jeśli po przekształceniu całe wyrażenie da się zapisać jako 2 razy coś całkowitego, wynik jest parzysty niezależnie od podstawionej liczby.

Podstawienie kilku przykładowych liczb nie jest uzasadnieniem. Pokazuje, że coś działa w kilku przypadkach, a pytanie dotyczy wszystkich.

Przydaje się tu ta sama znajomość cech podzielności, która rozstrzyga zadania o dzieleniu przez trzy czy przez dziewięć.

Przykłady krok po kroku

Cztery zadania krok po kroku: podstawienie liczby ujemnej, wyznaczenie wysokości z pola, wzór Picka i uzasadnienie parzystości.

Przykład 1 Podstawienie z liczbą ujemną

Oblicz wartość wyrażenia $W = 2a^2 - 3a$ dla $a = -2$ .

Podstawiam liczbę w nawiasie: $W = 2 \cdot (-2)^2 - 3 \cdot (-2)$ .
Najpierw potęga: $(-2)^2 = 4$ . Uwaga — nawias jest istotny, bez niego byłoby -4.
$W = 2 \cdot 4 - 3 \cdot (-2) = 8 - (-6)$ .
Odjęcie liczby ujemnej to dodanie dodatniej: $8 + 6 = 14$ .
Kontrola znaku: oba składniki wyszły dodatnie, więc wynik musi być dodatni ✓

Odpowiedź: Wartość wyrażenia wynosi $W = 14$ .

Przykład 2 Wyznaczanie wysokości z pola trójkąta

Ze wzoru na pole trójkąta $P = \tfrac{1}{2}ah$ wyznacz wysokość $h$ .

Szukana litera $h$ jest pomnożona przez $\tfrac{1}{2}$ i przez $a$ — zdejmuję oba czynniki.
Mnożę obie strony przez 2: $2P = ah$ .
Dzielę obie strony przez $a$ : $h = \dfrac{2P}{a}$ .
Kontrola wymiarowa: pole podzielone przez długość daje długość ✓ — gdyby wyszedł iloczyn, wynik byłby z definicji zły.
Sprawdzenie liczbowe: przy $P = 12$ i $a = 6$ mamy $h = \dfrac{24}{6} = 4$ , a wtedy $\tfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12$ ✓

Odpowiedź: $h = \dfrac{2P}{a}$ .

Przykład 3 Pole ze wzoru Picka

Wielokąt narysowany na siatce ma 7 punktów kratowych wewnątrz i 8 na brzegu. Oblicz jego pole, korzystając ze wzoru $P = w + \tfrac{b}{2} - 1$ .

Odczytuję dane: $w = 7$ (wewnątrz), $b = 8$ (na brzegu).
Podstawiam: $P = 7 + \dfrac{8}{2} - 1$ .
$P = 7 + 4 - 1 = 10$ .
Kolejność działań ma znaczenie: dzielenie wykonuje się przed odejmowaniem.
Kontrola: pole wyszło dodatnie i większe od liczby punktów brzegowych podzielonej przez dwa — to typowy rząd wielkości dla takiej figury ✓

Odpowiedź: Pole wielokąta wynosi 10 kratek.

Przykład 4 Dlaczego wynik jest zawsze parzysty

Uzasadnij, że dla każdej liczby całkowitej $n$ wartość wyrażenia $4n + 6$ jest liczbą parzystą.

Podstawianie przykładów nie wystarczy — pytanie dotyczy wszystkich liczb całkowitych.
Wyłączam wspólny czynnik przed nawias: $4n + 6 = 2(2n + 3)$ .
Wyrażenie w nawiasie, czyli $2n + 3$ , jest liczbą całkowitą, bo $n$ jest całkowite.
Całość ma zatem postać 2 razy liczba całkowita, a taka liczba jest z definicji parzysta.
To rozumowanie działa niezależnie od tego, czy $n$ jest dodatnie, ujemne, czy równe zeru ✓

Odpowiedź: Wyrażenie da się zapisać jako $2(2n+3)$ , więc jest parzyste dla każdego całkowitego $n$ .

Najczęstsze błędy

Cztery błędy, które w tym dziale kosztują najwięcej punktów. Pierwszy dotyczy podstawiania, pozostałe trzy — przekształcania.

Podstawianie liczby ujemnej bez nawiasu

Skąd się bierze: Zapis minus trzy do kwadratu bez nawiasu oznacza liczbę przeciwną do dziewięciu, a nie dziewięć. Przy podstawianiu litery pod potęgę różnica jest podwójna: myli się i wartość, i znak wyniku.

Jak zrobić dobrze: Zawsze zapisuj podstawianą liczbę w nawiasie, nawet gdy jest dodatnia. Nawyk kosztuje sekundę, a eliminuje cały ten rodzaj błędu.

Mnożenie zamiast dzielenia przy wyznaczaniu wielkości

Skąd się bierze: Uczeń pamięta, jakie litery występują we wzorze, ale nie to, po której stronie kreski ułamkowej. Wynik składa się z właściwych liter, więc wygląda przekonująco i rzadko budzi podejrzenia.

