Strona główna › Egzamin ósmoklasisty › Skala i mapa na egzaminie ósmoklasisty

Skala i mapa na egzaminie ósmoklasisty

Skala to najprostszy dział w całym egzaminie i jednocześnie ten, w którym gubi się najwięcej zer. Sam rachunek to jedno mnożenie albo jedno dzielenie. Cała trudność leży w zamianie jednostek — bo wynik wychodzi w centymetrach, a odpowiedź ma być w kilometrach, i między nimi jest sto tysięcy.

Dział: Egzamin ósmoklasistyPoziom: klasa 7–8Zadań z E8: 5

Przejdź od razu do zadań (5) ↓

Co znaczy zapis 1 : 50 000

Skala to stosunek dwóch długości: tej na mapie do tej w terenie. Zapis 1:50 0001 : 50\,000 znaczy dokładnie tyle, że jednej jednostce na mapie odpowiada 50 00050\,000 takich samych jednostek w rzeczywistości.

Słowa „takich samych” są tu najważniejsze. Skala nie mówi nic o centymetrach ani kilometrach — działa na dowolnych jednostkach, byle po obu stronach były te same. Jeden centymetr na mapie to 50 00050\,000 centymetrów w terenie, a jeden milimetr to 50 00050\,000 milimetrów.

Stąd wynika reguła, która porządkuje cały dział: najpierw skala, potem jednostki. Nigdy odwrotnie.

Druga liczba mówi też, jak bardzo obraz jest pomniejszony. Im większa, tym mapa obejmuje większy teren i tym mniej na niej szczegółów. Mapa w skali 1:100 0001 : 100\,000 jest mniej dokładna niż ta w skali 1:25 0001 : 25\,000, choć liczba jest większa.

Z mapy w teren i z terenu na mapę

Kierunki są dwa i mylą się nagminnie, więc warto je zapamiętać przez sens, a nie przez wzór.

Kontrola kierunku zajmuje sekundę i ratuje przed najgorszym błędem tego działu: odległość w terenie musi wyjść większa niż na mapie. Jeśli wyszła mniejsza, działanie zostało odwrócone.

Trzeci wariant to obliczenie samej skali: dzieli się odległość na mapie przez odległość w terenie, sprowadziwszy je wcześniej do tej samej jednostki. Wynik zapisuje się w postaci 1:n1 : n, więc licznik trzeba doprowadzić do jedynki.

Zamiana jednostek długości — gdzie gubi się zera

Tu przewracają się wszystkie zadania z tego działu. Wynik po pomnożeniu przez skalę wychodzi w centymetrach, a odpowiedzi w arkuszu są w metrach albo kilometrach.

Trzy przeliczniki wystarczą do wszystkiego:

Ostatni z nich jest kluczowy i wart zapamiętania osobno, bo powstaje z przemnożenia dwóch poprzednich — a właśnie w tym mnożeniu gubi się zera.

Praktyczna konsekwencja: w skali 1:100 0001 : 100\,000 jeden centymetr na mapie to dokładnie jeden kilometr w terenie. To najwygodniejszy punkt odniesienia w całym dziale i warto go używać jako sprawdzianu rzędu wielkości.

Pełny mechanizm przeliczania opisuję na stronie o zamianie jednostek — tam chodzi głównie o czas, ale zasada jest identyczna.

Skala na planie mieszkania i na planie działki

Plany różnią się od map wyłącznie rzędem wielkości skali. Plan mieszkania rysuje się w skali 1:501 : 50 albo 1:1001 : 100, plan działki w 1:5001 : 500, a mapa turystyczna w 1:25 0001 : 25\,000.

Metoda jest ta sama, ale przy małych skalach jednostką docelową są metry, nie kilometry. W skali 1:1001 : 100 jeden centymetr na planie to 100 cm, czyli równo metr.

Zadania o planach często pytają nie o długość, lecz o pole pomieszczenia. Wtedy trzeba przeliczyć obie długości osobno, a dopiero potem policzyć pole — mnożenie pola z planu przez skalę daje wynik błędny.

