Egzamin ósmoklasisty · matematyka · maj 2026

Zadanie z E8 (maj 2026) – obliczanie i przekształcanie wzorów

Sumę S = 1 + 2 + 3 + + n kolejnych liczb naturalnych od 1 do n można obliczyć ze wzoru S = 1/2n(n + 1). Uzupełnij zdania.

Zobacz rozwiązanie w obrazku

1pkt · średnie

Zadanie 1 (maj 2026)1 pktśrednie

Sumę

S = 1 + 2 + 3 + \ldots + n

kolejnych liczb naturalnych od

1

n

można obliczyć ze wzoru

\;S = \dfrac{1}{2}n(n + 1)

. Uzupełnij zdania.

Suma stu kolejnych liczb naturalnych od

1

100

jest równa AB.

A. $5001$
B. $5050$

Wzór na sumę

S

po poprawnym przekształceniu ma postać CD.

C. $S = \dfrac{1}{2}n^2 + 1$
D. $S = \dfrac{1}{2}n^2 + \dfrac{1}{2}n$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B, D

Pierwsze zdanie. Podstawiamy $n = 100$ do wzoru:
$S = \dfrac{1}{2} \cdot 100 \cdot (100 + 1) = 50 \cdot 101 = 5050$ — odpowiedź B.
Drugie zdanie. Przekształcamy wzór, wymnażając nawias. Mnożymy $\dfrac{1}{2}n$ przez każdy wyraz w nawiasie:
$\dfrac{1}{2}\textcolor{#16A06A}{n} \cdot \textcolor{#E0453A}{n} = \dfrac{1}{2}n^2$ oraz $\dfrac{1}{2}\textcolor{#16A06A}{n} \cdot \textcolor{#E0453A}{1} = \dfrac{1}{2}n$ .
Zatem $S = \dfrac{1}{2}n^2 + \dfrac{1}{2}n$ — odpowiedź D. Razem: B, D.

💡 Wskazówka: Wzór $S = \tfrac12 n(n+1)$ warto znać — to słynna sztuczka Gaussa. Sumę $1+2+\ldots+100$ liczy się, parując $1{+}100$ , $2{+}99$ itd.: pięćdziesiąt par po $101$ .

⚠ Najczęstszy błąd w drugim zdaniu: pomnożenie $\tfrac12 n$ tylko przez $n$ i przepisanie jedynki bez zmian (odpowiedź C). Mnożenie przez nawias dotyczy obu składników.