Jak zrobić dobrze: Sprawdź wymiar wyniku. Wysokość wyznaczona z pola i podstawy musi powstać przez dzielenie — pole ma wymiar długości do kwadratu, więc iloczyn dałby długość do sześcianu.

Uzasadnianie własności przez podstawienie kilku liczb

Skąd się bierze: Sprawdzenie wzoru dla trzech przykładów pokazuje tylko, że działa w tych trzech przypadkach. Polecenie „uzasadnij, że dla każdej liczby” wymaga argumentu obejmującego wszystkie, więc taka odpowiedź nie dostaje punktów.

Jak zrobić dobrze: Wyłącz wspólny czynnik przed nawias i wskaż, że to, co zostało w nawiasie, jest liczbą całkowitą. Postać dwa razy liczba całkowita rozstrzyga parzystość raz na zawsze.

Mylenie punktów wewnętrznych z brzegowymi we wzorze Picka

Skąd się bierze: Punkty leżące na boku między wierzchołkami łatwo policzyć jako wewnętrzne, a wierzchołki — policzyć podwójnie. Sam wzór jest wtedy użyty poprawnie, a pole wychodzi złe.

Jak zrobić dobrze: Zaznacz oba rodzaje punktów innym symbolem, zanim zaczniesz liczyć. Wynik sprawdź drugim sposobem — rozbiciem figury na prostokąty i trójkąty.

Zadania z arkuszy CKE — obliczanie wartości i przekształcanie wzorów

Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminu ósmoklasisty (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem. W zestawie jest 2 zadania z arkuszy egzaminu gimnazjalnego (do 2019 roku) — dokładamy je jako dodatkowe ćwiczenie tych samych umiejętności. Zakres gimnazjum był miejscami szerszy niż wymagania dla klas 7–8, dlatego każde takie zadanie jest podpisane osobno.

Kolor prowadzi przez przekształcanie wzoru: zielona to wielkość, którą wyznaczamy — śledź ją przez wszystkie kroki, aż zostanie sama po jednej stronie. Czerwona to to, co po kolei przenosimy na drugą stronę, żeby ją uwolnić. Widać wtedy dokładnie, co i w którym momencie zmienia stronę równania.

Sprawdź się bez zaglądania do odpowiedzi. Dostaniesz wszystkie 8 zadań zamkniętych z tego zestawu — klucz i rozwiązania schowam do czasu sprawdzenia. To komplet zadań zamkniętych z tego działu, więc kolejne podejście będzie powtórką tych samych zadań.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (maj 2026)1 pktśrednie

Sumę

S = 1 + 2 + 3 + \ldots + n

kolejnych liczb naturalnych od 1 do

n

można obliczyć ze wzoru

\;S = \dfrac{1}{2}n(n + 1)

. Uzupełnij zdania.

Suma stu kolejnych liczb naturalnych od 1 do 100 jest równa AB.

A. 5001
B. 5050

Wzór na sumę

S

po poprawnym przekształceniu ma postać CD.

C. $S = \dfrac{1}{2}n^2 + 1$
D. $S = \dfrac{1}{2}n^2 + \dfrac{1}{2}n$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B, D

Pierwsze zdanie. Podstawiamy $n = 100$ do wzoru:
$S = \dfrac{1}{2} \cdot 100 \cdot (100 + 1) = 50 \cdot 101 = 5050$ — odpowiedź B.
Drugie zdanie. Przekształcamy wzór, wymnażając nawias. Mnożymy $\dfrac{1}{2}n$ przez każdy wyraz w nawiasie:
$\dfrac{1}{2}\textcolor{#16A06A}{n} \cdot \textcolor{#E0453A}{n} = \dfrac{1}{2}n^2$ oraz $\dfrac{1}{2}\textcolor{#16A06A}{n} \cdot \textcolor{#E0453A}{1} = \dfrac{1}{2}n$ .
Zatem $S = \dfrac{1}{2}n^2 + \dfrac{1}{2}n$ — odpowiedź D. Razem: B, D.

💡 Wskazówka: Wzór $S = \tfrac12 n(n+1)$ warto znać — to słynna sztuczka Gaussa. Sumę $1+2+\ldots+100$ liczy się, parując $1{+}100$ , $2{+}99$ itd.: pięćdziesiąt par po 101.

⚠ Najczęstszy błąd w drugim zdaniu: pomnożenie $\tfrac12 n$ tylko przez $n$ i przepisanie jedynki bez zmian (odpowiedź C). Mnożenie przez nawias dotyczy obu składników.

Zadanie 2 (maj 2024)1 pkttrudniejsze

Dane jest równanie

\;5x = \dfrac{y}{w}\;

, gdzie

x

y

w

są różne od 0. Paweł przekształcał je, aby wyznaczyć kolejno

x

y

w

, i otrzymał:
I.

x = \dfrac{y}{5w}

· II.

y = \dfrac{5x}{w}

· III.

w = \dfrac{y}{5x}

Które z równań I–III są poprawnymi przekształceniami?