Dzieje się tak dlatego, że przy dwukrotnym powiększeniu długości pole rośnie czterokrotnie. To ta sama zależność, która stoi za polami figur: pole zależy od dwóch wymiarów naraz.

Odległość w linii prostej a odległość drogą

Zadania egzaminacyjne bywają sformułowane tak, że rozróżnienie decyduje o poprawności odpowiedzi. Skala przelicza odległość zmierzoną na mapie, a nie długość trasy, którą trzeba faktycznie pokonać.

Jeśli treść mówi o odległości w linii prostej, mierzy się odcinek między punktami. Jeśli o trasie drogą, mierzy się długość zaznaczonej linii — nawet jeśli jest kręta.

W obu przypadkach przelicznik jest identyczny. Różnica dotyczy wyłącznie tego, co się mierzy przed przeliczeniem.

Warto też zauważyć, że skala nie zmienia się w zależności od kierunku. Ten sam centymetr oznacza tyle samo w poziomie i w pionie — mapa jest pomniejszona równomiernie.

Skala to stosunek — dlatego nie ma jednostki

Skala jest liczbą niemianowaną. Zapis „skala 1:50 0001 : 50\,000 cm” jest błędny, bo obie strony stosunku skracają się jednostkowo.

To bezpośrednia konsekwencja tego, że skala porównuje dwie długości tego samego rodzaju. Podobnie jak przy podziale proporcjonalnym, sam stosunek nie niesie jednostek — dostaje je dopiero konkretna wielkość, którą przez niego przeliczamy.

Praktyczna korzyść z tej obserwacji: nie trzeba pamiętać, w czym „jest wyrażona” skala, bo w niczym nie jest. Wystarczy pilnować, żeby po obu stronach rachunku używać tej samej jednostki, a przeliczyć na docelową dopiero na końcu.

Ta sama liczba działa więc niezależnie od tego, w jakich jednostkach liczymy — w centymetrach, metrach czy kilometrach. Nie przenosi się natomiast na powiększoną kopię mapy: powiększenie zmienia skalę, więc trzeba ją przeliczyć od nowa.

Przykłady krok po kroku

Cztery zadania krok po kroku: z mapy w teren, z terenu na mapę, wyznaczenie skali i pole na planie.

Przykład 1 Z mapy w teren

Na mapie w skali 1:50 0001 : 50\,000 odległość między dwoma miastami wynosi 4 cm. Ile kilometrów dzieli je w rzeczywistości?

  1. Kierunek: z mapy w teren, więc mnożę przez skalę.
  2. 4 cm⋅50 000=200 0004 \text{ cm} \cdot 50\,000 = 200\,000 cm. Uwaga — wynik jest w centymetrach, bo skala działa na tych samych jednostkach.
  3. Zamieniam na kilometry: 1 km =100 000= 100\,000 cm, więc 200 000:100 000=2200\,000 : 100\,000 = 2 km.
  4. Kontrola kierunku: odległość w terenie (2 km) jest większa niż na mapie (4 cm) ✓
  5. Kontrola rzędu wielkości: w skali 1:100 0001 : 100\,000 jeden centymetr to kilometr, a nasza skala jest dwa razy dokładniejsza, więc cztery centymetry dają dwa kilometry ✓

Odpowiedź: Miasta dzieli 2 km.

Przykład 2 Z terenu na mapę

Rzeczywista długość mostu wynosi 600 m. Jaką długość będzie miał ten most na mapie w skali 1:20 0001 : 20\,000?

  1. Kierunek: z terenu na mapę, więc dzielę przez skalę.
  2. Najpierw sprowadzam do wspólnej jednostki: 600 m =60 000= 60\,000 cm.
  3. 60 000:20 000=360\,000 : 20\,000 = 3 cm.
  4. Kontrola kierunku: długość na mapie (3 cm) jest mniejsza niż w terenie (600 m) ✓
  5. Pominięcie zamiany metrów na centymetry dałoby 600:20 000=0,03600 : 20\,000 = 0{,}03 — wynik zaniżony sto razy.

