Zadanie z E8 (maj 2026) – graniastosłupy i ostrosłupy

Odpowiedź: $12$ razy

1. Krok $\boldsymbol{1}$ — wybór podstawy ostrosłupa. Najwygodniej wziąć trójkąt $ACD$, bo leży w dolnej ścianie sześcianu. To połowa kwadratu $ABCD$ przecięta przekątną:
2. $\textcolor{#16A06A}{P_{ACD}} = \tfrac12 \cdot \textcolor{#16A06A}{a} \cdot \textcolor{#16A06A}{a} = \textcolor{#16A06A}{\dfrac{a^2}{2}}$.
3. Krok $\boldsymbol{2}$ — wysokość ostrosłupa. Wierzchołkiem jest $S$, więc wysokość to jego odległość od dolnej ściany. Punkt $S$ leży w połowie pionowej krawędzi $DH$:
4. $\textcolor{#E0453A}{H} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{a}{2}}$.
5. Krok $\boldsymbol{3}$ — objętość ostrosłupa.
6. $V_{ACDS} = \tfrac13 \cdot \textcolor{#16A06A}{\dfrac{a^2}{2}} \cdot \textcolor{#E0453A}{\dfrac{a}{2}} = \dfrac{a^3}{12}$.
7. Krok $\boldsymbol{4}$ — porównanie z sześcianem. Sześcian ma objętość $a^3$, więc:
8. $\dfrac{a^3}{\ \ \dfrac{a^3}{12}\ \ } = 12$.
9. Odpowiedź: objętość ostrosłupa jest $\boldsymbol{12}$ razy mniejsza od objętości sześcianu.

💡 Wskazówka: W bryłach wpisanych w sześcian zawsze szukaj podstawy leżącej na ścianie sześcianu — wtedy wysokość odczytasz wprost z rysunku, bez żadnego liczenia.

⚠ Najczęstszy błąd: przyjęcie jako wysokości całej krawędzi $a$ zamiast połowy. Punkt $S$ jest środkiem krawędzi $DH$, więc leży na wysokości $\tfrac{a}{2}$.