A. I i II
B. II i III
C. I i III
D. I, II, III

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Najwygodniej najpierw pozbyć się ułamka: mnożymy obie strony przez $\textcolor{#E0453A}{w}$ .
$5x \cdot \textcolor{#E0453A}{w} = y$ , czyli $\textcolor{#16A06A}{y} = 5xw$ — i to jest postać wyjściowa do wszystkich przekształceń.
I. Wyznaczamy $x$ : dzielimy $y = 5xw$ obustronnie przez $\textcolor{#E0453A}{5w}$ , otrzymując $\textcolor{#16A06A}{x} = \dfrac{y}{\textcolor{#E0453A}{5w}}$ ✓
II. Wyznaczamy $y$ : właśnie policzyliśmy, że $\textcolor{#16A06A}{y} = 5xw$ . Paweł napisał $\dfrac{5x}{w}$ , czyli podzielił przez $w$ zamiast pomnożyć ✗
III. Wyznaczamy $w$ : dzielimy $y = 5xw$ obustronnie przez $\textcolor{#E0453A}{5x}$ , otrzymując $\textcolor{#16A06A}{w} = \dfrac{y}{\textcolor{#E0453A}{5x}}$ ✓
Poprawne są I i III — odpowiedź C.

💡 Wskazówka: Szybki test poprawności: podstaw konkretne liczby spełniające równanie, np. $x = 1$ , $w = 2$ , $y = 10$ (bo $5 \cdot 1 = \tfrac{10}{2}$ ). Wzór II daje $\tfrac{5}{2}$ zamiast 10 — od razu widać błąd.

⚠ Najczęstszy błąd: gdy niewiadoma jest w mianowniku, uczniowie odruchowo przenoszą ją „przez znak równości” bez zmiany działania. Mnożenie obu stron przez mianownik jest bezpieczniejsze.

Zadanie 3 (czerwiec 2022)1 pktśrednie

Dany jest wzór na pole powierzchni całkowitej graniastosłupa:

\;P_c = 2P_p + P_b

, gdzie

P_c

— pole powierzchni całkowitej,

P_p

— pole podstawy,

P_b

— pole powierzchni bocznej. Dokończ zdanie.
Pole podstawy

P_p

wyznaczone poprawnie z powyższego wzoru opisano równaniem

A. $P_p = \dfrac{P_c - P_b}{2}$
B. $P_p = \dfrac{P_c}{2} - P_b$
C. $P_p = P_c - \dfrac{P_b}{2}$
D. $P_p = P_c - P_b$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Chcemy zostawić $\textcolor{#16A06A}{P_p}$ samo po jednej stronie. Przeszkadzają mu dwie rzeczy: dodane $\textcolor{#E0453A}{P_b}$ i mnożnik $\textcolor{#E0453A}{2}$ .
Krok 1 — pozbywamy się dodawania. Odejmujemy $\textcolor{#E0453A}{P_b}$ od obu stron: $P_c - \textcolor{#E0453A}{P_b} = 2\textcolor{#16A06A}{P_p}$ .
Krok 2 — pozbywamy się mnożnika. Dzielimy obie strony przez $\textcolor{#E0453A}{2}$ : $\textcolor{#16A06A}{P_p} = \dfrac{P_c - \textcolor{#E0453A}{P_b}}{\textcolor{#E0453A}{2}}$ .
Odpowiedź A.
Uwaga na kolejność: dzielimy przez 2 całą różnicę, a nie samo $P_c$ — dlatego wynik ma kreskę ułamkową pod całym licznikiem.

💡 Wskazówka: Przekształcając wzór, odwracaj działania w odwrotnej kolejności niż przy liczeniu: najpierw cofnij dodawanie, potem mnożenie. Tak jak przy rozpakowywaniu paczki — od zewnątrz do środka.

⚠ Najczęstszy błąd: podzielenie przez 2 tylko $P_c$ (odpowiedź B). To znaczyłoby, że $P_b$ nie zostało podzielone — a przecież dzielimy całą stronę równania.

Zadanie 4 (maj 2021)1 pkttrudniejsze

Trójki liczb naturalnych $a$ , $b$ , $c$ spełniające warunek $a^2 + b^2 = c^2$ nazywamy trójkami pitagorejskimi. Niektóre z nich znajdujemy ze wzorów:

\;a = 2n + 1

\;b = 2n(n + 1)

\;c = 2n^2 + 2n + 1

, gdzie $n$ to dowolna liczba naturalna ( $n \ge 1$ ).
Uzupełnij zdania.

Liczba

a

zawsze będzie AB.

A. parzysta
B. nieparzysta

Liczby

b

c

różnią się o CD.

C. 1
D. $n$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B, C

Pierwsze zdanie. Wyrażenie $a = \textcolor{#16A06A}{2n} + \textcolor{#E0453A}{1}$ — składnik $\textcolor{#16A06A}{2n}$ jest zawsze parzysty (bo to dwójka razy coś), a dodanie $\textcolor{#E0453A}{1}$ czyni całość nieparzystą.
Odpowiedź B. (Sprawdzenie: dla $n = 1, 2, 3$ mamy $a = 3, 5, 7$ — same nieparzyste ✓)
Drugie zdanie. Liczymy różnicę, wcześniej wymnażając nawias w $b$ : $b = 2n(n+1) = \textcolor{#16A06A}{2n^2 + 2n}$ .
Zauważ, że $c = \textcolor{#16A06A}{2n^2 + 2n} + \textcolor{#E0453A}{1}$ — to dokładnie $b$ powiększone o $\textcolor{#E0453A}{1}$ .
Zatem $c - b = \textcolor{#E0453A}{1}$ — odpowiedź C. Razem: B, C.