Odpowiedź: Na mapie most będzie miał 3 cm.

Przykład 3 Wyznaczanie skali

Odcinek o długości 5 cm na planie odpowiada odległości 250 m w terenie. W jakiej skali sporządzono plan?

  1. Sprowadzam obie długości do tej samej jednostki: 250 m =25 000= 25\,000 cm.
  2. Zapisuję stosunek: 5:25 0005 : 25\,000.
  3. Doprowadzam pierwszą liczbę do jedynki, dzieląc obie przez 5: 1:50001 : 5000.
  4. Kontrola: 1 cm na planie to 5000 cm, czyli 50 m. Pięć centymetrów daje więc 250 m ✓
  5. Skala wyszła liczbą niemianowaną — i tak powinno być, bo obie strony stosunku były w centymetrach.

Odpowiedź: Plan sporządzono w skali 1:50001 : 5000.

Przykład 4 Pole pomieszczenia z planu

Na planie w skali 1:1001 : 100 pokój ma wymiary 4 cm na 3 cm. Jakie jest jego rzeczywiste pole?

  1. Przeliczam każdy wymiar osobno: 4⋅100=4004 \cdot 100 = 400 cm =4= 4 m oraz 3⋅100=3003 \cdot 100 = 300 cm =3= 3 m.
  2. Dopiero teraz liczę pole: 4⋅3=124 \cdot 3 = 12 m².
  3. Sprawdzam błędną drogę: pole na planie to 12 cm², a pomnożenie go przez 100 dałoby 1200 cm², czyli 0,12 m² — wynik sto razy za mały.
  4. Powód: przy stukrotnym powiększeniu długości pole rośnie 100⋅100=10 000100 \cdot 100 = 10\,000 razy, nie sto.
  5. Kontrola sensowności: pokój cztery metry na trzy to typowy pokój, a 0,12 m² to powierzchnia kartki papieru ✓

Odpowiedź: Rzeczywiste pole pokoju wynosi 12 m².

Najczęstsze błędy

Cztery błędy tego działu. Pierwsze dwa dotyczą jednostek, trzeci kierunku, czwarty — pól.

Zapomnienie o zamianie jednostek po pomnożeniu przez skalę

Skąd się bierze: Skala działa na tych samych jednostkach, więc po pomnożeniu centymetrów z mapy wynik nadal jest w centymetrach. Zapisanie go jako metrów albo kilometrów zaniża odpowiedź sto albo sto tysięcy razy.

Jak zrobić dobrze: Zapisz jednostkę przy każdym kroku rachunku, a zamianę wykonaj jako osobne, ostatnie działanie. Zapamiętaj jeden przelicznik: kilometr to sto tysięcy centymetrów.

Odwrócenie kierunku przeliczania

Skąd się bierze: Mnożenie i dzielenie przez skalę łatwo pomylić, bo oba wyglądają w zapisie podobnie. Wynik wychodzi wtedy absurdalny — teren mniejszy od mapy — ale bywa zapisany bez namysłu.

Jak zrobić dobrze: Sprawdź sens przed zapisaniem odpowiedzi: rzeczywistość jest zawsze większa niż mapa. Z mapy w teren mnożymy, z terenu na mapę dzielimy.

Traktowanie większej liczby w skali jako dokładniejszej mapy

Skąd się bierze: Odruch podpowiada, że większa liczba to więcej szczegółów. Jest odwrotnie — skala jeden do stu tysięcy oznacza mocniejsze pomniejszenie niż jeden do dwudziestu pięciu tysięcy, więc mapa pokazuje większy obszar mniej dokładnie.

Jak zrobić dobrze: Czytaj drugą liczbę jako krotność pomniejszenia. Im większa, tym mocniej teren został zmniejszony i tym mniej szczegółów mieści się na mapie.