💡 Wskazówka: Zawsze warto wymnożyć nawias, zanim porównasz dwa wyrażenia. Po rozpisaniu $b$ od razu widać, że $c$ to po prostu $b + 1$ .

⚠ Częsty błąd w drugim zdaniu: odejmowanie „na oko” bez rozpisania $2n(n+1)$ i wybór odpowiedzi D. Litera $n$ pojawia się w obu wzorach, ale to nie znaczy, że jest różnicą.

Zadanie 5 (maj 2021)1 pkttrudniejsze

Trójki pitagorejskie wyznaczamy ze wzorów:

\;a = 2n + 1

\;b = 2n(n + 1)

\;c = 2n^2 + 2n + 1

, gdzie $n \ge 1$ jest liczbą naturalną.
Dokończ zdanie.
Jeżeli najmniejsza z liczb

a

b

c

jest równa 9, to największa z tych liczb jest równa

A. 41
B. 73
C. 145
D. 181

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Najpierw ustalmy, która z trzech liczb jest najmniejsza, a która największa.
Z poprzedniego zadania wiemy, że $c = b + 1$ , więc $c$ jest zawsze największa.
Zostaje porównać $a$ i $b$ . Sprawdźmy $n = 1$ : $a = 3$ , $b = 4$ . Dla większych $n$ różnica tylko rośnie, bo $b$ zawiera $n^2$ . Zatem $\textcolor{#16A06A}{a}$ jest najmniejsza.
Skoro $\textcolor{#16A06A}{a} = 9$ , to $2n + 1 = 9$ , czyli $\textcolor{#E0453A}{n} = 4$ .
Liczymy największą: $c = 2 \cdot \textcolor{#E0453A}{4}^2 + 2 \cdot \textcolor{#E0453A}{4} + 1 = 32 + 8 + 1 = 41$ — odpowiedź A.
Sprawdzenie, czy to naprawdę trójka pitagorejska: $b = 2 \cdot 4 \cdot 5 = 40$ , a $9^2 + 40^2 = 81 + 1600 = 1681 = 41^2$ ✓

💡 Wskazówka: Zadanie ma dwa etapy: najpierw z jednej danej wyznacz parametr $n$ , a dopiero potem policz to, o co pytają. To typowa konstrukcja zadań ze wzorem z parametrem.

⚠ Najczęstszy błąd: podstawienie $n = 9$ zamiast rozwiązania równania $2n + 1 = 9$ . Wtedy wychodzi $c = 181$ — kusząca odpowiedź D.

Zadanie 6 (marzec 2021)1 pktśrednie

Zależność między liczbą przekątnych (

k

) a liczbą boków (

n

) wielokąta wypukłego określa wzór

\;k = \dfrac{n(n - 3)}{2}

. Oceń prawdziwość podanych zdań.

Liczba przekątnych w dwunastokącie wypukłym jest trzy razy większa od liczby przekątnych w czworokącie wypukłym.	P	F
Liczba przekątnych w ośmiokącie wypukłym jest o 11 większa od liczby przekątnych w sześciokącie wypukłym.	P	F

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: F, P

Za każdym razem podstawiamy liczbę boków do wzoru.
Dwunastokąt ( $\textcolor{#E0453A}{n = 12}$ ): $k = \dfrac{12 \cdot (12 - 3)}{2} = \dfrac{12 \cdot 9}{2} = \textcolor{#16A06A}{54}$ .
Czworokąt ( $\textcolor{#E0453A}{n = 4}$ ): $k = \dfrac{4 \cdot 1}{2} = \textcolor{#16A06A}{2}$ .
Zdanie 1: czy $\textcolor{#16A06A}{54} = 3 \cdot \textcolor{#16A06A}{2}$ ? Nie — $3 \cdot 2 = 6$ , a nie 54 — fałsz.
Ośmiokąt ( $\textcolor{#E0453A}{n = 8}$ ): $k = \dfrac{8 \cdot 5}{2} = \textcolor{#16A06A}{20}$ . Sześciokąt ( $\textcolor{#E0453A}{n = 6}$ ): $k = \dfrac{6 \cdot 3}{2} = \textcolor{#16A06A}{9}$ .
Zdanie 2: $\textcolor{#16A06A}{20} - \textcolor{#16A06A}{9} = 11$ ✓ — prawda.
Odpowiedzi: F, P.

💡 Wskazówka: Skąd bierze się ten wzór? Z każdego z $n$ wierzchołków wychodzi $n-3$ przekątnych (nie liczymy jego samego ani dwóch sąsiadów), a każdą przekątną liczymy dwa razy — stąd dzielenie przez 2.

⚠ Częsty błąd: intuicja „trzy razy więcej boków, więc trzy razy więcej przekątnych”. Liczba przekątnych rośnie znacznie szybciej niż liczba boków — zależy od $n^2$ .

Zadanie 7 (czerwiec 2020)1 pktśrednie

Zależność drogi od czasu i przyśpieszenia w ruchu jednostajnie przyśpieszonym (gdy prędkość początkowa jest równa 0) opisuje wzór

\;s = \dfrac{at^2}{2}

, gdzie

s

— droga,

t

— czas,

a

— przyśpieszenie. Dokończ zdanie.
Przyśpieszenie

a

poprawnie wyznaczone z tego wzoru można opisać równaniem

A. $a = \dfrac{st^2}{2}$
B. $a = \dfrac{t^2}{2s}$
C. $a = \dfrac{2s}{t^2}$
D. $a = 2st^2$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Chcemy uwolnić $\textcolor{#16A06A}{a}$ . Przeszkadzają mu: dzielenie przez $\textcolor{#E0453A}{2}$ i mnożenie przez $\textcolor{#E0453A}{t^2}$ .
Krok 1 — pozbywamy się mianownika. Mnożymy obie strony przez $\textcolor{#E0453A}{2}$ : $2s = \textcolor{#16A06A}{a}\,\textcolor{#E0453A}{t^2}$ .
Krok 2 — pozbywamy się $t^2$ . Dzielimy obie strony przez $\textcolor{#E0453A}{t^2}$ : $\textcolor{#16A06A}{a} = \dfrac{2s}{\textcolor{#E0453A}{t^2}}$ .
Odpowiedź C.

💡 Wskazówka: Kontrola jednostkowa: przyśpieszenie ma rosnąć, gdy w tym samym czasie pokonujemy większą drogę. W odpowiedzi C $s$ jest w liczniku ✓, a w odpowiedzi B w mianowniku ✗.

⚠ Najczęstszy błąd: „przerzucenie” $t^2$ na drugą stronę bez zmiany działania (odpowiedź D, gdzie $t^2$ zostało w liczniku). To, co po jednej stronie mnoży, po drugiej dzieli.

Zadanie 8 (grudzień 2017)1 pktłatwe

Punkt kratowy to miejsce przecięcia linii kwadratowej siatki. Pole wielokąta o wierzchołkach w punktach kratowych można obliczyć ze wzoru Picka:

\;P = W + \dfrac{1}{2}B - 1

, gdzie $W$ — liczba punktów kratowych wewnątrz wielokąta, $B$ — liczba punktów kratowych na jego brzegu.
Wewnątrz pewnego wielokąta znajduje się 5 punktów kratowych, a na jego brzegu jest 6 punktów kratowych. Dokończ zdanie.
Pole tego wielokąta jest równe

A. 6
B. 6,5
C. 7
D. 7,5

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Podstawiamy do wzoru: $\textcolor{#16A06A}{W} = 5$ (punkty wewnątrz) oraz $\textcolor{#E0453A}{B} = 6$ (punkty na brzegu).
$P = \textcolor{#16A06A}{5} + \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{#E0453A}{6} - 1$
$P = \textcolor{#16A06A}{5} + 3 - 1 = 7$
Odpowiedź C.

💡 Wskazówka: Uważnie przypisz liczby do liter — $W$ to punkty wewnątrz (od słowa „wewnątrz”), a $B$ to punkty na brzegu. Zamiana ich miejscami daje inny wynik.

⚠ Najczęstszy błąd: zamiana $W$ i $B$ miejscami — wtedy $6 + 2{,}5 - 1 = 7{,}5$ , czyli kusząca odpowiedź D. Drugi błąd: pominięcie odjęcia jedynki na końcu.

Zadanie 9 (grudzień 2017)1 pkttrudniejsze

Wzór Picka: $\;P = W + \dfrac{1}{2}B - 1$ , gdzie $W$ — liczba punktów kratowych wewnątrz wielokąta, $B$ — liczba punktów kratowych na brzegu.
Uzupełnij zdania.

Wielokąt, którego pole jest równe 15, może mieć AB punktów kratowych leżących na brzegu.

A. 7
B. 8

Pole wielokąta, który ma dwukrotnie więcej punktów kratowych na brzegu niż wewnątrz, wyraża się liczbą CD.

C. parzystą
D. nieparzystą

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B, D

Pierwsze zdanie. Podstawiamy $P = 15$ : $15 = \textcolor{#16A06A}{W} + \dfrac{1}{2}\textcolor{#E0453A}{B} - 1$ , czyli $\textcolor{#16A06A}{W} + \dfrac{1}{2}\textcolor{#E0453A}{B} = 16$ .
Kluczowa obserwacja: $\textcolor{#16A06A}{W}$ musi być liczbą całkowitą (to liczba punktów), więc $\dfrac12 \textcolor{#E0453A}{B}$ też musi być całkowite — a to znaczy, że $\textcolor{#E0453A}{B}$ jest parzyste.
Spośród podanych liczb parzysta jest tylko $\textcolor{#E0453A}{8}$ — odpowiedź B. (Wtedy $\textcolor{#16A06A}{W} = 16 - 4 = 12$ ✓)
Drugie zdanie. Warunek „dwa razy więcej na brzegu niż wewnątrz” zapisujemy jako $\textcolor{#E0453A}{B} = 2\textcolor{#16A06A}{W}$ .
Podstawiamy do wzoru: $P = \textcolor{#16A06A}{W} + \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{#E0453A}{2W} - 1 = \textcolor{#16A06A}{W} + \textcolor{#16A06A}{W} - 1 = 2\textcolor{#16A06A}{W} - 1$ .
Wyrażenie $2\textcolor{#16A06A}{W} - 1$ to zawsze liczba nieparzysta (parzysta minus jeden) — odpowiedź D. Razem: B, D.