Mnożenie pola przez skalę zamiast przeliczania wymiarów

Skąd się bierze: Pole zależy od dwóch wymiarów naraz, więc przy stukrotnym powiększeniu długości rośnie dziesięć tysięcy razy. Pomnożenie pola z planu przez samą skalę daje wynik zaniżony o cały rząd wielkości.

Jak zrobić dobrze: Przelicz każdy wymiar osobno, a pole policz dopiero z otrzymanych rzeczywistych długości. Kontrolą jest sensowność — pokój ma kilkanaście metrów kwadratowych, nie ułamek metra.

Zadania z egzaminu ósmoklasisty — długości przedmiotów i odległości w terenie

Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminu ósmoklasisty (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem.

Prawie każde zadanie z tego działu to jedno mnożenie — trzeba tylko wiedzieć, co przez co. Dlatego zielony jest wymiar na planie albo na rysunku (to, co mierzymy linijką), a czerwony — przelicznik skali, czyli liczba mówiąca, ile razy rzeczywistość jest większa. Wynik w terenie zostaje czarny, bo to on jest odpowiedzią.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (maj 2026)1 pkttrudniejsze

Jurek narysował na kratce położenia trzech obiektów: muzeum (MM), wieży widokowej (WW) i schroniska (SS). Wieża widokowa znajduje się 3 km na północ i 4 km na zachód od schroniska. Muzeum znajduje się 5 km na wschód od schroniska. Oceń prawdziwość podanych zdań.
Schronisko, wieża widokowa i muzeum — kierunki i odległości4 km3 km5 kmN↑SWM
Odległość w linii prostej schroniska od muzeum jest równa odległości w linii prostej schroniska od wieży widokowej.PF
Odległość w linii prostej muzeum od wieży widokowej jest mniejsza niż 10 km.PF
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P, P

  1. Najwygodniej ustawić schronisko SS w początku układu: kierunek wschodni to „w prawo”, północny — „w górę”.
  2. S=(0, 0)S = (0,\ 0)  •  W=(−4, 3)W = (\textcolor{#16A06A}{-4},\ \textcolor{#16A06A}{3})  •  M=(5, 0)M = (\textcolor{#16A06A}{5},\ 0)
  3. Zdanie 1. Odległość SS od MM mierzymy wzdłuż linii wschód–zachód: 5\textcolor{#16A06A}{5} km.
  4. Odległość SS od WW liczymy z twierdzenia Pitagorasa (przesunięcie 4\textcolor{#16A06A}{4} km w bok i 3\textcolor{#16A06A}{3} km w górę):
  5. 42+32=16+9=25=5\sqrt{\textcolor{#16A06A}{4}^2 + \textcolor{#16A06A}{3}^2} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = \textcolor{#E0453A}{5} km
  6. Obie odległości wynoszą 5 km ✓ — prawda. (To znajomy trójkąt 3–4–5.)
  7. Zdanie 2. Z WW do MM przesuwamy się o 4+5=9\textcolor{#16A06A}{4} + \textcolor{#16A06A}{5} = \textcolor{#16A06A}{9} km na wschód i 3\textcolor{#16A06A}{3} km na południe:
  8. 92+32=81+9=90≈9,5\sqrt{\textcolor{#16A06A}{9}^2 + \textcolor{#16A06A}{3}^2} = \sqrt{81 + 9} = \sqrt{90} \approx \textcolor{#E0453A}{9{,}5} km
  9. 9,5<10\textcolor{#E0453A}{9{,}5} < 10 ✓ — prawda.
  10. Odpowiedzi: P, P.

💡 Wskazówka: Porównanie z 10 km można zrobić bez pierwiastkowania: 90\sqrt{90} wobec 10 to to samo co 90 wobec 100. Mniejsza liczba pod pierwiastkiem — mniejsza odległość.

⚠ Najczęstszy błąd: dodanie przesunięć zamiast użycia Pitagorasa (9+3=129 + 3 = 12 km). Odległość „w linii prostej” to przeciwprostokątna, a nie suma drogi na wschód i na południe.