💡 Wskazówka: Wzór Picka ma ukryte ograniczenie: skoro $W$ jest liczbą całkowitą, to $B$ musi być parzyste, żeby pole wyszło sensownie. Warto to zapamiętać jako szybki filtr.

⚠ Najczęstszy błąd w drugim zdaniu: podstawienie konkretnych liczb (np. $W = 3$ , $B = 6$ ) i uznanie, że jeden przykład wystarczy. Trzeba pokazać ogólnie, że wynik ma postać $2W - 1$ .

Zadanie 10 (kwiecień 2020)1 pkttrudniejsze

Dany jest wzór opisujący pole trapezu:

\;P = \dfrac{(x + y) \cdot h}{2}

, gdzie

x

y

oznaczają długości podstaw, a

h

— wysokość trapezu. Którym równaniem opisano

x

wyznaczone poprawnie z tego wzoru?

A. $x = \dfrac{P}{2} - hy$
B. $x = \dfrac{P}{2h} - y$
C. $x = 2P - hy$
D. $x = \dfrac{2P}{h} - y$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Uwalniamy $\textcolor{#16A06A}{x}$ krok po kroku — jest zamknięty w nawiasie, który jest mnożony przez $h$ i dzielony przez 2.
Krok 1. Mnożymy obie strony przez $\textcolor{#E0453A}{2}$ : $\textcolor{#E0453A}{2}P = (\textcolor{#16A06A}{x} + y) \cdot h$ .
Krok 2. Dzielimy obie strony przez $\textcolor{#E0453A}{h}$ : $\dfrac{\textcolor{#E0453A}{2}P}{\textcolor{#E0453A}{h}} = \textcolor{#16A06A}{x} + y$ .
Krok 3. Odejmujemy $\textcolor{#E0453A}{y}$ od obu stron: $\textcolor{#16A06A}{x} = \dfrac{2P}{h} - \textcolor{#E0453A}{y}$ .
Odpowiedź D.
Sprawdzenie na liczbach: dla $x = 3$ , $y = 5$ , $h = 4$ pole wynosi $\tfrac{8 \cdot 4}{2} = 16$ . Wzór D daje $\tfrac{2 \cdot 16}{4} - 5 = 8 - 5 = 3$ ✓

💡 Wskazówka: Zawsze sprawdzaj przekształcony wzór na konkretnych liczbach — wymyśl prosty trapez, policz pole, a potem podstaw do swojego wzoru. Powinien oddać wyjściowe $x$ .

⚠ Najczęstszy błąd: odejmowanie $y$ przed podzieleniem przez $h$ , co daje odpowiedź B lub C. Kolejność jest odwrotna: najpierw uwalniamy cały nawias, dopiero potem to, co w środku.

Zadanie 11 (kwiecień 2020)1 pktśrednie

W trójkącie

KLM

poprowadzono wysokość

KN

— odcinek wychodzący z wierzchołka

K

i prostopadły do boku

LM

(punkt

N

leży na boku

LM

). Długości niektórych odcinków opisano wyrażeniami:

\;|KL| = 2y

\;|LM| = 2x

\;|KN| = k + 1

. Dokończ zdanie.
Pole trójkąta

KLM

opisano wyrażeniem

A. $x(k + 1)$
B. $2x(k + 1)$
C. $y(k + 1)$
D. $2y(k + 1)$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Wzór na pole trójkąta: $P = \dfrac{1}{2} \cdot \text{podstawa} \cdot \text{wysokość}$ — ale podstawa i wysokość muszą do siebie pasować.
Wysokość $KN$ jest prostopadła do boku $LM$ , więc odpowiadającą jej podstawą jest właśnie $\textcolor{#16A06A}{LM} = \textcolor{#16A06A}{2x}$ .
Podstawiamy: $P = \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{#16A06A}{2x} \cdot \textcolor{#E0453A}{(k + 1)}$ .
Dwójki się skracają: $P = x\textcolor{#E0453A}{(k+1)}$ — odpowiedź A.
Bok $|KL| = 2y$ jest tu rozpraszaczem — nie ma do niego podanej wysokości, więc do policzenia pola się nie przyda.

💡 Wskazówka: W zadaniach z polem trójkąta zawsze najpierw sprawdź, do którego boku jest prostopadła podana wysokość. Tylko ta para (bok + odpowiadająca mu wysokość) daje poprawne pole.