Zadanie 2 (czerwiec 2024)1 pktśrednie

Na planie miasta wykonanym w skali 1 : 5000 odległość w linii prostej między wejściem do papugarni a wejściem do muzeum zabawek jest równa 8,4 cm. Dokończ zdanie.
W terenie odległość między wejściami do tych obiektów jest w linii prostej równa
  • A. 4,2 m
  • B. 42 m
  • C. 420 m
  • D. 4200 m
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

  1. Skala 1:50001 : \textcolor{#E0453A}{5000} znaczy: 1 cm na planie to 5000 cm w terenie.
  2. Krok 1 — mnożymy przez przelicznik.
  3. 8,4 cm⋅5000=42 000\textcolor{#16A06A}{8{,}4} \text{ cm} \cdot \textcolor{#E0453A}{5000} = 42\,000 cm
  4. Krok 2 — zamieniamy na metry. W metrze jest 100 cm:
  5. 42 000:100=42042\,000 : 100 = 420 m.
  6. Odpowiedź C.

💡 Wskazówka: Skrót wart zapamiętania: przy skali 1:50001:5000 1 cm na planie to 50 m w terenie (bo 5000 cm =50= 50 m). Wtedy 8,4⋅50=4208{,}4 \cdot 50 = 420 m — jednym mnożeniem.

⚠ Najczęstszy błąd: zatrzymanie się na centymetrach albo podzielenie przez 1000 zamiast przez 100 (wychodzi wtedy 42 m — odpowiedź B). Warto pilnować, w jakiej jednostce są odpowiedzi.

Zadanie 3 (maj 2023)1 pktśrednie

Na planie miasta odległość w linii prostej od punktu oznaczającego przystanek autobusowy Dworzec do punktu oznaczającego przystanek Galeria jest równa 8 cm. Plan miasta został wykonany w skali 1 : 4000. Dokończ zdanie.
Odległość w linii prostej w terenie między tymi przystankami jest równa
  • A. 320 m
  • B. 500 m
  • C. 3200 m
  • D. 5000 m
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

  1. Skala 1:40001 : \textcolor{#E0453A}{4000} znaczy, że 1 cm na planie odpowiada 4000\textcolor{#E0453A}{4000} cm w terenie.
  2. Krok 1 — odległość w centymetrach.
  3. 8 cm⋅4000=32 000\textcolor{#16A06A}{8} \text{ cm} \cdot \textcolor{#E0453A}{4000} = 32\,000 cm
  4. Krok 2 — zamiana na metry.
  5. 32 000:100=32032\,000 : 100 = 320 m.
  6. Odpowiedź A.
  7. Szybciej: 4000\textcolor{#E0453A}{4000} cm =40= 40 m, więc 8⋅40=320\textcolor{#16A06A}{8} \cdot 40 = 320 m ✓

💡 Wskazówka: Odpowiedź 3200 m (czyli ponad 3 km między dwoma przystankami w centrum miasta) powinna od razu wydać się podejrzana. Sprawdzanie, czy wynik ma sens, wyłapuje większość błędów jednostkowych.

⚠ Najczęstszy błąd: podzielenie liczby centymetrów przez 10 zamiast przez 100 — stąd bierze się kusząca odpowiedź C.

Zadanie 4 (maj 2021)1 pkttrudniejsze

Listewkę o długości 50 cm planowano pociąć na równe części. Iwona zaproponowała podział na kawałki po 5 cm i zaznaczyła na listewce czerwonym kolorem linie cięcia. Agata chciała podzielić tę samą listewkę na części po 2 cm i linie cięcia zaznaczyła na zielono. Ile razy linia czerwona pokrywała się z linią zieloną?
Listewka 50 cm z liniami cięcia co 5 cm i co 2 cmcięcia Iwony — co 5 cmcięcia Agaty — co 2 cm050 cm
  • A. 5
  • B. 4
  • C. 3
  • D. 2
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

  1. Linie pokrywają się tam, gdzie odległość od początku listewki jest jednocześnie wielokrotnością 5\textcolor{#16A06A}{5} i wielokrotnością 2\textcolor{#16A06A}{2} — czyli wielokrotnością ich najmniejszej wspólnej wielokrotności:
  2. NWW(5,2)=10\text{NWW}(\textcolor{#16A06A}{5}, \textcolor{#16A06A}{2}) = \textcolor{#E0453A}{10} cm
  3. Wypisujemy wielokrotności 10\textcolor{#E0453A}{10} mieszczące się na listewce:
  4. 10\textcolor{#E0453A}{10},  20\textcolor{#E0453A}{20},  30\textcolor{#E0453A}{30},  40\textcolor{#E0453A}{40} — to cztery miejsca.
  5. Uwaga na koniec listewki: 50 cm to nie linia cięcia, tylko koniec deski — nikt tam nie tnie.
  6. Odpowiedź B — linie pokryły się 4 razy.

💡 Wskazówka: Kontrola: Iwona zaznaczyła 9 linii (5,10,…,455, 10, \ldots, 45), a Agata 24 (2,4,…,482, 4, \ldots, 48) — w obu przypadkach o jedną mniej, niż wychodzi z dzielenia, bo koniec listewki się nie liczy.

⚠ Najczęstszy błąd: doliczenie 50 cm i podanie odpowiedzi 5. Cięcie na nn równych części wymaga n−1n-1 nacięć — skrajny punkt to już brzeg materiału.

Zadania otwarte

Zadanie 5 (grudzień 2018)3 pkttrudniejsze

Agata przygotowuje kartkę okolicznościową w kształcie prostokąta o wymiarach 15 cm × 18 cm, ozdobioną wzorem z jednakowych kwadratów. Kwadraty są obrócone o 45°45° i stykają się wierzchołkami, tworząc łańcuszek wzdłuż krawędzi kartki: wzdłuż krótszego boku (15 cm) mieszczą się trzy takie kwadraty jeden za drugim, a wzdłuż dłuższego boku (18 cm) — cztery. Bok kwadratu wyraża się całkowitą liczbą centymetrów. Oblicz maksymalną długość boku jednego kwadratu. Do obliczeń przyjmij przybliżenie 2≈1,4\sqrt{2} \approx 1{,}4. Zapisz obliczenia.
Kartka 15 cm × 18 cm z łańcuszkiem obróconych kwadratów wzdłuż krawędzi15 cm18 cm
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 3 cm

  1. Kwadraty stoją „na rogu”, więc wzdłuż krawędzi kartki każdy z nich zajmuje swoją przekątną, a nie bok.
  2. Krok 1 — przekątna kwadratu o boku aa.
  3. d=a2≈1,4 ad = \textcolor{#16A06A}{a}\sqrt2 \approx \textcolor{#E0453A}{1{,}4}\,\textcolor{#16A06A}{a}
  4. Krok 2 — warunek dla krótszego boku (15 cm). Trzy przekątne muszą się zmieścić:
  5. 3⋅1,4 a≤153 \cdot \textcolor{#E0453A}{1{,}4}\,\textcolor{#16A06A}{a} \le 15  →  4,2 a≤154{,}2\,\textcolor{#16A06A}{a} \le 15  →  a≤3,57…\textcolor{#16A06A}{a} \le 3{,}57\ldots
  6. Krok 3 — warunek dla dłuższego boku (18 cm). Tu przekątnych jest cztery:
  7. 4⋅1,4 a≤184 \cdot \textcolor{#E0453A}{1{,}4}\,\textcolor{#16A06A}{a} \le 18  →  5,6 a≤185{,}6\,\textcolor{#16A06A}{a} \le 18  →  a≤3,21…\textcolor{#16A06A}{a} \le 3{,}21\ldots
  8. Krok 4 — wybieramy największą liczbę całkowitą. Muszą być spełnione oba warunki, więc decyduje ten ostrzejszy: a≤3,21\textcolor{#16A06A}{a} \le 3{,}21.
  9. Największa taka liczba całkowita to a=3\textcolor{#16A06A}{a} = 3 cm.
  10. Sprawdzenie: dla a=3a = 3 przekątna wynosi 4,2 cm, więc trzy przekątne to 12,6≤1512{,}6 \le 15 ✓, a cztery — 16,8≤1816{,}8 \le 18 ✓
  11. Dla a=4a = 4: przekątna 5,6 cm, trzy przekątne to już 16,8>1516{,}8 > 15 ✗ — nie mieści się.
  12. Odpowiedź: maksymalna długość boku kwadratu wynosi 3 cm.