⚠ Dwa typowe błędy: (1) użycie boku $KL = 2y$ zamiast $LM$ (odpowiedzi C i D); (2) pominięcie mnożenia przez $\tfrac12$ i otrzymanie $2x(k+1)$ — kusząca odpowiedź B.

Zadanie 12 (grudzień 2011, egzamin gimnazjalny)1 pkttrudniejsze

Aby dobrać rozmiar ramy roweru do wzrostu użytkownika, można posłużyć się regułą: rozmiar odpowiedniej ramy otrzymamy, gdy od 40% wzrostu użytkownika (w cm) odejmiemy 15 cm. Niech

r

oznacza rozmiar ramy (w cm), a

w

— wzrost użytkownika (też w cm). Którym wzorem nie można wyrazić opisanej reguły?

A. $r = \dfrac{2}{5}w - 15$
B. $r = \dfrac{2}{5}(w - 37{,}5)$
C. $r = \dfrac{2w - 75}{5}$
D. $r = 0{,}4(w - 15)$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Najpierw zapisujemy regułę wprost: 40% wzrostu to $\textcolor{#16A06A}{0{,}4w}$ , od tego odejmujemy 15, więc $r = \textcolor{#16A06A}{0{,}4w} - \textcolor{#E0453A}{15}$ .
Teraz sprawdzamy, które wzory dają to samo.
A. $\dfrac{2}{5} = 0{,}4$ , więc $\textcolor{#16A06A}{0{,}4w} - \textcolor{#E0453A}{15}$ ✓ — to dokładnie nasz wzór.
B. Wymnażamy: $\dfrac{2}{5}(w - 37{,}5) = \textcolor{#16A06A}{0{,}4w} - 0{,}4 \cdot 37{,}5 = \textcolor{#16A06A}{0{,}4w} - \textcolor{#E0453A}{15}$ ✓
C. Rozdzielamy ułamek: $\dfrac{2w - 75}{5} = \dfrac{2w}{5} - \dfrac{75}{5} = \textcolor{#16A06A}{0{,}4w} - \textcolor{#E0453A}{15}$ ✓
D. Wymnażamy: $0{,}4(w - 15) = \textcolor{#16A06A}{0{,}4w} - 0{,}4 \cdot 15 = \textcolor{#16A06A}{0{,}4w} - 6$ ✗ — odejmujemy 6, a nie 15!
Odpowiedź D — tego wzoru użyć nie można.

💡 Wskazówka: Szybki test: podstaw wygodną liczbę, np. $w = 100$ cm. Reguła daje $40 - 15 = 25$ . Wzory A, B, C dają 25, a D daje $0{,}4 \cdot 85 = 34$ — od razu widać wyjątek.

⚠ Najczęstszy błąd: uznanie D za poprawne, bo „wygląda podobnie”. Wstawienie 15 do nawiasu zmienia sens — odejmujemy wtedy 15 od wzrostu, a nie od gotowego wyniku.

Zadanie 13 (listopad 2012, egzamin gimnazjalny)1 pkttrudniejsze

Zaczynając od punktu

(0, 0)

, budujemy łamaną zwijającą się w spiralę: pierwszy odcinek jest poziomy (równoległy do osi

x

) i ma długość 1, a każdy następny jest prostopadły do poprzedniego. Długości kolejnych odcinków to 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, … — co dwa odcinki rosną o 1. Kolejne odcinki numerujemy liczbami naturalnymi. Oceń prawdziwość podanych zdań.

Jeżeli $n$ jest liczbą parzystą, to odcinek o numerze $n$ jest równoległy do osi $y$ .	P	F
Jeżeli $n$ jest liczbą nieparzystą, to długość odcinka o numerze $n$ jest równa $\dfrac{n}{2} + 1$ .	P	F

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P, F

Zdanie 1. Odcinki na przemian zmieniają kierunek: pierwszy poziomy, drugi pionowy, trzeci poziomy, czwarty pionowy…
Odcinki o numerach $\textcolor{#16A06A}{\text{nieparzystych}}$ są więc poziome (równoległe do osi $x$ ), a o numerach $\textcolor{#E0453A}{\text{parzystych}}$ — pionowe, czyli równoległe do osi $y$ ✓ — prawda.
Zdanie 2. Wystarczy jeden kontrprzykład. Weźmy najprostszą liczbę nieparzystą, $n = 1$ .
Z treści wiemy, że pierwszy odcinek ma długość $\textcolor{#16A06A}{1}$ .
Podany wzór daje natomiast $\dfrac{\textcolor{#E0453A}{1}}{2} + 1 = \textcolor{#E0453A}{1{,}5}$ .
Ponieważ $\textcolor{#16A06A}{1} \ne \textcolor{#E0453A}{1{,}5}$ , wzór jest błędny już dla pierwszego odcinka — fałsz.
Odpowiedzi: P, F.

💡 Wskazówka: Żeby obalić zdanie zaczynające się od „jeżeli…, to…”, wystarczy jeden przypadek, w którym nie działa. Zaczynaj zawsze od najmniejszej możliwej liczby — jest najłatwiejsza do sprawdzenia.

⚠ Najczęstszy błąd: sprawdzanie wzoru dla dużych $n$ i gubienie się w rachunkach, zamiast od razu podstawić $n = 1$ . Drugi błąd: mylenie „równoległy do osi $y$ ” (pionowy) z „równoległy do osi $x$ ” (poziomy).

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. B, D	2. C	3. A	4. B, C	5. A	6. F, P
7. C	8. C	9. B, D	10. D	11. A	12. D
13. P, F

Treści zadań pochodzą z arkuszy egzaminu ósmoklasisty oraz z arkuszy egzaminu gimnazjalnego (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów liczę i zapisuję sam — Mateusz Będkowski.

Pytania i odpowiedzi

Jak podstawić liczby do wzoru?

Zamień każdą literę na liczbę zapisaną w nawiasie, a dopiero potem wykonuj działania w zwykłej kolejności: najpierw potęgi, potem mnożenie i dzielenie, na końcu dodawanie i odejmowanie. Nawias jest szczególnie ważny przy liczbach ujemnych i wtedy, gdy litera stoi pod potęgą.

Jak wyznaczyć wysokość ze wzoru na pole trójkąta?

Potraktuj wzór jak równanie z niewiadomą wysokością. Pomnóż obie strony przez dwa, żeby pozbyć się połowy, a potem podziel przez długość podstawy. Wychodzi podwojone pole podzielone przez podstawę — kontrolą jest to, że długość musi powstać z dzielenia pola przez długość, nigdy z mnożenia.

Co to jest wzór Picka?

To sposób obliczania pola wielokąta, którego wszystkie wierzchołki leżą w punktach kratowych siatki. Do liczby punktów leżących wewnątrz figury dodaje się połowę liczby punktów na brzegu i odejmuje jeden. Na egzaminie wzór jest zawsze podany w treści, więc nie trzeba go pamiętać — trzeba tylko poprawnie policzyć oba rodzaje punktów.

Jak sprawdzić, czy wynik wzoru jest zawsze parzysty?

Wyłącz dwójkę przed nawias i sprawdź, czy to, co zostało w środku, jest liczbą całkowitą. Jeśli tak, całe wyrażenie ma postać dwa razy liczba całkowita, czyli jest parzyste dla każdej podstawionej wartości. Sprawdzenie na kilku przykładach nie jest uzasadnieniem i nie dostaje punktów.

Czy wzory trzeba znać na pamięć?

Tak. Arkusz egzaminu ósmoklasisty nie zawiera karty wzorów — pola i obwody figur trzeba mieć w głowie. Sama znajomość formuły to jednak dopiero połowa: umiejętność wyznaczenia jednej wielkości z drugiej jest tym, co faktycznie sprawdza ten dział.

Jak sprawdzić, czy trzy liczby tworzą trójkę pitagorejską?

Uporządkuj je od najmniejszej do największej, podnieś do kwadratu dwie mniejsze, dodaj i porównaj wynik z kwadratem największej. Zgodność oznacza, że liczby są bokami trójkąta prostokątnego. Najczęstszy błąd to przyjęcie za przeciwprostokątną liczby, która nie jest największa.

Czytaj dalej

Wyrażenia algebraiczne na egzaminieWyłączanie czynnika przed nawias i redukcja wyrazów podobnych Pola figur na egzaminieSkąd biorą się wzory, które tu przekształcamy Twierdzenie Pitagorasa na egzaminieSprawdzanie trójek pitagorejskich i typowe wartości boków Egzamin ósmoklasisty z matematykiJak zbudowany jest arkusz i jak się do niego przygotować

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-07-30. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa Mateusza Będkowskiego.

Obliczanie i przekształcanie wzorów — egzamin ósmoklasisty

Podstawianie liczb do wzoru — kolejność i nawiasy

Wyznaczanie jednej wielkości z drugiej

Wzory geometryczne w praktyce

Wzór Picka — pole figury na siatce

Trójki pitagorejskie generowane wzorem

Kiedy wynik wzoru jest zawsze parzysty

Przykłady krok po kroku

Najczęstsze błędy

Zadania z arkuszy CKE — obliczanie wartości i przekształcanie wzorów

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (maj 2026)1 pktśrednie

Zadanie 2 (maj 2024)1 pkttrudniejsze

Zadanie 3 (czerwiec 2022)1 pktśrednie

Zadanie 4 (maj 2021)1 pkttrudniejsze

Zadanie 5 (maj 2021)1 pkttrudniejsze

Zadanie 6 (marzec 2021)1 pktśrednie

Zadanie 7 (czerwiec 2020)1 pktśrednie

Zadanie 8 (grudzień 2017)1 pktłatwe

Zadanie 9 (grudzień 2017)1 pkttrudniejsze

Zadanie 10 (kwiecień 2020)1 pkttrudniejsze

Zadanie 11 (kwiecień 2020)1 pktśrednie

Zadanie 12 (grudzień 2011, egzamin gimnazjalny)1 pkttrudniejsze

Zadanie 13 (listopad 2012, egzamin gimnazjalny)1 pkttrudniejsze

Odpowiedzi

Pytania i odpowiedzi

Czytaj dalej

Kolorowy kod

Koncentracja
krok po kroku

Połącz te same kolory

Koncentracja
krok po kroku