💡 Wskazówka: Gdy warunki są dwa, zawsze wygrywa ostrzejszy — czyli ten, który dopuszcza mniej. Warto na koniec podstawić wynik do obu i sprawdzić, że oba są spełnione.

⚠ Najczęstszy błąd: użycie boku kwadratu zamiast przekątnej (3a≤153a \le 15 daje a≤5a \le 5). Skoro kwadraty są obrócone o 45°45°, wzdłuż krawędzi kartki układa się ich przekątna, czyli odcinek o około 40% dłuższy od boku.

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. P, P2. C3. A4. B5. 3 cm

Treści zadań pochodzą z arkuszy egzaminu ósmoklasisty (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów liczę i zapisuję sam — Mateusz Będkowski.

Pytania i odpowiedzi

Co oznacza skala jeden do dwudziestu pięciu tysięcy?

Że jednej jednostce na mapie odpowiada dwadzieścia pięć tysięcy takich samych jednostek w terenie. Jeden centymetr na mapie to dwadzieścia pięć tysięcy centymetrów, czyli dwieście pięćdziesiąt metrów. Skala nie ma własnej jednostki — jest stosunkiem dwóch długości tego samego rodzaju.

Jak przeliczyć centymetry na mapie na kilometry w terenie?

Najpierw pomnóż długość z mapy przez drugą liczbę ze skali — wynik jest wtedy w centymetrach. Dopiero potem podziel go przez sto tysięcy, bo tyle centymetrów ma kilometr. Ten drugi krok jest miejscem, w którym najczęściej gubi się zera.

Jak obliczyć skalę, mając dwie odległości?

Sprowadź obie do tej samej jednostki, zapisz ich stosunek i doprowadź pierwszą liczbę do jedynki, dzieląc obie przez nią. Wynik zapisuje się bez jednostki, bo obie strony stosunku były wyrażone tak samo i jednostki się skróciły.

Czym różni się plan od mapy?

Tylko rzędem wielkości skali i wynikającą z niego jednostką odpowiedzi. Plany mieszkań i działek rysuje się w skalach od jeden do pięćdziesięciu do jeden do pięciuset, a wyniki wychodzą w metrach. Mapy mają skale rzędu dziesiątek tysięcy i tam naturalną jednostką są kilometry.

Ile to jeden centymetr na mapie w skali jeden do stu tysięcy?

Dokładnie jeden kilometr. To najwygodniejszy punkt odniesienia w całym dziale, bo kilometr ma sto tysięcy centymetrów. Warto go pamiętać jako szybki sprawdzian rzędu wielkości przy innych skalach.

Czy pole z planu można pomnożyć przez skalę?

Nie. Pole zależy od dwóch wymiarów naraz, więc przy stukrotnym powiększeniu długości rośnie dziesięć tysięcy razy, a nie sto. Przelicz każdy wymiar osobno i dopiero z rzeczywistych długości policz pole.

Czytaj dalej

Zamiana jednostek na egzaminieTen sam mechanizm przeliczania, tylko na jednostkach czasuPodział proporcjonalny na egzaminieStosunek jako narzędzie — skala to jego szczególny przypadekPola figur na egzaminieDlaczego pole rośnie z kwadratem, a nie proporcjonalnieEgzamin ósmoklasisty z matematykiJak zbudowany jest arkusz i jak się do niego przygotować
Mateusz Będkowski — nauczyciel matematyki, autor serwisu Nie każ mu liczyć

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-07-30. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa Mateusza Będkowskiego.